DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR

DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR M herhagi bir küme olsu. i) x: M R ii) V = Rg( x) R açık cümle olmak üzere; Dom( x) = U içi U x R x i = Pox i P i i R

( ) ( U, x) ikilisie -boyutlu harita, x( m) x ( m),..., x ( m) = ye m U i (, ) U x haritasıa göre lokal koordiatları, U ya koordiat komşuluğu, deir. i x foksiyolarıa da lokal koordiat foksiyoları Örek: M = R 3 x: M a a a 6 3 R, x A= = ( a, a, a3, a, a, a3 ) a a a 3 şeklide taımlı foksiyo haritadır. (,,,,, ) koordiatları deir. 3 3 dir. ( ) 6 a a a a a a altılısıa V = Rg x = R ve A R 3 6 R açık olduğuda (, 3 ) oktasıı ( R, 3 ) R x, R de bir x haritasıa göre lokal 3

Örek : x: S p p R, x( p) =, p3 p3 { } foksiyou U Dom( x) S ( 0,0,) ( S {( 0, 0, )}, x) ikilisi p U oktasıa; x ( p) = = da dir. ( ) Rg x S üzeride iki boyutlu bir haritadır. p p =, x ( p) = şeklide ( ), ( ) 3 p p karşılık tutabiliriz. Bu x ( p), x ( p ) reel sayı ikilisi (, ) koordiatları olur. ( ) 3 = R ve R açık olduğuda ( ) x p x p reel sayı ikilisii U x haritası içi p oktasıı lokal 3

Birici örekte olduğu gibi M = R 3 kümesii tamamıı bir haritayla(yai bir koordiat komşuluğu ile) koordiatladırmak mümküdür. İkici örekte ise M = S i tamamıı tek bir haritayla koordiatladırmak mümkü değildir. Bu örekte S yi koordiat komşulukları ile örtmeliyiz. Bu durumda bir diğer ( V, y ) haritasıı; y: S p p R, y( p) =, + p3 + p3 { } şeklide alabiliriz. Bu döüşümü -, Dom( y) = S ( 0,0, ) ve Rg ( y) R olduğuu görebiliriz. O zama U V kümesii her bir p oktasıa; = özelliğide p p = p3 p3 ( ), x p p p = + p3 + p3 ve y( p), 4

gibi iki koordiat komşuluğu karşılık getirmiş oluruz. Bu durum her bir oktaya bir tek reel sayı ikilisi karşılık getirmeye( R deki tek türlü koordiatlamaya) ters bir durumdur. O zama bu durumu ortada kaldırmak içi lokal koordiat foksiyoları arasıda bir tür uyumluluk istemesi doğaldır. y x =, y = ( x ) + ( x ) ( x ) + ( x ) x biricide ikiciye geçiş bağıtılarıdır. { i i } Taım : (, ) A = U x i I M i haritalarıı bir koleksiyou olsu. i) M i (örtü aksiyomu) U i I ii) ( U, x),( V, y) A, U V yο x : x( U V) y( U V) döüşümü diffeomorfizm (haritaları uyumluluk aksiyomu) Özellikleri sağlaıyorsa A ya M i bir atlası deir. 5

M U α V α U α V α x α y α ( ) yα ( Uα Vα) x U V α α α y αοx α 6

{ } { } Örek deki ( U, x ), ( V, y ) koordiat komşulukları içi U = S ( 0,0,), V = S ( 0,0, ) olmak üzere; U V = { p S p 3 } ( ) yο x : x U V R ( yο x )( x( p) ) = y( x ( p) ) q x( U V) içi q q q q x ( q) + =,, + q + q + q + q + q + q ο q q =, q + q q + q ( y x )( q) 7

olup - örte ve dif.bilirdir. Tersi kedisi olduğuda tersi de dif.bilirdir. O halde ο y x diffeomorfizmdir. { cos,si 0 } Örek 3: ( π π ) U = s s < s< S x: U R, x( p) = s, p = ( cos π s,siπ s) olarak taımlayalım. O zama P = ( cos π s,si π s ) ve Q ( cos πs,si πs ) = olsu. ( ) = ( ) = x P x Q s s P = Q olduğuda x - dir. xu ( ) = ( 0,) ve R i topolojisie göre açık olduğuda (, ) U x, S içi - boyutlu haritadır. 8

U = s s < s< S ( cos π,si π ) y : U R, y( p) s (, ) diğer -boyutlu haritadır. = de - ve ( ) (, ) yu = açık olduğuda S içi bir 9

(0,) (-,0) (,0) x y (0,-) 0 0 0

U U = { p S p S {(,0 )(,,0 ) } { U U } ( U U ) = s ( 0,)( cos πs,si πs ) x ( cos π s,si πs ) = (,0 ) ve ( cos s,si πs ) = (,0 ) π olacak şekilde s değerlerii bulalım. cos πs = πs = si πs = 0 s = k kπ 0 < s = k < olacak şekilde tam sayı yoktur. O halde çıkacak s değeri yoktur.

cos π s = πs = ( k + ) π si π s = 0 k + s = k + 0< < 0< k + < < k < < k < < k < ( )... * k = 0 ve buu (*) da yerie yazarsak s = buluur. O halde s = değeri atılacak, yai; x ( U U ) = 0,, y ( U U ) = s, ( cos πs,si πs ) U U

( cos πs,si πs ) = (,0) s = k < k k = 0 s = 0 < s = 0 değeri atılacak. ( cos πs,si πs ) = (,0 ) k + s = k + < < < k + < < < k < 0 k < 0 olacak şekilde k yoktur. Dolayısıyla atılacak s değeri de yoktur. 3

4 ( ) = 0,,0 U U y 0,,0, 0, : x yο ( ) =, 0, p x s olmak üzere; ( ) ( ) ( ) =,, 0,, s s s s p x x yο

0 < x < ( p) < y( p) = x( p) x ( p) < y( p) = x( p) olduğuda yox : x( U U ) y( U U ) foksiyou tersi xoy : y ( U U ) x ( U U ), olup döüşümü -, örte ve dif.bilir bir döüşümdür. Bu ( xο y )() t t, t 0, = + t, t,0 döüşümü dif.bilirdir. 5

{ } {( ) } Örek 3: M = ( s, 0) < s < s, s 0 < s <, ( ) {( s 0) < s 0} ( s, s) { 0 < } V =, s < olsu. {,0 } U = s < s< ve ( ) ( ) x: U R, x s,0 = s, ( ) ( ) y: V R, y s,0 = s,0 (, ) = s ( 0,) y s s olarak taımlaırsa ( U, x) ve ( y) V, M i birer haritası olurlar. Halbuki ( ) ( ] ( ) ( ] yο x : x U V =,0 y U V =,0 döüşümü dif.bilir değildir. Çükü taım kümesi R de açık olmadığıda sürekli değildir. O halde; {( U x),( V, y) }, M içi bir atlas değildir. 6

Taım: İki atlası birleşimi de yie bir atlas ise bu iki atlasa dek atlaslar deir. Örek: U ( z z ) { S 0} =, z > U R, x, ( z z ) x : = z döüşümü - dir. Gerçekte; (, ) (, ) x z z = x z z z = z z + z =, z + z = z = z ( z, z ) ( z, z ) = 7

olur. x ( z, z ) z Rg( x ) (,) < = < = ve x S içi bir haritadır. ( ο ) J : S R, x = P J U olur. {(, ) 0} U = z z S z > {(, ) 0} U = z z S z < 3 {(, ) 0} U = z z S z < 4 8

( ) ( ο ) x : U R, x z, z = z, x = P J ( ) ( ο ) x : U R, x z, z = z, x = P J 3 3 3 3 ( ) ( ο ) x : U R, x z, z = z, x = P J 4 4 4 4 U U U 3 4 U, U ve U kümeleri U, 3 4 S i örterler. 9

y S (0,) (-,0) (,0) x (-,0) 0

( ) ( ) ( ) = x :, S, x s s, s ( ) ( ) ( ) = x :, S, x t t, t ( ) ( ) ( ) = x :, S, x u u, u 3 3 ( ) ( ) ( ) = x :, S, x v v, v 4 4 {(, ) 0, 0} U U = z z S z > z > ( ) = ( 0,) ( ) = ( 0,) x U U x U U

( ) ( ) x οx : x U U x U U ( )( ) ( ) xο x s = x s, s = s diffeomorfizmdir. xοx döüşümüe U U3 3 = olduğuda bakmaya gerek yoktur. {(, ) 0, 0} U U = z z S z > z < 4 4 ( U ) = (, 0) x U 4 ( ) = ( 0,) x U U 4 4

( ) ( ) x οx : x U U x U U 4 4 4 4 ( )( ) ( ) x4ο x s = x4 s, s = s diffeomorfizmdir. ( ) ( ) xοx : x U U x U U 3 3 3 3 ( )() ( ) x3ο x t = x3 t, t = t diffeomorfizmdir. x οx döüşümüü U U4 = olduğuda icelemeye gerek yoktur. 4 3

( ) ( ) x οx : x U U x U U 4 3 3 3 4 4 3 4 ( )( ) ( ) x4ο x3 u = x4 u, u = u { } diffeomorfizmdir. A = ( U, x ),( U, x ),( U, x ),( U, x ) 3 3 4 4 S içi diferesiyelleebilir atlastır. { } S içi A ( U x) ( U y) =, ( π π ),,, { si,cos 0 } U = s s < s< ve U = ( si πs,cos πs) < s< olmak üzere; 4

( ) ( π π ) x: U 0,, x si s,cos s = s y : U,, y ( si πs,cosπs) = s döüşümleri taımlaıyor. A ve A atlasları dektir. Gerçekte; U {( z z ) S 0} =, z > 5

( ) si πs,cos πs U U si πs> 0 ve 0 < s< si π s> 0 ve 0 < πs< π 0< πs < π 0 < s < U U = ( si πs,cos πs) 0 < s< {(, ) 0} U = z z S z > 6

( ) si πs,cos πs U U cos πs> 0 ve 0 < s< cos πs > 0 ve 0 < πs< π π 3π 0< π s < veya < πs < π 3 0< s< veya < s< 4 4 3 U U = ( si πs, cosπs) s 0,, 4 4 7

{(, ) 0} U = z z S z < 3 ( ) 3 si π s,cos πs U U si πs< 0 ve 0 < πs< π π < πs < π < s < U3 U = ( si πs,cos πs) < s< {(, ) 0} U = z z S z < 4 8

( ) 4 si πs,cos πs U U cos πs< 0 ve 0 < s< cos π s< 0 ve 0 < πs< π π 3π < π s < 3 < s < 4 4 3 U4 U = ( si πs,cos πs) < s< 4 4 9

( U) xu ( U) = (,) x U = 0, ( ο )( ) x x s = cos π s döüşümü diffeomorfizmdir. 30

( ) = (,) x U U ( U) xu x οx 3 = 0,, 4 4 ( ο )( ) 3 : 0,,, 4 4 x x s = si πs ( ) döüşümü diffeomorfizmdir. 3

( ) = (, 0) x U U 3 3 ( U) xu 3 3 xοx =, ( 3ο )( ) :,,0 ( ) x x s = cos πs döüşümü diffeomorfizmdir. 3

( ) = (,) x U U 4 4 ( U) xu 4 4 x οx 3 =, 4 4 ( 4ο )( ) 3 :,, 4 4 ( ) x x s = si πs diffeomorfizmdir. 33

U = ( si πs,cos πs) < s< si πs,cos πs U U si πs > 0 ve < s< ( ) si π s > 0 ve π < πs< π 0 < s < 34

U U = ( si πs,cos πs) 0 < s< si πs,cos πs U U cos πs > 0 ve < s< ( ) cos π s> 0 ve π < πs< π π π < π s < < s < 4 4 35

U U = ( si πs,cos πs) < s< 4 4 ( ) 3 si π s,cos πs U U si πs< 0 ve π < πs< π π < π s < 0 < s < 0 U3 U = ( si πs,cos πs) < s< 0 si πs,cos πs U U cos πs< 0 ve < s< ( ) 4 cos π s< 0 ve π < πs< π 36

π π π < πs< < πs< π < s< < s< 4 4 U4 U = ( si πs,cos πs) < s< < s< 4 4 ( U ) = (,) x U ( U ) yu = 0, xο y : 0, (, ), ( xοy )( s) = cosπs diffeomorfizmdir. 37

( ) = (,) x U U ( U ) yu =, 4 4 xο y :, (, ), ( xοy )( s) = siπs 4 4 diffeomorfizmdir. ( ) = (,) x U U 3 3 ( U ) yu 3 =,0 x3ο y :,0 (, ), ( x3οy )( s) = cosπs diffeomorfizmdir. 38

( ) = (,) x U U 4 4 ( U ) yu 4 =,, 4 4 x ο y 4 ( 4ο )( ) :,,, 4 4 x y s = si πs ( ) diffeomorfizmdir. O zama A A de S i bir dif.bilir atlasıdır. O halde A A olur. 39

{ } E = s s s R, sekiz eğrisi Örek: ( si,si ) {( si,si ) 0 π } U = s s < s< = E ( ) x: U R, x si s,sis = s ( ) = ( 0, π ) açık olup A ( U x) xu { } = E içi bir atlastır., {( si,si ) π π} V = s s < s< ( ) y: V R, y si s,sis = s ( ) = ( π, π ) açık olup A ( V y) yv { } = E içi bir atlastır., 40

yο x : x U y V örte ( ) ( ) s ( 0, π ) içi ( yο x )( s) y( V) ( ππ, ) = olmalıdır. ( )( ) ( π, π ) s s yο x s = s π s= π s π s π,π ( ) lim s π ( yο x )( s) = π lim ( yο x )( s) s π O halde A ve A dek atlaslar değildir. + = π olduğuda s = π de foksiyo sürekli değildir. 4

Taım: M cümlesi bir A atlası hiçbir atlas tarafıda ihtiva edilmiyorsa A ya tam atlas deir. Teorem: M de R içie her bir dif.bilir atlas bir tek tam atlas içidedir. { α α α } + İspat: A bir atlas olsu. (, ) ο (, ) A = U x x x diffeomorfizm U x A taımlayalım. A +, M i bir dif.bilir atlasıdır. Gerçekte;( U, x),( V, y) A + olsu. A + taımıda diffeomorfizmlerdir. O halde x U V, z U α olmak üzere x x α ο ve xαο y ( α ) ( α ) xο x ο x οy = xοy bir lokal diffeomorfizmdir.(z i bir komşuluğu olduğuda) 4

Böylece (x, y i koordiat foksiyoları olması edeiyle x y ο - dir.) x y ο lokal diffeomorfizm ve - olduğuda diffeomorfizmdir. Bu ise A + ı bir C atlas olduğuu gösterir. Diğer tarafta A A + A + ı taımıda A yı kapsaya herhagi B atlasıı göz öüe alalım. ( W, ϕ ) A ve ( W, ϕ ) B olacak şekilde B i bir (, ) W ϕ haritası göz öüe alıarak A + ı taımı kullaılıp B A + olduğu görülebilir. Taım: M i bir tam dif.bilir atlasıa M de bir dif.bilir maifold yapısı deir. Yukarıdaki teorem gereğice M de bir dif.bilir yapıyı yai bir tam atlası verile herhagi bir atlasta daima elde edebiliriz. O halde M de bir dif.bilir yapıda bahsedebilmek içi bir dif.bilir atlas(tam olması gerekmez) almak yeterlidir. Atlasları ayı tam atlasta olmaları bu dif.bilir yapıı tek türlülüğüü gösterir. Daha açık olarak A tam atlası içi bir tek dif.bilir yapı vardır. 43

S de A ve A olarak taımlaa ve dek ola iki atlas görmüştük. O halde bu atlasları ikisi de tam değildir. Taım: Verile bir dif.bilir maifold yapısıyla birlikte bir M cümlesie diferesiyelleebilir maifold deir. Örek: M ve M iki diferesiyelleebilir maifold olsu. M M de {(, ) (, ) (, ) } A A = U U x x U x A ve U x A de bir dif.bilir yapı taımlar. Gösteriiz. xu ( ) ve xu ( ) R ve m R de açık olduklarıda xu ( ) xu ( ) de R R m de çarpım topolojisie göre açıktır. 44

( ) ( x x )( u, u ) = x( u), x ( u ) ( ) ( x x )( v, v ) = x( v), x ( v ) ( x x )( u, u ) = ( x x )( v, v ) ( ) ( ) ( x u, x u ) = ( x( v), x ( v )) ( ) = xv ( ) ( ) = x ( v ) xu x u xx, olduğuda u = v veu = v ve x x - dir. ( uu, ) ( vv, ) = 45

(, ) x x U U A A (, ) y y V V A A olacak şekilde iki harita alalım. ( y y ) ο ( x x ) : ( x x )( U U ) ( y y )( V V ) ( y y ) ο( x x ) = ( y y ) ο( x x ) ( x( u), x ( v )) ( x x )( U U ) 46

(( y y ) ο ( x x ) )( a, b) = ( y y ) x ( a), x ( b) ( ) ( ) ( y y ο x x = yοx ) ( y οx ) = = = ( ) ( y( x ( a) ), y ( x ( b) )) (( yοx )( a),( y οx )( b) ) (( yοx ),( y οx ))( a, b) olduğuda diffeomorfizmdir. O halde A A uyumluluk aksiyomu sağlar. Burada A A M M de bir atlastır. A A ü belirlediği C yapı ile M M bir difereesiyelleebilir maifoldtur. M M moifoldua M ile M maifoldlarıı çarpım maifoldu deir. 47

Örek: A i alıırsa; A = ( I, R) i M i maifoldları içi birer atlas ise A... A { } R... R bir maifoldtur. ta e de M... M içi atlastır. M i = R Örek: =... maifoldtur bu çarpım maifoldua -boyutlu tor deir. T S S 48

MANİFOLD ÜZERİNDE DİFERENSİYELLENEBİLİR FONKSİYONLAR M, M iki dif.bilir maifold olsu. f : M M bir foksiyo olsu. f M M x x R F R () = foksiyoua f i bir koordiat temsili deir. F x ο f οx : R R () x( m ) de F dif.bilir ise f ye m de dif.bilirdir deir. Teorem: f : M M foksiyouu m M de difereesiyelleebilir olması M ve M deki harita seçimide bağımsızdır. 49

İspat: M U V f U M V x y x y ο y x y οx R R R R 50

R F = x ο f οx R y x ο x f M M x y ο x y y R G = y ο fο y R = de dif.bilirdir. Yai M deki (, ) F dif.bilir ise ( ) ( ) ( ) yο fοy G, yοx οfο yοx M deki ( x, U ) haritaları içi f dif.bilir ise ( yv, ),( y, V) haritaları içide dif.bilirdir. xu ve 5

Örek: M = R, M = R 3 3 ( ) ( ) x M R x A a a a a a a 6 :, =,, 3,,, 3 {(, )} M x M i atlasıdır. ( ) ( ) x M R x A a a a a a a 6 :, =,,,, 3, 3 {( M, x )} M i atlasıdır. ( ) f : M M, f A = A T F = x ο fοx : R R 6 6 5

(,,,,, ) ( ο ) F x x x x x x x f 3 4 5 6 x x x 3 = x4 x5 x 6 x x x x x x x 4 = 5 3 6 = ( x, x, x, x, x, x ) 4 5 3 6 diferesiyelleebilir olduğuda f difereesiyelleebilirdir. 53

Örek: ( ) f : R R, f A = det A {( )} x: R R, x x x = x, x, x, x ( ) 4 x x xr,, M R { } = i bir atlasıdır. ( I x, R) = de M = R i bir atlasıdır. = ο ο = 4 F x f x R R (,,, ) x x ο F x x x3 x4 = x f x3 x 4 = xx xx 4 3 54

döüşümü diferesiyelleebilir olduğuda f : R R determiat foksiyou diferesiyelleebilirdir. Taım: M, M diferesiyelleebilir maifoldlar f : M M -, f, f diferesiyelleebilir ise f ye bir diffeomorfizm deir. M, M gibi iki dif.bilir maifold verildiğide bular arasıda global bir diffeomorfizm varsa M, M maifoldları diffeomorfiktir deir. { } Örek: ( si,si ) E = s s s R, sekiz eğrisi {( si,si ) 0 } U = s s < s< π ( ) x: U R, x si s,sis = s {(, )} (, ) A = xu M= E A maifolduu ve 55

{( si,si ) π π} V = s s < s< ( ) y : V R, y si s,sis = s {(, )} (, ) A = y V M = E A maifolduu göz öüe alalım. ( ) ( si,si ) = si ( π ),si ( π ) f s s s s f E E x y R F = yο fοx R 56

( ) ( ) F = yο fοx : 0, π π, π ( ο ο )( ) y f x s = s π diffeomorfizmdir. EE, tek haritalı olduğuda f global diffeomorfizmdir. O halde EE, maifoldları diffeomorfiktir. ( J( F s), = [], det J( F, s) 0 ve F - olduğuda F diffeomorfizmdir.) 57

BİR MANİFOLDUN İNDİRGENMİŞ TOPOLOJİSİ Teorem.4.: ( M, A ) bir maifold (, ), ( ) açık ise ( W, x W ) U x A W U ve x W R A dır. İspat: x: U R ise x : W R W - dir. Ayrıca hipotezde xw ( ) R açık olarak verildiğide ( W, x W ) M i bir haritasıdır. Şimdi bu haritaı A ya ait olduğuu gösterelim. Buu içi ( V, y) A ve V W y ( ) ο x, x ο y döüşümlerii dif.bilir olduğuu göstermek yeterlidir. W W V W, W U V U olur. O zama ( ) ( ) yο x : x V U y V U 58

döüşümü diffeomorfizmdir(x, y harita olduğuda). Burada ο ( ) y x W difeomorfizmii bir açık alt cümleye kısıtlamışı olduğuda diffeomorfizmdir. döüşümü y x ο y ο x x W V y W V xw : ( ) ( ) ( V) döüşümü diffeomorfizmdir. O zama ( W, x W ) uyuşabilirlik aksiyomu sağlıyor. A olur. Çükü herhagi ( V, y) A ile Teorem: M dif.bilir maifold ve M i bir tam atlası A + olsu. A + daki koordiat bölgelerii cümlesi M deki topolojii bazıdır. 59

İspat: ( X, τ ) topolojik uzayıda B τ u i) i B i I X ii) B, B B içib B Bi i I özellikleri sağlaıyorsa B ye τ u bir bazı diyorduk, A + bir atlas olduğuda i) aksiyomu sağlaır. ii) aksiyomuu sağladığıı göstermek içi ( U, x),( V, y) A + alalım. U V y x ο diffeomorfizm ve buu taım kümesi xu ( V) teoremde ( U ) bir haritadır. Yai ( ) sağlaır. V x, U V, U V ise R de açık olmak zorudadır. Öceki U V x A + olur. O halde ii) aksiyomu Yukarıdaki teorem edeiyle aşağıdaki taımı verebiliriz. 60

Taım: M i bir atlası A olsu. A ı tam atlasıı koordiat bölgelerii baz olduğu topolojiye M i A da (dif.bilir yapısıda) idirgemiş topolojisi deir. Souç: ( ) U M açık m Uiçi U, x, m U haritası vardır. m m m İspat:( ) ( i, i ) 0 0 i i, haritaları U = Ui yazılabilir. m U, i içi 0 m U U, i 0 U M açık ( U, x ) U x bir haritadır. ( ) U m ler açık olduğuda birleşimleri de açık yai i I U = U açık m { } Ödev: ( R, x I) = i idirgediği R deki topoloji ile R i stadart topolojisi ayıdır. Gösteriiz. 6

Teorem.4.4.: Maifold topolojisie göre M dif.bilir maifolduu her haritası bir homeomorfimdir. İspat: x i M de idirgemiş topolojiye göre sürekli ve açık döüşüm olduğuu göstermeliyiz. (, ) :, ( ) U x A x U R x U = V açıktır. V R ve ( ) x V = W U olacak şekilde V açık cümlesii seçelim. x old. ( ) ( ) ( ) W U = W x W = x W x U ( ) = xw V = V V 6

V, V açık olduğuda ( ) xw açıktır ve Teorem.4. de ( W x ), W A olur. M i koordiat komşulukları M i idirgemiş topolojisie göre açık olduğuda W M de idirgemiş topolojiye göre açıktır. O halde x (bir V açığıı ters resmii M deki idirgemiş topolojiye göre M deki açığa döüştürdüğüde) M deki idirgemiş topolojiye göre süreklidir. ( ) U U, U, y A olsu. y x ο R de diffeomorfizm olduğuda bu döüşümü taım kümesi xu ( U ) = xu ( ) R de açıktır. M i U da yata herhagi açık alt kümesi bazdaki temel kümeleri birleşimi olduğuda ve bu temel kümeleri görütüleri de açıktır. O halde x, M de idirgee topolojiye göre açık döüşümdür. R de açık olduğuda bu açık kümei görütüsü 63

Teorem: M, M iki dif.bilir maifold f : M M m M de dif.bilir ise f ; M, M üzerideki idirgemiş topolojiye göre m M de süreklidir. İspat:, x x sırasıyla ( ) m M ve f m M de iki harita olsu. f M M x x R x ο fοx F R F x U ( ) ( ) x V ( ) : m f m 64

döüşümüü göz öüe alalım. x, x de dfibilirdir. O halde F x( m ) de süreklidir. x, x döüşümleri idirgemiş topolojiye göre homeomorfizm olduklarıda(teorem.4.3. de) f x οfοx = idirgemiş topolojiye göre süreklidir. Teorem.4.4. de ( M, M üzerideki idirgemiş topoloji kullaılarak) f : M M dif.bilir foksiyou süreklidir. Bu edele f : M M dif.bilir foksiyouu taım kümesi M i açık alt cümlesi olmalıdır. Şimdi Öklid uzayıda geçerli ola dif.bilir foksiyoları bazı özellikleri daha geel ola maifoldlar üzerideki foksiyolar içide geçerli olduğuu göstereceğiz. 65

Teorem.4.5: f : M M dif.bilir foksiyo ve U da f i taım kümesiyle arakesiti boş olmaya M i herhagi açık alt cümlesi olsu. i) f dif.bilirdir U ii) f diffeomorfizm ise f de diffeomorfizmdir. U İspat: f i taım kümesii V olduğuu kabul edelim. O zama U f foksiyouu taım kümesi U V de açıktır. Çükü f dif.bilir olduğuda V taım kümesi açık ve U açık olduğuda U V de açıktır. Bu edele m U V, U V de yata W koordiat komşuluğua sahiptir. 66

U f M U M x x xu ( V) R F U R x, taım kümesi W ola M i bir haritası x de M ü taım kümesi f ( m ) yi kapsaya haritası olsu. f, f foksiyoları W üzeride ayı olduklarıda bu haritalara göre ayı gösterime U sahiptirler. Gerçekte p W içi ( x ο fοx )( x( p) ) = ( x ο f )( p) = ( ( )) x f p 67

( ) ( ) U ( ) = ( )( ) x ο f οx x p x ο f p U = = ( ( )) x f p U ( ( )) x f p olur. f, m de dif.bilir olduğuda f da m de dif.bilirdirdir. U Şimdi de f diffeomorfizm olsu. O zama f dif.bilir foksiyo olduğuda sürekli ve bu edele f ( U ), M de açıktır. O zama f, -, örte olduğuda f : U f ( U) dif.bilirdir. U -, örtedir ve ( f U ) = f f ( U ) olduğuda(gösteriiz), ( ) f U dif.bilirdir. 68

Teorem: M, M, M dif.bilir maifoldlar, f : M M, g: M M dif.bilir foksiyolar ise gο f bileşke foksiyou da dif.bilirdir. f, g diffeomorfizm ise gο f de diffeomorfizmdir. ( ) İspat: gο f i taım cümleside herhagi m oktasıı seçelim ve x, y, w, m, f ( m), g f ( m ) oktasıdaki haritalar olsular. O zama; gösterimleri olur ve F y f x = ο ο ve G = wο gο y sırasıyla f ve g i koordiat gof f g M M M R F R G R

G F ο de gof i w ( g f ) x ο ο ο koordiat gösterimii kısıtlaması olur. Öklid uzayları arasıdaki iki foksiyo difbilir ise buları bileşkesi de difbilirdir. O halde, f g sırasıyla, ( ) olduğuda Gο F x( m ) de difbilirdir. Bu edele de wο ( gο f ) οx de ( ) gof m de difbilirdir. m f m de dif.bilir x m de difbilirdir. Burada Eğer f, g diffeomorfizmler ise gof de difbilir ve - örtedir. ( ) gο f = f οg olduğuda ( gο f ) de difbilirdir. O halde gof diffeomorfizmdir.

DİFERENSİYELLENEBİLİR VARYETELER Teorem: f : R R difbilir S f ( 0) (-)-boyutlu maifold yapısı tespit edilebilir. = olsu. O zama z S içi rakj ( ) f z = ise S de bir difbilir İspat: Herhagi z 0 0 ( ), r 0 f S oktasıı seçelim. f,r = z r olmak üzere, o zama e az bir r tamsayısı içi f z olur. Kapalı foksiyo teoremi m=, özel halide (^ yı atılmış alamıda kullaırsak) R deki tek zˆr z i komşuluğuu; ( z, z,..., z,..., z ) içi ( ) 0 r ˆ 0 r V oktasıı var olduğuu gösterir. Ayrıca ayı teoremde ; f z, z,..., z = 0 olacak şekilde bir 0 ψ r : R R şeklideki W üzeride taımlaa foksiyo difbilirdir.

Hatırlatma: m m [ F : Ω R R R, dom( F) =Ω, F = ( F,..., F ), (,..., x x x ), y ( y,..., y ) açık + + m (,...,,,..., ) z = z z z z bir = = olmak üzere k C döüşümüü olsu. Eğer ( 0, 0) x y Ω içi i F F( x0, y0) = 0; det ( x0, y0) 0 i, l m l y olsu. Bu durumda her bir ( x, y) U V R içi (, ) = 0 = ( ) F x y y f x 0 0 olacak şekilde x 0 ve y 0 ı sırasıyla U R ve V m R açık komşulukları ile bir tek k f : U V, domf = U, C döüşümü vardır.

i m i i F F m Df ( z) = ( Df )( z) = R( ) j j t + m x x t m T, R i z r foksiyouu V ve ( z,..., z,..., z ) W olacak şekildeki açık altcümlesi olsu. ˆ r R üzeride (,..., ˆr,..., ), θr( ) θ r : R R z z z z T = W olacak şekilde taımlamış difbilir döüşüm olarak alalım. O zama; θ r i U = S T üzerie kısıtlamışı ola döüşümügörütü kümesi R i W açık alt cümlesi ola R R - örte döüşümdür. Bu edele j, S i R içie doğal gömmesi olmak üzere, ( θο ) : x = j S R r U de 0 z ı içie ala U taım kümesie sahip bir haritadır.

Bu yolla elde edile haritaları taım kümeleri S yi örter. Şimdi bu haritaları S i atlası olduğuu gösterelim. R içie difbilir Kabul edelim ki x de U taım kümesi U ile kesişe bir diğer harita olsu. Böyle bir haritayı 0 fz s 0 olacak şekilde 0 z oktasıı seçerek elde edebiliriz. jο x : R R ( z,..., zˆ ) ( ( ˆ r,..., z z,..., ψ r z,..., zr,..., z),..., z) foksiyou taım cümlesi W ola difbilir foksiyodur. x ο x foksiyou taım cümlesi x( U U ) ve bu cümle üzeride difbilirdir ve s ( j x ) θο ο foksiyouyla çakışır.

l Eğer U, R i f : R R difbilir foksiyouu taım cümlesi ile çakışa açık altcümlesi ise f da U difbilirdir. öermeside göstermek ispat içi yetecektir. οx foksiyouu x( U U ) x taım kümesii R de açık olduğuu A R kümesi içi; A ı jο x ayı olduğu açıktır. x( U U ), i açık alt cümlesi ise U T S görütüsüdür ve buu içide O halde altıdaki ters görütüsüü x altıda U ü ters görütüsüdür. Fakat T ; = olur. Bu edele x( U U ) R i açık alt cümlesidir. x οx koordiat değişimi difbilirdir ve ayı şeyleri olduğuu görebiliriz. görülebilir. x οx, xο x x altıda A S i ters görütüsü ile kümesi T ü xο x T ye karşılık gele jο x R altıdaki ters koordiat değişimi içi de doğru döüşümlerii - ve örte olduğu; x ve x i harita olmasıda

Taım: Yukarıdaki difbilir yapıyla belli S maifoldua ( ) boyutlu difbilir varyete deir. Örek: : f R R f z = z + z +... + z + foksiyou difbilirdir. +, ( ) f f z = z, = z z... z [ ], i i + zi 0 dır. Çükü 0 z i O zama; f rak = zi o halde f ( ) 0 = S -boyutlu difbilir varyetedir. z = ise f ( z ) = 0 olduğuda ({ 0} ) z f = S olur. O halde 0 olmalıdır. z i

Bu S üzerie bir difbilir yapı verir. Bu yapı ( ) + tae haritada oluşa bir atlasla şöyle taımlaabilir. {(,..., ) 0 + } U = z z z > i i {(,..., ) 0} U = z z z < ++ i + i olmak üzere; x = θοj: U R, x = θοj: U R ( ) ( ) i i i + + i i + + i ( ) ( ˆ ) x z,..., z,..., z = z,..., z,..., z, z U i i + i + i x z = z,..., zˆ,..., z, z U ( ) ( ) ( i + ) ( ) + + i + + i {(, ), ( ( ), ( ) ),,..., i i + + i + + i } A= U x U x i = + S i C atlasıdır. Gerçekte;

Ui U + + = i ( ) olduğuda (, ) ( ) ( U, x ) ( U, x + + i + + i) içi Ui x i ve ( ) i ( ) i i j, Ui, xi ve ( ) ( ) + + + + haritaları atlas içi uyumluluk aksiyomuu sağlarlar. U U + + ( ) i i olduğuda bu haritalar içi, uyumluluk aksiyomuu sağladığıı göstermeliyiz. ( x jο x( ) ): x( ) ( U ( ) U j) x i i i i( U( ) U i j) + + + + + + + + ( x ( ) )( ˆ jο x z,..., zi,..., z ) j(,..., j,..., i,..., i + = x z z z z + + + ) = ( z,..., z ˆ j,..., z + )

döüşümü difbilir olduğuda. A atlası difbilir yapı taımlar. S i yukarıdaki atlasıa dek (stereografik) iki haritalı atlasıı kullamak daha uygudur. {{ 0,...,0, }}, {{ 0,...,0, } } U S U S = = y: U R, y z,..., z = z,..., z z + ( ) ( ) y : U R, y z,..., z = z,..., z + ( ) ( ) z + döüşümleri örtedir, gerçekte; u R u u = z z z + (,..., ) (,..., )

z u = z = z u ( ) i i i + i z+ z i z ui i= i= ( ) + = ( ) ( ) + + i + i= z = z u = z u ( ) + z = z u + + ( ) u = z + u + u z = + + u i, + u u + z = = + u + u + ui zi = i =,..., + u z u u,..., u =, + u + u + u R +

buluur. O halde y örtedir. O zama yu ( ) R = ve R açık olduğuda ( U y),, S içi bir haritadır. Bezer şekilde y ü de harita olduğu gösterilebilir. u u,..., u + y =, R + u + u + u + ( ) ( ) yο y : y U U y U U ο y y : R R ( yο y )( u) = y y ( u) ( ) u u,..., u = y, + u + u + u

u u =,..., u + u + u + u ( yο y )( u) = u u buluur. Bu döüşüm y ( U U) üzeride u y ( U U) u 0 halde; olduğuda difbilirdir. Bu döüşüm {(, ),(, )} A = U y U y S içi bir diğer haritadır.

Ödev: A ve A ü dek haritalar olduğuu gösteriiz. ÖrekGemici Halkası(Achor Rig): 3 R de ( ) z A + z = B, z = 0, A> B> 0 3 çemberii z3 eksei etrafıda dömeside meydaa gele döel yüzeydir. Bu yüzeyi deklemii aalitik geometride; ( x3) ( x ) F x, x, = 0 C... G x, x, 3 = 0 eğrisii buluduğu düzlemdeki ( 0 0 0,, 3) x x x oktasıda geçe ve doğrultma vektörü (,, ) doğru etrafıda dömeside meydaa gele döel yüzeyi deklemi abc ola

( x3) ( x ) F x, x, = 0 G x, x, = 0 3 ax + bx + cx = λ 3 ( x x ) ( x x) ( x3 x3) 0 0 0 + + = µ deklemleride x, x, x 3 yok edilerek buluur. Bua göre 3 doğrultma vektörü ( 0.0, ) ola doğru olduğuda z eksei ( 0,0,0 ) ( z 0 0 0, z, z3) = da geçe ve z3 = λ z + z + z3 = µ F( z, z, z3) = ( z A) + z3 = B, A> B> 0 G( z, z, z3) = z = 0

µ = z + z + λ z + z = µ λ z = µ λ z = µ λ ( µ ) λ A B = 0 = ϕ( λ, µ ) ϕ ( z, z + z + z ) = 0 3 3 ( ) z + z A + z = B 3 döel yüzeyi deklemi olur. ( 3) ( 3 ) ( ) f : R R, f z, z, z = z + z + z + A B 4A z + z 3 şeklide taımlı difbilir foksiyouu sıfır yerlerii cümlesidir.

f = z + z + z3 + A B z A z z = 4 z + z + z + A B 8A z = 0 ( ) 8 ( ( ) ) 3 f = ( z + z + z + 3 A B ) z 8A z = 0 z f = ( z + z + z + 3 A B ) z 3 8A z = 3 0 z 3 z = z = z3 = 0 { } 3 ( ) f ( ) z R f ( z) 0,0,0 0 = = 0 olduğuda Deizci Halkası bir difbilir varyetedir.

Örek: ( ) f R R f x y = x + y + :,, { } ( ) ( ) S = f 0 = x, y R x + y + = olduğuda difbilir varyete değildir. Örek: :, (, ) f R R f x y = x y f = x = 0 x x= y = 0 f = y = 0 y ve ( 0,0) f ( 0) olduğuda f cebirsel varyete değildir.

Örek: ( ) 3 f : R R, f x, y = y x x, R α α α α fα = x fα = y 3α x ( ( )) x rakj f, x, y α = olduğuda reel cebirsel varyetedir. Herhagi (, ) x0 y0 S içi y 0 ı V komşuluğu ve x 0 ı W komşuluğu ψ :W V ψ 3 ( x) α x x 3 ( ) = α = 0 ψ x x x difbilir döüşümü vardır. V=W=R alıabilir.

Örek: :, (,, ) f R R f x y z = x + y z f = x x f = y y f = z z 3 ( 0,0,0) f ( 0) ve rakj f (( 0,0,0) ) = 0 olduğuda ( ) uygulaamaz. O halde dif.bilir varyete değildir. 0,0,0 oktasıda kapalı foksiyo teoremi Örek: ( ) 3 f : R R, f x, y = x + 5y + x { } ( ) ( ) S f x y R x y 3 x = 0 =, + 5 + = 0 J f (( x, y) ) f f = x x

= x + 5y rakj = f ( 0,0 ) oktasıı civarıda f (( 0,0) ) [ 0] rakj =, z = 0, z = 0 0 0 0 ı W komşuluğuda 0 ı V komşuluğua; ψ :W V y ψ ( y) = x Kapalı Foksiyo Teoremii

( ) () i ψ y = x 0 0 ( ( ) ) ( ii) f ψ y, x = 0 ( iii) ψ difbilir özellikleri kullaılarak ψ ( ψ ( ), ) = 0 3 ( y) y ψ ( y) f y y + 5 + = 0 3 = 0y ψ ( y) ± 0y = 3

ψ ( 0 ) = 0 özelliğii sağlaya ( ) 3 ψ y f f z z 0 ( ) ( ), r = 0 0 xr {( W, ψ )}, S f ( 0) ± 0y = döüşümü olur. olacak şekilde z 0 = ( 0,0) oktası içi, W = (, ) olmak üzere = maifoldu içi bir atlastır. BİR MANİFOLD ÜZERİNDE DİFERENSİYEL l Moder ileri aalizde f : R R dif.bilir foksiyouu, taım cümlesii herhagi bir z oktasıdaki türevi ( ) : l Df R R z foksiyou matrisi J ( ) lieer foksiyou olarak taımladığıı biliyoruz. Doğal bazları kullaarak, bu f z i asıl taımlaacağıı da bu dersi birici döemide görmüştük. Bu düşüceleri Φ: M M geel dif.bilir foksiyoa geişletmek içi şimdide bir maifoldu her bir oktasıda tajat vektör uzayıı asıl taımlaacağıı göreceğiz. Ayrıca M, M maifoldları

arasıdaki Φ döüşümüe karşılık gele p M oktasıda tajat uzaylar arasıdaki türetilmiş lieer foksiyoları vereceğiz.kavramıa gireceğiz. Kısmi Türevler: x i bir M difbilir maifolduu U taım kümeli bir haritası olduğuu kabul edelim. Bu haritaya ve R üzerideki özdeşlik haritasıa göre taım kümesi V = domf ola f : M R difbilir foksiyou

M f R x I f = IοFο x = Fο x x( U ) F R U V üzeride f = Fοx koordiat gösterimie sahiptir. f : R R foksiyou difbilir ve buu F F f = kısmi türevleri de difbilirdir. Şimdi F, i x: M R i = ο y y,i i foksiyolar taım kümesi U M V ola difbilir foksiyolardır. şeklide taımlayalım. Bu = R ve x de özdeşlik haritası olduğuda böyle foksiyolar kısmi türevler olurlar. Özel olarak R f üzerideki özdeşlik haritası geellikle t ile belirtilecek ve f : R R dif.bilir foksiyo ise, t türevi olacaktır. df dt adi

f Geelde i x koordiatları ile verilmiş foksiyoları kısmi türevlere bezer durumdadır. Mesela bir ( V, x ) haritasıı x, x lokal ( ) f x, x = six + cosx foksiyouu koordiat gösterimi, p V ( ( )) ( ο )( ( )) ( ) F = fοx, F x p = f x x p = f p = si + ( ) cos ( ) x p x p ( )( ) = ( ) ( ( ) ( ( ))) f x, x p F r x p, r x p olduğuda

V x R i i U ο x= x i U R olduğuda ( ( )) si ( ο )( ) ( ) cos( ( ο )( )) F x p = u x p + u x p ( u ( x( p) )) cos u ( x( p) ) = si + ( si u cosu )( x( p) ) = + ( )

( ο ( ), ο ( )) = ( si + cos )( ( )) F u x p u x p u u x p (, )( ( )) = ( si + cos )( ( )) F u u x p u u x p iki foksiyou eşitliği taımıda ( ) F u, u = siu + cosu F F = cosu = si u u u F, x= F x= cos u x = cos x u ( ) ο ο ( ο ) F, x= F x= si u x = si x u ( ) ο ο ( ο ) olur.

{ } E = s s s R Örek: ( si,si ) {( si,si ) 0 } U = s s < s< π ( ) = ( si,si ) = = ( ) x p x s s s y s ( ) ( ) 3 f : E R, f si s,sis = f p = s olduğua göre df dx türevii hesaplayıız. ( ( )) ( ) = = = ( ) ( ο )( ( )) F fοx F x p F y s f x x p = f ( si s,si s) 3 = s 3 3 ( y ( s) ) ( y ) ( s) = =

3 ( F( y ))( s) ( y ) ( s) = F F y = y = y y ( ) ( ), 3( ) F F = 3( ) x y x x y ο = ο 3 ( ο ) = 3 y x = 3( x )

Örek: ( V, x ) haritasıa göre lokal koordiat foksiyoları i x olmak üzere; M x R i i y x x ο = i y R i i f = x : M R foksiyouu kısmi türevlerii hesaplayıız. ( ) i i F = xοx : x U R i i i ( x οx )( x( p) ) = x ( p) = ( yοx)( p) i ( ( )) = ( ο )( ) i F x p y x p F i i i i F y = y, = = δ j j ij y y

Öerme 4... f, g M üzeride reel değerli dif.bilir foksiyolar ve α, β R ise f g α + β = α + β i i i x x x f g fg. =. g+ f. i i i x x x a) ( f g) b) ( ) dir. İspat: ( U, x ) M i bir haritası ve F, G de M i ( U, x ) ve R i (, ) f, g foksiyolarıı koordiat gösterimi olsular. O zama; a) h= α f + β g foksiyouu koordiat gösterimi, ( ) hο x = α f + βg οx R I haritalarıa göre

( ) ( ) H = α fοx + β gοx = α F + βg olur. R i koordiat foksiyoları (,..., ) y y olmak üzere; H F G = j j ( αf + βg) = α + β j j y y y y H h F G οx α οx β = = οx j j j + j y x y y f g j ( α f + βg) = α + β j j x x x buluur.

b) h= f. g olsu. (. ) H = f g οx = ( f οx ).( gοx ) H F G =. G+ F. j j j y y y H F G οx =. G οx F. οx j j + j y y y h F G ο x.( Gοx) ( Fοx). = x j j + ο j y y y f g =. g+ f. j j x x

TANJANT VEKTÖRLER M, -boyutlu dif.bilir maifold ve m M olsu. m M oktasıı taım kümeside kapsaya bütü dif.bilir foksiyoları kümesii F ( m) ile belirtelim. Yai; ( ) = { :, } F m f f M R m domf olsu. O zama f, g F ( m) dom( af + bg ) = domf domg olur. F ( m) ve ab, R içi af + bg F ( m) ve kümesi, f F ( m) içi f + 0 = f olacak şekilde bir tek 0 foksiyouu da kapsar. Bu foksiyoa M üzerideki sıfır foksiyou deir. Fakat, geel olarak f F ( m) içi f + ( f ) = 0 M olacak şekilde f F ( m) foksiyou yoktur. Çükü;

f ( f ) 0 U + = U dir. Bu edele; ( ) ( ) ( ) : F m F m F m ( f g )( p) = f ( p) + g ( p), p domf domg ( ) ( ) λ ( ) : R F m F m R ve f F m içi ( λ )( ) λ ( ), f p = f p p domf

olmak üzere ( ) ( F m,,, R, +,.) lieer foksiyoa F ( m) altılısı bir vektör uzayı değildir. F ( m) üzeride bir lieer operatör deir. üzerideki R- Öerme 4... Λ: F ( m) R bir lieer operatör ve f, g F ( m) komşuluğu üzeride çakışa foksiyolar ise foksiyoları m i bir Λ f =Λ g dir. İspat: f, g F ( m), f = g olacak şekilde m i U komşuluğuu var olduğuu kabul U U edelim. O zama; f f sıfır foksiyou olduğuda; U

( f f ) f ( f ) Λ =Λ Λ = 0 olur. Burada; U U ( 0 { f f }) U =Λ (Λ lieer olduğuda) ( f f ) = 0. Λ U ( ) ( ) Λ f =Λ f =Λ g =Λ g U U buluur.

Taım: ( f. g) ( f ) g( m) f ( m) ( g) Λ =Λ + Λ özelliğie sahip bir lieer operatöre F ( m) üzeride derivasyo deir. Öerme 4..4. de x, M üzeride m M oktasıı kapsaya taım kümeli bir haritaysa; f : F ( m) R, i i ( f ) = i x x x m m m şeklide taımlı kısmi türevler F ( m) üzeride birer derivasyodur.

Öerme 4... Λ, F ( m) üzeride bir derivasyo ve f F ( m) m i e az bir komşuluğu üzeride sabit değere sahip ise Λ f = 0 dır. İspat: f foksiyouu m M i bir komşuluğu üzeride c değerie sahip olduğuu kabul edelim., M üzerideki sabit değerli foksiyou belirtmek üzere Öerme 4... de, f ( c. ) c(.) Λ =Λ (.) = ( Λ.) + ( Λ.) Λ =Λ = Λ (Λ lieer olduğuda) olduğuda Λ = 0 buluur. Bu edele Λ f = 0 buluur. Eğer Λ, Ω F ( m) üzeride derivasyolar ve ab, Rolsu.

aλ+ bω: F ( m) R, ( aλ+ bω )( f ) = a( Λ f ) + b( Ω f ) şeklide taımlı foksiyouda derivasyo olduğu kolayca gösterilebilir. O halde F ( m) üzerideki bütü derivasyoları cümlesi de R-lieer yapıya sahiptir. Yai; bütü derivasyoları cümlesii m TM ile gösterirsek ( TM,,, R, +,.) olur. Bu uzaya m M oktasıdaki tajat uzay deir. F ( m) derivasyoa( TM i m elemaıa) m oktasıda bir tajat vektör deir. m altılısı bir vektör uzayı üzerideki her bir Klasik vektör aalizdeki bezer vektörlere bu açıda bakmak öemlidir. v vektörü 3 R de z oktasıdaki

.( ) f v gradf şeklide taımlı F ( z) F ( z) üzeride bir derivasyo belirler. Aşağıdaki Öerme 4..3 de üzeride bu yolla elde edile derivasyo z oktasıdaki bir tek vektörde ortaya çıkar. Geel hale döersek şimdi TM m tajat uzayıı boyutuu -olduğuu gösterelim. Lemma 4... x, M i x( m) e az bir komşuluğu üzeride f i = a olacak şekildeki bir haritası olsu. f F ( m) ise m i i i ( ) + ( ) f m x a h i i

foksiyouyla çakışacak şekilde h h F ( m),..., foksiyoları vardır. İspat: y = x a ile taımlaa M i bir haritası y olsu. f ο y i taım bölgeside kapsaa orji merkezli B açık yuvarıa kısıtlamışı F olsu. z B içi; d F( z,..., z ) F( 0,...,0 ) = F( sz,..., sz) ds ds 0 = i 0 (,..., ) F sz sz zds i, i = zihi( z,..., z) Hi( z,..., z) = Fi, ( sz,..., sz) ds i 0

buluur. foksiyolardır. H i foksiyoları dif.bilir olduğuda i i h = Hο y istee özelliğe sahip Öerme 4..3. x, verile bir m oktasıı içie ala taım kümeli M i bir haritasıysa i x m ( i =,..., ) TM i m bir bazıdır. İspat: x( m) Öerme 4... de; = a olsu. TM m Λ ise f F ( m) içi Lemma 4..., Öerme 4... ve

i i Λ f =Λ f ( m) + ( x a ) hi i i i i i ( ( x a ))( hi) ( x ( m) a )( hi( m) ) = Λ Λ + i= i= i ( x )( hi ( m) ) = Λ i= özel olarak; Λ= j x m alıarak x ( f ) = ( hi( m) ) = hj( m) j j m i= m x x i ve buu yerie yazarak;

( ) ( ) i i i m f x f x = Λ = Λ veya iki foksiyou eşitliği taımıda; ( ) i i i m x x = Λ= Λ (4..) buluur. O halde i m x vektörleri m TM uzayıı gererler.

0 i i i m a x = = ( ) ( ) 0, i j j i i m a x x j x = = 0, j j i i i m x a a j x = = = olduğuda lieer bağımsızdırlar. O halde i m i x m TM uzayıı bazıdır. i m i x bazıa m TM uzayıı x haritasıyla eşleşmiş Kaoik(Doğal) bazı deir. Eğer y, M i m oktasıı kapsaya taım kümeli bir diğer haritasıysa bu haritayla eşleştirilmiş diğer baz da (4..) eşitliğide;

i x = y y x (4..) m j j i m i= m şeklide verilir. Burada verdiğimiz tajat uzay taımı diğer taımlara göre basit ve adaptasyou daha kolaydır. Daha başka tajat uzay taımları da vardır.

TÜRETİLMİŞ LİNEER FONKSİYONLAR m, φ : M M = olsu. dif.bilir foksiyouu taım kümesii bir oktası ve m φ ( m) ( ) ise f οφ F ( m) ve (, ),(, ) f F m U x V y olmak üzere; m φ M M m f οφ f R

φ M M f R x y f y ο R yοφο x R f οφ i koordiat gösterimi; ( ) ( ) f οφ = fο y ο yοφο x = ( f ) οφ ο x olur. Her bir v T M vektörü f v( fοφ ) = θ ( f ) şeklide m v

( ) ( ) θ : T M R, θ f = v fοφ v m v foksiyou F ( m ) üzeride derivasyodur. Gerçekte; ab, R, f, g F ( m ) içi, ( af + bg ) οφ = a ( f οφ ) + b( gοφ ) ( fg. ) οφ = ( fοφ).( gοφ) olduğuda; (. ) = ((. ) ) = (( ).( )) θv fg v fgοφ v fοφ gοφ (( οφ ))( οφ ( )) ( οφ ( )) ( οφ ) = v f g m + f m v g

v ( f )( g ( m) ) ( f ( m) ) v( g) = θ οφ + οφ θ v ( f ) gm ( ) f( m ) θ ( g) = θ + v O halde θ v, Tm M i bir vektörüdür. Bu vektörü φ ( v) *m v = θ şeklide belirteceğiz. φ * m : TM m Tm M ( ) φ = θ : * v * m v v T M R m ( v)( f ) = ( f ) = v( f ) φ θ οφ *m v şeklide taımlı θ v foksiyou lieerdir. Gerçekte;

( av + bw)( f ) = ( f ) = ( av + bw)( f ) φ θ οφ *m av+ bw ( av + bw) = a ( v) + b ( w) φ φ φ * m * m * m θav+ bw = aθv + bθw ( οφ) bw( f οφ) = av f + ( )( ) φ ( )( ) = aφ v f + b w f * m * m ( aφ* m( v) bφ* m( w) )( f ) = + olur. Buradaki *m φ foksiyoua türetilmiş lieer foksiyo deir. ( ) w= φ v T M *m m olduğuda ve (4..) eşitliğide x, y sırasıyla M ve M i m ve φ ( m) oktalarıdaki haritaları ise

α ( ) ( ) = φ* m = α α = y w v w y φ( m) dir. α α ( ) = φ*m ( )( ) = v( y α οφ ) w y v y olur. Bu edele φ *m lieer foksiyou φ *m i TM i m x haritasıyla eşleştirilmiş bazı üzerie etkisiyle; i x m

α ( y οφ ) ( m ). α φ( ) (4.3.) x x x y φ i * m i = i m m α = m şeklide taımlaır. J φ, φ foksiyouu olmak üzere bu döüşüme karşılık gele matris J x( m) Φ= yοφο x koordiat gösterimii Jakobiaı φ ( ) α ( y οφ ) = i x m Öerme 4.3.. A bir reel vektör uzayı { e,..., e } de herhagi baz olsu. şeklidedir. i x: A R, x α ei = α,..., α i= ( )

şeklideki döüşüm örte olduğuda x( A) R haritadır. {( Ax, )} atlası dif.bilirdir. { e,..., e} = ve diğer bir baz ike; R açık olduğuda (, ) Ax A içi bir ve {(, )} {(, )} y: A R, y α iei = α,..., α i= ( ) A y da diğer dif.bilir atlastır. Bu iki atlası birbirie dekliği gösterilebilir. Bu Ax atlasıyla belli dif.bilir yapıya A vektör uzayı üzerideki stadart dif.bilir yapı deir. a A vektörü içi; J : A T A a a

kaoik izomorfizmii taımlayalım. (t,r) özdeşlik haritası olmak üzere v A vektörü c= α + tv: R A dif.bilir foksiyo belirler. Ja ( v) = c*0 t 0 olarak alalım. y, { e,..., e } stadart bazıa karşılık gele harita olsu. v= ise i= i vei

c T R T A *0 : 0 a α ( y οc) t t t y c*0 = ο 0 0 0 α α = c( ) α ( y οc) = α α = t y 0 α α = ( a + tv ) 0 α α = t y a a O halde; α = v α α = y a

( ) a a L v v y α α α = = olur. i i e e α α α δ = = olmak üzere; ( ) ( ) 0,,..., a i t a L e a tv i t y α α α α = = = + = ( ) 0,,..., i t a i t y α α α δ = = = =,,..., i a i y = =

Öerme 4.3.. A, B kedi stadart didf.bilir stadart yapılarıyla reel vektör uzayları ve φ : A B de dif.bilir foksiyo olsu. Eğer a, φ i taım kümesii bir oktası ise φ TA T Bşeklide lieer foksiyo taımlarız. Bu φ( ) : * a a a ( φ) φ( a) D = L οφ οl A B a * a a : Şeklideki lieer foksiyou verir. Bu foksiyoa a oktasıda φ i türevi deir. { },{ } ei E α sırasıyla A, B vektör uzaylarıı bazları ve x, y de bu bazlarla eşletirilmiş stadart haritalar ise ( Dφ) ( ei) = ( L ( a) οφ* aοla)( ei) a φ

( L ( ) οφ φ a *a ) = i x a φ*a i x a = Lφ ( a) α = L ( a) i ( y οφ )( a φ ) α α = x y α ( y οφ ) ( ) a L i φ( a) = α α = x y = α = α ( y οφ ) ( ) x i a E α φ( a) φ( a)

olur. ( ) a Dφ lieer döüşümüe yukarıda seçile bazlara karşılık gele matris J ( a) Φ= yοφο x l dir. Özel olarak f : R R φ olup dif.bilir foksiyo ise doğal bazları kullaarak ( ) : l Df R R z matrisi J ( ) f z ola lieer döüşümdür. x R + özdeşlik haritası Örek 4.3. deki Lz= z, L : R TR i + + z i z z x z Şeklideki izomorfizmi ve S üzerideki;

{( + ) } + + ( + ) { } u = z,..., z z > 0, u = z,..., z z < 0 i i i i ( ) ( ˆ ) i : θο i : i, i,..., i,..., + =,..., i,..., + x j U R x z z z z z z ( ) ( ˆ ) x : U R, x z,..., z,..., z = z,..., z,..., z ++ i ++ i ++ i i + i + atlasıı alalım. y bu atlastaki ilk haritayı göstermek üzere; σ ( Lz) α ( y οσ ) = z α y i * z z i i, α x z z

y α οσ sıfırıcı derecede homoje foksiyo olduğuda Euler Teoremi de bu vektörü kedisi sıfırdır. Bu edele σ *z i çekirdeği gerilir. TR + z i alt uzayıdır ve z Lz vektörü tarafıda Bütü TM m tajat uzaylarıı birleşimie (m, M üzeride değişirke) tajat demet deir. Bu M maifolduu bütü tajat vektörleride oluşur. TM ( ) π : TM M, π v = m v Tm M bir izdüşüm ortaya çıkarır. φ :M M

dif.bilir foksiyou bir ( ) φ* : TM TM, φ* m v = m = πv şeklide bir foksiyo taımlar. Bu foksiyoa φ foksiyouu diferesiyeli deir. Ψ: M M diğer dif.bilir foksiyo ike Ψ οφ döüşümü de ( Ψ οφ) =Ψ * οφ* dir. *