Lisans Ders Notları. Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi. Konya,

FİZİKSEL JEODEZİ Lisans Ders Notları Yrd. Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi Bölümü Konya, 2006 0-0

1 Giriş 1.1 Jeodezinin Tanımı ve Amacı Jeodezi, üç boyutlu ve zaman değişkenli uzayda, çekim alanı ile birlikte, yeryuvarının ve öteki gök cisimlerinin ölçülmesi ve haritaya aktarılması ile uğraşan bilim dalıdır. Jeodezinin görev alanı; Konum belirleme; yeryuvarının geometrik şeklinin (kara, deniz ve buzul yüzeyinin) belirlenmesi, Yeryuvarının gravite alanının ve dolayısıyla jeoidin belirlenmesi, Yeryuvarının şekli ve gravite alanındaki zamana bağlı değişimlerin izlenmesini kapsar. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 1 A. Üstün

1.2 Yeryuvarının İdeal Şekline İlişkin Arayışlar İnsanoğlu 3000 yıldır yerin ideal şeklini belirlemeye çalışmaktadır Hecataeus un (M.Ö. 550-500) dünya haritası Fiziksel Jeodezi Ders Notları 2 A. Üstün

Yeryuvarının şeklinin ne olabileceğini düşünenler (kronolojik sıra) Thales (M.Ö. 624 546) Anaximender Anaximenes Pythagoras (M.Ö. 550 500) Aristo (M.Ö. 384 322) Archimedes (M.Ö. 287 212) Eratosthenes (M.Ö. 276 194) Posidonius (M.Ö. 135 51) Batlamyus (M.S. 87 151) El-Harizmi (M.S. 800) Kopernik (1473 1543) T. Brahe (1546 1601) J. Kepler (1571 1630) G. Galileo (1564 1642) W. Snellius (1591 1626) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 3 A. Üstün

Küresel yeryuvarı için bilimsel anlamda ilk ölçüm O R ψ R ψ Güneş ışınları İskenderiye G Syene R = G ψ Eratosthenes in (M.Ö. 276-194) yay ölçmesi Fiziksel Jeodezi Ders Notları 4 A. Üstün

1.3 Küre Elipsoit? Yoksa Başka Bir Şey mi? 17. yüzyılda ilk kez triyangülasyon ağı kullanılmaya başlandı ve 1 lik yay uzunluğu ölçümü gerçekleştirildi. 1669 yılında Fransız J. Piccard meridyen yay uzunluğu ölçülerinden yeryuvarının yarıçapını 6 275 km olarak belirledi. Aynı tarihlerde I. Newton ve C. Huygens kutuplarda basık yeryuvarı modelini savunuyorlardı. Astronom J. Richer Fransız Guayanası na (Cayanne) yaptığı yolculukta sarkaçlı saatinin geri kaldığının farkına vardı. Ancak meridyen yay ölçmeleri kutuplarda basık elipsoit modeli yerine ekvatorda basık elipsoit modelini ortaya çıkardı. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 5 A. Üstün

Kutuplarda (solda) ve ekvatorda (sağda) basık yeryuvarı modeli Fiziksel Jeodezi Ders Notları 6 A. Üstün

1.4 Matematiksel Model: Dönel Elipsoit Yeryuvarının kutuplarda mı yoksa ekvatorda mı basık sorusuna cevap bulabilmek için Peru (1.5 enlemi) ve Lapland da (66.3 enlemi) meridyen yay ölçüleri gerçekleştirildi. G b M M G O ϕ ϕ a Farklı enlemlerde meridyen yay uzunluğu ölçümü Fiziksel Jeodezi Ders Notları 7 A. Üstün

1.5 En Uygun Referans Elipsoidi (Geometrik) Delambre (1810) Airy (1830) Everest (1830) Bessel (1841) Clarke (1858,1866,1880) Hayford (1908) - WGS84 GRS66, GRS72, GRS80 En uygun (güncel) a = 6 378 136.7 m 1/f = 298.257 222 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 8 A. Üstün

1.6 Clairaut Teoremi A.C. Clairaut (1738), yay uzunluğu ve gravite ölçülerini, kendi adıyla anılan teoreminde kullanarak elipsoidal yeryuvarı modelinin geometrik ve fiziksel senteze dayalı ispatını yaptı. Bu teorem bir dönel elipsoidin geometrik parametreleri ile gravite değerleri arasındaki ilişkiyi açıklar, başka bir deyişle, elipsoidin basıklığının sadece geometrik parametrelerle değil, fiziksel parametrelerle de hesaplanabileceğini gösterir: a b a + γ b γ a γ a = ω2 b γ a ( 1 + e q 0 ) 2q 0 Burada; a, b sırasıyla elipsoidin büyük ve küçük yarıeksenine; γ a, γ b ekvator ve kutuplardaki normal graviteye karşılık gelir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 9 A. Üstün

1.7 Geometrik Modele Karşı Fiziksel Model Elipsoidal yeryuvarı modeli birkaç yüz km lik alana yayılan nirengi ağlarının değerlendirilmesinde yeterli doğruluğu karşılayabilir mi? Yoksa, yeryuvarının şekli için başka bir tanıma mı gereksinim var? Fiziksel Jeodezi Ders Notları 10 A. Üstün

1.8 Gauss ve Listing in Fiziksel Model İçin Düşünceleri Gauss-Listing jeoidi: Geometrik anlamda yeryuvarının şekli dediğimiz şey, kısmen okyanus yüzeyi ile çakışan ve her noktasında çekül doğrultularını dik açılarla kesen yüzeyden başka bir şey değildir (Gauss, 1828). Daha önce yeryuvarının matematiksel yüzeyinin bir parçası olarak tanımladığımız okyanus yüzeyine bundan böyle yeryuvarının jeoidal yüzeyi ya da kısaca jeoit diyeceğiz (Listing, 1873). Fiziksel Jeodezi Ders Notları 11 A. Üstün

1.9 Yeryuvarının Şekli: Elipsoit ve/veya Jeoit Geometrik model Fiziksel model Fiziksel Jeodezi Ders Notları 12 A. Üstün

1.10 Fiziksel Model ve Yatay Kontrol Ağı Doğrultu-kenar ölçülerinin çekül sapması bileşenleri (ξ = Φ ϕ, η = (Λ λ) cos ϕ) yardımıyla referans elipsoidine indirgenmesi Fiziksel Jeodezi Ders Notları 13 A. Üstün

1.11 Fiziksel Model ve Düşey Kontrol Ağı İlişkisi Gravite gözlemleri yardımıyla, nivelman ölçülerinin çekül eğrisi boyunca ölçülen yükseklik farklarına indirgenmesi Çekül eğrisi P g P g i g j A g A B g B Fiziksel Jeodezi Ders Notları 14 A. Üstün

Jeoit ile çakıştığı varsayılan ortalama deniz düzeyinin başlangıç seçilmesi Fiziksel Jeodezi Ders Notları 15 A. Üstün

Türkiye Ulusal Düşey Kontrol Ağı 1999 (TUDKA-99) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 16 A. Üstün

1.12 Üç-Boyutlu Jeodezi Klasik yöntemle ülke ölçmelerinde, yatay ve düşey kontrol ağları birbirinden bağımsızdır. Yatay ve düşey kontrol ağlarının aynı matematiksel model altında değerlendirilmesi (üç boyutlu jeodezi) Bruns (1878) tarafından önerildi. Ancak, pratiğe geçiş yüzyıl sonra GPS ile sağlanabildi. GPS, yermerkezli koordinat sisteminde üç boyutlu koordinat bilgisini (x, y, z veya ϕ, λ, h) üretmektedir. Üretilen koordinat değerleri tümüyle geometrik, fiziksel bir anlamı yok. Örneğin, h elipsoidal yüksekliği gravite alanından bağımsızdır; bu yükseklik türüyle suyun akış yönü belirlenemez. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 17 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ z P(x, y, z) P(ϕ, λ, h) h z λ ϕ y y x x Fiziksel Jeodezi Ders Notları 18 A. Üstün

1.13 Özetin Özeti: Fiziksel Jeodezinin Problemi Yeryuvarının gravite alanının ve onun eş potansiyel yüzeylerinden biri olan jeoidin belirlenmesi. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 19 A. Üstün

2 Potansiyel Teorisinin Temelleri 2.1 Temel Kuvvetler Kuvvet: Fiziksel bir sistemin değişiminden sorumlu tutulan dış etken. Günümüzde, doğada varlığı bilinen dört temel kuvvet; Atom çekirdeklerini bir arada tutan güçlü-nükleer kuvvet Elektrik yükleri arasındaki elektromanyetik kuvvet Atom çekirdeğindeki radyoaktiviteden sorumlu zayıf-nükleer kuvvet Kitleler arasındaki çekim kuvveti Fiziksel Jeodezi Ders Notları 20 A. Üstün

2.2 Yerçekimi Çekim, kütleleriyle ilişkili olarak cisimlerin birbirlerini kendilerine doğru çekme eğilimi. Kütle çekimi gök cisimlerinin hareket esaslarını açıklar. Çekim kuvveti korunumlu bir kuvvettir ve potansiyel enerji cinsinden ifade edilir. Düşen elmaya da, Yer in etrafında dönen Ay a da etkiyen kuvvet aynı. I. Newton (Principia, 1687) Yerçekimi, evrensel çekim kuvvetinin özel hali. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 21 A. Üstün

2.3 Çekim Kuvveti ve İvmesi Newton un çekim yasasına göre; aralarında l uzaklığı bulunan m 1 ve m 2 kütlelerine sahip iki cisim birbirlerine çekim kuvveti uygular: F = G m 1m 2 l 2 Burada G evrensel çekim sabiti olmak üzere değeri l l (1) G = 6.6742 (±0.0010) 10 11 m 3 kg 1 s 2 (2) ile bilinmektedir. F iki kitle açısından tamamen simetrik olsa da bu kuvvetlerden biri çeken diğeri çekilen kitleler olarak göz önünde bulundurulur. F çekim kuvveti ve l bağıl yer vektörü karşıt yönleri gösterir. Kütle çekim yasası yerçekimine indirgenirse, (1) deki kitlelerden biri birim kitle olarak düşünülebilir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 22 A. Üstün

Bu durumda, yerçekim kuvveti yerçekim ivmesine dönüşür. b = G m l 2 l l (3) (1) ve (3) den çekim etkisinin çeken ve çekilen kitleler arasındaki uzaklığa bağlı olduğu anlaşılmaktadır. Bu nedenle kullanılacak koordinat sisteminin başlangıcı keyfi seçilebilir. Kütle çekimi merkezcil bir kuvvet olduğuna göre, başlangıcı çeken cismin ağırlık merkezinde düşünmek yerinde olacaktır. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 23 A. Üstün

r bir P(x, y, z) noktasının yer vektörü, r Q bir Q(ξ, η, ζ) noktasının (çeken kitlenin) yer vektörü olmak üzere (3) b(r) = G m Q r r Q l 3 = G m Q r r Q r r Q 3 (4) biçiminde yazılabilir (l = p (x ξ) 2 + (y η) 2 + (z ζ) 2 ). b(r) = G m Q r r Q r r Q 3 (5) Yeryuvarının sonsuz sayıdaki diferansiyel kitle elemanından oluştuğu göz önünde bulundurulursa P noktası üzerindeki toplam çekim etkisi, b(r) = db i (r) (6) i olur. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 24 A. Üstün

(6) için karşılık gelen integral eşitliği ZZZ ZZZ r r Q b(r) = G r r Q dm 3 Q = G yeryuvarı z yeryuvarı ρ(r Q ) l dv (7) l3 Q(ξ, η, ζ) dξdηdζ b db P(x, y, z) m = 1 r Q r y x Burada dm Q = ρ(r Q )dv kitle elemanı olup yoğunluğun ve hacim elemanının bir fonksiyonudur. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 25 A. Üstün

2.4 Çekim Potansiyeli Gravite vektör alanı, bir nokta etrafında dönme hareketinden bağımsız; yani irrotasyonel a rot b = b = det i j k x olduğundan bir skaler alan ile gösterilebilir: y z b x b y b z = 0 (8) b = grad V (9) a Rotasyonel: Vektör alanının bir nokta etrafındaki dolanış eğiliminin ölçüsüdür; vektörel bir fonksiyona bağlı vektörel bir fonksiyondur. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 26 A. Üstün

V skaler büyüklüğüne çekim potansiyeli denir ve birim kitleyi sonsuzdan P noktasına getirmek için çekim kuvvetinin yapması gereken iş olarak tanımlanır. Çekim potansiyeli, bir nokta kitle için ve yeryuvarı için V = V (r) = G ile gösterilir. yeryuvarı V = G m l dm l = G yeryuvarı, lim r V = 0 (10) ρ(r Q ) l dv, lim r V = 0 (11) Yeryuvarının yoğunluk dağılımı ρ(r Q ) biliniyor ise, uzaydaki konumu r ile tanımlı bir noktanın çekim potansiyeli (11) yardımıyla hesaplabilir. Ancak, yoğunluk dağılımı, yeryuvarının sadece üst katmanları için yaklaşık olarak tahmin edilebilmektedir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 27 A. Üstün

b, V nin gradyenine eşit b = grad V = V x i + V y j + V x k (12) olduğuna göre (11) in kısmi türevleri çekim ivme vektörünün bileşenlerini vermelidir: ρ(ξ, η, ζ) V (x, y, z) = G dξ dη dζ (13) (x ξ)2 + (y η) 2 + (z ζ) 2 b x = yeryuvarı V (x, y, z) x, b y = V (x, y, z) y, b z = (13) de x, y, z ye bağlı tek fonksiyon 1/l nin kısmi türevleri x 1 l «= x ξ l 3, x 1 l «= y η l 3, z 1 l V (x, y, z) z «(14) = z ζ l 3 (15) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 28 A. Üstün

olduğundan b x, b y, b z için b x = G bulunur. yeryuvarı b y = G yeryuvarı b z = G yeryuvarı ρ(ξ, η, ζ) (x ξ)dξ dη dζ l 3 ρ(ξ, η, ζ) (y η)dξ dη dζ l 3 ρ(ξ, η, ζ) l 3 (z ζ)dξ dη dζ (16) (16), (7) nin bileşenlerinden yani eksenleri üzerine izdüşümünden başka birşey değildir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 29 A. Üstün

2.5 Çekim Potansiyelinin Özellikleri Matematiksel bir fonksiyonun özelliklerinin ortaya çıkarılabilmesi için öncelikle fonksiyonun kendisi ve türevleri incelenmelidir. V = G ρ v l dv eşitliğine göre; sonsuzda (l ) sıfır olmak üzere V tüm uzayda süreklidir. Çekilen noktanın yeryuvarının içinde veya dışında olmasına göre V farklı karaktere sahiptir: Yeryuvarının içinde V = G ZZZ yeryuvarı «ρ dv + 2πGρ R 2 r2 l 3 (17) Yeryuvarının dışında V = G ZZZ yeryuvarı ρ dv (18) l Fiziksel Jeodezi Ders Notları 30 A. Üstün

Yukarıdaki eşitliklere göre; çekim potansiyeli tüm uzayda, sonlu, tek anlamlı ve süreklidir. Fonksiyonun iki ayrı alandaki (yeryuvarının iç ve dış uzayı) birinci ve ikinci türevleri fonksiyonun davranışı hakkında daha fazla ayrıntı ortaya çıkarır. Buna göre birinci türevler de tüm uzayda sürekli fonksiyonlardır: Z V x = G Z V y = G V z = G Z v v v ρ l (x ξ)dv 4 πgρ(x ξ) 3 3 ρ l (y η)dv 4 πgρ(y η) 3 3 ρ l (z ζ)dv 4 πgρ(z ζ) 3 3 (19) da ikinci terimler göz ardı edilirse fonksiyon sadece dış uzay için geçerli olur. (19) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 31 A. Üstün

Fakat ikinci türevler ise sürekli değildir. Çekim potansiyeli yeryuvarının içinde 2 V x 2 = G 2 V y 2 = G 2 V z 2 = G Z Z Z v v v ρ dv + 3G l3 ρ dv + 3G l3 ρ dv + 3G l3 Poisson diferansiyel denklemini Z Z Z v v v ρ l 5 (x ξ)2 dv 4 3 πgρ ρ l 5 (y η)2 dv 4 3 πgρ ρ l 5 (z ζ)2 dv 4 3 πgρ (20) sağlar. V = 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V = 4π Gρ (21) z2 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 32 A. Üstün

İkinci türevler ρ ya bağlı olduğundan yoğunlukta süreksizlik varsa ikinci türevler (dolayısıyla Poisson diferansiyel denklemi de) süreksizleşir. V = 4π Gρ gr/cm 3 14 12 10 8 İç çekirdek PREM yoğunluk modeli Dış çekirdek Manto Dış manto 6 4 2 0 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 km Fiziksel Jeodezi Ders Notları 33 A. Üstün

İkinci türevler yeryuvarının dışında 2 V x 2 = G 2 V y 2 = G 2 V z 2 = G Laplace diferansiyel denklemini Z Z Z v v v Z ρ dv + 3G l3 Z ρ dv + 3G l3 ρ dv + 3G l3 Z v v v ρ l 5 (x ξ)2 dv ρ l 5 (y η)2 dv ρ l 5 (z ζ)2 dv (22) V = 2 V x 2 + 2 V y 2 + 2 V z 2 = 0 (23) sağlar. Burada işareti Laplace operatörü olarak bilinir ve bir fonksiyonun ikinci derece kısmi türevlerinin toplamına karşılık gelir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 34 A. Üstün

2.6 Harmonik Fonksiyonlar V = divgradv = 0 (24) Laplace diferansiyel denkleminin çözümünü veren fonksiyonlara harmonik fonksiyonlar denir. Harmoniklik (24) ün sağlandığı alan ile sınırlıdır. Çekim potansiyeli için bu alan yeryuvarının dışıdır; dolayısıyla V sadece yeryuvarının dışında harmoniktir. Her harmonik fonksiyon aynı zamanda analitiktir. Analitik fonksiyonlar istenen derecede türevi alınabildiğinden Taylor serisine açılabilirler. En basit anlamda P(x, y, z) ve Q(ξ, η, ζ) noktaları arasındaki uzaklığın tersi, harmonik bir fonksiyondur. 1 l = 1 (25) (x ξ)2 + (y η) 2 + (z ζ) 2 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 35 A. Üstün

2.7 Yerçekim Potansiyelinin Küresel Harmoniklere Açınımı Amaç: Laplace diferansiyel denkleminin çözümünü veren (harmonik) fonksiyonları bulmak başka bir deyişle pratikte kullanımı olanaksız olan çekim potansiyelini harmonik fonksiyonlar yardımıyla yakınsak bir seriye açmak Yöntem: Laplace diferansiyel denklemini problemin geometrisine uygun hale getirmek İpucu: Öyle bir koordinat sistemi kullanmalıyım ki, koordinat yüzeyleri problemin (V yeryuvarının dışında harmonik!!!) geometrisine uysun Fiziksel Jeodezi Ders Notları 36 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ 2.7.1 Koordinat Yüzeyleri z z z =sb. düzlemi Z ϑ =sb. konisi x y x X Y y y =sb. düzlemi x =sb. düzlemi r =sb. küresi λ =sb. düzlemi Dik koordinat sistemi (x, y, z) Küresel koordinat sistemi (ϑ, λ, r) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 37 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ 2.7.2 Dik ve Küresel Koordinatlar Arasındaki İlişki z P(x, y, z) ϑ, λ, r = x, y, z x = r sin ϑ cos λ ϑ y = r sin ϑ sin λ (26) r z = r cos ϑ x, y, z = ϑ, λ, r r = p x 2 + y 2 + z 2 λ y ϑ = tan 1 p x2 + y 2 λ = tan 1 y x z (27) x Fiziksel Jeodezi Ders Notları 38 A. Üstün

2.7.3 Laplace Diferansiyel Denkleminin Küresel Koordinatlarla Gösterimi Diferansiyel uzunluk elemanı Dik koordinatlar için: ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 (28) dx = x x x dr + dϑ + r ϑ λ dλ dy = y y y dr + dϑ + r ϑ λ dλ dz = z z z dr + dϑ + r ϑ λ dλ (29) Küresel koordinatlar için: ds 2 = dr 2 + r 2 dϑ 2 + r 2 sin 2 ϑdλ 2 (30) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 39 A. Üstün

Ortogonal bir koordinat sistemi h 11, h 22, h 33 metrik katsayılarıyla oluşturulabilir (ortogonallik koşulu: i j için h ij = 0). Keyfi ortogonal koordinatlar q 1, q 2, q 3 için diferansiyel yay elemanı ds 2 = h 2 11dq 2 1 + h 2 22dq 2 2 + h 2 33dq 2 3 (31) olduğuna göre küresel koordinat sisteminin (q 1 = r, q 2 = ϑ, q 3 = λ) metrik katsayıları dir. Aynı koordinat sisteminde ile gösterilir. h 11 = 1, h 22 = r, h 33 = r sinϑ (32) Alan elemanı da = h 22 h 33 dϑ dλ (33) Hacim elemanı dv = h 11 h 22 h 33 dr dϑ dλ (34) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 40 A. Üstün

Ortogonal koordinat sistemi için Laplace operatörü V = 1 h 11 h 22 h 33» q 1 h22 h 33 h 11 V q 1 «+ q 2 h11 h 33 h 22 V q 2 «+ q 3 h11 h 22 olmak üzere (32) eşitlikleri (35) de yerlerine konursa, küresel koordinatlar için Laplace diferansiyel denklemi V 2 V r 2 + 2 r veya daha sade gösterimiyle V r + 1 2 V r 2 ϑ + cot ϑ 2 r 2 V ϑ + 1 r 2 sin 2 ϑ h 33 V q 3 «(35) 2 V λ 2 = 0 (36) r 2 2 V r + 2r V 2 r + 2 V + cot ϑ V ϑ2 ϑ + 1 sin 2 ϑ 2 V λ 2 = 0 (37) elde edilir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 41 A. Üstün

2.7.4 Laplace Diferansiyel Denkleminin Çözümü ve Küresel Harmonikler V r 2 2 V r 2 + 2r V r + 2 V + cot ϑ V ϑ2 ϑ + 1 2 V sin 2 ϑ λ 2 = 0 Laplace diferansiyel denklemi için değişkenlere ayrıştırma yöntemi kullanılarak bir çözüm bulunabilir. Buna göre çekim potansiyeli r, ϑ, λ bağımsız değişkenli fonksiyonların çarpımı olsun: V (r, ϑ, λ) = f(r)g(ϑ)h(λ) = f(r)y (ϑ, λ) (38) Burada Y (ϑ, λ) = g(ϑ)h(λ) fonksiyonuna küresel yüzey harmonikleri denir. Hatırlatma: Değişkenlere ayrıştırma yöntemi çok değişkenli bir diferansiyel denklemi (bağımsız) adi diferansiyel denklemlere ayrıştırır. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 42 A. Üstün

(38), (37) de yerine konursa ikinci dereceden üç adet adi diferansiyel denklem bulunur: 0 = r 2 f (r) + 2rf (r) n(n + 1) (39) ] 0 = sinϑ g (ϑ) + cosϑ g (ϑ) + [n(n + 1) sinϑ m2 g(ϑ) (40) sinϑ 0 = h (λ) + m 2 h(λ) (41) Bu denklemlerin çözümünden sırasıyla elde edilir. f(r) = r n ve f(r) = r (n+1) (42) g(ϑ) = P nm (cosϑ) (43) h(λ) = cosmλ ve h(λ) = sinmλ (44) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 43 A. Üstün

Bulanan çözümler (38) de yerine konursa, V i (r, ϑ, λ) = V e (r, ϑ, λ) = X n=0 X n=0 r n n X m=0 1 r n+1 (C nm cosmλ + S nm sin mλ)p nm (cos ϑ) (45) nx (C nm cos mλ + S nm sin mλ)p nm (cos ϑ) (46) m=0 küresel harmonik serileri ortaya çıkar. Burada; V i ve V e, V = 0 denkleminin çözümleri olup harmonik fonksiyonlardır. i belirli bir kürenin içindeki harmonik V fonksiyonunu, e ise bu kürenin dışındakini gösterir. Buna göre (46) yeryuvarının dışında harmonik olan çekim potansiyeline karşılık gelir. C nm ve S nm kitle integralleridir ve yeryuvarının yoğunluk dağılımının izlerini taşır (küresel harmonik katsayılar). n [0, 1,2,..., ] açınımın derecesini, m [0, 1,2,...,n] sırasını temsil eder. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 44 A. Üstün

2.7.5 Legendre Fonksiyonları Legendre diferansiyel denkleminin (41) çözümünü veren fonksiyonlara P nm (cosϑ) Legendre fonksiyonları denir. Bunlar küre yüzeyini kuşaklara bölen (n çift ise simetrik, tek ise asimetrik) fonksiyonlardır. Bu anlamda bütünleşik Legendre fonksiyonları küresel yüzey harmoniklerinin önemli bir parçasıdır. t = cosϑ olmak üzere, Rodriques formülüyle P nm = ( 1) m 1 2 n n! (1 t2 m/2 dn+m ) dt n+m (t2 1) n (47) tanımlanırlar. Ancak (47) uygulamaya elverişli bir fonksiyon olmadığından, fonksiyonun sayısal değerlerinin hesabında yineleme bağıntıları kullanılır: P n (t) = 2n 1 tp n 1 (t) n 1 n n P n 2(t) n 2, m = 0 (48) P nm (t) = P n 2,m (t) + (2n 1) p 1 t 2 P n 1,m 1 (t) n 2, m 1 (49) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 45 A. Üstün

1.0 P 0 P n n m P nm (cos ϑ) = P nm (t) 0 0 1 1 0 t 1 1 1 t 2 2 0 (3t 2 1)/2 2 1 3t 1 t 2 2 2 3(1 t 2 ) 3 0 (5t 3 3t)/2 3 1 3 3 2 15(t t 3 ) 1 t 2 (5t 2 1)/2 1.0 0.5 0.5 0.5 1.0 1.0 P 4 P 6 P8 0.5 1.0 P 2 t = cos θ P n 3 3 15 3 1 t 2 4 0 (35t 4 30t 2 + 3)/8 4 1 5t 1 t 2 (7t 2 3)/2 4 2 15(1 t 2 )(7t 2 1)/2 1.0 0.5 0.5 P 5 P 1 P7 0.5 1.0 4 3 105t 3 1 t 2 4 4 105(1 t 2 ) 2 5 0 (63t 5 70t 3 + 15t)/8 5 1 15 1 t 2 (21t 4 14t 2 + 1)/8 5 2 105t(1 t 2 )(3t 2 1)/2 0.5 1.0 P 3 t = cos θ 5 3 105 3 1 t 2 (9t 2 1)/2 5 4 945t(1 t 2 ) 2 5 5 945 5 1 t 2 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 46 A. Üstün

Bütünleşik Legendre fonksiyonları 0 ϑ π aralığında n m kadar işaret değiştirir. Öte yandan cos mλ ve sin mλ fonksiyonları ise 0 λ 2π aralığında 2m kez işaret değiştirir. Dolayısıyla küresel yüzey harmoniklerini oluşturan P nm (cos ϑ) cos mλ ve P nm (cos ϑ) sin mλ çarpımları küre yüzeyini n nin ve m nin alacağı değerlere göre farklı şekillerde böler. Bir önceki şekilde m = 0 durumu gösterilmişti. m 0 olması durumunda ise bu çarpım fonksiyonları küre yüzeyini gözelere (m < n) veya dilimlere (m = n) böler. m = 0 m < n m = n P 9,0 (cos ϑ) P 18,9 (cosϑ) cos9λ P 9,9 (cosϑ) cos9λ Fiziksel Jeodezi Ders Notları 47 A. Üstün

P 4,0 (cos ϑ) P 4,1 (cos ϑ) cos 1λ P 4,2 (cos ϑ) cos 2λ P 4,3 (cos ϑ) cos 3λ P 4,4 (cos ϑ) cos 4λ Y 4 (ϑ, λ) = P 4 (Cnm cos mλ + Snm sin mλ)pnm(cos ϑ) m=0 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 48 A. Üstün

2.7.6 Radyal Bileşenin Geometrik Anlamı Çekim potansiyeli hesaplanacak noktanın yerin merkezine olan uzaklığına bağlı olarak (1/r) n+1 çarpanının etkisiyle gravite alanının eşpotansiyel yüzeylerinde yumuşama gözlenir. Bu yüzeylerin yumuşaklığı r büyüdükçe artar (şekil: Ilk (2004) den). Sonuç olarak yeryuvarının çekim potansiyelinin küresel harmonik açınımı, çekim alanının spektral olarak ayrıştırılmasıdır. Alanın çözünürlüğü 360/n veya konumsal anlamda 20000/n (km cinsinden yarı çözünürlük) ile ifade edilir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 49 A. Üstün

2.8 Küresel Harmonik Modellerin Kullanımı Yeryuvarının çekim potansiyeli için temel eşitlik, (11), ZZZ dm V = V (r) = G. l yeryuvarı Yeryuvarının dışında harmonik bir fonksiyon olan V için küresel harmonik açınım, (46) dan X 1 nx V = (C r n+1 nm cosmλ + S nm sin mλ)p nm (cos ϑ). n=0 m=0 (46) nın (11) yerine kullanılabilmesi için küresel harmonik serinin yeryuvarının fiziksel büyüklükleriyle ölçeklendirilmesi gerekir: V = GM R X n=0 R r «n+1 X n (C nm cosmλ + S nm sin mλ)p nm (cos ϑ) (50) m=0 Burada GM evrensel çekim sabiti ve yeryuvarının kütlesi çarpımını, R yeryuvarının ekvatoral yarıçapını gösterir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 50 A. Üstün

Küresel harmonik (Stokes) katsayılar, C n = 1 ZZZ r n Pn (cosϑ )dm, m = 0 M R 8 < : C nm S nm 9 = ; = 2 M yeryuvarı (n m)! (n + m)! ZZZ yeryuvarı 8 r n < Pn (cos ϑ ) R : cos mλ sin mλ 9 = 9 >= ; dm >; (51) tam normalleştirilmişleri, 8 9 s < = : C nm S nm ; = (n + m)! k(2n + 1)(n m)! 8 < : C nm S nm 9 = ;, k = 8 < : 1 m = 0 2 m 0 (52) ve tam normalleştirilmiş Legendre fonksiyonları, s P nm (t) = k(2n + 1)(n m)! P nm (t), k = (n + m)! 8 < : 1 m = 0 2 m 0 (53) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 51 A. Üstün

2.9 Küresel Karmonik Katsayıların Belirlenmesinde Kullanılan Veri Türleri Gravite alanının spektral özellikleri kullanılacak veri kaynaklarının türünü belirleyen en önemli etkendir. (50) nin maksimum açınım derecesi var olan verilerin çözünürlüğü ve global anlamda dağılımı ile sınırlıdır. Bu anlamda günümüz modellerinin maksimum açınım derecesi genelde n max 360 a kadardır. V = GM R n max n=0 ( R r ) n+1 n (C nm cosmλ + S nm sinmλ)p nm (cos ϑ) (54) m=0 Günümüz yüksek dereceli modellerin oluşturulması için kullanılabilir gravite alanı bilgisi üç kaynaktan gelir: Uydu yörüngelerinin (sapmalarının) analizi Yüzey gravite anomalileri (kara, deniz ve hava araçları dahil) Okyanus ve denizlerde uydu altimetre verileri Fiziksel Jeodezi Ders Notları 52 A. Üstün

EGM96 jeopotansiyel modeli GM = 3986004.415E+8 m 3 /s 2 R = 6378136.3 m EGM96 jeopotansiyel modeline ilişkin bazı katsayılar n m C nm S nm 0 0 1.00000000000E+00 0.00000000000E+00 1 0 0.00000000000E+00 0.00000000000E+00 1 1 0.00000000000E+00 0.00000000000E+00 2 0-4.84165371736E-04 0.00000000000E+00 2 1-1.86987635955E-10 1.19528012031E-09 2 2 2.43914352398E-06-1.40016683654E-06 3 0 9.57254173792E-07 0.00000000000E+00 3 1 2.02998882184E-06 2.48513158716E-07 3 2 9.04627768605E-07-6.19025944205E-07 3 3 7.21072657057E-07 1.41435626958E-06 4 0 5.39873863789E-07 0.00000000000E+00 4 1-5.36321616971E-07-4.73440265853E-07 4 2 3.50694105785E-07 6.62671572540E-07 4 3 9.90771803829E-07-2.00928369177E-07 4 4-1.88560802735E-07 3.08853169333E-07 5 0 6.85323475630E-08 0.00000000000E+00 5 1-6.21012128528E-08-9.44226127525E-08 5 2 6.52438297612E-07-3.23349612668E-07 5 3-4.51955406071E-07-2.14847190624E-07 5 4-2.95301647654E-07 4.96658876769E-08 5 5 1.74971983203E-07-6.69384278219E-07 6 0-1.49957994714E-07 0.00000000000E+00 6 6 9.67616121092E-09-2.37192006935E-07 7 7 1.09185148045E-09 2.44415707993E-08 8 8-1.24092493016E-07 1.20533165603E-07 9 9-4.77475386132E-08 9.66412847714E-08 10 10 1.00538634409E-07-2.40148449520E-08 20 20 4.01448327968E-09-1.20450644785E-08 36 36 4.60146465720E-09-5.94245336314E-09 60 60 4.23068069789E-09 3.92983780545E-10 120 120-4.56798788660E-10-1.59135018852E-09 180 180-4.06572704272E-10-5.87726119822E-10 240 240-2.30780589856E-10-4.60857985599E-11 300 300-5.02336888312E-11-1.01275530680E-10 360 360-4.47516389678E-25-8.30224945525E-11 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 53 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ 3 Yeryuvarının Gravite Alanı Gravite: Yeryüzündeki bir cisme etkiyen yerçekimi ve merkezkaç kuvvetlerinin toplamı z ω g = b + f (55) z P p p f b P Çekül doğrultusu x y x y p g z f x y Fiziksel Jeodezi Ders Notları 54 A. Üstün

ω = 7.292115 10 5 rad/s (56) yeryuvarının sabit açısal hızı olmak üzere, yeryüzündeki P noktasına uygulanan merkezkaç kuvveti (ivme vektörü) ve büyüklüğü f = ω 2 p, f = ω 2 p (57) ile gösterilir. Burada dönen cisim birim kütledir. f kuvvet vektörü p yönündedir, p ise noktanın yeryuvarının dönme eksenine olan uzaklığını tanımlar: p = [x, y, 0], p = x 2 + y 2 (58) Merkezkaç kuvveti, merkezkaç potansiyeli Φ = 1 2 ω2 (x 2 + y 2 ) (59) yardımıyla da elde edilebilir: f = gradφ [ Φ x, Φ y, Φ ] z (60) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 55 A. Üstün

3.1 Gravite (Ağırlık) Potansiyeli ve İvmesi Yeryuvarının gravite alanı olarak tanımladığımız şey çekim ve merkezkaç kuvvetlerinin bileşkesiyle oluşan yerçekimi vektör alanından başka bir şey değildir. Buna göre yerçekimi ya da başka bir deyişle gravite potansiyeli, çekim (11) ve merkezkaç (59) potansiyellerinin toplamına eşittir: W(x, y, z) = V + Φ = G Merkezkaç potansiyelinin laplasiyeni, yeryuvarı dm l + 1 2 ω2 (x 2 + y 2 ) (61) Φ 2 Φ x 2 + 2 Φ y 2 + 2 Φ z 2 = 2ω2 (62) olduğuna göre; gravite potansiyelinin laplasiyeni, tüm uzay için, genelleştirilmiş Poisson denklemini verir. W = 4πGρ + 2ω 2 (63) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 56 A. Üstün

W yerçekim potansiyelinin gradyent vektörü, g = grad W = grad V + grad Φ [ W x, W y, W z ] (64) gravite vektörü olarak adlandırılır. Bu vektörün bilşenleri g x = W x = G x ξ l 3 ρdv + ω 2 x g y = W y = G g z = W z = G yeryuvarı yeryuvarı yeryuvarı y η l 3 z ζ l 3 ρdv + ω 2 y ρdv (65) dir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 57 A. Üstün

Gravite vektörünün büyüklüğüne kısaca gravite, doğrultusuna ise çekül doğrultusu denir. Gravitenin birimi ivme birimidir ve adını Galileo Galilei den alan gal=1 cm s 2 ile ifade edilir. Gravitenin konuma bağlı olarak değişmesinin en önemli nedeni yeryuvarının basıklığıdır. Bu nedenle, ekvatorda, 978 gal kutuplarda, 983 gal değerlerini alır. Yeryüzünde gravite değerleri gravimetre adı verilen aletlerle gözlenir ve gözlemler mikrogal (µ gal = 10 6 gal) düzeyinde yapılabilmektedir. Gravite doğrultusu (çekül ya da düşey doğrultu) ise astrojeodezik yöntemlerle belirlenir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 58 A. Üstün

Mutlak ve bağıl gravimetre Fiziksel Jeodezi Ders Notları 59 A. Üstün

Astrojeodezik yöntemle gravite doğrultusunun (Φ, Λ) belirlenmesi z Çekül eğrisi P W = W P Greenwich meridyen düzlemi g Nivo yüzeyi Yerel astronomik meridyen düzlemi Λ Φ x Ekvator düzlemi y Fiziksel Jeodezi Ders Notları 60 A. Üstün

3.2 Gravite Alanının Geometrik Gösterimi Yeryuvarının gravite alanının geometrik özellikleri, nivo yüzeylerinin ve çekül eğrilerinin geometrisiyle açıklanır. Bu yüzey ve eğriler ailesinin yerel özellikler ise Doğal Koordinatlar ile tanımlıdır. Gravite potansiyeli sabit noktaların oluşturduğu geometrik yüzeye eşpotansiyel veya nivo yüzeyleri denir: W = W(x, y, z) = sabit (66) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 61 A. Üstün

W = W(x, y, z) nin diferansiyeli dw = W x dx + W y olduğuna göre vektör notasyonunda bu eşitlik dy + W z dz (67) biçiminde gösterilebilir. Burada dw = grad W dx = g dx (68) dx = [dx, dy, dz] (69) yer değiştirme vektörüdür. Bu vektör eşpotansiyel yüzey boyunca alınırsa W = sabit olduğundan dw = 0 ve dolayısıyla (68) den olur. g dx = 0 (70) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 62 A. Üstün

(70) den anlaşılmaktadır ki; eşpotansiyel yüzeyin bir noktasındaki gravite vektörünün doğrultusu bu yüzeye diktir. Buna göre eşpotansiyel yüzeyler birbirini kesmeyen ve birbirlerine paralel olmayan yüzeyler olduğundan çekül doğrultuları gerçekte doğru değil uzay eğrileridir ve her noktada eş potansiyel yüzeylerini dik keserler. Bunlara kuvvet çizgileri ya da çekül eğrileri denir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 63 A. Üstün

Yeryüzündeki bir noktadaki gravite vektörü ya da çekül doğrultusu bu noktadan geçen çekül eğrisine teğettir. Aynı şekilde bir nivonun düzeçlenmesiyle elde edilen yatay düzlem bu noktadan geçen eş potansiyel yüzeye teğet düzlem yüzeydir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 64 A. Üstün

Yeryüzündeki noktaların yükseklikleri jeoitten başlayarak çekül eğirileri boyunca ölçüldüğünden, dx bu eğri boyunca alınırsa uzunluğu dh ye eşit olur: dx = dh (71) Bu vektörün doğrultusu g nin aksine dışa doğrudur. Bu durumda iki vektörün skaler çarpımı, g dx = g dh cos180 = g dh (72) çıkar. (68) eşitliği dw = g dh (73) biçimine dönüşür. Bu eşitlik seviye yüzeyleri arasındaki farkı belirlemek için gerekli ölçülerin neler olduğunu açıklar. (73) ün başka bir gösterimi g = W (74) H dir. Bu eşitlikle gravitenin, gravite potansiyelinin düşey gradyentine eşit olduğu sonucu çıkar. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 65 A. Üstün

3.3 Doğal Koordinatlar Φ, Λ,W Gravite vektörünün g = gradw = [W x, W y, W z ] (75) yönü bir P noktasından geçen normal vektöre (başucu vektörüne) terstir ve bu vektör noktanın astro-jeodezik koordinatları ile tanımlıdır: 2 3 cosφcosλ n = 6 4 cosφsin Λ 7 5 (76) sin Φ x Greenwich meridyen düzlemi Λ z Ekvator düzlemi g Φ Çekül eğrisi P W = W P Nivo yüzeyi Yerel astronomik meridyen düzlemi y Fiziksel Jeodezi Ders Notları 66 A. Üstün

Buna göre n ve g vektörleri arasındaki ilişki g = g n (77) ile ifade edildiğinden P noktasının doğal koordinatları Φ = tan 1 W z p W 2 x + W 2 y Λ = tan 1 W y W x W = W(x, y, z) (78) dir. (78) eşitlikleri, yeryuvarının gravite alanının bilinmesi durumunda, GPS vb. yöntemlerle konumu belirlenecek herhangi bir noktanın doğal koordinatlarının doğrudan elde edilebileceğine işaret eder. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 67 A. Üstün

4 Yükseklik Sistemleri Yükseklik denildiğinde, bir yeryüzündeki bir noktanın bir başlangıç yüzeyi ile olan ilişkisi anlaşılır. Bu ilişki fiziksel ya da geometrik esaslara göre kurulabilir. Uygulamada genellikle yerin gravite alanına göre tanımlanmış yükseklik sistemleri kullanılır. Gravite alanı ile ilişkili yükseklik türleri: Jeopotansiyel kot Dinamik yükseklik Ortometrik yükseklik Normal yükseklik Normal-ortometrik yükseklik Fiziksel Jeodezi Ders Notları 68 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ Gravite alanı ile ilişkili olmayan tümüyle geometrik esaslara göre belirlenen yükseklik türü denildiğinde ise genellikle GPS ile elde edilen elipsoidal yükseklikler (h) anlaşılır. z P(x, y, z) P(ϕ, λ, h) h z λ ϕ y y x x Fiziksel Jeodezi Ders Notları 69 A. Üstün

Uygulamada gravite alanı ile ilişkili yükseklik türlerinin geometrik (elipsoidal) yüksekliklere tercih edilmesinin nedeni, fiziksel yasalardır. Başka bir deyişle, su her zaman aşağıya doğru akar; durgun su yüzeyi eşpotansiyel yüzeyin bir parçasıdır. Bu nedenle suyun akış yönünün kontrol altına alınması, altyapı ve mühendislik hizmetlerinin gerçekleştirilmesinde en çok karşılışılan uygulama türlerindendir. Özellikle uzun geçkiler boyunca projelendirilen kanal, boru hattı, tünel gibi mühendislik yapılarının uygulamaya geçirilmesinde anılan bilgiye gereksinim duyulur. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 70 A. Üstün

4.1 Geometrik Nivelman Birbirine yakın iki nokta arasındaki yükseklik farkını ölçme tekniği. Yükselik farkı, nivonun düzeçlenmesinden (yataylanmasından) sonra geri ve ileri mira okumaları arasındaki farka eşittir: dh = r v (79) Teorik olarak bu fark, ancak, mira tutulan noktalardan geçen eşpotansiyel yüzeylerin birbirine paralel kabul edilebilecek kadar noktalarının birbirine yakın olması ve olası nivelman hatalarına karşı gerekli önlemlerin (örneğin nivonun iki miraya eşit uzaklıkta) alınması durumunda doğrudur. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 71 A. Üstün

Yandaki şekle göre A ve B noktalarından aynı eşpotansiyel yüzey geçmektedir. P noktasından geçen çekil eğrisi boyunca nokta ile başlangıç nivo yüzeyi arasındaki uzunluk (diferansiyel yükseklik farklarının toplamı n i=1 dh), dh n genellikle P nin yükseliği olarak algılanır. Şekile dikkat edilirse, farklı yollardan gidildiğinde başlangıç eşpotansiyel yüzey ile P den geçen eşpotansiyel yüzey arasındaki fark aynı olmaz: n dh i i=1 dh i dh 2 dh 1 A n dh i i=1 n i=1 Çekül eğrisi P dh n dh i dh 2 dh 1 dh n B dh i dh 2 dh 1 dh i (80) Bu eşitsizliklerden anlaşılmaktadır ki; nivelman yola bağımlıdır. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 72 A. Üstün

Geometrik (diferansiyel) nivelmanı yoldan bağımsız duruma getirmenin yolu, eşpotansiyel yüzeyler arasındaki farkı yani (73) den dw yi belirlemektir. Mira tutulan iki nokta arasındaki potansiyel farkın bulunması, dw = g dh nivelman ölçüleriyle birlikte gravite gözlemlerinin de yapılmasını gerektirir. Bu durumda (80) g ölçüleri için yeniden düzenlenirse, nereden gidilirse gidilsin P noktasının yüksekliği için aynı sonuç (potansiyel) elde edilir: W A W P = W B W P = n g i dh i = n g i dh i = n g i dh i (81) i=1 i=1 i=1 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 73 A. Üstün

Potansiyel farkları belirlemede, gravite ölçmelerini nivo kurulan her noktada yapmanın imkanı yoktur. Diğer yandan özellikle ülke yükseklik sisteminin oluşturulması gibi durumlarda en yüksek doğruluk istenir. Bu nedenle g ölçüleri için belirli bir sıklık öngörülmelidir. Buna göre gravite gözlemleri yüksekliği istenen nivelman noktalarından başka bunlar arasında eğimin ve nivelman geçkisi yönünün değiştiği yerlerde veya arazi yapısına göre genel olarak düz arazide 2-3 km de bir engebeli arazide 1-2 km de bir çok engebeli arazilerde 0.3-1.2 km de bir ölçülmelidir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 74 A. Üstün A g A g i Çekül eğrisi P g P g j B g B

4.2 Jeopotansiyel Kotlar Bir P noktasından geçen nivo yüzeyinin W P potansiyeli ile jeoidin W 0 potansiyeli arasında kgal metre biriminde verilen potansiyel farka o noktanın jeopotansiyel kotu denir: C P = W 0 W P = P 0 dw = P 0 g dh P g H (82) kgal m fiziksel bir büyüklük olduğundan, yükseklik kavramı için kullanılması gereken uzuluk birimi ile çelişir. Bu nedenle 1 kgal e bölünerek m birimine geçilir. Ancak bu geçiş jeopotansiyel kotun fiziksel niteliklerini ortadan kaldırmaz. Jeopotansiyel kotlar öteki yükseklik sistemleri için temel büyüklüklerdir. 0 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 75 A. Üstün

Fiziksel Jeodezi Ders Notları 76 A. Üstün

4.3 Dinamik Yükseklik Jeopotansiyel kotlar keyfi olarak seçilebilen sabit bir gravite değerine bölünürse m cinsinden uzunluk birimi elde edilir. Bu yolla elde edilen yüksekliklere dinamik yükseklikler denir. Burada sabit gravite değeri için genellikle Helmert in önerisine uygun olarak 45 enlemindeki normal gravite değeri (GRS80 için γ 0 = 980.6199203 gal) alınır. H din = C γ 0 (83) Dinamik yükseklikler jeopotansiyel kotlardan belirli bir ölçek oranında ayrılır. Bu nedenle jeopotansiyel kot ile dinamik yüksekliklerin fiziksel karakterleri aynıdır. Uygulamada nivelman yüksekliklerinin dinamik yüksekliklere dönüştürülmesi genellikle bir dinamik düzeltme terimiyle sağlanır: HAB din = Hdin B = 1 γ 0 Z B A Hdin A = 1 γ 0 (C B C A ) = 1 γ 0 (g + γ 0 γ 0 ) dh = Z B A dh + Z B A Z B A g dh g γ 0 γ 0 dh H AB + B P A g γ 0 γ 0 H (84) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 77 A. Üstün

Fiziksel Jeodezi Ders Notları 78 A. Üstün

4.4 Ortometrik Yükseklik P noktasından geçen çekül eğrisi boyunca ölçülür. Eğrinin jeoidi (W 0 ) kestiği noktanın yüksekliği sıfırdır. Tanımdan anlaşılacağı üzere ideal koşullarda yükseklik farklarının ve gravite ölçülerinin bu eğri boyunca yapılması gerekir. P noktasının jeopotansiyel kotu başka yollardan belirlense bile çekül eğrisi boyunca ortalama g değeri bilinmelidir. Topoğrafik kitlelerin yoğunluğu yaklaşık olarak bilindiğinden bu değerlere belirli varsayımlarla yaklaşmak mümkündür. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 79 A. Üstün

P C P = W 0 W P g H (85) P 0 P noktasının nivelman yolundan bağımsız jeopotansiyel kotu olmak üzere ortometrik yükseklik, ile tanımlanır. Burada, H = C P g g = 1 H H 0 (86) g dh (87) topoğrafik kitleler içerisinde çekül eğrisi boyunca ölçülmesi gereken gerçek gravite değerlerinin ortalamasıdır. Helmert in bu değerin hesabı için öngördüğü varsayım, kendi adıyla anılan ortometrik yükseklik bağıntısını, H = C P g P + 0.0424H ortaya çıkarmıştır. Burada g P gal, H km birimindedir. (88) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 80 A. Üstün

4.5 Normal Yükseklik (86) da g yerine, normal gravite alanındaki karşılığı γ yazılırsa, H N = C P γ (89) P yüzey noktası ile kuasijeoit arasında kalan normal çekül eğrisinin boyu elde edilir. Burada, γ = 1 H N H N 0 γ dh N (90) normal gravite alanının çekül eğrisi üzerinde H N boyunca γ değerlerinin ortalamasıdır. Uygulamada γ değerine, [ γ γ 1 ( 1 + f + m 2f sin 2 ϕ ) ] H N a + HN2 a 2 (91) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 81 A. Üstün

ile herhangi bir varsayıma gerek duyulmaksızın yaklaşılabilir. Bu nedenle ortometrik yüksekliğin aksine, H N varsayımdan bağımsızdır ve uygulamada yaygın olarak kullanılan bir yükseklik türüdür. Normal yükseklik elipsoit yüzeyinden itibaren de gösterilebilir. Bu durumda, nivo elipsoidi başlangıç yüzeyi olmak üzere H N yüksekliklerinin tanımladığı yüzeye tellüroit adı verilir. Fiziksel jeodezide büyük bir öneme sahip Molodenski yaklaşımı tellüroide göre fiziksel yeryüzünün veya bir başka deyişle nivo elipsoidine göre kuasijeoidin belirlenmesini ele alır. Kuasijeoit bir eşpotansiyel yüzey değildir, sadece deniz seviyesinde jeoitle çakışır. İkisi arasındaki fark varsayılan kitle yoğunluğundaki sapmalara bağımlıdır. Genellikle topoğrafya yükseldikçe artar, örneğin Türkiye de yaklaşık 0 30 cm arasında değişir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 82 A. Üstün

Fiziksel Jeodezi Ders Notları 83 A. Üstün

5 Normal Gravite Alanı Jeodezik yeryuvarı modeli yeryuvarının geometrik şeklini ve dış çekim alanını belirlemek için kullanılan referans elipsoididir. Matematiksel özellikleri çok iyi bilinen bir dönel elipsoit geometrik anlamda jeoide, fiziksel anlamda gerçek gravite alanına çok yaklaşan bir referans model olarak tanımlanabilir. Hem geometrik hem fiziksel tanımı yapılmış referans elipsoidine nivo elipsoidi denir ve aşağıdaki dört parametre ile gösterilir: a f GM ω Büyük yarı eksen Basıklık (veya J 2 dinamik şekil faktörü) Yermerkezli çekim sabiti Açısal dönme hızı Fiziksel Jeodezi Ders Notları 84 A. Üstün

Fiziksel Jeodezi Ders Notları 85 A. Üstün

Bir nivo elipsoidinin yeryuvarının gerçek şekline ve gravite alanına ne kadar yaklaştığı, seçilen tanım parametrelerine bağlıdır. Bu nedenle en uygun jeodezik referans sisteminden söz edilebilmesi için bilinen en iyi parametre değerleri kullanılmalıdır. Böylelikle yeryüzünde belirlenmesi istenen jeodezik büyüklükler, bu referans W P (x, y, z)=sb. U 0 = W 0 W 0 jeoit MSL C = H = 0 h H N P ( x, y, z ϕ, λ, h modele göre (ondan olan sapmalar biçiminde) elde edilebilir. Örneğin; C P = W 0 W P ) h yeryüzü ile referans elipsoidi arasındaki sapmayı (geometrik model) N gerçek ve nivo elipsoidi (normal) gravite alanlarının referans eşpotansiyel yüzeyleri arasındaki sapmayı (fiziksel model) ifade eder. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 86 A. Üstün

5.1 Geometrik Parametreler Nivo elipsoidinin geometrik model olarak kullanılabilmesi için sadece iki parametrenin (a ve f) bilinmesi yeterlidir. Bunun dışındaki diğer tüm parametreler bu değerlerden türetilir. b = a(1 f) Küçük yarıeksen E = p a 2 b 2 c = a 2 /b e = p a 2 b 2 /a e = p a 2 b 2 /b Q = c `1 π 2 3 4 e 2 + 45 64 e 4 175 256 e 6 + e 8 11025 16384 R 0 = (2a + b)/3 R s = c `1 2 3 e 2 + 26 45 e 4 100 189 e 6 + 7034 14125 e 8 R v = 3 a 2 b Doğrusal dışmerkezlik Kutup eğrilik yarıçapı 1. dış merkezlik 2. dış merkezlik Çeyrek meridyen uzunluğu Ortalama yarıçap Eşit yüzey alanlı küre yarıçapı Eşit hacimli küre yarıçapı Fiziksel Jeodezi Ders Notları 87 A. Üstün

5.2 Fiziksel Parametreler Nivo elipsoidi yüzeyine karşılık gelen ve jeoidin potansiyeline eşit olduğu varsayılan U 0 = W 0 potansisyeli ve aşağıdaki türetilmiş değerler daha önce verilen dört temel parametre yardımıyla bulunur. U 0 = GM E tan 1 e + 1 3 ω2 a 2 Nivo elipsoidinin normal potansiyeli J 2 = 2 3 f m 3 1 3 f2 + 2 21 J 2n = ( 1) n+1 m = ω2 a 2 b GM γ e = GM ab 3e2n (2n+1)(2n+3) 1 m m 6 γ k = GM a 2 1 + m 3 f = γ k γ e γ e k = bγ k aγ e 1 e q 0 q 0 fm Dinamik şekil faktörü `1 n + 5n J 2 e 2 e q 0 q 0 Kuşak harmonik katsayıları (n > 1) Boyutsuz büyüklük Ekvatorda normal gravite Kutuplarda normal gravite Gravite basıklığı Fiziksel Jeodezi Ders Notları 88 A. Üstün

Yeryuvarı Modeli Tanım parametreleri (GRS80) a = 6378 137 m J 2 = 108 263 10 8 GM = 3986 005 10 8 m 3 s 2 ω = 7292 115 10 11 rad s 1 Geometrik parametreler b = 6 356 752.3141 m E = 521 854.0097 m c = 6 399 593.6259 m e 2 = 0.006 694 380 023 e 2 = 0.006 739 496 775 1/f = 298.257 222 101 Q = 10 001 965.7293 m R 0 = 6 371 008.7714 m R s = 6 371 007.1810 m R v = 6 371 000.7900 m Fiziksel parametreler U 0 = 62 636 860.85 m 2 s 2 J 4 = 2.370 912 219 65 10 6 J 6 = 6.083 470 628 39 10 9 J 8 = 1.426 814 059 72 10 12 J 10 = 1.214 411 052 16 10 14 m = 0.003 449 786 00308 γ e = 9.780 326 7715 m s 2 γ k = 9.832 186 3685 m s 2 f = 0.005 302 440 112 k = 0.001 931 851 353 Fiziksel Jeodezi Ders Notları 89 A. Üstün

Verilen bu değerler, ϕ, λ, h jeodezik koordinatları bilinen bir noktaya ilişkin normal gravite alanı büyüklüklerinin hesabında kullanılır: Küresel koordinatlar cinsinden bir noktanın normal potansiyeli,! U = GM X a 2n 1 J2n P 2n (cos ϑ) + ω2 r r 2 r2 sin 2 ϑ (92) n=1 Elipsoit yüzeyinde normal gravite, γ 0 = γ e 1 + k sin 2 ϕ (1 e 2 sin 2 ϕ) 1/2 (93) h yüksekliğinde normal gravite, γ = γ 0 1 2 a (1 + f + m 2f sin2 ϕ)h + 3 a 2 h2 «Normal yükseklik için ortalama gravite, γ = γ 0 1 1 a (1 + f + m 2f sin2 ϕ)h N + HN2 a 2! (94) (95) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 90 A. Üstün

6 Bozucu Gravite Alanı Gerçek ve normal gravite alanı arasındaki farka bozucu gravite alanı denir ve bu fark genellikle bir noktaya ilişkin potansiyel büyüklükler üzerinden gösterilir: T(x, y, z) = W(x, y, z) U(x, y, z) (96) W nin U dan olan sapma değerleri çok küçük (neredeyse doğrusal) olduğundan, bozucu potansiyelin uygulamadaki önemi büyüktür. Bozucu alanın modellenmesi, (96) ya göre gerçek gravite alanının da belirlenmesi anlamına gelir. Bu amaçla uygulamada gözlenen bazı büyüklükler; yersel gravite anomalileri ( g) çekül sapması bileşenleri (ξ, η) GPS ve nivelmandan elde edilen jeoit yükseklikleri (N) biçiminde sıralanabilir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 91 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ 6.1 Jeoit Yüksekliği P nin gerçek gravite potansiyeli (96) dan W P = U P + T P (97) ile gösterilir. Aynı noktadaki normal potansiyel ise Q ya göre Taylor serisine açılabilir: W = W 0 P Çekül sapması Jeoit U P = U Q + N U Q n Burada n yüzey normali doğrultusu, N = PQ jeoit yüksekliğidir. (98), (97) de yerine yazılır, W P = U Q ve γ Q = U Q n (98) U = W 0 N Q g P Çekül doğrultusu Elipsoit γ Q Elipsoit normali W P = U Q + N U Q n + T P (99) eşitlikleri göz önüne alınırsa, sonucu çıkar (Bruns eşitliği). T = Nγ Q N = T γ Q (100) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 92 A. Üstün

6.2 Yükseklik Anomalisi P noktasından geçen W P ve normal gravite alanında ona eşit U Q yüzeyleri arasındaki PQ uzunluğuna ζ yükseklik anomalisi denir. ilişkisi vardır. Fiziksel yeryüzü boyunca bu şekilde Q noktalarının oluşturduğu yüzeye tellüroit adı verilir; ancak tellüroit bir eşpotansiyel yüzey değildir. P den geçen elipsoit normali boyunca, fiziksel yeryüzütellüroit ve kuasijeoit-elipsoit arasındaki yükseklik farkları birbirine eşittir. Jeoit yüksekliği ile aralarında, N ζ = H N H = g γ γ H (101) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 93 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ P ζ W = W P Yeryüzü Yukarıdaki eşitlikte N yerine h H yazılırsa elipsoit yüksekliğinden normal yüksekliğe geçiş bağıntısı, W = W 0 U = W 0 h Q H N P 0 Q 0 U = U Q = W P H N H ζ N Tellüroit Kuasijeoit Jeoit Elipsoit H N = h ζ (102) elde edilir. γ g farkına ortalama gravite anomalisi, başka bir deyişle Bouger anomalisi ( g B ) adı verilir. H = 0 olması durumunda (101) sıfıra eşit olacağından deniz seviyesinde kuasijeoit ve jeoit çakışır. Dolayısıyla N ve ζ aynı büyüklükte olurlar. Bunun dışında normal ve ortometrik yükseklikler arasındaki fark, topoğrafik yükseklik ve g B ile doğru orantılıdır. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 94 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ U = U P W = W P W = W 0 P γ P Q γ Q H N g P H P 0 g 0 U = U Q = W P Jeoit 6.3 Gravite Anomalisi Yeryüzünde ölçülen g P gravite büyüklüğü ve aynı nokta için normal gravite alanındaki karşılığı γ P arasındaki fark, δg P = g P γ P (103) gravite bozukluğu olarak adlandırılır. Diğer yandan γ Q ya göre hesaplanan gravite anomalisi, g P = g P γ Q (104) gravite alanı belirleme uygulamalarının en temel verisidir. Jeoidin modellenmesi söz konusu ise jeoide indirgenmiş olanı, U = W 0 Q 0 Elipsoit g 0 = g 0 γ 0 (105) γ 0 esas alınır. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 95 A. Üstün

SELÇUK ÜNİVERSİTESİ 6.4 Çekül Sapması Greenwich meridyenine paralel Ekvator düzlemine P λ Λ z ξ Çekül doğrultusu η ϕ Φ Elipsoit normali y P noktasından geçen çekül doğrultusu ve elipsoit normali birim yarıçaplı bir küre üzerinde gösterildiğinde çekül sapmasının iki bileşene sahip olduğu görülür. Elipsoit normalinin küreyi deldiği noktaya göre meridyen ve parallel daire doğrultusundaki çekül sapması bileşenleri olarak adlandırılırlar ve sırasıyla, x paralel ξ = Φ ϕ η = (Λ λ) cosϕ (106) eşitliklerinden hesaplanırlar. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 96 A. Üstün

Çekül sapması bileşenleri günümüz uydu ve konum belirleme teknikleri sayesinde daha kolay belirlenebilmektedir. Bunun için P noktasının GPS yardımıyla ϕ, λ jeodezik koordinatlarını ve astrojeodezik gözlemlerle Φ, Λ doğal koordinatlarını belirlemek yeterli olacaktır. ξ, η cinsinden toplam çekül sapması (çekül doğrultusu ile elipsoit normali arasındaki açı), ve jeodezik azimut α doğrultusundaki bileşeni, bağıntılarından hesaplanır. θ = ξ 2 + η 2 (107) ε = ξ cosα + η sinα (108) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 97 A. Üstün

6.5 Jeodin Belirlenmesi ve GPS Nivelmanı Yeryuvarının gravite alanının belirlenmesi, konum belirleme açısından GPS tekniklerine dayalı ortometrik veya normal yükseklik probleminin çözümü demektir. Günümüzde jeoit belirleme probleminden sıkça söz ediliyor olmasının nedeni, GPS nivelmanı yönteminin klasik nivelman tekniğine seçenek oluşturmasıdır. Belirli bir bölgeyi kapsayan alanda jeoit modeli yeterli doğrulukta biliniyorsa, GPS den elde edilen elipsoidal yükseklikler ortometrik yüksekliklere kolayca dönüştürülebilir: H = h N (109) Fiziksel Jeodezi Ders Notları 98 A. Üstün

6.5.1 Global jeoit modeli Bozucu potansiyel çekim potansiyelinde olduğu gibi yeryuvarının dışında harmonik bir fonksiyondur: T = 0 (110) Dolayısıyla küresel harmonik serilerle gösterilebilir. Uygulamada katsayılar, gerçek gravite alanının katsayıları eksi normal gravite alanı katsayıları biçiminde belirlenir. Katsayıları bu şekilde elde edilen seri (100) de yerine yazılırsa bir noktadaki yükseklik anomalisi, ζ = GM rγ nx max n=2 R r «n X n ( C nm cos mλ + S nm sin mλ)p nm (cos ϑ) (111) m=0 çıkar. (111) ile bulunacak yükseklik anomalisi, N ye oldukça yakındır. Ancak topoğrafyanın yükseldiği yerlerde N nin hesabı için (101) den yararlanılmalıdır. Jeodin bu yöntemle hesabı global jeoit belirleme olarak adlandırılır. Jeoidin doğruluğu modelin derecesine ve modelin oluşturulması aşamasında hesap noktası civarındaki yersel verilerin kullanılıp kullanılmadığına bağlıdır. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 99 A. Üstün

Fiziksel Jeodezi Ders Notları 100 A. Üstün

6.5.2 Bölgesel jeoit modeli Bozucu potansiyel için geliştirilen küresel harmonik seri yüzey integrali, T(ϑ, λ) = R ZZ S(ψ) g dσ (112) 4π biçiminde de gösterilebilir. Stokes (1849) un ortaya koyduğu bu eşitlik, ϑ, λ ile konumu bilinen noktada, tüm yeryuvarına dağılmış g gravite anomalilerinden T nin hesaplanabileceğini söyler. Her g nin T ye ne kadarlık katkı yapacağını S(ψ) Stokes ağırlık fonksiyonu belirler. Katkı oranı, g hesap noktasına yaklaştıkça artar. Bu bilgiler ışığında, yeryüzünde belirli bir bölge, yeterli sıklık ve doğrulukta yersel gravite verisi içeriyorsa, global modele göre daha yüksek çözünürlük ve doğruluğa sahip bölgesel bir çözüm geliştirilebilir. Sonuç olarak (112), Bruns eşitliği sayesinde jeoit yüksekliğine dönüştürülebilir: N = R ZZ S(ψ) g dσ (113) 4πγ 0 Burada g ler jeoide indirgenmiş olmalı, başka bir deyişle jeoidin dışında kitle bulunmadığı varsayılmalıdır. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 101 A. Üstün σ σ

(113) ile bölgesel çözümde aranan sonuca, üç değişik gruptan gelen verilerin ayrı bileşenler olarak değerlendirilmesiyle ulaşılır. Buna göre bölgesel jeoit modeli, bozucu gravite alanının uzun, orta ve kısa dalga boylu katkısından, N = N GP M + N g + N H (114) oluşur. Burada dalga boylarına göre bileşenler, N GP M N g N H Uzun (global jeopotansiyel modelden) Orta (yerel gravite anomalilerinden) Kısa (yerel sayısal arazi modelinden) olmak üzere bozucu gravite alanının farklı spektrumlarını temsil ederler. Veri ve değerlendirme çok büyük oranda gravite anomalilerine dayandığı için yöntem gravimetrik jeoit belirleme adıyla da anılır. Genellikle her ülke kendi jeoit modelini bu yolla belirler ve GPS kullanıcılarının hizmetine sunar. Ülkemizde bugüne değin bu kapsamda TG91, TG99A, TG03, TG05,... modelleri Harita Genel Komutanlığı tarafından üretilmiştir. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 102 A. Üstün

Gravimetrik jeoit modeli belirleme aşamaları Stokes (1849) integrali (global, doğrusal operatör!!!); N = R g S(ψ) dσ 4πγ 0 Stokes integralinin bölgesel ölçeğe indirgenmesi; σ Yok et g R = g g GPM g H Yerine koy N = N GPM + N gr + N H + R 4πγ 0 σ g R S(ψ)dσ + Hesapla Fiziksel Jeodezi Ders Notları 103 A. Üstün

Türkiye Ulusal Jeoidi 2003 - TG03 (Kılıçoğlu vd., 2004) 65000 g (karada) Jeopotansiyel model (EGM96) 197 GPS-nivelman noktası 20000 g (denizde) Sayısal Arazi Modeli (20 20 ) 10 cm doğruluk Fiziksel Jeodezi Ders Notları 104 A. Üstün

6.5.3 GPS-nivelman yöntemiyle (geometrik) jeoit belirleme Büyük ölçekli harita üretimi (halihazır, kadastro vb.) uygulamaları sınırlı bir alanı kapsar. Çoğu kez böyle bir uygulama alanı içerisinde, hem Helmert ortometrik hem de GRS80 elipsodine göre hesaplanmış elipsoidal yüksekliği bilinen noktalar bulunabilir. Doğruluk değerleri yüksek (birkaç cm) böylesi noktalara dayanılarak, analitik bir yüzey fonksiyonuyla gösterilen yerel jeoit modeli oluşturulabilir. Dayanak noktalarının sayısı ve alanın büyüklüğü göz önüne alınarak yüzey modeli, N(x, y) = X a ij x i y j = a 00 + a 10 x + a 01 y + a 20 x 2 + a 11 xy + a 02 y 2 + (115) polinom eşitliği ile gösterilebilir. Genellikle 3. dereceyi geçmeyen yüzey polinomu bu iş için yeterli görülür. Jeoit modelini oluşturmak için yapılması gereken, n sayıda nokta için (115) e göre denklem sistemini oluşturmak ve En Küçük Karelerle (EKK) kollokasyon yaklaşımını uygulayarak a ij katsayılarınnı belirlemektir. Yerel jeoit fazla değişkenlik göstermiyorsa veya alan yeterince küçükse sadece EKK çözümü de yeterli olacaktır. Fiziksel Jeodezi Ders Notları 105 A. Üstün