KALİTELİ İŞ PAYLAŞIMI PROBLEMİ İÇİN BULANIK MANTIK YAKLAŞIMI

İstabul Ticaret Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi Yıl: 5 Sayı:0 Güz 2006/2 s.3-22 KALİTELİ İŞ PAYLAŞIMI PROBLEMİ İÇİN BULANIK MANTIK YAKLAŞIMI Efedi N.NASİBOV*, A. Övgü KINAY** ÖZET Bu çalışmada, işleri işçiler arasıda daha kaliteli paylaştırılması problemi ele alımıştır. Her bir işçii her işi yapabilme yeteeği bulaık ilişki matrisi şeklide verilmektedir. Optimallik kriterleri olarak, tüm atamaları bir araya getirilmiş (aggregatio) yeterlilik derecesii ve esas işçileri toplam meşguliyet derecesii maksimalleştirilmesi kriterleri dikkate alımıştır. Problemi çözümü içi klasik koteyerlere yerleştirme problemii çözümüde kullaıla Best Fit Decreasig (BFD) algoritmasıa bezer heuristik algoritmalar öerilmiştir. Aahtar Kelimeler: Atama Problemi, Bulaık Ilişki, Çok Kriterli Optimizasyo. FUZZY LOGIC APPROACH TO THE PROBLEM OF TASK SHARING IN HIGH QUALITY ABSTRACT I this study, task sharig betwee workers i high quality is examied. Each worker s workig ability of each tasks is take as a fuzzy relatioship matrix. Maximizig the competece value of aggreegated assigmets ad total task loadigs of the staff criteria are take ito cosideratio as optimizig criteria. Heuristic algorithms that are similar to the Best Fit Decreasig (BFD) algorithm which is used for the solutio of the classical bi packig problem are suggested for the solutio of the assigmet problem. Keywords: Assigmet Problem, Fuzzy Relatio, Multi-Criteria Optimizatio. *Dokuz Eylül Üversitesi Fe-Edebiyat Fakültesi İstatistik Bölümü,3560, Buca-İZMİR, efedi_asibov@yahoo.com **Dokuz Eylül Üiversitesi Fe-Edebiyat Fakültesi İstatistik Bölümü,3560, Buca-İZMİR, ovgu.teki@deu.edu.tr

Efedi N. NASİBOV, A. Övgü KINAY I. GİRİŞ Varsayalım ki, sayıda yapılacak p, p2,..., p işleri ve bu işleri yapabilecek m sayıda s, s2,..., sm esas işçileri olsu. Ayrıca ek olarak bir tae s m+ olarak işaretlemiş kiralaa işçiler grubu olsu. Kiralaa işçiler bir grup halide oluşmuş daha fazla sayıda işçi de olabilir. Her bir p işii yapmak içi a > 0 zamaı gerekmektedir (bu zama birimi güler, saatler vb. olabilir). İşler ve esas işçiler arasıda ise C = c, i =,m ; =, şeklide gösterebileceğimiz bulaık ilişkiler mevcuttur. Bu matrisi c [ 0,] elemaı i. işçii. işi yapabilme yeteeğii gösterir. c = 0 olduğuda i. işçii. işi yapma yeteeği yoktur, c = olduğuda ise işçi, bu işi yapma kousuda uzmadır. 0 < c < olması durumu ise aradaki durumları belirtmektedir. Belirli koşulları sağlayarak, işleri, işçilere optimum şekilde atamak gerekmektedir. Her bir işçii yapabileceği toplam iş miktarı vb. lieer koşullar olabilir. Ayı zamada atamış işleri, işçileri uzmalıkla yapabilmeleri gerekmektedir. Yai, atamaları kalitelerii bir araya getirilmesiyle elde edile souç atama kalitesii maksimalleştirilmesi gerekmektedir. Ayrıca ek maliyet gerektirdiği içi kiralaa işçilere atamış toplam iş miktarıı miimalleştirilmesi gerekmektedir. İşleri işçilere atamasıı X = x, i =,m + ; =, matrisiyle gösterelim. Başka deyişle,, eger.is i. isciye atamissa x = (.) 0, aksi halde Atama sırasıda sağlaması gereke kesi kısıtlar aşağıdaki gibidir: a. Her bir esas işçii toplam iş yüklemesi işçii kapasitesii aşmamalıdır. = a x b, i =, m (.2) i Burada b > 0 her bir i. esas işçii yapabileceği toplam iş miktarıı gösterir; m + i= i b. Her bir iş, sadece bir işçiye ataabilir. x =, =, (.3) Optimalleştirilmesi gereke kriterler olarak, tüm atamaları bir araya getirilmiş souç geçerlilik değeri γ ( x) i ve esas işçilere atamış işleri toplam miktarı derecesi ξ (x) i maksimalleştirilmeleri istemektedir, başka deyişle γ ( x) = mi c x max (.4) x = 4

İstabul Ticaret Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi Güz 2006/2 ξ( x) = m i= = a x a = = a x = = m+ a max (.5) Böylece, (.) - (.3) koşullarıı sağlayarak (.4) ve (.5) kriterlerii maksimalleştirmek gerekmektedir. Ayrıca γ ( x) değeri olarak farklı bir araya getirme yötemleri de kullaılabilir (Calvo ve Mesiar, 200; Nasibov ve Nasibova, 2003; Yager, 2003). Bu problem, çok kriterli optimizasyo problemidir. Problemi çözümü içi farklı yötemler kullaılabilir. Bu çalışmada ayrı ayrı kriterler üzerie iki aşamalı optimizasyo tekiği uygulamıştır; başka deyişle aşağıdaki çözüm şeması uygulamaktadır. I. Aşama: ξ ( x) max (.6) (.)-(.3) koşulları sağlaarak (.7) γ ( x ) γ (.8) 0 II. Aşama: γ ( x) max (.9) ξ ( x ) = ξ max (.0) (.)-(.3) koşulları sağlaarak (.) Burada γ 0 değeri, miimum kalite derecesie getirilmiş alt sıır ve ξ max değeri, I. aşamaı souda ξ (x) foksiyouu aldığı maksimal değerdir. Açıktır ki, II. aşama soucuda bulua çözüm, (.) - (.5) problemii pareto optimal çözümü olacaktır. 2. ÇÖZÜM ALGORİTMALARI Nasibov vd. (2004/b) çalışmasıda (.6) - (.8) problemi γ 0 = 0 halide ele alımış ve işçiler maksimum kapasitelerie göre öcede azala sırada sıralaarak çözüm algoritması kullaılmıştır. Bu algoritma aşağıdaki gibidir (Algoritma.a). Algoritma a (I. Aşama) Adım 0. Başlagıç değerler: x = 0, i =,m; =, esas işçileri yeterlilik dereceleri c, i =, m; =, belirleir; işleri yapılma süreleri a, =, belirleir; işçileri maksimum toplam yükleme miktarları b i, i =, m belirleir; esas işçileri boş kala iş miktarları s : b, i =,m ; i = i 5

Efedi N. NASİBOV, A. Övgü KINAY DegMi:=, tüm atamaı souç geçerlilik derecesie başlagıç değer verilir; Adım. İşler, iş miktarlarıı büyüklüğüe göre azala sırada sıralaır. Adım 2. Adım 2.Esas işçiler maksimum yükleme kapasitelerie göre azala sırada sıralaırlar. Adım 3. for := to do begi 6 /* her bir iş sırayla ele alıır*/ Adım 4. for i:= to m do begi /* her bir işçi sırayla ele alıır*/ Adım 5. if a si ad c γ 0 the begi x := ; si = si a DegMi := mi DegMi, c ; Bir soraki iş içi Adım 3 tekrarlaır. ed /* if */ ed /* for i */ ed /* for */ Adım 6. x, i =,m + ; =,, I. Aşama ı souda işleri atama haritasıı ve DegMi tüm atamaı souç geçerlilik derecesii yasıtmış olur. Stop. : ; { } Adım 2. Şimdiki çalışmada öerile algoritmaı Nasibov vd. i (2004/b) çalışmasıdaki algoritmada farkı Adım 2 ve Adım 3 de kayaklamaktadır. Başka deyişle esas işçiler maksimum kapasitelerie göre öcede sıralamamışlardır. Buu yerie her bir iş ele alıdığıda ou yapabilecek işçiler yeteeklerie göre diamik sıralaırlar (Algoritma.b). Algoritma b (I. Aşama) Adım 0. Başlagıç değerler: x = 0, i =, m; =, esas işçileri yeterlilik dereceleri c, i =, m; =, belirleir; işleri yapılma süreleri a, =, belirleir; işçileri maksimum toplam yükleme miktarları b i, i =, m belirleir; esas işçileri boş kala iş miktarları s : b, i =,m ; i = i DegMi:=, tüm atamaı souç geçerlilik derecesie başlagıç değer verilir; Adım. İşler, iş miktarlarıı büyüklüğüe göre azala sırada sıralaır. Adım 2. for := to do begi /* her bir iş sırayla ele alıır*/ Adım 3. İşçiler. işi yapabilme yeteeklerie göre azala sırada sıralaırlar. Adım 4. for i:= to m do begi /* her bir işçi sırayla ele alıır*/ Adım 5. if a si ad c γ 0 the begi x := ; si = si a : ; DegMi mi{ DegMi, } Bir soraki iş içi Adım 3 tekrarlaır. := ; c

İstabul Ticaret Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi Güz 2006/2 ed /* if */ ed /* for i */ ed /* for */ Adım 6. x, i =,m + ; =,, I. Aşama ı souda işleri atama haritasıı ve DegMi tüm atamaı souç geçerlilik derecesii yasıtmış olur. Stop. Algoritma 2 (II. Aşama) I. Aşama souçlarıı daha fazla iyileştirilmesi içi bu çalışmada da Nasibov vd. i (2004/b) işie bezer olarak II. aşama kullaılır. Bu süreçte, işler az yeteekli işçilerde alıarak daha yeteekli işçilere ataır (Tablo ). Tablo. II. Aşama da İşleri Yerlerii Değiştirilmesi Tablosu İşçi İş 2... 0 Boş iş miktarı Maksimum iş miktarı c c 2... c... c 0... c s b 2 c 2 c 22... c 2... c 2 0... c 2 s 2 b 2 M M M M M M M M i c i 0 c i 0 2... c i i 0 0... ci 0 s i 0 0 c 0 M M M M M M M M i c i c i2... c c... c i s i b i M M M M M M M M 0 b i 0 m m c c m 2 c... m... c m 0... cm s m b m m c m m2 İş miktarı a a... 2 c... c m... c m0... c m s m b m a... a 0... a DegMi Adım 0. Giriş değerler: I. Aşamaı souda elde edilmiş atama haritası; esas işçileri yeterlilik dereceleri c, i =,m; =, ; işleri miktarları a, =, ; işçileri maksimal yükleme miktarları b i, i =, m; esas işçileri öceki algoritma soucu boş kala iş miktarları s i, i =, m. Adım. while (REPEAT) do begi 7

Efedi N. NASİBOV, A. Övgü KINAY Adım 2. Esas işçilere verilmiş işler içeriside e az yeteekli işçi buluur; İşaretleir: DegMi:= c mi{ c i =, m; =, : x = } ; i0 0 REPEAT:=false; Adım 3. for i:= to m do begi Adım 4. if i = i 0 the i içi bir soraki iterasyoa geç; Adım 5. for := to do begi Adım 6. if x the içi bir soraki iterasyoa geç; Adım 7. if a + si a ad 0 a + si a ad 0 0 mi{ c i, } 0 c > c the begi 0 i0 0 0 işi i. işçiye, işi i 0 işçisie verilir, yai x : =, x : =, : = 0, : = 0 0 i0 xi 0 x ; 0 REPEAT:=true; Adım başta tekrarlaır; ed /* if */ ed /* for */ ed /* for i */ ed /* while */ Adım 8. x, i =,m + ; =,, işleri souç atama haritasıı ve DegMi tüm atamaı souç geçerlilik derecesii yasıtmış olur. Stop. 3. HESAPLAMA DENEYİMLERİ Algoritma b ve Algoritma 2, C++ algoritmik dilide programlaarak, INTEL PENTIUM IV,.70 GHz, 256 MB RAM işlemcisi ola bir bilgisayarda deemeler yapılmıştır. Deemelerde, c matrisii elemaları [0,] aralığıda, [0.0, 0., 0.2,,.0] değerlerii alabile tesadüfi sayı türeticisiyle oluşturulmuşlardır. İşleri hacimleri ise [,00] aralığıda tam değerler alabile tesadüfi sayı türeticisiyle oluşturulmuşlardır. İşçileri maksimum yükleme miktarları iki şekilde belirlemektedir: bezer maksimum miktarlar ve bezer olmaya maksimum miktarlar. Bezer maksimum miktarlarda m- sayıda b i değeri 4 a 6 a b i,, i =,m - (3.) 0 = m 0 = m aralığıda tesadüfi olarak belirlemiştir. Bezer olmaya durum içi maksimum yükleme miktarları ise 8

İstabul Ticaret Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi Güz 2006/2 i b i 0, a bk, i =,m - (3.2) 2 = k= aralığıda tesadüfi olarak belirlemiştir. Soucu b m maksimum yükleme miktarı ise her iki durumda da m bm = a bi (3.3) 2 i= i= olarak belirlemiştir. Deeyler soucu Tablo 2 ve Tablo 3 de verilmektedir. Deeyleri istatistiksel açıda daha alamlı olması içi tabloları her satırıda ayı verileri içere 200 deey içi iş ve işçi sayıları, işçi/iş oraları ve Algoritma.a ile Algoritma.b ye bağlı olarak II. Aşama soucu iyileştirme gözlemiş deeyleri sayısı verilmiştir. Tablo 2. II. Aşama Soucu Bezer Kapasiteler İçi Elde Edile Souçlar. II. Aşama soucu iyileşmeleri İşleri İşçileri İşçi/İş yüzdesi sayısı sayısı sayısı Algoritma a Algoritma b 50 5 %0 32 9 50 0 %20 53 28 50 25 %50 90 24 50 30 %60 92 2 50 40 %80 9 8 200 20 %0 8 9 200 40 %20 9 5 200 00 %50 8 32 200 20 %60 3 0 200 60 %80 00 400 40 %0 4 8 400 00 %25 44 67 600 60 %0 2 2 600 20 %20 22 8 9

Efedi N. NASİBOV, A. Övgü KINAY Tablo 3. II. Aşama Soucu Farklı Kapasiteler İçi Elde Edile Souçlar. İşleri sayısı İşçileri sayısı İşçi/İş yüzdesi II. Aşama soucu iyileşmeleri sayısı Algoritma a Algoritma b 0 2 %20 5 9 0 4 %40 20 0 6 %60 9 20 2 %0 2 7 20 8 %40 44 22 30 6 %20 26 4 30 2 %40 3 20 50 5 %0 20 7 50 0 %20 2 00 0 %0 6 8 00 5 %5 8 Bezer kapasiteler içi Tablo 2 icelediğide II. Aşama ı her zama belirli bir miktarda iyileştirme yaptığı görülmektedir. İş büyüklüğü 200, 400 ve 600 içi işçi/iş yüzdesi %0 olduğu durumda, hagi Algoritma uygulaırsa uygulası II. Aşama ı yaklaşık ayı sayıda iyileştirme yaptığıı, başka deyişle Algoritma b i beklee faydayı sağlamadığı görülmektedir. Acak işçi/iş yüzdesi arttıkça başka deyişle işçi başıa düşe iş sayısı azaldıkça Algoritma b i daha etki bir şekilde çalıştığıı II. Aşama iyileştirmesii giderek daha az sayıda olmasıda görüyoruz. Ayrıca Algoritma b i Algoritma a ya göre daha az iyileştirmeye gereksiim duyduğuu istatistiksel olarak iceledik. Souç olarak her e kadar ormallik koşulları sağlasa bile veri sayısıı yetersiz olması sebebiyle Wilcoxo işaretli sıra sayıları testi uyguladığıda 0.007 olasılıkla bu soucu gerçekte alamlı olduğuu görüyoruz. Bezer olmaya kapasiteler içi bezer kapasiteler deemeleri ile ayı büyüklüklerde bir çalışma yapılamamıştır. Buu sebebi ise (3.2) ifadesidir. Bu çalışmada tesadüfi sayı türeticisi olarak (3.2) ifadesii kullaılmış olması bezer olmaya kapasiteler sıamasıı kısıtlamıştır. İş büyüklükleri arttıkça veri türetilmesi zorlaşmış ve bir oktada sora mümkü olamaz hale gelmiştir. Bu yüzde daha küçük iş sayısı ve işçi/iş yüzdelikleriyle ilgili deey yapılabilmiştir. Tablo 3 de de görüldüğü gibi bezer olmaya kapasiteler içi de Tablo 2 i souçlarıa yakı souçlar elde edilmiştir. Bu tabloda da iş sayısı 00 olduğuda ve işçi/iş yüzdesi %0 ile %5 içi Algoritma a ı Algoritma b ye göre daha etki olduğuu görüyoruz. Başka deyişle iş sayısıı fazla olduğu durumlarda işçi/iş yüzdesi küçük bir değer ise Algoritma a daha etkidir. Acak diğer deemelerde Algoritma b i kullaılması atama işlemii II. Aşama soucuda daha az iyileştirme sağladığıı gösteriyor. Bezer olmaya kapasiteler içi de ayı şekilde parametrik olmaya 20

İstabul Ticaret Üiversitesi Fe Bilimleri Dergisi Güz 2006/2 istatistiksel test yötemleride Wilcoxo işaretli sıra sayıları testi uyguladığıda 0.0038 olasılıkla Algoritma b i alamlı düzeyde az iyileştirme yaptığıı görüyoruz. Souç olarak tablolarda ve Wilcoxo test istatistikleride de gözüktüğü gibi II. Aşama soucu belirli bir orada iyileşme sağlamıştır. Bu durum özellikle Algoritma a sorası çalışmalarda daha fazladır. Bu çalışmada suula Algoritma b sorası ise II. Aşama da daha az iyileşmeler gözlemektedir. Buu da sebebi Algoritma b i Algoritma a ya göre daha etki çalışmasıdır. 4. SONUÇ Bu çalışmada bulaık yeteek dereceleri göz öüde buludurularak işleri işçilere daha kaliteli paylaştırılması problemi ele alıdı. Öceki çalışmalarda farklı olarak bu çalışmada öerile Algoritma b, her bir işi paylaşımıda işçileri yeteeklerii diamik olarak dikkate almaktadır. Buu soucu iş paylaşımı kalitesi belirli derecede artış göstermektedir. Yapıla deeylerde de II. Aşama da Algoritma 2 i geellikle souçları iyileştirebilmesii yaı sıra Algoritma b sorası daha az iyileştirmeler gözlemiştir. Bu da Algoritma b i çoğu zama iyileştirilemeyecek daha iyi souçlar verdiğii göstermektedir. Öerile algoritmaı zama ve bellek karmaşıklığı bilie FFD ve BFD algoritmalarıa bezerlik göstermektedir (Kim vd, 200; Martello vd, 990; Nasibov, 2004/a). Fakat bu kouu daha ayrıtılı araştırılması iyi olurdu. Daha soraki çalışmalarda, bu tip araştırmalar da yapılabilir. 5. KAYNAKÇA Calvo T., Mesiar R., (200), Geeralized Medias, Fuzzy Sets ad Systems, 24, 59-64. Kim J.-K., Lee-Kwag H., Yoo S.W., (200), Fuzzy Bi Packig Problem, Fuzzy Sets ad Systems, 20, 429-434. Martello S., Toth P., (990), Kapsack Problems: Algorithms ad Computer Implemetatios, J.Wiley. Nasibov E.N., (2004/A), A Algorithm for Costructig a Admissible Solutio to the Bi Packig Problem with Fuzzy Costraits, Jour. of Comp. ad Syst. Sci. It., 43, 2, 205-22. Nasibov E.N., Nasibova R.A., (2003), OWA ad MIN Aggregatio Methods i Fuzzy Bi-Packig Problem, Trasac. of the Natioal Academy of Scieces of Azerbaa, Phus.-Tech. ad Math. Series, 2, 45-50. 2

Efedi N. NASİBOV, A. Övgü KINAY Nasibov E.N., Seol S., Nasibova R.A., (2004/B), A Optimal Task-Assigmet Problem with A Fuzzy Competece Matrix, Automatic Cotrol ad Computer Sciece, 37, 6, 28-40. Yager R.R., (2003), Iduced Aggregatio Operators, Fuzzy Sets ad Systems, 37, 59-69. 22