Kİ KAR ANALİZİ 1 Doç. Dr. Mehmet AKSARAYLI www.mehmetaksarayl K-Kare Analzler OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr. Szn sınıfınızdan 30 kşlk br örnek alınmış ve %65 nn devamlı, %0 snn bazen, ve %15 nn çok az derse geldğ bulunmuştur. Bu sınıfın devam durumunun genel devam durumuna uyduğu söyleneblr m? OLAY : Aynı öğretm üyesnn statstk ders verdğ 3 farklı sınıfta devam durumlarının aynı olup olmadığı araştırılmaktadır. Her üç sınıftan alınan ayrı örneklern sonucu aşağıdak da görüldüğü gbdr. devaml bazen çok az snf1 15 8 3 snf 14 6 4 snf3 6 7 7 OLAY 3: Bu fakültedek devam durumu le geçme notu arasında br lşk olup olmadığı araştırılmak stenmektedr. Fakülte öğrenclernden alınan 100 kşlk br örneğe devam durumları le geçme notları sorulmuş ve aşağıdak elde edlmştr: <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 15 0 10 1 bazen 1 19 5 3 çok az 5 5 3 1
OLAY 1: Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr. Szn sınıfınızdan 30 kşlk br örnek alınmış ve %65 nn devamlı, %0 snn bazen, ve %15 nn çok az derse geldğ bulunmuştur. Bu sınıfın devam durumunun genel devam durumuna uyduğu söyleneblr m? OLAY : Aynı öğretm üyesnn statstk ders verdğ 3 farklı sınıfta devam durumlarının aynı olup olmadığı araştırılmaktadır. Her üç sınıftan alınan ayrı örneklern sonucu aşağıdak da görüldüğü gbdr. devaml bazen çok az snf1 15 8 3 snf 14 6 4 snf3 6 7 7 OLAY 3: Bu fakültedek devam durumu le geçme notu arasında br lşk olup olmadığı araştırılmak stenmektedr. Fakülte öğrenclernden alınan 100 kşlk br örneğe devam durumları le geçme notları sorulmuş ve aşağıdak elde edlmştr: <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 15 0 10 1 bazen 1 19 5 3 çok az 5 5 3 3 K-Kare Testler İy Uyum Test 1. Çokdeğerl kategork ver. Tek br örnek, brden çok lglenlen oran 3. Örnek oranları hakkında varsayılan oranların edlmes Homojenlk Test 1. Tek br kategork değşken. Her gruptan alınan ayrı brer örnek 3. Varsayılan oran yok 4. Br grup çn oranın dğer grup veya gruplar çn de aynı olup olmadığının edlmes Bağımsızlık Test 1. İk kategork değşken. Sadece tek örnek, oranlarla lgl varsayım yok 3. Br kategork değşkenn dğeryle lşkl olup olmadığının edlmes 4
Kİ-KAR TSTLRİ A) Kİ-KAR DAĞILIMI V ÖZLLİKLRİ Örnekleme yoluyla elde edlen rakamların, anakütle rakamlarına uygun olup olmadığı; br başka fadeyle gözlenen değerlern teork( beklenen) değerlere uygunluk gösterp göstermedğ k-kare le tespt edlr. Standart normal değşken Z İ değerlernn; Z X ( ) şeklnde kares alındığında, Z dönüşür. değerlernn dağılımı k-kare dağılımına 5 X tesadüf değşken dağılımından br değer seçlp standart hale dönüştürülür ve ve kares alınırsa X değşkennn dağılımı k-kare dağılımına dönüşür. Normal dağılım gösteren br X tesadüf değşken dağılımından tesadüf ve brbrnden bağımsız olarak k değer seçlsn.seçlen değerler; Z X 1 1 Z X şeklnde standart hale dönüştürülsün. Bu Z değerlernn kareler alınıp toplanırsa elde dlen Z değşken k-kare dağılımı gösterr. N adet 1 Z örnek çn bu prosedür takp edldğnde; Z1 Z Z3... Zn değşken de k-kare dağımı gösterr. 6 3
Br k-kare dağılımı dğer k-kare dağılımlarından serbestlk derecelerne göre ayrılır. Kareler alınıp toplandığında, k-kare dağılımı gösteren bağımsız standart normal değer sayısına serbestlk dereces denr. Br k-kare dağılımının ortalaması, dağılımın serbestlk derecesne ve varyansı, serbestlk derecesnn k katına eşttr. Mesela, serbestlk dereces 10 olan br k-kare dağılımının ortalaması 10 ve varyansı 0 dr. K-kare değşken, sembolü le gösterlr. Br dağılımı dğernden ayırmak çn, bu sembole serbestlk derecesn gösteren br nds ekleneblr. Böylece 1, ve n serbestlk dereceleryle k-kare dağılımı gösteren değşkenler,, ve şeklnde gösterleblr. 1 n K-kare dağılımı sağa çarpıktır ve normalden daha dktr. N büyüdükçe merkez lmt teoremnn br sonucu olarak dklk va asmetr azalır ve dağılım normale yaklaşır. K-kare değerler 0 le arasında değşr. 7 K-Kare Bağımsızlık Test 1. İk kategork değşken. Sadece tek örnek, oranlarla lgl varsayım yok 3. Br kategork değşkenn dğeryle İLİŞKİLİ olup olmadığının edlmes HANGİ OLAY BU TST İL İLGİLİDİR? 8 4
K-Kare Bağımsızlık Test Sık sık karşılaşılan araştırma sorularından br de k değşkenn brbr le lşkl olup olmadığıdır.mesela, br sosyolog okul vasıtasıyla kazanılan eğtm sevyesnn gelrle lşkl olup olmadığını araştırmak steyeblr.br okulda çalışan beslenme uzmanı öğrenclern beslenme uzmanı öğrenclern beslenme sevyelernn akademk performanslarıyla lşkl olup olmadığını blmek steyeblr. İk değşken arasında lşk yoksa, brsnn dağılımı hçbr şeklde dğernn dağılımına bağımlı değlse bu k değşken brbrnden bağımsızdır denr.ik değşken arasında lşk yoksa, belrl br değşkenn değern blmek, dğer değşkenn değern tespte mkan sağlamaz. 1. İk kategork değşken. Sadece tek örnek, oranlarla lgl varsayım yok 3. Br kategork değşkenn dğeryle İLİŞKİLİ olup olmadığının edlmes HANGİ OLAY BU TST İL İLGİLİDİR? 9 Bu fakültedek devam durumu le geçme notu arasında br lşk olup olmadığı araştırılmak stenmektedr. Fakülte öğrenclernden alınan 100 kşlk br örneğe devam durumları le geçme notları sorulmuş ve aşağıdak elde edlmştr: <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 15 0 10 1 bazen 1 19 5 3 çok az 5 5 3 H 0 : Devam yapısı, geçme notu le lşkl değldr. H 1 : Devam yapısı, geçme notu le lşkldr. Bu hpotez n uygulamak çn yne gözlenen ve beklenen arasındak farkların büyüklüğü le lgl K-Kare statstğ kullanılır. Bu statstğ, (k-1)(r-1) serbestlk derecel değeryle karşılaştırılır. (k 1)(r1), Burada k: sütun sayısı, r:satır sayısı 10 5
H 0 : Devam yapısı, geçme notu le lşkl değldr. H 1 : Devam yapısı, geçme notu le lşkldr. O Yne verler br da yer aldığı çn statstğnn hesaplamaları ayrı larla yapılır. Gözlenen <50 50-<70 70-<90 >=90 satr toplam devaml 15 0 10 1 46 bazen 1 19 5 3 39 çok az 5 5 3 15 sütun toplam 9 44 0 7 100 satır toplamıxsutun toplamı beklenen genel toplam Beklenen <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 13.3 0. 9. 3. bazen 11.3 17. 7.8.7 çok az 4.4 6.6 3.0 1.1 11 Gözlenen <50 50-<70 70-<90 >=90 satr toplam devaml 15 0 10 1 46 bazen 1 19 5 3 39 çok az 5 5 3 15 sütun toplam 9 44 0 7 100 Beklenen <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 13.3 0. 9. 3. bazen 11.3 17. 7.8.7 çok az 4.4 6.6 3.0 1.1 O - <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 1.7-0. 0.8 -. bazen 0.7 1.8 -.8 0.3 çok az -.4-1.6.0.0 (O - )^/ <50 50-<70 70-<90 >=90 devaml 0.1 0.003 0.07 1.53 bazen 0.04 0.0 1.01 0.03 çok az 1.7 0.39 1.33 3.6 9.69 1 6
1) H 0 : Devam yapısı, geçme notu le lşkl değldr. H 1 : Devam yapısı, geçme notu le lşkldr. ) O 9.69 3) H 0 reddedlemez (k1)(r1), 3x,0.05 1.59 4) Yorum: %5 hata olasılığı le, devam yapı le geçme notu değşkenlernn lşkl olduğuna dar yeterl kanıt bulunamamıştır. 13 K-Kare İy Uyum Test 1. Çok değerl kategork ver ( den fazla kategors olan kategork değşken). Tek br örnek, brden çok lglenlen oran 3. Örnek oranları hakkında varsayılan oranların edlmes Varsayılan Oranlar Blnen varsayılan oranlar Belrl br ver yapısına uygunluğun edlmes Blnmeyen varsayılan oranlar Belrl br dağılıma uygunluğun edlmes HANGİ OLAY BU TST İL İLGİLİDİR? 14 7
Genelde br statstk sınıfında, öğrenclern %60 ının devamlı, %30 unun bazen, %10 unun se çok az derse geldkler düşünülmektedr. Szn sınıfınızdan 100 kşlk br örnek alınmış ve %65 nn devamlı, %0 snn bazen, ve %15 nn çok az derse geldğ bulunmuştur. Bu sınıfın devam durumunun genel devam durumuna uyduğu söyleneblr m? varsaylan gözlenen oranlar oranlar devaml 0.60 0.65 bazen 0.30 0.0 çok az 0.10 0.15 H 0 : devamlı =0.60, bazen =0.30, çok az =0.10 H 1 : n az br oran varsayılandan farklıdır. 15 H 0 : devamlı =0.60, bazen =0.30, çok az =0.10 H 1 : n az br oran varsayılandan farklıdır. Bu hpotez n uygulamak çn gözlenen ve beklenen arasındak farkların büyüklüğüne bakmak gerekr. Bu farkların mutlak değer ne kadar büyükse, sıfır hpotez hakkında o kadar kuşkuya düşerz. Sıfır hpotez doğruyken ve örnek orta büyüklükteyken (beklenen değerlern ( ) herbr en az 5 se), bu hpotez çn aşağıdak K-Kare statstğ kullanılır: Gözlenen değer O Bu statstğ, k-1 serbestlk derecel değeryle karşılaştırılır. Burada k: kategor sayısıdır. 16 Beklenen değer k1, 8
H 0 : devamlı =0.60, bazen =0.30, çok az =0.10 H 1 : n az br oran varsayılandan farklıdır. O Beklenen değer = örnek hacm x beklenen olasılık = n x p Gözlenen değer = örnek hacm x gözlenen olasılık O = n x r varsaylan oranlar gözlenen oranlar beklenen degerler () gözlenen degerler (O) O - (O - )^ ((O - )^)/ devaml 0.60 0.65 60 65 5 5 0.4 bazen 0.30 0.0 30 0-10 100 3.33 çok az 0.10 0.15 10 15 5 5.50 K-kare = 6.5 17 1) H 0 : devamlı =0.60, bazen =0.30, çok az =0.10 H 1 : n az br oran varsayılandan farklıdır. ) O 6.5 3) H 0 ret! k 1,,0.05 5.99 4) Yorum: %5 hata olasılığı le, en az br oran dğerlernden farklı olduğu çn, bu sınıfın devam durumu, genel devam durumu yapısına uymamaktadır. 18 9
K-Kare Homojenlk Test Homojenlk nde her br anakütleden belrl hacmlerde örnekler çeklr ve bu örneklern belrl br karakterstğ taşımaları bakımından benzer değşm gösterp göstermedklerne karar verlr. 1. Tek br kategork değşken. Her gruptan alınan ayrı brer örnek 3. Varsayılan oran yok 4. Br grup çn oranın dğer grup veya gruplar çn de AYNI (HOMOJN) olup olmadığının edlmes HANGİ OLAY BU TST İL İLGİLİDİR? 19 Aynı öğretm üyesnn statstk ders verdğ 3 farklı sınıfta devam durumlarının aynı olup olmadığı araştırılmaktadır. Her üç sınıftan alınan ayrı örneklern sonucu aşağıdak da görüldüğü gbdr. devaml bazen çok az snf1 15 8 3 snf 14 6 4 snf3 6 7 7 H 0 : sınıf1 n devam yapısı = sınıf nn devam yapısı = sınıf3 ün devam yapısı H 1 : n az br sınıfın devam yapısı dğerlernden farklıdır. Bu hpotez n uygulamak çn yne gözlenen ve beklenen arasındak farkların büyüklüğü le lgl K-Kare statstğ kullanılır. Bu statstğ, (k-1)(r-1) serbestlk derecel değeryle karşılaştırılır. Burada k: kategor sayısı (sütun sayısı), r:grup sayısı (satır sayısı) 0 (k1)(r1), 10
H 0 : sınıf1 n devam yapısı = sınıf nn devam yapısı = sınıf3 ün devam yapısı H 1 : n az br sınıfın devam yapısı dğerlernden farklıdır. O Fakat bu sefer verler br da yer aldığı çn statstğnn hesaplamaları ayrı larla yapılır. Gözlenen devaml bazen çok az satr toplam snf1 15 8 3 6 snf 14 6 4 4 snf3 6 7 7 0 sütun toplam 35 1 14 70 satır toplamıxsutun toplamı beklenen genel toplam Beklenen devaml bazen çok az snf1 13 7.8 5. snf 1 7. 4.8 snf3 10 6 4 6x14 70 1 Gözlenen devaml bazen çok az satr toplam snf1 15 8 3 6 snf 14 6 4 4 snf3 6 7 7 0 sütun toplam 35 1 14 70 Beklenen devaml bazen çok az snf1 13 7.8 5. snf 1 7. 4.8 snf3 10 6 4 15-13= O - devaml bazen çok az snf1 0. -. snf -1. -0.8 snf3-4 1 3 (O - )^/ devaml bazen çok az snf1 0.31 0.01 0.93 snf 0.33 0.0 0.13 snf3 1.60 0.17.5 5.93 11
1) H 0 : sınıf1 n devam yapısı = sınıf nn devam yapısı = sınıf3 ün devam yapısı H 1 : n az br sınıfın devam yapısı dğerlernden farklıdır. ) O 5.93 3) H 0 reddedlemez (k1)(r1), x,0.05 9.49 4) Yorum: %5 hata olasılığı le, sınıfların devam yapısının brbrnden farklı olduğu söylenemez. 3 1