DERS 3 Doğrusl Fonksionlr Qudrtic Fonksionlr Polinomlr 3. Bir Fonksionun Koordint Kesişimleri(Intercepts). Bir fonksionun grfiğinin koordint eksenlerini kestiği noktlr o fonksionun koordint kesişimleri (intercepts) denir. Grfiğin -eksenini kestiği noktlr fonksionun -kesişimleri (-intercepts) vrs -eksenini kestiği nokt d -kesişimi (-intercept) denir. -kesişimleri : f() 0 oln ( 0) noktlrı. -kesişimi : Vrs ( 0 f(0)) noktsı. -kesişimi f() -kesişimleri 3.. Doğrusl Fonksionlr(Liner Functions). m ve reel sılr m 0 olmk üzere f() m denklemi ile tnımlnn fonksion ir doğrusl fonksion (liner function) denir. Her doğrusl fonksionun tnım kümesi ve görüntü kümesi R dir. f() fonksionu ir doğrusl fonksiondur: m ve 0. Her doğrusl fonksion f() fonksionun zı elemnter trnsformsonlr ugulnrk elde edileilir. Bu nedenle her doğrusl fonksionun grfiği ir doğrudur. m m (0) (00 (00 m (00 m
Dolısıl ir doğrusl fonksionun grfiğini çizmek için iki frklı noktsını elirlemek eterlidir. Özel olrk koordint kesişimlerinin elirlenmesi grfik çizimi için rrlı olur. Örnek. f() 4 doğrusl fonksionunun grfiği: Koordint kesişimleri -kesişimi : f() 0 - olduğundn (- 0). -kesişimi : (0 f(0)) (0 4). (0 4) f() 4 (- 0) 3.3. Sit Fonksion(Constnt Function). her hngi ir reel sı olmk üzere f() denklemi ile verilen ni her reel sısın nı reel sısını krşılık getiren fonksion sit fonksion denir. Sit fonksionun grfiği ir t doğrudur: (-) (0) () f()
3.4. Düzlemde Doğrulr. Yukrıd her doğrusl fonksionun ve her sit fonksionun grfiğinin ir doğru olduğunu gördük. Aşğıd göreceğiz ki her t doğru (horizontl line) ir sit fonksionun ve her eğik doğru (inclined line) d ir doğrusl fonksionun grfiğidir. Bu rd dike doğru (verticl line) lrın d denklemini elirleeceğiz. (0) () () (0) Yt Doğru : Dike Doğru : Fonksion değil! Dike doğru deimi erine düşe doğru deimi de kullnılır. ( ) d ( ) ( ) (0) Eğik Doğru Şekilde görülen enzer dik üçgenlerin dik kenrlrının ornlrı nı olcğındn 0 m Bu ornlrın ortk değeri oln m sısın d doğrusunun eğimi (slope) denir. Bu eşitlikler-
den şğıdki denklemler elde edilir: m m Eğim -Kesişim Denklemi (Slope - Intercept Form) ( m m ) Nokt-Eğim Denklemi (Point-Slope Form) Bir () noktsının d doğrusu üzerinde olmsı için gerek ve eter koşul o noktnın u denklemlerden irini sğlmsıdır. Eğimi ve - kesişimi ilinen ir doğrunun denklemi m denklemi ile verilir. Eğimi ve - kesişimi ilinen ir doğrunun denklemi m( ) denklemi ile verilir. İki noktsı ilinen ir doğrunun denklemi de nokt-eğim denklemi olrk zılilir. Söz konusu iki nokt ( ) ( ) ise doğrunun eğiminin m olduğunu ilioruz. Noktlrdn iri ve eğim kullnılrk denklem elde edilir. Örnekler. Şimdi doğru denklemlerine örnekler verelim. Eğimi m 3 ve kesişimi 4 oln doğrunun denklemi: Eğim Kesişim Denklemi: 3 4. Eğimi m 3 oln ve (- 3) noktsındn geçen doğrunun denklemi: Nokt Eğim Denklemi: 3 ( ( )) 3 3 9. (- 3) ve ( 4) noktlrındn geçen doğrunun denklemi : Bu doğrunun eğimi 4 3 m ( )) olcğındn (- 3) noktsı kullnılrk 3 ( ( )) 3 3 3 3 denklemi elde edilir.
3.5. Doğrusl Denklemler. A B ve C reel sılr A ve B den en z iri sıfırdn frklı olmk üzere A B C denklemine ir doğrusl denklem (liner eqution) denir. A ve B e u denklemin ktsı (coefficient) lrı C e de sğ trf siti (right hnd side constnt) denir. ve semollerine u denklemin değişkenleri (vriles) denir. Bundn önceki çlışmlrımız ir doğrusl denklemin grfiğini elirlememize rdımcı olur: 3.6. Kudrtik Fonksionlr. ve c reel sılr 0 olmk üzere f() c denklemi ile verilen fonksion ir kudrtik fonksion (qudrtic function) denir. Bzı kitplrd kudrtik sözcüğü erine kresel sözcüğü de kullnılır. Kree tmmlm denilen işlemle ve son ifdede zılrk her kudrtik fonksion k h f ) ( ) ( içimine dönüştürüleilir. Vrıln sonucu özetleelim: B C B A B A 0 0 doğrusl fonksion eğik doğru B C B A 0 0 sit fonksion t doğru A C B A 0 0 fonksion değil düşe doğru c c f ) ( c c 4 4-4 c k h 4 ) ( c f c k h 4 ( ) k h f ) (
Son ifdeden görüoruz ki her kudrtik fonksion kre fonksionun elemnter trnsformsonlr ugulnrk elde edileilir. Dolısıl kudrtik fonksionun grfiği de nin grfiğinin kdırılmsı -ekseni etrfınd nsıtılmsı ve üzülüp gerilmesile elde edilir. Kudrtik fonksionun grfiği prol (prol) olrk dlndırılır. ( h) ( h) ( h) k Sğ ve sol km Germe üzme ve nsım Yukrı ve şğı km (hk) noktsı prol üzerindedir ve u nokt prolün köşesi (verte) denir. Şimdi > 0 h > 0 k > 0 olmsı durumund f() c nin grfiğini çizelim : h k c 4 olduğunu unutmlım. ( h) ( h) ( h) k Sğ km (-h < 0 ) Germe ve üzme Yukrı km (k > 0 ) (hk) (h0) (h0) f nin minimum değeri f(h) k
< 0 h > 0 k > 0 olmsı durumund f() c nin grfiği: olduğunu unutmlım. h k c 4 ( h) ( h) ( ) ( h) k Sğ km (-h < 0 ) Germe ve üzme Yukrı km (k > 0 ) (h0) (h0) (hk) f nin mksimum değeri f(h) k Örnek. f() 0.5-6 kudrtik fonksionunun grfiği: 0.5 6 c h 6 6 k c 4 36 3 f ( ) 0.5 6 0.5 ( - 6) 3 (0) -kesişimi : YOK -kesişimi : f (0) (0 ) Köşe : (6 3) Yukrı doğru çıln prol ( > 0) (63)
Örnek. f() - 6-4 kudrtik fonksionunun grfiği: 6 c 4 h 6 4 56 4 k c 4 8 4 8 f ( ) 6 4 ( - 4) 8 (48) -kesişimleri : f () 0-6 4 0 6 ( 0) (6 0) (6 0) -kesişimi : f (0) - 4 (0-4) ( 0) Köşe : (4 8) (0-4) Aşğı doğru çıln prol ( < 0) Kudrtik fonksionlrl ilgili ilgileri özetleelim: f ( ) c h k c f ( ) ( h) k 4 f nin grfiği köşe noktsı (h k) oln proldür. f nin -kesişimi (0 c ) noktsıdır; -kesişimleri c 0 denklemi çözülerek elirlenir. Eğer > 0 ise prol ukrı doğru çılır ; f nin minimum değeri f(h) k ve değer ölgesi [k ) dur. Eğer < 0 ise prol şğı doğru çılır ; f nin mksium değeri f(h) k ve değer ölgesi (- k] dır. Ugulm. Bir firmnın gelir ve gider fonksionlrı milon det ürün için ( 94.8 5) C( ) 56 9.7 5 R( ) in YTL olrk verilior. R ve C nin grfiklerini nı koordint düzleminde çizerek şğıdki sorulrı nıtlınız: ) Gelir ve giderin eşit olduğu sılrını en kın inliğe tmmlrk ulunuz. ) Kâr edilen ve zrr edilen ölgeleri ve en üük kârı elirleiniz.
Çözüm. Gelir fonksionu ( 94.8 5) 5 94.8 5( 9.48) 5(9.48) 5 R( ) 5 94.8 c 0 h 9.48 k 5( 9.48) içiminde ifde edileilen kresel fonksiondur. Gider fonksionu d ir doğrusl fonksiondur ve grfikler şöledir: R() 94.8 5 89.8 R( ) 5( 9.48) 5. ( 9.48) 5 R 5 5 94.8 75 97 5 94.8 c 0 h 9.48 k 5 C( ) 56 9.7 5 ( 9.48) C C R ( ) ( ) () 75.7 ( 5) 45.5 ( 9.48) 449. 35 500 (in) gelir gider 50 zrr kâr zrr.490 9.48.530 5 (milon) Kâr fonksionun klım: P P ( ) R( ) -C( ) 5 9.48 56 9.7 ( ) 5 75. 56 5( 7.5) 6. 0005 5 75. c 56 h 7.5 k 6.0005 Mksimum kâr : 6 000.500 YTL. P ( h) P( 7.5) 6. 0005
3.7. Polinom Fonksionlr. Prtikte krşılşıln fonksion türlerinden iri de polinom fonksionlrdır. 0... n reel sılr olmk üzere f ( ) n n n n L 0 denklemi ile verilen fonksion ir polinom fonksion denir. 0... n sılrın u polinom fonksionun ktsılrı denir. f ( ) n n n n L 0 ifdesinde n 0 ise f nin derecesi n dir denir. Dh önce zı polinom fonksionlrı ele ldığımızı nımsınız. f ( ) Sit fonksion f ( ) Doğrusl fonksion ( 0) f ( ) c Kudrtik fonksion ( 0) 3 f ( ) c d Küik fonksion ( 0) Doğrusl fonksionun derecesi kudrtik fonksionun derecesi küik fonksionun derecesi 3 tür. Her polinom fonksionun tnım kümesi tüm reel sılr kümesi R dir. grfiği kesiksiz(sürekli) dir ve hiç sivri köşe ulundurmz. Bir grfikte kesiklilik(süreksizlik) ve sivri köşe vrs o grfik ir polinom fonksionun grfiği olmz. 3.8. Rsonel Fonksionlr. n() ve d() polinom fonksionlr olmk üzere f ( ) ( ) ( ) n d d ( ) 0 ile tnımlnn fonksion ir rsonel fonksion denir. n() ve d() polinomlrın sırsıl u rsonel fonksionun pı ve pdsı denir. n( ) f ( ) ifdesinde d( ) n( ) d( ) kesrinin sdeleştirilmiş olduğu kul edilir.
Pı n() ve pdsı d() oln ir rsonel fonksionun tnım kümesi kümesidir. { : d() 0 } Örnek. dur. f ( ) rsonel fonksionun klım. Bu fonksionun tnım kümesi { : 0 } R\{-} (- -) (- ) -kesişimi : ( 0) -kesişimi : (0 -) 3 3 - e soldn klşırken gider. - - için. - e sğdn klşırken - gider. - için -. - ve klşırken e klşır. - ve için. Bu fonksionun grfiği şğıd gösterilmiştir. t simtot - (0) (0-) düşe simtot -
3.9. Asimtotlr. n( ) f ( ) rsonel fonksionu verilmiş olsun. d( ) d() 0 oln her için doğrusun f nin ir düşe simtotu (verticl smptote) - ve için oln her için doğrusun f nin ir t simtotu (horizontl smptote) denir. Örnek. ( 3 f ) rsonel fonksionun klım. 4 düşe simtot : 4 0 -. t simtot : - ve için 0 0 - - ve - için - - ve için Bu rsonel fonksionun grfiği şğıd verilmiştir. İleride u tür grfikleri çizmek için dh elverişli öntemler göreceğiz. - 3 4
3.0. Ugulm (Meslek içi eğitim). Bilgisr üreten ir firm t gün iş şınd eğitim görmüş ir teknisenin günde monte ettiği ilgisr sısı N(t) ile gösterilirse N 50t t 4 () t t 0 olrk gerçekleştiğini görüor. N(t) nin grfiğini çiziniz ve orumlınız. düşe simtot : t 4 0 t -4. t simtot : t - ve t için 50 50 t - 4 - için t - 4 için - Biz grfiğin t 0 oln kısmı ile ilgileneceğiz. 50-4 t Eğitim süresi rttıkç monte edilen ilgisr sısı d rtr. Anck elli ir süreden sonr u rtış çok vşlr; monte edilen ilgisr sısı dim 50 den zdır.
Prolemler 3. Aşğıdki denklemlerin her irinin grfiğini çiziniz: ) 3 ) c) 3. Aşğıd denklemi verilen her ir doğrunun eğimini ve -kesişimini (-intercept) ulunuz: ) 3 ) c) 3 3. Verilen eğim ve -kesişimine ship oln doğrunun denklemini zınız ve grfiğini çiziniz: ) eğim - -kesişimi 4 ) eğim - 3 -kesişimi - c) eğim -kesişimi - d) eğim - -kesişimi 4. Aşğıd her şıkt ir doğrunun eğimi ve geçtiği ir nokt verilmiştir. Doğrunun denklemini m içiminde zınız: ) m -3 nokt (-4 ) ) m - nokt (-3 ) c) m 3 nokt (-6-5) d) m 3 nokt (-5-6) 5. Verilen iki noktdn geçen doğrunun denklemini önce m sonr A B C içiminde zınız: ) ( 3) (7 5) ) (-5 -) (5-4) c) (0 ) ( 3 )
6. Eğer P YTL r fiz ornı ile t ıl nkd tutulurs t ıl sonund ulşcğı değer A P r t P olur. (Burd r ondlık kesir olrk düşünülmektedir. Örneğin fiz ornı % 6 ise r 0.06 dır ve 00 YTL % 6 dn t ıl fizde klırs ulşcğı değer A 6 t 00 YTL olur.) ) 00 YTL % 6 fizle 5 ıl sonund kç YTL olur? 0 ıl sonund kç YTL olur? ) A 6 t 00 ün 0 t 0 için grfiğini çiziniz. c) Grfiğin eğimi nedir? 7. Rdo üreten ir firmnın günlük giderinin üretilen rdo sısının doğrusl fonksionu olduğu ilinmektedir. Firmnın günlük 00 $ sit gideri vrdır ve eğer ir günde 0 rdo üretirse o günkü toplm gideri 3 800$ olmktdır. Firmnın günde det rdo üretmesi durumund günlük toplm gideri C() ile gösterilior. ) C() i ulunuz.. ) Günde rdo üretilmesi durumund toplm gider nedir? c) Gider fonksionunun 0 0 için grfiğini çiziniz. 8. Aşğıdki kudrtik fonksionlrdn her iri için grfik çizmeden (i) koordint kesişimlerini(intercepts) (iii) mksimum ve minimumunu (ii) köşe noktsını (iv) değer kümesini ulunuz: ) f ( ) ( ) ) m ( ) ( 3) 4 c) r ( ) 0 d) f ( ) 8 6 e) m ( ) 3 8 5 f) r ( ) 3 0 9. Bundn önceki lıştırmd verilen kudrtik fonksionlrın grfiklerini çiziniz. 0. Aşğıdki rsonel fonksionlrdn her irinin (i) koordint kesişimlerini ulunuz (iii) t ve düşe simtotlrını ulunuz (ii) tnım ölgesini elirleiniz (iv) grfiğini çiziniz ) f ( ) ) 3 f ( ) c) 4 f ( ) 4