T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI LÜTFİ AKIN DOKTORA TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MATEMATİK PROGRAMI DANIŞMAN YRD. DOÇ. DR. YUSUF ZEREN İSTANBUL, 204

T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI Lütfi AKIN tarafıda hazırlaa tez çalışması. /./. tarihide aşağıdaki jüri tarafıda Yıldız Tekik Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matematik Aabilim Dalı da DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Tez Daışmaı Yrd. Doç. Dr. Yusuf ZEREN Yıldız Tekik Üiversitesi Jüri Üyeleri Yrd. Doç. Dr. Yusuf ZEREN Yıldız Tekik Üiversitesi Prof. Dr. İsmail TOK İstabul Aydı Üiversitesi Prof. Dr. Ömer GÖK Yıldız Tekik Üiversitesi Doç. Dr. Neci ŞİMŞEK İ. Ticaret Üiversitesi Doç. Dr. Erdal GÜL Yıldız Tekik Üiversitesi

Bu çalışma, Yıldız Tekik Üiversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordiatörlüğü ü 204-0-03-DOP0 umaralı rojesi ile desteklemiştir.

ÖNSÖZ Hardy oeratörü üzerideki çalışmalarda so zamalarda öemli derecede artış görülmektedir. Bir çok yazar Hardy oeratörüü sıırlılığı, limit durumu, komaktlığı vs. kousuda çok sayıda makale yayılamıştır. Tabi bu çalışmaları matematiği farklı uzaylarıda ele almışlardır. Öreği, Orlicz uzayı, Değişke üslü Lebesgue uzayı, Lebesgue uzayı, Loretz uzayı, Ağırlıklı Lebesgue uzayı vs. Bizde bu çalışmalarda farklı olarak Ağırlıklı ve Değişke üslü Lebesgue uzayıda Hardy Oeratörüü Komaktlığıı iceledik. Bu uzayda ki çalışmamız farklı alalar ile de bağlatılıdır. Öreği, eseklik roblemleri, elektroreolojik sıvıları matematiksel modellerii yazılması, varyasyo hesaları, diferasiyel deklemler vs. Çalışmalarımda her zama yaımda ola, bei alaya ve değerli katkılarıı esirgemeye muhterem hocam Yrd. Doç. Dr. Yusuf ZEREN e şükralarımı suuyorum. Yie beim bu kouda ilerlememi sağlaya ve bei katkıları ile teşvik ede değerli hocam Prof. Dr. Farma MAMEDOV a teşekkürü bir borç bilirim. Yie tez izleme komitemde bulua değerli hocalarım Prof. Dr. İsmail TOK ve Prof. Dr. Ömer GÖK e teşekkürlerimi suarım. So olarak bu çalışmalarımda büyük bir özveri ile bei destekleye başta aem, babam, eşim ve sabırla bei bekleye çocuklarıma her şeyi göüllerice olmasıı diliyorum. Hazira, 204 Lütfi AKIN

İÇİNDEKİLER Sayfa ÖZET... vii ABSTRACT... viii BÖLÜM GİRİŞ... BÖLÜM 2. Literatür Özeti....2 Tezi Amacı... 7.3 Hiotez... 7 TEMEL TANIM VE TEOREMLER... 8 BÖLÜM 3 2. Metrik Uzay... 8 2.2 Vektör Uzay. 2 2.3 Normlu Uzay.. 3 2.4 Hilbert Uzayı.. 6 2.5 Lieer Oeratörler. 8 2.6 Ölçü Kavramı ve Lebesgue Ölçüsü 22 AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI... 30 3. Ağırlıklı ve Değişke Üslü Lebesgue Uzayı.. 30 3.2 Araştırma Bulguları... 35 v

BÖLÜM 4 SONUÇ VE ÖNERİLER... 43 KAYNAKLAR... 44 ÖZGEÇMİŞ... 48 vi

ÖZET AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI Lütfi AKIN Matematik Aabilim Dalı Doktora Tezi Tez Daışmaı: Yrd. Doç. Dr. Yusuf ZEREN Bu tez dört bölümde oluşmaktadır. Birici bölümde tez içi gerekli literatür özeti, tezi amacı ve hiotez kısmıa yer verilmiştir. İkici bölümde tez içi gerekli temel taım ve teoremler ile Hardy oeratörüü başlagıcı, tarihsel gelişimi ve komaktlığıa yer verilmiştir. Üçücü bölümde Ağırlıklı ve Değişke Üslü Lebesgue Uzayıda Hardy oeratörüü komaktlığı gösterilmiştir. So bölümde ise souç ve öerilere yer verilmiştir. Aahtar Kelimeler: Hardy Oeratör, Ağırlıklı Uzay, Değişke Üslü, Lebesgue Uzayı, Komaktlık YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ vii

ABSTRACT COMPACTNESS OF HARDY OPERATOR IN THE WEIGHTED VARİABLE EXPONENT LEBESGUE SPACES Lütfi AKIN Deartmet of Mathematic PhD. Thesis Adviser: Asist. Prof. Dr. Yusuf ZEREN This thesis cosist of four chater. I the first chater, there are literature summary for the thesis, aim of the thesis ad hyothesis art. I the secod chater, there are the basic descritios ad theorem for the thesis ad the begiig of the Hardy oerator, historical develomet of it ad the study of comactess roblems. I the third chater Hardy s oerator comactess is showed i the weighted ad variable eoet i Lebesgue sace. I the last chater, there is coclusios ad advices. Keywords: Hardy oerator, Weighted Sace, Variable eoet, Lebesgue Sace, Comactess YILDIZ TECHNICAL UNIVERSITY GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES viii

BÖLÜM GİRİŞ. Literatür Özeti 920 de Godfrey Harold Hardy [] tarafıda (isatı verilmeksizi) 0 a, 0 ) ( f, ve a d f ) ( (yakısak) ike; a a a d f d dt t f ) ( ) ( (.) eşitsizliği elde edilmiştir. G. H. Hardy i aslıda temel amacı a egatif olmaya reel terimli bir dizi olmak üzere, 2 / 2, 2 / 2 m m m m b a m b a şeklide ki Hilbert eşitsizliğii yei ve daha basit bir isatıı bulmaktı. 925 yılıdaki [2] makaleside ve 0 a içi, k k a a (.2)

şeklide ki eşitsizliğii ortaya koymuştur. Ayı zamada (.) eşitsizliğii gerçekte f, herhagi sıırlı 0, aralığıda itegralleebilir ve f,, 0 aralığıda itegralleebilir ise, f ( t) dt d 0 0 0 f ( ) d (.3) şeklide eşitsizliğii sağladığıı isatlamıştır. Bu eşitsizlik Hardy eşitsizliği olarak biliir. G. H. Hardy (.3) eşitsizliğide soraki ağırlık foksiyoları ile ilgili ilk ülü eşitsizliğii,, ve f ölçülebilir egatif olmaya foksiyolar içi, mümkü ola e iyi sabit olmak üzere, f ( t) dt d 0 0 0 f ( ) d (.4) şeklide ifade etmiştir. So o yıla kadar (.4) ile verile eşitsizlik a b, v u,, b a, aralığıda taımlı ölçülebilir ozitif ağırlık foksiyoları ve q, 0, q eşitsizlikleri ile uygu arametreler olsu. b / q suu( t) dt. v ( t) dt, ab a acak ve acak q b q / b / f ( t) dt u( ) d c. f ( ) v( ) d (.5) a a a şeklide ki eşitsizlik sağlaır. 2

Bazı yazarlar a u, v f u( ) H v( t) f ( t) dt f ( t) dt oeratörüü yerie daha geel ola a oeratörüü taımlamıştır. Burada u, v ozitif foksiyolardır. Öreği, Leviso *3] de ; Eğer u, 0, da ağırlık foksiyou, bazı, 0 ve tüm 0 içi, u( ) u( ) ise H u oeratörüü, H u f ( ) u( ) 0 u( t) f ( t) dt şeklide yazılabildiğii isatlamıştır. Ve burada, H u f ) d 0 0 ( f ( ) d yazabiliriz. Buula ilgili bir çok souç Katorovich-Akilov, Korotkov, Szetyeki ve Geebashvili- Gogatishvili-Kokilashvili-Krbec makaleleride vardır. Muhtemeldir ki ilk souçlar Krei [4] de aşağıdaki teoremi ifade ve isat etmiştir. 2 L de ağırlıklı Hardy eşitsizliği ile ilgilidir. Gerçekte Kac 3

Teorem. 0 b alalım. O zama tüm f L 2 (0, b) içi, b f ( t) dt 2 u( ) d C. 0 0 0 b f ( ) 2 d eşitsizliği sağlaır acak ve acak A su r u( ) d r 0, b b r dır. Üstelik burada A C 4A eşitsizliği söz kousudur. 966 da Taleti [4]; Eğer u ağırlık foksiyou öyle ki u( ) d ; 0 b ;,,b u 0 0 de lokal itegralleebilir ve su u( ) d b 0 r b r r 0 d u ( ) b 0 ise o zama f ( ) 0 içi, b 2 f ( t) dt u( ) d 4 0 0 0 0 b f ( ) 2 u( ) d sağlaır. 969 da Taleti ve Tomaselli [4] f 0, 0 b şartları ile b f ( t) dt u( ) d C 0 0 0 b f ( ) v( ) d eşitsizliği içi gerekli ve yeterli şartları elde etmiş ve içi r 0, b b r ( ) ( ) r 0 B su u d v d 4

doğruluğuu görmüştür. Üstelik B C B eşitsizliği geçerlidir. (.) 202 de Mamedov, F. I. ve Zere, Y. [5] ; 0, L de Hardy oeratörü içi gerekli ve yeterli şartları elde etmişlerdir. Komaktlık sürekliliği bir soucudur. Ve biz biliyoruz ki H oeratörüü sıırlılığı, q olduğuda A b / q / M ( ) u t dt v t dt ( ) ( ), a foksiyouu sıırlılığı ile karekterize edilir. Muhtemele komaktlık ile ilgili ilk souç 958 de Kac-Krei [6] tarafıda türetilmiştir ( v,,b 0 de q 2, 0 b ). İkici kişi 973 de Stuart [6] ( q 2 içi ) dır.,,b 0, a ve bazı u,v, ağırlık foksiyoları Daha geel olarak komaktlık roblemi 974 de Juberg [7] ( tarafıda icelemiştir. q ve q ) J J a J b olmak üzere, J a lim su a a u( t) dt / q a v t dt ( ) / J b lim su b b b u( t) dt / q v t dt ( ) / olsu. Özel olarak, H, komakttır acak ve acak J 0 dır. Üstelik eğer, q ise u v o zama H, komakttır acak ve acak a, b oktalarıda u v 5

A( ) b u( t) q dt / q. a v ( t) dt / foksiyouu limiti sıfırdır. Bu souç geelde ve q içi sağlamaz. Gerçekte eğer u 0, ve v, ile H u, v : L ( R) L ( R) oeratörüü alırsak J 0 olur fakat H u, v komakt olmaz. Yie 987 de bağımsız olarak Oic-Kufer [8] tarafıda Hardy oeratörüü komaktlık kriteri tamame farklı bir isat ile gösterilmiştir. 990 da Steaov [9] tarafıda, daha geel ola Riema-Liouville oeratörüü komaktlığı q ve q durumlarıda gösterilmiştir. 994 yılıda David E. Edmuds, Petr Gurka, Lubos Pick [0] tarafıda ağırlıklı Baach foksiyo uzaylarıda Hardy tii itegral oeratörüü komaktlığı icelemiştir. 2005 yılıda David E. Edmuds, Vakhtag Kokilashvili, Aleader Meskhi [] tarafıda icelemiştir. () L uzaylarıda ağırlıklı Hardy oeratörüü komaktlığı ve sıırlılığı 2006 yılıda Amira Gogatishvili, Alois Kufer, Lars-Eric Persso ve Aa Wedestig [2] tarafıda Hardy oeratörüü komaktlığı ve sıırlılığı içi değişik deklik şartları icelemiştir. 6

.2 Tezi Amacı Ağırlıklı ve Değişke Üslü foksiyolar içi ( gerekli ve yeterli şartlar olabilir ) kesi şartları, Hardy oeratörüü Ağırlıklı ve Değişke Üslü Lebesgue uzaylarıda komaktlığıı araştıracağız..3 Hiotez Değişke üslü Lebesgue uzayıda, temel itegral oeratörüü komaktlık roblemi so zamalarda bir çok yazar tarafıda ele alıdı. Fakat Hardy oeratörüü sıırlılığı ve komaktlığı roblemi ile çok az kişi ilgiledi. Buula birlikte Hardy oeratörüü komaktlığı içi gerek ve yeter şartlar kousuda herhagi bir çalışma şimdiye kadar yaılmadı. Bizde bu eksikliğe biae, () ve q() solu ( 0, l) aralığıda ölçülebilir foksiyolar, ( ) q( ) v(.) ve w (.) ağırlık foksiyoları olmak üzere, L (0, l) L (0, l) ya ; H v, w f ( ) v( ) f ( t) w( t) dt 0 Hardy oeratörüü komaktlığı içi gerekli ve yeterli şartları kurmaya çalışacağız. 7

BÖLÜM 2 TEMEL TANIM VE TEOREMLER 2. Metrik Uzay Taım 2. X boşta farklı bir küme olmak üzere X üzeride taımlı reel değerli d : X X R foksiyou M), y X içi d(, y) 0 M2), y X içi d(, y) 0 y M3), y X içi d(, y) d( y, ) M4), y, z X içi d(, z) d(, y) d( y, z) özelliklerii sağlıyorsa d foksiyoua X üzeride bir metrik foksiyou deir. ( Xd, ) ikilisie bir metrik uzay ve M-M4 aksiyomlarıada metrik aksiyomları deir. Bir küme üzeride birde fazla metrik taımlaabilir. Örek 2.2 X R olmak üzere d : RR R, d(, y) y,, y R döüşümü R üzeride bir metriktir. Bu metriğe adi metrik ( euclid metriği ) deir. Örek 2.3 X boşta farklı bir küme olmak üzere, y X içi 0, = y d(, y), y 8

şeklide taımlaa d döüşümü X üzeride bir metrikdir. Bu metriğe X üzerideki ayrık metrik deir. Örek 2.4, ( ) terimlerii. kuvvette tolamları ola dizi uzayı olmak üzere (, 2,..., ), y ( y, y2,..., y) ve d: R içi d(, y) k y k k şeklide taımlı d döüşümü üzeride bir metrikdir. Bu metrik özel olarak 2 içi 2 (, d ) şeklideki Hilbert uzayıı oluşturur. Taım 2.5 ( Xdmetrik, ) uzay 0 X ve r R ozitif bir sayı olmak üzere; B( 0, r) X : d( 0, ) r kümesie 0 merkezli r yarıçalı bir açık yuvar, 0 0 B(, r) X : d(, ) r kümesie 0 merkezli r yarıçalı bir kaalı yuvar, B( 0, r) X : d( 0, ) r kümesie 0 merkezli r yarıçalı bir yuvar yüzeyi deir. Taım 2.6 ( Xdmetrik, ) uzay ve G Xolmak üzere, (i) 0 sayısı içi 0 d( c, ) olacak şekilde bir X varsa c X sayısıa G kümesii bir yığılma oktası deir. (ii) Eğer bir c G oktası G i bir yığılma oktası değilse c elemaıa G i bir izole oktası deir. Teorem 2.7 ( Xdmetrik, ) uzay ve E X olmak üzere aşağıdakiler dektir. (i) c X oktası E kümesii bir yığılma oktasıdır. (ii) 0 içi Bc (, ) açık yuvarı E kümesii sosuz çoklukta elemaıı kasar. (iii) E kümeside bir ( ) dizisi vardır ki ike c ve c dir. 9

Taım 2.8 ( X, d) bir metrik uzay olsu. A X alt kümesi ve X oktası verilsi. Eğer 0 içi B(, ) A ise oktasıa A ı bir limit oktası deir. Taım 2.9 ( Xd, ) ve ( Yd, 2) metrik uzaylar ve c X olmak üzere f : X Y foksiyouu alalım. Eğer, 0 içi d (, c) ike d 2 ( f ( ), f ( c )) olacak şekilde bir 0 sayısı varsa f foksiyou c oktasıda süreklidir deir. Eğer f foksiyou X kümesideki her oktada sürekli ise f foksiyou X uzayıda süreklidir deir. Taım 2.0 ( Xd, ) ve ( Yd, 2) metrik uzaylar olsular. : f X Y foksiyouu alalım. Eğer 0 içi d(, 2) ike d2( f( ), f( 2)) olacak şekilde bir 0 sayısı varsa f foksiyou X de düzgü yakısaktır deir. Taım 2. ( Xd, ) bir metrik uzay ve ( ) X bir dizi olsu 0 içi mn olmak üzere d(, ) olacak şekilde bir N sayısı varsa ( ) dizisie bir Cauchy dizisi deir. m Teorem 2.2 ( Xd, ) bir metrik uzay ve ( ), X de yakısak bir dizi ise ( ) ayı zamada bir Cauchy dizisidir. Bu teoremi tersi R ve C de adi metriğe göre doğru olmakla birlikte geel olarak doğru değildir. Taım 2.3 ( Xd, ) metrik uzayıdaki her Cauchy dizisi X deki bir oktaya yakısıyor ise ( Xd, ) metrik uzayıa tam metrik uzay deir. Örek 2.4, R ve C adi metriğe göre tamdır. Teorem 2.5 ( Xd, ) bir metrik uzay ve E X olsu. (i) Eğer E kümesi tam ise kaalıdır. (ii) Eğer X kümesi tam ve E kümesi kaalı ise E kümesi tamdır. 0

Taım 2.6 ( Xd, ) bir metrik uzay ve E X olsu. Eğer E deki her dizi limiti E de ola yakısak bir alt diziye sahi ise E kümesie komakt küme deir. Eğer X komakt ise ( Xd, ) metrik uzayı komakt olur. Bir E X alt kümesii komaktlığı X uzayıda taımlaa metriğe bağlıdır. Öreği 0, R alt kümesi, R deki adi metriğe göre komakttır acak ayrık metriğe göre komakt değildir. Bir tam metrik uzayı ayı zamada komakt olması gerekmez. Teorem 2.7 Bir metrik uzaydaki komakt bir küme ayı zamada tamdır. Teorem 2.8 ( Xd, ) bir metrik uzay ve E X olsu. (i) Eğer E kümesi komakt ise E kümesi kaalı ve sıırlıdır. (ii) Eğer X kümesi komakt ve E kümesi kaalı ise E kümesi komakttır. Taım 2.9 ( Xd, ) bir metrik uzay ve E X olsu. X E ise E kümesie X de yoğu küme deir. Örek 2.20 Q rasyoel sayılar kümesi R de yoğudur. Fakat Z tamsayılar kümesi R de yoğu değildir. Taım 2.2 Bir ( Xd, ) metrik uzayıı sayılabilir yoğu bir alt kümesi varsa bu uzaya ayrılabilir metrik uzay deir. Örek 2.22 ( ), y ( y ) içi d(, y) k yk, k şeklide taımlı d: R metriği ile, d ayrılabilir metrik uzaydır.

2.2 Vektör Uzay Taım 2.23 V boşta farklı bir küme ve F bir cisim olmak üzere : V V V, (, y) y : F V V, ( a, ) a döüşümleri ile sırası ile vektörel tolama ve skalerle çarma işlemlerii taımlayalım., y, z V ve a, b F içi aşağdaki koşullar sağlası.. y y 2. ( y z) ( y) z 3. V içi 0 eşitliğii sağlaya bir tek 0 V vardır. 4. V içi ( ) 0 eşitliğii sağlaya bir tek V vardır. 5. V içi. 6. a( y) a ay 7. ( a b) a b 8. ( ab) a( b) Bu durumda V ye F cismi üzeride bir vektör uzayı ( lieer uzay ), elemalarıa ise vektör yada okta deir. V komleks vektör uzayı deir. R alıırsa V ye reel vektör uzayı, V C alıırsa V ye Taım 2.24 V, F cismi üzeride bir vektör uzayı ve W, V i boş olmaya bir alt kümesi olsu. Eğer W, V vektör uzayıdaki tolama ve skalerle çarma işlemlerie göre bir vektör uzayı oluşturuyorsa W ye V i bir (lieer) alt uzayı deir. Teorem 2.25 W V kümesii V i bir alt uzayı olabilmesi içi gerek ve yeter şart, y W ve a, b F içi a by W olmasıdır. 2

M, 2, 3,..., V olsu. Taım 2.26 V, F cismi üzeride bir vektör uzayı ve a, a2, a3,..., a F olmak üzere a a22... a 0 eşitliği acak ve acak a a2... a 0 olması halide gerçekleiyorsa, 2,..., vektörlerie lieer bağımsız, aksi halde e az bir a 0 ( i,2,..., ) ise lieer bağımlıdır deir. i Taım 2.27 V, F cismi üzeride bir vektör uzayı ve M V olmak üzere (i) M lieer bağımsızdır. (ii) V Sa M ise M ye V i bir tabaı veye bazı deir. Eğer M, 2,...,, V i bir tabaı ise V vektörü a, a2,..., a F olmak üzere a a22... a şeklide tek bir gösterime sahitir. Eğer V vektör uzayıı bir solu tabaı varsa V ye solu boyutlu vektör uzayı, aksi halde sosuz boyutlu vektör uzayı deir. Solu boyutlu bir vektör uzayıı bir tabaıdaki vektörlerii sayısıa V i boyutu deir ve Boy V şeklide gösterilir. 2.3 Normlu Uzay Taım 2.28 V, F cismi üzeride bir vektör uzayı olsu.. : V R, döüşümü, y V ve a F içi N) 0 N2) 0 0 N3) a a N4) y y (üçge eşitsizliği) özelliklerii sağlıyorsa V üzeride bir orm olur ve V,. ikilisiede ormlu vektör uzay deir. Bu uzay V olarak adladırılır. R içi reel ormlu uzay, V C içi komleks ormlu uzay 3

Örek 2.29 N içi (,,..., ) R içi.: R 2 R euclid vektör uzayıı düşüelim. R döüşümü k k 2 2 ormu ile birlikte bir ormlu vektör uzayı oluşturur. Bu uzaya euclid ormu deir. R deki adi orm veya Teorem 2.30 F cismi üzeride taımlı bir V vektör uzayı üzeride.:v taımlı her orm V üzeride süreklidir. Taım 2.3 V, F cismi üzeride taımlı bir vektör uzayı olsu. V içi a b 2 R şeklide olacak biçimde a, b R ozitif sayıları varsa V üzeride taımlı.,. ormlarıa 2 dek ormlar deir. Taım 2.32 ( ) m V ormlu uzayıda bir dizi ve 0 V olsu. Eğer,,. lim 0 m m 0 oluyorsa ( m) dizisi 0 oktasıa yakısıyor deir. lim m 0 veya m 0 şeklide gösterilir. Bu ifadeye ordaki yakısama deir. Taım 2.33 ( ),,. m V ormlu uzayıda bir dizi olsu. 0 içi m, olduğuda m olacak şekilde a bağlı bir doğal sayısı varsa ( ) dizisie bir Cauchy dizisi deir. Taım 2.34 Bir V,. ormlu uzayıda her Cauchy dizisi V deki bir oktaya yakısıyor ise bu V,. ormlu uzayıa Baach uzayı deir. 4

Örek 2.35 ormlu vektör uzayı su k ormua göre bir Baach uzayıdır. k Taım 2.36 V,. ormlu uzayıı alalım. V sayılabilir yoğu bir alt kümeyi kasıyorsa V,. ormlu uzayıa ayrılabilir ormlu uzay deir. Öreği Q rasyoel sayılar kümesi R içide sayılabilir yoğu bir küme olduğuda R,. ayrılabilir bir ormlu uzaydır. Taım 2.37 V,. ormlu bir uzay ve W, V i bir lieer alt uzayı ise,. W de bir ormlu uzaydır. Bu uzaya V,. ormlu uzayıı bir alt uzayı deir. Eğer W kaalı ise W,. uzayı kaalı alt uzay olur. Teorem 2.38 Bir Baach uzayıı her kaalı alt uzayı yie bir Baach uzayıdır. Teorem 2.39 V,. bir Baach uzayı ve W, V i bir lieer alt uzayı ise W,. bir Baach uzayı olması içi gerek ve yeter şart W i kaalı olmasıdır. Taım 2.40 V,. bir ormlu uzay ve A V olsu. Eğer A kümesii her açık örtüsüü solu bir alt örtüsü varsa A kümesie V de komakt küme deir. Eğer A kümesii kaaışı ( AA, 'ı kaaışı ) V de komakt A kümesie X de ö-komakt küme deir. Ve V,. ormlu uzayıa komakt uzay deir. Taım 2.4 V,. bir ormlu uzay ve A V olsu. A kümesideki her dizii A da bir limit oktası varsa A kümesie V de dizisel komakt küme deir. i 5

2.4 Hilbert Uzayı Taım 2.42 V R( veya V C) ve V, F cismi üzeride bir vektör uzayı olmak üzere,.,. :V V F döüşümü İ), y V içi, y y, İ2), y, z V içi y, z, z y, z İ3), y V ve a F içi a, y a, y İ4) V içi, 0 ve, 0 0 koşullarıı sağlıyorsa.,. döüşümüe V üzeride bir iç çarım, V,.,. ikilisie de iç çarım uzayı deir. Örek 2.43 (, 2,..., ), y ( y, y2,..., y) R içi, y kyk şeklide taımlı iç çarıma göre k R bir iç çarım uzayıdır. Öerme 2.44 (Cauchy-Schwartz Eşitsizliği) V,.,. iç çarım uzayı ise, y V içi 2, y, y, y dir. Taım 2.45 V,.,. iç çarım uzayı ve V olmak üzere bir vektörüü ormu 2, şeklide taımlaır. Bu taımda Cauchy-Schwartz eşitsizliğii 2 2 2, y, y, y, y, y, y, y y şeklidede yazabiliriz. 6

Öerme 2.46 V,.,. iç çarım uzayı ve, y V içi 2 2 2 2 y y 2 y eşitliği aralel kear kuralıı ifade eder. Paralel kear kuralı bir ormlu uzayı iç çarım uzayı olu olmadığıı gösterir. Taım 2.47 V,.,. iç çarım uzayı ve, y V içi d, y y y, y 2 şeklideki iç çarım uzayı bir ormlu uzaydır, yai her iç çarım uzayı ayı zamada bir ormlu uzaydır. Teorem 2.48 V,. ormlu uzayıı bir iç çarım uzayı olabilmesi içi gerek ve yeter koşul, y V vektörleri içi Paralel kear kuralıı sağlamasıdır. Teorem 2.49 Bir V,.,. iç çarım uzayı 2, ormua göre tam ise, yai V,.,. içideki her Cauchy dizisi V içide yakısak ise bu iç çarım uzayıa Hilbert uzayı deir. Örek 2.50.,. : 2 2F,, y kyk döüşümü 2 k üzeride bir iç çarımdır. Bu iç çarıma göre 2 iç çarım uzayı bir Hilbert uzayıdır. Bir F cismi üzeride taımlı her Hilbert uzayı bir Baach uzayıdır, acak bir Baach uzayıı Hilbert uzayı olması gerekmez. Öreği, halde ayı orm altıda Hilbert uzayı değildir. uzayı bir Baach uzayı olduğu 7

2.5 Lieer Oeratörler Taım 2.5 X ve Y, K cismi üzeride iki vektör uzay olsu ve D X olsu.d i her elemaıa Y i bir elemaıı karşılık getire T : D Y kuralıa D de Y ye bir oeratör deir. Taım 2.52 X ve Y ayı K cismi üzeride iki vektör uzay olsu. T : X Y oeratörü, T( a by) at( ) bt( y) a, b K ;, y X koşuluu sağlıyorsa T ye lieer oeratör deir. Örek 2.53 a, b R, a b ve L 2 a, b uzayı b 2 f f() t dt a 2 ormua göre karesi ab, üzeride itegralleebile ölçülebilir foksiyoları ormlu vektör uzayı olsu. f L 2 a, b ve t a, b oeratörü lieerdir. içi T( f)( t) ( t) f( t) şeklide taımlı T : L 2 a, b L 2 a, b Taım 2.54 T : DT X Y oeratörüe belli bir c 0 sayısı ve her DT ( X) içi, T( ) T( ) T c olacak şekilde c 0 var ise T oeratörüe sıırlı oeratör deir. c ifadesii 0 T c şeklide de yazabiliriz ki bu da c sabitii e az D kümesi üzeride alıa suremum kadar büyük olabileceğii gösterir. Daha açıkçası, T c Su DT ( X) şeklidedir. 8

Teorem 2.55 X, K cismi üzeride bir vektör uzay olsu. Her T : X K lieer döüşümü içi aşağdakiler dektir. (i) T, X üzeride süreklidir. (ii) T, =0 oktasıda süreklidir. (iii)t( ) : X ve kümesi sıırlıdır. Taım 2.56 X ve Y Baach uzayları ve T : X Y lieer oeratörü verilsi. Eğer T oeratörü X uzayıı her sıırlı kümesii Y uzayıı bir ö-komakt kümesie götürüyorsa T oeratörüe komakt lieer oeratör ( sürekli lieer oeratör ) deir. Teorem 2.57 X ve Y ormlu vektör uzayları verilsi ve T : DT X Y bir lieer oeratör olsu. Eğer D T kümesi X ormlu uzayıı sıırlı bir al kümesi ike TX e ( ) Y ormu üzeride ö-komakt ise, bu durumda TX ( ) oeratörüe komakt, eğer T sürekli ve komakt ise tamame ( total ) sürekli oeratör deir. Taım 2.58 X ve Y ormlu uzaylar ve oeratör ise sıırlıdır. Teorem 2.59 X ve Y ormlu uzaylar ve T : DT X Y bir oeratör, eğer T komakt T : DT X Y şeklideki her sıırlı oeratör süreklidir. Böylece her komakt lieer oeratör tamame süreklidir. Taım 2.60 X vey birer Baach uzayı, ( T ) L( X, Y) oeratörler dizisi ve T L( X, Y) olmak üzere; (i) ( T ) dizisi düzgü sıırlıdır k 0 öyle ki N içi T k. (ii) ( T ) dizisi düzgü Cauchy dizisidir 0 içi N öyle ki, m içi T T. m (iii) ( T ) dizisi T oeratörüe düzgü yakısaktır 0 içi N öyle ki içi T T. 9

(iv) ( T ) dizisi T oeratörüe kuvvetli yakısaktır 0 ve X içi 0 (, ) N öyle ki 0 içi T T. Taım 2.6 X,. ormlu uzayıda bir ( ) dizisi, X elemaı içi eğer lim 0 oluyorsa ( ) dizisi oktasıa yakısıyor deir ve lim( ) şeklide gösterilir. Bu yakısaklığa kuvvetli yakısaklık deir ve bu durum Buradaki oktasıa ( ) dizisii kuvvetli limiti deir. k ile ifade edilir. Taım 2.62 X,. ormlu uzayıda bir ( ) dizisi verilsi. f X(X, X uzayıı duali) içi lim f( ) f( ) olacak şekilde bir X elemaı varsa ( ) dizisi oktasıa zayıf yakısıyor deir ve z şeklide gösterilir. Taım 2.63 X, K cismi üzeride bir ormlu uzay olsu. X üzeride taımlı tüm sıırlı lieer foksiyoellerde oluşa L( X, K ) Baach uzayıa X uzayıı dual uzayı deir ve X ile gösterilir. Taım 2.64 X, K cismi üzeride bir ormlu uzay olsu. X X ise ( X, X uzayıı ikici duali) X uzayıa refleive ( yasımalı ) uzay deir. Teorem 2.65 Yasımalı bir X Baach uzayıı her alt uzayıda yasımalıdır. Taım 2.66 f, a, b de taımlı, ozitif ve ölçülebilir bir foksiyo olmak üzere, Hf f ( t) dt (2.) a şeklideki oeratöre Hardy oeratörü deir. Taım 2.67 ( ) 0 Hf f ( t) dt f içi a şeklideki oeratöre Ortalama Hardy oeratörü deir. 20

Taım 2.68 k çekirdek foksiyou, (i) k(, t) 0, 0 t ve k, içi arta t içi azala (ii) k(, t) k(, z) k( z, t), 0 t z özelliklerii sağlası. Bua göre 0 olmak üzere, ( Kf )( ) k(, t) f( t) dt a şeklide verile K döüşümüe Geel Hardy tili oeratör deir. Taım 2.69 a a() ve b b() foksiyoları, (i) a(0) b(0) 0 (ii) a( ) b( ), 0 (iii) a( ) b( ) özelliklerii sağlaya ve 0, üzeride kesi arta diferasiyelleebilir foksiyolar olsu. ft ( ) 0, 0 t foksiyou içi b ( ) ( Tf )( ) f( t) dt a ( ) şeklide taımlaa T döüşümüe Hardy-Steklov oeratörü deir. Bu Hardy-Steklov oeratörüü, b ( ) b Sa f ( ) f( t) dt b( ) a( ) a ( ) düzelemiş hali borsadaki ekoomik hareketleri davraışı hakkıda kestirim yaabilmek içi kullaılmaktadır. [3] 2

Öreği, f foksiyou t zamaıdaki fiyatı ft () ola bir hisse seedii fiyatıı göstermek üzere, borsa aalistlerie göre bu hisse seedi içi e iyi alış fiyatı t St 200 f ( t) f( t), e iyi satış fiyatı ise bu eşitsizliği tersi olduğu zamadır. 2.6 Ölçü Kavramı ve Lebesgue Ölçüsü Taım 2.70 X bir küme ve X kümesii bir sııfı içi (i) X (ii) c E içi E ( X E) (iii) k,2,..., içi E k k E k özellikleri sağlaıyorsa bu sııfıa X üzeride bir cebir deir. Eğer (iii) yerie, (iv) N içi E k k E k özelliği sağlaırsa bu takdirde cebirie bir cebir deir. Bu taıma göre X üzeride taımlı bir cebiri aşağdaki özelliklerii sağlar. (i) (ii) k,2,..., içi E k k E k (iii) k N içi E k k E k (iv) EF, içi ( EF) Örek 2.7 X bir küme ve X,, X üzeride bir cebirdir. Teorem 2.72 X üzerideki cebirlerii herhagi adetteki kesişimleri yie bir cebirdir. 22

Taım 2.73 Bir sııfıı kasaya cebirlerii e küçüğüe ı ürettiği cebiri deir. Taım 2.74 X bir küme ve, X üzeride bir cebiri olsu. X, ikilisie ölçülebilir uzay, daki her kümeye ise ölçülebilir küme veya kısaca ölçülebilir küme deir. Teorem 2.75 X, bir ölçülebilir uzay olsu. üzeride taımlı geişletilmiş reel değerli bir foksiyou;. ( ) 0 2. Her A içi ( A) 0 3. Her ayrık ( A ) dizisi içi A ( A ) özelliklerii sağlarsa bu foksiyoa bir ölçü foksiyou veya kısaca ölçü deir. : R şeklide gösterilir. Eğer A içi ( A) ise foksiyoua bir solu ölçü deir. X kümesi her biri solu ölçüye sahi sayılabilir adetteki kümeleri birleşimi olarak yazılabiliyorsa ölçüsü soludur deir. Taım 2.76 X bir küme ve PX ( ) de X i kuvvet kümesi olsu. * : P( X) R şeklide taımlı geişletilmiş reel değerli bir (i) * ( ) 0 (ii) A P( X) içi * ( A) 0 * * (iii) A B X içi ( A) ( B) (iv) Niçi A P( X) ise özellikleri sağlaırsa * * A * foksiyou içi, ( A ) * foksiyoua bir dış ölçü deir. Bu taımlarda e ölçü bir dış ölçü e de dış ölçü bir ölçü olması gerekmez. Bir ölçüü dış ölçü olabilmesi içi taım kümesii kuvvet kümesi olması gerekir. 23

Taım 2.77 X, bir ölçülebilir uzay ve ( E ) koleksiyou E A olacak şekilde alısı. Bua göre A X kümesii dış ölçüsü * ( A) if ( E) şeklide taımlaır. deir. Taım 2.78 X bir küme ve * ölçüsü bir dış ölçüdür ve bu dış ölçüye Lebesgue dış ölçüsü * de X üzeride Lebesgue dış ölçüsü olsu. A X içi * * * c ( A) ( AE) ( A E ) * oluyorsa E X alt kümesie ölçülebilir ( Lebesgue ölçülebilir ) küme deir. Taım 2.79 X, ölçülebilir uzay ve f, geişletilmiş reel değerli bir foksiyo olsu. a R içi : f( ) a kümesi ölçülebilir ise f ye ölçülebilir foksiyo deir. Teorem 2.80 X, ölçülebilir uzay ve f, geişletilmiş reel değerli bir foksiyo olsu. Aşağdaki ifadeler dektir. (i) a R içi : f( ) a kümesi ölçülebilirdir. (ii) a R içi : f( ) a kümesi ölçülebilirdir. (iii) a R içi : f( ) a kümesi ölçülebilirdir. (iv) a R içi : f( ) a kümesi ölçülebilirdir. Teorem 2.8 f ve g ölçülebilir foksiyolar, krolmak üzere, (i) kf (ii) f g (iii) fg. 24

f (iv),( g 0) g (v) ma fg, (vi) mi fg, foksiyoları ölçülebilirdir. Teorem 2.82 X, ölçülebilir uzay ve ( f ), ölçülebilir foksiyoları bir dizisi olsu. N olmak üzere, (i) if f ( ) (ii) su f ( ) (iii) limif f ( ) (iv) limsu f ( ) foksiyoları ölçülebilirdir. Taım 2.83, X i alt kümeleride oluşa bir cebiri ve de üzeride bir ölçü olmak üzere, X,, üçlüsüe bir ölçü uzayı deir. Taım 2.84 X,, bir ölçü uzayı ve A olsu. Eğer ( A) 0 ise A kümesii ölçümü sıfırdır deir. Taım 2.85 X,, bir ölçü uzayı ve f, g: X R foksiyoları verilsi. Eğer N : f( ) g( ) kümesii ölçümü sıfır ise heme heme her yerde (h.h.y) f gdir deir. Taım 2.86 R R, f olmak üzere, f : X ma f( ),0 ; f mi f( ),0 R foksiyou verilsi. 25

şeklide taımlaa f ve f foksiyoları da X üzeride taımlı egatif olmaya foksiyolardır. Burada f f f ve f f f şeklidedir. Taım 2.87 E ölçülebilir bir küme ve f ( ) de bu E kümeside taımlı ve gerçel değerli bir foksiyo olsu. Eğer her K gerçel sayıları içi, f() K ola E değerlerii kümesi ölçülebilirse, f foksiyou E kümeside Lebesgue alamıda ölçülebilirdir yada kısaca ölçülebilirdir deir. Bir foksiyou ölçülebilirliği E : f( ) K, E f( ) K edilir. Taım 2.88 Bir E kümesi içi; E ise E( ) 0 E ise şekilleride biri ile ifade biçimide taımlaa ( ) foksiyoua E kümesii Karekteristik foksiyou deir. E E ölçülebilir olduğuda E( ) foksiyouda ölçülebilirdir. Örek 2.89 ; Q, (0,) f ( ) 0 ; Q c, (0,) şeklide taımlı Dirichlet foksiyou taımlaa aralıkta ölçülebilirdir. Taım 2.90 Görütü kümesi solu elemada oluşa foksiyoa basit foksiyo deir. bir ölçü uzayı, X,, i i i j E : k( ) a, i,2,...,, a R birbiride farklı ve i i i E X, E E ( i j) olmak üzere k: X R ölçülebilir basit foksiyou i i k( ) a ( ) Ei 26

şeklide gösterilir. Burada k ı ölçülebilir olması içi acak ve acak E, E2,..., E kümelerii ölçülebilir olmasıdır. Taım 2.9 k( ) a ( ) egatif olmaya, ölçülebilir basit foksiyo olmak üzere, i i Ei k ı Lebesgue itegrali i i I( k) kd a ( E ) E i olarak taımlaır. Taım 2.92 f : X R foksiyou egatif olmaya ölçülebilir bir foksiyo olmak üzere f foksiyouu Lebesgue itegrali fd su kd: 0 k f, k basit foksiyo şeklide taımlaır. Taım 2.93 X,, bir ölçü uzayı ve f foksiyou egatif olmaya ölçülebilir bir foksiyo olmak üzere, fd f d f d X X X ifadeside f d ve f d itegrallerii her ikiside solu ise f foksiyoua X X X üzeride ölçüsüe göre Lebesgue itegralleebilirdir deir. Taım 2.94 deir. fd ise f foksiyoua X üzeride Lebesgue itegralleebilirdir X Lebesgue itegrali içi aşağdaki öermeler doğrudur. (i) Eğer f foksiyou, X üzeride ölçülebilir, sıırlı ve ( X) ise X de itegralleebilirdir. 27

(ii) Eğer f foksiyou, X üzeride ölçülebilir, ( X) ve içi a f() b ise a( X) fd b( X) dir. X (iii) içi f( X) g( X) ve f, g foksiyoları ölçülebilir ve itegralleebilir ise fd gd dir. X X (iv) Eğer f itegralleebilir ise c R içi (v) Eğer f ölçülebilir ve ( X) 0 ise fd 0 dır. X cfd c fd dir. X X Teorem 2.95 Eğer f L ( X) ise f L ( X) dir. Bu durumda fd X X f d dır. Teorem 2.96 (Lebesgue Mooto Yakısaklık Teoremi) bir ölçü uzayı, E ve X,, f foksiyo dizisi f 2 biçimde ölçülebilir foksiyoları bir dizisi olsu. Bua göre, lim fd E E lim f d 0 ( ) f ( )... olacak olur. Teorem 2.97 X,, bir ölçü uzayı, E ve foksiyoları bir dizisi olsu. Bua göre, f egatif olmaya ölçülebilir f d fd E E olur. 28

Teorem 2.98 (Fatou Lemma) X,, ölçülebilir foksiyoları bir dizisi olsu. Bua göre limif fd limif fd E E bir ölçü uzayı, E ve f egatif olmaya olur. Teorem 2.99 (Lebesgue Temel Yakısaklık Teoremi) bir ölçü uzayı, E ve X,, f ölçülebilir foksiyoları bir dizisi ve E içi lim f ( ) f( ) olsu. Eğer,,2,3,... ve E olmak üzere, f ( ) g( ) eşitsizliğii sağlaya bir g ( ) foksiyou E üzeride lim f d E E fd g( ) L ( X) olmak üzere, olur. 29

BÖLÜM 3 AĞIRLIKLI VE DEĞİŞKEN ÜSLÜ LEBESGUE UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN KOMPAKTLIĞI 3. Ağırlıklı ve Değişke Üslü Lebesgue Uzayı Taım 3. X,, bir ölçü uzayı ve olmak üzere; X, bölgeside taımlı f( ) d R de bir bölge ve özelliğie sahi tüm ölçülebilir foksiyoları sııfıa L ( ) uzayı deir. L ( ) uzayıdaki orm aşağdaki şekilde gösterilir. f f( ) d L ( ) / bölgeside f() K olacak biçimde bir K sabiti varsa f foksiyoua heme heme sıırlıdır deir. Bu K sabitlerii e büyük alt sıırıada f ( ) i bölgesideki esas suremumu (esaslı sıırı) deir ve ess su f( ) olarak ifade edilir. 30

bölgesideki heme heme sıırlı f foksiyoları ile taımlaa uzay L ( ) şeklide gösterilir. Bua göre bir f foksiyouu L daki ormu f ess su f( ) şeklidedir. Taım 3.2 v foksiyou heme heme her R içi ( ) 0 v olacak şekilde R de lokal itegralleebilir olsu. Bu v foksiyoua ağırlık foksiyou deir. Özel olarak R içi ( ) if y d y ve a R foksiyoua a mertebede ağırlık foksiyou deir. olmak üzere v d ( ) ( ) a ağırlık Taım 3.3 v foksiyou ağırlık foksiyou, 0 ve, R de açık bir bölge olsu. f vd özelliğie sahi ölçülebilir foksiyoları oluşturduğu uzaya Ağırlıklı Lebesgue uzayı deir ve L ( ) L ( v) ile gösterilir. L ( ) uzayı v v / f f vd, 0 v,, f esssu f( ) v, ormları ile bir Baach uzayıdır. Taım 3.4,, bir ölçü uzayı olsu. [0, ) da taımlı bir foksiyou aşağdaki özellikleri sağlarsa -sııfıdadır deir. (i) ( tv, ) foksiyou her t içi v 0 değişkeli bir foksiyoudur, yai v i azalmaya, sürekli öyle bir foksiyoudur ki ( t,0) 0, v 0 içi ( tv, ) 0 ve v içi ( tv, ) dır. 3

(ii) v 0 içi ( tv, ) foksiyou t i -ölçülebilir bir foksiyoudur. Koveks sol-yarı sürekli bir :[0, ) [0, ), (0) 0, lim ( t) 0 ve lim ( t ) t0 t foksiyoua foksiyou veya Orlicz foksiyou deir. Orlicz foksiyou kısaca sürekli, arta ve sıırsız bir :[0, ) [0, ), (0) 0 foksiyoudur. Koveks Orlicz foksiyolarıa Youg foksiyou deir. Taım 3.5,, bir solu, tam ölçüm uzayı olsu. : [, ) şeklide taımlı tüm ölçülebilir foksiyolar kümesii P(, ) ile taımlayalım. P(, ) foksiyolarıa da değişke üst deir. ess if ( ) ve ess su ( ) olarak taımlarız. Eğer ise bu durumda ye sıırlı değişke üst deir. P(, ) olmak üzere P(, ) değişke üstü 0 ile ( ) ( ) şeklide taımlaır. ( ) e i dual değişke üstü deir. Ayrıca ü boyutlu Lebesgue ölçümü ve ı R de açık bir alt küme olması durumuda P( ) P(, ) eşitliğii kullaabiliriz. Değişke üstlü Lebesgue uzayı L (.) (, ) veya kısaca (.) L ile gösterilir. Özel olarak değişke üstlü Lebesgue uzayı L (.) (, ), f f (.) if 0: (.) L (, ) L ( ) ormu ile (.) (.) L f L (.) f 0 L ( ) (, ) (, ):lim ( ) 0 şeklide veya bua aralel olarak L (.) f L (.) f (.) L ( ) (, ) (, ): ( ) bazı >0 içi şeklide yazılabilir. 32

(.) L uzayı ilk olarak 93 yılıda durumuda (.) ile W. Orlicz (.) [4] tarafıda taımlamıştır. (.) L i durumudaki taımı ilk olarak I. Sharaudiov [5] tarafıda ve sora çok boyutlu durum içi O. Kovacik ve J. Rakosik [6] tarafıda yaılmıştır. Ayrıca O. Kovacik ve J. Rakosik [6] ölçülebilir f foksiyou içi ( f) (.) f f KR taımıı yamış ve bua aralel olarak Luksemburg ormuu f f if 0: KR KR şeklide taımlamışlardır. Teorem 3.6 (.) L uzayı tamdır. Teorem 3.7 (Hölder Eşitsizliği) ve,, koşullarıı sağlaya iki sayı olsu. f( ) L ( ), g( ) L ( ) ise f g ( ) ( ) L ( ) olur. Yai, f( ) g( ) d f( ) d g( ) d veya ( ) ( ) ( ) ( ) f g d f g şeklide taımlaır. Teorem 3.8 (Ters Hölder Eşitsizliği) 0 içi 0 ve f( ) L ( ) olmak üzere; f( ) g( ) d f( ) d g( ) d olur. 33

Teorem 3.9 P(, ) ve olsu. O zama L (.) (, ) uzayı refleksif tir. Lemma 3.0 Eğer P( ) ve ise bu durumda daki tüm sıırlı foksiyolar kümesi L (.) ( ) de yoğudur. Teorem 3. P( ) ve ise C ( ) 0, L (.) ( ) de yoğudur. Teorem 3.2 P( ) L ( ) olsu. Bu durumda yoğudur. C ( ) ( ) L ( ) kümesi L (.) ( ) de Teorem 3.3 P(, ) sıırlı bir üst ve ayrılabilir olsu. O zama L (.) (, ) ayrılabilirdir. 34

3.2 Araştırma Bulguları Araştırmalarımızda bize yardımcı olacak bazı otasyoları verelim. : (0, l) (, ) ölçülebilir foksiyo, L ( ) (0, l) ; f : (0, l) R türüde ki tüm ölçülebilir foksiyolarıda oluşa uzay, f, b a, de taımlı ozitif bir foksiyo olmak üzere L a, b, w L ( w) şeklideki ağırlıklı Lebesgue uzayıdaki orm, f b a / f ( ) w( d, 0 ), w şeklidedir. l (.) (.) ( f ) f ( ) d modüler foksiyo ( solu ), 0 Eğer ess su ( ) ise o zama f i modülü, (0, l) f if 0 L (.) : ( 0, l) ( ) f şeklidedir. a 0 içi, (.) L uzayı geelleştirilmiş Orlicz uzayıı özel bir halidir. w( ) ( ) L ( B(0, a)) q( ), v( ) L ( a, l) l q( y) V ( ) v( y) dy W ( ) w( y) 0 ( y) dy, ( 0, l ) deki değerleri solu f : (0, l) R şeklideki ölçülebilir foksiyolar sııfı, 35

0, f : (0, l) R şeklideki ölçülebilir foksiyolar sııfı ki, lim su f ( ) f (0) l 0 W ( ) (3.) Lemma 3.4, q ölçülebilir foksiyolar olmak üzere; 0 s t içi, W ( t) ( s). W ( t) c ( ) eşitsizliği geçerlidir. İsat (3.) şartı ve W ( y) ( ) w( y) dy eşitliğide W() t 0 C olmak üzere, ( s) ( ) ( s) ( ) W( t) W( t). W( t) ( ) ( s) (0) (0) ( ) W( t). W( t). W( t) ( ) ( ) C C l l W ( s) W ( ) Wt ( ). W( t) W( t) Wt ( ). Wt () ( ) 2 CW( t) 2C l Wt () Lemma 3.5, q ölçülebilir foksiyolar olmak üzere; 0 t l içi, W ( t) q( ) ( ). W ( t) c q(0) (0) eşitsizliği geçerlidir. 36

İsat (3.) şartı ve (.) ve q (.) foksiyoları içi, q( ) q(0) q( ) q(0) ( ) (0) ( ) (0) W( t) W( t). W( t) q(0) (0) Wt ( ). Wt () q(0) (0) Wt ( ) Wt () q(0) (0) Wt ( ) Wt () CW( t) q(0) (0) q (0) q ( ) (0) ( ) C log W( ) C log Wt () Lemma 3.6, q ölçülebilir foksiyolar olmak üzere; q( ) W ( ). W ( ) c q(0) eşitsizliği geçerlidir. İsat (3.) şartı ve q (.) foksiyou içi, W( ) W( ). W( ) q( ) q(0) q( ) q(0) C log q(0) W ( ) W( ). W( ) W ( ) C q(0) Teorem 3.7 q, 0 ve f ( ) 0 ölçülebilir bir foksiyo olsu., q(0) (0) alalım. O zama v(.) H f(.) C f(.) (3.2) vw, (.) (.) L q (0, l) L (0, l) eşitsizliği sağlaır acak ve acak 0tl 0tl q (0) (0) B su B( t) su V( t) W( t). 37

Uyarı 3.8 B 0 olmak üzere C O() B dir. Teorem 3.9 E X, T L( X, Y) komakt bir oeratör ve ( u ), E de bir dizi olsu. T L( X, Y) komakt oeratörü her zayıf yakısak bir ( u ) dizisii kuvvetli yakısak bir diziye döüştürür. Souç 3.20 0,l de taımlı ölçülebilir ozitif fg, foksiyolar ve s,, ozitif sayılarıı alalım. l F( ) f( t) dt, s s ( ) g( t) dt ve B( ) F ( ) G ( ), B4(, s) f( t) G ( t) dt G ( ) 0 0 G ifadelerii alalım. O zama B su B( ) ve B4 su B4( ) sayıları karşılıklı dektir. 0l Teorem 3.2 XY, Baach uzayları olsu. Eğer T : X Y, L( X, Y ) deki komakt 0l oeratörlerii bir dizisi ve bazı T L( X, Y) içi T T 0 X ise T komakttır. Y Teorem 3.22,q 0 ve f ( ) 0 ölçülebilir foksiyolar öyle ki, (.) q(.) q ( 0) (0). O zama L (0, l) L (0, l) ye H v, w oeratörü komakttır acak ve acak q(0) (0) q(0) (0) lim suv ( t) W( t) 0 ve su V ( t) W ( t) t0 t(0, ) dır. İsat Yeterlilik 3 H f( ) P f( ) P f( ) P f( ) P f( ) v, w i 2 3 i şeklide alalım. P f( ), P2 f( ), P3 f( ) leri aşağdaki gibi ifade edelim. a (0,) ve q (0) (0) B( t) V( t) W( t) olmak üzere, 38

P f( ) ( ) v( ) f( t) w( t) dt, (0, a) 0 P f( ) ( ) v( ) f( t) w( t) dt, 2 ( a,) a 0 P f( ) ( ) v( ) f( t) w( t) dt. 3 ( a,) a Burada P 2, solu rak oeratörü olması halide P 3, solu rak oeratör dizisii orm limitidir. Şimdi yukarıdaki Teorem 3.7, Uyarı 3.8 ve lim Bt ( ) 0 şartıda t0 P f( ) v( ) f( t) w( t) dt C f q(.),(0, l) (.),(0, l) 0 q(.),(0, l) yazılabilir. Böylece t 0 ike, H f vw, P 2 P 3 (.) q(.) P (.) q(.) O su B ( t ) 0 L L L L 0 t a elde edilir. Burada yeterlik isatlamış olur. Gereklilik ( ) ( ) ( ) (0, t) t ft( ) w( ) d ( ) w( ) 0 foksiyouu alalım. Bu foksiyou (3.2) de yerie yazarsak aşağıdakii elde ederiz. 39

( ) t ( ) ( ) ( ) ( ft ) w( ) d (0, t) ( ) w( ) d 0 0 t t ( ) ( ) w( ) d w( ) d 0 0 Böylece ( f ) olur. t Değişke üslü ormları elemeter özellikleride, f ( ) t L (.) (0,) diyebiliriz. Hölder eşitsizliğide ve tüm L (.) (0, l) içi t 0 ike, l f ( ) ( ) d k( ) f (.) (.) (.) 0 t t (.) L (0, l) (0, l) (.) L (0, l) 0 eşitsizliğii yazabiliriz. Böylece ft 0 a zayıf yakısar. Burada H, Teorem 3.9 da L q(.) (0, l ) ormuda Hv, w ft 0 a yakısar. Böylece t 0 ike, v, w t vw u komaktlık hiotezide ve ( H f ) 0 (3.3) olur. Diğer tarafda, 40

q ( ) q ( ) t s ( ) ( ) ( s) ( Hv, w ft ) v( ) w( ) d (0, t) ( s) w( s) w( s) ds d 0 0 0 t t s ( ) q( ) ( ) ( s) v( ) w( ) d w( s) ds d 0 0 0 (3.4) Lemma 3.4 de, t q ( ) q q( ) q( ) ( ) (2 C) v( ) W( ) W( t) d 0 Lemma 3.5 de, q q(0) t (0) q( ) q( ) W( t) v( ) W( ) d 2 C 0 Lemma 3.6 de, t (0) q( ) q(0) W( t) v( ) W( ) d C 2 0 q(0) q(0) Souç 3.20 de, q(0) (0) C3 V( t) W( t) q(0) (3.5) elde edilir. Bu eşitsizlikte ve (3.3) de t 0 içi, q(0) (0) V( t) W( t) 0 olur. Burada gereklilik isat edilmiş olur. 4

Dikkat edilirse (3.5) eşitsizliğii isatıda aşağıdaki şartlar altıda Souç 3.20 ye başvurduk. ( ) F( t) V( t) v( ) q d, t t ( ) ( ) ( ) ( ) G t W t w d 0 ve,, s, f( t) v( ), g( t) w( ) q(0) (0) (0) q( ) ( ). O zama, t q(0) s q( ) q(0) (0) t s f( ) G( ) d G( t) v( ) W( ) d W( t) 0 0 Souç 3.20 de, q(0) (0) CF( t) G( t) CV( t) W( t) olur ki bu ise Teorem 3.22 u isatıı tamamlar. 42

BÖLÜM 4 SONUÇ VE ÖNERİLER Hardy eşitsizlikleri ve Hardy oeratörleri, komaktlık teoriside çok öemli bir yere sahitir. Özellikle güümüzde sabit veya değişke üslü Lebesgue ve Sobolev Uzayları teorisii, elastik mekaik, akıskalar diamigi ve varyasyoel hesa ile ilgili roblemlerle yoğu bir ilişki içeriside olması ve sözü edile uzayları Hardy eşitsizlikleri ve Hardy oeratörleri ile ola yakı ilişkisi düşüüldüğüde kouu öemi daha iyi alaşılmaktadır. Eşitsizlikleri sıırlılıkla ve sıırlılığıda komaktlık ile ola ilişkisii biliyoruz. Komaktlığı sıırlılığı gerektirdiğide bu tez çalışmasıda ağırlıklı ve değişke üslü Lebesgue uzayıda Hardy oeratörü icelemiş ve verile şartlarda komaktlığı gösterilmiştir. İleri bir çalışma olarak bezer ya da ayı koşullarda ağırlıklı ve değişke üslü Lebesgue uzayıda Hardy oeratörüü komaktlığı içi daha kolay, uygulaabilir, gerekli ve yeterli koşullar araştırılabilir. 43

KAYNAKLAR [] Hardy, G. H. (920). Notes o a theorem of Hilbert, Math. Z. 34-37. [2] Hardy, G. H. (925). Note o a theorem of Hilbert cocerig series of ositive terms. Proc. Lodo Math. Soc. 23, 45-46. [3] Leviso, N. (964). Geeralizatios of a iequality of Hardy, Duke Math. J. 3, 389-394. [4] Kufer, A., Maligrada, L. ad Persso, L.E., (2007). The Hardy Iequality About Its History ad Some Related Results, Vydavatelsky Series, Czech Reublic. [5] Mamedov, F.I. ad Zere, Y., (202). O equivalet coditios for the geeral weighted Hardy tye iequality i sace L(.), Zeitsch. Aal.Aw. 3(), 55-74. [6] Stuart, C. A. (973). The measure of o comactess of some liear itegral oerators, Proc. R. Soc. Ediburgh A7, 67 79. [7] Juberg, R.K. (974). Measure of o-comactess ad iterolatio of comactess for a class of itegral trasformatios, Duke Math. J., 4, 5-525. [8] Oic, B. ad Kufer, A. (987). Remark o comactess of imbeddigs i weighted saces, Math. Nachr. 33, 63-70. MR 88m:4604 [9] Steaov V. D. (990). Weidhted iequalities of Hardy tye for Riema- Liouville itegrals, Sibirsk. Math. Zh. 3, No. 3, 86-97. [0] Edmuds, D.E., Gurka, P. ad Pick, L.,(994). Comactess of Hardy-tye itegral oerators i weighted Baach fuctio saces, Studia Math. 09, No., 73 90. 44

[] Edmuds, D.E., Kokilashvili, V. ad Meskhi, A.,(2005). O the boudedess ad comactess of the weighted Hardy oerators i saces, Georgia Math. J.,2(), 27-44. [2] Gogatishvili, A., Kufer, A., Persso, L.E. ad Wedestig, A.,(2006). Comactess of the Hardy oerator ad its Limitig Case, SoochowJoural of Mathematics Volume 32, No.,. 2-35. [3] Avcı, M., (2007). Hardy Eşitsizlikleri ve Hardy Tili Oeratörler, Yüksek Lisas Tezi, Dicle Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Diyarbakır. [4] Orlicz, W., (93). Über kojugierte Eoetefolge. Studia Math., 3:200 2. [5+ Sharaudiov, I., (979). O the toology of the sace L(t)(*0; +). Math. Notes, 26(3 4):796 806 [6] Kovacik, O. ad Rakosik, J., (99). O the saces ( ) k, ( ) L ad W. Czechoslovak Mathematical Joural, Vol. 4, No. 4, 592 6. [7] Keleş, M. Ö., (20). Değişke Üslü Lebesgue Uzayıda Hardy Oeratörüü Sıırlılığı, Yüksek Lisas Tezi, Dicle Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Diyarbakır. [8] Mamedov, F.I. ad Zere, Y., (20). O a two-weighted estimatio of maimal oerator i the Lebesgue sace with variable eoet, A. Mat. Pura Al. (4) 90, No: 2, 263 275. [9] Mamedov, F.I. ad Zere, Y., (20). Two-weight iequalities for the maimal oerator i a Lebesgue sace with variable eoet, J. Math. Sci. 73, 70 76 [20] Harma, A. ad Mamedov, F.I., (200). O boudedess of weighted Hardy oerator i L(.) ad regularity coditio, Joural Ieq. Al., vol. (), ArticleID 83795, 4 ages. [2] Cruz-Uribe, D., ad Mamedov, F.I., (202). O a geeral weighted Hardy tye iequality i the variable eoet Lebesgue saces, Revista Mat.Com.DOI:0.007/s363-0-0076-5. [22] Edmuds, D.E. ad Meskhi, A.,(2002). Potetial-tye oerators i L() saces, Z. Aal. Aweduge 2, No. 3, 68 690. 45

[23] Samko, S.,(200). O comactess of oerators i variable eoet Lebesgue saces, Oerator theory: Adv. Ad Al., 202, 497-508. [24] Edmuds, D.E., Kokilashvili, V. ad Meskhi, A.,(2002). Bouded ad comact itegral oerators, Mathematics ad its Alicatios, 543. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002 [25] Edmuds, D.E. ad Nekvida, A.,(2002). Averagig oerators o L() ad L(), Math. Iequal. Al. 5, No. 2, 235 246. [26] Mamedov, F.I.,(202). O Hardy tye iequality i variable eoet Lebesgue sace L(.)(0; ), Azerbaija J. Math., 2(), 90-99. [27] Mamedov, F.I. ad Harma, A.,(200). O a Hardy tye geeral weighted iequality i saces L(.), Itegral Equat.ad Oer. Theor., 66(4), 565-592 [28] Hudzik, H.,(980). The roblems of searability, duality, refleivity ad of comariso for geeralized Orlicz Sobolev saces WkM ( ), Commet. Math. Prace Mat. 2, No. 2, 35 324. [29] Bradley, J.,(978). Hardy iequality with mied orms, Caad. Math. Bull. 2, No. 4, 405 408. [30] Dieig, L. ad Samko, S.,(2007). Hardy iequality i variable eoet Lebesgue saces, Fract. Calc. ad Al. Aal., 0(), -7 [3] Dieig, L., Maimal fuctio o geeralized Lebesgue saces Math.Iequal. Al. (to aear) (.) L [32] Mamedov F.I. ad Harma, A.,(2009). O a weighted iequality of Hardy tye i saces (.) L, J. Math. Aal. Al., 353(2), 52-530. [33] Krbec, M., Oic, B., Pick, L. ad Rakosik, J.,(993). Some recet results o Hardy tye oerators i weighted fuctio saces ad related toics, Fuctio saces, differetial oerators ad oliear aalysis (Friedrichroda, 992), 58 84, Teuber-Tete Math., 33, Teuber, Stuttgart. [34] Kokilashvili, V.,(979). O Hardy s iequalities i weighted saces, Russia Soobsch. Akad.Nauk Gruz. SSR 96, 37 40. [35] Kufer, A. ad Persso, L.,(2002). Itegral iequalities with weights, World Scietific, Sigaore. 46

[36] Edmuds, D.E., Lag, J. ad Nekvida, A.,(999). O L() orms, R. Soc. Lod. Proc.Ser. A Math. Phys. Eg. Sci. 455, No. 98, 29 225. [37] Oic, B. ad Kufer, A.,(990). Hardy-tye iequalities, Pitma Research Notes i Mathematics Series, 29. Logma Scietific & Techical, Harlow. [38] Muckehout, B.,(972). Hardy s iequality with weights, Studia Math. 44, 3 38 47

ÖZGEÇMİŞ KİŞİSEL BİLGİLER Adı Soyadı Doğum Tarihi ve Yeri Yabacı Dili E-osta : Lütfi AKIN : 28/02/978 Viraşehir : İgilizce : lutfiaki@hotmail.com ÖĞRENİM DURUMU Derece Ala Okul/Üiversite Mezuiyet Yılı Y. Lisas Matematik Harra Üiversitesi 2008 Lisas Matematik Pamukkale Üiversitesi 2003 Lise Fe Bilimleri Ceylaıar Lisesi 995 48

İŞ TECRÜBESİ Yıl Firma/Kurum Görevi 2003- Milli Eğitim Bakalığı Öğretme YAYINLARI Makale.Mamedov, F. I., Zere, Y. ad Aki, L., (203). O comactes of weighted Hardy oerator i Subject Classificatio. (Baskıda). (.) L saces. AMS 200 Mathematics Bildiri. Mamedov, F., Zere, Y. ad Aki, L., (203). O comactess criterio for the Hardy oerator i weighted sace L (.) (0,), Iteratioal Coferece o Alied Aalysis ad Mathematical Modelig, 2-5 Hazira 203, İstabul. 49

Proje. Yıldız Tekik Üiversitesi Bilimsel Araştırma Projeleri Koordiatörlüğü 204-0-03-DOP0 umaralı roje. ÖDÜLLERİ.Takdir Belgesi, T.C. Mardi Valiliği, 20, Mardi 50