Denklem ve Eşitsizlik Öğretimi

Denklem ve Eşitsizlik Öğretimi Yazar Yrd.Doç.Dr. Murat ALTUN ÜNİTE 10 Amaçlar Bu ünitei çalıştıktan sonra öğrenciler; Denklem, özdeşlik ve eşitsizlik kavramlarının öğretiminin gerekliliği ile ilgili nedenler ileri sürebilirler, Denklem, özdeşlik ve eşitsizlik öğretiminde kullanılan materali tanır ve üretebilirler, Denklem ve eşitsizlikle ilgili bilginin problem çözmede kullanılabilmesi için ugun haati problem durumlarının nasıl üretilebileceğini anlaabilirler, Problemin gerektirdiği denklem, denklem sistemi ve eşitsizlikleri azma ve çözebilmenin nasıl öğretileceğini kavraabilirler. İçindekiler Giriş 189 Denklem Kavramının Öğretimi 189 Denklemlerin Kullanımlarının Öğretimi 194 Denklem Sistemi Kavramının Öğretimi 198 Özdeşlik Kavramının Öğretimi 199 Eşitsizlik Kavramının Öğretimi 202 Eşitsizliklerin Kullanımının Öğretimi 203

Özet 204 Değerlendirme Soruları 205 Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kanaklar 208 Çalışma Önerileri Bu ünitei çalışırken; İ.M.P.'den denklem ve eşitsizliklerle ilgili konuları ve bunların sınırlarını inceleiniz. Metin içinde geçen etkinlikleri gerekli materalleri sağlaarak apınız. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 189 1. Giriş Günlük haatta, bilimsel çalışmalarda ve bazı meslek alanlarında karşılaşılabilen problemlerin bazıları bir denkleme vea bir denklem takımına indirgenebilmektedir. Bazen de bu problemlerin çözümü bir denklem erine eşitsizlik çözümüne bağlı kalabilmektedir. Bu bakımdan matematikte denklem ve eşitsizlik kavramlarının öğretiminin büük önemi vardır. Denklem kavramı ilköğretimin altıncı sınıfından itibaren verilmee başlanır. Bunun nedeni şöle açıklanabilir. Denklem, bilginin ve bilgilerin arasındaki ilişkilerin sembollerle gösterilmesini gerektirir. Bu durum ise, Piaget'in insan zihninin gelişmesi ile ilgili olarak verdiği aşamalardan "sout işlemler dönemi"nde mümkün olabilmektedir. Sout işlemler döneminin başlangıcı 11-12 civarları olduğundan bu aşların tekabül ettiği 6. sınıf programları denklem kavramının verilmesi için ugun bulunmaktadır. Denklem kavramının nasıl kazandırılacağı ve öğrencilerin denklemle ilgili bilgii kullanıma sokabilmelerinin nasıl sağlanacağı aşağıda açıklanmaktadır. 2. Denklem Kavramının Öğretimi Denklem bilinmeen içeren bir eşitliktir. Böle bir eşitlik bilinmeenlerinin alabileceği değerler için sağlanabilir vea sağlanamaz. Eğer içerdiği bilinmeen vea bilinmeenlerin her değeri için sağlanıorsa eşitliğe özdeşlik, bir kısmı için sağlanıor vea hiçbir değer için sağlanmıorsa denklem denir. 2-1 = (-1) (-1) ( + ) 2 = 2 + 2 + 2 ifadeleri birer özdeşlik + 1 = 7 2 + 6 = 5 + = 7 2 + 5 = 0 2 + 2 = -15 birer denklemdirler. Bir denklemde eşitliği sağlaan değere denklemin çözümü denir. Böle bir değer bulunamadığı takdirde, denklemin çözümünün olmadığına karar verilir. Reel saılar kümesinde, ukarıda verilen denklemlerden birincisinin 1, ikincisinin 2, üçüncüsünün sonsuz çözümü vardır, dördüncüsü ve beşincisinin çözümü oktur. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

190 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ İlköğretimin 4. ve 5. sınıflarında, problem çözme çalışmaları sırasında sık sık eşitlik azma ihtiacı doğar ve bu eşitliklerde öğrencilerin bilinmeen erine çoğu kez bir soru işareti () komaları önerilir. Örneğin; "Bir karınca dakikada 13m. ol alıor. 117 m. olu kaç dakikada alır" problemi için azılan eşitlik 13 = 117 şeklinde olabilir. Bazen öğretmenler bu soru işareti erine çocukların alışık olduğu,, Ο gibi şekiller de koarlar. Bunların kullanılması öğrencileri denklem fikrine hazırlar. Öğretim sırasında üzerinde durulması gereken iki önemli nokta (1) Denklemin kurulması, (2) Denklemin çözülmesidir. Bir denklemin çözümü, aksiom olarak bilinen; "Bir eşitliğin her iki tarafına anı şeler eklenir vea çıkarılırsa eşitlik bozulmaz", "Bir eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı anı bir saı ile çarpılır vea bölünürse eşitlik bozulmaz". Şeklindeki iki temel ifadeden ararlanılarak apılır. Denklem kavramının ve onun çözümünün kazandırılmasında bu düşüncelerin önemi büüktür ve öncelikle bunlar sezdirilmelidir. Aşağıdaki etkinlik bunlarla ilgilidir. Etkinlik : Eşitlik azma Materal : Değişik bolarda çubuklar (1cm., 2cm.... 10cm.) Grup : 2-3 kişi İşlemler : 2 3 5 düzeneğin saılarla ifade edilmesi. (2 + 3 = 5) 1+5 = 6 eşitliğine ugun düzeneğin hazırlanması. p q düzeneğin harflerle ifade edilmesi. m s s = t + olacak şekilde çubuğunun seçilmesi. t Etkinlik : Denklik aksiomları Materal : Terazi, çok saıda misket, raptie vea ataç Grup : 2-3 kişi İşlemler : Grubun, her iki kefee bir miktar misket koması ve terazii dengee getirmesi. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 191 Her iki kefee saarak 5'er misket daha konması halinde sonucun ne olacağının tahmin edilmesi. Misketlerin konması, sonucun gözlenmesi ve sözle ifade edilmesi. Her iki taraftan saarak 7'şer tane misket alınması, sonucun gözlenmesi ve ifade edilmesi. Öğretmenin, terazinin bir kefesinden saarak belli saıda söz gelimi 7 misket, diğer taraftan samadan bir avuç misket alması, grup üelerinin alınan misketlerin 7'den çok, az vea eşit olduğunu anlamaa çalışmaları. Terazinin kefelerinden birine belli bir saıda misket konması, diğer bir kefee bir avuç misket konması. Terazideki konuma bakarak konan bir avuç misketin diğer kefee eklenenlerden az mı çok mu olduğunun anlaşılması. Bu etkinliğin sürdürülmesi sırasında, öğrenciler denk olma, her iki tarafa anı miktarı ekleme vea çıkarma elemleri ve bunların sonuçları üzerinde tartışmalı ve aksiomlar öğrencilere sezdirilmelidir. Öğrenciler terazi kullanmadan, "Her iki tarafa 10'ar misket eklersek ne olur" "Her iki taraftan 10'ar misket çıkarsak ne olur" sorularına cevap verebilir duruma gelmelidirler. Denklem kavramını kazandırma ve denklem çözmele ilgili etenekleri geliştirebilmek için düzenlenebilecek bir başka etkinlik, aşağıdaki sorularda pionların değerlerinin zihinden bulunmasıdır. Bu etkinlik alıştırma karakterindedir ve gittikçe zorlaşan ve probleme dönüşen maddeler içermekte, denklem çözmede başvurulan aksiomların her birinin kullanımını gerektirmektedir. Bu sorularda pionların bilinmeenleri, anlarındaki saılar onlara eklenenleri, terazinin diğer tarafı eşitliğin ikinci anını göstermektedir. Etkinlik : Bilinmeen Kavramı Grup : 2-3 kişi İşlemler : Aşağıdaki sorularda pionların değerlerini bulunuz ve bir pionun değerini ile gösteriniz. 1-6 = 5-9 = 2-3 8 = 6-2 8 2 = 3-2 10 = 7-1 8 = 4-3 = 8-1 3 4 = AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

192 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ Bu soruların her birinin çözüldükten sonra açıklanması ve nasıl çözüldüğünün, çözerken hangi düşüncelerden ararlanıldığının sınıfça tartışılması gerekir. Daha sonra erine doğrudan azmak ve terazi erine eşit kullanmak suretile, terazideki ola matematik eşitliğe aktarılır. İlk iki sorunun erine 2 = 6 + 3 = 8 denklemleri azılır ve diğer sorularla ilgili denklemlerin azılması öğrencilere bırakılır. Doğru apıp apamadıkları kontrol edilir. Bilinmeen kavramı ile ilgili ilk çalışmalarda bilinmeenin değerinin pozitif tamsaı olması daha ugundur. Neden Denklem ve bilinmeen kavramlarını kazandırmak ve bilinmeen kullanmaa olan ihtiacı ortaa komak için ine teraziden ararlanılarak apılabilecek bir başka etkinlik aşağıda verilmiştir. Bu etkinlikte öğrencilerin zihninde "2'e kaç eklenmelidir ki 7 etsin" sorusu oluşturulmaa çalışılmaktadır. Bu cümle öğretmen tarafından kullanılmalıdır. Etkinlik : Denklem ve Bilinmeen Kavramları Materal : Terazi, birim bloklar, ağzı büzgülü torba vea poşetler Grup : 2-3 kişi İşlemler : Terazide görülen olaın sembolle azılması ve sonra ugun problem ifadesini sölemeleri. Denklemin somut materalle gösterimi Sembolle az m Problemin ifadesi 1-2- 3- Yukarıdaki ilk denede sembolle azım +2 = 7 ve problemin ifadesi "2'e kaç eklenmeli ki 7 etsin" şeklindedir. Benzer çalışmalar terazi ve somut materal terkedilip bunların şemaları üzerinde de sürdürülebilir. Burada poşetlerin farklı büüklükte ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 193 olduğu ve bu farklılıktan ötürü vea başka bir sembolle göstermenin bir kolalık olacağına dikkat çekilir. Aşağıda gösterilen çalışma 2 sembolünü içermektedir. 2 + 3 = 13 Somut materal kullanarak denklem azma, 1cm'den 10cm'e kadar olan çubukları kullanmak suretile de mümkündür ve oldukça koladır. Çubukların bulunamaması halinde karton kullanılarak anı çalışma apılabilir. Etkinlik : Denklem ve Bilinmeen Kavramları Materal : 1cm'den 10cm'e kadar çubuklar vea karton, makas, kalem. Grup : 2-3 kişi İşlemler : Kartondan 1cm. eninde ve 1, 2, 3,..., 10cm. bounda şeritlerin kesilmesi bir üzlerine bolarının azılması. İki öğrencinin kartlardan birinin azısız, diğerlerinin azılı üzlerini kullanarak, aşağıda verilen örnektekine benzer eşitlik oluşturmaları. Üçüncü öğrencinin bu eşitliğe ugun denklemi azması. 10 4 + 4 = 10 gibi Uzun olan kartonun kaldırılıp erine, bilinmeen ve diğer parçaa denk iki karton koması. Sonra her ikisinden anı miktarları aırması. 6 4 4 = 6 'in diğer üzünün çevrilmesi ve bulunan değerin azılı olduğunun görülmesi. Çözümde izlenen olun cebirsel oldan apılması ve açıklanması. + 4 = 10 + 4 = 6 + 4 = 6 örneğindeki gibi. Anı bo iki vea üç kartonun bilinmeen olarak (azısız üzü kullanılarak) seçilmesi ve 2 + 2 = 8 örneğine ugun bir denklem elde edilmesi ve bunun çözülmesi. Gruptaki öğrencilerin sırala denklem kurma ve çözme görevini üstlenmeleri. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

194 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ Denklem çözmede başvurulan aksiomlardan biri de eşitliğin her iki anını anı saı ile çarpma vea bölme dir. 2 + 2 = 8 denkleminin çözümü bölme gerektirir. Bu aksiomu sezdirmek için nasıl bir denesel çalışma düzenlenebilir 3. Denklemlerin Kullanımlarının Öğretimi "Denklem kurma ve çözme" esas itibarile bir problem çözme stratejisidir. Yani problem çözme ihtiacının bir sonucu olarak denklem kavramı ve onun çözülmesi süreci icadedilmiş ve öğretim programlarına girmiştir. Bu bakımdan denklemlerle ilgili bilginin ugulama düzeine ükseltilebilmesi için bilginin problem çözmede kullanılması gerekir. Burada öğretmene düşen iş, öğrencilere anlamlı gelecek sosal değer taşıan problemler sunmaktır. Problemleri çözerken öğrencilerin birbirlerile etkileşimine imkan verilmelidir. Örnek: Yerdeki kanadı kırık kaz, gökte uçan kazları selamlaarak, "He! 50 kaz neree böle" demiş. Kazların şefi cevap vermiş. "Biz, 50 kaz değiliz. Biz, bizim iki katımız, iki katımızın da iki katı ve 1 de sen gelebilirsen ancak 50 kaz oluruz" demiş. Acaba gökte uçan kaç kaz varmış Bu problemin çözümünü aparken gökte uçan kazları ile göstermek, çözümü kolalaştırır. Alış-veriş, geometrik şekillerle ilgili problemler de bilinmeen kullanmanın sağladığı kolalıkları sezmek bakımından ugun konulardır. İki simit, bir ekmek, bir pide satın aldım ve kasaa 200.000 lira ödedim. Bana para üstü olarak 40.000 lira verildi. Fiatlarını bilmiorum ama ekmek, simidin; pide ekmeğin 2 katı. Pidenin fiatı kaç liradı acaba 4.5m. uzunluğunda bir çıtadan dikdörtgen şeklinde bir çuha pano apılmak istenior. Bu panonun uzun kenarının, kısa kenarın 2 katı olması istenior. Çıta kaç cm. uzunluğunda parçalara arılmalıdır Problem konularının haati olması, öğrencilerin haalleri, ümitleri ve hobilerini konu alması çözüm sürecinin kavranmasını kolalaştırır. Denklem çözümünde ikinci adım iki bilinmeenli denklemlerin çözümüdür. İki bilinmeenli denklemlerin kuruluşu bir bilinmeenli denklemlerde olduğu gibi çubuk ve kartonlardan ararlanarak apılabilir. Çubuk kullanılması halinde onluk sistemin tanıtılmasında kullanılan 1'lik modelden (1cm 3 ) çok saıda olması gerekir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 195 Etkinlik : İki Bilinmeenli Denklem Kurma Materal : Çubuklar (1cm., 2cm., 3cm.,... uzunluğunda) vea karton, cetvel, makas. Grup : 2-3 kişi İşlemler : Kartonlardan farklı boda iki tanesinin azılı olmaan, 1cm'liklerin azılı olan üzleri görünecek şekilde aşağıdaki örneğe benzer bir denklik oluşturulması. + 4 = 2 + + 1 = + + Böle bir denklemin kaç çözümünün olduğunun araştırılması. Seçilen denklemde = 0 için ve = 1 için değerlerinin bulunması. Öğrencilerin eni çözümler üretmeleri ve örneğin +4 = denklemi için aşağıdaki tablonun doldurulması. 0 4 1 5 2 3 İki bilinmeenli bir denklemin sonsuz çözümünün olduğunun sezilmesi. Böle bir denklem kurmaı gerektiren bir problem şöle seçilebilir. "Çevresi 40m. olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın kenarları kaçar metredir" Birinci kenar : İkinci kenar : ile gösterilecek olursa 2 + 2 = 40 denklemi elde edilir ve bu denklemin her çözümü arsanın ölçülerini verir. Yani çevresi 40m. olan dikdörtgen şeklinde birçok arsa vardır. Yukarıdaki şekil de iki bilinmeenli bir denklem kurmaı gerektirir. Bu denklemi azınız. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

196 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ İki bilinmeenli bir denklemin çözümlerini analitik düzlemde göstermek mümkündür ve buna grafikle çözüm denir. Öğrenciler geometri ile ilgili çalışmalarda, analitik düzlemi ve bu düzlemde her noktanın bir saı ikilisine eşlendiğini bilirler. Bu ikilinin birincisi apsis olup ekseni üzerinde, ikincisi ordinat olup ekseni üzerinde seçilir. "Bir çift zar atıldığında toplamı 7 eden saılar nelerdir" problemi, + = 7 denkleminin çözümünü gerektirir ve grafikle çözümün öğretimi için ugun bir çalışmadır. İkinci zar 6 5 4 l l l 3 2 1 l l l 1 2 3 4 5 6 Birinci zar fi ekil 10.1: Toplam 7 Gelen Sa lar Bu örnekte çözüm kümesi altı elemanlıdır. Bazen problemin hikaesine ugun olarak çözüm kümesinin eleman saısı sonsuz olabilir. Çözümün ne zaman kısıtlandığı ve ne zaman sonsuz olduğu bu tür problemlerin çözümlerinin değerlendirme safhalarında apılmalıdır. "20cm. uzunluğunda bir demir telden kaç değişik dikdörtgen çerçeve apılabilir" problemi 2 + 2 = 20 denkleminin çözümünü gerektirir. 1 9 2 8 3 7...... 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fi ekil 10.2: Denklemin Grafikle Çözümü ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 197 Tabloda gösterilen (1;9), (2;8),... değerlerinin anısıra (1,2 ; 8,8) gibi ondalık değerlerin de çözüm olduğu öğrenciler tarafından kolaca fark edilebilir. Bölece sonsuz çözümün olduğu anlaşılır. Bu problemin sonsuz çözümünün olmasına karşın çözüm kümesi sınırlıdır. Grafik alnız ve eksenlerinin birinci bölgesinde kalan doğru parçası üzerindeki noktalardan oluşur. Niçin Bu safhada öğrencilerden ukarıda verilen iki grafiğe benzer problem konuları bulmaları ve sınıfça tartışmaları istenebilir. Son olarak nasıl bir doğal problem seçmeli ki çözümü sınırlı olmasın Kuşkusuz ki "toplamları 15 eden iki saıı nasıl seçebilirsiniz" biçimindeki bir sorunun, tüm reel saılar için çözümü sınırlı değildir, ancak böle bir problem, konusu doğal olalardan seçilen problemler kadar öğretici değildir. "Bir adanın gece ve gündüz sıcaklıkları ortalaması 2 C dir. Bu adada hangi sıcaklıklar ölçülmüş olabilir" sorusu çözüm kümesini genişletmee ugundur. Gece sıcaklığı Gündüz sıcaklığı -3 7 0 4 2 2 10-6 15-11...... + 2 = 2 7 6 5 4 3 2 1-2 -1-1 -2-3 1 2 3 4 5 6 7 Şekil 10.3: Denklemin Reel Saılar Kümesinde Grafikle Çözümü AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

198 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ Denklem kurma ve çözme çalışmaları sırasında her zaman burada örneklenenlere benzer, konusunu doğal olalardan alan problemler bulmak güç olabilir. Bu nedenle alıştırma, soutlama ve pekiştirme çalışmalarında haali problemlere er verilebilir. Özellikle; denklem, bilinmeen, çözüm gibi kavramların kazandırılması sırasında seçilen problemlerin doğal problemler olmasına özen gösterilmelidir. 4. Denklem Sistemi Kavramının Öğretimi Denklem gibi, denklem sistemi de bir problemi çözmek için geliştirilmiş bir kavramdır ve bir problem çözme stratejisidir. Bilindiği gibi denklem sistemi birden çok denklemden oluşan kümee, sistemi çözme die de bu denklemlerin birlikte çözülmesine vea onların çözüm kümelerinin ortak elemanının bulunmasına denir. Denklem sistemi fikrini kazandırmada öğretmenin görevi, "bir denklem sistemi kurmaı ve çözmei gerektirecek bir doğal ola bulma ve bunun üzerinde grup tartışması açmak"tır. Şimdi "20cm. uzunluğunda bir demir telden, kenarlarının uzunlukları arasındaki fark 4cm. olan bir çerçeve apılmak istenior. Bunu nasıl başarabiliriz" sorusunu gözönüne alalım. Bu problemin çözümü 2 + 2 = 20 denkleminin anısıra - = 4 denklemin çözümünü de gerektirir. Bu iki denklemden oluşan denklem kümesine denklem sistemi denir ve sistemi oluşturan denklemlerin bir olaı açıklığa kavuşturmak üzere bir araa geldikleri sezdirilir. Etkinlik : Denklem Sistemi ve Çözümü Materal : 20cm. uzunluğunda tel, pipet vea çıta, apıştırıcı, makas Grup : 2-3 kişi İşlemler : Grupların 20cm.'lik çıtadan kenarlarının uzunlukları arasındaki fark 4cm. olacak şekilde dikdörtgen apmaa çalışmaları. Yanlış kesimlerle elde edilen dikdörtgenlerin muhafaza edilmesi. Gruplardan çözüm listelerini azıp ortak çözüm araanların uğraşanlarının üzerinde sınıf tartışması açılması. Denklem Çözüm kümesi 2 + 2 = 20 { (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), (5,5), (6,4), (7,3), (8,2), (9,1)... } - = 4 { (10,6), (9,5), (8,4), (7,3), (6,2), (5,1), (4,0)... } (7;3) çözümünün ortak olduğunun görülmesi, ugun dikdörtgen çerçevenin apılması ve sergilenmesi. Çözümün doğruluğunun kontrolü. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 199 Gruplardan çözümü analitik düzlemde araanların uğraşılarının sınıf tartışmasına açılması. İki doğrunun kesim noktasının (7,3) olduğunun görülmesi ve grafikle çözümün bir öntem olabileceğinin sezilmesi. Öğrencilerin benzer başka bir problem kurmaları ve çözmeleri. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 (7,3) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Şekil 10.4: Denklem Sisteminin Grafikle Çözümü Denklem sistemlerinin çözümlerinin bunların dışında öntemleri de vardır. Diğer öntemler burada tartışılmaacaktır. 5. Özdeşlik Kavramının Öğretimi Özdeşlik kavramı cebir öğretimi içinde önemli bir ere sahiptir ve özdeşlikler bilinmeen içerme, eşitlik içerme bakımından denklemlere benzemektedirler. Öğrenci zihninde birbirlerile çok karıştırılırlar. Özdeşlik kavramının soutlanabilmesi ve cebirdeki önemi bakımından öğretiminin nasıl apılacağı aşağıda verilmiştir. Bir özdeşlik, içerdiği bilinmeenlerin her değeri için sağlanan bir eşitliktir. 3-3 = ( - ) ( 2 + + 2 ), 2-4 = ( - 2) ( + 2) gibi. Eşitliğin bir tarafı diğer taraftaki işlemlerin apılmasi ile elde edilir. Örneklerdeki işlem çarpma ve toplamadır. Eşitliklerin birinci taraflarından ikinci taraflarını elde etme ifadei çarpanlarına aırma olarak bilinir ve hemen hemen tüm cebirsel işlemlerde çarpanlara aırma ile karşılaşılır. Öğrencilerin bir ifadei çarpanlarına aırma vea çarpanlardan ifadei elde etmede aptıkları hata ( + 2) ( + 3) = çarpımını 2 + 5 + 6 erine 2 + 6 olarak azmalarıdır. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

200 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ Özdeşliklerin öğrenciler tarafından üretilebilmesinde, materal olarak onların alan hesaplama ile bilgileri kullanılabilir. Ölçüler ve geometri öğretiminde de değinildiği gibi alan hesaplamada dikdörtgenin alanı, hacim hesaplamada dikdörtgenler prizmasının hacmi temel alınır. Örneğin ( + a) 2 = 2 + 2a + a 2 olduğunun öğretimi bir etkinlik olarak şöle düzenlenebilir. Etkinlik : Özdeşlik ve Çarpanlara Aırma Materal : Kalem, kağıt, cetvel Grup : 2-3 kişi İşlemler : Her grubun, kağıda bir kenarı herhangi bir saı uzunlukta olan bir kare çizilmesi ve gruplar arasındaki farklılıkları gidermek için karenin bir kenarına denmesi. Karenin alanının hesaplanması ( 2 ) ve içine azılması. Karenin bir köşeden çıkan kenarlarının bitim noktasından itibaren birinci grupta 1 birim, ikinci grupta 2 birim, şeklinde her grup tarafından uzatılması ve elde edilen kenarların karee tamamlanması. 1 2 2 ( + 1)2 = 2 ( + 2) 2 = 1 2 Birinci grubun çalışması İkinci grubun çalışması Elde edilen büük karelerin alanlarının gruplar tarafından hesaplanması. Grupların eklenen bölgei, kare ve dikdörtgenlere aırıp aıramadıklarının izlenmesi, gerekli görüldüğü taktirde ipucu verilmesi. 1 1 2 4 ( + 1) 2 = ( + 2) 2 = 1 2 ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 201 Karelerin alanlarını, Birinci grubun ( + 1) 2 = 2 + + + 1 = 2 + 2 + 1 İkinci grubun ( + 2) 2 = 2 + 2 + 2 + 4 = 2 + 4 + 4 olarak elde etmesi. Tüm grupların elde ettikleri sonuçları panoda sergilemeleri. Bu çalışmadaki tüm grupların elde ettiği tamkare açılımların tartışmaa açılması ve sonucu ( + p) 2 = 2 + 2p + p 2 olacağının kararlaştırılması. (+2) (+3) = işleminin sonucunun 2 + 5 + 6 olduğunu etkinlikteki örneklere benzer olla elde ediniz. Kenarı olan karenin bir kenarını 2, diğerini 3 birim uzatmalısınız. Neden Bu etkinliğin kapsamı geniştir ve rastgele iki toplamın çarpımına da ugulanabilir. Örneğin (+3) (+5) çarpımını elde etmek için kenarları ve olan dikdörtgen seçilir ve kenarlarından olan 3, olan 5 birim uzatılarak eni bir dikdörtgen elde edilir ve bu dikdörtgenin alanı bulunmak suretile çarpım elde edilir. 2-2 -3 3 Yukarıdaki şekil (-2) (-3) çarpımının değerini bulmak içindir. İnceleiniz ve çarpımın - 3-2 + 6 olduğunu gösteriniz. + - (+) (-) = çarpımını bulmak için 'den 2 'i çıkarıp (-)'i eklemek gerekir. Neden Sonucu elde ediniz. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

202 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 2-2 1 Taralı bölge ( + + 1) (-2)'nin çarpımına karşılık gelmektedir. Dikdörtgenlerin alanlarından ararlanarak bu çarpımı elde ediniz. 6. Eşitsizlik Kavramının Öğretimi Eşitsizliklerin öğrenilmesi büük ölçüde denklemlerin ve çözümlerinin ii öğrenilmiş olmasına bağlıdır. Çünkü eşitsizliklerin çözümü önce o eşitsizliğin eşitlik haline getirilmesile elde edilen denklemin çözümünü gerektirir. Bir insanın asker olabilmesi için 20 aşına girmiş olması gerekir. Kaç aşındakiler asker olamazlar Asker olamaacak olanların aşı ile gösterilecek olursa, < 20 eşitsizliğine ugun aştakiler asker olamazlar. Bu örnekte olduğu gibi insan haatında, sınır konan her durum bir eşitsizlik problemi olarak ele alınabilir. Eşitsizliklerin çözüm kümeleri çok ve bazen sonsuz elemanlı oldukları için grafikle gösterim gerekir. Çünkü çözümleri liste şeklinde azmak zor vea imkansız olabilir. Yukarıdaki problemin çözüm kümesinin grafikle gösterimi. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Eşitsizlik çözümleri, denklem çözümlerinde olduğu gibi eşitsizliğin her iki tarafına anı miktarların eklenip çıkarılmasını gerektirebilir. Öğrencilerin, bu aksiomları kavramaları farklı bolarda çubuklar vea dengede olmaan bir terazi üzerinde apılacak denemelerle gösterilebilir. Etkinlik : Eşitsizlik Aksiomları Materal : Çubuklar vea kartonlar, terazi, değişik ağırlıklar Grup : 2-3 kişi İşlemler : Farklı boda iki çubuğun seçilmesi ve üzerine ve azılması. Hangisinin uzun olduğunun tesbit edilmesi ve sonucun < şeklinde azılması. Her iki çubuğa anı miktarların eklenmesi ve eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi. Sonucun ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 203 + 3 < + 3 şeklinde ifade edilmesi. Terazinin her iki kefesine çok miktarda malzeme konması ve bir taraf daha ağır olacak şekilde bırakılması. Her iki taraftan saarak anı miktar malzemenin (örneğin 6 şar bile) alınması, eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi. Her iki tarafa anı miktar malzemenin (örneğin 6 şar bile) konması ve eşitsizliğin bozulmadığının görülmesi. Sonucun sınıfça tartışılması ve "bir eşitliğin her iki tarafına anı miktarların eklenip çıkarılmasıla eşitsizliğin bozulmaacağı" sonucuna ulaşılması. Bazı eşitsizlikleri çözmek için eşitsizliğin her iki anını anı saı ile çarpmak vea bölmek gerekebilir. Bir eşitsizliğin her iki anını anı pozitif saı ile çarpma vea bölme halinde sonucun değişmeeceğini sezdirmek için, ukarıdaki etkinlikte şu maddelere er verilebilir. İki öğrenciden birinin sağ kefedeki bileleri saması ve arkadaşlarına bildirmeden bir o kadar daha bile koması. Yani bileleri iki katına çıkarması. Diğer öğrencinin sol kefe için anı işlemi apması ve sonucun gözlenmesi. "Bir eşitsizliğin her iki tarafının anı pozitif saı ile bölünmesi halinde de eşitsizlik bozulmaz" sonucuna ulaşmak için nasıl bir etkinlik düzenlenebilir. 7. Eşitsizliklerin Kullanımının Öğretilmesi Eşitsizliklerin ugulamaları onların problem çözmede kullanılmasıdır. Eşitsizliklerin ugulamalarının öğretimi de anı denklem çözmenin ugulamalarının öğretimi gibidir. Öncelikle öğretime ugun bir problem durumla başlamak gerekir. AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

204 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ Aşağıdaki problem bir bilinmeenli bir eşitsizlik azmaı gerektirir ve bu aksiomların kullanımı ile çözülebilir. Bir mağaza elindeki bir kısım mala kampana fiatı uguluor. Satış fiatlarını, alış fiatından az olmamak koşulula, alış fiatının 3 katından 15 milon lira eksik olarak belirlior. Bu mağazadaki hangi mallar kampanaa dahil değildir. Bu problemde alış fiatı ile gösterilecek olursa, satış fiatı 3-15 olur. > 3-15 + 15 > 3-15 + 15 + 15 > 3 - + +15 > 3-15 > 2 7,5 > Sonuç olarak, alış fiatı 7,5 milon liranın altında olan mallara kampana fiatının ugulanamıacağı anlaşılır. İki bilinmeenli eşitsizliklerin tanıtılması için ine çocuğa anlamlı gelecek, sosal değer taşıan bir problem seçilmelidir. "İki zar birlikte atıldığında kaç durumda toplanan saı, en az 10 olur" Bu problemin çözülebilmesi için birinci saıa, ikinci saıa denmesi ve + 10 eşitsizliğinin çözümünü gerektirir. Böle bir eşitsizliği çözmek için muhtemel tüm durumların listesi apılıp bunların içinden eşitsizliğe ugun olanların seçilmesi gerekir. Tüm durumların listesi; { (1,1), (1,2),... (4,6), (5,5), (5,6), (6,6), (6,5), (6,4) } tür. Bunların içinden { (4,6), (5,5), (5,6), (6,6), (6,5), (6,4) } çözüm kümesidir. Bu eşitsizliğin çözümünü grafikle göstermek için elde edilen bu noktaların analitik düzlemde işaretlenmesi gerekir. Özet Denklem ve eşitsizlik kurma ve çözme önemli bir problem çözme stratejisidir. Haatta bazı meslek alanlarında ve bilimsel çalışmalarda karşılaşılan problemlerin bir çoğu bir denklem, denklem sistemi, eşitsizlik vea eşitsizlik sistemine indirgenebilir. Denklem bilinmeen içeren bir eşitliktir ve bu eşitlik bilinmeenlerin aldığı bazı özel değerler için sağlanır vea hiç sağlanamaz. Böle bir eşitlik bilinmeenlerin her değeri için sağlanıorsa bu eşitliğe özdeşlik denir. ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 205 Bir denklemi çözmek, bilinmeen vea bilinmeenlerin eşitliği sağlaan değerlerini bulmaktır. Denklem çözmenin daandığı temel prensipler vardır. Bunlar matematikte aksiom olarak bilinirler. Aksiomlar doğruluğu herkesçe kabul edilen önermeler olsa da doğrulukları çocuklar için apaçık olmaabilir ve bundan ötürü öğretimleri gerekir. Bunlarla ilgili olarak terazi ve küçük ağırlıklar vea farklı bolarda çubuklar kullanılarak öğretici etkinlikler düzenlenebilir. Öğretmenin asıl sorumluluğu, denklemlerin problem çözmede nasıl kullanılacağının öğretimidir. Bunun için öğretmen denklem kurmaı öğretmeli ve öğrencilere anlamlı gelecek, sosal değer taşıan problemler seçmeli ve öğretimde bunları kullanmalıdır. Eşitsizlik azma ve eşitsizlik çözmenin öğretimi de biçim olarak denklem kurma ve çözmenin öğretimine benzer. Çözüm kümeleri çoğu kez çok elemanlı vea sonsuz olduğu için çözümlerin grafikle gösterilmesi ugundur. Değerlendirme Soruları Aşağıdaki soruların anıtlarını verilen seçenekler arasından bulunuz. 1. Denklem çözmenin öğretimi ile ilgili olarak apılacak çalışmalardan kaç tanesi anlıştır Denklemin bir tarafındaki + işaretli saının diğer tarafa - olarak geçeceğinin sölenmesi Bir eşitliğin her iki tarafına anı miktarların eklenmesi halinde eşitliğin bozulmaacağının sezdirilmesi Bir eşitliğin her iki anının anı saı ile çarpılması halinde eşitliğin bozulmaacağının sezdirilmesi Her denklemin en az bir tamsaı çözümünün olduğunun sölenmesi A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 2. Denklik aksiomlarını kazandırmak için aşağıdaki materalden kaç tanesi gereksizdir Kefeli terazi Küçük ağırlıklar (raptie, misket vs.) Keçe uçlu kalem Gram takımı A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 E. 4 AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

206 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 3. 2 7 = Yanda şeması verilen terazi deneinde aşağıdaki amaçlardan kaç tanesi gerçekleştirilmee çalışılmaktadır Pionun denklem öğretimindeki eri ve önemini kavratmak Bilinmeen kavramını ve denklem çözme fikrini kavratmak Bilinmeenin ile gösterildiğini kavratmak Denklem çözmede kullanılan aksiomları kavratmak Denklemin alnız bir tarafında bilinmeen olabileceğini sezdirmek A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 4. "Bir eşitliğin her iki anını anı saı ile bölmek eşitliği bozmaz" aksiomunun altıncı sınıfta sezdirilmesi için aşağıdaki dene desenlerinden hangisi en ugundur A. 4 7 B. 5 5 C. 2 8 D. 6 E. 5.. 5. Çubuklarla oluşturulan andaki dene hangi kavramın pekiştirilmesi amacıla kullanılabilir.... A. İki bilinmeenli denklemin çözümü B. İki bilinmeenli denklem sistemini çözme C. Bir eşitliğin her iki anından anı miktar çıkarsa sonuç değişmez aksiomunun kavratılması D. Bir eşitliğin her iki anına anı miktar eklenirse sonuç değişmez aksiomunun kavratılması E. İki bilinmeenli denklem kurma ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ

DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ 207 6. Bir denklem sisteminin grafikle çözümü aşağıda verilen amaçlardan hangisine dönüktür A. Denklem sisteminin bir başka çözüm öntemi olduğunu sezdirmektir. B. Analitik düzlemi tanıtmak C. Çözüm kümesini göstermek D. İki bilinmeenli bir denklemin sonsuz çözümü olabileceğini göstermek E. Yukarıdakilerin hepsi 7. Bir denklemin çözüm kümesinin negatif saıları da içerebileceğini örneklemek için seçilecek problemin konusu aşağıdakilerden hangisidir A. Yol B. Zaman C. Alış-veriş D. Sıcaklık E. Palaşma 8. İki bilinmeenli iki denklemden oluşan bir sistemin çözümünü, çözüm listelerini azıp bunların ortak elemanını bulmak suretile elde etmenin amacı hangisidir A. Sistemin çözümü fikrine anlam kazandırmak B. Pratik bir çözüm öntemi tanıtmak C. Denklemlerin her birinin sonsuz çözümü olduğunu sezdirmek D. Grafikle çözüme açıklama getirmek E. Yukarıdakilerin hepsi 9. Yandaki çizim aşağıdaki eşitliklerden hangisinin gösterilmesinde kullanılabilir A. (+3) (+2) = 2 + 5 + 6 B. (+3) (+2) = 2 + 3 + 2 + 6 C. (-3) (-2) = 2-5 + 6 D. (2-) (3-) = 6-5 + 2 E. (-3) (-2) = 2 + 3 + 2 + 6 3 2 10. 3 1 1 1 Yandaki dene deseninin tartışılması aşağıdakilerden hangisinin kazandırılmasına katkıda bulunur A. Bir bilinmeenli denklemin çözümü B. Özdeşlik kavramı C. Eşitsizlik kavramı D. Denklem sistemi E. Eşitsizlik sistemi AÇIKÖĞ RETİ M FAKÜLTESİ

208 DENKLEM VE EŞİTSİ ZLİ K ÖĞ RETİ M İ Yararlanılan ve Başvurulabilecek Kanaklar Altun, Murat. Matematik Öğretimi, Bursa: 1998. Bakul, Yaşar. Matematik Öğretimi, Ankara: 1995. Busbridge, John ve D. Ali Özçelik. İlköğretim Matematik Öğretimi, Ankara: 1997. MEB, İlköğretim Matematik Dersi Programı, İstanbul: 1991. Değerlendirme Sorularının Yanıtları 1. C 2. C 3. C 4. D 5. E 6. A 7. D 8. A 9. C 10. C ANADOLU ÜNİ VERSİ TESİ