www.mustgi.om, 00 Ceir Notlrı Must YAĞCI, gimust@hoo.om Or-Ortı-Ortlmlr E irisi sıır rklı olmk üere, ı irime iki çokluğu krşılştırılmsı (ölümesie) or eir. Çokluklrı ı irime olmsı öemliir. Litre ile kilometrei, kilogrm ile metrei irirlerie ölümü mümkü eğilir. Yi, kilogrmı 00 grm orı eğilir. Birimlerii ı 00 0 hle getirikte sor ulrı iririe ölmelii. kilogrm 000 grm oluğu orı oğru eğeri 000/00 olmlıı. İşte uu gii,,, 0 7 0,,,... 0 ieleri irer orır. Am 0 0 iesi ir or eğilir. Or ptığımı tım tekrr krsı kısl çokluklrı e irii sıır rklı olmsı gerektiğii sölemiş oluğumu göreeksii. İki ve h çok orı eşitliğie ortı eir. e,, irer or olmk üere, e k ve k eşitlikleri irer ortıır. İlk ortı ikili ortı, ikiisie ise üçlü ortı eir. Bur k eğerie ortı ktsısı ve ortı siti eir. 0 k ortısı k tür. 6 0 e ortısı : : e : şeklie e ılilir. Nerese ilkokul eri ir ortı içler ile ışlr çrpımıı sit ve irirlerie eşit oluğuu iliri. Am iese çoğumu içler hgileri, ışlr hgileri uu ilmei. Hluki ir soru soruls ve içlere şer ekleip, ışlr er çıkr ığımı ie şls e pğı? Sorulmı ie sorulmk eğil! Arı sorulmğıı ilsek ile e rkeer ki? Hiç mi is merk etme? Demek ugüe kr etmemişi. Öğreelim: k ortısıı : : şeklie mk mümküü. İşte u ortı iç trt kl ile eğerlerie ortıı içleri, ış trt kl ve eğerlerie e ortıı ışlrı eir. İçler ile ışlrı öğreik, peki ulrı kei rlrı çrpımlrı hep eşitti, o ie, şimi ou öğreelim. k oluğu k ve k olur. İçler çrpımı i ( k), ışlr çrpımı i ( k) oluğu k eşitliği e kıtlmış olur. Bir ortı iğerleri erie ururke iç-ler kei rsı er eğiştireilir. Aısıı ışlr pilir. Dolısıl hem içler hem e ışlr kei rlrı er eğiştireilirler. Ortı oulm, hl oğruur kt ortı siti eğişeilir. Bu, ortıı lış oluğu lmı gelme. Yi; k ise k, k ise k, olur. k ise k k k ortısı,,, sılrı sırsıl ortıı irii, ikii, üçüü, örüü teri- mi (elemı) eir. Bu olı,, sılrıl örüü ortılı ol sı soruluğu : : x eklemii sğl x eğerii evp olrk vermelii. Buu ı : x x : ortısı x eğerie e ile i ort ortısı
Must YAĞCI eir. x oluğuu çokt lmışsııır te. Bu eğere ile i geometrik ortsı eiğii e ilere öğreeeği. Şimi ortılr e gii omlr e gii souçlr oğurur, u ilişki ı şeler öğreelim. Hgi tür omlr ii vr, hgilerie ok? Bu omlrı hgisi ve hgileri ortı sitii eğiştirme, hgileri eğiştirir? Değiştirirse e kr eğiştirir, uu ileilir mii? Mesel, urup ururke ortıki tüm terimleri krelerii llım. Bir şe olur mu? Olurs olur? e k ortısı, e ( ) ( ) e ( e hlii lğı k olur. Geel olrk kre lmıp, her terimi ii kuvvetii lsık ortı siti k oluru. Aklı olu ir! Peki, ie sıkıtısı plrı hepsii toplsk, sor plrı hepsii toplmı ölsek, ir şe olur mu? Bklım: e k ortısı k, k, e k oluğuu ilioru. O hle, + + e k+ k+ k ( + + ) k k + + + + + + olur ki u omı ortı sitii eğiştirmeiğii lrı. Bu çok çok öemli ir kurlır. See u kurlı ilimesi olr soruu çöümüü irkç siee sığırır. Aı işlemleri çıkrm içi e sğlığıı sölememie gerek ok sırım. Htt h ileri giip, u orlrı geişletilmiş ve rltılmış hllerie ile plrı toplmıı plrı toplmı ölüğümüe ortı sitii ıı hkkıı vererek sit klığıı söleeiliri. Yi; e m pe m+ + pe k m p m+ + p eşitliği iılmsı or ols gerçektir. ) Ortı Çeşitleri Or-Ortı-Ortlmlr. Doğru ortı. Orı sit ol iki çokluk oğru ortılı ve kıs ortılıır eir. Yi, çokluklr iri rtrke iğeri e rtıors (ki k öle or sit klilir) ve çokluklr iri lırke iğeri e lıors, u iki çokluk rsı oğru ortı vrır. Öreği, x ile oğru ortılıs x k ve x k olmlıır. x,, sılrı sırsıl,, sılrıl ortılıs ve eri. x k x k, k, k x gii ir çokluk, e e l çoklukl oğru ortılı olilir. Mesel hem hem e ile oğru ortılı ise uu x k ve x k rk gösteriri.. Ters ortı. Çrpımlrı sit ol iki çokluk ters ortılıır ve rlrı ters ortı vrır eir. Yi, çokluklr iri rtrke iğeri lıors ve irisi lırke iğeri rtıors ir şeleri ters gittiğii üşüür ve ters ortılılr eri. Öreği, x ile ters ortılı ise k x k ve x olmlıır. x,, sılrı sırsıl,, sılrıl ters ortılıs x k ve k k k x,, eri. Bu eşitlikleri, x k, k, k gii üşümek hiç e or olmığı x,, sılrıı sırsıl,, sılrıl ters ortılı olmsıı slı sırsıl,, ile oğru ortılı oluğu souu ulşırı.
Must YAĞCI Be ir eğer, e l eğerle ters ortılı olilir. Mesel x, hem hem e ile ters ortılıs uu x ve x k şeklie gösteri- k ri..bileşik ortı. Bir ortıı içie hem oğru ortılı hem e ters ortılı ol çokluklr vrs öle ortılr ileşik ortı eir. Öreği, ir x sısı, ile oğru m ile ters ortılıs, uu x k şeklie gösteriri. Aslı ir öe çıkrığımı souu kullıp keimii ters ortı kurtriliri. Yi ile oğru m ile ters ortılı ol x eğerii hem ile hem e ile oğru ortılımış gii üşüeiliri. Bu ii ı sou götürür. Or-Ortı-Ortlmlr Urı. Ortlmlrı ulumk istee poiti reel sılrı tümü irirlerie eşit ve k ise tüm ortlmlrı iririe eşit ve k olur. Urı. Eğer u poiti reel sılrı see ir tesi ile iğerlerie rklıs H < G < A eşitsilikleri geçerli olur. Yi ortlmlrı eşitliği see sılrı tümüü irirlerie eşitliği ile mümküür. Urı. ve gii see iki poiti reel sı içi her m G AH ır. Teorem. ve gii rklı iki reel sıı hrmoik ortsı H, geometrik ortsı G, ritmetik ortsı A, kresel ortsı K ile simgelesi. Dim H < G < A < K ır. Kıt: > olmk üere üst tı, lt tı ol ir ABCD muğu tlr prlel olk şekile ir [PQ] çielim Ortlmlr. Aritmetik ortlm (A). x, x, x,, x reel sılrıı ritmetik ortlmsı (ortsı) x + x + x +... + x şeklie tımlır. ve gii iki reel sıı ritmetik ortsı olur. +. Geometrik ortlm (G). x, x, x,, x poiti reel sılrıı geometrik ortlmsı (ortsı) x x. x.... şeklie tımlır. Geometrik ortı iğer ir ı ise ort ortıır. ve gii iki poiti reel sıı ort ortısı olur.. Hrmoik ortlm (H). Sıır rklı x, x, x,, x reel sılrıı hrmoik ortlmsı (ortsı) + + +... + x x x x şeklie tımlır. ve gii sıır rklı iki reel sıı hrmoik ortsı olur. + x. Souç olrk; eğer [PQ] köşegeleri kesişim oktsı geçior ise uuluğu t uuluklrıı hrmoik ortsı (H), oluş iki muğu eer pıor ise geometrik ortsı (G), ort t ise ritmetik ortsı (A) ve oluş iki muğu llrı ek pıor ise kresel ortsı (K) oluğuu kıtlmış oluk. Şimi e u [PQ] oğru prçlrıı ukrıki sır gierek olrıı uığıı kıtlmlıı. H < G ir çükü H G oluğu muklr eer olmuor. G < A ır, çükü G muklrı eer pıor, üstteki muk lttki mukt küçük oluğu üksekliği e küçük olmlı kt G A olurs üst muğu üksekliği lttkii üksekliğie üük ve eşit olur. A<K ır, çükü K muklrı llrıı eşit pıor, A K olsı lttki muğu lıı üsttekie h üük olğı şikr. Bölelikle H < G < A < K eşitsiliğii geometrik olrk kıtlmış oluk. Bu r olurs H G A K olur. Çükü urumu muk prlelker öüşür. Bir prlelker ort t hem tlr prlelir, hem köşegeleri kesişim oktsı geçer, hem lt ve üst prlelkerlrı eer pr, hem e lt ve üst prlelkerlrı llrıı ek pr. Gösteriğimi u ört ortlm şk ortlmlrı sırlmki erleri mukt gösteriğimi u metot ile gösterileilior. Fkt olrı u geometri otlrı göstermeeeği.
Must YAĞCI. Alıştırmlr x ve x + ise kçtır? A) B) 0 C) D) 0 E) 6. + 8 ve x + x 6 ise x çrpımı x kçtır? A) B) C) D) / E) /.,, olmk üere : : : : ve + 7 ise + + toplmı kçtır? A) B) C) D) 0 E) 8. x + ve + x ise x orı kçtır? A) / B) 7/ C) 8/7 D) / E) /. x 8 ve x + + ise + + toplmı kçtır? A) 8 B) C) 6 D) 6 E) 7. ise Or-Ortı-Ortlmlr + orı kçtır? + A) 8 B) 6 C) D) E) 0 8. 6 evi üç çouk rsı, ve ile oğru ortılı olrk plştırılıor. E p l kç evi lmıştır? A) 96 B) 7 C) 68 D) 8 E) 6 9. Bir uçktki olulrı ş ortlmsı 0 ur. Uçkt 0 olup, u 0 oluu ş ortlmsı ir. Erkek olulrı ş ortlmsı oluğu göre uçktki olu sısı kçtır? A) 0 B) 0 C) D) 0 E) 0. Aşe i şıı, Ftm ı şı orı, Ftm ı şıı, Mie i şı orı ise Aşe i şıı, Mie i şı orı kçtır? A) / B) / C) D) 6/ E) /. Bir sısı (x + ) ile oğru ortılı m ile ters ortılıır. x ve ike 6 ır. ve 6 ike x kç olur? A) B) C) D) 6 E) 7 6. + ise orı kçtır? A) 0 B) C) / D) E) /. 78 kg. l,, sılrı ile ters ortılı olk şekile kplr koulktır. E l l koul k, kç kg. l koulmuştur? A) 6 B) C) 8 D) 7 E)
Must YAĞCI. 6 işçi ir işi güe 8 st çlışrk güe itirmekteir. Aı itelikteki 8 işçi güe st çlışrk, ı işi kç güe pilir? A) 0 B) 8 C) 6 D) E). - x x olmk üere; /0 ise x,, 0, 0, sılrıı küçükte üüğe oğru sır iii. A) < x < B) x < < C) x < < D) < < x E) < < x. 7 ve + + 8 ise kçtır? A) 70 B) 8 C) 6 D) E) 0 6. ve 7 sılrı sırsıl ve sılrı ile ortılı Or-Ortı-Ortlmlr 9. 000 YTL ir ıl 80 YTL i getiriors 000 YTL kç ıl 760 YTL i getirir? A) B) C) D) E) 0. x,, olmk üere x/ 0,7 ve /, olrk verilior. Bu göre x + + toplmıı lileeği e küçük eğer kçtır? A) B) C) 6 D) 9 E). + 6 ise + orı kçtır? A) /6 B) / C) / D) E) 6/. Bir emir çuuk 7 prç stte ölüeiliors, prç kç stte ölüeilir? A) B) 6 C) 8 D) 9 E)0 ise sısıı + sısı orı kçtır? 7 A) 6 7 B) 9 7 C) 8 8 D) 7 6 E) 7. + + + + + / orı kç olmlıır? ortısı göre 7. Bütüler iki çıı orı / oluğu göre üük çıı ölçüsü küçük çıı ölçüsüe kç eree lır? A) 6 B) 7 C) 00 D) 0 E) 08 8. Arışık çit sıı ritmetik ortlmsı 0 ise u sılr e üüğü kçtır? A) 6 B) 8 C) 0 D) E) A) / B) / C) / D) E) /. x x x / orı kç olmlıır? ortısı göre A) 9/8 B) 6/ C) / D) 9/ E) 8/7. Bir işi eşit kpsiteli 6 işçi 8 güe itireilmekteirler. Aı işi, u işçilere tesi kç güe itireilir? A) 6 B) 9 C) D) E) 6
Must YAĞCI Or-Ortı-Ortlmlr 6. 0,06 sısı, x+ ve ortsı ise x kçtır? x sılrıı geometrik. / 0,6 ve / 0,7 ike + 7 89 ise,, sılrı e üüğü kçtır? A) 6 B) C) D) E) A) 0 B) C) D) 9 E) 7. x, ve rklı sl sılrır. x,, sılrıı geometrik ortsı 0 ise x,, sılrı e üüğüü e küçüğüe orı kçtır? A) 8/ B) /7 C) D) E) /8. x/, x +, /x, x ve x eşitliklerie kç tesie x ile oğru ortılıır? A) B) C) D) E) 8. e oluğu göre + + + + e+ + + orı kçtır?. x ve x + + ise + + toplmı kçtır? A) B) C) 6 D) 9 E) 9. + 7 ve + ise orı kçtır? + A) / B) / C) / D) / E) /7 0. + sısı sılrıı ort ortısı kçtır? A) 9 B) 6 C) 6 D) 9 E) 7 7 ise. Aritmetik ortlmsı ve geometrik ortlmsı ol iki sı üüğü kçtır? A) B) C) 6 D) 7 E) 8. Üç te poiti tmsıı geometrik ve hrmoik ortlmlrı 7 ise ritmetik ortlmsı kçtır? A) / B) 7 C) 7/ D) E) / 6 A) B) C) 0 D) E) / 6.,,,, p ve k irer reel sıır. + + k ortısı k + + p ortısı ele eiliğie göre p i uluu. A) B) C) D) E) 7. x/ / / ve x + ise kçtır? A) B) C) D) E) 8. Seki sıı ritmetik ortlmsı ır. Bu sılr, toplmlrı 6 ol tesi çıkrtılığı, kl sılrı ritmetik ortlmsı oluor. + 0 ise u seki sıı toplmı kçtır? A) 6 B) C) 6 D) E) 8
Must YAĞCI 9. İki sıı ritmetik ortlmsı, hrmoik ortlmsı oluğu göre geometrik ortlmsı kçtır? A) 00 B) 9 C) 0 D) 0 E). Or-Ortı-Ortlmlr ve + + 6 eşitliklerie göre rkı kçtır? A) 0 B) 8 C) 6 D) E) 0. 000 üuslu ir kette erkekleri / i ile kılrı /8 i irirlerile evliir. Bu göre kette kç kı vrır? A) 6000 B) 000 C) 000 D) 000 E) 000. / / ve / / ike + 0 ise rkı kçtır? A) B) C) D) 0 E). + 6 ve x + x eşitliklerie x göre x çrpımı kçtır? A) B) C) D) E). : : : : ve + 6 ise + + toplmı kçtır? 6. iesi ( ) ile oğru ortılı ike ( + ) ile ters ortılıır. içi oluors, içi kç olur? A) B) C) D) E) 7. x/ / ve / 6/ oluğu göre ( x+ ) orı kçtır? ( ) A) B) C) 6 D) E) 8. : : : : ve 80 ise + işlemii souu kçtır? A) B) C) D) 88 E) 76 9. x + 6, m + 6 ve x/ m/ eşitliklerie göre / orı kçtır? A) 6 B) 8 C) D) E) A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 8. ise + + orı kçtır? A) B) C) D) 7 E) 7 7