MAK 210 SAYISAL ANALİZ

MAK 210 SAYISAL ANALİZ BÖLÜM 8- SAYISAL İNTEGRASYON 1

GİRİŞ Mühendislikte sık karşılaşılan matematiksel işlemlerden biri integral işlemidir. Bilindiği gibi integral bir büyüklüğün toplam değerinin bulunması işlemidir. Dolayısıyla bir fonksiyonun belli sınırlar arasında integrali, fonksiyon eğrisinin altında ve sınır değerler arasında kalan toplam alanı vermektedir. Bu bakımdan integrasyon işlemi mühendislikte düzenli veya düzensiz şekillerin alanlarının veya hacimlerinin hesaplanmasında, ortalama değerlerin bulunmasında, alan ve eylemsizlik momentlerinin elde edilmesinde, toplam kütlenin bulunmasında, hız ve alınan yolların hesaplanmasında, transfer edilen toplam ısı miktarının hesabında vb. yaygın olarak kullanılır. 2

Her fonksiyonun integrali analitik olarak alınamayacağı gibi bazı durumlarda da fonksiyonun analitik ifadesi yerine belli bir aralıkta fonksiyonun aldığı sayısal değerler tablo halinde verilebilir. Her durumda, analitik veya tablo halinde verilen bir f(x) fonksiyonunun belirli integralini sayısal yöntemler kullanılarak hesaplamak mümkündür. Sayısal integrasyon yöntemlerinin temelini eğri altındaki alanı dilimlere bölmek veya fonksiyon yerine verilen aralıktaki noktalardan geçen interpolasyon polinomlarını kullanmak oluşturur. Yani f(x) fonksiyonunun a, b aralığında belirli integrali için b b f x. dx y p x. dx (8.1) a a Yaklaşımı yapılabilir. Sayısal olarak alınan bu belirli integrale literatürde 3

quadrature de denmektedir. Bu terim şekli karelere bölerek alan ve hacim hesaplama anlamına gelmektedir. Denklem (8.1) de kullanılacak interpolasyon polinomuna göre değişik sayısal integrasyon formülleri elde edilebilir. Yapılan yaklaşım nedeniyle bu formüller belli bir hata içerecektir. Bu integrasyon hatası aynı prensipten hareketle bulunabilir. Örneğin, Newton-Gregory ilerleme polinomu kullanıldığında elde edilecek formülün hatası e i = a b s n + 1 hn+1 y n+1 x s dx (8.2) İfadesinden bulunabilir. Bu kısımda yaygın olarak kullanılan üç integrasyon formülünün, Newton-Gregory ilerleme polinomunun üç ayrı hali kullanılarak 4

nasıl elde edildiği açıklanacaktır. YAMUK (TRAPEZ) KURALI İnterpolasyon polinomu olarak, Newton-Gregory ilerleme polinomunun n = 1 hali yani lineer interpolasyon kullanılması ile elde edilen integrasyon formülüdür. Lineer interpolasyon y p = y 0 + s. y 0 alınırsa ve s = x x 0 h ds = 1 h dx 5

Diferansiyel kullanılırsa fonksiyonun belirli integrali, integral sınırlarına da dikkat ederek x 1 x 1 s=1 1 A = f x. dx y p x. dx = y p. h. ds x 0 s=0 x 0 = y 0 + s. y 0 0. h. ds yazılabilir. Bu integral kolayca alınarak A h. y 0. s + y 0 s 2 2 1 0 A h. y 0 + y 0 2 = h. y 0 + y 1 y 0 2 veya 6

y y 0 h x 0 = a x 1 = b x Şekil 8.1. Eğri altındaki alanın yamuk kuralı ile yaklaşık hesabı A h 2 (y 0 + y 1 ) sonucu bulunur. Bu bilindiği gibi yamuk alanı olup eğri altındaki alan yamuk gibi düşünülerek yaklaşık olarak bulunmuş olur (Şekil 8.1). 7

Bu yüzden yukarıdaki formül yamuk veya trapez kuralı olarak adlandırılır. Yamuk kuralının hatası, n = 1 alınarak Denklem 8.2 den hesaplanabilir. x 1 s. (s 1) 2 e i = h. y n+1. x 2 s. dx = x 0 s s 1 2 Burada y (x s ) türevinin bu aralıkta yaklaşık olarak sabit kaldığı kabul edilirse 0 1. h. h 2. y x s. ds 1 e i = 1 2 h. h2. y x s. s 2 s. ds = 1 2 h3 y x s. 0 e i = h3 12. y x s x 0 x s x 1 (8.4) s 3 3 s2 2 1 0 8

bulunur. Burada hatanın h 3 ile orantılı olduğu görülmektedir. Dilim kalınlığı x = h nın küçük olması hatanın da kübik olarak azalacağı anlamına gelir. Ayrıca fonksiyonun lineer olması halinde ikinci türevi sıfır olacağından hata sıfır olacak yani tam sonuç bulunmuş olacaktır. Bazı durumlarda birden fazla dilim verilebilir veya integral aralığı geniş ise hatayı azaltmak üzere verilen aralık birden fazla dilime bölünebilir. a, b aralığı n tane eşit kalınlıklı dilime bölünmüş ise h = b a n olacaktır (Şekil 8.2). Bu durumda her dilime yamuk kuralının uygulanmasıyla genel bir ifade bulunabilir. 9

y x 0 x 1 x 2 x n = b x Şekil 8.2. Yamuk kuralının n dilime uygulanması x n A = f x. dx h 2 y 0 + y 1 + h 2 (y 1 x 0 + y 2 ) + + h 2 (y n 1 + y n ) A h 2 y 0 + 2. y 1 + 2. y 2 + + 2. y n 1 + y n 10

Elde edilen bu genel yamuk formülünün hatası her dilimde oluşan hataların toplamından elde edilebilir. Toplam integrasyon hatası veya e it = h3 12. y x s1 h3 12. y x s2 h3 12. y x s3 n = h3 12. y (x si ) i=1 e it = b a 3 n 12n 3. y (x si ) i=1 olarak elde edilir. Ortalama türev tanımlayarak bu hatayı daha basit olarak yazmak mümkündür: 11

n y = 1 n y (x si ) i=1 İle toplam hata e it b a 3 12n 3. y = h2 12 b a. y yazılabilir. Görüldüğü gibi lokal hata mertebesi O(h 3 ) olmasına rağmen hataların birikmesiyle bu ifadede toplam hata mertebesi bir azalarak O(h 2 ) olmuştur. 12

Örnek 8.1: Değerleri verildiğine göre 0.5 A = f x dx 0 mertebesini belirtiniz. integralini hesaplayınız, hata x f(x) 0 3 0.1 8 0.2 4 0.3 3 0.4 6 0.5 8 Çözüm: Genel yamuk kuralı ifadesi kullanılarak A h 2 y 0 + 2. y 1 + 2. y 2 + + 2. y n 1 + y n 13

= 0.1 2 3 + 2 8 + 2 4 + 2 3 + 2 6 + 8 = 2.65 sonucu elde edilir. Burada yamuk kuralı birden fazla dilime ardışık uygulandığı için oluşan toplam hatanın mertebesi O h 2 = 0.01 dir. Hatanın tam olarak hesaplanabilmesi için fonksiyonun kendisi bilinmeli ve türevleri alınabilmelidir. 14

SİMPSON 1/3 KURALI Newton-Gregory ilerleme polinomunun n = 2 hali olan quadratik interpolasyon polinomu kullanılarak farklı bir integrasyon formülü bulunabilir. Ancak bunun için üç nokta yani iki dilim gerektiğinden integral sınırları x 0 ve x 2 olacaktır. (Şekil 8.3) y y 0 h h x 0 = a x 2 = b x Şekil 8.3. Simpson 1/3 kuralının uygulanması 15

b x 2 A = f x. dx y p x. dx a x 0 = y 0 + s y 0 + 0 2 s. s 1 2 2 y 0 hds = h. 2. y 0 + 2 y 0 + 1 3 2 y 0 veya A h 3 y 0 + 4y 1 + y 2 Simpson 1/3 kuralı denilen integrasyon formülü elde edilir. 16

Hata mertebesini bulmak üzere n = 2 için Eşt. 8.2 ile verilen hata integrali alınırsa sonucun sıfır olduğu görülür. Bu ise hatanın sıfır olduğu değil atılan terimlerden ilkinin sıfır olduğu anlamına gelir. Bu durumda atılan terimlerden ikincisi, yani n = 3 hali alınarak hata terimi elde edilebilir. n = 3 için hata teriminin integrali x 2 s. s 1 s 2 s 3 4 e i = h 24 x 0. y iv x s. dx e i = 1 2 24 h. h4. y iv x s. (s 4 6s 3 e i = h5 90. y iv x s (x 0 x s x 2 ) 0 + 11s 2 6s). ds 17

bulunur. Burada hatanın h 5 ile orantılı olduğu görülmektedir. İntegrali alınan fonksiyonun kübik bir polinom olması halinde hatanın sıfır olacağı yani tam sonuç elde edileceği de görülmektedir. Çünkü kübik polinomun dördüncü türevi sıfır olacaktır. İntegralin alınacağı a, b aralığı eşit kalınlıklı n adet dilime bölünmüş ise yani h = b a n İse, her çift dilime Simpson 1/3 kuralı uygulanarak genel bir ifade bulunabilir. x n x 2 x 4 x n A = f x. dx = f x. dx + f x. dx + + f x. dx x 0 x 0 x 2 x n 2 18

h 3 y 0 + 4y 1 + y 2 + h 3 y 2 + 4. y 3 + y 4 + + h 3 (y n 2 + 4. y n 1 + y n ) A h 3 [y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + + 2. y n 2 + 4. y n 1 + y n ] burada şunu belirtmek gerekir ki kural her çift dilime uygulandığından, dilim sayısı (n) çift olmalıdır. Aksi halde bu yöntem doğrudan uygulanamaz. Çok sayıda dilim olması halinde integralin toplam hatası, ayrı ayrı hataların toplamına eşit olacaktır. Yani toplam integrasyon hatası e it = h5 90. y iv x s1 h5 90. y iv x s2 h5 90. y iv x s3 19

n = h5 90. y iv (x si ) i=1 veya e it = b a 5 n 90n 5. y (iv) (x si ) i=1 olarak elde edilir. Ortalama türev tanımlayarak bu hatayı daha basit olarak yazmak mümkündür. İntegrasyon formülü her iki dilime bir kez uygulandığına göre ortalama türev: y (iv) = 2 n n i=1 y iv (x si ) 20

ile toplam hata e it b a 5 180n 4. y iv = h4 180 b a. y(iv) yazılabilir. Görüldüğü gibi lokal hata mertebesi O(h 5 ) iken, hataların birikmesi nedeniyle bu ifadede toplam hata mertebesi bir azalarak O(h 4 ) olmuştur. 21

Örnek 8.2: Değerleri verildiğine göre 0.6 A = f x dx 0 mertebesini belirtiniz. integralini hesaplayınız, hata x f(x) 0 3 0.1 8 0.2 4 0.3 3 0.4 6 0.5 8 0.6 5 22

Çözüm: Verilen soruda dilim sayısı çift olduğundan (6 dilim, 7 nokta) genel Simpson 1/3 kuralı ifadesi doğrudan kullanılabilir: A h 3 [y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + 2y 4 + + 2. y n 2 + 4. y n 1 + y n ] = 0.1 [3 + 4. 8 + 2. 4 + 4. 3 + 2. 6 + 4. 8 + 5] 3 = 3.467 değeri bulunur. Hata mertebesi ise O h 4 = 1x10 4 olacaktır. 23

SİMPSON 3/8 KURALI Yaygın olarak kullanılan bir başka integrasyon formülü, Newton-Gregory ilerleme polinomunun ilk dört teriminin alınması ile, yani kübik bir interpolasyon polinomu (n = 3) hali kullanılarak elde edilir. Ancak bu polinom 4 nokta kullandığından eşit aralıklı üç dilim üzerinden integrasyon alınmalıdır(şekil 8.4). y y 0 h h h x 0 = a x 3 = b x Şekil 8.4. Simpson 3/8 kuralının uygulanması 24

b x 3 A = f x. dx y p x. dx a x 0 = y 0 + s y 0 + 0 3 s. s 1 2 2 y 0 + s(s 1)(s 2) 3 y 3! 0 hds = h. 3. y 0 + 9 2 y 0 + 9 4 2 y 0 + 3 8 3 y 0 veya A 3h 8 y 0 + 3y 1 + 3y 2 + y 3 Simpson 3/8 kuralı olarak bilinen formül elde edilir. Bunun hatası benzer şekilde bulunabilir. 25

Yani, n = 3 hali alınarak hata terimi elde edilebilir. n = 3 için hata teriminin integrali x 3 s. s 1 s 2 s 3 e i = h4 24 x 0. y iv x s. dx = 1 3 24 h. h4. y iv x s. (s 4 6s 3 bulunur. Burada da hatanın h 5 ile orantılı olduğu görülmektedir. 0 + 11s 2 6s). ds e i = 3 80. h5 y iv x s (x 0 x s x 3 ) 26

Ancak Simpson 1/3 kuralındaki 1 90 katsayısı daha küçük olduğundan onun hatası daha küçüktür. Eşit kalınlıkta n dilim olması halinde Simpson 3/8 kaidesi, her üç dilime kuralın uygulanması halinde x 3 A = f x. dx x 0 3h 3 y 0 + 3y 1 + 3y 2 + y 3 + 3h 8 y 3 + 3. y 4 + 3y 5 + y 6 + + 3h 8 (y n 3 + 3y n 2 + 3y n 1 +) A 3h 8 [y 0 + 3y 1 + 3y 2 + 2y 3 + 3y 4 + + 3y n 2 + 3y n 1 + y n ] 27

Genel ifadesi elde edilir. İntegralin alınacağı a, b aralığı eşit kalınlıklı n adet dilime bölünmüş ise yani h = b a n ise, oluşacak toplam hata benzer şekilde hesaplanabilir: 3 b a 5 e it = 80n 5. y (iv) (x si ) ortalama türev tanımlayarak bu hatayı daha basit olarak yazmak mümkündür. Her üç dilime bir kez uygulandığı düşünülürse ortalama hatayı n i=1 28

y (iv) = 3 n n i=1 y iv (x si ) şeklinde hesaplamak mümkündür. O halde toplam hata e it b a 5 80n 4. y iv = h4 80 b a. y(iv) olacaktır. Görüldüğü gibi lokal hata mertebesi O(h 5 ) iken, hataların birikmesi nedeniyle bu ifadede toplam hata mertebesi bir azalarak O(h 4 ) olmuştur. Simpson 1/3 yöntemine göre hata terimi daha büyüktür. Ancak dilim sayısı üç ve üçün katları olması halinde Simpson 3/8 kuralı doğrudan uygulanabilmektedir. 29

Dolayısıyla dilim sayısının çift olması halinde Simpson 1/3 kuralı tercih edilmelidir. Yukarıda elde edilen integrasyon formülleri Newton-Cotes integrasyon formülleri olarak da adlandırılır. Örnek 8.3: Örnek 8.2 de verilen problemi Simpson 3/8 kuralı ile çözünüz. Çözüm: Verilen soruda dilim sayısı 6 olduğundan genel Simpson 3/8 kuralı da doğrudan kullanılabilir: A 3h 8 [y 0 + 3y 1 + 3y 2 + 2y 3 + 3y 4 + + 3y n 2 + 3y n 1 + y n ] = 3(0.1) 8 [3 + 3. 8 + 3. 4 + 2. 3 + 3. 6 + 3. 8 + 5] = 3.45 30

değeri bulunur. Hata mertebesi yine O h 4 = 1x10 4 olacaktır. Ancak hata miktarı Simpson 1/3 ten büyük olacaktır. Örnek 8.4: Yukarıda tablo halinde verilen fonksiyonu x = 1.6 dan x = 3.4 e kadar integre ediniz. x f(x) 1.6 4.953 1.8 6.050 2.0 7.389 2.2 9.025 2.4 11.023 2.6 13.464 2.8 16.445 3.0 20.086 3.2 24.533 3.4 29.964 31

Çözüm: a) Yamuk kuralı ile: n = 3.4 1.6 0.2 = 9 3.4 1.6 f x dx = n i=1 h 2 (f i + f i+1 ) = 0.2 2 = 25.0947 b) Simpson 1/3 kuralı ile: Dilim sayısı (n) çift olmadığı için bu kural doğrudan uygullanamaz. (4.953 + 2x6.050 + 2x7.389 + 2x9.025 + 2x11.023 + 2x13.464 +2x16.445 + 2x20.086 + 2x24.533 + 29.964) 32

Çözüm: c) Simpson 1/3 kuralı ile: 3.4 1.6 f x dx = 3x0.2 8 (4.953 + 3 6.050 + 3 7.389 + 2 9.025 + 3(11.023) +3 13.464 + 2 16.445 + 3 20.086 + 3 24.533 + 29.964) = 25.0119 d) x = 1.6 den x = 1.8 e kadar yamuk, diğer kısım için Simpson 1/3 kuralı ile: 3.4 1.8 3.4 f x dx = f x dx + f x dx 1.6 1.6 1.8 = h 2 f 0 + f 1 + h 3 f 1 + 4f 2 + 2f 3 + 4f 4 + 2f 5 + 4f 6 + 2f 7 + 4f 8 + f 9 = 25.0152 33

Not: Gerçek değer A = 25.011 olup en küçük hata c şıkkında oluşmuştur. ÜNİFORM OLMAYAN NOKTALAR VE AÇIK İNTEGRASYON Uygulamada her zaman eşit kalınlıklı dilim olmaz. Dilim kalınlığının farklı olması hallerinde Simpson kuralları doğrudan uygulanamaz. Böyle durumlarda yapılacak en basit iş yamuk kurallarını her dilime uygulanarak çözüme ulaşmaktır. Uygulamada karşılaşılan bir başka durum integrasyon sınırlarının verilen noktaların dışına taşması durumudur (Şekil 8.5). Böyle bir durumda kullanılabilecek integrasyon formülleri benzer şekilde elde edilebilir. Bu formüllere açık integrasyon formülleri de denir. Bu formüllerin esası integrasyon aralığı ile ortalama kalınlığın çarpımıdır. Yani; 34

y y 0 h/2 h h/2 a x 0 x 1 b x Şekil 8.5. İntegral sınırlarının veri aralığını aşması b A = f x dx (b a)y a Burada hesaplanacak alanın ortalama kalınlığı verilen noktalardan elde edilebilir. 35

a) Tek nokta olması hali: İntegrasyon aralığında tek bir nokta (x 0, y 0 ) verilmiş olsun. Bu nokta ile [a, b] aralığı h kalınlığında iki dilime bölünmüş ise ortalama yükseklik y = y 0 olacaktır. Bu durumda aranan alan b A = f x dx (b a)y 0 a olacaktır. Bu hesapta oluşan hata yamuk kuralına benzetilerek bulunabilir. Aralığın uç noktalarının ortalaması 36

f a + f(b) 2 = y 0 olduğu dikkate alınır, Denklem (8.4) integral sınırları a ve b olarak (s = 0 dan 2 ye kadar) alınırsa hata terimi e i = h3 3. y (x s ) olarak elde edilir. 37

b) İki nokta olması hali: İntegrasyon aralığında iki nokta (x 0, y 0 ) verilmiş olsun (Şekil 8.5). Verilen bu noktalardan geçen bir doğru denklemi elde edip [a, b] aralığı boyunca integre edilerek aranan alan yaklaşık bulunabilir. Verilen (x 0, y 0 ) ve (x 1, y 2 ) noktalarından geçen doğru denklemi, interpolasyon polinomlarından birini kullanılarak y p = y 0 + x x 0 h (y 1 y 0 ) yazılabilir. Bu denklem integrasyon kullanılırsa b b b A = f x dx y p dx = y 0 + x x 0 (y h 1 y 0 ) a a a dx 38

(b a) y 0 + y 1 y 0 h a + b ( x 2 0 ) elde edilir. [a, x 0 ] ve x 1, b aralıkları eşit ve h veya Şekil 8.5 deki gibi h 2 ise yukarıdaki ifade daha basit bir hale gelecektir. A (b a) y 0 + y 1 2 39

c) Çok nokta olması hali: İntegrasyon aralığında çok nokta varsa benzer şekilde hareket edilir. Yani noktalardan geçen bir interpolasyon polinomu elde ederek istenen sınırlar arasında integrasyon gerçekleştirilir ve bir integrasyon formülü elde edilir. Örneğin a, b aralığında üç nokta varsa bu noktaların oluşturduğu eşit h kalınlıklı dört dilim üzerinden integrasyon için A (b a) 2y 0 y 1 + 2y 2 3 formülü elde edilecektir. Bu ifadenin hatası ise benzer şekilde hesaplanırsa e i = 14 45. h5 y iv x s sonucu elde edilir. Daha fazla nokta verilmesi halinde izlenecek yöntem aynıdır. 40

Örnek 8.5:. x f(x) 0.1 8 0.2 4 0.4 6 0.5 8 Yukarıdaki tablo değerlerine göre f(x) fonksiyonun integralini [0,0.6] aralığında hesaplayınız. Çözüm: Verilen noktaları dikkate alarak verilen integrali iki kısım halinde alabiliriz. 0.6 0.3 0.6 A = f x dx = f x dx + f x dx 0 0 0.3 41

0.3 0 8 + 4 2 + 0.6 0.3 8 + 6 2 = 3.9 ÇOK KATLI İNTEGRALLER Tek katlı integral için elde edilen integrasyon formülleri çok katlı integrasyona genişletilebilir. Bunun için dikkat edilmesi gereken nokta integrasyonun hangi konumda ve hangi yönde yapıldığının ortaya konmasıdır. Burada örnek olarak f x, y = 0 fonksiyonunun iki katlı intagralinin alınışı izah edilecektir. x yönündeki dilim kalınlığı h ve adım sayacı i, y yönündeki dilim kalınlığı k ve adım sayacı j olsun. Her iki yönde de yamuk kuralı uygulanırsa 42

A = f x, y dxdy y j+1 x i+1 = f x, y dx dy = x i y j y j+1 y j h 2 f x, y + f(x + h, y) dy A = h 2 k 2 f x, y + f x, y + k + f(x + h, y) + f(x + h, y + k) A = hk 4 f i,j + f i,j+1 + f i+1,j + f i+1,j+1 ifadesi elde edilir. 43

Örnek 8.6:. x y = 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 1.5 0.990 1.524 2.045 2.549 3.031 2.0 1.568 2.384 3.177 3.943 4.672 2.5 2.520 3.800 5.044 6.241 7.379 3.0 4.090 6.136 8.122 10.03 11.841 İki değişkene bağlı bir fonksiyon için yukarıdaki tablo değerleri verilmiştir. Çözüm: A = 3 0.6 f x, y dydx 1.5 0.2 5 4 = hk 4 f i,j + f i,j+1 + f i+1,j + f i+1,j+1 j=1 i=1 44

= = (0.5)0.1 4 0.5 0.1 4 4 j=1 3 i=1 f i,j + f i,j+1 + f i+1,j + f i+1,j+1 [0.99 + 1.524 + 1.568 + 2.384] + [1.568 + 2.384 + 2.52 + 3.8] + [2.52 + 3.8 + 4.09 + 6.136] + ([1.524 + 2.045 + 2.384 + 3.177] + [2.384 + 3.177 + 3.8 + 5.044] + [3.8 + 5.044 + 6.136 + 8.122]) + ([2.045 + 2.549 + 3.177 + 3.943] + [3.177 + 3.943 + 5.044 + 6.241] + [5.044 + 6.241 + 8.122 + 10.03]) + ([2.549 + 3.031 + 3.943 + 4.672] + [3.943 + 4.672 + 6.241 + 7.379] + [6.241 + 7.379 + 10.03 + 10.841]) 45

= (0.5)0.1 4 = (0.5)0.1 4 (6.466 + 10.2724 + 16.546) + (9.13 + 14.405 + 23.102) + (11.714 + 18.405 + 29.437) + (14.195 + 22.235 + 34.491) 33.284 + 46.637 + 59.5564 + 70.921 = 2.63 değeri elde edilir. Aynı soru tablonun ayrı ayrı sütunlarına yamuk kuralını uyguladıktan sonra bulunan değerlerin tekrar y yönünde integrasyonu ile çözülebilir. 46

y = 0.2 için: Yamuk kuralı ile 3 A 1 = f x, y dx = h 2 f 1,1 + 2f 2,1 + 2f 3,1 + f 4,1 = 3.314 1.5 y = 0.3 için: Yamuk kuralı ile 3 A 2 = f x, y dx = h 2 f 1,2 + 2f 2,2 + 2f 3,2 + f 4,2 = 5.007 1.5 y = 0.4 için: Yamuk kuralı ile 3 A 3 = f x, y dx = h 2 f 1,3 + 2f 2,3 + 2f 3,3 + f 4,3 = 6.6522 1.5 47

y = 0.5 için: Yamuk kuralı ile 3 A 4 = f x, y dx = h 2 f 1,4 + 2f 2,4 + 2f 3,4 + f 4,4 = 8.2368 1.5 y = 0.6 için: Yamuk kuralı ile 3 A 5 = f x, y dx = h 2 f 1,5 + 2f 2,5 + 2f 3,5 + f 4,5 = 9.7435 1.5 Bulunan bu değerler y yönünde integre edilecektir. Dilim sayısı çift olduğundan Simpson 1/3 kuralı uygulanabilir. Buna göre 48

0.6 A = f x, y dx = k 3 A 1 + 4A 2 + 2A 3 + 4A 4 + A 5 = 2.645 0.2 değeri bulunur. Örnek 8.7: Aşağıdaki integrali hata mertebesi O(h 6 ) olacak şekilde hesaplayınız. 2 A = xe 2x dx 0 49

Çözüm: İntegrali alınacak fonksiyon ve verilen aralıktaki değerleri aşağıdaki tabloda verilmiştir. x y = f(x) f x = xe 2x 0.0 0 0.5 1.359 1.0 7.389 1.5 30.128 2.0 109.196 Bu tablo değerleri kullanılarak istenen integral yamuk kuralı ile aşağıdaki gibi hesaplanabilir. n = 1 ve h 1 = 2 için: A 1 = h 2 y 0 + y 1 = 2 2 0 + 109.196 = 109.196 50

n = 2 ve h 2 = 1 için: A 2 = h 2 y 0 + 2y 1 + y 2 = 1 2 0 + 2(7.389 + 109.196 = 61.987 Aynı işlem dört dilim için yapılırsa n = 4 ve h 2 = 0.5 için: A 3 = h 2 y 0 + 2y 1 + 2y 2 + 2y 3 + y 4 = 0.5 2 0 + 2 1.359 + 7.389 + 30.128 + 109.196 = 46.737 = 46.737 51

Aynı integrali dört dilim için Simpson 1/3 kuralı ile hesaplarsak A s h 3 y 0 + 4y 1 + 2y 2 + 4y 3 + y 4 = 0.5 3 [0 + 4 1.359) + 2(7.389) + 4(30.128 + 109.196] = 41.654 sonucu elde edilir. Gerçek sonuç ise analitik çözümden A = 0 2 xe 2x dx = e2x 4 (2x 1) 2 0 = e4 4 4 1 e0 4 0 1 = 41.1986 52

olarak elde edilir. Buna göre bulunan sonuçlar ve mutlak hatalar aşağıdaki tabloda verilmiştir. Yöntem İntegral(A) Hata(e) Yamuk (n=1) 109.196 67.99 Yamuk (n=2) 61.987 20.79 Yamuk (n=4) 46.737 5.54 Simpson 1/3 (n=4) 41.654 0.46 53

IMPROPER İNTEGRALLER Bazı durumlarda integrasyon sınırlarından biri veya her ikisi sonsuz olabilir. Bazen de integrali alınacak fonksiyon verilen sınırlardan biri veya ikisinde tanımsız iken integrasyon değeri sonlu olabilir. Bu gibi durumlarda yapılacak en basit iş sonsuz olan sınırlar yerine problemin karekterine göre çok büyük rakamlar kabul ederek integrali almaktır. Fonksiyonu tanımsız yapan sınırlar yerine ise, söz konusu sınır değerinde çok küçük bir δ değişimi yaparak sınırları tanımlı hale getirmek mümkündür. Ancak bu uygulamalarda hata payı yüksek olabileceği gibi gereksiz yere fazla hesaplama zamanı da harcanmış olabilir. Bu gibi durumlarda başvurulan bir başka yol da değişken dönüşümü yapmaktır. 54

Verilen belirli integrallerin limitleri sonlu olmayıp birisi sonsuz olursa, a b, +, x = 1 t m (m pozitif sayı) değişken dönüşümü ile sonsuzluk hali, sonlu hale sokulabilir. m = 1 alınırsa x iken en azından 1 x 2 kadar hızla sıfıra giden herhangi fonksiyon için dönüşüm yapılırsa a b f x dx = 1 a 1 t2 f 1 t dt 1 b sınırları sonlu olan bir integral elde edilmiş olur. Burada a. b > 0 dır. Yani a > 0, b = + ve a =, b < 0. Dikkat edilirse dönüştürülmüş fonksiyon integral sınırların birinde tanımsız hale gelebilmektedir. 55

Bu durumda integral sınır noktalarını kullanmayan açık integrasyon formüllerinin kullanılması mümkündür. Bu yapılırken açık integrasyon formüllerinin sadece tanımsızlık oluşan sınırda kullanılması diğer noktalarda ise bilinen kapalı integrasyon formüllerinden yararlanılması çoğunlukla başvurulan bir yoldur. İntegral sınırları farklı işaretli ise integral aşağıdaki gibi iki kısma ayrılarak b b b f x dx = f x dx + f x dx b yönteminin birinci intagral için uygulanması yoluna gidilir. İkinci integral ise bilinen şekilde alınır. 56

Örnek 8.8: İstatistikte önemli bir kavram olan kümülatif normal dağılım fonksiyonu aşağıda verildiğine göre, bir olayın (ortalama + bir standart sapma) dan küçük olma ihtimalini, yani φ(1) değerini hesaplayınız. x φ x = 1 2π e x2 2 dx Çözüm: Verilen sınır pozitif olduğundan integral aşağıdaki gibi iki parçaya ayrılarak alınabilir. 1 φ 1 = 1 2π e x2 2 dx 57

2 1 = 1 2π e x2 2 dx + e x2 2 dx 2 Birinci integrali almak üzere x = 1 t dönüşümü uygulanırsa 2 A 1 = e x2 2 dx = 0 1 2 1 t 2 e 1 (2r2 ) dt olacaktır. İntegrali sayısal almak üzere h = 0.125 seçilerek, gerekli f(t) değerleri hesaplanıp aşağıdaki tablo verilmiştir. 58

t f x = 1 t 2 e 1 (2r2 ) -0.500 0.54134-0.375 0.20313-0.250 0.00537-0.125 8.11E-13 0 - b A = f x dx (b a)y 0 (8.16) a İlk iki dilime Simpson 1/3 kuralını, son iki dilime de, f(0) tanımsız olduğundan, açık integrasyon formülünü(denk.8.16) uygulayarak A 1 = 0.125 0.54134 + 4 0.23013 + 0.00537 + 0.25(8.11x10 13 ) 3 = 0.0566 59

değeri bulunur. İkinci integral için h = 0.5 seçerek gerekli değerler hesaplanırsa x f x = e x2 2-2.0 0.13534-1.5 0.32465-1.0 0.60653-0.5 0.88250 0.0 1.00000 0.5 0.88250 1.0 0.60653 ve integral yine Simpson 1/3 kuralı ile alınırsa 60

A 2 = 0.5 3 0.13534 + 4 0.32465 + 2(0.60653 + 4 0.8825 + 2(1) +4 0.8825 + 0.60653) = 2.05226 elde edilir. Bu değerlerin kullanılmasıyla A = φ 1 = 1 2π A 1 + A 2 = 1 2π 0.0566 + 2.05226 sonucu bulunur. 61

Örnek 8.9: x 1.3 1.5 1.7 1.9 2.1 2.3 2.5 f(x) 3.669 4.482 5.474 6.686 8.166 9.974 12.182 Yukarıdaki tabloda verilen değerlerden yararlanarak; a) Newton-Gregory ilerleme polinomunu x = 1.5 ve takip eden noktalarda uygulayarak f(x) değişimini üçüncü dereceden bir polinom ile ifade ediniz. b) x = 1.7 noktasındaki f (x) türevini yaklaşık hesaplayınız. c) Simpson 3/8 kuralını uygulayarak fonksiyonu x = 1.3 den x = 2.5 e kadar integre ediniz. 62

Çözüm: Problemin çözümü için verilen değerlerden yararlanılarak sonlu fark tablosu aşağıda hazırlanmıştır. x f(x) f 2 f 3 f 4 f 1.3 3.669 0.813 0.179 0.041 0.007 1.5 4.482 0.992 0.220 0.048 0.012 1.7 5.474 1.212 0.268 0.060 0.012 1.9 6.686 1.480 0.328 0.072 2.1 8.166 1.808 0.400 2.3 9.974 2.208 2.5 12.182 63

Çözüm: a) Newton-Gregory ilerleme polinomunda 1.5 ve sonraki x değerleri kullanabilmek için x 0 = 1.5 alınmalıdır. Üçüncü dereceden polinom için kullanılacak değerler: x 0 = 1.5, f 0 = 4.482, f 0 = 0.992, 2 f 0 = 0.220, 3 f 0 = 0.048 h = 0.2 s = 5x 7.5 Newton-Gregory ilerleme polinomu: (3. derce için) = 4.482 + 5x 7.5. 0.992 + 0.220(5x 7.5)(5x 7.5 1) 2 + 0.048(5x 7.5)(5x 7.5 1) (5x 7.5 2) 6 64

y p x = x 3 2.35x 2 + 4.79x 0.7905 bulunur. x = 1.7 noktasındaki türev için; 1. Yol: Newton-Gregory ilerleme polinomunun türev ifadesini kullanarak, Yaklaşık türev için ilk dört terimi alalım: x 0 = 1.7, f 0 = 1.212 y p 1.7 = 1 0.2 1.212 0.268 2 + 0.060 3 0.012 4 y (1.7) = 5.475 p 2. Yol: (a) da bulunan üçüncü derece polinomun türevi alınarak, 65

y p x = 3x 2 4.7x + 4.79 y p 1.7 = 3(1.7) 2 4.7 1.7 + 4.79 = 5.47 elde edilir. n = (2.5 1.3) 0.2 = 6 bulunur. 6 sayısı 3 ün tam katı olduğundan Simpson 3/8 kuralı doğrudan uygulanabilir. Simpson 3/8 kuralı: f(x)dx 3h (f 0 + 3f 1 + 3f 2 + 2f 3 + + 3f n 1 + f n ) 8 Buna göre; 66

f x dx = 3x0.2 (3.669 + 3 4.482 + 3 5.474 +2 6.686 + 3 8.166 + 3 9.974 + 12.182) 8 = 8.153 bulunur. 67