14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda kümesinin en az bir elemanı varsa noktasına kümesinin bir limit (yığılma) noktası denir. nin limit noktalarının kümesi ile gösterilir. { } limit noktası yalnızca 0 dır. [ ] limit noktası E nin her bir elemanı olur. 3.Tanım: verilsin. a) Eğer ve olacak biçimde bir sayısı varsa ya nin bir iç noktası denir. b) E nin tüm iç noktalarının kümesine E nin içi denir ve ile gösterilir. c) ise E ye de bir açık küme denir. bir açık kümedir. 2.Teorem: a) açık kümelerdir. b) Sonlu sayıdaki açık kümelerin kesişimi bir açık kümedir. c) Herhangi sayıdaki açık kümeleri birleşimi bir açik kümedir. ( ) açık kümelerdir, ama { } açık değildir. 4.Tanım: verilsin. a) Eğer nin her limit noktası E nin bir elemanı ise, E ye de bir kapalı küme denir. b) Eğer ve noktası E nin bir limit noktası değilse, ya E nin bir izole (yaltık) noktası denir. 1
[ ] kapalı kümedir. noktası [ ] { } kümesinde izole noktasıdır. 3.Teorem: a) kapalı kümelerdir. b) Sonlu sayıdaki kapalı kümelerin birleşimi de bir kapalı kümedir. c) Herhangi sayıdaki kapalı kümeleri kesişimi de bir kapalı kümedir. değildir. [ ] kapalı kümelerdir, ama kapalı 5.Tanım: ve verilsin. Eğer, için ise, noktasına nin bir kapanış noktası denir. E nin kapanış noktalarının kümesi ile gösterilir. [ ] aralığının her bir noktası [ kümesinin bir kapanış noktasıdır. 4.Teorem: Boş olmayan a) bir kapalı kümedir. b) c) kapalıdır verilsin. 5.Teorem: verilsin. a) üstten sınırlı ve ise b) alttan sınırlı ve ise 6.Tanım: verilsin.eğer, olacak şekilde açık kümeleri yoksa, ye bağlantılı küme denir. bağlantılı değilse, ye bağlantısız küme denir. [ ] [ ] kümesi bağlantısızdır. 6.Teorem: bağlantılıdır Sonuç: olmak üzere E kümesi ] [ [ ] [ ] kümelerinden biridir. 2
7.Tanım: de tanımlanan dizisi olmak üzere { } kümesine dizisinin değer kümesi denir. 8.Tanım: de bir dizisi verilsin. a) olacak şekilde bir varsa dizisine üstten sınırlıdır denir. b) olacak şekilde bir varsa dizisine alttan sınırlıdır denir. c) Hem alttan hem de üstten sınırlı olan bir diziye sınırlı dizi denir. sınırlı üstten sınırlı alttan sınırlı 9.Tanım: Terimleri den seçilen bir dizi olsun. a) ise dizisine artan dizi denir. b) ise dizisine azalmayan dizi denir. c) ise dizisine azalan dizi denir. d) ise dizisine artmayan dizi denir. e) Artan veya azalan (azalmayan ya da artmayan) bir diziye monoton dizi denir. 10.Tanım: de bir dizisi verilsin. dizisi içinde terimleri için koşulunu sağlayan bir dizi olmak üzere dizisine dizisinin alt dizisi denir. olan dizisine bakalım. ve dizileri dizisinin alt dizisidir. 11.Tanım: Eğer oyle ki, için ise dizisi ya yakınsar denir. veya Yakınsak olmayan diziye ıraksak dizi denir. 7.Teorem: Monoton artan ve üstten sınırlı her sup dir. reel sayı dizisi yakınsaktır, ayrıca, 3
8.Teorem: Monoton azalan ve alttan sınırlı her inf dir. reel sayı dizisi yakınsaktır, ayrıca, 12.Tanım: reel sayı dizisi olsun. ise dizisine bir Cauchy dizisi denir 9.Teorem: içindeki her yakınsak dizi aynı zamanda bir Cauchy dizisidir. 10.Teorem: içindeki bir Cauchy dizisinin bir alt dizisi noktasına yakınsarsa dizisinin kendisi de ya yakınsar. 11.Teorem: içindeki bir dizisinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul nin bir Cauchy dizisi olmasıdır. 13.Tanım: Terimleri herhangi kümelerinden oluşan. dizisi verilmiş olsun. Eğer, ise dizisine iç içe kümeler dizisi denir. 12.Teorem (Cantor Prensibi): içinde bir birinin içine giren kapalı ve sınırlı aralıkların bir dizisi ise, olur. Ayrıca, için uzunluğu olacak şekilde bir aralığı varsa kesişimi yalnızca bir noktadan oluşur. 14.Tanım: açık aralıkların bir ailesi olsun. Eğer, alt kümesi için ise, G ailesine E kümesinin açık örtüsü denir. Eger, sonlu bir küme ve ise, ailesine E kümesinin sonlu alt örtüsü denir. 15.Tanım: Eğer, alt kümesinin her açık örtüsünden bu kümeyi örten sonlu alt örtü seçilebiliyorsa, E ye kompakt bir küme denir. Lemma (Heine-Borel Prensibi): nin herhangi kapalı ve sınırlı alt kümesinin her açık örtüsünden sonlu bir alt örtü seçilebilir. 4
13.Teorem: içindeki sonsuz elemanlı her E alt kümesi aşağıdaki üç özellikten birine sahip ise, diğer ikisine de sahiptir. a) E kapalı ve sınırlıdır b) E kompakttır c) E kümesinin her sonsuz alt kümesi E de bir limit noktasına sahiptir. Lemma (Bolsan-Weierstrass Prensibi): kümesinin en az bir limit noktası vardır. nin sınırlı ve sonsuz elemanlı her alt Sonuç: Her sınırlı reel sayı dizisinin en az bir yakınsak alt dizisi vardır. Lemma (Dedekind Prensibi): kümesi olsun. a) için veya b) ve c) ve ise dir. nin aşağıdaki koşulları sağlayan iki alt Bu durumda, ve için olacak biçimde tek bir vardır. ise nin maksimal elemanıdır. ise nin minimal elemanıdır. Alıştırmalar 1. içindeki her yakınsak dizi aynı zamanda bir Cauchy dizi olduğunu ispatlayınız. İspat: reel sayı dizisi yakınsar ve olsun. Böylece, öyleki, için olur. 2. içindeki her Cauchy dizisinin sınırlı bir dizi olduğunu ispatlayınız. içindeki bir Buna göre, m= Cauchy dizisi verilsin. Tanıma göre, olacak biçimde. için olur. { } 5
dersek { } olur. 6