Uludağ Ünverstes Mühendslk Fakültes Dergs, Clt 2, Sayı ARAŞTIRMA DOI:.7482/uujfe.9925 KREMAYER TİPİ KESİCİ TAKIMLA İMAL EDİLMİŞ EVOLVENT DÜZ DİŞLİ ÇARKLARIN MATEMATİK MODELLENMESİ Tufan Gürkan YILMAZ Tufan Gürkan YILMAZ* Emn GÜLLÜ* Alınma: 8..25 ; düzeltme: 24.3.26 ; kabul:.4.26 Öz: Bu çalışmada asmetrk evolvent düz dşl çarkların Ltvn n yaklaşımından hareketle matematk modellenmes yer almaktadır. Bu kapsamda önce asmetrk evolvent düz dşl çarkı mal eden kremayer tp kesc takımın matematk olarak fades ve sonra dferansyel geometr, eş çalışma ve dşl ana kanununu kullanarak kremayer tp kesc takımın mal ettğ asmetrk evolvent düz dşl çarkların matematk olarak fades elde edlmştr. Matematk fadeler MATLAB programında modellenmş ve program çıktısı olan dş noktaları CATIA programının okuyableceğ dosyalar halne getrlmştr. CATIA programına alınan noktalardan üç boyutlu tasarım tamamlanmıştır. Anahtar Kelmeler: Evolvent Düz Dşl Çarklar, Matematk Modelleme, MATLAB, CATIA Mathematcal Modellng of Involute Spur Gears Manufactured by Rack Cutter Abstract: In ths study, mathematcal modellng of asymmetrc nvolute spur gears was stuated n by Ltvn approach. In ths context, frstly, mathematcal expressons of rack cutter whch manufacture asymmetrc nvolute spur gear, then mathematcal expresson of asymmetrc nvolute spur gear were obtaned by usng dfferental geometry, coordnate transformaton and gear theory. Mathematcal expressons were modelled n MATLAB and output fles ncludng ponts of nvolute spur gear s teeth were desgned automatcally thanks to macros. Keywords: Involute Spur Gears, Mathematcal Modellng, MATLAB, CATIA. GİRİŞ Dşl çarklar br maknanın en öneml parçalarından brdr. Uzay ve havacılık teknolojsnden yüksek hızlı otomasyon sstemlerne füze sstemlernden denzaltılara varıncaya kadar brçok alanda dşl çarklara rastlamak mümkündür. Evolvent dş proflne sahp dşl çarklar bast geometrs, kolay mal edleblme, eksenler arası mesafe değşmesne rağmen sabt br çevrm oranı sağlama gb özellklernden dolayı en popüler güç aktarma organlarıdır. Düz * Uludağ Ünverstes,Mühendslk Fakültes,Makne Mühendslğ Bölümü,Bursa/Türkye İletşm Yazarı: Tufan Gürkan YILMAZ (tufanylmaz@uludag.edu.tr) 77
Yılmaz T. G., Güllü E.: Kremayer Tp Kesc Takımla İmal Edlmş Dşl Çarkların Modellenmes dşl çarklar çnde se en çok kullanılan evolvent dşl çark tp olup şletme malyet açısından çok vermldr. Dşl çark malatçıları ve tasarımcıları daha yüksek yük tasıma kapastel dşl çftlern gelştrmek çn çalışmalarına devam etmektedr. İmalatta kesc takıma verlen poztf kaydırma veya yüksek kavrama açılı takım kullanılması kök kalınlığını arttırarak dş mukavemetn yükseltmektedr. Svr tepe tehlkes nedenyle smetrk dşl çarklarda kavrama açısını arttırmak veya profl kaydırma mktarını arttırmak sınırlıdır. Performansı arttırmanın br dğer yöntem se dşn aktf ve pasf tarafta farklı açı le tasarlandığı asmetrk dşl kullanmaktır. Brçok uygulamada moment tek br yönde letldğnden aktf yüzey le pasf yüzeyn aynı açı le tasarlanmasına gerek yoktur. Yüklenen yüzeyde 2, dğer yüzeyde daha yüksek kavrama açısı kullanmak dş kökündek eğlme gerlmelern düşürmektedr. Yük almayan yüzeyde 2, yüklenen yüzeyde kavrama açısını arttırmak se temas yüzey mukavemetn yleştrmekte, yaylanma rjtlğ ve yük paylaşımını ayarlayarak gürültü ve ttreşm azaltmaktadır. Dşllern evolvent ve dş kökü eğrler çn analtk mekanğe dayanan parametrk eştlkler çeştl araştırmacılar tarafından on yıllardır ortaya konmaktadır (Colbourne, 987; Ltvn, 994; Salamoun & Suchy, 973). Kapelevch (2) asmetrk düz dşl çarkların geometrs ve tasarımı üzerne çalışmalar yapmıştır. Asmetrk düz dşl çarkı oluşturan kremayer tp kesc takım çn çeştl parametreler önermştr. Tasarımı yapılan asmetrk dşl çarkın çeştl kavrama açılarında malatı gerçekleştrlmştr. Klask takım tasarımı yerne drek takım tasarımı kullanılmıştır. Yang (25,27) asmetrk helsel dşl çarkların kremayer tp kesc takımla mal edlmesne yönelk Ltvn yaklaşımını temel alan br matematk modelleme tanımlamıştır. Bunun yanı sıra alttan kesme analz üzernde durarak alttan kesmenn olmayacağı profl kaydırma mktarını ortaya koymuştur. Ayrıca montaj hatalarının etkledğ dş kontak analz üzernde çalışmış çeştl parametreler çn hataların etklern gözlemlemştr. Son olarak helsel ve düz asmetrk dşl çarkların sonlu elemanlar metoduyla analzn gerçekleştrmştr. Bunun sonucunda aynı yükleme şartlarında helsel dşl çarkların daha az gerlmeye maruz kaldığını gözlemlemştr. Alpev (2) smetrk ve asmetrk düz dşl çarkları oluşturan kremayer tp kesc takım çeştlern geometrk olarak ncelemş Drect Gear Desgn metoduyla az dş sayılı dşl çarkların mal edleblrlğ üzerne çalışmıştır. Esas olarak kavrama oranının kend potansyelne eşt olduğu geometrk tasarımı ortaya koyan yen br metot önermştr. Bu metot az sayıda dşe sahp dşl çarklar çn uygundur. Çeştl smetrk ve asmetrk denemelerde kavrama oranı den büyük olan mnmum dş sayısına erşlmştr. Fetvacı (22) çalışmasında svr ve tam yuvarlak uçlu takım kremayer tp kesc takım çn tam baş yükseklğn sağlayacak şeklde düzenlemştr. Deng ve ark. (24) asmetrk dşl çark geometrs ve modfkasyonu üzernde çalışmışlar bunun çn kremayer tp kesc takımda çeştl parametreler denemşlerdr. Tasarlanan dşl çark sonlu elemanlar metoduyla analz edlmştr. Ayrıca letm hataları ve yük paylaşım oranı ncelenerek dnamk analz yapılmış çeştl parametrelerden optmum olanları belrtlmştr. Bu çalışmada asmetrk evolvent düz dşl çarkların tasarımlarının hassas br şeklde matematk fadelerle yapılması amaçlanmış bu amaçla br MATLAB programı yazıp modelleme gerçekleştrlmştr. Bu modeln çıktıları CATIA programında okutulmuş ve dşl geometrs yüksek br doğrulukla oluşturulmuştur. 78
Uludağ Ünverstes Mühendslk Fakültes Dergs, Clt 2, Sayı 2. MATEMATİK MODELLEME VE ÜÇ BOYUTLU TASARIM 2.. Kremayer tp kesc takımın matematk model Kremayer tp kesc takımın modellenmes dşl çarkın matematk fadesn oluşturmada lk adımdır. Şekl de kremayer tp kesc takımın br dşnn gösterm yer almaktadır. Görselde modelleyeceğmz takımın parametreler de yer almaktadır. Bölgelern vektörel göstermnde homojen koordnat sstem esas alınmıştır. Şekl : Kremayer tp kesc takımın gösterm h b takım dş başı yükseklğn tayn eden parametredr ve genellkle h b =m olarak alınır.α ve α 2 kremayer takımın kavrama açıları ve b c takım dş kalınlığının yarısıdır. c dş db boşluğu olarak standartlarda (,25-,38).m olarak belrtlmştr. Asmetrk takım sağ ve sol tarafı farklı açılı olmak üzere 6 bölümden oluşmaktadır. Düz uçlar mal edlecek dşl çarkın tabanını, yuvarlatılmış köşeler dşl çarkın dş kökünü ve açılı kenarlarda dşl çarkın evolvent yüzeyn mal etmektedr. S n (X n,y n,z n ) koordnat sstem dş boşluğunun ortasına konumlandırılmıştır. Şekl de gösterldğ üzere takımın ac ve bd bölgelernde bulunan herhang br noktanın X koordnatı sabt olup h t ye eşttr ve h t standart takımlarda genellkle (,25xm) e eşt olmaktadır. Y koordnatında se noktaların vektörel konumu br parametreye bağlanmalıdır. ac bölgesnde l a parametres < l a <w fadesne bağlı değşrken bd bölgesnde benzer şeklde < l b <w 2 fadesne bağlı olarak değşmektedr. Aşağıda w ve w 2 nn değer belrtlmştr. w = b c h t tanα n + ρ tanα ρ secα () 79
Yılmaz T. G., Güllü E.: Kremayer Tp Kesc Takımla İmal Edlmş Dşl Çarkların Modellenmes w 2 = b c h t tanα 2 + ρ 2 tanα 2 ρ 2 secα 2 (2) ac ve bd bölgesnn S n (X n,y n,z n ) koordnat sstemnde matrs formunda fades se aşağıda belrtlmştr. R n ac = [ πm 2 + l a + c y πm h t ] (3) R n bd = πm l 2 b + c y πm h t [ ] (4) c y =,, 2, tanımlanarak kremayer takım stenlen sayıda dş le tanımlanablr. b c = πm 4 (5) Şekl de gösterldğ üzere takımın ce ve df bölgelernde bulunan herhang br noktanın X ve Y koordnatına göre yern l c ve l d parametreler tayn etmektedr. ce bölgesndek l c parametres < l c < θ aralığında değşm göstermektedr. df bölgesndek l d parametres de benzer şeklde < l d < θ 2 aralığında değşm gösterr. ce ve df bölgesnn S n (X n,y n,z n ) koordnat sstemnde matrs formunda fades se aşağıda belrtlmştr. b c h t tanα + ρ tanα ρ secα + ρ sn(l c ) + c y πm R ce n = [ h t + ρ ρ cosl c ] b c + h t tanα 2 ρ tanα 2 + ρ secα 2 ρ sn(l d ) + c y πm R df n = [ h t + ρ 2 ρ 2 cosl d ] (7) (6) **Bu bölgede takım uç radyüsü aşağıdak çeştl değerler alablr. (tanα + tanα 2 )x ( d d t 2 2 ) (2b c) Tam yuvarlak uç ρ = (tanα + tanα 2 ) ( + ) cosα cosα 2 (Kapelevch, 2) Yuvarlak uç ρ,2 = (bc (hfxtanα,2))xcosα,2 snα,2 (Deng, 24) 8
Uludağ Ünverstes Mühendslk Fakültes Dergs, Clt 2, Sayı Tam yuvarlak uçlu takımda sağ ve sol kenar ç tek br radyüs değer vardır. Yuvarlak uçlu takımda se bu radyüs değerler farklı olmaktadır. Dolayısıyla bu durumda eğrlk merkezler farklıdır. Yuvarlak uç fades, () ve (2) numaralı denklemlern sıfıra eştlenmes le bulunmaktadır. Şekl de gösterldğ üzere takımın ve fh bölgelerndek noktaların X ve Y koordnatına h göre yern l e ve l f parametreler tayn etmektedr. bölgesndek l e parametres b l cosα e h b cosα aralığında değşm göstermektedr. fh bölgesndek l f parametres aralığında değşm göstermektedr. h b cosα 2 l f h b cosα 2 ve fh bölgesnn S n (X n,y n,z n ) koordnat sstemnde matrs formunda fades se aşağıda belrtlmştr. b c + l e snα + c y πm R n = [ l e cosα ] (8) b c l f snα 2 + c y πm R fh l n = [ f cosα 2 ] Dferansyel geometrden S n (X n,y n,z) tanımlı takım yüzeylernn brm normal vektörler aşağıdak denklemle fade edlr. Z n eksennn brm normal vektörü k n olarak gösterlmştr. =ac-fh, j=a-f olarak fade edlmştr. n n = ac ve bd bölges çn brm normal vektör; n n ac = [ R n l j xk n R n l j xk n ac ac ac n nz (9) () ] = [ ] () n n bd = [ bd bd bd n nz ] = [ ] (2) ce ve df bölges çn brm normal vektör; n n ce = [ ce ce ce n nz sn (l c ) ] = [ cos (l c )] (3) 8
Yılmaz T. G., Güllü E.: Kremayer Tp Kesc Takımla İmal Edlmş Dşl Çarkların Modellenmes n n df = [ df df df n nz ve fh bölges çn brm normal vektör, sn (l d ) ] = [ cos (l d ) ] (4) n n = [ n nz cos(α ) ] = [ sn (α )] (5) n n fh = [ n nz cos(α 2 ) ] = [ sn(α 2 ) ] (6) 2.2. Düz Dşl Çarkın Matematk Model İmal edlen dşl çarkın matematk model se eş çalışma denklem le kesc takımın geometrk yernn br kombnasyonudur. Kesc takım le dşl taslağı arasındak koordnat bağı Şekl 2 de gösterlmştr. Şekl 2: Kesc takım le dşl taslağı arasındak koordnat bağı 82
Uludağ Ünverstes Mühendslk Fakültes Dergs, Clt 2, Sayı S n (X n,y n,z n ) kremayer tp kesc takımın koordnat sstemn, S (X,Y,Z ) mal edlen dşlnn koordnat sstemn, S h (X h,y h,z h ) sabt olan koordnat sstemn fade etmektedr. İmalat esnasında taslak kadar döndüğünde zaf olarak kremayer tp kesc takımda r kadar lerler. Bu durum kremayer-pnyon mekanzmasının çalışmasına benzer. İmalatın her anında kremayer tp kesc takımın br noktası taslak le temas halndedr. Buradan hareketle dşl çarkı oluşturan noktalar esasen temas ettkler yerde kremayer tp kesc takımın noktalarıdır sonucuna ulaşılır. Burada yapacağımız aynı noktayı dşl çarkın koordnat sstemnde fade etmektr. Dşl çark yüzeynn geometrk yer mal edlen dşlnn koordnat sstemnde denklem (7) de verlen dönüşüm matrs uygulanarak fade edlr. Dönüşüm matrs fadesnn açıklaması Şekl 3 te verlmştr. Denklem 7 de dönüşüm matrsnn türetlmes gösterlmektedr. Şekl 3: Dönüşüm matrsnn türetlmes( Ltvn, 24) M nm = [ a a 2 a 3 a 4 a 2 a 22 a 32 a 42 a 3 a 23 a 33 a 43 a 4 a 24 a ] 34 a 44 ( n. m ) ( n. j m ) (j = [ n. m ) (j n. j m ) (k n. m ) (k n. j m ) (cos(x n. m )) (cos(x n. y m (cos(y = n. x m )) (cos(y n. y m (cos(k n. x m )) (cos(k n. y m [ ( n. k m ) (j n. k m ) (k n. k m ) )) )) )) (O n O m ). n ) (O n O m ). j n ] (O n O m ). k n (cos(x n. k m )) (cos(y n. k m )) (cos(k n. m )) x n ( m ) y n ( m ) z n ( m ) ] (7) 83
Yılmaz T. G., Güllü E.: Kremayer Tp Kesc Takımla İmal Edlmş Dşl Çarkların Modellenmes cos ( ) sn ( M n = [ ) sn ( ) cos ( ) r cos( ) + (r + e)sn( ) r sn( ) + (r + e)cos( ) ] (8) Denklem 9 dan hareketle dşl çarkı oluşturan noktaları bulablrz. R = M n R n = ac fh (9) Dşl Ana Kanunu na göre kremayer tp kesc takım le dşl çarkın ortak noktalarının ortak normal an dönme merkeznden geçmeldr. Ayrıca dşl çark le kremayer arasındak kayma hızı (V kayma ) her an bu ortak noktanın ortak normalne (n n ) dktr. Bu kanunun matematk fades aşağıdak formüllerle belrlenr. Her br bölgenn yuvarlanma parametresn (Ø ) bulmak çn aşağıdak denklemlern çözümü gerekmektedr. n n. V kayma = (2) (. r y ) + (. x ) = (2) Burada gerekl şlemler yapılırsa aşağıdak genel form elde edlr. X n x n = Y n y n = ac fh (22) X n, Y n S n koordnat sstemnde takım-dşl an dönme merkez I-I üzerndek br noktanın koordnatlarını x n, y n kremayer tp kesc takımın yüzey koordnatlarını yüzey brm normal n n nn bleşenlern fade eder. r se mal edlen dşlnn taksmat yarıçapını ve e parametres se profl kaydırma mktarını fade eder. Tüm bölgeler çn X n = r Y n = olarak kabul edlmştr. ac bölges çn eş çalışma denklem aşağıdak denklemlerle tayn edlr. X n ac x n ac ac = y n ac = r = Y n ac ac y n ac (23) πm 2 l a + c y πm r (24) bd bölges çn eş çalışma denklem aşağıdak denklemlerle tayn edlr. X n bd x n bd bd = y n bd r = Y n bd bd y n bd (25) = πm 2 + l b + c y πm r (26) 84
Uludağ Ünverstes Mühendslk Fakültes Dergs, Clt 2, Sayı ce bölges çn eş çalışma denklem aşağıdak denklemlerle tayn edlr. X n ce x n ce ce = Y n ce ce y n ce (27) = y n ce x n ce (tan (l c ) r (28) df bölges çn eş çalışma denklem aşağıdak denklemlerle tayn edlr. X df df n x n = Y df df n y n df df (29) = y df n + x df n (tan(l d ) (3) r bölges çn eş çalışma denklem aşağıdak denklemlerle tayn edlr. X n x n = Y n y n (3) = y n (tanα ) x n r (tanα ) (32) fh bölges çn eş çalışma denklem aşağıdak denklemlerle tayn edlr. X n fh x n fh fh = Y fh fh n y n fh (33) = y fh fh n (tanα 2 ) + x n r (tanα 2 ) (34) İmal edlen dşlnn matematk model 8 ve 2 denklemlernn eş zamanlı çözümü le elde edlr. İlerleyen denklemlerde her bölgenn denklemler verlmştr. R = M n R n (35) x = l e cosα cos (b c l e snα + c y πm)sn + r cos + r sn (36) y = l e cosα sn + (b c l e snα + c y πm)cos + r sn r cos (37) 85
Yılmaz T. G., Güllü E.: Kremayer Tp Kesc Takımla İmal Edlmş Dşl Çarkların Modellenmes 2.3. MATLAB Programında Modelleme ve CATIA Programında Tasarım Öncek bölümlerde verlen matematk modeller uygun br programlama yaklaşımı le blgsayar ortamına aktarılmıştır. Bu çalışmada hesaplayıcı program olarak MATLAB kullanılmıştır. Programın grş değerler modül, dş sayısı ve kavrama açılarıdır. Hesaplamalar sonucunda dş profln tayn eden noktaların koordnatları çıkış dosyalarında lstelenr. Çıkış dosyaları CATIA programında okunarak noktalar görselleştrlr. Bu noktalar CATIA programındak makrolar sayesnde otomatk olarak üç boyutlu olarak tasarlanır. Programın örnek br görüntüsü Şekl 4 te verlmştr. Şekl 4: MATLAB Programı Örnek Ekran Görüntüsü Program çalıştırıldığında.asc formatında notepad tabanlı asmetrk dşl çarkın br dşnn noktalarını veren dosya çıktı olarak elde edlr. Şekl 5 da çıktı dosyası görülmektedr. 86
Uludağ Ünverstes Mühendslk Fakültes Dergs, Clt 2, Sayı Şekl 5: Çıkış dosyası Elde edlen çıkış dosyası CATIA programına gönderlr. CATIA programı.asc uzantılı dosyaları nokta bulutu şeklnde okumaktadır. CATIA programında uygun dönüşümlerle nokta bulutu noktalara çevrlmektedr. Bundan sonra CATIA programı çersndek makrolar vasıtasıyla asmetrk evolvent düz dşl çark üç boyutlu olarak tasarlanmaktadır. Şekl 7 de tasarım süreçler gösterlmştr. a b d c Şekl 6: Tasarım sürec (a: Noktaların eldes, b: Br dşn oluşturulması, c: Br dşn 36 çoğaltılması, d: Üç boyutlu tasarım) 87
Yılmaz T. G., Güllü E.: Kremayer Tp Kesc Takımla İmal Edlmş Dşl Çarkların Modellenmes 3. SONUÇLAR Bu çalışmada smetrk ve asmetrk düz dşl çarkların matematk modelnn kremayer tp kesc takımdan elde edlmes üzernde durulmuştur. Bunun çn gerekl matematk denklemler oluşturulup taslak-kremayer arasındak lşk ve dferansyel geometr de kullanılarak dşl çarkın matematk denklemler ortaya konmuştur. MATLAB programında yazılan denklemlern çıktıları dşl çarkın koordnatlarıdır. Bu koordnatlar uygun formatta CATIA programında okutulmuş ve üç boyutlu tasarım tamamlanmıştır. Dşl çarkın üç boyutlu tasarımında esneklk sağlayan bu çalışma le çeştl parametrelern dşl çark üzerndek etkler malattan önce nceleneblr. KAYNAKLAR. Alpev, O. 2. Geometrc desgn of nvolute spur gear drves wth symmetrc and asymmetrc teeth usng the Realzed Potental Method. Mechansm and Machne Theory, 46-. 32. do:.6/j.mechmachtheory.2.9. 2. Colbourne, J.R. 987. The Geometry of Involute Gears, Sprnger-Verlag, New Jersey, USA, 526 pp. 3. Deng, X., Hua, L., Han, X., 24. Research on the Desgn and the Modfcaton of Asymmetrc Spur Gear. Hndaw Publhng Corporaton Mathematcal Problems n Engneerng. 25. -3. do:.55/25/897257 4. Fetvacı C. 22. Tam Dşbaşı Yükseklkl Kremayer Takımla Evolvent Düz Dşl İmalatının Blgsayar Smülasyonu. Mühends ve Makna, 53-635. 34-39. ssn: 3-342 5. Kapelevch A. 2. Geometry and desgn of nvolute spur gears wth asymmetrc teeth. Mechansm and Machne Theory, 35-. 7-3. do:.6/s94-4x(99)2-6 6. Ltvn, F.L., Fuentes, A. 24. Gear Geometry and Appled Theory Second Edton, Cambrdge Unversty Press, New York, USA, 8 pp. 7. Salamoun, C., Suchy, M. 973. Computaton of Helcal or Spur Gear Fllets. Mechansm and Machne Theory, 8-3. 35-322. do:.6/94-4x(73)968-2 8. Yang, S.-C. 25. Yang, Mathematcal Model of a Helcal Gear wth Asymmetrc Involute Teeth and ts Analyss. Internatonal Journal of Advanced Manufacturng Technology, 26-5-6. 448-456. do:.7/s7-3-233-z 9. Yang, S.-C. 27. Study on an Internal Gear wth Asymmetrc Involute Teeth. Mechansm and Machne Theory, 42-8. 977-994. do:.6/j.mechmachtheory.26.7. 88