HIZ ve İVME AMAÇ: Yer-çekii ivesini ölçek Sürtünesiz eğik düzlede hız-zaan ilişkisini inceleek BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR: Konu vektörü Yer-değiştire vektörü Ortalaa hız ve anlık hız Ortalaa ive ve anlık ive Newton yasaları
Konu vektörü: Bir cisin konu vektörü, bulunduğu koordinat sisteinin erkezinden cisin bulunduğu noktaya çizilen vektördür. Yer-değiştire Vktöü Vektörü: Bir cisi ii x 1 konuundan x konuuna hareket etişse, konuundaki değişi yer-değiştire ile tanılanır. x x x yer değiştire son konu 1 ilk konu Ortalaa Hız: Herhangi bir t 1 anı ile t anı arasında, cisin konuu x 1 noktasından x noktasına değişiyorsa, i cisin i ortalaa hızı, x x 1 x vort t t t 1 Konu zaan grafiğinde (t x ) noktasından (t x ) noktasına Konu-zaan grafiğinde (t 1, x 1 ) noktasından (t, x ) noktasına çizilen doğrunun eğii, cisin t 1 ve t aralığındaki v ort hızına eşittir.
Anlık Hız: Anlıkhız, ortalaa hızın Δt 0 duruundaki liitidir. v x dx li t 0 t dt Bu tanıdan anlık hız, cisin x konuunun zaana göre birincii i türevidir. Yani, konu-zaan grafiğinin herhangi bir andaki dkieğiidir. idi
Ortalaa İve: Herhangi bir t1anı ile tanı arasında, cisin i hızı v1'd den v ' ye değişiyorsa, i cisin i ortalaa ivesi: v v1 v aort /s t t t 1 Anlık İve: Anlık ive, ortalaa ivenin Δt 0 duruundaki liitidir ve herhangi bir t anında hızınnekadar hızlı değiştiğini gösterir. v dv dv d dx d x a li ; a t 0 t dt dt dt dt dt Bu tanıdan anlık ive, cisin hızının zaana göre birinci türevidir. Yani, hız-zaangrafiğinin herhangi bir andakieğiidir eğiidir.
Sabit İveli Hareket : 0'da cisin hızı ve konuu olsun. t v 0 x o v t t dv a dv adt dv adt a dt vt () v0 at (Eş-1) dt v 0 0 0 x t t dx v dx vdt v 0 at dt dx v0dt atdt dt 1 xt () xo vt at 0 (Eş-) x o 0 0 Bu iki eşitlikten ş t yok edilirse: v v a x x (Eş-3) ş 0 0
Serbest Düşe: Dünya yüzeyinin yakınlarında tü cisiler büyüklüğü 9.8 /s ve yönü dünyanın erkezine doğru olan bir ivenin etkisinde hareket ederler. Serbest düşeded cisilerin ii i ivesii sebolik olarak g ile gösterilir. y-ekseni düşeyde ve yukarı yönde alınırsa, serbest düşede cisin ivesi a g g ĵj olur. Bu duruda hareket denkleleri: v v 0 gt (Eş-1) 1 y y0 vt 0 gt (Eş-) v v0 g y y o (Eş-3)
İvenin Sabit Oladığı Duru : Cisin ivesi sabit değilse, cisin hızını vt () ve konuunu xt () integrasyon yoluyla bulabiliriz. İntegrasyon analitik olarak veya grafik yaklaşıı ile yapılır. v1 t1 t1 t1 1 0 1 0 v t t t dv a dv adt dv adt v v adt v v adt dt 0 0 0 0 t 1 t 0 adt a() t t grafiğinde eğri altında kalan alan x1 t1 dx v dx vdt dx vdt dt t 0 0 1 1 x t t t 1 d d vdt v () t t grafiğinde eğri ğ altında alan x x vdt x x vdt 1 0 1 0 t 0 0 t t o
NEWTON YASALARI Newton un Birinci Yasası : Eylesizlik Yasası Bir cise net bir kuvvet etkiiyorsa, cisi duruunu korur. Durgunsa duraya, hareketliyse aynı hızla hareketine deva eder. Newton un İkinci i Yasası: Bir cise sıfırdan farklı bir kuvvet etkiyorsa, cisi bir ive kazanır. Cise etkiyen net kuvvet ile cise kazandırdığı ive doğru orantılıdır ve orantı sabiti de o cisin kütlesine eşittir. F net a Newton un Üü Üçüncü üyasası: Etki-Tepki kiyasası İki cisi arasındaki etkileşe kuvvetlerinin büyüklükleri aynı, İki cisi arasındaki etkileşe kuvvetlerinin büyüklükleri aynı, doğrultuları ters yöndedir.
Yer-çekii Kuvveti: Bir cise Dünya tarafından uygulanan kuvvettir. Dünyanın erkezine doğrudur ve Newton un ikinci yasasına göre şöyle verilir. F a gĵ F g g Ağırlık: Bir cisin ağırlığı, cisin serbest düşesini engelleyecek kuvvetin büyüklüğüolarak ğ tanılanır. g g W y F a W g W g net, y y 0 g
Değe Kuvveti: İsinden de anlaşılacağı gibi, bu kuvvetler birbirleriyle teas halindeki yüzeyler y arasında oluşur. ş İki tür teas kuvveti vardır. Birincisi teas yüzeyine dik yöndeki noral kuvvet, ikincisi de teas yüzeyine paralel olan sürtüne kuvveti dir. Noral Kuvvet: Bir cisi bulunduğu yüzeye bir baskı uygularsa, yüzey defore olur ve cise, teas yüzeyine dik yönde, isine noral kuvvet diyeceğiiz bir kuvvet uygular. Bir asa üzerinde duran kütlesi olan bir blok düşüneli. F a F g F g net, y y N 0 N
Sürtüne kuvveti: Bir cisi bulunduğu yüzey üzerinde harekete zorlarsak bir dirençle karşılaşırız. Bu direnç sürtüne olarak bilinir ve kaya eğiliine ters yöndedir. Gerile: Bir cise bağlı olan ipte oluşan bir kuvvettir ve şu özelliklere sahiptir: 1 Her zaan ip boyunca yönelir 1. Her zaan ip boyunca yönelir.. Her zaan cisi çekecek yöndedir. 3. İp üzerinde A ve B noktalarında aynı büyüklüktedir.
Sürtünesiz Eğik Düzle : Fx ax gsin a Fy N gcos 0 a g sin
Makaralı siste : ve için Newton' un ikinci yasası, sırasıyla: 1 Fy T g 1 a 1 (Eş-1) x' F g sin T a (Eş-) F N gcos 0 (Eş-3) y' Eş-1 ve Eş- denklelerinden T' yi yok edersek ive, sin 1 a g bulunur. 1
Atwood düzeneği: 1 1 olduğunu kabul edeli: ve için Newton' un ikinci yasası, sırasıyla: y 1g 1 F T g a F T g a y (Eş-1) ş (Eş-) Bu iki denkleden T' yi yok edersek ive, a 1 1 g bulunur.
İKİ BOYUTLU UZAYDA ÇARPIŞMA ve ESNEK ve ESNEK OLMAYAN ÇARPIŞMA Ş AMAÇ: Cisilerin çarpışası olayında oentuun korunuu ilkesinin incelenesi Çarpışada ekanik enerjinin korunuu ilkesinin incelenesi Ölçü sonuçlarından yararlanarak, çarpışan cisilerin ii i kütlelerininl i oranının bulunası BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR: Çizgisel oentu Newton un ikinci yasası Moentuun korunuu Çarpışa türleri ve kinetik enerjinin korunuu Merkezi ve erkezi olayan çarpışa
p v Çizgisel Moentu : Kütlesi ve hızı olan bir cisin çizgisel oentuu p v v ile tanılanır. SI sisteindeki birii kg./s' dir. Moentu ifadesinin her iki tarafının zaana göre türevi alınırsa, dp d dv dp pv v a Fnet Fnet dt dt dt dt bl bulunur. Bu ifade Newton' un ikinci yasasının bir başka ifade şeklidir. "Bir cisin çizgisel oentuunun değişi hızı, o cise etkiyen net kuvvetin büyüklüğüne eşittir ve onunla (net kuvvetle) aynı yöndedir". Bu eşitlik, bir cisin çizgisel oentuunun ancak bir dış kuvvetle değişebileceğini gösterektedir. Dış kuvvet sıfır ise, cisin çizgisel oentuu değişez.
Parçacık Sistelerinin Çizgisel Moentuu: i. parçacığın kütlesi i, hızı vi ve çizgisel oentuu p olsun. ntane parçacıktan oluşan bir sistein çizgisel i oentuu şu şekilde verilir: P p p p... p v v v... v Mv 1 3 n 1 1 3 3 n n k Bir parçacık sisteinin çizgisel oentuu, sistedeki parçacıkların topla kütlesi ( M) ile kütle erkezinin hızının ( v ) çarpıına eşittir. Çarpışa ve İte: Bir cise sıfırdan farklı bir dış kuvvet etkidiğinde cisin çizgisel oentuunun değişebileceğini öğrendik. İki cisin çarpışası sürecinde böyle kuvvetler ortaya çıkar. Bu kuvvetlerin şiddetleri çok büyük ancak, etkie süreleri çok kısadır. Çarpışan cisilerin çizgisel oentularındaki değişiin kaynağıdırlar. k
İki cisi arasındaki çarpışayı düşüneli. Çarpışa, cisilerin teas ettiği ti anında başlar ve teasın kesildiği ts anında biter. Cisiler çarpışa süresince birbirlerine Ft () ile verilen değişken bir kuvvet uygularlar. Bu kuvvetin değişii Şekil- a' da veriliştir. dp Ft () ile verilir. dt Burada p, cisilerden birisinin çizgisel oentuudur. ps ts dp F () t dt dp F () t dt p i t i
t s dp p p p s i t i oentudaki değişi t s J F () t dt " ite " veya " ipuls " olarak tanılanır. t i Geoetrik olarak, Ft ( )- tgrafiği altında kalan alan olarak tanılanabilir. t s J F () t dt Fort t J Fort t t i Çarpışan bir cisin i çizgisel i oentuundaki değişie i eşittir: J p
Çizgisel Moentuun Korunuu : Bir parçacık sistei üzerine etkiyen net kuvvet dp Fnet 0 Fnet 0 P sabit dt Bir parçacık sistei üzerine dış kuvvet etkiiyorsa, topla çizgisel oentu P değişez. Herhangi ibir ti anındaki dki Herhangi ibir ts anındaki dki = çizgisel oentu çizgisel oentu Not : Bir siste üzerine etkiyen dış kuvvet F net 0 ise, iç kuvvetler ne kadar büyük olursa olsun, çizgisel oentu her zaan korunur.
Çarpışalarda Moentu ve Kinetik Enerji : Çarpışaları iki sınıfta toplaak ükündür. "Esnek (elasti k)" ve " Esnek ol ayan" olayan çarpışalar. Kinetik enerjide bir kayıp yoksa ( K K ), çarpışa esnek çarpışadır. i Kinetik enerjide bir kayıp varsa ( K K ), çarpışa esnek olayan çarpışadır. s Bu kayıp başka bir enerji foruna dönüşüştür deri z. İki cisi çarpıştıktan sonra birbirine yapışıp birlikte hareket ediyorsa, cisiler "taaen esnek olayan" veya "esnek olayan ta çarpışa" yapıştır deriz. Bu tür çarpışalar esnek olayan çarpışa türüdür ve kinetik enerjideki kaybın en fazla olduğu çarpışa türüdür. i s
Esnek Olayan Çarpışa: Bu tür çarpışalarda, oentu korunur ancak kkinetik enerji korunaz. p p p p K K 1i i 1s s ; i s Esnek Olayan Ta Çarpışa: Bu tür çarpışalarda, çarpışan cisiler yapışır ve çarpışadan sonra birlikte hareket ederler. vi 0 özel duruu için: 1 v 1 1i V 1 V V v1 i 1 Bu tür çarpışalarda kütle erkezinin hızı P p1 i pi 1 vk v1 i ile verilir. 1 1 1
Bir -Boyutta Esnek Çarpışa: Kütleleri 1 ve, ilk hızları v1 i ve vi, çarpışadan sonraki hızları da v ve v olan iki cisi düşüneli. 1s s Bu tür çarpışalarda he çizgisel oentu, he de kinetik enerji korunur. v v v v 1 1i i 1 1s s (Eş-1) 1 1 1 1 v v v v 1 1i i 1 1s s 1s s (Eş-) İki bilineyenli ( v ve v ) bu iki denkle çözülürse, cisilerin çarpışadan sonraki hızları için şu ifadeler elde edilir: v v v ; v v v 1 1 1 1s 1i i s 1i i 1 1 1 1
Esnek Çarpışada Özel Duru v = 0 : i Az önce elde edilen eşitliklerde v v ve v : 1 s s v v v v 1 1 1s 1i i 1s 1i 1 1 1 1 1 s 1i 1 1 1 v v vi vs 1 bulunur. Aşağıdaki özel durulara göz atalı: 1. 1 v v v 1 1s 1i 1i 1 v v v v 1 s 1i 1i 1i 1 Çarpışan cisiler hızlarını değiştirirler. 0 v v 1i i 0 yazarsak,
1. 1 1 1 1 1 v v v v 1 1 1 1s 1i 1i 1i 1 v v v v 1 1 1 s 1i 1i 1i 1 1 1 1 cisi (küçük cisi) aynı hızla geliş yönünün tersi yönünde hareket eder. cisi (büyük cisi) ileri yönde çok küçük bir hızla hareket eder ( 1).
3. 1 1 1 1 1 1 v v v v 1 1 1s 1i 1i 1i v v v v 1 1 s 1i 1i 1i 1 1 1 1 cisi (büyük cisi) neredeyse aynı hızla yoluna deva eder. cisi (küçük cisi) )gelen cisin yaklaşık ş iki katı bir hızla hareket eder.
İki - Boyutta Çarpışa: Kütleleri and olan iki cisin xy-düzleinde 1 çarpıştıklarını gözönüne alalı. Sistein çizgisel oentuu korunur: p1 i pi p1 s ps Çarpışa esnek ise kinetik enerji de korunur: K1 i Ki K1s Ks Çarpışadan önce parçacığının durgun olduğunu, çarpışadan sonra da cisinin geliş doğrultusuyla, cisinin de açısı yaptığını varsayalı. 1 1 Bu duruda, oentuun ve kinetik enerjinin korunu ifadeleri: x ekseni: v v cos v cos (Eş-1) 1 1i 1 1s 1 s yekseni: 0 v sin v sin (Eş-) 1 1 1 v v v 1 1i 1 s s 1 1s 1 s (Eş-3) Yedi dibilineyenli li(,, v, v, v,, )üç tane denkleiiz i var. Bunlardan 1 1i 1s s 1 herhangi dört tanesinin verilesi halinde, diğer üçü kolaylıkla bulunabilir.
YİTİRİCİ KUVVETLER AMAÇ: Hava rayında sabit hızlı hareketin incelenesi Hava rayında sürtüne sabitinin tayini Hava rayında kızak kütlesinin bulunası Hava rayında çarpışanın incelenesi BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR: Kinetik enerji, İş Potansiyel enerji, İş Mk Mekanik enerji Korunulu ve korunusuz kuvvetler Vizkozluk kuvveti
Kinetik Energy: Bir cisin hızından dolayı sahip olduğu enerjidir. Hızı v, kütlesi olan bir cisin kinetik enerjisi şu ifadeye sahiptir: K 1 v SI sisteindeki birii kg. /s = joule ve sebolik olarak J ile gösterilir. İş (W): Kütlesi olan bir cise bir F kuvveti uygulandığında ğ cisi ivelenir ve hızını (v) dolayısıyla da kinetik enerjisini (K)artırabilir veya azaltabilir. Cisin kinetik enerjisindeki değişi iktarı, F kuvveti tarafından cise aktarılan veya cisiden dışarıya alınan enerji (W) kadardır. Cise enerji aktarılışsa W pozitiftir (W > 0)veF kuvveti cisi üzerinde pozitif iş yapıştır denir. Aksine, cisiden dışarıya enerji alınışsa W negatiftir (W < 0) vef kuvveti cisi üzerinde negatif iş yapıştır denir.
Şekilde kütlesi olan cisi sürtünesiz bir yüzeyde x-ekseni yönünde hareket ederken, üzerine yatayla açısı yapacak şekilde bir F kuvveti uygulanıyor. Newton' un ikinci yasası gereği: Fx ax ' dır. Cisin başlangıçtaki hızının vi ve d kadarlık lkbir yer-değiştire e sonundaki kihızının da v s olduğunu ğ varsayalı. Kineatiğin üçüncü denklei: v v 0 a x d eşitliğinden, F x v v0 a x d d Fx d F cos d 1 1 W K W Fdcos W F d Ki vi ; Ks vs K= Ks Ki Fdcos İşin birii, kinetik enerjinin biriiyle aynıdır (J).
NET İŞ : Cise birden fazla kuvvet etkiyorsa (örneğin F, F ve F ), net iş ş ( W )' in hesaplanası: net A B C Yol -1 : Yol - : Herbir kuvvetin yaptığı işler ( W, W ve W ) ayrı ayrı hesaplanır ve A B C sonra da toplanır ( Wnet WA WB WC ). Cisi üzerine etki eden net kuvvet ( Fnet FA FB FC) bulunur ve sonra da net kuvvetin yaptığı iş hesaplanır ( W F d ). net net İş - kinetik enerji teorei : Wnet K Ks Ki Bir cisin kinetik enerjisindeki değişi = Cisi üzerinde yapılan net iş W 0 K K 0 K K net W 0 K K 0 K K net s i s i s i s i
Değişken Kuvvetin Yaptığı İş : Şekilde, konua bağlı olarak değişen bir F kuvveti veriliştir. Bu kuvvetin x ile x noktaları arasında yaptığı ğ işi ş ( W ) bulak isteyeli. Bunun için x, x aralığı, genişliği x olan N tane ince şerite bölünür. i s i s j. aralıkta yapılan iş W F x kadardır. Bu duruda topla iş, W F jort, x olur. x0 ( N ) duruunda, x 0 N j 1 jort, x j N j1 W li F x F( x) dx x s x s i j, ort W F( x) dx F( x) x grafiği altında kalan alan x i
İş ve Potansiyel Enerji: Yer-çekii i potansiyel enerjisi: i Kütlesi olan bir cisi v 0 ilk hızıyla A noktasından yukarı doğru fırlatılıyor. Yerçekii kuvvetinin etkisiyle cisi yavaşlayarak yükselecek ve B noktasında taaen duracaktır. Sonra da, aşağı doğru hareket ederek orijinal v 0 hızıyla A noktasına ulaşacaktır. Cisi A noktasından B noktasına giderken F g kuvvetinin yaptığı iş W 1 = gh dir. Bunun anlaı, F g kuvveti cisin kinetik enerjisini yerçekii potansiyel enerjisine (U) dönüşüştür. Cisi B noktasından A noktasına düşerken, F g kuvvetinin yaptığı iş W =gh dir. Bunun anlaı da, F g kuvveti cisin yerçekii potansiyel enerjisini kinetik enerjiye dönüştürüştür. Sistein potansiyel enerjisindeki değişi şu ifadeyle verilir: U W
Yerçekii Potansiyel Enerjisi : Düşey doğrultuda ( y-ekseni boyunca) yukarı doğru y noktasından y s noktasına hareket eden kütleli bir cisi düşüneli. Cise etki eden yerçekii kuvveti nedeniyle cisi-yer sisteinin potansiyel enerjisinde değişi, ğ ş y y y f s s ys U F ( y ) dy g dy g dy g y g y y g y y y y i i i Cisin bulunduğu ğ son noktayı genelleştirirsek U ( y ) U g y y bulunur. Genellikle, hareketin başladığı konu y 0 ve bu noktadaki potansiyel U U ( y ) gy bulunur. i 0 olarak seçilir. Bu duruda, i y i i s i i i
Yaydaki Potansiyel Enerji : Bir kütle-yay sisteinde, blok xi noktasından x noktasına hareket etsin. Yay kuvveti bir iş ( W ) yapacaktır ve kütle-yay sisteinin potansiyel enerjisinde bir değişi eydana gelecektir. x s s 1 1 U W F( x) dx kxdx kx kx x i x x i s s i 1 1 Cisin bulunduğu son noktayı genelleştirirsek U( x) Ui kx kx Genellikle hareketin başladığı konu xi 0 ve bu noktadaki potansiyel U 0 olarak seçilir. i Denge noktasından herhangi bir x uzaklığında, yaydaki potansiye l e ne rji: U 1 kx i
Korunulu ve Korunusuz Kuvvetler: Cisin sadece kinetik ve potansiyel enerjileri arasında bir dönüşüe neden oldukları için, yerçekii kuvveti ve yay kuvveti korunulu kuvvetlerdir. Buna karşın, sürtüne ü kuvveti i korunuluolayan l l bir kuvvettir. Sürtüneli bir yüzey üzerinde A noktasından v 0 ilk hızıyla harekete başlayan bir blok düşüneli. Blok ile zein arasındaki kinetik sürtüne katsayısı μ k olsun. Blok, kinetik sürtüne kuvveti f k etkisiyle d kadar yol aldıktan sonra B noktasında duracaktır. A ve B noktaları arasında sürtüne kuvvetinin yaptığı iş W f = μ k gd olacaktır. Sürtüne kuvveti, bloğun tü kinetik enerjisini ısı enerjisi ne dönüştürüştür. Bu enerji tekrar kinetik enerjiye dönüştürüleez ül ve bu nedenle sürtüne ütü kuvveti korunulu bir kuvvet değildir.
1. Kapalı bir yol boyunca, korunulu bir kuvvetin bir cisi üzerinde yaptığı net iş sıfırdır(şekil-a). W net 0 Yerden yukarı doğru fırlatılan taş ve kütle-yay sistei buna birer örnektir. W net =W ab,1 +W ba, =0. a danb ye giden bir cisin üzerine etki eden korunulu bir kuvvetin yaptığı iş gidilen yoldan bağısızdır. Şekil - a' dan : W = W + W = 0 W = W Şekil - b'den : W = W net ab,1 ba, ab,1 ba, ab, ba, W W ab,1 ab,
Mekanik Enerjinin Korunuu : Bir sistein i ekanik enerjis i, o sistein i kinetik ik ve potansiyel enerjilerinin i i toplaı olarak tarif edilir (Mekanik k enerji = E K U ) ek Sistein çevresinden izole olduğunu, dış kuvvetlerin oladığını ve sistedeki kuvvetlerin ise korunulu olduğunu kabul ediyoruz. Sistedeki iç kuvvetin yaptığı iş sistein kinetik enerjisinde bir değişi eydana getirecektir. K W (Eş-1) Bu, aynı zaanda sistein potansiyel enerjisinde de bir değişi eydana getirecektir U W (Eş-). ş
Bu, Bu iki eşitlik birleştirilirse, K U K K U U s i s i K U K U i i s s sonucuna ulaşılır. "ekanik enerjinin korunuu" yasasıdırveşu şekilde özetl enebil i r. E K U 0 ek. Korunulu ve korunusuz kuvvetlerin olduğu izole bir sistede bu yasa Eek. W korunusuz forundadır. d Burada W, sistedeki tü korunusuz kuvvetler tarafından yapılan yp iştir. korunusuz
Vizkozluk sürtüne kuvveti : Yatay bir hava rayı üzerinde hareket eden kızağa etkiyen vizkozluk kuvveti kızağın hızı ile orantılıdır ve F bv eşitliği ile tanılanır. Burada b, havanın özelliklerine ve düzeneğe bağlı bir sabittir. Negatif işareti de, sürtüne kuvvetinin daia hıza ters yönde olduğunu söyler. Vizkozluk sürtüne kuvveti yukarıdaki gibi tanılı yatay bir hava rayı üzerinde v ilk hızıyla harekete başlayan bir kızak ne kadar yol aldıktan sonra durur? 0
dv dv dv dx dv F a bv ; v dt dt dx dt dx dv b v bv dv dx dx 0 x b b dv dx v x d 0 v 0 v0 0 v 0 v0 xd 0 xd b b 0 x 0 d
Hava rayına küçük bir açısı vererek, eğik bir düzle oluşturulabilir. Eğik düzlein üst ucu ile alt ucu arasındaki esafe x olsun ve alt uçta 0 yaylı bir tapon bulunsun. Bu duruda, üst uçtan bırakılan kızak, alt uçtan birçok ardışık sıçraaların sonunda duracaktır. Siste için vizkozluk sürtüne, yaylı tapon ve rayın eğikliğini de içine alacak uygun hareket denkleleri yazılarak çözüe gidilebilir. Ancak, böyle bir çözü yerine yaklaşık bir çözü de siste hakkında öneli bilgiler verir.
Vizkozluk kuvvetinin baskın olduğu duru : Kızağın başlangıçtaki ve ilk sıçrayıştan sonraki potansiyel enerjisi ve enerji kaybı, U 0 gh 0 gx0sin U g sin x sin U 1 gh1 gx1 olacaktır. Bu kaybın kaynağı sürtüne kuvvetidir. Ağırlık korunulu bir kuvvet olduğu için enerji kaybına yol açaz. Kızak x başlangıç noktasından alt uca gelene kadar sürtüne kuvveti tarafından yapılan yp iş; x0 x0 W Fdx bvdx 0 0 0
Sürtüne çok küçükse, kızağın ivesi a gsin alınabilir. v v axv a 0 x 0 0 x x 0 1/ 3/ b a x0 0 3/ x W b axdxb a 3/ 3 Kızak sıçradıktan sonra, viskozluk kuvveti neredeyse aynı işi yapar. Dl Dolayısıyla l topla enerji kaybı; U gsin xw x 3/ 1/ 3/ 0 0 1/ 4b a x b x 3a 3a Yükseklikteki değişi, ilk yüksekliğin 3/. kuvveti ile orantılıdır.
Tapon etkisinin baskın olduğu duru : Kızağın tapona çarpadan heen önceki hızı v1, sıçraadan heen e sonraki hızı da v olsun. Taponun sıçraa kt katsayısı: v e v1 ile tanılanır. Viskozluk sürtünesinin yol açtığı enerji kaybı çok düşük ise, K0 U0 gx0 sin K 1 1 v 1 x x e x 1 0 e K1 U1 gx1sin K0 v0 x0 x e x1 1 1 0 0 x x x 1 e x ; ilk sıçraa sonunda konu farkı x x x 1 e x ; ikinci i sıçraa sonunda konu farkı 1 1
Enerji kaybında vizkozluk sürtünesi baskın ise, x i x 3/ b 3a i1 1/ Enerji kaybında tapon etkisi i baskın ise, x 1 i e xi 1
AMAÇ: HAVA MASASINDA BASİT SARKAÇ ve YERÇEKİMİ İVMESİNİN ÖLÇÜLMESİ Basit haronik hareketin özelliklerini ve bu hareketi tanılayan teel kavraları öğrenek. Eğik düzlede salınan basit sarkaç yardıı ile yerçekii ivesini hesaplaak. BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR: Basit haronik hareket ve hareketle ilgili nicelikler Basit haronik hareket yapan cisin hızı ve ivesi Basit haronik hareket yapan cisin enerjisi Basit haronik hareket yapan cisin periyodu
Basit Haronik Hareket : Şekil- a' da basit haronik hareket yapan bir cisi resediliştir. xt () x cost Cisin yer-değiştiresi xt () x cos t bağıntısı ile verilir ve zaanla nasıl değiştiği Şekil- b' de resediliştir.
xt () x cost Konu fonksiyonu = cisin denge noktasına olan uzaklığı x niceliği " genlik" olarak bilinir ve cisin aksiu yer-değiştiresidir. niceliği de hareketin " açısal frekans"ıdırve f T ifadesine sahiptir. SI sisteinde birii rad/s' dir. t ise t anındaki faz açı sıdır ve SI sisteinde birii ra y dyad n ır. niceliği, salınıcının " faz sabitidir" ve salınan cisin t 0 anındaki x(0) konuuna ve v(0) hızına bağlıdır. SI sisteinde i birii i i radyandır. d Bir ta salını için geçen süre " period ( T )" olarak tarif edilir. SI sisteindeki birii saniyedir. Biri zaandaki salınısayısı sayısı " frekans ( f )"olarak tanılanır. SI sisteindeki birii hertz (s -1 )' dir.
xt () x cos t 0 duruunda xt ( ) x cos t' dir ve Şekil- a' da çiziliştir. Basit Haronik Salınıcının Hızı : dx() t d vt () xcos t xsin t dt dt x çarpıı hızın alabileceği aksiu değerdir ( v ). 0 duruunda vt ( ) v sint' dir ve Şekil- b' de çiziliştir. v Basit Haronik Salınıcının İvesi : dv () t d at () xsint xcost x dt dt x ivenin alabileceği aksiudeğerdir ( a ). ( r 0 duruunda at) x cos t' dir ve Şekil- c' de çizilişti
Basit Haronik Hareket İçin Kuvvet Yasası : Basit haronik salınıcı için at () xt () olduğunu biliyoruz. Newton' un ikinci yasasına göre: F a x x olur. "Bir cise etkiyen net kuvvet ile cisin yer-değiştiresi arasında, Hook Ya sa sı olarak bilinen, F C x şeklinde bir ilişki varsa (burada C bir sabit), o cisi basit haronik hareket yapıyor" denir. Bu duruda, basit haronik salıcının periyodu C = olarak kbulunur. T C C T
Üstte sürtünesiz bir düzlede, yay sabiti k olan bir yaya bağlı kütleli li cisin i hareketi resediliştir. i i kütleli cise etkiyen net kuvvet Hooke yasasına uyar: F kx. Bunu, F Cx ile karşılaştırırsak C =k bulunur. Buradan da, hareketin açısal frekansı ve periyodu C k ve T C k olarak hesaplanır.
Basit Haronik Hareketin Enerjisi : Basit haronik hareket yapan bir cisin ekanik enerjisi E, herhangi bir anda cisin potansiyel enerjisi U ile kinetik enerjisi K' nın toplaıdır. Potansiyel Enerji: 1 1 U kx kx cos t 1 1 1 k Kinetik Enerji: K v xsin t xsin t 1 1 Mekanik Enerji: E U K kx cos t sin t kx Şekilde depotasyeeej potansiyel enerji " yeşi l", kinetik enerji eej " kırızı" veekanik enerji de " siyah" çizgi ile gösteriliştir. U ve K zaanla değişirken, E sabittir. Salını yapan cisin potansiyel ve kinetik ene e rjileri arasında dönüşü olurken, toplaları sabit kalaktadır.
Burula Sarkacı: Eylesizlik oenti I olan disk, bir tel ile asılış ve ekseni etrafında salını yapaktadır. Diskin açısal yer-değiştiresi olduğunda telin diske uyguladığı geri çağırıcı tork olur. Bu, Hooke yasasının açısal forudur. Burada telin burula sabitidir. ile F Cx ifadelerini karşılaştırırsak, C buluruz. Kütlenin de dönede eylesizlik oentine karşılık geldiğini hatırlarsak, salınıın açısal frekansı ve periyodu, C I I ; T I I C olarak bulunur. Burada I, diskin tele göre eylesizlik oentidir. Açısal yer-değiştire ğ ş de () t cos t ifadesine sahiptir.
Basit Sarkaç: Sabit bir noktaya bağlı ğ L uzunluğundaki ğ ip ile ipin ucuna bağlığ noktasal cisinden oluşur. Kütle denge konuundan bir iktar uzaklaştırılıp serbest bırakılırsa, basit haronik hareket yapacaktır. Biri yerçekii, diğeri de ipteki gerile olak üzere, cise etkiyen iki kuvvet vardır. Bu kuvvetlerin oluşturduğu net tork rf Lgsin' dır. Burada, radyan cinsindendir g ve ipin düşey eksenle yaptığı açıdır. 1 ( <5 ) duruunda, s in yaklaşıı yapılabilir ve Lg bulunur. Bunu, F Cx ile karşılaştırırsak, C Lg buluruz. Kütlenin de dönede eylesizlik oentine karşılık geldiğini hatırlarsak, salınıın açısal frekansı ve periyodu C gl I I L L ; T I I C gl gl g olarak bulunur.
Küçük-açı yaklaşıında, 1 ve dolayısıyla sin kabullenesini yaptık. küçük açı? Neye göre? Nasıl karar vereceğiz? (derece) (radyan) sin 5 0.087 0.087 10 01 0.174 01 0.174 15 0.6 0.59 (~% 1 lik fark) 0 0.349 0.34 (~% lik fark) Sonuç: 10 o duruunda, küçük-açı yaklaşıını kullanabiliriz.
Fiziksel Sarkaç : Bir O noktasından asılış ve yerçekii etkisiyle bu nokta etrafında salını yapan katı cisidir. Cise etkiyen net tork, ghsin ifadesine sahiptir. Burada h, Katı cisin kütle erkezi ile O noktası arasındaki esafedir. Küçük-açı ç yaklaşıı ş ( 10 )yaparsak, net tork gh olur. Bunu, F Cx ile karşılaştırırsak ş ş C hg buluruz. Kütlenin de dönede eylesizlik oentine karşılık geldiğini hatırlarsak, salınıın açısal lfrekansı ve periyodu C gh ; T I I I I C gh Burada I, katı cisin O noktasından geçen eksene göre döne eylesizlik oentidir( I Ik h ).
HAVA MASASINDA SÖNÜMLÜ HARMONİK HAREKET AMAÇ: Sönülü haronik hareketin incelenesi ve sönü sabitinin bulunası. BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR: Basit haronik hareket ve özellikleri Newton yasaları, Hooke yasası Sürtüne kuvveti İkinci i dereceden d basit bir diferansiyal i denkle çözüü.
Sönülü Haronic Hareket : Haronik hareket yapan bir cisin titreşi genliği, dış bir kuvvetin etkisiy le azalıyorsa, cisi " sönülü haronik hareket" yapıyor denir. Kütlesi olan bir cisi, yay sabiti k olan bir yayın ucunda düşey doğrultuda salını hareketi yapaktadır. Cise, sıvının içinde olacak şekilde bir de kanatçık onte ediliştir. Sıvının uyguladığı sönü kuvveti F bv ile verilir. d Negatif işaret, sönü kuvvetinin salını yapan cisin hızına her an ters F d yönde olduğunu gösterektedir. b paraetresi, " sönü sabiti" olarak bilinir. Böylece, kütleli cisi üzerine etkiyen net kuvvet F a kxbv ile verilir. dx d x d x dx v ve a= b kx0 dt dt dt dt differansiyel denklei elde edilir. Böyl ) bt / e bir denklein çözüü de: xt ( xe t olur net cos.
Yukarıdaki reside, xt ( )' nin zaanla ( t) nasıl değiştiği veriliştir. Önceki sayfada bt / verilen çözüü, ü genliği zaanla xe bağıntısına ğ göre değişen cosinüs fonksiyonu gibi düşünebiliriz. Titreşiin genliği / b kadar zaanda aksiu değerinin 1/e' sine düşer. Bu zaana, genlik için durula zaanı d en ir. k b Sönülü haronik hareketin açısal fre kansı = ile verilir. 4 Sönülü haronik harekette ekanik enerji sabit değildir, 1 bt/ kxe Et () bağıntısı uyarınca zaanla azalır.
SARMAL YAYDA POTANSİYEL ENERJİ DEĞİŞİMİNİNveBASİT SALINIM HAREKETİNİN İNCELENMESİ AMAÇ: Yay sabiti ive geri çağırıcı ğ kuvvet kavralarının öğrenilesi i Potansiyel enerji ve kinetik enerji kavralarının öğrenilesi Basit salını hareketinin e öğrenilesi es vesalını periyodu ifadesinin bulunası BİLİNMESİ GEREKEN KAVRAMLAR: İş, Kinetik enerji, Potansiyel enerji, ekanik enerji Mekanik enerjinin korunuu Hooke yasası, yay sabiti ve geri çağırıcı kuvvet Basit haronik hareket ve özellikleri, cisin konuu, hızı ve ivesi
Kinetik Energy: Bir cisin hızından dolayı sahip olduğu enerjidir. Hızı v, kütlesi olan bir cisin kinetik enerjisi şu ifadeye sahiptir: K 1 v SI sisteindeki birii kg. /s = joule ve sebolik olarak J ile gösterilir. İş (W): Kütlesi olan bir cise bir F kuvveti uygulandığında cisi ivelenir ve hızını (v) dolayısıyla da kinetik enerjisini (K)artırabilir veya azaltabilir. Cisin kinetik enerjisindeki değişi iktarı, F kuvveti tarafından cise aktarılan veya cisiden dışarıya alınan enerji (W) kadardır. Cise enerji aktarılışsa W pozitiftir (W > 0)veF kuvveti cisi üzerinde pozitif işş yapıştır yp ş denir. Aksine, cisiden dışarıya enerji alınışsa W negatiftir (W < 0) ve F kuvveti cisi üzerinde negatif iş yapıştırdenir.
Şekilde kütlesi olan cisi sürtünesiz bir yüzeyde x-ekseni yönünde hareket ederken, üzerine yatayla açısı yapacak şekilde bir F kuvveti uygulanıyor. Newton' un ikinci yasası gereği: Fx ax ' dır. Cisin başlangıçtaki hızının vi ve d kadarlık lkbir yer-değiştire e sonundaki kihızının da v s olduğunu ğ varsayalı. Kineatiğin üçüncü denklei: v v 0 a x d eşitliğinden, F x v v0 a x d d Fx d F cos d 1 1 W K W Fdcos W F d Ki vi ; Ks vs K= Ks Ki Fdcos İşin birii, kinetik enerjinin biriiyle aynıdır (J).
NET İŞ : Cise birden fazla kuvvet etkiyorsa (örneğin F, F ve F ), net iş ş ( W )' in hesaplanası: net A B C Yol -1 : Yol - : Herbir kuvvetin yaptığı işler ( W, W ve W ) ayrı ayrı hesaplanır ve A B C sonra da toplanır ( Wnet WA WB WC ). Cisi üzerine etki eden net kuvvet ( Fnet FA FB FC) bulunur ve sonra da net kuvvetin yaptığı iş hesaplanır ( W F d ). net net İş - kinetik enerji teorei : Wnet K Ks Ki Bir cisin kinetik enerjisindeki değişi = Cisi üzerinde yapılan net iş W 0 K K 0 K K net W 0 K K 0 K K net s i s i s i s i
İş ve Potansiyel Enerji: Yer-çekii i potansiyel enerjisi: i Kütlesi olan bir cisi v 0 ilk hızıyla A noktasından yukarı doğru fırlatılıyor. Yerçekii kuvvetinin etkisiyle cisi yavaşlayarak yükselecek ve B noktasında taaen duracaktır. Sonra da, aşağı doğru hareket ederek orijinal v 0 hızıyla A noktasına ulaşacaktır. Cisi A noktasından B noktasına giderken F g kuvvetinin yaptığı iş W 1 = gh dir. Bunun anlaı, F g kuvveti cisin kinetik enerjisini yerçekii potansiyel enerjisine (U) dönüşüştür. Cisi B noktasından A noktasına düşerken, F g kuvvetinin yaptığı iş W =gh dir. Bunun anlaı da, F g kuvveti cisin yerçekii potansiyel enerjisini kinetik enerjiye dönüştürüştür. Sistein potansiyel enerjisindeki değişi şu ifadeyle verilir: U W
Yerçekii Potansiyel Enerjisi : Düşey doğrultuda ( y-ekseni boyunca) yukarı doğru y noktasından y s noktasına hareket eden kütleli bir cisi düşüneli. Cise etki eden yerçekii kuvveti nedeniyle cisi-yer sisteinin potansiyel enerjisinde değişi, ğ ş y y y f s s ys U F ( y ) dy g dy g dy g y g y y g y y y y i i i Cisin bulunduğu ğ son noktayı genelleştirirsek U ( y ) U g y y bulunur. Genellikle, hareketin başladığı konu y 0 ve bu noktadaki potansiyel U U ( y ) gy bulunur. i 0 olarak seçilir. Bu duruda, i y i i s i i i
Yaydaki Potansiyel Enerji : Bir kütle-yay sisteinde, blok xi noktasından x noktasına hareket etsin. Yay kuvveti bir iş ( W ) yapacaktır ve kütle-yay sisteinin potansiyel enerjisinde bir değişi eydana gelecektir. x s s 1 1 U W F( x) dx kxdx kx kx x i x x i s s i 1 1 Cisin bulunduğu son noktayı genelleştirirsek U( x) Ui kx kx Genellikle hareketin başladığı konu xi 0 ve bu noktadaki potansiyel U 0 olarak seçilir. i Denge noktasından herhangi bir x uzaklığında, yaydaki potansiye l e ne rji: U 1 kx i
Mekanik Enerjinin Korunuu : Bir sistein i ekanik enerjis i, o sistein i kinetik ik ve potansiyel enerjilerinin i i toplaı olarak tarif edilir (Mekanik k enerji = E K U ) ek Sistein çevresinden izole olduğunu, dış kuvvetlerin oladığını ve sistedeki kuvvetlerin ise korunulu olduğunu kabul ediyoruz. Sistedeki iç kuvvetin yaptığı iş sistein kinetik enerjisinde bir değişi eydana getirecektir. K W (Eş-1) Bu, aynı zaanda sistein potansiyel enerjisinde de bir değişi eydana getirecektir U W (Eş-). ş