Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Örnek 2 Böylece aşağıdaki gerilme ifadelerine ulaşılır: Bu problem için yer değiştirme denklemleri aşağıdaki şekilde türetilir:
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Örnek 2
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Örnek 2 Böylece aşağıdaki yer değiştirme ğş ifadelerine ulaşılır: Denklemlerdeki d, h ve g bilinmeyen sabitlerdir. Bunları bulmak için sınır koşulları kullanılır.
Daire kesitli, disk ya da milerde ya da dikdörtgen kesitli eğri eksenli kirişlerde gerilme hesabı yapmak için kutupsal koordinat sistemi kullanılabilir. Radyal koordinat Açısal koordinat Üzerindeki gerilmeleri hesaplamak istediğimiz bir cismin üzerinde çok küçük bir elemanda denge durumunu inceleyelim. : r ile Ox ekseni arasındaki açı (açısal koordinat) : Ox ile açısını yapan eksen (O orijinine olan uzaklık) (radyal koordinat) : Radyal yöndeki normal gerilme bileşeni (radyal gerilme) : Açısal yöndeki normal gerilme bileşeni (açısal gerilme) : Kayma gerilmesi bileşeni : Elemanın orta noktası
1 nolu yüzeydeki radyal kuvvet: ya da 3 nolu yüzeydeki y radyal kuvvet: 2 nolu yüzeydeki kuvvetin radyal bileşeni: ya da 4 nolu yüzeydeki kuvvetin radyal bileşeni: 2 ve 4 nolu yüzeylerdeki kesme kuvvetleri : Radyal doğrultudaki kuvvetlerin toplamı ile (ve birim hacime etki eden radyal doğrultudaki R gövde kuvvetini ekleyerek) denge denklemi elde edilebilir: Denklemi dr.d a bölelim:
Söz konusu elemanın çok küçük olduğu düşünülürse, radyal doğrultudaki denge denklemi aşağıdaki şekli alır: Benzer şekilde açısal doğrultudaki denge denklemi de türetilebilir: Burada S; birimi hacime etki eden açısal doğrultudaki d gövde öd kuvvetidir.
Gövde kuvvetinin olmadığı durum için Polar koordinat sistemi için airy gerilme fonksiyonu: Gerilme bileşenleri ile gerilme fonksiyonu arasındaki ilişkiler: Polar koordinat bileşenleri ile kartezyen koordinat bileşenleri arasındaki ilişkiler:
Polar koordinat bileşenleri ile kartezyen koordinat bileşenleri arasındaki ilişkiler:
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Bir Eksene Göre Simetrilik Durumu (Axisymetric) Bazı durumlarda gerilmeler sadece radyal koordinata bağımlı olur ve açısal koordinattan bağımsız olur. Bu durumda, airy gerilme fonksiyonu diferansiyel denklemi: Bu diferansiyel denklemin genel analitik çözümü:
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Bir Eksene Göre Simetrilik Durumu (Axisymetric) Bu durumda gerilmeler: Durum 1: Eğer içi dolu (katı) daire kesitli bir eleman ise Çünkü, r=0 da gerilme denklemlerinin tanımlı olması lazım!
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Bir Eksene Göre Simetrilik Durumu (Axisymetric) Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Deformasyon analizi Durum2:Eğeriçiboşdaire kesitli bir eleman ise: Bu durumda deformasyon denklemlerini türetmemizt gerekiyor. u : Radyal yöndeki yer değiştirme bileşeni v : Açısal yöndeki yer değiştirme bileşeni ad kenarının radyal yöndeki yer değiştirmesi u ise bc nin radyal yöndeki yer değiştirmesi u+du/dr*dr dir. Bu durumda radyal şekil değiştirme ğş bileşeni: Açısal doğrultudaki şekil değiştirme bileşeni sadece u a değil aynı zamanda v e de bağlıdır. Şimdi, a ve d noktalarının sadece u a mağruz kaldığını varsayalım. Bu durumda, ad yayının yeni uzunluğu (r+u)d olur. Bu durumda yaydaki açısal yöndeki uzama oranı:
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Bir Eksene Göre Simetrilik Durumu (Axisymetric) Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Deformasyon analizi ab ile cd kenarları arasındaki açısal yerdeğiştirme farkı (dv/d )d buradanda açısal şekil değiştirmeyi bulmak için r ye bölünür: 1/r dv/d. Böylece açısal yer şekil değiştirme bileşeni: Kayma şekil değiştirme bileşeni için, Ayrıca polar koordinat sistemi için Hooke yasası:
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Bir Eksene Göre Simetrilik Durumu (Axisymetric) Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Deformasyon analizi Durum 2 için çözüme devam edelim:
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Bir Eksene Göre Simetrilik Durumu (Axisymetric) Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Deformasyon analizi Böylece gerilmeler: Sınır koşulları yardımıyla sabitler hesaplanabilir.
Elastisite Teorisi Polinomlar ile Çözüm Bir Eksene Göre Simetrilik Durumu (Axisymetric) İçeriden ve dışarıdan sırasıyla p i ve p o basınçları uygulanan içi boş silindir için çözüm: Böylece gerilmeler: