. Sayı Mayıs 6 A COMMTATIVE MLTIPLICATION OF DAL NMBER TRIPLETS L.KLA * & Y.YAYLI * *Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi, Matematik Bölümü 6 Tandoğan-Ankara, Türkiye ABSTRACT Pfaff [] using quaternion product gave some properties of commutative multiplication of number triplets or IR. Yaylı [] gave a new explanation of multiplication of number triplets by representation matrix. In this paper, we obtain, using dual quaternion product, a commutative multiplication of dual number triplets. Moreover, we investigate some properties of the commutative multiplication. Keywords: Dual quaternion, dual leaf TDAL SAYI ÜÇLÜLERİNİN DEĞİŞMELİ ÇARPIMI ÖZET Pfaff [] kuaterniyon çarpımını kullanarak IR de sayı üçlülerinin değişmeli çarpımının bazı özelliklerini verdi. Yaylı [] sayı üçlülerinin çarpımının yeni bir ifadesini matris gösterimi ile elde etmiştir. Biz bu çalışmada, dual kuaterniyonların çarpımını kullanarak, dual sayı üçlülerinin değişmeli çarpımını elde ettik. Ayrıca, bu çarpımın bazı özeliklerini inceledik. Anahtar Kelimeler: Dual kuaterniyon, dual yaprak. Giriş William Rowan Hamilton 8 lu yıllarında, kompleks sayıların çarpımına benzer bir çarpmayı, IR deki üçlüler için araştırdı. Fakat normun korunması mümkün olmuyordu. 5
. Sayı Mayıs 6 4 yıl sonra bu işin IR de mümkün olabileceğini gördü ve kuaterniyonları keşfetti. 8 Daha sonraları IR de Cayley sayıları için kompleks sayıların benzer özelikleri araştırıldı. Cayley sayıları üzerindeki çarpmanın birleşme ve değişme özelliklerinin mevcut olmadığı görüldü. Bu çalışmada, ID deki orjinden geçen düzlemler üzerinde değişmeli çarpma tanımlandı ve bu çarpmanın özelikleri incelendi.. DAL KATERNİYONLAR IH ID A, B, C, D ID, ei, e, S D, VD Ae Be De Ae Be Ce ee ee e, ee ee e, ee e e e Ce S : nun skalar kısmı, V : nun vektörel kısmı olmak üzere Bu durumda iki dual kuaterniyonun çarpımı S V yazılabilir. S S V, V S S V V V V şeklinde verilebilir. Eğer 4 ID de ile lineer bağımlı ise V olup dual kuterniyon çarpımı değişimli olur. V V V dır. Yani Şimdi aşağıdaki formda dördüncü bileşeni sıfır olan dual kuaterniyonların kümesini ele alalım; D e A e B e D e A e B e Bu şekilde tanımlanan tüm dual kuaterniyonların kümesi dual kuaterniyonlar uzayının - boyutlu bir alt uzayıdır. Bu alt uzayı ID ile göstereceğiz. ve ID olmak üzere eğer // V V ise ve, Ox eksenini içine alan orijinden geçen ID deki düzlemler içinde bulunurlar. Bu düzlemleri dual yaprak olarak adlandıracağız. Bu durum Şekil de gösterilmiştir. 54
. Sayı Mayıs 6 Şekil. ID de dual yaprak.. BİR DAL YAPRAK ÜZERİNDE ÇARPMA A ve B her ikisi birden sıfır olmayan iki dual sayı olmak üzere D e A e B e ( D, A, B ( D,, ( ( D,,, A, B vektörünü ele alalım. Burada (, A, B vektördür. Böylece bir dual yaprak ifade eder. (, A, B, yoz düzleminde sıfırdan farklı bir V olmak üzere bir ( D, (, A, B ( D,, V D e A e B e,, 55
. Sayı Mayıs 6 vektörünün ile aynı dual yaprakta bulunması için gerek ve yeter koşul ( D, A, B ( D, M. A, M. B olacak şekilde bir M dual sayısının var olmasıdır. O halde ( M. A e ( M B e De Ae Be ve P Ee. olmak üzere ve P vektörlerinin kuaterniyon çarpımı, D, A,B,M ID olmak üzere ( D E M. A M. B e ( M. D E. ( A e (( M. D E. B R P. e ( şeklindedir. Aynı Dual Yapraktaki Dual Sayı Üçlülerinin Çarpımı Aşağıdaki Özeliklere Sahiptir: ( Aynı yaprakta yer alan ve P dual vektörlerinin çarpımı olan R P dual vektörü de yine aynı yapraktadır. Yani her dual yaprak bu çarpma işlemine göre kapalıdır. ( çarpma işlemi değişmelidir. ( çarpma işlemi dual kuaterniyon çarpımının özel bir durumu olduğundan aynı dual yaprak üzerinde birleşme ve dual vektörlerin toplamı üzerine dağılma özeliklerine sahiptir. (4 De Ae Be dual vektörünün eşleniği olan * dual vektörü de ile aynı yapraktadır ve D A B dir. * De Ae Be (5 nun tersi * dual vektörü ile aynı dual yapraktadır. (6 Aynı dual yaprakta yer alan ve R dual vektörleri için, P R denklemi P R olacak şeklinde aynı dual yaprakta yer alan bir tek P dual vektör çözümüne sahiptir. Sonuç olarak ID de her bir yaprak çarpma işlemine göre bir cisimdir. 56
. Sayı Mayıs 6 4. BİR DAL YAPRAKTA KOMPLEKS YAPI A ve B her ikisi birden sıfır olmayan iki dual sayı olmak üzere De Ae Be ( D,, vektörünü ele alalım. ve (, A, B bir yaprak belirtir. O halde ( D,, (, A, B D(,, D(,, D. i (,, ( cosξ e sin. i yazılabilir. Burada gösterilmiştir., ξ i i vektörü için, i i dir. Bu durum Şekil de Şekil. Dual yaprakta kompleks yapı. 57
. Sayı Mayıs 6 Böylece De Ae Be ID vektörü ve nin gerdiği düzlemde yer alacaktır. Dolayısıyla ξ ξ ξ e i cos. e sin. iφ olmak üzere yaprakta bir diğer vektör ise iξ e ve ξ e i arg yazılabilir. Şayet P ( E, V, ile aynı iη P P e yazılabilir. Bu durumda P P e P e i ξ i η i e ( ξ η ve arg( P arg arg P dir. Ayrıca e iξ ile verilebilir. Böylece, yardımıyla herhangi bir dual yaprak üzerinde kompleks yapı ifade edilmiş olur. i 5. FARKLI DAL YAPRAKLAR ÜZERİNDEKİ DAL SAYI ÜÇLÜLERİNİN ÇARPMASI ve P ID farklı yapraklar üzerinde bulunsun. Sp {, P} N orijinden geçen bir düzlemdir. L (cos Θ,sin Θ, ; N düzlemi ile xoy düzleminin arakesiti olan ve x- ekseni ile Θ açısı yapan doğruyu göstermek üzere, N üzerindeki çarpmayı, : N N N (, P P Α [ P ( Θ Α( Θ Α( Θ şeklinde verebiliriz. Bu durum Şekil de gösterilmiştir. Burada Α ( Θ z-ekseni etrafında ] ( 58
. Sayı Mayıs 6 dönme yaptıran matristir. ( ile ifade edilen P işlemi R P {[( D cosθ Asin Θ E ( Dsin Θ AcosΘ F ( B cosθ G] e [ ( Dsin Θ AcosΘ E ( D cosθ Asin Θ F ( Bsin Θ ] [( B cosθ E ( Bsin Θ F ( D cosθ Asin Θ G] e } ( L P L, P G e ( veya matris formunda D cosθ Asin Θ Dsin Θ AcosΘ B cosθ E R Α Dsin Θ AcosΘ D cosθ Asin Θ B sin Θ F B cosθ Bsin Θ D cosθ Asin Θ G olarak elde edilir. ( denkleminde ki ve,, sırasıyla, ID deki vektörel ve iç çarpım operatörleridir. (4 Şekil. Farklı dual yapraklardaki elemanların çarpımı. 59
. Sayı Mayıs 6 Şimdi dual kuaterniyonların skalar kısmı sıfır alınarak elde edilen dual sayı üçlülerini kullanarak orijinden geçen herhangi bir düzlem üzerindeki işleminin geometrik yorumunu vereceğiz. 6. ÇARPMASININ GEOMETRİK YORM ID de orijinden geçen herhangi bir düzlem N olsun. P L P veya ( L, L P r ( Θ. e sin Θ S P P cos, P L P yazılabilir. Bu durumda., P N için P P olduğundan L r cosθ. e sin Θ S birim dual kuaterniyonu, P dual vektörünü N düzleminde S r ekseni etrafında L * döndürüyor diyebiliriz. Burada S r ve Θ θ θ dır. L Θ kadar KAYNAKLAR [] Frank R. Pfaff, A Commutative Multiplication of Number Triplets, Amer. Math. Montly. 7 (, 56-6. [] Yayli Y, Hacısalihoğlu H.H and Kula L, uaternions and Lie Groups on S, Kragujevac J. Math. 5, (, -8. 6