DİZİLER Tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi olan her fonksiyona dizi denir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 ifadesi bir dizi belirtir. Diziler, değer kümelerine göre adlandırı - lırlar. Dizinin değer kümesi reel sayılar ise, di zi ye reel sa yı dizisi denir. Dizi genel olarak f : Z + R olmak üzere, tanım kümesi; {, 2, 3,...,n,...} ve görüntü küm esi; f (Z + )={f(), f(2), f(3), f(n),...} dir. Örnek...3 : Aşağıdaki ifadelerden hangileri bir dizinin genel terim i olabilir? n 200) 2 (a n)=( (b n)=(tan (n o ) ) (c n)=( n 3 n) Diziler genellikle, f(n) yerine (a n ),(b n ), (x n ) şeklinde gösterilir. Örneğin f : Z + R, f (n )=n 2 dizisini (a n )=(n 2 ) biçiminde veya (a n )=(,4,9,..., n 2,...)olarak yazılabilir. Bu dizide bazı terimler a =, a 3 =9, a 0 =00 (a n) = (a, a 2, a 3,..., a n,... ) şeklinde ya zıld ığ ın da. a dizinin birinci terimi a 2 dizinin ikinci terimi a 3 dizinin üçüncü terimi a n dizinin n inci terimi veya genel terimidir. (kısaca f(n)=a n düşünülür) (d n )=(log 2 (00 n)) (e n)=( 600 n n 2 + ) (f n )=( 3 n 20) Örnek...4 : Genel terimi (w n )=(n 2 +) olan dizinin üçüncü terimi Örnek... : Genel terimi; (a n)=( n+) dizisi (a n)=( 2, 3, 4,..., n+ ),... şeklinde yazılabilir. Örnek...5 : Genel terimi (r n )=(n 3 n+2) ilk üç terim toplam ı nedir? Örnek...2 : İfadesi bir dizi belirtmez çünkü n 78) bu ifadeyi tanım kümesi pozitif tamsayılar küm esi değildir. (a n)=( Örnek...6 : Genel terimi (u n )=(n!) olan dizide 0.terim, 8. terimin kaç katıdır?.sınıf Matematik Konu Anlatımı 204 205 /6
Örnek...7 : Genel terimi a n = { n+2 ; n<0 a 9 +a 8 a 0 n 2 ; n 0 Örnek... : Genel terimi (a n)=( k= terimi kaç basamaklıdır? n k) a 25 Örnek...8 : Genel terimi a n = {2n 3 ; n (mod2) n 2 + ; n 0 (mod 2) olan dizi için a 9 +a 8 a 0 Örnek...9 : Genel terimi (a n )=( a) a 5 =? b)a 0 a 9 =? n k= 2k) Örnek...2 : Genel terimi (x n)=( 2n 3 n+ ) dizisinin kaçıncı terimi 7 4 olur? (a n )=( Örnek...3 : 9n n2 dizisinin kaç terimi pozitiftir? n +3n) 2 Örnek...0 : Genel terimi (a n )=( k= a 20 n n +5n+6) 2.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 204 205 2/6
Örnek...4 : n2 +5n+0 (c n )=( n+ ) dizisinin kaç terimi tamsayıdır? Örnek...8 : (b n)=(3 n 2 ) dizisinin en çok kaç terimi ( 20,20) arasındadır? (p n )=( Örnek...5 : n2 küçük tür? 3n+ n+ ) dizisinin kaç terimi ( 2) den Örnek...6 : (b n)=(n 2 4n+3 ) dizisinin en küçük terimi nedir? Örnek...9 : Genel terimi a n = { 2n ; n tek 2n ; n çift 5 a k k=4 UYARI Bir terimi kendinden önceki bir veya birkaç terim cinsinden tanımlanan dizi - lere indirgemeli dizi denir. Bu elemanlar arasındaki bağıntıya da indirgeme bağıntısı denir. Örnek...20 : Uygun şartlarda tanımlı (a n ) dizisinin elemanları arasında a 2n+ a 2n =n bağıntısı var ve a =9 ise a 7 Örnek...7 : (b n)=(9 n 2 7n ) dizisinin en büyük terimi nedir?.sınıf Matematik Konu Anlatımı 204 205 3/6
Örnek...2 : Uygun şartlarda tanımlı (a n ) dizisinin elemanları arasında a n+ = 4.a n +5 4 ve a = 4 ise a 3 bağıntısı var DİZİLERDE İŞLEMLER. Toplama Çıkarma İki diziyi toplamak veya çıkarmak için bu dizilerin genel terimlerinde toplama ve çıkarma yapılır. (a n )± (b n )=(a n ±b n ) 2. Çarpma Bölme İki diziyi çarpmak için bu dizilerin genel terim leri çarpılır. (a n ). (b n )=(a n. b n ) İki diziyi bölmek için de bu iki dizinin genel terimleri bölünür. (a n ): (b n )=( a n b n), b n 0 Örnek...22 : Genel terimi (d n )=(2 n.(n+ )!) olan dizide ardışık iki terimden biri diğerinin 6 katıdır. Bu terim lerin geometrik ortalam ası Bir diziyi sabitle çarpmak için de bu dizinin genel terimini sabitle çarpmak yeterli dir. c(a n )=(c.a n ) Örnek...24 : (a n )=(n+2 ) ve (b n )= ( 3 n dizileri için istenen dizileri hesap - 2) la yınız. (a n )+(b n ) (a n ). (b n ) DİZİLERİN EŞİTLİĞİ İki dizinin eşit olması için aynı sıradaki terimleri birbirine eşit olmalıdır. (a n) ve (b n) iki dizi olmak üzere her pozitif n tamsayısı için a n= b n ise (a n) ve (b n) dizilerine eşit diziler denir ve bu eşitlik (a n) = (b n) olarak yazılır. Örnek...23 : (p n)=( 3n+2 n+4 ) dizisi ve (k n )=(3.cos2n π ) dizisi eşit dizilerdir çünkü bu dizilerin genel terimleri eşit ve 3 tür. (b n ):(a n ) 3 (a n )+2 (b n ) SONLU DİZİ A p ={,2,3,...p }kümesi bir p elemanlı sonlu küme olmak üzere tanım kümesi A p ={,2,3,...p } olan her diziye bir p terimli sonlu dizi denir. Örnek...25 : A p ={,2,3,...00 } f : A p R, f (n )=a n =n 2 genel terim iyle verilen dizi, 00 terim li sonlu bir di zidir..sınıf Matematik Konu Anlatımı 204 205 4/6
Örnek...26 : (b n)=(3 n 2 ) sonlu dizisinin tüm terimleri 00 den büyükse en küçük terimi UYARI (a n )= ( P(n ) Q (n)) yani rasyonel ifade tipinde bir dizi sabitse dizide pay ve payda da n içeren terimlerin eşit dereceli olanlarının katsayıları orantılı olmalıdır. Örnek...27 : (a n )=( 6 n) sonlu dizisinin en çok kaç ele - manı vardır? Örnek...30 : (p n)=( 3n+5 n+5 ) dizisi sabit dizidir.. Örnek...28 : (a n )=(tan (n o ) ) sonlu dizisinin en çok kaç ele - manı vardır? SABİT DİZİ Bütün terimleri birbirine eşit olan dizilere sabit di ziler denir. (a n)=( 2, 2, 2 2,...) dizisinin her terimi 2 olduğundan sabit di zidir. Örnek...3 : (x n)=( an+3 n+7 ) dizisi sabit dizi ise a Örnek...32 : (x n )=( ( a 2 )n2 2n+4 bn+7 ) dizisi sabit dizi ise a+b UYARI (a n )=(P( n)) yani polinom tipinde bir dizi sabitse dizide n içeren terimler varsa bu terimlerin katsa yılar ı 0 olm al ıdır. Örnek...29 : (s n)=( (3 k )n 2 +(2m+ )n m.k+5) dizisi sabit dizi ise s 89.Sınıf Matematik Konu Anlatımı 204 205 5/6
DEĞERLENDİRME ) a n a n+ = 3 2 ve a 6 = 2 ise a 24 6) Genel terimi (a n )= ( olan dizisinin ilk n +3n+2) 2 0 terimi toplamı 2) (c n )=( n+5) n3 dizisinin kaç terimi tamsayıdır? 7) (a n)=( (k+2)n 3 + (2m+ )n 2 (k.m p )n+5 ) dizisi sabit dizi ise a 3 3) (a n )=( n3 negatiftir? 9n 2 27n 2n 7 ) dizisinin kaç terimi 8) (k n)=( 3n 2x 9 2n ) dizisi sabit dizi ise x 9) (a n )=(3n 2 ), (b n )= ( + n 2) dizileri için c n=(a n 4.b n ) dizisinin ikinci terimi 4) (b n)=(sec (n o ) ) sonlu dizisinin en çok kaç elemanı vardır? 0) (u n)=(24 n 2 4n ) dizisinin en büyük terimi nedir? 3n ; n (mod 3) 5) Genel terimi a n 3n+ ; n 0 (mod 3) ={ 2+3n ; n 2 (mod3) olan dizisinin ilk üç terimi toplamı ) (u n)=(3n 2 9n+7 ) dizisinin en küçük terimi nedir?.sınıf Matematik Konu Anlatımı 204 205 6/6