Hayvansal Üretm 54(): 8-3, 03 Araştırma Makales Genel Doğrusal Karışık Modellerde Farklı Kovaryans Yapıları ve Tahmn Yöntemlernn Performanslarının Karşılaştırılması Gazel Ser *, Barış Kak, Abdullah Yeşlova, Ayhan Yılmaz 3 Yüzüncü Yıl Ünverstes Zraat Fakültes Zootekn Bölümü, Van 3 Btls Eren ünverstes Hzan Meslek Yüksekokulu Btksel ve Hayvansal Üretm Bölümü, Btls *e-posta: gazelser@gmal.com; Tel.: +90 (505) 776 8434; Faks: +90 (43) 5 04 Özet Tekrarlanan ölçüm yapısındak verlern çözümlenmes ve yorumlanmasıyla lgl çalışmalar geçtğmz yıllarda büyük lerleme göstermş, bu anlamda güçlü yöntemler gelştrlmştr. Bu çalışmada doğrusal karışık modeln özel durumlarından yararlanılarak zaman değşkennn modele farklı şeklde dahl edldğ üç model oluşturulmuştur. Bu modeller, zaman değşkennn modele sürekl değşken olarak dahl edldğ rasgele kesm noktası ve eğm model (Model ), zaman değşkennn modele kategork olarak dahl edldğ rasgele kesm noktası model (Model ) ve zaman değşkennn modele hem sürekl hem de kategork olarak dahl edldğ rasgele kesm noktası ve eğm model (Model 3) şeklnde oluşturulmuştur. Tekrarlanan ölçümler arası kovaryans yapısının belrlenmesnde Bleşk Smetr (Compound Symetry, (CS)), Yapısal Olmayan (Unstructured, (U)) ve Brnc Dereceden Otoregresf (Frst Order Autoregressve, (AR()) yapıları uygulanmış ve bu yapılarla beraber En Çok Olablrlk (ML), Kısıtlanmış En Çok Olablrlk (REML) ve Mnmum Varyanslı Kuadratk Sapmasız Tahmnleyc (MIVQUE) tahmn yöntemler kullanılmıştır. Ver setne en uygun tahmnleme yöntem ve kovaryans yapısının seçm AIC ve BIC uyum ölçütleryle değerlendrlmştr. Çalışma materyaln, 33 baş orduz erkek kuzusunun serum testosteron konsantrasyon değerler oluşturmuştur. Sonuç olarak, ver setne en y uyumu her üç modelde de ML tahmn yöntemyle beraber heterojen br yapıyı dkkate alan U kovaryans yapısının gösterdğ belrlenmştr. Anahtar kelmeler: Tekrarlanan ölçüm, tahmn yöntemler, kovaryans yapısı Comparson of the Performance of Dfferent Covarance Structures and Estmaton Methods n General Lnear Mxed Model Abstract In studes on analyss and nterpretaton of the data wth repeated measures structure, an enormous progressve has been showed n recent years and n ths sense, the very strong methods have been developed. Three models whch the tme varable s ncluded n dfferent form to model have been establshed, benefttng the specfc stuatons of lnear mxed model. Ths models consttuted as the random ntercept and slope model whch the tme was ncluded n contnuous varable (Model ), the random ntercept model whch the tme was ncluded n categorcal varable (Model ) and the random ntercept and slope model whch tme was ncluded n both contnuous and categorcal varable (Model 3). Compound Symmetry (CS), Unstructured (U) and Frst Order Autoregressve (AR() structure were appled n determnaton of the covarance structure between repeated measures, and along wth these structure, Maxmum Lkelhood (ML), Restrcted Maxmum Lkelhood (REML) and Mnmum- Varance Quadratc Unbased Estmator (MIVQUE) were used estmaton methods. Selecton of the best adequate estmaton method and covarance structure for dataset was evaluated by AIC and BIC crtera. Data were taken from values of serum testosterone concentraton, whch t was collected at 33 of orduz male lambs. In concluson, t was revealed that the best coheson wth dataset was shown by the U covarance structure takng nto account a heterogeneous structure along wth ML estmaton method n all three models. Key words: Repeated measurements, estmaton methods, covarance structure Grş Tekrarlanan ölçüm yapısına sahp verlern çözümlenmes ve yorumlanmasında klask yöntemlern kullanılmasını kısıtlayan bazı özellkler bulunmaktadır. Bu yöntemlern (Örneğn, varyans analz) başlıca kısıtlayıcılığı hataların brbrnden bağımsız ve 8 gözlemler arasındak lşknn sabt olduğunun varsayılmasıdır. Ancak tekrarlanan ölçümlü verlern doğası gereğ gözlemler arasında br lşk söz konusu olup bu lşk göz ardı edlmemeldr (Akbaş ve ark., 00). Tekrarlanan ölçümlü tek değşkenl (Repeated AOVA, RAOVA) ve çok değşkenl varyans analzler (MAOVA) klask yaklaşımların başında yer Bu makale 8. Ulusal Zootekn Blm Kongres nde sözlü bldr olarak sunulmuş ve kongre ktabında özet basılmıştır (5-7 Eylül 03, Çanakkale, s:35-36)
Farklı Kovaryans Yapıları ve Tahmn Yöntemlernn Performanslarının Karşılaştırılması 9 almaktadır. Klask yöntemlern, ver gruplarında eksk gözlem olması durumunda uygulanablr olmaması, varyans-kovaryans yapılarına karşı kısıtlayıcı özellklere sahp olması, modelde breysel etkler dkkate almamasının br sonucu olarak zaman boyunca oluşan breysel değşmler göz ardı etmesnden dolayı kullanım alanı sınırlı kalmaktadır (Ser, 0). Tekrarlanan ölçümler deneme dzaynları çn alternatf yöntemlern başında Genel Doğrusal Karışık Modeller (General Lnear Mxed Model) gelmektedr (Eyduran ve Akbaş, 00; Orhan ve ark., 00; Ser, 0). Genel Doğrusal Karışık Modellerde gözlenen verler, sabt ve şansa bağlı etkler olmak üzere k kısımdan oluşur. Modeldek sabt etkler (muamele ve zaman etks gb) gözlemlern beklenen değerler olarak tanımlanırken, şansa bağlı etkler se gözlemlern varyans ve kovaryansları olarak tanımlanır (Lttell ve ark., 000). Bu modellerde varyans-kovaryans yapısı üzerne hçbr kısıtlama yoktur. Her breyn, populasyona göre nasıl br değşm gösterdğ modeldek şansa bağlı etkler kullanılarak elde edlr (Ser, 0). Bu çalışmanın amacı, doğrusal karışık modellern özel durumlarından yararlanılarak kurulan üç modele, tekrarlanan ölçüm yapısındak ver set çn en uygun parametre tahmn yöntemnn ve kovaryans yapısının belrlenmesdr. Materyal ve Metot Materyal Bu çalışmanın verlern, Yüzüncü Yıl Ünverstes Zraat Fakültes Araştırma ve Uygulama Çftlğ nde yetştrlen orduz koyunlarının doğum mevsmnde (Mart ayı) doğan 33 baş orduz erkek kuzusu oluşturmuştur. Uygulamada orduz erkek kuzularının kanlarından elde edlen serum testosteron konsantrasyon ölçüm değerler kullanılmıştır. Erkek kuzularda kan alımına 3 aylık yaşta başlanmış ve 6 aylık yaşa kadar devam edlerek ayda br yapılmıştır. Bu çalışmada kullanılan verlern elde edlşyle lgl detaylı blgler Yılmaz (006) tarafından verlmştr. Metot Genel Doğrusal Karışık Model Doğrusal karışık modeller matrs formunda aşağıdak şeklde fade edleblr. Y X Zu e () Eştlk de (Y ) lern normal dağıldığı ve ( ) regresyon parametresnn tüm breyler çn aynı olduğu varsayıldığından, modelde sabt etk olarak yer almaktadır. (u) brey-özel etkler olup brbrlernden bağımsız u MV 0, D etk olarak yer almaktadır. X n p ve n q ~ ve modelde şansa bağlı Z, sabt ve şansa bağlı etkler çn desen matrslerdr. (u) nun modelde yer alması ( ) regresyon katsayısının her alt setndek breyler arasındak heterojenlğn varlığını fade etmektedr. (e) hata e MV 0, R R Cov e ) vektörü ve ( ~ ve şeklndedr (Verbeke ve Molenbergs, 000; Kncad, 005). Rasgele Kesm oktası Model (Random Intercept Model) Rasgele kesm noktası model, rasgele değşen brey etksnn modele dahl edldğ doğrusal br modeldr. Karışık modeller çok düzeyl yapıda göstermek, breysel etklern daha y anlaşılması açısından önemldr. Doğrusal karışık modeller k aşamalı model şeklnde fade edleblr. Brnc aşama model: yj b0 b t e şeklndedr. Brnc aşama modelnde j j y j :. breyn j. zaman noktasındak cevaplarını fade ederken, modelde bağımsız değşken olarak fade edlen t zaman düzeylern (gün, hafta j veya yıl) göstermektedr. İknc aşama model se b0 0 u0 ve b şeklnde oluşturulur. Modelde,. c breye at başlangıç değer b 0, populasyon başlangıç değer 0, brey özel şansa bağlı etk u 0 dr. Şansa bağlı termn modele eklenmes her breyn ayrı başlangıç düzeyne sahp olduğunu gösterr. Ancak modelde breylern zaman çndek eğlmler ( b ) aynıdır ve heps populasyon eğm e eşttr (Bahçectapar, 006; Doğanay, 007; Patterson, 008). Rasgele Kesm oktası ve Eğm Model (Random Intercept & Slope Model) Tekrarlanan ölçüm ver yapısına sahp ölçümlerde genellkle brmlern başlangıçları benzer zaman noktaları değştkçe brmler arası değşm daha fazla olmaktadır. Bu nedenle hem başlangıç (ntercept) hem de eğm (slope) noktalarının şansa bağlı olmasına zn veren br model oluşturulmalıdır. Buna göre oluşturulacak k aşamalı model; brnc aşama model: yj b0 b t e şeklndedr. İknc aşama model se j j ve b u şeklnde b0 0 u0 kurulur. İknc aşama modelnde görüldüğü üzere her breyn kendne at br başlangıç düzey ve eğm vardır (Bahçectapar, 006; Doğanay, 007; Patterson, 008). Hayvansal Üretm 54(), 03
0 Ser ve ark. En Çok Olablrlk (Maxmum Lkelhood, ML), Kısıtlanmış En Çok Olablrlk (Restrcted Maxmum Lkelhood, REML) ve Mnmum Varyanslı Kuadratk Sapmasız Tahmnleyc (Mnmum Varance Quadratc Unbased Estmaton, MIVQUE) Genel Doğrusal Karışık modellerde varyans-kovaryans matrs V blnmyor se V ZDZ R eştlğnde u nun varyansı D ve hata varyansı R nn tahmn edlmes gerekr. Bu k matrsn tahmnlenmes çn farklı yöntemler vardır. Bu yöntemlerden en çok kullanılanı ML, REML ve MIVQUE yöntemlerdr. ML ve REML normallk varsayımı gerektrrken, MIVQUE normallk varsayımı gerektrmez (Türkan, 008)., V kovaryans matrsnde blnmeyen parametreler göstersn. Buna göre üzerndek koşullar, nın ML tahmnleycs çn kapalı br formu fade etmektedr. ˆ X V X X V Y () uˆ DZ V Y X ˆ Eştlk 3 de aynı zamanda u nn BLUP tahmnn elde ederz. nın tahmn çn ML yada REML kullanılmaktadır. ML (L ) ve REML (L ) tahmnler (4) ve (5) nolu eştlklerle elde edlmektedr. Eştlk () ve (3) de blnmeyen nın yern yada ˆ REML (3) ˆ ML tahmnler almaktadır. Aynı zamanda çn emprcal BLUE ve b çn emprcal BLUP tahmnler kullanılmaktadır (Antono ve Berlant, 007). Yukarıda () nolu eştlkte verlen doğrusal model Y=Xμ+Z u+z e şeklnde tekrar yazılırsa REML aşağıda verlen (6) nolu eştlk de teratf olarak REML tahmnlern verr. L L (4) ; y,..., y c logv r V r ; y,..., y c logv log X V X r V r (5) r y X X V X X V y ve c,c uygun sabtlerdr. tr( PZ ˆ ZPZ ˆ Z) tr( PZ ˆ ZPZ ˆ Z) ˆ ˆ ˆ a y PZZPy ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ ) ( ) ˆ tr PZ Z PZ Z tr PZ Z PZ Z e y PZZPy Vˆ ˆ av ˆ ev ve ˆ ˆ ˆ ˆ P V I X ( X V X ) X V (6) Eştlkte ˆ yerne ˆ p V (V`nn tahmn) bırakılırsa ML tahmnler elde edlr (Swallow ve Monahan, 984). Varyans unsurlarının tahmn edlmesnde kullanılan MIVQUE, ML ve REML yöntemler aynı quadratk formları kullanmaktadırlar. Yöntemler arasındak farklılık quadratk formlarının beklenen değerlernden kaynaklanır. MIVQUE yöntem V nn blnmedğ durumda V çn tahmn blgler kullanır. Tahmn değer gerçek değere yakın olduğunda quadratk formların varyansı mnmze edlr (Okut ve Akbaş, 996). MIVQUE0, ˆ u ve ˆ e varyans unsurları çn başlangıç değer olarak sırasıyla 0 ve değerlern kullanır. Kovaryans parametrelernn en küçük varyanslı kuadratk sapmasız tahmnlern sağlayan MIVQUE0 yöntem aynı zamanda teratf olmayan br yöntemdr (Ünalan ve Çankaya, 0). İstatstksel Analzler Modeller, zaman değşkennn modele farklı şeklde dahl edlmesyle oluşturulmuştur. Çalışmada kullanılan modellerle lgl ayrıntılı blgler Doğanay (007) Hayvansal Üretm 54(), 03
Farklı Kovaryans Yapıları ve Tahmn Yöntemlernn Performanslarının Karşılaştırılması tarafından tanımlanmıştır. Buna göre; Model : zaman değşkennn modele sürekl değşken olarak dahl edldğ rasgele kesm noktası ve eğm model (random ntercept & slope model), Model : zaman değşkennn modele kategork olarak dahl edldğ rasgele kesm noktası model (Random ntercept model), Model 3: zaman değşkennn modele hem sürekl hem de kategork (zamanı kategork olarak modele almak çn zaman gb br değşken oluşturulmuştur) olarak dahl edldğ rasgele kesm noktası ve eğm model (random ntercept & slope model). Bununla beraber tekrarlanan ölçümler arası varyans-kovaryans yapısının belrlenmesnde homojen br yapı sergleyen CS, AR() ve heterojen br yapı gösteren U yapıları kullanılmıştır. Parametre tahmn yöntem olarak ML, REML ve MIVQUE0 yöntemler uygulanmıştır. Bu çalışma SAS (verson 9.) statstk yazılım programının PROC MIXED prosedürü kullanılarak yapılmıştır. Bulgular ve Tartışma Kurulan modellere en y uyumu sağlayan parametre tahmn yöntem ve kovaryans yapısının belrlenmes çn Çzelge de AIC (Akakes Informaton Crteron) ve BIC (Schwarzs Bayesan Crteron) uyum ölçütler verlmştr. Çzelge ncelendğnde her üç modelde de en küçük AIC ve BIC değer ML tahmn yöntem le U kovaryans yapısından elde edlmştr. U durumunda heterojen br yapı ve varyans-kovaryanslar çn herhang br varsayım söz konusu olmamakla beraber aynı zamanda tekrarlanan ölçüm sayısı az olduğunda araştırıcı çn y br seçm olablmektedr. CS yapısı, çalışmadak aynı brey yada brmler üzerndek varyans-kovaryans ve korelasyonların homojen olduğunu varsayarken AR() kovaryans yapısı, varyansların homojen ancak aynı brmlerden alınan Çzelge. Model, Model ve Model 3 çn farklı parametre tahmn yöntemler ve kovaryans yapılarından elde edlen uyum ölçütler sonuçları Tahmn Yöntemler Kovaryans Yapıları AIC BIC MODEL ML CS 77.7 7.8 U 697.3 703. AR() 77.7 7.8 REML CS 739.5 74.4 U 79.7 7.3 AR() 739.5 74.4 MIVQUE0 CS 754.6 756.5 U 74.5 77.7 AR() 743.3 745.9 MODEL ML CS 70. 73.5 U 708. 70.9 AR() 70. 73.5 REML CS 79.7 73.3 U 77.7 79.6 AR() 79.7 73.3 MIVQUE0 CS 730. 73.6 U 78. 730.0 AR() 730. 73.6 MODEL 3 ML CS 75.5 738.3 U 704.8 78.3 AR() 75.5 738.3 REML CS 744.8 746.7 U 75.3 77.9 AR() 744.8 746.7 MIVQUE0 CS 76. 763.0 U 737.6 740.8 AR() 748.7 75.3 Hayvansal Üretm 54(), 03
Ser ve ark. gözlemler arasındak kovaryansların eşt olmayıp zamana bağlı olarak sıfıra doğru üssel br azalma gösterdğn varsaymaktadır (Lttell ve ark., 000; Farclough, 00). Parametre tahmn yöntemlernde MIVQUE0, normallk varsayımı gerektrmeyen karesel yansız kestrcler çnde varyansı en küçük olan tahmnleycdr. ML ve REML yöntemler çn uygun koşulların olması durumunda teratf olmayan MIVQUE0 yöntem br alternatf olablr. Ancak her üç yöntemn br arada değerlendrldğ çalışmalarda ML ve REML yöntemlernn MIVQUE0 a göre daha y sonuçlar verdğ fade edlmştr. Zra MIVQUE0 yukarıda verlmş olan (6) nolu eştlktek hata ve şansa bağlı etklern varyansları yerne GLM (Henderson) elde ettğ değerler bırakarak tek br terasyonla tahmn yapar. MIVQUE0 le elde edlen bu tahmn aynı zamanda REML ve ML nn başlangıç değerler olmaktadır (Swallow ve Monahon 984). Bununla beraber REML yöntem varyans unsurlarının tahmnnde sabt etklere at serbestlk derecesn dkkate alırken ML dkkate almaz. Buna göre modeldek sabt etklern sayısı 4 olduğunda ML daha y sonuçlar verrken REML se sabt etklern sayısı >4 olduğunda daha y sonuç vermektedr (Anderson, 03). Aynı zamanda ML ve REML gb olablrlk esaslı yöntemler, eksk gözlem olması durumunda söz konusu eksk gözlemler şansa bağlı kabul edp (mssng at random) verler analze dahl etmektedr. Bu nedenle bu yöntemler eksk gözlemlern söz konusu olduğu ver yapılarında dğer yöntemlere göre daha avantajlı özellkler serglemektedrler (Rubn, 976; Lttle, 995). Çzelge de testosteron hormonu özellğne lşkn her üç modelde ML tahmn ve U yapısından elde edlen sabt etklern önemllğne lşkn sonuçlar özetlenmştr. Çzelge ye göre ana yaşı, doğum tp ve zaman tüm modellerde önemsz bulunurken, canlı ağırlık özellğnn testosteron hormonu üzerne etks her üç modelde statstksel olarak öneml bulunmuştur (p<0.000). Uyum ölçütler sonucunda Model, ve 3 e en y uyumu gösteren U kovaryans yapısı ve ML yöntemne at terasyon sayısı ve yakınsama durumları Çzelge 3 de verlmştr. Uygulanan modellern, varyans-kovaryans yapılarının ve parametre tahmn yöntemlernn değerlendrlmesnde terasyon sayısı ve yakınsama durumları blg verc olmaktadır. Bu yönden br değerlendrme yapıldığında, Model yakınsamaya ulaşmak çn daha az sayıda terasyona htyaç duyarken Model ve Model 3 daha fazla sayıda terasyona htyaç duymuştur. Bu durum, modellerde (Model ve Model 3) bulunan şansa bağlı term sayısının arttıkça yakınsamanın elde edleblmes çn daha fazla sayıda terasyona htyaç duyulduğu sonucunu ortaya çıkarmaktadır. Sonuç olarak, tekrarlanan ölçümlü verlerde doğrusal karışık modellern esneklğ dkkate alınarak zaman değşkennn farklı şekllerde model çersnde kurgulanması mümkündür. Bununla beraber tekrarlanan ölçümler arası lşk yapısının belrlenmesnde araştırıcıya oldukça kolaylık sağlayan karışık modeller kullanılarak, farklı varyans-kovaryans yapılarıyla beraber parametre tahmn yöntemlernn denenmes mümkündür. Çzelge. Sabt etklern önemllğne lşkn sonuçlar Ana Yaşı Doğum Tp Zaman Canlı Ağırlık F P F P F P F P MODEL ML U 0.68 0.506 0.6 0.609.07 0.74 5.86 <.000 MODEL ML U 0.5 0.594.47 0.6.4 0.54 5.76 <.000 MODEL 3 ML U 0.44 0.64 0.57 0.45.46 0.3 6.3 <.000 Zaman değşken Çzelge 3. Model, Model ve Model 3 çn terasyon sayıları ve yakınsama durumları Parametre Tahmn Yöntemler Kovaryans Yapıları İterasyon Sayısı Yakınsama Durumları MODEL ML U 7 Yakınsama krter sağlandı MODEL ML U 3 Yakınsama krter sağlandı MODEL 3 ML U 6 Yakınsama krter sağlandı Hayvansal Üretm 54(), 03
Farklı Kovaryans Yapıları ve Tahmn Yöntemlernn Performanslarının Karşılaştırılması 3 Kaynaklar Akbaş Y., Fırat, M. Z., Yakupoğlu, Ç. 00. Hayvancılıkta tekrarlanan ölçümlern analznde kullanılan farklı modellern karşılaştırılması ve SAS uygulamaları. Tarımsal Blşm Teknolojler Sempozyumu, 0- Eylül 00, Sütçü İmam Ünverstes Zraat Fakültes, Kahramanmaraş. Anderson, C.J. 03. Estmaton: Problems & Solutons. http://courses.educaton.llnos.edu/edpsy587/lectur es/estmaton-beamer-onlne.pdf (8.0.04). Antono, K., Berlant, J. 007. Actuaral statstcs wth generalzed lnear mxed models. Mathematcs and Economcs 40: 58-76. Bahçectapar, M. 006. Uzun sürel verlern analznde kullanılan statstksel modeller. Yüksek Lsans Tez, Hacettepe Ünverstes, Ankara. Doğanay, B. 007. Uzunlamasına çalışmaların analznde karma etk modeller. Yüksek Lsans Tez, Ankara Ünverstes, Ankara. Eyduran, E., Akbaş, Y. 00. Comparson of dfferent covarance structure used for expermental desgn wth repeated measurement.the Journal of Anmal & Plant Scences 0():44-5. Farclough, D. L. 00. Tutoral A3: Repeated measures desgns (Part ). http://home.earthlnk.net/~danefarclough/tutoral/ A3_RptdMeas.pdf (5.0.04) Kncad, C. 005. Gudelnes for selectng the covarance structure n mxed model analyss. Statstcs and Data Analyss 30: -8. Lttell, C.R., Pendergast, J., atarajan, R. 000. Modellng covarance structure n the analyss of repeated measures data. Statstcs n Medcne 9: 793-89. Lttle, R. J. A. 995. Modelng the drop-out mechansm n repeated measures studes. Journal of the Amercan Statstcal Assocaton 90:. Okut, H., Akbaş. Y. 996. Varyans unsurları tahmnlenmesnde kullanılan yöntemlern quadratc özellkler. DİE Araştırma Sempozyomu, Ankara. Orhan, H., Eyduran, E., Akbaş, Y. 00. Defnng the best covarance structure for sequental varaton on lve weghts of Anatolan Mernos male lambs. The Journal of Anmal & Plant Scences 0(3): 58-63. Patterson, B.F. 008. Almost 3 flawors of mult-level modellng n SAS. http://research.collegeboard.org/publcatons/content /0/05/almost-3-flavors-mult-level-modelngsas (0.03.03). Rubn, D. B. 976. Inference and mssng data. Bometrka 63: 58 59. SAS. 00. SAS/STAT, Verson 9.. SAS Inst. Inc. Cary, C, USA. Ser, G. 0. Eksk gözleml uzun sürel (longtudnal) verlerde marjnal ve marjnal olmayan çok sevyel genelleştrlmş doğrusal karışık modellerde optmzasyon teknklernn karşılaştırılması ve model seçm. Doktora Tez, Yüzüncü Yıl Ünverstes, Van. Swallow, W. H., Monahan, J.F. 984. Monte carlo comparson of AOVA, MIVQUE, REML, and ML estmators of varance components. Technometrcs 6(): 47-57. Türkan, S. 008. Karışık doğrusal modellerde artık analz ve etk analz. Yüksek Lsans Tez, Hacettepe Ünverstes, Ankara. Ünalan, A., Çankaya, S. 0. Jersey sığırlarda süt vermne at varyans unsurlarının farklı yöntemlerle tahmn. Anadolu Tarım Blm. Derg. 7(): 4-47. Verbeke,G., Molenbergs, G. 000. Lnear mxed model for Longtudnal data. Sprnger-Verlag, Inc., ew York.USA. Yılmaz, A. 006. orduz erkek kuzularında bazı üreme özellklernn belrlenmes. Doktora Tez, Yüzüncü Yıl Ünverstes, Van. Hayvansal Üretm 54(), 03