Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzayda bir noktayı ifade edebilmek için ilk önce O noktasını (başlangıç noktası) ve bu noktadan geçen ve birbirine dik olan üç yönlü doğruyu seçerek sabitlememiz gerekir. Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu doğrulara koordinat eksenleri denir ve x-ekseni, y-ekseni ve z-ekseni olarak adlandırılır. Genellikle x- ve y-eksenleri yatay, z-ekseni ise düşey olarak düşünülür ve yönlerini Şekil 1 deki gibi belirleriz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 1/ 77 Şekil 1 : Koordinat sistemleri Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 2/ 77 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu üç koordinat ekseni Şekil 2 da gösterildiği gibi, üç tane koordinat düzlemi belirler. Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Uzaydaki bir P noktası için a, yz-düzleminde olan (yönlendirilmiş uzaklık), b, xz-düzlemine olan uzaklık ve c, xy-düzlemine olan uzaklık olsun. x- ve y-eksenlerinin içeren düzleme xy düzlemi, y- ve z-eksenlerinin içeren düzleme yz düzlemi, x- ve z-eksenlerinin içeren düzleme xz düzlemi adı verilir. Şekil 2 : Koordinat düzlemleri Bu üç koordinat düzlemi uzayı, bölge adı verilen, sekiz parçaya böler. Birinci bölge pozitif eksenlerle belirlenen bölgedir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 3/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 4/ 77

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Bu durumda P nktasını (a,b,c) sıralı gerçel sayı üçlüsü ile temsil eder ve a,b,c ye P nin koordinatları deriz; a x-koordinatı, b, y-koordinatı, c, z-koordinatıdır. Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi Şekil 4 te görüldüğü gibi P(a,b,c) noktası bir dikdörtgenler prizması belirler. P noktasından xy-düzlemine dikme indirerek elde edeceğimiz, koordinatları (a, b, 0) olan Q noktasına P noktasının xy-düzlemindeki izdüşümü denir. Dolayısıyla (a, b, c) noktasını bulmak için, Şekil 3 de görüldüğü gibi O başlangıç noktasından başlayıp x-eksenin yönünde a birim, sonra y-eksenine paralel olarak b birim ve son olarak z-eksenine paralel olarak c birim hareket ederiz. Şekil 3 : Benzer şekilde R(0,b,c) ve S(a,0,c) noktaları da P nin yz-düzlemi ve xz-düzlemindeki izdüşümleridir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 5/ 77 Şekil 4 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 6/ 77 Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi : (3, 2, 6) noktası Sıralı gerçel sayı üçlülerinden oluşan R R R = {(x,y,z) x,y,z R} kartezyen çarpımı R 3 ile gösterilir. Uzaydaki P noktaları ile, R 3 deki (a,b,c) sıralı gerçel sayı üçlüleri arasında birebir bir ilişki kurmuştuk. Buna üç boyutlu Kartezyen koordinat sistemi adı verilir. Birinci bölgenin, koordinatları pozitif sayılardan oluşan noktaların kümesi olduğuna dikkat ediniz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 7/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 8/ 77

Üç Boyutlu Uzayda Koordinat sistemi İki boyutlu analitik geometride x ve y yi içeren bir denklemin grafiği R 2 de bir eğridir. Üç boyutlu analitik geometride de x,y,z yi içeren bir denklemin grafiği R 3 de bir yüzeydir. : Aşağıdaki denklemler R 3 deki hangi yüzeyleri belirler? (a) z = 3 (b) y = 5 Çözüm (a) z = 3 denklemi R 3 deki z-koordinatı 3 olan noktaların kümesi olan {(x,y,z) z = 3} dir. Bu Şekil 5 da görüldüğü gibi, xy-düzlemine paralel olan ve ondan üç birim yukarıda bulunan yatay düzlemdir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 9/ 77 Şekil 5 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 10/ 77 (b) y = 5 denklemi R 3 deki y-koordinatı 5 olan tüm noktaların kümesini temsil etmektedir. Not NOT: Bir denklem verildiğinde, bunun R 2 de bir eğriyi mi yoksa R 3 de bir yüzeyi mi temsil ettiğini konudan anlayabilmemiz gerekir. y = 5 örnekte, R 3 te bir düzlemi temsil ederken, iki boyutlu analitik geometri ile ilgilendiğimizde, R 2 de bir doğruyu temsil etmektedir. Bu Şekil 5 da görüldüğü gibi, xz düzlemine paralel, ondan beş birim sağda bulunan dik düzlemdir. Şekil 6 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 11/ 77 Şekil 7 : y = 5, R 2 de bir doğru Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 12/ 77

Üç Boyutta Uzaklık Formülü : R 3 de y = x denklemi ile verilen yüzeyi betimleyerek çiziniz. Çözüm Denklem R 3 deki x ve y koordinatları eşit olan noktaları, bir diğer deyişle {(x,x,z) x,z R} P 1 (x 1,y 1,z 1 ) ve P 2 (x 2,y 2,z 2 ) noktaları arasındaki P 1 P 2 uzaklığı, kümesini temsil etmektedir. Bu, xy-düzlemini y = x, z = 0 doğrultusunda kesen düzlemdir. Bu düzlemin birinci bölgede kalan kısmı Şekil 8 de çizilmiştir. Şekil 8 : y = x düzlemi dir P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 +(y 1 y 2 ) 2 +(z 1 z 2 ) 2 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 13/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 14/ 77 Kürenin Denklemi Merkezi C(h,k,l) ve yarıçapı r olan kürenin denklemi : P(2, 1,7) ile Q(1, 3,5) noktaları arasındaki uzaklık tür. PQ = (1 2) 2 +( 3+1) 2 +(5 7) 2 = 1+4+4 = 3 (x h) 2 +(y k) 2 +(z l) 2 = r 2 dir. Merkezin O noktasında olması özel durumunda bu denklem x 2 +y 2 +z 2 = r 2 biçimine dönüşür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 15/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 16/ 77

: x 2 +y 2 +z 2 +4x 6y+2z+6 = 0 ın bir küre denklemi olduğunu gösteriniz ve bu kürenin merkezi ile yarıçapını bulunuz. Çözüm Kareye tamamlayarak verilen denklemi bir küre denklemi biçiminde yeniden yazalım: (x 2 +4x+4)+(y 2 6y +9)+(z 2 +2z +1) = 6+4+9+1 (x+2) 2 +(y 3) 2 +(z +1) 2 = 8 Bu denklemi genel denklemle karşılaştırdığımızda bunun, merkezi ( 2,3, 1) olan 8 = 2 2 yarıçaplı kürenin denklemi olduğunu görürüz. : 1 x 2 +y 2 +z 2 4, z 0 eşitsizliklerinin R 3 de tanımladığı bölgeyi bulunuz. Çözüm Verilen 1 x 2 +y 2 +z 2 4 eşitsizliği, 1 x 2 +y 2 +z 2 2 şeklinde yazılırsa, bunun başlangıç noktasından en az 1 ve en çok 2 birim uzakta olan noktaları temsil ettiği görülür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 17/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 18/ 77 z 0 olduğu da verildiğinden, bu noktalar xy düzleminin üzerinde ya da altında kalır. Dolayısıyla verilen eşitsizlikler x 2 +y 2 +z 2 = 1 ile x 2 +y 2 +z 2 = 4 kürelerinin arasında yada üzerinde kalan ve xy düzleminin altında ya da üzerinde kalan noktaları belirlemektedir. Doğru Denklemi xy-düzleminde bir doğru, üzerindeki bir nokta ile yönü (eğimi ya da eğim açısı) verildiğinde belirlenir. Bunlardan, doğrunun denkleminin nokta-eğim biçimi yazılabilir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 19/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 20/ 77

Doğru Denklemi Doğru Denklemi Benzer şekilde üç boyutlu uzayda bir L doğrusu, üzerindeki bir P 0 (x 0,y 0,z 0 ) noktası ve yönü ile belirlenir. Üç boyutta bir doğrunun yönü en kolay bir vektörle belirlenir, dolayısıyla v yi L doğrusuna paralel bir vektör alalım. L nin vektör denklemi r = r 0 +t v, t R (1) t parametresinin her değeri L üzerindeki bir noktanın konum vektörünü verir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 21/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 22/ 77 Doğru Denklemi Doğru Denklemi L nin yönünü veren v vektörünü bileşenleri cinsinden v = a,b,c olarak yazarsak, t v = ta,tb,tc olur. r = x,y,z ve r 0 = x 0,y 0,z 0 alınırsa vektör denklemi (1) biçimine dönüşür. x,y,z = x 0 +ta, y 0 +tb,z 0 +tc, t R x,y,z = x 0 +ta, y 0 +tb,z 0 +tc, t R İki vektör ancak karşı gelen bileşenleri eşit ise eşittir. Dolayısıyla t R olmak üzere, üç tane skaler denklem elde ederiz: x = x 0 +at y = y 0 +bt z = z 0 +ct (2) Bu denklemlere P 0 (x 0,y 0,z 0 ) noktasından geçen ve v = a,b,c vektörüne paralel olan L doğrusunun parametrik denklemleri denir. t parametresinin her değeri L üzerinde bir (x, y, z) noktası verir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 23/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 24/ 77

: (a) (5,1,3) noktasından geçen ve i+4 j 2 k vektörüne paralel olan doğrunun vektör ve parametrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğru üzerinde iki farklı nokta daha bulunuz. Çözüm : (a) Burada r 0 = 5,1,3 = 5 i+ j +3 k ve v = i+4 j 2 k olduğundan vektör denklemi (1) ya da dir. r = (5 i+ j +3 k)+t( i+4 j 2 k) r = (5+t) i+(1+4t) j +(3 2t) k Parametrik denklemler ise dir. x = 5+t y = 1+4t z = 3 2t (b) Parametreyi t = 1 seçersek x = 6, y = 5 ve z = 1 olur, bu da doğru üzerindeki (6,5,1) noktasını verir. Benzer şekilde t = 1 için (4,-3,5) noktası bulunur. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 25/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 26/ 77 Doğru Denklemi Doğru Denklemi Bir doğrunun vektör denklemi ya da parametrik denklemleri tek değildir. Eğer noktayı ya da parametreyi değiştirirsek, veya başka bir paralel vektör seçersek, denklemler değişir. Örneğin, örnekte (5,1,3) noktası yerine (6,5,1) noktasını alırsak doğrunun parametrik denklemi x = 6+t y = 5+4t z = 1 2t Ya da (5,1,3) noktasını değiştirmez de 2 i+8 j 4 k yi paralel vektör olarak alırsak elde ederiz. x = 5+2t y = 1+8t z = 3 4t olur. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 27/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 28/ 77

Doğru Denklemi Doğru Denklemi L doğrusunu belirlemenin bir diğer yolu da Denklem (2) den t parametresini yok etmektir. a, b ve c nin hiç biri 0 değilse, her bir denklemi t için çözüp, sonuçları birbirine eşitlersek Denklem (3) de, paydada bulunan a, b, c sayılarının L nin yön sayıları, bir diğer deyişle L ye paralel bir vektörün bileşenleri olduğuna dikkat ediniz. a, b ve c den birinin 0 olduğu durumda da t yi yok edebiliriz. Örneğin a = 0 durumunda denklemi x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c elde ederiz. Bu denklemlere L nin simetrik denklemleri denir. (3) biçiminde yazabiliriz. x = x 0 ; y y 0 b = z z 0 c Bu, L doğrusunun x = x 0 düşey düzleminde olduğu anlamına gelir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 29/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 30/ 77 : (a) A(2,4, 3) ve B(3, 1,1) noktalarından geçen doğrunun parametrik ve simetrik denklemlerini bulunuz. (b) Bu doğrunun xy-düzlemini kestiği noktayı bulunuz. Çözüm : (a) Doğruya paralel olan bir vektör açık olarak verilmemiş olsa da, AB ile temsil edilen v vektörünün doğruya paralel olduğunu gözlemleyiniz: v = AB = 3 2, 1 4,1 ( 3) Bu durumda yön sayıları a = 1, b = 5 ve c = 4 dür. P 0 olarak (2, 4, 3) noktasını alırsak parametrik denklemler (2) x = 2+t y = 4 5t z = 3+4t ve simetrik denklemler (3) olarak bulunur. x 2 1 = y 4 5 = z +3 4 v = 1, 5,4 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 31/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 32/ 77

Düzlemler (b) Doğru, xy-düzlemini z = 0 iken keseceği için simetrik denklemde z = 0 alır ve x 2 1 = y 4 5 = 3 4 elde ederiz. Bu, x = 11 4 ve y = 1 4 verir. Uzaydaki bir düzlem, üzerinde bulunan bir P 0 (x 0,y 0,z 0 ) noktası ile düzleme ortagonal bir n vektörü ile belirlenir. n ortogonal vektörüne normal vektör denir. P 0 (x 0,y 0,z 0 ) noktasından geçen ve normal vektörü n = a,b,c olan düzlemin skaler denklemi: Dolayısıyla doğru, xy-düzlemini ( 11 4, 1 4,0) noktasında keser. dir. a(x x 0 )+b(y y 0 )+c(z z 0 ) = 0 (4) Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 33/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 34/ 77 : (2,4, 1) noktasından geçen ve normal vektörü n = 2, 3, 4 olan düzlemin bir denklemini bulunuz. Kesenlerini bularak düzlemi çiziniz. x- kesenini bulmak için bu denklemde y = z = 0 alırsak, x = 6 çıkar. Benzer şekilde y- keseni olarak 4 ve z-keseni olarak 3 bulunur. Bu bilgi düzlemin birinci bölgede kalan kısmını çizmemizi sağlar. Çözüm : Denklem (4) de a = 2, b = 3, c = 4, x 0 = 2, y 0 = 4 ve z 0 = 1 alarak, düzlemin bir denklemini olarak elde ederiz. 2(x 2)+3(y 4)+4(z +1) = 0 2x+3y +4z = 12 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 35/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 36/ 77

Düzlemler : P(1,3,2), Q(3, 1,6) ve R(5,2,0) noktalarından geçen düzlemin denklemini bulunuz. Çözüm : PQ ve PR ye karşılık gelen a ve b vektörleri Denklem (4) deki terimleri düzenleyerek, düzlemin denklemini, a = 2, 4,4 b = 4, 1, 2 ax+by +cz +d = 0 (5) dir. biçiminde yeniden yazabiliriz. Denklem (5) e x, y ve z ye göre doğrusal denklem denir. a ve b nin her ikisi de düzlemde olduğundan onların a b vektörel çarpımı düzleme diktir ve düzlemin normal vektörü olarak alınabilir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 37/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 38/ 77 Nokta-Düzlem Arası Uzaklık Buradan n = a b = i j k 2 4 4 4 1 2 = 12 i+20 j +14 k bulunur. P(1, 3, 2) noktası ve n normal vektörünü kullanarak düzlemin denklemi 12(x 1)+20(y 3)+14(z 2) = 0 6x+10y +7z = 50 P(x 0,y 0,z 0 ) noktasından ax+by +cz +d = 0 düzlemine olan D uzaklığını veren formül: biçiminde yazılabilir. D = ax 0 +by 0 +cz 0 +d a 2 +b 2 +c 2 (6) olarak bulunur. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 39/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 40/ 77

İki Değişkenli Fonksiyonlar iki değişkenli f fonksiyonu, D kümesinden her bir sıralı (x, y) gerçel sayı ikilisine, f(x, y) ile gösterilen tek bir gerçel sayı karşılık getiren kuraldır. Fonksiyonlar ve Yüzeyler D, f nin tanım kümesidir ve f nin aldığı değerlerin {f(x,y) (x,y) D} kümesine de görüntü kümesi denir. f nin genel bir (x,y) noktasında aldığı değeri sıklıkla z = f(x,y) ile gösteririz. x ve y bağımsız değişkenler, z ise bağımlı değişkendir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 41/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 42/ 77 İki Değişkenli Fonksiyonlar Tanım kümesi, R 2 nin, xy-düzleminin, bir alt kümesidir. Tanım kümesini mümkün olan tüm girdilerin kümesi, görüntü kümesini de çıktıların kümesi olarak düşünebiliriz. Fonksiyon, tanım kümesi belirtilmeden, bir formül ile verildiğinde tanım kümesi olarak, verilen ifadenin iyi tanımlı gerçel sayı değerleri ürettiği tüm (x, y) ikililerinin kümesi alınır. : f(x,y) = 4x 2 +y 2 ifadesiyle verilen f(x,y) fonksiyonu tüm (x, y) sıralı gerçel sayı ikilileri için tanımlı olduğundan tanım kümesi R 2, tüm xy-düzlemidir. Görüntü kümesi ise tüm negatif olmayan gerçel sayılar, [0, ) dur. [x 2 0 ve y 2 0 olduğundan tüm x ve y ler için f(x,y) 0 olduğuna dikkat ediniz.] Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 43/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 44/ 77

: Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve f(3, 2) yi hesaplayınız. x+y +1 (a) f(x,y) = (b) f(x,y) = xln(y 2 x) x 1 x+y+1 0 ya da y x 1 eşitsizliği y = x 1 doğrusunun üzerinde ya da üstündeki noktaları verir. x 1 ise x = 1 doğrusunun üzerindeki noktaların alınmaması gerektiğini söyler. Çözüm : (a) f(3,2) = 3+2+1 3 1 = 6 2 f için verilen ifade, paydanın 0 olmadığı ve karekökün içindeki terimin negatif olmadığı durumda anlamlıdır. Bu yüzden tanım kümesi D = {(x,y) x+y +1 0,x 1} dir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 45/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 46/ 77 Grafikler (b) f(x,y) = xln(y 2 x) f(3,2) = 3ln(2 2 3) = 3ln1 = 0 ln(y 2 x) yalnızca y 2 x > 0, ya da x < y 2 iken tanımlı olduğu için, tanım kümesi D = {(x,y) x < y 2 } Tanım kümesi D olan iki değişkenli bir f fonksiyonunun grafiği, D deki (x,y) ler için z = f(x,y) koşulunu sağlayan R 3 deki (x,y,z) noktalarının kümesidir. dir. Bu, x = y 2 parabolünün solundaki noktaların kümesidir. Bir değişkenli f fonksiyonunun grafiği y = f(x) denklemi ile verilen C eğrisi olduğu gibi, iki değişkenli f fonksiyonunun grafiği de z = f(x,y) denklemiyle verilen S yüzeyidir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 47/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 48/ 77

Grafikler f nin S grafiğini xy-düzlemindeki D tanım kümesinin tam üstünde ya da altında görebiliriz. : f(x,y) = 6 3x 2y fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : f nin grafiği z = 6 3x 2y ya da 3x+2y +z = 6 denklemi ile verilir ve bu bir düzlemi temsil eder. Kesenleri bularak grafiğin birinci bölgede kalan kısmını Şekil 9 de çiziyoruz. Şekil 9 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 49/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 50/ 77 Grafikler teki fonksiyon f(x,y) = ax+by +c biçiminde olan ve doğrusal fonksiyon adı verilen fonksiyonların özel bir durumudur. : f(x,y) = x 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : y ye hangi değeri verirsek verelim f(x,y) nin değerinin x 2 olduğuna dikkat ediniz. Bu fonksiyonların grafikleri z = ax+by +c ya da ax+by z +c = 0 denklemi ile verildikleri için birer düzlemdir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 51/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 52/ 77

Grafiği veren z = x 2 denklemi y yi içermemektedir. Bu, denklemi y = k olan her düşey (xz-düzlemine paralel) düzlemin, grafiği, z = x 2 denklemi ile verilen parabol boyunca kesmesi demektir. Şekil 10 : Şekil 10 de grafiğin xz-düzleminde alınan z = x 2 parabolünün y ekseni boyunca kaydırılırak oluşturulması gösterilmektedir. Dolayısıyla grafik, parabolik silindir adı verilen ve aynı parabolün sonsuz tane kaydırılmış kopyasından oluşan bir yüzeydir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 53/ 77 Grafikler Kesitlerin (dilimlerin) şekillerini belirleyerek başlamak genelde iki değişkenli fonksiyonların grafiğini çizmeyi kolaylaştırır. Örneğin, x i, x = k (bir sabit) olarak sabitlersek ve y yi değiştirirsek sonuç tek değişkenli z = f(k, y) fonksiyonudur ve grafiği z = f(x,y) denklemi ile verilen yüzeyin x = k düşey düzlemi ile kesişimidir. Benzer şekilde yüzeyi y = k düşey düzlemiyle dilimleyip z = f(x,k) eğrilerine bakabilir, ya da z = k yatay düzlemleri ile dilimleyebiliriz. Tüm bu eğrilere z = f(x,y) yüzeyinin izleri (ya da kesitleri) denir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 54/ 77 : İzlerini kullanarak f(x,y) = 4x 2 +y 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Çözüm : Grafiğin denklemi z = 4x 2 +y 2 dir. x = 0 alırsak z = y 2 çıkar. Benzer şekilde y = k alırsak, z = 4x 2 +k 2 izleri yukarıya doğru açılan parabollerdir. z = k alırsak bir elips ailesi olan, 4x 2 +y 2 = k yatay izleri elde ederiz. Dolayısıyla yz-düzleminin, grafikle kesişimi bir paraboldür. x = k (bir sabit) alırsak z = 4k 2 +y 2 çıkar. Bu, grafiği yz-düzlemine paralel düzlemlerle kestiğimizde yukarıya doğru açılan paraboller elde edeceğimiz anlamına gelir. İzlerin şekillerini belirledikten sonra Şekil 11 sa gösterildiği gibi grafiği çizebiliriz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 55/ 77 Şekil 11 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 56/ 77

: f(x,y) = y 2 x 2 nin grafiğini çiziniz. Çözüm : x = k düşey düzlemlerindeki izler yukarıya doğru açılan z = y 2 k 2 parabolleridir. y = k daki izler ise aşağıya doğru açılan z = x 2 +k 2 parabolleridir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 57/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 58/ 77 Yatay izler, y 2 x 2 = k ile verilen hiperbol ailesidir. İzler bir araya getirilerek bir hiperbolik paraboloit olan z = y 2 x 2 yüzeyi çizilmiştir. Yüzeyin başlangıç noktasına yakın bölümünün bir eyere benzediğine dikkat ediniz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 59/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 60/ 77

İkinci Dereceden Yüzeyler : x 2 + y2 9 + z2 4 = 1 denklemi ile verilen ikinci dereceden yüzeyi çiziniz. x, y ve z cinsinden ikinci dereceden denklemlerin grafiklerine ikinci dereceden yüzey denir. Çözüm xy-düzlemindeki (z = 0) iz, x 2 +y 2 /9 = 1 denklemi ile verilen elipstir. Genelde, z = k düzlemindeki yatay izler x 2 + y2 9 = 1 k2 4 z = k denklemi ile verilir. Bu izler, k 2 < 4 ya da 2 < k < 2 koşulu altında, elipstir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 61/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 62/ 77 Benzer şekilde düşey izler de elipstir: Şekil 12, çizilmiş birkaç izin yüzeyin şeklini nasıl belirttiğini göstermektedir. Tüm izleri elips olduğu için, bu yüzeye elipsoit denir. Yüzeyin koordinat düzlemlerinin her birine göre simetrik olduğuna dikkat ediniz: bu, denklemin x, y ve z nin yalnızca çift kuvvetlerinden oluşmasının bir sonucudur. y 2 9 + z2 4 = 1 k2 x = k ( 1 < k < 1 ise) x 2 + z2 4 = 1 k2 9 y = k ( 3 < k < 3 ise) Şekil 12 : Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 63/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 64/ 77

teki elipsoit, (z-ekseni gibi) bazı düşey doğruların onu birden fazla kez kestiğinden dolayı, bir fonksiyonun grafiği değildir. Ancak şeklin üst ya da alt yarısı bir fonksiyonun grafiğidir. Elipsoidin denklemini z için çözersek ) z 2 = 4 (1 x 2 y2 z = ±2 1 x 9 2 y2 9 Bu yüzden f(x,y) = 2 1 x 2 y2 9 ve g(x,y) = 2 fonksiyonlarının grafikleri elipsoidin üst ve alt yarısıdır. 1 x 2 y2 9 elde ederiz. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 65/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 66/ 77 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler f ve g nin ikisininde tanım kümeleri 1 x 2 y2 9 0 x2 + y2 9 1 eşitsizliğini sağlayan tüm (x, y) noktalarından, başka bir deyişle x 2 +y 2 /9 = 1 elipsinin üzerinde ya da içinde olan tüm noktalardan oluşur. Standart biçimdeki altı temel ikinci dereceden yüzeyin bilgisayar tarafından çizilmiş grafiklerini görelim. Tüm bu yüzeyler z-eksenine göre simetriktir. Bir ikinci dereceden yüzey diğer bir eksene göre simetrik ise, denklemi de ona uygun olarak değişir. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 67/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 68/ 77

Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Elipsoit x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 Tüm kesitler elipstir. Eğer a = b = c ise küredir. Koni x 2 a 2 + y2 b 2 = z2 c 2 Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler yani x = k veya y = k olduğunda, k R, k 0 için hiperboldür; k = 0 için ikişer adet doğrudur. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 69/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 70/ 77 Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Eliptik Paraboloit Tek Parçalı Hiperboloit x 2 a 2 + y2 b 2 = z c Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler paraboldür. x 2 a 2 + y2 b 2 z2 c 2 = 1 Yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler hiperboldür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 71/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 72/ 77

Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Bazı Standart İkincinci Dereceden Yüzeyler Hiperbolik Paraboloit İki parçalı hiperboloit x 2 a 2 y2 b 2 = z c Yatay kesitler hiperboldür Düşey kesitler paraboldür. x2 a 2 y2 b 2 + z2 c 2 = 1 k < c veya k > c için yatay kesitler elipstir. Düşey kesitler hiperboldür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 73/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 74/ 77 : x 2 +2z 2 6x y +10 = 0 ikinci dereceden yüzeyini sınıflandırınız. Çözüm : Denklemi kareye tamamlayarak yeniden yazarsak elde ederiz. y 1 = (x 3) 2 +2z 2 Bu denklemin bir eliptik paraboloit olduğunu görürüz. Ancak, paraboloidin ekseni y-eksenine paraleldir ve grafik, köşesi (3,1,0) noktasında olacak şekilde kaydırılmıştır. y = k (k > 1) düzlemindeki izler (x 3) 2 +2z 2 = k 1 y = k elipsleridir. xy-düzlemindeki iz ise y = 1+(x 3) 2, z = 0 denklemleri ile verilen paraboldür. Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 75/ 77 Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 76/ 77

Öğr.Gör. Dr. Meltem Altunkaynak MAT 1010 Matematik II 77/ 77