BR GRAPHIN KOMULUK MATRS LE DERECE MATRSNN ÇARPIMININ EN BÜYÜK ÖZDEER ÇN SINIRLAR Sezer SORGUN ve erfe BÜYÜKKÖSE Ercyes Üverstes, Fe Bller Esttüsü, Mateat Bölüü, KAYSER srgrzs@gal.co Ah Evra Üverstes, Fe Eebyat Faültes,Mateat Bölüü, KIR(EHR serfebuyuose@gal.co ÖZET Bu çalı.aa G = ( V, E) br graph ve AG ( ) o.ulu atrs, ( ) ola üzere PG ( ) = AG ( ). DG ( ) DG otaları ereceler atrs çarpı atrs taılaı. ve bu taılaa atrs e büyü özeer ç sıırlar buluu.tur. Aahtar sözcüler: Graph, Ko3ulu Matrs, Öze6er AMS (000) subect classfcato:05c50.ö Blgler G = ( V, E), otalar ües V { v v v } =,,..., ola br bast graph olsu. v ola üzere v ereces, olara taılaır. v otasıa o.u otaları ereceler ortalaası a olara alaırılır. G graphıa bütü otaları ereces brbre e.t se graph regüler br graph olur. Eer G graphıı her otalarıı ereces se G ye regüler br graph er. Br grapha bütü otalar brbre o.u se graph ta graph olara alaırılır. Ta graphlar ( ) regülerr. Br G graphıı o.ulu atrs AG ( ) = ( a ).eler öyle : ( vv V) a = 0 : er urulara G bast graph oluua AG ( ) her br ö.ege eleaı sıfır ola (0,) setr atrstr. V
DG ( ), G graphıı ö.ege eleaları otaları erecelere olu.a br ö.ege atrs ola üzere L( G) = D( G) A( G).ele taılaa atrs G graphıı Laplace Matrs olara alaırılır. Lteratüre G bast br graph ola üzere AG ( ) ve LG ( ) atrsler e büyü öz eerler (spetral yarıçap) sıırları çalı.ılı.tır. Buu yaı sıra KG ( ) = DG ( ) + AG ( ).ele br atrs olu.turulup bu atrse e büyü öz eer ç sıırlar buluu.tur [4]. Bz bu çalı.aıza PG ( ) = AGDG ( ) ( ) olaca bçe br PG ( ) çarpı atrs alara, PG ( ) = ( p ), : eer p = 0 : er urua olaca bçe taılı tpe bu atrs öz eerlere sıırlar bulaya çalı.tı.. P(G) Matrs Spetral Yarıçapı ç Sıırları Öere G graphı, -regüler graph se PG ( ) = AG ( ) ır. spat: G, -regüler graph oluua her otası ç = ır. AG ( ) o.ulu atrs ve PG ( ) çarpı atrs taılarıa PG ( ) = AG ( ) oluuu göre olayır. Teore G -regüler br graph se, G br öz eerr. Üstel spetral yarıçapı ır. Terse olara, asu erece G br öz eer se G regüler olalıır [5]. Öere 3 G, -regüler br graph olsu. AG ( ) o.ulu atrs öz eerler (,,..., ) se PG ( ) öz eerler (,,..., ) r. spat. G=(V,E), -regüler graph olsu. AG ( ) o.ulu atrs öz eer ve x= ( x, x,..., x ) T e bu öz eere göre öz vetör alalı., eyf br x öz ble.e ç br öz eer oluua x = A( G) x : { } x = x () yazablrz. Der tarafta (,,..., ), PG ( ) atrs öz eerler olsu. PG ( ) = AG ( ) ve AG ( ) le PG ( ) öz vetörler ayı oluua, x öz vetörüü e göre e öz vetör olara alablrz. O hale
x = P( G) x { } x = x : { } x =. x : () yazablrz. () ve () e x = x = alablrz. Bezer etotlar er öz eerler çe uygulaııa, eerz. Böylece (,,..., ) = (,,..., ) oluu görülür. = ( ) Souç 4 G regüler br graph ola üzere, AG ( ) o.ulu atrs spetral yarıçapı ve PG ( ) çarpı atrs spetral yarıçapı olsu. Bu tatre spat: Teore ve Öere 3 e spatı a.arır. = r. ele Souç 5 G ta graph se (,,..., ) (( ),( ),...,( ) ) = ır. spat. G br ta graph se ( ) -regüler graphtır. Öere3 e ( ) (,,..., ) = ( ),( ),...,( ) oluu görülür. Teore 6 G balatılı graph ve, AG ( ) spetral yarıçapı olsu. Bu tatre, { : }, = { : } { : } T v v E = v v E ; T = vv E = otasıı ereces ve ola üzere, v otasıa o.u ola otaları ereceler ortalaası, v ır. [] ax : T (3) Teore 7 G balatılı graph ve, AG ( ) spetral yarıçapı olsu. Bu tatre, = { : vv E} ;, v otasıı ereces ve, v otasıa o.u ola otaları ereceler ortalaası ola üzere ax : ır. [] (4)
Teore 8 G ( V, E) Bu tatre, = -regüler graph ve, PG ( ) atrs spetral yarıçapı olsu. { : }, = { : } { : } T v v E = v v E ; T = vv E = otasıı ereces ve ola üzere, v otasıa o.u ola otaları ereceler ortalaası, v r. ( ) ax : T (5) spat. (4) e.tszle, ax :. G -regüler oluua; PG ( ) öz eer ç, = yazılablr ve (4) e.tszle yere oyulursa, ax :.ax : ele elr. G -regüler oluua, = ır ve T = = oluuu göre olayır. Gerçete, T = : = : = : = = { } { } { } e.tl buluur. ( yuarıa e.tszlte, T. T. T. ( )( ) ( ) T T T T, 4 3 3 = = = 4 T üzeleeler yapılırsa, ( ) ax : T ele elr. Teore 9 G balatılı graph ve, PG ( ) spetral yarıçapı olsu. Bu tatre, { : } T = ola üzere { T } ax : (6) ele elr. E.tl G graphıı regüler olası uruua salaır. spat. ( ) PG atrs (, ) eleaı;
: eer p = 0 : er urulara olara taılıır. Gersgor Teore e göre [], PG ( ) her br öz eer R = p olaca bçe { : p R} = s e az brer. Böylece ax { : } = ax { T : } yazablrz. ( e.tl uruuu gösterel. G graphı regüler olsu. Bu tatre, ç T = : = : =. = { } { } ele elr. Souç 4 e se e.tl salaıı görülür. Teore 0 G balatılı graph ve, PG ( ) spetral yarıçapı olsu. Bu tatre, Buraa { : } ax : = ve, otasıa o.u otaları ereceler ortalaasıır. E.tl ç gere ve yeter o.ul G graphıı regüler br graph olasıır. (7) spat. M( G) ö.ege eleaları MG ( ) PGMG ( ) ( ) atrs (, ) e olu.a br ö.ege atrs ola üzere c eleaı : eer 0 : er urulara bçer. MG ( ) PGMG ( ) ( ) atrs satırlarıa Gersgor Teore uygulaırsa, ax : : = ax : ele eerz. ( G -regüler br graph olsu. O hale ve = { : } = { : } = { : } { : } = = = 3 ç = ır.bu tatre,
oluua = ele elr. Ye Souç4 ullaılırsa e.tl görülür. Teore G graphı otalı ve earlı balatılı br graph olsu., PG ( ) atrs spetral yarıçapı ve, otasıa o.u otaları ereceler ortalaası ola üzere r. + : (8) spat. DG ( ) DG ( ) PGDG ( ) ( ) bçe olur., ( ) eleaları otaları erecelere olu.a br ö.ege atrs ola üzere, atrs ü.üel. DG : eer 0 :.. ( ) PGDG ( ) ( ) PG spetral yarıçapı ve (,,..., ) öz ble.e ( x = ) ve her ç yazablrz. (9) faes ç yazarsa ; X x x x T atrs (, ) eleaı =, e göre br öz vetörü alalı. x x olsu. (,,..., ) DG ( ) PGDGX ( ) ( ) X X x x x T = öz vetörü ç = (9) x = x = x (0) ele eerz. Ye (9) faes ç yazarsa ; x x = () ele eerz. () her tarafıı le çarpıp, olaca bçe üzere her yaıa toplaı alıırsa, = { x } : olur. Her ç x oluua, { } : ()
yazılablr. Der tarafta Cae E.tszl [3] ullaılırsa, + : = + : = + : ve buraa se + : buluur. Souç G graphı otalı ve earlı balatılı br graph olsu., PG ( ) atrs spetral yarıçapı ve, otasıa o.u otaları ereceler ortalaası = : alalı. Bu tatre, ola üzere, { } r. + : (3) spat Teore 9 a ola üzere ç (8) e sıır salaııa ve = :,,..., oluua spatı göre olayır. { } { } Teore 3 G balatılı graph ve, PG ( ) spetral yarıçapı olsu. Bu tatre, ax {{ : } : } (4) r. spat. öz eer, ( ) X = x, x,..., x, e göre br öz vetörü alalı. Bu öz vetörü, br öz ble.e e e.t( x =), er öz ble.eler e e e.t veya e üçü abul eeblrz. Ya x = ve bütü lar ç x alablrz. PG ( ) atrs ç PG spetral yarıçapı ve ( ) PGX ( ) = X (5) yazarız. (5) u. e.tle, x = x { } T
. e.tle se, { x } = (6) { } x = x (7) ele eerz. (7) her tarafıı le çarpıp, topla alıırsa, = { x } : ele eerz. Her ç x oluua, yazablrz. { x } : { } olaca bçe üzere Öre 4 Notaları V = {,, 3, 4, 5} ües, earları E = {{, },{, 3 },{, 5 },{, 4 },{, 3 },{ 3, 4 },{ 3, 5 },{ 4, 5} } üese olu.a br G = ( V, E) graphıı ve V = {,, 3, 4}, E = {{, },{, 4 },{, 4 },{,3 },{ 3, 4} } ola üzere G = ( V, E ) graphıı alalı. Bu graphlar ç, ( PG ( )) =,4 ve ( PG ( )) = 6,6 öz eerler oalılı olara verls. Yuarıa verle graphları e büyü öz eerler ç (spetral yarıçapı) sıırlar a.aıa souçta verl.tr: (6) (7) (3) (4) G 4,9,4 G 7 8,4 7,8 6,7 Souç: Bz.ye aar PG ( ) = AGDG ( ) ( ) atrs olu.turara, bu atrs e büyü öz eer ç sıırlar bulu. Buu yaı sıra P ( G) = D( G) A( G) atrs e olu.turablrz. Kolaylıla görülecetr ( PG) ( ) T T T T T ( ) = P( G). Gerçete, PG ( ) = ( AGDG ( ) ( )) = DG ( ) AG ( ) = DG ( ) AG ( ) = P( G)
buluur. Matrs Teors e br atrs öz eerler ayı zaaa traspozuu a öz eerler olacaıa verle sıırlar P( G) ç e geçerl olacatır. KAYNAKLAR [] Kar Ch. Das a Pawa Kuar, Bous o the greatest egevalue of graphs, Ia J. pure appl. Math.,34(6)(003),97-95. [] Marv Marcus, Hery Mc, A survey of Matrx Theory a atrx equaltes, Ally a Baco Ic., Bosto (964),46 [3] D. e Cae, A upper bou o the su squares of egrees a graph, Dscrete Math. 85(998), 45-48. [4] Kar Ch. Das, A characterzato o Graph whch acheve the upper bous for the largest Laplaca egevalue of a Graph, Lear Algebra Appl.,376(004), 73-86. [5] C.Gosl a G.Royle, Algebrac graph theory, Grauate Texts Matheatcs, Vol.07, Sprger, 00