İNTEGRAL ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Belili İntegal. Kazanım : Riemann toplamı adımıla integal kavamını açıkla.. Kazanım : Belili integalin özellikleini açıkla.. Kazanım : İntegal hesabının biinci ve ikinci temel teoemleinin anlamını açıkla. Belisiz İntegal. Kazanım : Bi fonksionun belisiz integalini açıkla.. Kazanım : Temel integal alma kuallaını tüev alma kuallaı adımıla aza.. Kazanım : Bi fonksionun bi sabitle çapımının, iki fonksionun toplamının ve fakının integaline ait kuallaı bulu ve ugulamala apa.. Kazanım : İntegal alma öntemleini açıkla ve ugulamala apa. Belili İntegalin Ugulamalaı. Kazanım : Belili integallei kullanaak ugulamala apa ve poblem çöze.
İntegal BELİRSİZ İNTEGRAL Belisiz integal almak, tüevi veilen fonksionu bulma işlemidi. Tüevi olan fonksionladan bii tü. Çünkü +, +,, +,... fonksionlaının tüevi di. Bu fonksionlaı temsilen + c alınısa, tüevi olan fonksion + c olu. Bunu d = + c biçimde gösteiiz. Tüevi f() e eşit olan F() ifadesine f() in integali deni ve fd ( ) = F ( ) + c biçiminde gösteili. Şimdi de bu eşitlikte kullanılan d ifadesini açıklaalım. df( ) = f () olduğunu biliouz. Bu eşitlikten df() = f ()d azılabili. Bu işlem difeansiel alma işlemidi. d ÖRNEK Aşağıda bazı fonksionlaın difeansiellei alınmıştı. İnceleiniz. d( ) = ( ).d =.d d( ) = ( ).d =.d ÖRNEK Aşağıdaki ifadelein eşitini bulunuz. d( ) d(tan) d(sin) = (sin).d = cos.d d(ln) = (ln).d =.d d( + ) = ( + ).d =.d = d ÖRNEK d = + c eşitliğinden aalanaak, ifadesinin eşitini bulunuz. dc m ÖRNEK d = + c eşitliğinden aalanaak, d d d ifadesinin eşitini bulunuz. 8
İntegal ÖRNEK 5 f() = ( + ) d ise f () fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 9 f.() d 6 + @ = + c ise f() kaçtı? ÖRNEK 6 d d ( + ) d ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK f() d = + ise f() fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 7 fd ( ) = + ise f() fonksionunu bulunuz. Temel İntegal Alma Kuallaı Temel integal alma kuallaını tüev alma kuallaı adımıla azabiliiz. n+ n ifadesi c n + + nin tüevi olduğundan, bu duum aşağıdaki gibi ifade edilebili. n+ n d = + c n + ÖRNEK 8 f( ) d = 6 + c ise f() fonksionunu bulunuz. f() = (6 + c) f() = 6 ÖRNEK d= = d 5 = d 9
İntegal Aşağıdaki tabloda bazı fonksionlaın tüevi ile integali aasındaki ilişkiden aalanaak temel integal kuallaı veilmişti. İnceleiniz. F() F () F ()d Şimdi de tabloda ifade edilen temel integal kuallaını tek tek ele alıp öneklele pekiştielim. n+ n d = + c n + n+ n + n n d = n+ n+ + c ÖRNEK ln d = ln + c Aşağıda bazı integallein eşiti bulunmuştu. İnceleiniz. = d e e e d = e +c = d a lna sin cos a cos sin a d = a lna +c cos d = sin + c sin d = cos +c d = d= tan cos cos d = tan +c cot sin sin d = cot +c d = acsin d = acsin +c actan a + a d = actan +c + a d = a +c d =
İntegal ÖRNEK 5 a d = a + c ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK Aşağıda bazı integallein eşiti bulunmuştu. İnceleiniz. d = + c d = + c d = + c dz = z + c ÖRNEK 6 ( ) d integalinin eşitini bulunuz. cos t d = cost + c e k d = e k. + c a.f() d = a. f() d [ f() ± g() ]d = f() d ± g() d ÖRNEK 7 ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK Aşağıda bazı integallein eşiti bulunmuştu. İnceleiniz. d = d = + c = + c ( + ) d = d d + d ÖRNEK 8 + d integalinin eşitini bulunuz. c + m d = d d + d
İntegal d = ln + c, ÖRNEK 9 + a d = ln + a + c ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK ÖRNEK d integalinin eşitini bulunuz. + ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 5 ( ) d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. +
İntegal e d = e + c, e + a d = e +a + c + d = actan + c ÖRNEK 6 e d integalinin eşitini bulunuz. e ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 e. e d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. + a d =.a + c ln a a+ b d =.a +b + c ln a ÖRNEK d = acsin + c ÖRNEK 8 d integalinin eşitini bulunuz. d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. NOT: d = accos + c olaak da azılabileceğinden sounun cevabı accos + c biçiminde de azılabilidi.
İntegal ÖRNEK d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 sin d integalinin eşitini bulunuz. sin ÖRNEK 7 ( cos d = + tan ) d = tan + c cot d integalinin eşitini bulunuz. tan ( sin d = + cot ) d = cot + c ÖRNEK sin. cos d integalinin eşitini bulunuz. cos d = sin + c, sin d= cos + c ÖRNEK 8 sin. cos d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 5 tan d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 + cos d integalinin eşitini bulunuz. cos
İntegal f() = fl ( ) d ÖRNEK f () = + ve f() = ise f() nedi? ÖRNEK f () = olmak üzee, f() fonksionuna A(, ) noktasından çizilen teğetin eğimi 7 ise f() fonksionunu bulunuz. ÖRNEK f () = 6, f () = ve f() = ise f() nedi? ETKİNLİK Bi intenet sitesi günlük 8 olan ziaetçi saısını attımak için eklam kampanası düzenlio. Kampananın t. günündeki ziaetçi saısı s(t) olmak üzee kampana sonucunda ziaetçi saısı atış hızının s (t) = 6 t olması beklenmektedi. Ziaetçi saısının 56 kişie ulaşması için kampana kaç gün devam etmelidi? s(t) = 6 sl(t)dt = 6 tdt= t dt =. t 6 + c = 6. t + c s(t) =.t c + Kampanadan önceki günlük ziaetçi saısı 8 olduğundan s() = 8 di. s(t) =.t + c s() = c c = 8 s(t) =.t + 8 olu. Ziaetçi saısı t günde.56 a ulaşacaksa s(t) = 56.t + 8 = 56.t = 56 t = 6 O halde, istenen ziaetçi saısına ulaşmak için kampana 6 gün südüülmelidi. 5
ALIŞTIRMALAR. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. a. d. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. a. d b. d b. d c. d c. d d. d d. d e. d e. log k d f. d f. d 6
İntegal. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz.. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. a. ( + ) d a. d + b. ( ) d b. d + c. ( ) d c. d + d. ( )( + )( + ) d d. d + e. ( ) d e. ( ) + d f. d f. + + d 7
İntegal 5. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. 6. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. + a. e d a. + d b. ee d b. d + + c. d c. d d. d d. + d e. d e. + d f.. 57. d f. d + 8
İntegal 7. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. 8. Aşağıdaki integallein eşitini bulunuz. a. cos d a. ( sin + cos ) d b. sin d b. cos d sin c. cos d cos c. + cos d cos d. + sin d sin d. ( + tan ) d e. cot d e. bsin + cos l d f. tan d cot f. cos d sin. cos 9
İntegal d 9. ( ) d ifadesinin eşitini bulunuz. d. f( ) d = + c ise f() fonksionunu bulunuz.. f() = c + m d ise f () kaçtı? 5. 6 f( ) + @ d = ise f() fonksionunu bulunuz.. f() = ( cos ) d ise fllb l kaçtı? 6. f () = ve f( ) = ise f() fonksionunu bulunuz.. d ( + ) integalinin eşitini bulunuz. 7. f () =, f ( ) = 6, f() = ise f() kaçtı?. d d dc + m ifadesinin eşitini bulunuz. 8. f () = olmak üzee, f() fonksionuna A(, 8) noktasından çizilen teğetin denklemi = + k ise f() fonksionunu bulunuz.
İntegal İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ Değişken Değiştime Yöntemi He integal sousu temel integal kuallaı adımıla çözülmeebili vea çözümü uzun işlemle geektiebili. Öneğin ÖRNEK 5 ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ( ) d ifadesinin integalini almak için ( ) açılımını apmak geekebili. Bu da çözümün çok uzun olması demekti. Bu integalde = u alınaak d( ) = du d = du azılısa olan integal değişkeni u a dönüştüülmüş olu. Bu duumda, ( ) d = u du = u ( ) + c = + c bulunu. Bu çözüm öntemi, değişken değiştime öntemidi. ÖRNEK 6 ( ) ( ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK cos( ) d integalinin eşitini bulunuz.
İntegal ÖRNEK 8 f ( ). fl ( d ) integalinin eşitini bulunuz. f() = u alısak f () d = du olu. ÖRNEK 5 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 7 + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 5 a + b d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 5 ÖRNEK 5 d integalinin eşitini bulunuz. Aşağıda, Önek 5 deki sonuçtan aalanaak bazı integallein sonucu patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d = ln + + c + d = ln + c 5 d = ln 5 + c 5 ÖRNEK 5 fl ( ) d integalinin eşitini bulunuz. f ( )
İntegal ÖRNEK 55 Aşağıda, Önek 5 teki sonuçtan aalanaak bazı integallein sonucu patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d = ln + + c + ÖRNEK 59 e + ln d integalinin eşitini bulunuz. d = ln + c + tan d = ln tan + c tan cot cot d = d = ln sin + c tan d= d = ln cos + c ÖRNEK 6 ÖRNEK 56 e +sin cos d integalinin eşitini bulunuz. d integalinin eşitini bulunuz. (n ) ( ) n ÖRNEK 57 e d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 Aşağıda, Önek 6 taki sonuçtan aalanaak bazı integallein sonucu patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. ÖRNEK 58 tan cos d integalinin eşitini bulunuz. ( ) ( + ) 5 d = d = ( ) d = ( + ) 6 d =
İntegal ÖRNEK 6 e d integalinin eşitini bulunuz. + e ÖRNEK 66 ln d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 e d integalinin eşitini bulunuz. + e ÖRNEK 67 ln d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 ( e e ) sin( e e ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 68 + ln d integalinin eşitini bulunuz. ln ÖRNEK 65 d integalinin eşitini bulunuz. e+ e ÖRNEK 69 cot. ln( sin ) d integalinin eşitini bulunuz.
İntegal ÖRNEK 7 + ln d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 d integalinin eşitini bulunuz. + 8 ÖRNEK 7 ÖRNEK 7 d integalinin eşitini bulunuz. ( ln ) cos d integalinin eşitini bulunuz. + sin sin = u cos d = du ÖRNEK 7 actan d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 75 d integalinin eşitini bulunuz. ( + ) 5
İntegal ÖRNEK 76 + tan d integalinin eşitini bulunuz. tan ÖRNEK 79 Aşağıda, Önek 78 deki sonuçtan aalanaak bazı integallein eşiti patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. + d = actan + c d = + 9 + + d = d = ÖRNEK 77 e d integalinin eşitini bulunuz. e ÖRNEK 8 d integalinin eşitini bulunuz. + ( + ) ÖRNEK 78 actan a d = + c olduğunu gösteiniz. + a a ÖRNEK 8 Aşağıda, Önek 8 deki sonuçtan aalanaak bazı integallein eşiti patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d + ( ) = actan( ) + c d = actanc m + c + ( ) + d = actan + ( + ) c m + c ÖRNEK 8 d integalinin eşitini bulunuz. + + 6
İntegal ÖRNEK 8 a > olmak üzee, acsin a d = + c olduğunu gösteiniz. a ÖRNEK 86 Aşağıda, Önek 85 teki sonuçtan aalanaak bazı integallein eşiti patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d = acsin( ) + c ( ) d = acsinc + ( + ) d = acsinc 5 ( ) ÖRNEK 87 d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 8 Aşağıda, Önek 8 teki sonuçtan aalanaak bazı integallein eşiti patik olaak bulunmuştu. İnceleiniz. d = acsin + c d = acsin + c 9 d = acsin + c 5 d = acsin ÖRNEK 88 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 85 ( + ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 89 a d integalinin eşitini bulunuz. 7
ALIŞTIRMALAR. d integalinin eşitini bulunuz. 6. ( + ) 5 d integalinin eşitini bulunuz.. + d integalinin eşitini bulunuz. + 7. d integalinin eşitini bulunuz. 8. ( + )( + ) 5 d integalinin eşitini. d integalinin eşitini bulunuz. + bulunuz.. f n ().f () d integalinin eşitini bulunuz. 9.. ( ) d integalinin eşitini bulunuz. 5. ( + ) ( + ) d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. 8
İntegal. sin b d + l integalinin eşitini bulunuz. 6. cos d integalinin eşitini bulunuz. + sin. cos( + ) d integalinin eşitini bulunuz. 7. sin d integalinin eşitini bulunuz. + cos. e d integalinin eşitini bulunuz. 8. + ln d integalinin eşitini bulunuz.. e d integalinin eşitini bulunuz. 9. ln d integalinin eşitini bulunuz. 5. ( )e d integalinin eşitini bulunuz.. + ln d integalinin eşitini bulunuz. 9
İntegal. cos d integalinin eşitini bulunuz. esin 6. tan e d integalinin eşitini bulunuz. cos. e + ln d integalinin eşitini bulunuz. 7. + e d integalinin eşitini bulunuz.. e d integalinin eşitini bulunuz. 8. d integalinin eşitini bulunuz. ( ). e d integalinin eşitini bulunuz. e + 9. d integalinin eşitini bulunuz. 5. d integalinin eşitini bulunuz.. cos( ln ). ln d integalinin eşitini bulunuz.
İntegal. tan.ln(cos) d integalinin eşitini bulunuz. 6. ln d integalinin eşitini bulunuz.. acsin d integalinin eşitini bulunuz. 7. d 6 + integalinin eşitini bulunuz.. cos d integalinin eşitini bulunuz. + sin 8. d + integalinin eşitini bulunuz.. 7 d integalinin eşitini bulunuz. 9. d 9+ integalinin eşitini bulunuz. 5. d integalinin eşitini bulunuz. ( + ) ln( + ). d + integalinin eşitini bulunuz.
İntegal. d + integalinin eşitini bulunuz. 5. d integalinin eşitini bulunuz.. + d integalinin eşitini bulunuz. + + 6. d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. 6 7. d integalinin eşitini bulunuz. +. d integalinin eşitini bulunuz. 9 8. d integalinin eşitini bulunuz. + +
İntegal İçinde a, a vea a + den başka iasonel ifade bulundumaan integalle İçinde a den başka iasonel teim bulundumaan integallede = a sint vea = a cost dönüşümü apılı. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. İçinde a den başka iasonel ifade a bulundumaan integallede = a sec t = cos t dönüşümü apılı. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz.
İntegal ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. İçinde a+ den başka iasonel ifade bulunmaan integallede = a tan t dönüşümü apılı. ÖRNEK 9 d + integalinin eşitini bulunuz.
İntegal m n İçinde a + b ve a + b bulunan integalle m n İçinde a + b ve a + b bulunan integallei çözeken OKEK(m, n) = t olmak üzee (a + b) = u t dönüşümü apılı. ÖRNEK 95 ( ) + d integalinin eşitini bulunuz. + = u d = u du ve + = u = u olu. ÖRNEK 97 + d integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 96 d integalinin eşitini bulunuz. 5
ALIŞTIRMALAR. 9 d integalinin eşitini bulunuz. 5. d integalinin eşitini bulunuz.. 5 d integalinin eşitini bulunuz. 6. d ( + ) + integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. 7. + d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. 6 8. + d integalinin eşitini bulunuz. 6
İntegal Tigonometik İfadelein İntegali ÖRNEK sinm. cosnd integalinde m tek, n tek vea çift ise sin = u alınaak değişken değiştime öntemi ile çözüm apılı. sin5 d integalinin eşitini bulunuz. cos = u sin d = du sin d = du olu. ÖRNEK 98 sin 7. cos d integalinin eşitini bulunuz. sin = u cos d = du olu. ÖRNEK 99 cos. sin d integalinin eşitini bulunuz. cos = u sin d = du sin d = du olu. sinm. cosnd integalinde m ve n çift ise, cos = cos ve cos = sin fomülleinden elde edilen cos + cos = sin cos = eşitliklei kullanılaak çözüm apılı. ÖRNEK cos d integalinin eşitini bulunuz. sin = u cos d = du ÖRNEK sin d integalinin eşitini bulunuz. 7
İntegal ÖRNEK sin. cosd integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 5 sin 5. cos d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 ÖRNEK cos d integalinin eşitini bulunuz. sin. sin 9d integalinin eşitini bulunuz. sin.sin9 = (cos8 cos) Bazı tigonometik teim içeen integallei aşağıda ifade edilmiş olan tes tigonometi fomüllei adımıla çözeiz. ÖRNEK 7 cos. cos d integalinin eşitini bulunuz. sin.cos = [sin( + ) + sin( ) ] sin.sin = [cos( ) cos( + ) ] cos.cos = [cos( + ) + cos( ) ] 8
İntegal ÖRNEK 8 sin. cos. cos 5d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK tan d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK tan d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 sin. cos( cos ) d integalinin eşitini bulunuz. cos = u sin d = du sin d = du ÖRNEK cot d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK cos d integalinin eşitini bulunuz. sin = u cos d = du olup ÖRNEK cot d integalinin eşitini bulunuz. tan d = ln cos + c = ln cos + c = ln sec + c cot d = ln sin + c 9
İntegal ÖRNEK 5 tan d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 cosec d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 sec. tan 6 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 5 sin d integalinin eşitini bulunuz. cos ÖRNEK 7 sec d integalinin eşitini bulunuz. 5
ALIŞTIRMALAR. cos. sin d integalinin eşiti nedi? 6. sin. cos d integalinin eşiti nedi?. cos. sin d integalinin eşiti nedi? 7. sin. cos 6 d integalinin eşiti nedi?. sin. sin d integalinin eşiti nedi? 8. sin. cos d integalinin eşiti nedi?. sin d integalinin eşiti nedi? 9. cos d integalinin eşiti nedi? 5. cos5 d integalinin eşiti nedi?. sin. cos d integalinin eşiti nedi? 5
İntegal. cos. cos d integalinin eşiti nedi? 6. cos. sin( sin ) d integalinin eşitini bulunuz.. sin. sin d integalinin eşiti nedi? 7. sin d integalinin eşitini bulunuz.. sin. cos d integalinin eşiti nedi? 8. cot d integalinin eşitini bulunuz.. cos.( cos ) d integalinin eşiti nedi? 9. cosec d integalinin eşitini bulunuz. 5. sin cos sin 5d integalinin eşiti nedi?. 7 sin d integalinin eşitini bulunuz. cos 5
İntegal Kısmi İntegal Yöntemi d(u.v) = v.du + u.dv eşitliğinin he iki taafında integal alısak duv (. ) = vdu. + udv. uv. = vdu. + udv. elde edeiz. ÖRNEK ln d integalinin eşitini bulunuz. ln = u d = du udv. = uv. vdu. ÖRNEK e. d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK ln d integalinin eşitini bulunuz. ln = u d = du ÖRNEK.cosd integalinin eşitini bulunuz. = u d = du ÖRNEK actan d integalinin eşitini bulunuz. Kısmi integal öntemi ile sou çözeken hangi fonksiona u dieceğimiz önemlidi. LAPTÜ kelimesinde bulunan haflein dizilişindeki sıa dikkate alınabili. L A P T Ü Üstelle Logaitmikle ac li Tigonometikle ifadele Polinomla 5
İntegal ÖRNEK 5 e d integalinin eşitini bulunuz. Patik Yol Bazı kısmi integal soulaını aşağıdaki önekte göüldüğü gibi patik oldan çözebiliiz. Patik olu kullanabilmemiz için, İntegali alınacak ifadenin içinde, logaitmik vea tes tigonometik çapan bulunmamalıdı. Çapanladan bii polinom fonksion olmalıdı. e d Üst üste tüev al Üst üste integal al + e e + e ÖRNEK 6 e e.sind integalinin eşitini bulunuz. e d =.e.e + e + c sin = u cos d = du e d = dv e d = dv e = v = Ι = e. sin d u. v v. du ÖRNEK 7.sind integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 ( + ). e d integalinin eşitini bulunuz. 5
ALIŞTIRMALAR 5. e. d integalinin eşitini bulunuz. 6. accos d integalinin eşitini bulunuz... ln( ) d integalinin eşitini bulunuz. 7..sin d integalinin eşitini bulunuz.. 9e d integalinin eşitini bulunuz. 8. e cos d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. e 9. sin d integalinin eşitini bulunuz. 5. 5 ln d integalinin eşitini bulunuz...sind integalinin eşitini bulunuz. 55
İntegal..cosd integalinin eşitini bulunuz. 6. ( + ) e d integalinin eşitini bulunuz.. sin d integalinin eşitini bulunuz. 7. ( ) sin d integalinin eşitini bulunuz.. e + ln d integalinin eşitini bulunuz. 8. e d ed + ed integalinin eşitini bulunuz.. ( + )cosb l d integalinin eşitini bulunuz. 9. d + e d + e d integalinin eşi- e tini bulunuz. 5. + d integalinin eşitini bulunuz.. sin d sin d integalinin eşitini bulunuz. 56
İntegal Basit Kesilee Aıma Yöntemi Çapanlaa aıma konusunda öğendiğiniz basit kesilee aıma öntemleini kullanaak, kesili biçimde ifade edilmiş bazı integal soulaını çözebiliiz. ÖRNEK 5 + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 ifadesini basit kesileine aıaak ( )( ) d integalinin eşitini bulunuz. ( )( ) Paın deecesi padanın deecesinden büük vea eşit ise önce polinom bölmesi apılı. ÖRNEK + integalinin eşitini bulunuz. 57
İntegal ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. ( )( + ) ÖRNEK + d integalinin eşitini bulunuz. ( ) ÖRNEK + + d integalinin eşitini bulunuz. ( + ) ÖRNEK 5 + d integalinin eşitini bulunuz. ( )( + ) 58
İntegal ÖRNEK 6 + d integalinin eşitini bulunuz. ( ) ÖRNEK 8 e d integalinin eşitini bulunuz. e e+ ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 cos d integalinin eşitini bulunuz. sin sin 59
ALIŞTIRMALAR 6. d integalinin eşitini bulunuz. 6. d ( + )( ) integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. 7. + d integalinin eşitini bulunuz.. d integalinin eşitini bulunuz. 8. d integalinin eşitini bulunuz.. d + integalinin eşitini bulunuz. 9. cos d integalinin eşitini bulunuz. sin sin 5. d integalinin eşitini bulunuz. +. e d integalinin eşitini bulunuz. e e 6
İntegal. d integalinin eşitini bulunuz. + 6. + d integalinin eşiti nedi? ( ). d integalinin eşitini bulunuz. e e 7. + d integalinin eşitini bulunuz. ( ). + + + d integalinin eşitini bulunuz. ( + )( + ) 8. + + d integalinin eşitini bulunuz. + +. d ( + ) integalinin eşitini bulunuz. 9. d integalinin eşitini bulunuz. 5. + + + d integalinin eşiti nedi? + +. + 5 d integalinin eşitini bulunuz. + 6
İntegal BELİRLİ İNTEGRAL Riemann Toplamı = eğisi ekseni ve = doğusula sınılanan alanının aklaşık değeini dikdötgenlee aıaak hesaplaalım. f() = f() = f() = 5 6 Şekil - I Şekil - II Şekil - I de oluşan üç dikdötgenin alanlaı toplamı = ( ).f() + ( ).f() + ( ).f() = [f() + f() + f() ] = ( + + ) = 5 olu. 5 Şekil - II de oluşan altı dikdötgenin alanlaı toplamı =.( f ) +. fc m+. fc m+ +. fc m 5 = ; f() + fc m+ fc m+ + fc me + + +... + n nn ( + )( n+ ) = 6 5 olduğunu hatılaınız. = ; + + + + E = 8 [ + + +... + 5 ] =. 56.. 55 = = 6,87 8 6 8 [, ] aalığını n paçaa aıdığımızda oluşan alt dikdötgenlein alanlaı toplamı:... ( n ) > c m + c m + c m + + c m H = n n n n n..( n ) = + + + G n n n n = n 7 [ + +... + (n ) ] = 7 ( n ) n( n ) n ; 6 E = 9( n )( n ) n Bu ifadede paça saısı olan n eine değele azaak oluşan alt dikdötgenlein alanlaı toplamını bulabiliiz. Bazı n değelei için bulunan sonuçla aşağıdaki tabloda gösteilmişti. İnceleiniz. olu. Paça sa s : n 6 Toplam alan: 9(n )(n ) n 5 6,87 7,695 7,965 8,68 8,8657 8,98655 Tabloda göüldüğü gibi n çok büüdükçe toplam alan 9 a aklaşmaktadı. 6
İntegal f() = f() = 5 6 Şekil - I Şekil - I deki üç dikdötgenin alanlaı toplamı: Şekil - II f() + f() + f() =. +. +. = ( + + ) = Şekil - II de oluşan altı dikdötgenin alanlaı toplamı: 6. fc m+. fc m+ +. fc m = 6 6 6 6 6 ; fc m+ fc m+ + fc me = = c m + c m + + c m G 6 = + + + 6 9 ; E = =,75 8 [, ] aalığını n paçaa aıdığımızda oluşan üst dikdötgenlein alanlaı toplamı:... n = c m + c m + + c m G = n n n n.. n 7 = + + + G = n n n n n [ + +... + n ] = = 7 nn ( + )( n+ ) ; E n 6 9( n+ )( n+ ) Bu ifadede n eine değele azaak oluşan üst dikdötgenlein alanlaı toplamını bulabiliiz. n olu. Paça sa s : n 6 Toplam alan: 9(n + )(n + ) n,75,95,565 9,6865 9,55 9,55 Tabloda da göüldüğü gibi n çok büüdükçe toplam alan 9 a aklaşmaktadı. = eğisi, ekseni ve = doğusunun sınıladığı alanın aklaşık değeini alt ve üst dikdötgenle oluştuaak bulduk. Bu saısal işlemlei aşağıdaki gibi genelleştiebiliiz. [, ] kapalı aalığı = < <... < n < n = olmak üzee, k {,,,... n } için [ k, k ] şeklinde n tane kapalı alt aalığa bölünmüştü. k = k k, f() = ve t k [ k, k ] için oluşan alanla toplamı Bu toplama Riemann toplamı deni. n için k olacağından n / k k biçiminde gösteili. n " k = deni ve lim f( t ) T = d n / f(t k ) k biçiminde azılabili. k = n / f(t k ) k toplamına belili integal k = 6
İntegal İntegal Hesabının Temel Teoemi f, [a, b ] aalığında tanımlı, integallenebilen bi fonksion olmak üzee, (a, b) için F () = f() ise b f()d = F( ) = F(b) F(a) dı. a b a ÖRNEK f( ) d = A, f( ) d = B, a. f( ) d = C ise a nın A, B, C cinsinden değeini bulunuz. ÖRNEK Aşağıda bazı belili integallein sonucu bulunmuştu. İnceleiniz. d = ÖRNEK sin d d = 6 = a ( ) d = 9 ise a R + kaçtı? Belili İntegalin Özelliklei fd ( ) = a a b f( ) d = f( ) d a b a < b < c olmak üzee, c a fd ( ) = fd ( ) + fd ( ) a a b b kf.() d= k f() d b a a b b 6 f ( )! g ( )@ d = fd ( )! gd ( ) a a a b c b ÖRNEK sinb ld integalinin eşitini bulunuz. 6 6
İntegal ÖRNEK d ( ) integalinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 7 fd ( ) + fd ( ) + fd ( ) 8 ifadesinin eşitini bulunuz. 8 ÖRNEK 5 ln e d integalinin eşitini bulunuz. + e f() tek fonksion ise a fd ( ) = dı. a ÖRNEK 6 a ve b bie tam saı olmak üzee b ( + ) d = ise b kaçtı? a f() çift fonksion ise a a f ()d = f()d ti. ÖRNEK 8 a ( + sin ) d integalinin eşitini bulunuz. 65
İntegal ÖRNEK 9 f () fonksionu (, ) için çift fonksiondu. f() = ve f() = 6 ise fl ( ) d kaçtı? ÖRNEK 5 9 d integalinde = sinu dönüşümü apılısa hangi integal elde edili? ÖRNEK 5 = f() fonksionunun gafiğine A(, ) noktasından çizilen teğetin eğimi di. f. ll ( ) d= 8 ise f() kaçtı? ÖRNEK 5 d integalinde = cost dönüşümü apılısa hangi integal elde edili? ÖRNEK 5 ln e e d integalinde e = u dönüşümü apı- + e lısa hangi integal elde edili? 66
İntegal ÖRNEK 5 f(5 )d = a ise f()d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 56 6 + fd ( ) @ = a ise f() d in a cinsinden değeini bulunuz. ÖRNEK 55 f( ) d = b ise f() d integalinin eşitini bulunuz. 5 ÖRNEK 57 + f() = * olmak üzee,, > f() d integalinin eşitini bulunuz. 67
İntegal ÖRNEK 58 d( ) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 f() = + olmak üzee, d(f ()) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 59 d(cos) ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 d ( + ) ifadesinin eşitini bulunuz. + ÖRNEK 6 + cos d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 6 d. ( ) ifadesinin eşitini bulunuz. 68
İntegal ÖRNEK 6 + sin d integalinin eşitini bulunuz. MUTLAK DEĞER İÇEREN İFADELERİN İNTEGRALİ f ( ) d integalinin eşiti bulunuken: a b f() in (a, b) aalığında işaeti inceleni. Bulunan aalıklaa göe, integal ugun paçalaa aılı. He paçanın belili integali bulunu. ÖRNEK 66 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 65 6 sin d+ cos d integalinin eşitini bulunuz. 6 ÖRNEK 67 d integalinin eşitini bulunuz. 69
İntegal ÖRNEK 68 + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 + d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 69 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 ( + ) d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 d integalinin eşitini bulunuz. 7
İntegal ÖRNEK 7 sin d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 75 ln e d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 76 ln d integalinin eşitini bulunuz. e Patik Yol... = sin d = sin d = sin d = Bu kual cos için de geçelidi. ÖRNEK 7 Aşağıda bazı integallein eşiti bulunmuştu. İnceleiniz. cos d = sin d = 6 sin d = cos d = Belili İntegalin Tüevi d d v ( ) f(t)dt = v ().f(v()) u ().f(u()) u ( ) ÖRNEK 77 d d cos tdt ifadesinin eşitini bulunuz. 7
İntegal ÖRNEK 78 d d ln e t dt ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 f() = ( t + ) dt f () kaçtı? ÖRNEK 79 d d actan tdt ifadesinin eşitini bulunuz. 5 ÖRNEK 8 f() = + t + dt fonksionunun = noktasın- t + daki teğetinin eğimi kaçtı? ÖRNEK 8 f() = tan actan t dt ise f () nedi? ETKİNLİK f(t); bi şeke fabikasının işletmee açılışından t a sona üetilen (ton olaak) şeke miktaını göstemektedi. İlk alık üetim bilgileinden üetim hızının f (t) = + 6t olduğu belilenmişti. Üetimin f (t) hızıla devam ettiği düşünüleek sonaki a bounca üeteceği şeke miktaını bulunuz. 7
ALIŞTIRMALAR 7. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz.. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. a. d a. d + b. d b. d + c. cos d c. d + d. ( ) d d. d e. d e. e d 7
İntegal. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. 5 a. ( + ) d. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. a. d b. ( + sin ) d b. ( + ) d c. d + c. (. + ) d d. ( 5 + ) d d. + d e. ( sin + + cos ) d e. + + d 7
İntegal 5. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. 6. Aşağıdaki belili integallein eşitini bulunuz. a. + d a. cos d b. + d b. + sin d c. cos d c. sin d+ cos d d. sin d d. d( sin ) e. sin cos d e. d( ) 75
İntegal 7. = f() fonksionunun gafiğine göe A(, ) noktasından çizilen teğetin eğimi tü..f () d = ise f() kaçtı?. d d e + sin d ifadesinin eşiti nedi? cos + e 8. d integalinde = cost dönüşümü 6. d d et+ lnt dt ifadesinin eşiti nedi? apılısa hangi integal elde edili? 9. ln e d integalinde e = t dönüşümü e+ e ln apılısa hangi integal elde edili?. f() = ln t dt ise f () kaçtı? + 5. f( )d = 6 ise f() d integalinin eşiti nedi? 8 5. f() = sin t dt ise f () fonksionunu bulunuz.. [ f() ]d = A ise f() d integalinin A cinsinden değei nedi? 6. f() = t dt fonksionunun = nokta- t + sındaki teğetinin eğimi kaçtı? 76
İntegal BELİRLİ İNTEGRAL YARDIMIYLA ALAN HESABI = 6 a A b A = f() c 6 7 Yukaıdaki gafikte [a, b ] için f() [b, c ] için f() dı. Taalı bölgelein alanlaı A ve A olmak üzee, A = b f() d ve A = f() d ti. a b c Bu duumu aşağıdaki gibi bileştiebiliiz. A + A = f ( ) d a c = f() ÖRNEK 8 Aşağıda bazı bölgele ve bu bölgelein alanlaına kaşılık gelen integalle ifade edilmişti. İnceleiniz. = + ÖRNEK 8 S S = f() = Şekilde ifade edilen taalı alanla için S = b, S = b ise f()d integalinin eşiti kaçtı? 77
İntegal ÖRNEK 85 ÖRNEK 87 S S S = f() = Şekilde S = b, S = b f() d = b ise S kaç b di? Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK 86 B C ÖRNEK 88 A O D 6 E = + F Şekilde veilenlee göe f()d kaçtı? 6 = f() Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. 78
İntegal ÖRNEK 89 ÖRNEK 9 = + = ln Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı alanı bulunuz. ÖRNEK 9 ÖRNEK 9 = e π π = sin Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı alanı bulunuz. 79
İntegal ÖRNEK 9 = ÖRNEK 96 f() = paabolü, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? ÖRNEK 9 = ÖRNEK 97 e Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? f() = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK 95 f() = eğisi, = ve = doğulaı ve ekseninin sınıladığı bölgenin alanı kaç b di? İstenen alan A olsun. ÖRNEK 98 f() = paabolü, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. 8
İntegal b = f() ÖRNEK = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. a = f() eğisi = a ve = b doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanı b T.A = f ( ) d = d di. a a b ÖRNEK 99 = + eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = ( ) eğisi = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = v Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. 8
İntegal ÖRNEK ÖRNEK 6 = ln = Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. = = olu. ÖRNEK 7 ÖRNEK 5 = e = paabolü ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? 8
İntegal ÖRNEK 8 = paabolü ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. İKİ EĞRİ ARASINDAKİ ALAN = g() = f() a b [a, b ] aalığında f() g() olmak üzee, T.A = (() f g ()) d ti. a b ÖRNEK 9 ÖRNEK = paabolü ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. f() = g() = Şekildeki taalı bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. 8
İntegal ÖRNEK = eğisi ile = + doğusu aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK = ile = bölgenin alanını bulunuz. paabollei aasında kalan ÖRNEK = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin alanını bulunuz. ÖRNEK 5 d integalinin eşitini bulunuz. 8
İntegal ÖRNEK 6 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 6 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 7 6 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 9 d integalinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 8 d integalinin eşitini bulunuz. 85
İntegal ÖRNEK Şekilde ifade edilen taalı alanla için S = 6.S ise a kaçtı? = S S a ÖRNEK ÖRNEK = e m d + log d ifadesinin eşitini bulunuz. Şekildeki taalı alan m b ise m kaçtı? ÖRNEK ^ hd integalinin eşitini bulunuz. 86
İntegal ÖRNEK 5 f(b) f() f(a) a b Şekilde gafiği veilen bie bi ve öten f:[a, b ] [f(a), f(b) ] fonksionunun tesi f di. b fb ( ) f( ) d + f ( ) d a fa ( ) ifadesinin eşitini bulunuz. ETKİNLİK Yandaki esimde bi gölün kesiti veilmişti. Bu kesitin bi paabol olduğu biliniosa kesitin alanını a ve h cinsinden bulunuz. a h 87
ALIŞTIRMALAR 8.. Aşağıdaki taalı alanlaa kaşılık gelen belili integallei azınız. = f() S S a. = Gafikte ifade edilen S ve S alanlaı için S = b, S = 6 b ise fd ( ) kaçtı? b.. 5 S S S = f() = Gafikte ifade edilen S, S ve S alanlaı için S = 5 b, S = 6 b, fd ( ) = ise S kaç b di? 5 c. = =. = f() a S b S c d. Gafikte ifade edilen S ve S alanlaı için c fd ( ) = 5, f ( ) d= 9 ise S kaç b a a di? c = = 88
İntegal 5. Aşağıdaki taalı alanlaın eşitini bulunuz. a. = 6. Aşağıdaki taalı alanlaın eşitini bulunuz. a. = b. b. = = c. = c. = d. = d. = ln 89
İntegal 7. Aşağıdaki taalı alanlaın eşitini bulunuz. a. = 8. = e eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölgenin alanı kaç b di? = 9. = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanı kaç b di? b. = = 5. = eğisi, = e ve = doğulaı ile c. = ekseni aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? d. = e = e. = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 9
İntegal. = 9 paabolü ile = + doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 8. = paabolü ile = paabolü aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 9. = doğusu ile = eğisi aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 5. = ile = paabollei aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. + = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 6. = doğusu ile = eğisi aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. = 6 paabolü ile = + + paabolü aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 7. = doğusu ile = eğisi aasında kalan bölgenin alanı kaç b di?. + = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? 9
İntegal BELİRLİ İNTEGRAL YARDIMIYLA HACİM HESABI ÖRNEK 7 = eğisi, = ve = e doğulaı ile ekseni- = f() nin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. a b = f() eğisi, ekseni, = a ve = b doğulaının sınıladığı kapalı bölge, ekseni etafında 6 döndüüldüğünde oluşan cismin hacmi b b olu. V = d = f ( ) d a a ÖRNEK 6 = doğusu = doğusu ve ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? = I. Yol ÖRNEK 8 = eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. 9
İntegal ÖRNEK 9 = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. ÖRNEK = e eğisi, = ve = doğulaıla sınılanmış bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? ÖRNEK = sec eğisi, = ve = ÖRNEK = sin eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 dön- düülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 9
İntegal b a = f() ÖRNEK = eğisi, = ve = doğulaı ve ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? = f() eğisi, = a ve = b doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüüldüğünde oluşan cismin hacmi b b olu. V = d = 6 f ( ) @ d a a ÖRNEK = doğusu, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? ÖRNEK 5 = ln eğisi, ekseni ve = doğusu aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 9
İntegal = g() = f() ÖRNEK 7 = eğisi ile = eğisinin aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. a b = f() ve = g() eğileinin aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüüldüğünde oluşan cismin hacmi, V = 6 f( ) g( ) @ d ti. a b ÖRNEK 8 ÖRNEK 6 = eğisi, = doğusunun aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? = + eğisi ile = doğusu aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz. 95
İntegal ETKİNLİK a. b. h R Taban aıçapı, üksekliği h olan dik koninin hacminin. h olduğunu gösteiniz. Yaıçapı R olan küenin hacminin R oldu- ğunu gösteiniz. 96
ALIŞTIRMALAR 9. = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 5. = sin eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?. = eğisi, = ve = doğulaı ve ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 6. = e eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmini bulunuz.. = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 7. = eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduklaı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?. = eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduğu bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 8. = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 97
İntegal 9. = eğisi ile = eğisi aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?. = paabolü, = ve = doğulaı ile sınılanmış bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?. = eğisi = doğusu ve ekseninin sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü?.. = eğisi, = ve = doğulaı ile ekseninin sınıladığı bölgenin ekseni etafında döndüülmesi ile oluştuulan cismin hacmi kaç b tü?. = eğisi ile = doğusunun sınıladığı bölgenin ekseni etafında 6 döndüülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç b tü? 5. = eğisi ile ekseni aasında kalan bölgenin ekseni etafında 8 döndüülmesi ile oluştuulan cismin hacmi kaç b tü?. = + eğisi ile = doğusunun sınıladığı bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Oluşan cismin hacmi kaç b tü? 6. = bağıntısının gafiği ile ekseni aasında kalan bölgenin ekseni etafında 6 döndüülmesi ile oluştuulan cismin hacmi kaç b tü? 98
İntegal İNTEGRALİN FİZİKSEL ANLAMI t. saniedeki hız denklemi V(t) olan bi cismin [t, t ] aalığında aldığı ol (t) = Vtdt () di. t t ÖRNEK 9 V Yeden ükseklikte bulunan bi cisim V ilk hızıla ukaı doğu düşe olaak atılıo. Bu cismin t. saniedeki hız denklemi V(t) = V t di. Cismin atıldıktan sanie sona eden üksekliği V olduğuna göe a. Çıkış süesini bulunuz. b. Cismin atıldığı noktadan çıkacağı maksimum ükseklik 5 m olduğuna göe cismin ilk hızını bulunuz. ÖRNEK Bi cismin hızı V(t) = t + m/sanie di. 5 t [, ] aalığında alınan olu bulunuz. 99
İntegal ÖRNEK Bi bilenin akışkan bi madde içinde ivmesi a = V bağıntısı ile değişmektedi. Bile bu akışkan içine m/sanielik ilk hızla giese kaç sanie sona hızı ilk hızının aısına düşe? ÖRNEK ekseni bounca haeket eden kg lık bi cismin konumu = t + t bağıntısına göe değişmektedi. Hehangi bi t anı için kinetik enejii t anı için ivme ve kuvveti t anında veilen gücü [, ] zaman aalığındaki apılan işi bulunuz. ETKİNLİK Geog Fiedich Benhad Riemann (86-866) Analiz ve difeansiel geometi dalında çok önemli katkılaı olan Alman matematikçidi. Riemann integali olaak bildiğimiz belili integal kavamını otaa komuştu. Riemann ilk desini 85 te vedi ve bu desle sadece Riemann geometisinin temelleini kumakla kalmadı anı zamanda daha sona Einstein in izafiet teoisinde kullanacağı apılaın da temelleini attı. 857 de Götingen Ünivesitesi nde özel pofesölük kademesine tefi etti ve 859 da pofesö oldu. Bu matematikçinin ismi anı zamanda zeta fonksionu, Riemann hipotezi, Riemann manifoldlaı ve Riemann üzelei ile de bağlantılıdı.
TEST Saı Belisiz Poblemlei İntegal. ( + ) d integalinin eşiti nedi? A) + c B) 9 + + c C) + c D) 9 + c E) + + c 5. d integalinin eşiti nedi? + A) + ln + + c B) + ln + + c C) ln + + c D) + ln + + c E) ln + + c. d integalinin eşiti nedi? 6. cos d integalinin eşiti nedi? A) + c B) + c C) D) + c E) + c + c A) sin + c B) sin + c C) sin + c D) cos + c E) cos + c. d integalinin eşiti nedi? A) ( ) + c B) ( ) + c C) ln + c D) ln E) + c + c 7. + d integalinin eşiti nedi? + A) actan + c B) accot + c C) actan + c D) + accot + c E) + actan + c. d integalinin eşiti nedi? 8. d integalinin eşiti nedi? A) C) E) ln + c B) ln + c ln + c D) ln + c ln + c A) 5 + c B) + c 5 C) 5 E) + c 5 5 + c D) + c 5
İntegal 9. cos d integalinin eşiti nedi? A).cos + c B) sin + c C) sin + c D).sin + c E) sin + c. d actan d ifadesinin eşiti nedi? d A) accot + c B) actan + c C) actan D) accot E) acsin. ( + ) d integalinin eşiti nedi? A) ( + ) + c B) ( + ) + c C) ( + ) + c D) ( + ) + c E) 6( + ) + c. d(sin) integalinin eşiti nedi? A) cos + c B) cos C) sin D) sin + c E) sin + c. ( e + e ) d integalinin eşiti nedi? A) e + e + c B) e + c C) e.e + c D).e +.e + c E) e +.e + c 5. [ f() ]d = + + c ise f() kaçtı? A) 5 B) C) 7 D) E) 9. d integalinin eşiti nedi? A) accos + c B) acsin + c C) accos + c D) acsin + c E) actan + c 6. f () = + ve f() = ise f() kaçtı? A) B) C) D) E). E. B. C. A 5. C 6. C 7. E 8. A 9. A. C. E. B. C. D 5. C 6. E 6
TEST Belisiz İntegal. ( ) d integalinin eşiti nedi? 5. sin.cos d integalinin eşiti nedi? A) + 6 + c B) 8 + 6 + c C) + 6 + c D) 6 + + c E) + + 6 + c A) cos + c B) cos + c C) cos + c D) cos + c E) cos + c. + d integalinin eşiti nedi? 6. f () = ve f( ) = ise f() kaçtı? A) C) + ln + c B) + ln + c + ln + + c D) + ln + c E) ln + c A) B) C) D) E). sec d integalinin eşiti nedi? A) tan + c B) cot + c C) sec +c D) cosec + c E) cos + c 7. f () = olmak üzee f() eğisinin (, ) noktasındaki teğeti + = ise f() kaçtı? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. d integalinin eşiti nedi? cot A) tan + c B) tan + c C) + cot + c D) + tan + c E) + cot + c 8. d d d ifadesinin eşiti nedi? + A) actan B) accot C) actan + c D) E) + + c + 7
İntegal 9. d[f() ] = ( + ) d ve f( ) = ise f() kaçtı? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8. [ f().g () + g().f () ] d integalinin eşiti nedi? A) f().g() + c B) f() + g() + c f ( ) g ( ) C) + c D) + c g ( ) f ( ) E) f [g()] + c. [ f() + ] d = d( + ) ise f() kaçtı? A) B) C) D) E) 5. d integalinin eşiti nedi? A) C) + + c B) b + l + c + c D) b l + c E) + c d. f() = cos d ise flb l kaçtı? d 8 A) D) B) E) C) 5. ( sin cos) d integalinin eşiti nedi? A) + sin + c B) sin + c C) + cos + c D) cos + c E) + cos + c. + d integalinin eşiti nedi? A) C) E) + c B) + + c + c D) + + c + + c 6.. + d integalinin eşiti nedi? A) 6 + c B) ln 6 D) 6. + c C) ln 6 6. 6. + c E) + c ln ln 6. + c ln 6. B. B. A. D 5. C 6. C 7. C 8. D 9. D. C. A. D. A. D 5. E 6. B 8
TEST 6 Belisiz İntegal. + d integalinin eşiti aşağıdakile- + + 5 den hangisidi? 5. ln d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) ln + + 5 + c B) ln( + + 5) + c C) ln( + + 5) + c D) ln + + c A) C) ln + c B) ln ln + c ln E) ln + c + c D) ln + c E) ln( + ) + c. e d integalinin eşiti aşağıdakileden han- gisidi? 6. tan d integalinin eşiti aşağıdakileden cos hangisidi? A) tan + c B) tan + c A) e + c B) e + c C) e + c D) e + c E) e + c C) tan + c D) tan + c E) tan + c. e + ln d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? 7. sec d integalinin eşiti aşağıdakileden tan hangisidi? A) e + c B) e ( ) + c C) e + c D) e ( ) + c E) e ( ) + c A) tan + c B) tan + + c C) tan + c D) tan + c E) tan + c. cos d integalinin eşiti aşağıdakileden + sin hangisidi? 8. d integalinin eşiti aşağıdakileden e+ e hangisidi? A) ln + sin + c B) ln sin + c C) ln + cos + c D) ln cos + c E) ln sec + c A) ln(e + e ) + c B) actan(e ) + c C) ln( + e ) + c D) actan(e ) + c E) actan(e + e ) + c 5
İntegal 9. + d integalinin eşiti aşağıdakileden + hangisidi?. sec. tan d integalinin eşiti aşağıdakileden + sec hangisidi? A) ln( + ) + actan + c B) ln( + ) + actan + c A) ln + tan + c B) ln + sec + c C) ln + cot + c D) ln sec + c E) ln + cosec + c C) ln( + ) + actan + c D) ln( + ) actan + c E) ln( + ) actan + c. d integalinin eşiti aşağıdakileden 9. d + 9 integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) C) actan + c B) actan + c actan + c D) actan 6 6 + c hangisidi? A) 9 + c B) 9 + c C) 9 + c D) 9 9 9 + c E) 6 9 + c E) actan + c. d integalinin eşiti aşağıdakileden 6. sec d integalinin eşiti aşağıdakileden cosec hangisidi? hangisidi? A) acsin 6 + c B) accos + c A) ln sec + c B) ln sin + c C) ln cos + c D) ln cosec + c E) ln tan + c C) E) accos + c D) acsin + c acsin + c. A. D. B. A 5. C 6. D 7. C 8. B 9. A. C. A. B. C. D 6
TEST 9 Belisiz İntegal..e d integalinin eşiti nedi? A) e e c m + c B) c + m + c C) e c m + c D) e c E) e c m + c + m + c 5. c mln d integalinin eşiti nedi? A) ( ln ) C) ( ln ) ( ln ) + c B) ln + + c ( ln ) + + c D) + ln + c E) ( ln ) ln + c..sin d integalinin eşiti nedi? A) sin + cos + c B) sin + ( )cos + c C) cos + sin + c D) cos + ( )cos + c E) sin cos + c 6. e d + e d integalinin eşiti nedi? A) e ( + ) + c B) e ( + ) + c C) e ( ) + c D) e ( + + ) + c E) e ( ) + c. ln d integalinin eşiti nedi? A) (ln ) + c B) c ln + m + c C) ln c m + c D) c ln m + c E) c ln m + c 7..sec d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A).tan + cos + c B).tan + sin + c C).tan sin + c D).tan + ln cos + c E).tan ln cos + c. accos d integalinin eşiti nedi? A).accos + c B).accos + c C).acsin + c D).acsin + c E).accos + c 8. e sin d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E) e (cos sin) + c e (sin cos) + c e (sin + cos) + c e (cos sin) + c e (sin cos) + c
İntegal 9. d integalinin eşiti aşağıdakileden han- + gisidi?. + + d integalinin eşiti aşağıdakileden ( )( ) hangisidi? A) ln + + c B) ln + + c A) ln ( ) 5. ( ) 5. + c B) ln ( ) 6 ( ) + c C) E) ln + + ln + c D) ln + c + + c ( ). C) ln ( ). + c D) ln ( ) ( ) 6 ( ). E) ln ( ) + c + c. d + 6+ 8 integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? + A) lnc m + c B) ln + + + c + + + C) ln + c D) ln + c + + + E) ln + c +. d integalinin eşiti nedi? ( + ) A) ln + + B) ln + + + C) ln + + D) ln + + + E) ln + + c + c + c + c + c. d + + integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi?. d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? + + A) lnc m + c B) ln + + + + c A) ln + + c B) ln + + c C) ln + + + + c D) lnc m + c + C) ln + + c D) ln + + c + E) ln + + c E) ln + + c. A. B. C. B 5. B 6. A 7. D 8. E 9. C. B. C. A. B. D
TEST Belili İntegal. d integalinin eşiti nedi? e A) B) C) D) E) 5. cos.cos d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) C) D) E) 8. ( + ) d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) 6 5 B) C) 5 D) E) 6 5 6. ( + ) d integalinin eşiti aşağıdakile- ( + ) + den hangisidi? A) ln B) ln C) ln D) ln E) ln5. d integalinin eşiti nedi? + A) B) 8 C) 6 D) E) 7. d integalinin eşiti nedi? ln e e A) B) e C) ln D) ln E). sin d integalinin eşiti aşağıdakileden cos hangisidi? A) B) C) D) E) 8. ln d integalinin eşiti nedi? A) 8(ln) B) (ln) C) 8(ln) D) 8(ln) E) (ln)
İntegal 9. d integalinde = sint dönüşümü apılısa aşağıdakileden hangisi elde edili? A) tdt B) dt C) ( t) dt D) dt E) ( t) dt. + sin d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) C) D) E) 5. cos d integalinin eşiti nedi? 7. f().f () d = olmak üzee f() fonksio- nunun gafiği (, ) noktasından geçmektedi. Buna göe f() nin pozitif değei kaçtı? A) 6 B) 5 C) D) E) A) B) D) 5 E) C). sin.cos d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) 8 C) 6 D) E) 5. = f() fonksionunun gafiğine üzeindeki = a ve = b apsisli noktalaından çizilen teğetle sıasıla ekseni ile 5 ve 5 lik açıla apmaktadı. Buna göe fl( ). fll( ) d integalinin eşiti kaçtı? a b A) B) C) D) E)..e d integalinin eşiti aşağıdakileden ln hangisidi? A) ln e B) ln e C) ln e 6. d integalinin eşiti nedi? sin D) ln e E) A) B) C) D) + E) +. D. C. A. C 5. D 6. B 7. C 8. A 9. B. C. B. B. D. C 5. A 6. E
TEST Alan ve Hacim Hesabı. = + 5. Şekilde ifade edilen = ( + ) taalı bölgenin alanı kaç b di? A) B) C) D) 5 E) Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? 5 A) B) C) D) E). Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? = 6. = A) B) C) 5 D) E) 7. Şekildeki taalı bölgenin alanı = Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? A) ln B) ln C) ln D) ln5 E) ln6 kaç b di? A) B) C) D) E) 5 7.. Şekildeki taalı = e S S S 5 = f() bölgenin alanı kaç b di? A) e + B) e + C) e D) e E) e Gafikte ifade edilen alanladan S = 5 b, S = b, S = 8 b ise 5 f()d + f ( ) d ifadesinin eşiti nedi? 5 A) B) 5 C) D) E) 6 9
İntegal 8. Şekildeki taalı = ln. = = bölgenin alanı kaç b di? A) ln e B) ln e C) ln e Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? D) ln e 5 E) ln e 6 A) + ln B) + ln C) + ln D) + ln E) + ln 9. =. Şekilde ifade = Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? 5 A) B) 7 8 C) D) E) edilen S ve S alanlaı için S S = 8 9 ise a kaçtı? A) B) C) S S a D) E) 5. Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç b di? = =. = eğisi ile = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduğu bölgenin alanı kaç b di? A) B) C) 5 D) E) 7 A) 6 B) C) D) E) 6 5 5. d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi?. = ile = eğilei aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? A) 6 B) C) D) E) A) + B) C) D) + E). C. A. B. D 5. A 6. B 7. E 8. C 9. E. A. B. A. D. E 5. A
TEST 6. ( ) d integalinin eşiti nedi? A) ( ) ( ) + c B) + c 8 6 5. cos( + ) d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E) C) ( ) ( ) + c D) + c E) ( ) + c 6. d integalinin eşiti aşağıdakile- 5 den hangisidi? A) accos c m + c B) acsin c m + c. d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E) C) accos + c m + c D) acsin + c E) acsin + c m + c m + c. + d integalinin eşiti nedi? 5 A) B) C) D) E) 7. sin( ln ) d integalinin eşiti nedi? A) cos(ln) + c sin ( ln ) B) + c C) sin(ln) + c cos( ln ) D) + c E) cos(ln) + c. d integalinin eşiti nedi? sin. cos 6 A) ln B) ln C) ln D) ln5 E) ln6 8. e sin cos d integalinin eşiti nedi? A) e cos + c B) e sin + c e C) sin + c D) e sin + c cos E) e + cos + c 5
İntegal 9. d = A ve d = B ise integalinin A ve B cinsinden değei nedi? A) A B B) A + B C) A B D) A + B E) A B d +. + cos d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E). sin5.sin d integalinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) C) (sin + sin8) + c 6 (sin + sin8) + c (sin sin8) + c 6. f() = eğisi ile g() = doğusu aasında kalan bölgenin alanı kaç b di? A) B) C) D) E) D) (sin sin8) + c E) 6 (sin sin8) + c. fl ( ) d = + + c ve f( ) = e ise f() f ( ) nedi? A) e B) e C) e D) e E) e 5. ( )( + ) d integalinin eşiti nedi? A) B) 8 C) 6 D) E). d( ln ) + ln integalinin eşiti nedi? A) ln( + ln) + c B) actan(ln) + c C) actan + c D) actan + c E) + ln + c 6. = eğisi ile = doğusu aasında kalan bölgenin ekseni etafında 6 döndüülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç b tü? A) B) C) D) E) 6. A. C. A. B 5. E 6. D 7. E 8. B 9. A. E. E. B. B. B 5. C 6. E 6
TEST 7. ( + ) d ifadesinin eşiti nedi? 5 A) B) C) D) E) 5. d d d ifadesinin eşiti aşağıdakileden hangisidi? A) B) C) D) E) + c. + d integalinin eşiti aşağıdakileden + hangisidi? A) + ln + + c B) + ln + + c C) + ln + + c D) + ln + + c 6. d integalinin eşiti nedi? ln E) ln + + c A) ln + c B) ln + c C) (ln) + c D) ( ln ) + c E) ln + c. d ( ) integalinin eşiti nedi? A) + c B) ( ) + c C) E) + c D) + c ( + ) ( ) + c 7. ( + ) d integalinin eşiti nedi? A) B) C) D) E). d d integalinin eşiti aşağıdakile- 6 9 den hangisidi? A) C) E) acsin + c B) acsin 6 + c acsin + c D) acsin + c acsin + c 8. e d e d integalinin eşiti nedi? A) e ( + ) + c B) e ( ) + c C) e ( ) + c D) e ( + ) + c E) e ( ) + c 7
İntegal 9. cos d integalinin eşiti nedi? sin A) sin + c B) + cos + c C) + sin + c D) cos + c E) cos + c. = eğisi ile ekseninin sınıladığı bölgenin alanı kaç b di? 5 A) B) C) D) E). 9 d integalinin eşiti nedi? 5. = ve = eğilei ile sınılanmış bölgenin alanı kaç b di? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) B) 6 C) 5 D) E) 6. ( sin + cos) d integalinin eşiti nedi? A) + D) + B) + E) C) + 5. Şekildeki taalı bölgenin alanı 8 b ise a kaçtı? A) B) C) = ( a) a D) E) 5. d integalinin eşiti nedi? e+ e A) ln( + e ) + c B) actane + c C) ln( + e ) + c D) actane + c E) ln tane + c 6. = sec eğisi, = ve = doğulaının ekseni ile oluştuduklaı bölgenin ekseni etafında 6 döndüülmesi ile oluşan cismin hacmi kaç b tü? A) B) C) D) E). B. A. B. B 5. C 6. A 7. C 8. E 9. D. E. A. D. C. D 5. D 6. B 8
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI. 98 - ÖYS sin.sin d ifadesinin değei nedi? A) 6 B) 6 C) 8 9 9 D) 6 E) 5. 98 - ÖYS ( + )d = 5 ve b a = 5 olduğuna göe a b a + b kaçtı? A) B) C) 9 D) 8 E) 7. 98 - ÖYS 6. 98 - ÖYS ( + ) d integalinin değei nedi? ( + ) + A) ln B) ln C) S S D) ln 5 7 E) ln Şekilde = nin gafiği veilmişti. Taalı S ve S alanlaı aa sın da S = S ba ğın tı sı bu lundu ğu na gö e apsisi kaçtı? A) 8 B) 6 C) D) E) 7. 98 - ÖYS S 5 S = f(). 98 - ÖYS a > koşulu ile = + a eğ i si, ek se ni ve = doğ u su ile sı nı lı alan 8 bi im ka e oldu ğu na gö e a nın değei nedi? A) B) C) D) E) 5 f, gafiğinin bi paçası ukaıdaki şekilde veilen bi fonksiondu. 5 5 fd ( ) = ve S = biim kae oldu- ğuna göe, S kaç biim kaedi? A) 7 B) C) D) 7 E) 57. 98 - ÖYS a >, b > koşulu ile sonlu iki saıdı. a b a b d. d = d olduğuna göe b nin değei kaçtı? A) B) C) D) E) 8. 985 - ÖYS = ln eğ i si, ek se ni ve = b (b > ) ile sını lı bölgenin alanı b + biim olduğuna göe b kaçtı? e A) B) C) e D) e E) e 9
İntegal 9. 985 - ÖYS cos d integalinin değei nedi?. 987 - ÖYS ( cos sin)d integalinin değei nedi? A) B) C) D) E) A) B) C) D) E). 986 - ÖYS f () = + ve f() = olduğuna göe f( ) in değei nedi? A) B) C) D) E) 5. 988 - ÖYS e d integalinin değei nedi? +. 986 - ÖYS f() = olduğuna göe + d(f ()) kaçtı? A) e B) e C) e D) e + E) e + A) B) 6 C) 6 D) E). 987 - ÖYS f()d = + + c olduğuna göe f() aşağıdakileden hangisidi? (c sabitti.) A) B) ln C) + + c D) + E) + 6. 988 - ÖYS Denklemi = ve = 8 olan eğinin sınıladığı bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) 8 B) 6 C) D) E). 987 - ÖYS f().f ()d integali alındığında aşağıdakileden hangisi elde edili? A) [f()] + c B) ln f() + c C) e f() + c D) + c f ( ) E) f ( ) + c 7. 989 - ÖYS f() = t dt olduğuna göe f () değei t + kaçtı? A) 7 B) 5 C) 5 D) 5 E)
İntegal 8. 989 - ÖYS ^ hd integalinin sonucu kaçtı? A) B) C) D) E). 99 - ÖYS d ( ) aşağıdakileden hangisine eşitti? + A) B) C) ln D) ln E) 9. 989 - ÖYS. 99 - ÖYS 5 = f() A (, ) C (, ) B (5, ) ( )( + ) d aşağıdakileden hangisine eşitti? A) B) C) D) E) 5 5 Yukaıdaki şekilde = f() in gafiği veilmişti. ekseninin, AB aı ile sınıladığı bölgenin alanı 5 b, BC aı ile sınıladığı bölgenin alanı b olduğuna göe 5 f()d değei kaçtı? A) 8 B) 67 C) 6 D) 9 E). 989 - ÖYS v + v = A(, ) C(, ) B(, ). 99 - ÖYS Şekildeki AB, h O me- kezli dötte bi çembe aı, [BC] de B(, ), C(, ) noktalaını bileştien doğu paçasıdı. Buna göe, aşağıdaki integalleden hangisi taalı alanı vei? Yukaıdaki şekilde denklemi + = olan paabol veilmişti. Şekildeki taalı bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) 9 B) 8 C) 6 D) 5 E) A) 8 ( + ) Bd B) ; + E d. 99 - ÖYS 8 6 ( ) Bd in değei nedi? C) 8 + ( + ) Bd D) 8 ( + ) Bd A) (π ) B) (π ) C) (π ) D) (π ) E) (π ) E) d + d
İntegal 5. 99 - ÖYS cos(cos )sin d aşağıdakileden hangisine eşitti? A) sin(cos) + c B) cos(sin) + c C) cos(sin ) + c D) sin(cos ) + c E) sin(cos ) + cos(sin ) + c 9. 99 - ÖYS a < a <, ( tan + tan )d = olduğuna göe a nın değei aşağıdakileden hangisidi? A) 6 B) C) D) E) 5 6 6. 99 - ÖYS d d 5 ( f + ) dp aşağıdakileden hangisine eşitti? A) + B) + C) D) 79 E) 67. 99 - ÖYS d integalinde = sint dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? A) sin t dt B) sin t dt 7. 99 - ÖYS ln ( e e )d integalinde e = t dönüşümü apılısa, aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? C) ( sin t cos t) dt D) cos t dt E) cos t dt A) ( t t) dt B) ( t ) dt C) ( e t e t )e t dt D) ( t t) dt E) ( lnt lnt) dt. 99 - ÖYS = e = e 8. 99 - ÖYS a a d f p = d olduğuna göe, pozitif a kaçtı? A) B) C) D) E) Şekilde, = e, = e fonksionlaının gafiklei ve eksenile sınılı olan taalı bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) B) C) D) ln E) ln
İntegal. 99 - ÖYS + d integalinde u = dönüşümü apılısa aşağıdakileden hangisi elde edili? + u + u A) du B) du u u + u + u C) du D) du u u E). 99 - ÖYS a u( + u) du u (sin cos )d = olduğuna göe 6. 995 - ÖYS sin(accos)d integalinde t = accos dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? A) C) sint dt B) cos t dt cost dt D) cos tdt E) sin tdt a nın değei aşağıdakileden hangisidi? A) 8 B) 6 C) D) E) 7. 995 - ÖYS. 995 - ÖYS = f() eğisinin (, ) noktasındaki teğeti ekseni ile 5 lik açı apmaktadı. f () = 6 olduğuna göe eğinin eksenini kestiği noktanın odinatı kaçtı? 6 g() f() Şekildeki f() doğusu = noktasında = g() eğisine teğetti. 69 A) B) C) D) E) 5 g ( ) d = ln a g ( ) 8 l olduğuna göe a kaçtı? A) 6 B) 5 C) D) E) 5. 995 - ÖYS + d integali aşağıdakileden 9+ hangisine eşitti? A) ln + ln + 5 + c B) ln + ln + 5 + c C) ln 7 ln + c D) ln ln + + c E) 5ln 7 + ln + c 8. 996 - ÖYS t d > f cos dphdt değei kaçtı? dt A) 6 7 6 D) B) E) C)
İntegal 9. 996 - ÖYS = 6 paabolünün koodinat sisteminin. bölgesindeki (, ) paçası ile = ve = doğulaıla sınılı olan bölgenin alanı kaç biim kaedi?. 997 - ÖYS 5 ( 5 ) d integalinin değei aşağıdakileden hangisidi? A) 8 B) C) 6 D) 6 E) 6 A) 5 B) 5 8 C) 6 D) 6 E) 5. 996 - ÖYS = e. 997 - ÖYS = eğisi, = doğusu ve ekseni ile sınılı bölgenin ekseni etafında döndüülmesile oluşan cismin hacmi kaç b tü? = = a A) B) 7 C) 9 5 Şekildeki gibi = e eğiisi ile =, = a ve = doğulaı ile sınılı bölgenin ekseni etafında döndüülmesile oluşan dönel cismin hacmi (e e ) b olduğuna göe a nın D) 7 5 E) 5 değei kaçtı? A) B) C) D) 5 E) 6. 997 - ÖYS 5 d integalinin değei aşağıdakile- + den hangisidi? A) ( ) c 9 + + B) 5 ( ) c + + C) ( ) c + + D) 5 ( ) c + + E) ( ) c 9 + +. 998 - ÖYS 5 + d integalinin değei aşağıdakileden hangisidi? A) ln + ln + + c B) 5ln ln + + c C) ln + ln + + c D) ln + ln + + c E) 5ln + c 5. 998 - ÖYS = ve = eğisi ile sınılanan bölgenin alanı kaç b di? A) 5 6 B) 5 C) D) E)
İntegal 6. 6 - ÖSS f : R R fonksionu he noktada tüevli ve f () = +, f() = olduğuna göe f() kaçtı? A) 5 B) C) D) E) 9. 7 - ÖSS d integalinin değei kaçtı? + A) + ln B) + ln C) ln D) ln E) + ln 7. 6 - ÖSS ( sin + cos)d integalinde t = dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? A) ( sint + cost)dt B) ( sint cost)dt 5. 7 - ÖSS + d integalinin değei kaçtı? A) + B) C) + D) E) 8 C) ( sint cost)dt D) ( cost sint)dt E) ( sint cost)dt 5. 7 - ÖSS = ve = eğilei ile sınılanan bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) 5 B) C) D) E) 5 8. 6 - ÖSS Şekilde gafiği veilen bie bi ve öten f : [, ] [, ] f() fonksionunun tesi f di. 5. 8 - ÖSS b > olduğuna göe, f()d + f ()d b ( ) d değei nedi? integalinin alabileceği en büük değe kaçtı? A) B) C) 6 D) 8 E) A) B) C) 5 D) E) 5
İntegal 5. 8 - ÖSS sin d integalinin değei kaçtı? A) C) E) B) 6 D) 57. 9 ÖSS a c O 7 9 b f() Yukaıda veilen taalı bölgelein alanlaı sıasıla a, b ve c biim kaedi. 9 Buna göe, f ( ) d fd ( ) 7 değei kaçtı? A) a + b B) a + c C) b + c D) c + b E) a + b + c 5. 8 - ÖSS d integalinin değei kaçtı? ( ln ) e e A) B) C) D) E) 55. 9 - ÖSS ( + ) e d integalinin değei kaçtı? 58. LYS f () = 6, f () =, f() = koşullaını geçekleen f fonksionu için f() değei kaçtı? A) B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 A) e B) e C) e D) e E) e 59. LYS 56. 9 ÖSS sin d integalinin değei kaçtı? cos A) B) C) D) E) O = = Şekildeki paabol ile doğu aasında kalan taalı bölgenin alanı kaç biim kaedi? 5 7 9 A) B) C) D) E) 6. LYS 6 d integalinin değei kaçtı? + A) B) 5 C) 8 D) E) 6
İntegal 6. LYS = eğisi ve = doğusu ile sınılı (sonlu) bölgenin alanı kaç biim kaedi? A) B) C) D) E) 65. LYS Bi f fonksionunun gafiğinin = a noktasındaki teğetinin eğimi, = b noktasındaki teğetinin eğimi tü. f () ikinci tüev fonksionu [a, b] aalığında süekli olduğuna göe, fl( ). fll( ) d integalinin değei kaçtı? b a 6. LYS A) B) C) D) E) O f Yukaıda gafiği veilen f fonksionu için f. l ( ) f( ) d integalinin değei kaçtı? 7 5 A) B) C) D) E) 66. LYS Aşağıdaki gafikte, A ve B bölgeleinin alanlaı eşit olacak şekilde = k doğusu veilmişti. = + B = k A O 6. LYS, < f() = ), ise ise Buna göe, k nin değei kaçtı? A) B) C) D) 9 E) için f ( + ) d integalinin değei kaçtı? A) B) C) 6 D) 8 E) 6. LYS f () = + +, f() = olduğuna göe, f( ) değei kaçtı? A) B) C) D) E) 67. LYS e ln d = 6 e olduğuna göe, e ln d integalinin değei kaçtı? A) 7e 6 B) 8e 8 C) 9e D) e 6 E) e 8 7
İntegal 68. LYS ln d integalinde u = dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? 7. LYS Biinci bölgede; koodinat eksenlei, = 5, = 5 doğulaı ve = +, = + eğilei aasında kalan A bölgesi aşağıda veilmişti. A) ln u du B) ln u du (, 5) ln u C) du D) u E) uln udu ln u du u O A (5, ) A bölgesinin alanı kaç biim kaedi? 7 5 7 A) B) C) D) 6 E) 77 6 69. LYS fl( ) d = 6 f ( )@ eşitliği veilio. f() = A) d olduğuna göe, f() değei kaçtı? B) C) 5 D) E) 7. LYS O 7. LYS ( acsin ) d Biinci bölgede; ekseni, = doğusu ve 9 + = 9 elipsi aasında kalan bölge ekseni etafında 6 döndüülüo. Elde edilen dönel cismin hacmi kaç biim küptü? A) 8 9 D) 5 7 B) 9 E) 8 7 C) 9 8 integalinde u = acsin dönüşümü apılısa aşağıdaki integalleden hangisi elde edili? A) u.sin udu B) u.cos udu C) u.sinudu D) u.cos udu E) u du 8
ESEN ÜÇRENK MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ ESEN ÜÇRENK
MATEMATİK ve GEOMETRİ KİTAPLARIMIZ 9. SINIF. SINIF. SINIF. SINIF YGS - LYS www.nevzatasma.com & www.halitbiik.com