TÜREV ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİTE 3. ÜNİT

Transkript

1 TÜREV ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİTE. ÜNİT Türev. Kazanım : Türev kavramını örneklerle açıklar.. Kazanım : Bir fonksionun bir noktadaki soldan türevini ve sağdan türevini bulur, soldan türev ve sağdan türev ile türev arasındaki ilişkii açıklar.. Kazanım : Bir fonksionun bir noktadaki sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki ilişkii açıklar. 4. Kazanım : Bir fonksionun bir aralıkta türevli olmasını ifade eder. 5. Kazanım : Türev tanımını kullanarak verilen bir fonksionun türevine ait formülleri oluşturur ve ugulamalar apar. 6. Kazanım : Türevlenebilen iki fonksionun toplamının, farkının, çarpımının ve bölümünün türevine ait kuralları oluşturur ve bunlarla ilgili ugulamalar apar. 7. Kazanım : Bir fonksionun grafiğinin bir noktasındaki teğetinin ve normalinin denklemini azar. 8. Kazanım : Bir fonksionun ardışık türevlerini bulur. Türev Ugulamaları. Kazanım : Bir fonksionun artan ve azalan olduğu aralıkları türevin işaretine göre belirler.. Kazanım : Bir fonksionun mutlak maksimum ve mutlak minimum, erel maksimum, erel minimum, noktalarını açıklar ve bir fonksionun ekstremum noktalarını türev ardımıla çözer.. Kazanım : Maksimum ve minimum problemlerini türev ardımıla çözer. 4. Kazanım : Bir fonksionun grafiği üzerinde bükelik ve dönüm noktası kavramını açıklar. 5. Kazanım : Fonksionların grafiğini türev ardımıla çizer. 6. Kazanım : L Hospital kuralı ardımıla fonksionların limitlerini hesaplar.

2 TÜREV BİR NOKTADA TÜREV A R ve f : A R, = f() fonksionu a A da sürekli olmak üzere, f ( ) fa ( ) lim a " a f() f() f(a) limiti varsa (bir reel saı ise) bu limit değerine = f() fonksionunun = a noktasındaki türevi denir ve d df f (a),, ( a) sembollerinden birisi ile gös te ri lir. d d = a f(a) a a = f() Türev tanımını aşağıdaki gibi de apabiliriz. a = h olsun. a = h = a + h tır. a ( a) h f ( ) fa ( ) f (a) = lim = lim a " a h" fa ( + h) fa ( ) bulunur. h ÖRNEK f : R R, f() = fonk si o nu nun = nok ta sında ki tü re vi ni bu lu nuz. ÖRNEK f : R R, f() = + fonksionunun = noktasındaki türevini bulunuz. Sağdan ve Soldan Türev A R ve f : A R, = f() fonksionu a A da sürekli olmak üzere; f ( ) fa ( ) lim limitinin bir reel saı değeri var- " a + a sa, bu de ğe re = f() fonk si o nu nun = a da ki sağ dan tü re vi de nir ve f (a + ) ile gös te ri lir. lim " a f ( ) fa ( ) limitinin bir reel saı değeri var- a sa, bu de ğe re = f() fonk si o nu nun = a da ki sol dan tü re vi de nir ve f (a ) ile gös te ri lir. Sağdan ve soldan tü rev ler var ve eşit se fonk si onun o nok tada türevi vardır. f (a + ) = f (a ) = f (a) dır. f (a + ) f (a ) ise f (a) oktur. = f() ise f fonk si o nunun bir nok tasındaki d türevi f (),, sem bol le rin den bi ri si ile gös- d d te ri lir. Burada, d e türev alma operatörü denir. 78

3 ÖRNEK f : R R, f() = fonksionunun eğer varsa f ( + ), f ( ) ve f () türevlerini bulunuz. ÖRNEK 4 f : R R, f() = fonksionu verilior., > *, a. f fonksionu = de sürekli midir? b. f fonksionu = de türevli midir? Türev - Süreklilik İlişkisi A R, f : A R ve a A olmak üzere, = f() fonksionu = a da türevli ise, bu noktada süreklidir. Bir başka ifa de le, = f() fonk si o nu = a da sü rek li değilse, fonksionun bu noktada türevi oktur. Bir noktada sürekli olan bir fonksion bu noktada türevli olmaabilir. Fonk si o nun sü rek li ol du ğu fa kat tü rev li ol ma dı ğı nok ta la ra fonk si o nun kı rıl ma nok tala rı adı ve ri lir. Ör nek te ki f() = fonk si o nu nun kı rıl ma nok ta sı = dır. 79

4 ÖRNEK 5 ÖRNEK 6 f : R R, f() = 9 fonksionu verilior. a. f fonksionu = te sürekli midir? f : R R, f() = * 6,, < b. f fonksionu = te türevli midir? fonksionu = de türevli midir? ÖRNEK 7 + f() = fonksionu = te türevli midir? 8

5 ÖRNEK 8 f : R R, f() = + * + 4,, > fonksionunun = ap sis li nok ta sın da tü re vi nin olup ol ma dı ğı nı araştırınız. BİR ARALIKTA TÜREVLENEBİLME f : [a, b ] R bir fonksion olsun. (a, b) için f fonk si o nu nun tü re vi var sa, f fonk si o nu (a, b) aralığında türevlidir denir. f türev fonksionunun ta nım kü me si f nin ta nım kü me si nin alt kü me si dir. ÖRNEK 9 f : R R, f() = fonk si o nu nun tü re v fonk si o nunu bu lu nuz. ÖRNEK f : R R, f() = 5 fonk si o nu nun tü re v fonk si onu nu bu lu nuz. ÖRNEK f() = sin fonk si o nu nun tü re vini bu lu nuz. 8

6 ALIŞTIRMALAR. f : R R, f() = + fonksionunun = noktasındaki türevi kaçtır? 6. f : R R, f() = * +,, < fonksionunun = noktasındaki türevi kaçtır?. f : R R, f() = + fonksionunun = noktasındaki türevi kaçtır? 7. f : R + R, f() = ise f () değerini bulunuz.. f : R R, f() = fonksionunun = noktasındaki türevi kaçtır? 4. f : R R, f() = fonksionu için eğer varsa aşağıdakileri bulunuz. 8. f : R R, f() = ise f () değerini bulunuz. a. f ( + ) b. f ( ) c. f () d. f ( ) 9. f : R R, f() = 4 fonksionu = noktasında türevli ise türevi kaçtır? e. f () f. f () 5. f : R R, f() =. fonksionunun = noktasındaki türevi kaçtır?. f : R R, f() = fonksionu = noktasında türevli ise türevi kaçtır? 8

7 . f : R R, f() = fonksionunun kırılma noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? f : R R, f() = *,, < fonksio nu nun = nok ta sın da tü re vi var sa kaç tır? Yukarıda verilen grafikle tanımlı f fonk si o nu için aşa ğı da ki le ri ce vap la ı nız. a. Süreksiz olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır? Z +, ]. f : R R, f() = [ a +, ] \ +, < = > fonksio nu, = nok ta sın da sü rek li ise a kaçtır? b. Türevinin olmadığı nok ta la rın ap sis le ri top lamı kaç tır? c. Kırılma noktasının apsisi kaçtır? d. f fonksionu nun [ 6, 6 ] ara lı ğın da ki tam sa ı la rın kaçında türevi vardır? 4. f() = sin fonksionunun = r noktasındaki türevini bulunuz. 7. Aşağıdaki fonksionların türev fonksionlarını bulunuz. a. f() = b. f() = 5. f() = + kaç farklı noktası vardır? fonksionunun türevinin olmadığı c. f() = + d. f() = + 8

8 TÜREV ALMA KURALLARI Sabit Fonksionun Türevi c R olmak üzere, f() = c f () = dır. f() = c f () = f ( + h) f ( ) lim h h" c c = lim h h" = lim = bulunur. h" ÖRNEK Aşağıda bazı fonksionların türevleri alınmıştır. İnceleiniz. f() = f () =. = f() = f () =. = f() = f () =. =. = f() = 9 f () = 9. 9 = 9 8 ÖRNEK Aşağıda bazı sabit fonksionların türevleri alınmıştır. İnceleiniz. f() = 5 f () = f() = 8 f () = f ( ) = & fl ( ) = f ( ) = = & fl ( ) = f() = 5 = 5 & fl ( ) = f() = f () = f() = a + f () = f() = π + e f () = f() = 9 f () = f() = c. n Fonksionunun Türevi f : R R, n R, c R olmak üzere, f() = c. n f () = c.n. n dir. 9 f() = f () = f() = n Fonksionunun Türevi f : R R, n N + f() = n f () = n. n f ( + h) f ( ) f () = lim = lim h h" h " n ( + h) h ( + h ) + 6 ( + h) n ( h) n. n = lim h " h = h. 6 ( + h) n ( h) n. n lim h h " = n + n n, (n tane) = n. n bulunur. olmak üzere, dir. n ÖRNEK 4 Aşağıda bazı fonksionların türevleri alınmıştır. İnceleiniz. f() =. f () =.. = f() = 5 f () = 5.. = f() = f () =.( ). = 6 f() =. =. f () =.. 84

9 İki Fonksionun Toplamının - Farkının Türevi f() = g() + h() f () = g () + h () f() = g() h() f () = g () h () İki Fonksionun Bölümünün Türevi g ( ) gl( ). h ( ) g ( ). hl( ) f ( ) = & fl ( ) = h ( ) 6 h ( )@ ÖRNEK 5 Aşağıda bazı fonksionların türevleri alınmıştır. İnceleiniz. f() = + f () =. +. = + f() = f () = = olduğuna göre, f () türev fonk si o nu- ÖRNEK 8 + f() = nu bu lu nuz. f() = + 5 f () = İki Fonksionun Çarpımının Türevi f() = g().h() f () = g ().h() + g().h () ÖRNEK 6 f() = ( + ).( ) olduğuna göre, f () değerini bulunuz. ÖRNEK 9 f() = + olduğuna göre, f () tü rev fonk si onu nu bu lu nuz. ÖRNEK 7 f() =.( + ).( + ) ol du ğu na gö re, f () de ğeri ni bu lu nuz. = f() = a + b ( ) ad. bc. & fl = dir. c + d ( c + d) 85

10 f() = [g() ] n f () = n.[g() ] n.g () = f ( ) = fl ( ) f ( ) tir. ÖRNEK f() = ( + + 4) 5 ise f () türev fonk si o nu nu bu lu nuz. f () = 5.( + + 4) 5.( + + 4) ÖRNEK 4 Aşağıda bazı kareköklü fonksionların türevi ukarıdaki pratik kural ardımıla alınmıştır. İnceleiniz. f() = 5 + f () = 5 ÖRNEK f() = ( 4) olduğuna göre, f () değeri kaçtır? f() = f () = f() = f () = ÖRNEK 5 ÖRNEK g () = 6 olmak üzere, f() = g( + ) ise f () değeri kaçtır? f() = ( + ) ise f () tü rev fonk si o nu nu bu lunuz. ÖRNEK f() = + ise f () fonksionunu bulunuz. f() = + = _ + i n > m olmak üzere, m f() = n 6 g ( )@ f () = ÖRNEK 6 mg. l ( ) n n m n. 6 g( f() = ( ) ise f () fonksionunu bulunuz. 86

11 Bileşke Fonksionunun Türevi f() = (goh)() f () = g (h()).h () Trigonometrik Fonksionların Türevi f() = sing() ise f () = g ().cosg() ÖRNEK 7 f() = + ve g() = + ise = (fog)() bi leşke fonk si o nu nun türevini bu lu nuz. f() = + f () = 4 f() = cosg() ise f () = g ().sing() f() = tang() ise f () = g ().( + tan g()) = g (). cos g( ) = g ().sec g() ÖRNEK 8 f() = ( + ) 4 olduğuna göre, f () türev fonk si onu nu bu lu nuz. g() = 4, h() = + alınırsa, f() = cotg() ise f () = g ().( + cot g()) = g (). sin g( ) = g ().cosec g() ÖRNEK 9 g() = 4, f (4) = ve g () = 5 ise (fog) () kaçtır? (fog) () = f (g()).g () (fog) () = f (g()).g () ÖRNEK Aşağıda ba zı fonk si on la rın tü rev le ri alın mış tır. İn cele i niz. = sin = cos = cos = sin = tan = + tan = cos = (fogoh)() = f (g(h())).g (h()).h () dir. Bu eşitlikte = f(z), z = g(u), u = h() alınırsa, d d =. dz. du = = f (z).g (u).h () d dz du d = f (g(h())).g (h()).h () olur. Bu işleme, türevde zincir kuralı denir. ÖRNEK = t +, t = u +, u = + olduğuna göre, d d ifadesini bulunuz. = sec = cot = ( + cot ) = sin ÖRNEK = cosec f() = sin + 5cos ise f () türev fonksionunu bulunuz. 87

12 ÖRNEK f() = sin ise f () türev fonksionu nedir? ÖRNEK 7 sin cos f() = tan r ise f b 4 l kaçtır? ÖRNEK 4 f() = cos( + ) ise f () nedir? ÖRNEK 5 f() = tan r ise flb l kaçtır? 4 Mutlak Değer Fonksionunun Türevi g() olmak üzere, gl ( ), f() = g() f () = * gl ( ), g(a) = olmak üzere, g ( ) > g ( ) < f() = g() fonksionunun = a daki sağ ve sol türevleri eşit ise fonksionun = a da türevi vardır. ÖRNEK 8 ÖRNEK 6 r f() =.tan ise f b l kaçtır? 8 f() = + 4 fonksionunun türevinin ku ra lı nı bu lunuz. 88

13 ÖRNEK 9 f() = ( ) fonksionunun türevinin ku ra lı nı bu lunuz. ÖRNEK 4 f() =. fonk si o nu nun =, = ve = ap sis li nok ta la rın daki tü re vi ni araş tı rı nız. Kapalı Fonksionların Türevi ÖRNEK 4 f() = + + olduğuna göre f () in de ğe ri nedir? ve değişken, = f() ol mak üze re, F(, ) = denk le mi ile ve ri len ba ğın tı la ra ka pa lı fonk si on de nir. Ka pa lı fonk si o nun tü re vi iki fark lı ol dan bu lu na bi lir. I. Yol: F(, ) = denklemi nin her iki a nı nın e gö re tü re vi alı nır. Bu lu nan denk lem den de d = alnız bırakılır. d Fl(, ) II. Yol: F(, ) = F (, ) = F l (, ) dir. F (, ): F nin e göre türevi ( sabit) F (, ): F nin e gö re tü re vi ( sabit) NOT: için = kritik nokta olmadığından, sağdan ve soldan türevine bakmaa gerek oktur. ÖRNEK 4 f() = olduğuna göre, f ( ) ün de ğe ri ne dir? ÖRNEK 4 = f() olmak üzere, + + = bağıntısının türevini bulunuz. 89

14 ÖRNEK 44 ÖRNEK 47 d sin( ) + cos( + ) = ise d nedir? = t + t 4 = t + olduğuna göre, d d t= değeri nedir? ÖRNEK 48 ÖRNEK 45 d = f() olmak üzere, sin + cos = + ise d ifa desi ni bu lunuz. = cos i = sin i d 4 ise d ifadesinin eşitini bulunuz. ÖRNEK 49 Parametrik Fonksionların Türevi = f() fonksionu = u(t), = v(t) şeklinde d parametrik olarak verildiğinde, = d d = dt olur. d dt = t + t 4 olmak üzere, = f() fonksionunun = t+ d türevi = fl ( ) ise f ( ) değeri nedir? d ÖRNEK 46 = t d ve = t + olduğuna göre, d nedir? 9

15 Ters Fonksionun Türevi f: A B, = f() bire bir ve ör ten fonk si o nu A noktasında türevli ve f ( ) ise f : B A fonksi o nu da ın f al tın da ki gö rüntü sü olan noktasında türevlidir ve (f ) ( ) = fl ( ) dır. ÖRNEK 5 f: R R, f() = + ise (f ) () kaçtır? ÖRNEK 5 f: R R, f() = + ise (f ) () kaçtır? ÖRNEK 5 f() = sec ise (f ) () türevini bulunuz. 9

16 Ters Trigonometrik Fonksionların Türevi gl ( ) f() = arcsing() f () = g ( ) ÖRNEK 54 f() = arctan(sin) ve cosa = 4 ise f (a) kaçtır? f() = arccosg() f () = gl ( ) g ( ) f() = arctang() f () = gl ( ) + g ( ) f() = arccotg() f () = gl ( ) + g ( ) ÖRNEK 5 Aşağıda bazı fonksionların türevleri alınmıştır. İnceleiniz. = arcsin = = arccos = = arctan = Logaritma Fonksionunun Türevi gl ( ) f() = log a g() ise f () =.log g ( ) a e gl ( ) f() = lng() ise f () = g ( ) = arccot = ÖRNEK 55 Aşağıda bazı fonksionların türevleri alınmıştır. İnceleiniz. = arcsin = = log 5 =.log 5 e = arccos = = log( + ) = = arctan5 = = ln = = ln = = arccot = = ln(cos) = 9

17 ÖRNEK 56 f() = ln ise f (e) değeri nedir? ÖRNEK 59 f() = e.cos ise f () nedir? ÖRNEK 57 f() = ln + 4 ise f () fonksionunu bulunuz. ÖRNEK 6 t = e + olmak üzere, = f() fonksionunun = ln t d türevi = f () ise f () değeri nedir? d Üstel Fonksionun Türevi f() = a g() ise f () = g ().a g().lna f() = e g() ise f () = g ().e g() ÖRNEK 58 Aşağıda bazı fonksionların türevleri alınmıştır. İnceleiniz. = 5 =.5.ln5 = 5.ln5 ÖRNEK 6 e f() = lnc m ise f () değeri nedir? + = + = ( + ). +.ln = e =.e = e = e = ( ).e = + e =.ln + e =. + =.. = 6. =.6.ln6 9

18 Logaritma Yardımıla Türev Almak f() = [g()] h() lnf() = ln[g() ] h() lnf() = h().ln[g() ] olup, her iki tarafın türevi alınırsa, fl ( ) gl ( ) = h ().ln[g() ] + h(). f ( ) g ( ) gl ( ) f () = f(). = hl ( ). ln6 g( + h ( ). G bulunur. g ( ) Yüksek Mertebeden (Ardışık) Türevler = f() fonksionunun ardışık türevleri; d d. türevi =,. türevi = d d d. türevi = d n. türevi (n) d = d n n, 4. türevi (4) d = d 4 dir. 4 ÖRNEK 6 f() = ise f () fonksionunu bulunuz. Burada, n n d d c m olduğuna dikkat ediniz. dn d ÖRNEK 65 = f() = + + ÖRNEK 6 f() = ln ise f () fonksionunu bulunuz. fonksionunun. mer te be den türevini bulunuz. ÖRNEK 66 f() = e olduğuna göre, d d f( ) nee eşittir? ÖRNEK 64 f() = (sin) cos ise f () nedir? 94

19 ÖRNEK 67 f() = ln fonk si o nu nun. mer te be den tü re vi ni bu lu nuz. Bir Po li no mun Kat lı Kök le ri İle Tü rev le ri Ara sın da ki İliş ki f: R R, = f() fonksionu; f() = P() = a n n + a n n a + a biçiminde bir po li nom fonk si on ve = a sa ı sı bu po li no mun n katlı bir kökü ise f() = ( a) n.g() şeklinde azılabileceğinden, f(a) = f (a) = f (a) =... = f (n ) (a) = olur. ÖRNEK 7 ÖRNEK 68 f() = cos ise d 5 d f( ) 5 nee eşittir? P() = 4 + a + b + polinomu ( ) ile tam bölü ne bil di ği ne gö re, a ve b de ğer le ri ni bu lu nuz. ÖRNEK 7 P() = 4 + a b + c po li no mu ( + ) ile tam bö lü ne bil di ği ne gö re, a + b + c toplamı kaçtır? ÖRNEK 69 f() = ise f() fonksionunun. dereceden türevini bulunuz. P( ) =, P ( ) = ve P ( ) = olmalıdır. P () = 4 + a b P () = + 6a P ( ) = 6a = a = P ( ) = 4 + a b = b = b = P( ) = a + b + c = + + c = c = O halde, a + b + c = + = tür. 95

20 DİFERANSİYEL KAVRAMI A R, f: A R, = f() fonk si o nu A da tü rev le ne bi len bir fonk si on ol sun. in de ğe rin de ki de ği şi mi, bu na kar şı lık ge len nin de ğe rin de ki de ği şi mi ile gös te re lim. in diferansieli d = olmak üzere, nin diferansieli d = f ().d tir. Türev alma kuralları diferansiel için de geçerlidir. ÖRNEK 7 Aşağıda bazı fonksionların diferansielleri alınmıştır. İnceleiniz. = + d = ( + ) d = ( + )d d(e + ) = (e + ) d =.e +.d = cos d = (cos) d = (.sin)d d(tan) = (tan) d = ( + tan )d = ln d = d = e sin d = (cos.e sin )d d( + ) = ( + ) d = ( + )d = e.sin d = (e.sin + e.cos)d ETKİNLİK Bir f fonk si o nun da = f() iken de ğiş ke ni h ka dar ar tı rıl dığın da de me da na ge len art ma ve di fe ran si el aklaşık olarak anı kabul edilir. Dolaısıla, f( + h) f() + h.f () for mü lü ak la şık he sap ta kul la nı la bi lir. 5 =? 5 =? 5 değerini aklaşık olarak he sap la a lım. f() = f () = olur. Bu değerleri f( + h) f() + h.f () eşitliğinde erine azarsak f(49 + ) f(49) +.f (49) f(5) , ,7 bulunur. 5 f() = değerini aklaşık olarak he sap la a lım. f () =. olur. Bu değerleri f( + h) f() + h.f () eşitliğinde erine azarsak f(7 ) f(7).f (7) f(5) ,75,95 bulunur. 96

21 TÜREVİN FİZİKSEL YORUMU Bir cismin t za ma nı na ka dar bağ lı ola rak git ti ği o lu ve ren s(t) fonk si o nu na cis min ha re ket denk le mi de nir. Bir hareketlinin hı zı, bi rim za man da al dı ğı ol dur. Ha re ket li nin [t, t ] zaman aralığında aldığı ol s(t) s(t ) olduğundan, ortalama hızı V ort. = st () st ( ) t t dır. Buna göre, hareketlinin t anındaki hızı; V = st () st ( ) lim = s (t t t ) dır. t" t Arıca bir ha re ket li nin hı zı nın bi rim za man da ki de ğiş me mikta rı iv me dir. Bu na gö re, ha re ket li nin t anın da ki hızı V(t ), t anın da ki hı zı V(t) ise ha re ket li nin or ta la ma iv me si, a ort. = dır. O hal de, ha re ket li nin t anında ki ivmesi; a = Vt () Vt ( ) lim = V (t t t ) = s (t ) olarak bulunur. t" t Vt () Vt ( ) t t Bir hareketlinin t zamanında aldığı ol s(t) ise bu hareketlinin t anındaki hızı V(t) = s (t) ve t anındaki ivmesi a(t) = V (t) = s (t) dir. ÖRNEK 7 t saniede aldığı ol, s(t) = t + t (metre) olan bir hareketlinin t = 4 sanie sonundaki hızını ve ivmesini bulunuz. ETKİNLİK ÖRNEK 74 Dike olarak ukarı doğ ru fır la tı lan bir te nis to pu nun t sa ni e de al dı ğı ol, s(t) = t t (met re) fonk si onu ile ve ri li or. Bu na gö re, bu te nis to pu en çok kaç met re ük se lir? Denize atılan bir taşın oluşturduğu dalganın arıçapı 4 m/sn hızla büüor. Dalganın arıçapı metre iken, dalganın sınırladığı alan hangi hızla büür? 97

22 ALIŞTIRMALAR. f() = + ise li mi ti nin sonu cu ne dir? f ( + h) f ( ) lim h h" 7. f() = ( + ).( + ) ise f () kaçtır? ft ( + h) ft ( ). f(t) = ise lim t h ne dir? h" li mi ti nin so nu cu 8. f() = ( + )( + )( + )... ( + ) olduğuna göre, f () kaçtır?. f() = 4 + ise df( ) d in eşiti ne dir? 9. f() =.( + )( + ) olduğuna göre, f () kaçtır? 4. d ( ) ifadesinin eşiti ne dir? d. f() = ise f () nedir? 5. f() = ise f () değeri kaçtır?. f() = + ise f () kaçtır? 6. f() = ( + ).( + ) ise f () nedir? a +. f() = + ve f ( ) = 9 ise a kaçtır? 98

23 . f() = ( + ) ise f () kaçtır? 9. f( ) = ise f (5) kaçtır? 4. f() = ( + + ) ise f ( ) kaçtır?. f( + ) + g( + ) = + ve f () = 6 ise g (4) kaçtır? 5. f() = ( + ).( 4 ) ise f () kaçtır?. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a. f() = 6. f() = +, g() = + ise (fog) () nedir? b. f() = c. f() = d. f() = + 7. f() = +, g() = 4 + ise (fog) () kaçtır? e. f() = + 4 f. f() = + + ise (gof) () kaç f() = + ve g() = tır?. = t d + ve = t + ise d nedir? 99

24 . = u u ve = u d + u ise d nedir? 9. Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz. a. f() =.sin 4. = t + t ve = t + t ise b. f() =.cos d d t= ifadesinin eşiti nedir? c. f() =.sin d. f() = cos( + ) 5. = f() olmak üzere, = bağıntısının türevini bulunuz. e. f() = tan 4 r f. f() =.cot 6. = f() olmak üzere, + + = bağıntısının türevinin (, ) noktasındaki değeri nedir? r g. f() = cosb sin l h. f() = sin ı. f() = cos 7. f() = olduğuna göre (f ) () kaçtır? i. f() = sin.cos j. f() = + sin cos 8. f: [, ) [, ), f() = 4 + fonksionunun tersinin türevi nedir? k. f() = tan + cot

25 . Aşağıdaki fonksionların türevlerini bulunuz.. f() = sin ise f (π) nedir? a. f() = arcsin4 b. f() = arccos. f() = 5 ++ ise f () kaçtır? c. f() =.arctan 4. f() = e cosπ ise flc m nedir? d. f() =.arccot e. f() = arccos(sin) 5. f() = e.cos ise f () nedir? f. f() = arctan(sin) g. f() = arccot(cos) 6. f() = e (). ise f () nedir? h. f() = arcsin( + ). f() = 5. ise f () nedir? 7. f() = log 5 ( 4 + ) ise f () nedir?

26 8. f() = ln ise f () nedir? 44. f() = cos ise d d f( ) nedir? 9. f() = ln + + ise f () nedir? 45. f() =.sin ise d 4 d f( ) 4 nedir? 4. f() = ln(arctan) ise f () nedir? 46. f() = e 4 ise d 6 d f( ) 6 nedir? 4. f() = e 4ln ise df( ) d nedir? 47. P() = + a + b + c polinomu ( + ) ile tam bölünebiliorsa a + b + c toplamı kaçtır? 4. f() = ln( + ) ise (f ) () kaçtır? 48. Bir cismin konumunun zamanla değişimi MKS birim sistemde s(t) = t + t + 4 şeklindedir. a. Cismin. saniedeki hızı kaç m/sn dir? b. Cismin 4. saniedeki ivmesi kaç m/s dir? 4. f() = ln ise f (e) nedir? c. Cismin. sanie de ha re ke te baş la dı ğı nok ta a olan uzak lı ğı kaç m dir?

27 TÜREVİN GEOMETRİK YORUMU ÖRNEK 76 f() = e eğ ri si ne üze rin de ki = ap sis li nok- A te et = f() ta sın dan çizilen teğetin ve normalin denklemlerini bulunuz. α normal Denklemi = f() olan eğrie apsisi olan üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimi m = f ( ) dır. Teğet ve normal birbirlerine dik olduğundan eğimler çarpımı dir. m t.m n = m n = fl ( ) dır. Teğetin denklemi: = f ( )( ) Normalin denklemi: = ÖRNEK 75 ( fl ( ) ) f() = + eğri si ne üze rin de ki = ap sis li nokta sın dan çi zi len te ğe tin ve nor ma lin denk lem le ri ni bu lu nuz. ÖRNEK 77 6 A = f() 4 Şekilde, = f() fonksionuna apsisi olan A noktasından çizilen teğetinin koordinat eksenlerini kestiği noktalar verilmiştir. Buna göre, f () kaçtır?

28 ÖRNEK 78 f() = ln eğrisinin orijinden geçen teğetinin denklemi nedir? ÖRNEK 8 f( + ) = ol mak üze re, f() fonk sio nu nun = ap sis li nok ta sın dan ge çen te ğe ti nin denk le mi ne dir? ÖRNEK 8 f() = ln fonksionunun ek se ni ne pa ra lel olan te ğe ti nin değ me nok ta sı ne dir? ÖRNEK 79 f() = parabolünün I. açıorta doğrusuna en akın noktasının apsisi kaçtır? 4

29 ÖRNEK 8 f() = + eğrisinin hangi noktalarından çi zi len te ğet le ri = doğ ru su na pa ra lel dir? ÖRNEK 84 f() = + a pa ra bo lü ne = ap sis li nok tasın dan çi zi len te ğe tin ek se ni ile po zi tif ön de ap tı ğı açı 5 ol du ğu na gö re, a kaç tır? ÖRNEK 8 f() = + parabo lü ne ori jin den çi zi len te ğet le rin eğim le ri ni bu lu nuz. ÖRNEK 85 f() B A(, 4) = f() fonk si o nu nun A(, 4) nok ta sın dan çi zi len te ğe ti ek se ni ni B(, ) nok ta sın da ke si or. Bu na gö re, g() = [f()] + fonk si o nu nun üze rinde ki = ap sis li nok ta sın dan çi zi len te ğe tin eği mi kaç tır? 5

30 ALIŞTIRMALAR. f() = + fonk si o nu nun ap si si = olan nok ta sın da ki teğetinin eğimi nedir? 7. f() = eğrisine ap si si = olan nok ta sın dan çi zi len normalin denklemi nedir?. f() = e + ln fonksionunun apsisi = olan noktasındaki teğetinin eğimi nedir? 8. f() = + eğrisine apsisi = olan nok tasın dan çi zi len te ğe tin denk le mi ne dir?. f() = sin + cos fonksionunun apsisi = 4 r olan noktasındaki teğetinin eğimi nedir? 9. f() = e e eğrisine apsisi = olan nok tasın dan çi zi len te ğe tin denk le mi ne dir? 4. f() = fonksionunun A(, ) nok ta sın dan ge çen normalinin eğimi nedir?. f() = 5 fonksionunun hangi noktasındaki teğeti = + doğrusuna paraleldir? 5. = t + 4 eğrisinin A(, ) noktasından = t + geçen normalinin eğimi nedir?. f() = + fonk si o nu nun han gi nok ta sında ki teğeti = + doğrusuna diktir? 6. f() = + parabolüne apsisi = olan noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?. f() = + b c eğ ri si A(, ) nok ta sın da ek se ni ne teğet ise (b, c) ikilisi nedir? 6

31 . f() = eğrisine O(, ) nok ta sın dan çi zilen te ğe tin denk le mi ne dir? 7. Şekilde verilenlere göre g() = ( + a).f() ve g () kaçtır? 4 = f() 4. f() = + eğrisine A(, ) noktasından çizilen teğetlerin denklemlerini bulunuz. 8. Şekilde verilenlere göre f g() = ( ) ise 4 A = f() g() in = apsisli noktasından geçen teğetinin 5. eğimi kaçtır? = f() A Şekilde verilenlere göre A(, ) ve g() = f().( 5) ise g () kaçtır? 9. f() = pa ra bo lü üzerindeki hangi nokta A(9, ) noktasına en akındır? 6. = f(). = pa ra bo lü ile = doğ ru su ara sın da ki en kısa uzaklık kaç birimdir? A 45 Şekilde verilenlere göre g() = +.f() ise g () kaçtır?. f() = + fonksionunun grafiğine apsisi = olan nok ta sın dan çi zi len te ğe tin gra fi ği kesti ği nok ta nedir? 7

32 ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR ÖRNEK 86 f( ) f( ) f( ) f( ) Aşağıdaki fonksionla rın ar tan, aza lan ve a sa bit ol duk la rı nı gös te ri niz. f() = f() = 5 a b a b f: (a, b) R olmak üzere,, (a, b) için < f( ) < f( ) oluorsa f() = f() = 4 + f fonksionu (a, b) de artandır. f( ) f( ) f( ) f( ) a b a b f: (a, b) R olmak üzere,, (a, b) için < f( ) > f( ) oluorsa f fonksionu (a, b) de azalandır. ÖRNEK 87 f() = fonksionu nun ar tan ve aza lan ol duğu ara lık la rı bu lu nuz. θ a b a b θ f fonksio nu (a, b) ara lı ğın da ar tan ise bu ara lı ğın her nok ta sın da ki te ğe tin eği mi po zi tif tir (θ dar açı), aza lan ise teğetin eğimi negatiftir. (θ ge niş açı dır.) f: (a, b) R, = f() fonksionu türevli olsun. (a, b) için; f () > = f() artan fonksiondur. f () < = f() azalan fonksiondur. f () = = f() sabit fonksiondur. 8

33 ÖRNEK 88 ÖRNEK 9 f() = + 5 fonksionu nun azalan ol duğu ara lık nedir? = f () 4 5 Yukarıda bi rin ci tü re vi nin gra fi ği ve ri len = f() fonk si o nu nun ar tan ve aza lan ol du ğu ara lık la rı nı bu lu nuz. ÖRNEK = f() Yukarıda grafiği verilen = f() fonksionu nun birinci türevinin işaret incelemesini apınız. ÖRNEK 9 f() = a + + fonksionu nun daima azalan olabilmesi için a hangi aralıkta değer almalıdır? R için f () < olmalıdır. 9

34 ÖRNEK 9 < < ol mak üze re, f() bu ara lık ta po zi tif de ğer li ve ar tan bir fonk si on ise aşa ğı da ki fonk sion la rın anı aralıkta artan vea azalan olduklarını tespit ediniz. I. f () II. f() ÖRNEK 94 f() = * +,, > fonksionu ile türevinin grafiklerini çiziniz. III..f() ÖRNEK 9 a + a f: R { } R, f() = fonk si o nu nun da ima artan olması için a hangi aralıkta değer almalıdır?

35 YEREL EKSTREMUM NOKTALARI f: A R, A R, u A ve v A olsun. u (p, q) ve (p, q) için f(u) f() ise f fonk si o nu f(v) u nok ta sın da bir e rel mi ni mu ma sa hip tir de nir. v (m, n) ve (m, n) için f(v) f() ise f fonk si o nu v nok ta sın da bir e rel maksimu ma sa hip tir de nir. f(u) a p u q m v n b = f() fonk si o nu nun e rel mak si mum de ğer le rin den en büüğüne bu fonksionun mutlak maksimum değeri, erel minimum değerlerinden en küçüğüne de bu fonksionun mutlak minimum değeri denir. Bir fonksionun tü re vi nin sı fır ol du ğu nok ta lar ile tü re vi nin ol ma dı ğı noktalara kritik noktalar denir. Yandaki şekilde bir f fonksi o nu- 7 6 B D G nun [, 6 ] ara lı ğın da ki gra fi ği gö rül mek te dir. 4 K C E F A (, 6) ara lı ğın da f() in ala bi le ce ği en bü ük de ğer 6 dır. B nok ta sı e rel mak si mum nok ta sı dır. (4, 8) ara lı ğın da f() in ala bi le ce ği en kü çük de ğer tür. C nok ta sı e rel mi ni mum nok ta sı dır. (6, ) ara lı ğın da f() in ala bi le ce ği en bü ük de ğer 7 dir. D nok ta sı e rel mak si mum nok ta sı dır. (8, ) ara lı ğın da f() in ala bi le ce ği en bü ük ve a en kü çük de ğer ok tur. (, 4) ara lı ğın da f() in ala bi le ce ği en kü çük de ğer dir. F nok ta sı e rel mi ni mum nok ta sı dır. (, 6) ara lı ğın da f() in ala bi le ce ği en bü ük de ğer 6 dır. G nok ta sı e rel mak si mum nok ta sı dır. [, 6 ] ara lı ğın da f() in ala bi le ce ği en kü çük de ğer ol du ğun dan A nok ta sı mut lak mi ni mum nok ta sı dır. Yi ne bu ara lık ta f() in ala bi le ce ği en bü ük de ğer 7 ol du ğun dan D nok ta sı mut lak mak si mum nok ta sı dır. Yu ka rı da gra fi ği ve ri len = f() fonk si o nu nun bi rin ci tü re vi nin işa ret in ce le me si aşa ğı da a pıl mış tır. İn ce le i niz. f () f() erel maks. erel min. erel maks. erel min. erel maks. Türevli bir fonk si o nun bir nok ta da e rel ekst re mu ma (e rel mak si mum, e rel mi ni mum) sa hip ol ma sı için o nokta da fonk si o nun tü re vi nin işa ret de ğiş tir me si ge re kir.

36 ÖRNEK 95 f: R R, f() = + 4 fonk si o nu nun eğer var sa erel ekstremumlarını bulunuz. ÖRNEK 97 f: [, 4 ] R, f() = fonk si o nu nun en büük ve en küçük değerlerini bulunuz. ÖRNEK 96 f: R R, f() = ( ) + 4 fonk si o nu nun eğer varsa erel ekstremumlarını bulunuz. f () = ( ) f () = ( ) = = = (Çift kat kök) ÖRNEK 98 f: [, ] R, f() = fonk si o nu nun e rel ve mutlak ekstremumlarını bulunuz. f () = +, f () = + =

37 ÖRNEK 99 ÖRNEK f: [, e ] R, f() =.ln fonksionunun erel ekstremumlarını bulunuz. = f () 5 5 Yukarıda türevinin grafiği verilen f fonksionunun, in hangi değerleri için erel ekstremumu vardır? ÖRNEK r f: ;, E R, f() = sin + cos fonk si o nu nun e rel ekst re mum la rı nı bu lu nuz. f () = cos sin, f () = cos sin = ÖRNEK f() = + m + n fonk si o nu nun A(, 4) nokta sın da erel ekstremumu varsa m + n kaçtır? A noktası fonksionun üze rin de olup f( ) = 4 ol ma lı dır. A rı ca tü re vi nin köklerinden birisi olup f ( ) = dır. f() = + m + n f () = + m + f( ) = 4 ( ) + m( ) + ( ) n = 4 m n = 6 f ( ) = ( ) + m( ) + =

38 İkinci Türevden Yararlanarak Ekstremum Noktalarının Bulunması f: [a, b ] R fonksionunun birinci ve ikinci türevleri mevcut, [a, b ] için f ( ) = ve f ( ) ol sun. I. f ( ) < ise da erel maksimum vardır. II. f ( ) > ise da erel minimum vardır. ÖRNEK f() = fonk si o nu nun e rel ekst remum la rını bulunuz. ÖRNEK 5 ÖRNEK 4 f: (, π) R, f() = cos + cos fonksionunun erel ekstremumlarını bulunuz. f() = + n fonksionunun maksimum değeri 6 ise n kaçtır? 4

39 BİR FONKSİYONUN KONVEKSLİĞİ, KONKAVLIĞI ve DÖNÜM NOKTASI f: [a, b ] R, = f() fonk si o nu sü rek li ve (a, b) ara lı ğın da I. ve II. türevi alınabilen bir fonksion olsun. R için; I. f () > ise f() fonksi o nu nun eğ ri lik ö nü u ka rı doğ ru dur. Eğ ri, (a, b) ara lı ğı nın her nokta sın da ki te ğet le rin üs tün de ka lır. f > ÖRNEK 6 = f () a b 4 Bu aralıkta eğ ri kon veks (dış bü ke), (çu kur) adı nı alır. Yukarıda grafiği verilen = f () eğrisine göre, f( ) = ve her R için f() < ise = f() gra fi ği ni çi zi niz. II. f () < ise f() fonksi o nu nun eğ ri lik ö nü aşa ğı doğ ru dur. Eğ ri, (a, b) ara lı ğı nın her nok tasın da ki te ğet le rin al tın da ka lır. f < a b Bu aralıkta eğ ri kon kav (iç bü ke), (tümsek) adını alır. ÖRNEK 7 f() = fonk si o nu nun kon veks ve kon kav ol du ğu aralıkları bulunuz. 5

40 ÖRNEK 8 Buna göre, aşağıda verilen grafikleri inceleiniz. = f () = f() 4 6 < için f () > > için f () < = için f ( ) = Yukarıda türevinin grafiği verilen = f() fonksi o nunun eğrilik önünü inceleiniz. = f() < için f () < > için f () > = için f ( ) = = f() < için f () > > için f () < f ( ) olmad ndan f ( ) da oktur. Fakat (,f( )) dönüm noktas d r. DÖNÜM NOKTASI = f() fonk si o nu nun eğ ri lik ö nü nün de ğiş ti ği a ni, ikin ci tü re vi nin işa ret de ğiş tir di ği nok ta lar da fonk si on sü rek li ise bu nok ta la ra dö nüm (bü küm) nok ta la rı de nir. noktası f nin bir dönüm noktası ise f() = < için f () > > için f () < f () oktur. Fakat, (, ) dönüm noktas d r. f ( ) = vea f ( ) oktur. f ( ) = ol ma sı da bir dö nüm nok ta sı ol ması nı gerektirmez. f ( ) = denkleminde; a. tek katlı kök ise dönüm noktasıdır. b. çift katlı kök ise dönüm noktası değildir. f() = ( + ) 4 < için f () > > için f () > f ( ) = oldu u halde (, ) dönüm noktas de ildir. 6

41 ÖRNEK 9 f() = ap si si kaçtır? fonk si o nu nun dö nüm nok ta sı nın ÖRNEK f() = fonk si o nu nun dö nüm nok ta la rı nın apsislerini bu lu nuz. f () = 6 4 f () = 4 f () = 4 = ÖRNEK f() = 4 fonk si o nu nun dö nüm nok ta la rı nı bu lu nuz. ÖRNEK = f () 4 5 Yukarıda verilen = f() in ikinci türevinin grafiğine göre, f() in dönüm noktalarının apsislerini bulunuz. 7

42 ÖRNEK f() = + m + + fonk si o nu nun dö nüm nok tası nın ap si si = ise m kaç tır? ÖRNEK 5 f() = fonksionunun simetri merkezinin koordinatlarını bulunuz. f () = + m +, f () = 6 + m = dönüm noktasının apsisi ise f ( ) = 6.( ) + m = ÖRNEK 4 = f () ÖRNEK 6 f() = + a + b + c fonksionunun dönüm noktası Yukarıda verilen = f() in birinci türevinin grafiğine göre, f() in dönüm noktalarının apsislerini bulunuz. A(, ) ve erel ekstremum noktalarından birinin apsisi = ise (a, b, c) nedir? A(, ) dönüm noktası ise f( ) = ve f ( ) = dır. 8

43 ALIŞTIRMALAR 4. f() = fonksionunun artan olduğu aralık nedir? 7. = f() 4. f() = fonk si o nu nun aza lan ol du ğu aralık nedir? Yukarıda ve ri len = f() in gra fi ği ne gö re, aşağı da ki ler den han gi le ri da ima doğ ru dur? I. f ( 4) = II. f ( ) > III. f () < IV. f () = V. f () <. Aşağıdaki fonksionlardan hangileri daima artandır? I. f() = II. f() = III. f() = + IV. f() = + V. f() = VI. f() = + VII. f() = 4 + VIII. f() = ( + ) 5 8. f: ( 4, 4) R ol mak üze re, f() fonk si o nu po zi tif değerli ve azalan bir fonksion ise aşa ğıda ki ler den han gi si da ima doğ ru dur? I. f( ) > f( ) II. f ( ) < f ( ) III. f() > f() IV. f () < f () 4. f() = e 6+ fonksionu hangi ara lık ta ar tan dır? V. f () < f() 5. = f() fonksi o nu < < ara lı ğın da ne ga tif de ğer li ve ar tan bir fonk si on ise aşa ğı da ki ler den han gi le ri a nı ara lık ta da ima aza lan bir fonk sion dur? I. f( ) II. f () III. f () IV. f() V. f() VI. f ( ) a + a 6. f: R {} R, f() = fonksionunun daima artan olması için a hangi aralıkta değer almalıdır? 9. f: [, π ] R, f() = sin + cos fonksionunun azalan olduğu aralık nedir?. (, ) aralığında tanımlı = f() fonksionunun grafiği anda verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangileri anı aralıkta azalandır? I. f( ) II. f () III..f() IV. f () V. (f ()) VI..f () 9

44 = f() 4 = f () Yukarıda türevinin grafiği verilen = f() in erel f: [ 5, 5 ] [, 6 ] olmak üzere, ukarıda grafiği verilen = f() fonksionuna göre, aşağıdakileri bulunuz. ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? a. f() in e rel mak si mum de ğer le ri nin top la mı kaç tır? b. f() in mut lak mak si mum de ğe ri kaç tır? c. f() in e rel mi ni mum de ğer le ri nin top la mı kaç tır? 5. f() = + fonksionunun, a. Yerel maksimum noktasının apsisi kaçtır? b. Yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?. d. f() in mutlak minimum değeri kaçtır? 6. f() = 9 + fonksionunun, a. Yerel maksimum değeri kaçtır? b. Yerel minimum değeri kaçtır? = f() 4 Yukarıda grafiği verilen = f() fonk si o nu nun erel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır? 7. f() = + a + b fonk si o nu nun A(, ) nok tasın da erel minimumu varsa (a, b) ikilisi nedir?. f() = a + b fonksionunun = ve = apsisli noktalarında erel ekstremumu varsa (a, b) ikilisi nedir? 8. f() = c fonksionunun erel maksimum değeri 6 ise c kaçtır?

45 9. f() = c fonksionunun erel minimum değeri 4 ise c kaçtır? 6. f() = d eğ ri si nin dö nüm nok ta sının ordinatı 6 ise d kaçtır?. f() = 7 fonksionunun erel minimum noktası nedir? 7. f() = 4 6 fonk si o nu nun kon kav ol du ğu aralık ne dir?. f() = + b + + fonk si o nu nun e rel ekstre mum noktası olmadığına göre b hangi aralıkta değer alır? 8. f() = fonksionunun grafiğinin dış büke (konveks) olduğu aralık nedir?. f: [, ] R, f() = + + fonk si o nu nun ala bi le ce ği en küçük değer kaçtır? 9. f() = + a + (a + ) fonk si o nu nun dönüm (bü küm) nok ta sı nın ap si si ise or di na tı kaç tır?. f (). f: [, ] R, f() = fonk si o nu nun görüntü kümesi nedir? 4 Yukarıda verilen f () grafi ği ne gö re, aşa ğı da kiler den han gi le ri an lış tır? 4. Türevi f () = ( )..( + ).( ).( ) 4 olan = f() fonk si o nu nun e rel mi ni mum değe ri ni aldığı noktanın apsisi kaçtır? I. f ( ) < II. f ( ).f ( ) < III. (, ) aralığında f artandır. IV. Apsisi = olan nok ta da f fonk si o nu nun dönüm noktası vardır. 5. f() = 6 + fonk si o nu nun dö nüm nok tası nın apsisi kaçtır? V. Apsisi = olan nok ta da f fonk si o nu nun erel minimumu vardır.

46 MAKSİMUM VE MİNİMUM PROBLEMLERİ Maksimum ve minimum problemlerinde bir çokluğun alabileceği en büük (mutlak maksimum) değer a da en küçük (mutlak minimum) değer bulunmak istenir. Bu tür problemleri çözmek için; ÖRNEK 9 Farkları olan saıların, çarpımları en az (mi nimum) kaç ola bi lir? Maksimum a da minimum olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim v.s.) önce tek değişkene bağlı bir fonksion olarak azılır. Yerel ekstremum değerlerini bulmak için, azılan fonksionun türevinden ararlanılır. ÖRNEK 7 Toplamları olan iki saının çarpımı en çok kaç olur? ÖRNEK 8 Çevresi cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç cm olabilir? ÖRNEK ABCD dikdörtgeninin üç kenar uzunluğunun toplamı 6 cm ise alanı en çok kaç cm olabilir?

47 ÖRNEK ÖRNEK Yarıçapının uzun lu ğu 6 cm olan bir kü re içi ne çi zi lebi le cek en büük hacimli silindirin hacmi kaç cm tür? A O B Şekildeki çerek çemberin denklemi + = 4 olup, A noktası çember üzerindedir. [AB] [OB] olmak üzere, AOB üçgeninin alanı en çok kaç br olabilir? ÖRNEK f() = 4 fonksionunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

48 ÖRNEK 4 f() = + parabolü üzerindeki hangi noktanın koordinatları toplamı en büüktür? A noktasının ÖRNEK 6 B köşesi = 4 doğrusu üzerinde olan OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç br olabilir? C O A B = 4 ÖRNEK 5 Yarıçapının uzun lu ğu cm olan bir çem ber içi ne çi zi lebi le cek en büük alanlı dikdörtgenin alanı kaç cm dir? ÖRNEK 7 Yarıçapının uzun lu ğu cm olan bir kü re içi ne er leşti ri len dik ko ni ler den hac mi en bü ük ola nı nın ük sekli ği kaç cm dir? 4

49 ÖRNEK 8 ÖRNEK Şekildeki OABC dikdörtgeninin B köşesi = C B C B parabolü üzerindedir. Analitik düzlemin I. bölgesinde şekildeki gibi çizilen OABC O A = O A dikdörtgenlerinden alanı en büük olanın alanı kaç br dir? Yukarıdaki şekilde, O merkezli ve cm arıçaplı çemberin içine çizilen OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm olabilir? ÖRNEK 9 = 4 eğrisinin orijine en a kın nok ta sı P ise P nin ko or di na tla rı ne dir? P = 4 P nin apsisi ise O 5

50 ÖRNEK ÖRNEK Alanı 48 cm olan dik dört gen bi çi min de ki bir kar tondan, üs tü ka pa lı ka re priz ma şek lin de bir ku tu a pı lırsa bu kutunun hacmi en çok kaç cm olur? B A(4, ) O C Yukarıdaki koordinat düzleminde verilenlere göre, BC nin en küçük değeri kaç br dir? 6

51 Maksimum ve Minimum Problemleri İçin Notlar Toplamları sabit iki saının çarpımının maksimum olması için saılar eşit olmalıdır. Örneğin; + = ise. nin en büük değeri = = 6 için. = 6.6 = 6 dır. Türev Bir daire içi ne çi zi len dik dört gen ler den ala nı maksi mum ola nı ka re dir. Örneğin; arıçapı cm olan dairenin içine çizilen dikdörtgenin alanının en büük olması için, ABCD kare olmalıdır. D C O A B Çarpımları sabit iki saının toplamının minimum olması için saılar eşit olmalıdır. AO = OC = AB = BC = A(ABCD) = ( ) = 8 cm dir. Örneğin;. = 5 ise + nin en küçük değeri = = 5 için + = = dur. Tabanları anı ve çevreleri sabit olan üçgenlerden alanı mak si mum olanı ikizkenar üçgendir. Örneğin; ABC üçgeninde BC = 6 cm ve Çevresi sabit olan çokgenler içinde alanı maksimum olanı düzgün çokgendir. Örneğin; çevresi cm olan üçgenlerden alanı en büük olanı eşkenar üçgendir. a. Maksimum alan = = = 4 cm Örneğin; çevresi cm olan dörtgenlerden alanı en büük olanı karedir. Maksimum alan = a = = 9 cm Çevre(ABC) = 6 cm ise ala nın en bü ük olması için AB = AC = 5 cm dir. [AH ] [BC ] ise AH = 4 cm dir. A(ABC) = 64. = cm B A H Tabanları anı ve alanları sabit olan üçgenlerden çevresi minimum olanı ikizkenar üçgendir. 6 C A Alanı sabit olan çokgenler içinde çevresi minimum olanı düzgün çokgendir. G F DE = BC Örneğin; alanı 5 cm olan dikdörtgen ler den çevre si en kü çük ola nı ka re dir. D a C a a B D H E C GD = AH Bir üçgen içi ne çi zi len dik dört gen ler den ala nı mak si mum ola nı nın ala nı üç ge nin ala nı nın a rısı na eşit olanıdır. A a B A(ABCD) = 5 a = 5 a = 5 Çevre(ABCD) = 4a = = cm dir. Hacimleri sabit olan dörtgen prizmalardan alanı mini mum olanı küptür. Hacmi sabit olan dik silindirlerden alanı minimum olanı çapı üksekliğine eşit olanıdır. 7

52 ALIŞTIRMALAR 5. Toplamları olan pozitif iki reel saının çarpımı en çok kaç olabilir? 6. O merkezli çerek & çemberde B DE OD = 4 cm ise E C B OABC dikdörtgeninin alanı en çok kaç cm. Çarpımları olan pozitif iki reel saının toplamı olabilir? O A D en az kaç olabilir? 7. Yarıçapı 6 cm olan çember içine çizilen D C ABCD dikdörtgeninin. Çevresi cm olan bir dikdörtgenin alanı en çok kaç cm olabilir? alanı en çok kaç cm olabilir? A B 4. Alanı 5 cm olan bir dikdörtgenin çevresi en az kaç cm olabilir? 8. Şekildeki OABC dikdörtgeninin B köşesi = + 8 doğrusu üzerindedir. Buna göre, dikdörtgenin alanı en çok kaç br dir? C O A B = O merkezli çerek çemberde & B AD OA = 6 cm ise OCB dik üçgeninin D C B 9. Şekildeki ABCD dikdörtgeninin A ve B köşeleri ekseni üzerinde, C ve D köşeleri ise sırala = + 8 ve = doğruları D O A = C B = + 8 alanı en çok kaç cm olabilir? O 6 A üzerindedir. ABCD dikdörtgenin alanının en büük olması için C noktasının apsisi kaç olmalıdır? 8

53 . Şekilde verilenlere Türev 5. Yarıçapı cm olan bir kürei içine alan en küçük hacimli dik koninin hacmi kaç cm tür? göre, analitik düzlemin. bölgesinde köşeleri ekseni = doğrusu ve = eğrisi üze- = D C O A B = rinde olan ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç br olabilir? 6. f() = parabolünün A(, ) noktasına en akın nok ta sı nın ko or di nat la rı ne dir?. Şekildeki ABCD dikdörtgeninin = 7. f() = + + pa ra bo lü nün = doğru su na en a kın nok ta sı nın apsisi ne dir? alanı en çok kaç br olabilir? D C O A B = 6 8. Yarıçapı cm olan küre içine erleştirilebilecek. Hipotenüs uzunluğu 4 cm olan şekildeki ABC dik üçgeninin A 4 en büük hacimli silindirin üksekliği kaç cm dir? alanı en çok kaç cm olabilir? B C 9. ABC üçgeninde DEFK dikdörtgen A [AH] [BC] BC = cm K F. Ana doğrusunun uzunluğu 6 cm olan dik koninin hacmi 6 6 AH = cm ise DEFK dikdörtgeninin B D alanı en çok kaç cm olabilir? H E C en çok kaç cm olabilir? 4. = 6 eğrisi üzerinde orijine en akın nok ta nın ap si si kaç tır?. Hacmi 54π cm olan dik si lin di rin ala nı nın en küçük değerini alması için tabanının arıçapı kaç cm olmalıdır? 9

54 GRAFİK ÇİZİMLERİ Bir fonksi o nun gra fi ği çi zi lir ken; fonk si o nun ba zı özel nok ta la rı nı (gra fi ğin ek sen le ri kes ti ği nok ta lar, ekst re mum nok ta la rı ve bü küm nok ta la rı) ve gra fi ğin ka rak te ri ni (ar tan a da aza lan ol ma sı, çu kur lu ğun ö nü, son su za uza na bi len ko lu nun ve a kol la rı nın bir doğ ru a da eğ ri e (asimp tot) te ğet ol ma sı) gi bi özel lik le ri bu lu na rak gra fik as lı na u gun bir bi çim de çi zi le bi lir. Düşe Asimptot = f() fonksionunun = a noktasındaki soldan a da sağdan li mit le rin den en az bi ri si a da ise = a doğ ru su na = f() fonk si o nu nun dü şe asimp to tu denir. Padanın kökleri, tek katlı kök ise kelebek durumu olur. ASİMPTOTLAR a a = f() fonk si o nu nun gra fi ği nin son su za gi den bir ko lu var sa, bu kol üze rin de ki her han gi bir A(, ) nok ta sı son su za doğ ru git tik çe bu A nok ta sı nın sa bit bir doğ ru a a da eğ ri e olan uzak lı ğı sı fı ra ak la şıor sa bu doğrua a da eğrie, eğrinin bu koluna ait asimptotu denir. = f() Padanın kökleri, çift katlı kök ise baca durumu olur. a a b = b a = a = f() = a düşe asimptot = b ata asimptot ÖRNEK = g() + f() = fonksionun düşe asimptotu nedir? = f() = a + b = f() = a + b eğik asimptot = g() eğri asimptot

55 ÖRNEK 4 + f() = bu lu nuz. fonksionunun dü şe asimp tot la rı nı Yata Asimptot = f() fonksionu için, lim f() = c vea " lim f() = c ise " = c doğrusuna, = f() fonksionunun a ta asimp to tu de nir. c c ÖRNEK 5 + f() = bu lu nuz. fonksionunun dü şe asimp tot la rı nı c c ÖRNEK 7 f() = + fonksionunun ata asimp totunu bu lunuz. ÖRNEK 6 f() = + + b + 9 olmaması için b ne olmalıdır? eğrisinin bir düşe asimptota sahip ÖRNEK 8 + f() = + bu lu nuz. fonksionunun ata asimp totlarını

56 Eğik ve Eğri Asimptot = f() eğrisi için, lim f() P() = vea " lim f() P() = " olacak şekilde bir P() polinomu var sa = P() eğ risi ne = f() eğ ri si nin bir eğ ri asimp to tu de nir. P() = a + b ise bu asimptota eğik asimptot denir. ÖRNEK f() = + fonksionunun eğik asimp to tu nedir? = P() = f() = P() = f() ÖRNEK 4 Rasonel fonk si on lar da, pa ın de re ce si, pa danın de re ce sin den bü ük ise eğik ve a eğ ri asimptot var dır. Bu asimp tot la rı bul mak için; fonk si onun pa ı, pa da sı na bö lü nür ve bö lüm po li no mu, f() in eğik a da eğ ri asimp to tu nun denk le mi dir. f() = fonksionunun asimptotlarının kesim + noktasını bulunuz. a > için = a + b + c eğrisinin eğik asimp to tu = a. b + doğrularıdır. a Fonksio nun gra fi ği, dü şe asimp tot la rı hiç bir zaman kesmez. Yata, eğik vea eğri asimptotları ise kesebilir. ÖRNEK 9 + f() = + fonksionunun eğik asimp totu nedir? ÖRNEK 4 + f() = + fonksionunun eğri asimp to tu nu bu lunuz.

57 ÖRNEK 4 f() = eğrisinin eğik asimp to tu nu bulunuz. I. Yol = f() eğrisinin = a + b biçiminde bir eğik asimptotu varsa, f ( ) a = lim, b = lim (f() a) vea " a = " lim " f ( ), b = lim (f() a) olur. " ÖRNEK 46 f() = + e.sin fonksionunun eğik asimptotunu (varsa) bulunuz. ÖRNEK 44 f() = ln( 6) eğrisinin düşe asimptotu nedir? ÖRNEK 45 eğrisinin düşe ve ata asimptotla- + f() = 4 rını bulunuz.

58 Grafik Çizimleri Bir fonksi o nun gra fi ği ni çiz mek için, aşa ğı da ki adım la rı sırasıla ugulamak kolalık sağlar. Tanım kümesi bulunur. Fonksion periodik ise periodu bulunur. Fonksion R de tanımlı ise Varsa asimptotları bulunur. lim f() li mi ti he sap la na rak uç noktaların durumu hakkında bilgi edinilir. "! Varsa fonk si o nun ek sen le ri kes ti ği nok ta la rı bu lu nur. Fonksionun bi rin ci tü re vi in ce le ne rek, var sa ekst re mum nok ta la rı bu lu nur. Gerekirse fonk si on la rın ikin ci tü re vi in ce le ne rek, dönüm noktaları ve çukurluk önü incelenir. Bu elde edilen veriler için değişim tablosu apılır ve bu tabloa göre grafik çizilir. ÖRNEK 47 f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 48 f() = ( ).( + ) fonksionunun grafiğini çiziniz. 4

59 ÖRNEK 49 ÖRNEK 5 f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. = f() 4 Yukarıda gra fi ği ve ri len III. de re ce den = f() fonksi o nu nun denklemi nedir? ÖRNEK 5 4 = f() Yukarıda gra fi ği ve ri len III. de re ce den = f() fonksi o nu nun denklemi nedir? 5

60 ÖRNEK 5 ÖRNEK 54 Yanda gra fi ği ve ri len III. de re ce den = f() fonk si o nu nun e rel mak si mum nok ta sı nın ap si si kaç tır? 6 + f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 5 = f() 4 Yukarıda gra fi ği ve ri len III. de re ce den = f() fonksi o nu nun dönüm noktasının apsisi kaçtır? f ( ) = ve f (4) = olduğundan f () = a.( + ).( 4) f () = a.( 8) biçimindedir. f () = a.( ), f () = = dir. O halde, f() in dönüm noktasının apsisi = dir. 6

61 a + b = c + d fonksionunun simetri merkezi, d asimptotların kesim noktası olan c, c a c m dir. f() = a + b + c + d fonksionunun simetri merkezi dönüm noktasıdır. ÖRNEK 57 f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 55 4 f() = fonk si o nu nun si met ri mer ke zi aşa ğıda ki ler den han gi si dir? + 6 ÖRNEK 56 f() = + m + n + 6 fonk si o nu nun si met ri merke zi A(, ) noktası olduğuna göre (m, n) nedir? 7

62 ÖRNEK 58 ÖRNEK 59 f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. + f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. 8

63 ÖRNEK 6 ÖRNEK 6 f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. 9

64 ÖRNEK 6 ÖRNEK 64 f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. f() = e + fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 6 f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. 4

65 ÖRNEK 65 + f() = lnc m fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 66 f() = fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 67 f() = + fonksionunun grafiğini çiziniz. f() = + = ( ) = 4

66 ÖRNEK 68 f() = 4 fonksionunun grafiğini çiziniz. ÖRNEK 69 f() = + 4 fonksionunun grafiğini çiziniz. 4 eşitsizliğinin çözüm aralığını bulalım. 4

67 ÖRNEK 7 sin f() = fonksionunun gra fi ği ni [, π ] + cos ara lı ğın da çi zi niz. + cos = cos = ÖRNEK 7 f() = cos sin ara lı ğın da çi zi niz. fonksionunun gra fi ği ni [, r ] 4

68 ALIŞTIRMALAR 6. Aşağıdaki fonksionların asimptotlarının kesim noktasını bulunuz. + a. f() = + 4. f() = fonksionunun eğri asimp to tu nedir? + + b. f() = f() = eğrisinin düşe asimptotunun + n + olmaması için n hangi aralıkta değer almalıdır? c. f() = + +. f() = + + fonksionunun asimptotlarının kesim noktası nedir? 6. f() = 4+ fonk si o nu nun eğik asimptot la rı nedir?. f() = a + + fonk si o nu nun asimp tot ları nın kesim noktası (, ) ise a + b b kaçtır? 7. f() = + + fonk si o nu nun eğik asimp tot la rı ne dir? 44

69 8. Aşağıda ki po li nom fonk si on la rı nın gra fik le ri ni çi zi niz. 9. a. f() = + 6 = f() Yukarıda grafiği verilen III. dereceden = f() fonksionunun denklemi nedir? b. f() = 9. = f() 4 Yukarıda grafi ği ve ri len III. de re ce den = f() fonk si o nu nun e rel mak si mum nok ta sı nın ap si si kaç tır? c. f() = ( ).( + ). = f() 4 d. f() = ( ).( + ) Yukarıda grafiği verilen III. dereceden = f() fonksionunun dönüm noktasının apsisi kaçtır? 45

70 . Aşağıdaki fonksionların grafiklerini çiziniz. a. f() = e. f() = b. f() = + f. f() = c. f() = + + g. f() = 4+ 4 d. f() = + + h. f() = 46

71 L HOSPİTAL KURALI f ve g fonk si on la rı [a, b ] de sü rek li ve (a, b) de tü rev li iki fonksion olsun. c (a, b) olmak üzere, lim f ( ) =, lim g ( ) = ve " c " c ( ) lim f l g ( ) " c l mevcutsa, ÖRNEK 74 lim " 6 limitinin değeri kaçtır? f( ) lim = lim g( ) " c " c l fl ( ) g ( ) L Hospital kuralı, olur. belirsizliğinde de ugulanabilir. Eğer fl ( ) lim = g ( ) " c l bvea l belirsizlik durumu devam ederse, belirsizlik durumu kalkıncaa kadar L Hospital kuralı art arda ugulanabilir. ÖRNEK 75 ÖRNEK 7 lim " limitinin değeri kaçtır? sin lim limitinin değeri kaçtır? cos " r ÖRNEK 7 lim " + sin sin limitinin değeri kaçtır? ÖRNEK 76 lim " e e ln limitinin değeri nedir? 47

72 ÖRNEK 77 f: R R her noktada türevli bir fonksion ve f () = 6 olduğuna göre, ÖRNEK 8. sin lim cos " limitinin değeri nedir? f( + h) f( h) lim h h" kaçtır? ÖRNEK 78 ln lim " r cosb l limitinin değeri nedir? ÖRNEK 8 lim ln ( + e ) " limitinin değeri nedir? ÖRNEK 79 lim tan " limitinin değeri nedir? ÖRNEK 8 lim " e sin limitinin değeri nedir? 48

73 . Belirsizliği g Bu belirsizlik f.g = eşitliği ardımıla f vea belirsizliğine dönüştürülerek L Hospital kuralı ile çözülür. ÖRNEK 85 lim c. sin m limitinin değeri nedir? " ÖRNEK 8 ln lim limitinin değeri nedir? " + cot ÖRNEK 84 lim e " + limitinin değeri nedir? ÖRNEK 86 lim c. ln m limitinin değeri nedir? " 49

74 ÖRNEK 87 lim ; c m. tan( r) E limitinin değeri nedir? " ÖRNEK 89 lim c m limitinin değeri nedir? sin ",, Belirsizlikleri Belirsizliği g f Bu belirsizlik f g = eşitliği vea çe şit li fg. dü zen lem e ler le vea belirsizliği ne dönüş - tü rü le rek L Hos pi tal kuralı ile çözülür. = [f()] g() bi çi min de ki ifa de le rin li mit le ri ni he saplar ken,, be lir siz lik leri ile karşılaşabiliriz. Bu durumda; = [f()] g() ln = ln[f() ] g() ln = g().ln[f() ] olup lim(ln) limiti daima. belirsizliğine sahiptir. Bu limit vea belirsizliği ne dö nüş tü rü le rek hesaplanır. lim(ln) = n lim = e n olur. ÖRNEK 88 lim c m limitinin değeri nedir? ln " ÖRNEK 9 lim " limitinin değeri nedir? 5

75 ÖRNEK 9 lim (cot) limitinin değeri nedir? " + ÖRNEK 9 lim " + c m limitinin değeri nedir? ÖRNEK 9 lim ( e + ) " limitinin değeri nedir? belirsizlik durumunda aşağıdaki formüllerden ararlanılabilir. lim " Örneğin, lim a b b + l = e a.b lim ( + a) " b = e a.b + c m = lim c+ m = e.4 = e " " 4 4 5

76 ALIŞTIRMALAR 7. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. a. lim " g. ( ) lim sin r " cos b. lim sin " h. e lim ln ( + ) " c. cos lim. sin " ı. lim " sin d. lim cos " r i. ln( cos ) lim " e. lim " + sin j. sin lim ln ( ) " + f. r cosb l lim ln( ) " k. lim " + arctan arcsin 5

77 . Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. a. lim " + a. lim e " b. + cos( r) lim ( ) " b. lim " + ln cos c. lim sin cos " r 4 c. lim + " sin 9 d. lim sin " d. lim : b r. cot l D " r e. lim " r r cos e. lim 6 ( + sin ). " r f. sin( r ) + lim " r cosb l f. lim 6 ( ). " g. ( ) lim tan r " + g. lim ; ( + ). log E " 5

78 4. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. f. lim ln " + a. lim ^ + h " g. lim (tan.ln) " + b. lim _ log 6 log i " + h. lim sin " + c. lim c m " 6 ı. lim c e " + m d. lim " c + m 4 i. lim c + sin m " e. lim ^ cos h " j. lim ( + ) cot " 54

79 TEST Türev Alma Kuralları. f() = ( + + ) ise f () kaçtır? A) 4 B) C) 8 D) 6 E) 5. d ( + ) türevinin sonucu nedir? dt A) B) C) D) E). f: R + R, f() = ise f ( ) f( ) lim ifadesinin değeri kaçtır? " A) B) C) D) 4 E) 5 6. f() =.sin5 + 4.cos ise f () aşa ğı da ki lerden han gi si dir? A).cos5 4.sin B).cos5 + 4.sin C) 5.sin5 8.cos D) 5.cos5 + 8.sin E) 5.cos5 8.sin. f() = hangisine eşittir? A) 6 D) olduğuna göre f (4) aşağıdakilerden B) 8 E) 4 C) 4 7. f() = log (+) ( + ) ise f () aşa ğı da ki ler den han gi si ne eşit tir? A) 5 ln 6 D) ln 8 B) ln 6 E) ln 4 5 C) ln 8 r 4. f() = ln, g() = sin ise (fog) b l aşa ğı daki ler den han gi si ne eşit tir? A) B) C) D) E) 8. f() = ln + 4 ise f () eşiti nedir? A) B) C) D) E) 59

80 9. f() = arcsin ise f (5) kaçtır? A) 5 B) D) E) 5 C). f() = ( + ). ise f () aşa ğı da ki ler den hangi si ne eşit tir? A) 5 B) C) 7 D) E) 4. f() = ln(sin 5) ise f b A) B) C) r l kaçtır? D) E) 4. f() = fonksionunun türevinin = için eşiti kaçtır? A) B) C) D) E). f() = sinbln ne dir? A) B) l olduğuna göre, f () nin de ğe ri C) D) E) 5. f() = olmak üzere, + f ( ) f( ) lim li mi ti nin eşiti kaçtır? " A) B) 4 5 C) D) 4 E). f() = olduğuna göre, eşi ti ne dir? A).ln D) ln B).ln df ( ) d E) ln C) ifa de si nin.ln 6. f() = cot r olduğuna göre, f ( ) nin de ğe ri ne dir? A) 4 r B) r C) r D) r E). A. B. B 4. B 5. D 6. E 7. B 8. D 9. B. A. B. C. C 4. C 5. D 6. B 6

81 TEST 4 Türev Alma Kuralları. f() = + ise f ( ) f( ) lim " aşağıdakilerden hangisidir? li mi ti nin eşiti sin 5. f() = ln + sin han gi si ne eşit tir? ise f () aşa ğı da ki ler den A) B) C) D) 4 E) 5 A) cos B) sin C) tan D) sec E) cosec. f() = + c + fonk si o nu nun han gi nokta sın da ki tü re vi dur? A) B) C) D) E) 4 6. = 4.cosθ, =.sinθ olmak üzere, r θ = d için in değeri nedir? d A) 4 B) C) D) E). f() = 5 5 ise f () aşa ğı da ki ler den hangi si ne eşit tir? A) 5 B) C) D) 5 E) 7. f() = ve g() = ol duğu na gö re, (fog) () ifadesinin değeri nedir? A) B) 9 C) 8 D) 7 E) 6 4. f() = ve g() = olmak üzere, f () g () eşitsizli ği nin çö züm kü me si aşa ğı daki ler den han gi si dir? A) (, ) B) [, ) C) (, ) D) [, ] E) [, ] {} 8. = t + t ve = lnt olmak üzere, d d türevinin t = için değeri kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 65

82 9. f() = r.cos ise f b l ifadesi nin de ğe ri aşa- ğı da ki ler den han gi si dir? r A) B) 4 D) 4 r E) r 4 C) r. f() =.e olduğuna göre, f (99) () tü re vi nin de ğe ri kaç tır? A).e B)! C)!.e D) E) e 4 +. f() = lnc m ise f () aşa ğı da ki ler den han- gi si ne eşit tir? A) B) C) D) E) + sin r 4. f() = lnc m olduğuna göre, f b l nin + cos de ğe ri ne dir? A) B) C) D) E) e. f() = e + ise f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) e B) e C) e D) e E) e 5. f() = ln(sin) e cos r ise f b l aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) B) C) D) E) aşağıdakiler den han-. f() = ln(sin) ise gi si ne eşit tir? df( ) d A) cos B) tan C) cot D) tan E) cot 6. f() = sin (cos) ise fl ( ) sin ifa de si nin eşi ti aşağı da ki ler den han gi si dir? A) sin(cos) B) sin(cos) C) sin(cos) D) sin(cos) E) sin(cos). C. C. E 4. E 5. D 6. A 7. C 8. A 9. E. B. A. C. A 4. B 5. E 6. D 66

83 TEST 5 Türevin Geometrik Yorumu. f() = + + fonksionunun = ap sis li noktasından geçen teğetin eğimi kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 8 E) 5. f() = fonksionunun azalan olduğu aralık nedir? A) (, 4) B) ( 4, ) C) (, 6) D) ( 4, 6) E) (6, ). f() = n + fonksionunun = apsisli noktasından ge çen te ğe ti + = doğru su na paralel ise n kaçtır? 5 A) B) C) D) E) 6. = doğ ru su nun = + n + m eğ ri si ne = ap sis li nok ta da te ğet ol ması için m kaç ol ma lı dır? A) 5 B) 4 C) D) E). r f() = sin(cos4) fonksionunun = 8 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) 4 E) 7. f() = + a + b + fonk si o nu nun dö nüm nok ta sı A(, ) nok ta sı ol du ğu na gö re, b kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) = 4 çemberine T(, ) noktasından çizilen teğetinin eğimi kaçtır? A) B) C) D) E) 8. f() = n fonksionunun erel minimum değeri 6 ise n kaçtır? A) B) C) D) 5 E) 9 67

84 9. = f (). f() = + m + n + 4 fonk si o nu nun = ap sis li dönüm noktasındaki teğetinin eğimi olduğuna göre, n kaçtır? A) B) C) D) E) Yukarıda tü re vi nin gra fi ği ve ri len = f() fonksi o nu nun e rel mi ni mum nok ta sı nın ap si si kaçtır? A) B) C) 4 D) 5 E) 6. f: [, 6 ] R, f() = 4 + fonk si onu nun erel minimum değeri kaçtır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 9. f() = fonksi o nu na A(a, b) nok tasın dan çi zi len te ğetin denk le mi = ol duğu na gö re a + b kaç tır? A) B) C) 4 D) 6 E) 9 4. olmak üzere, + 4 = + eğrisine = apsis li nok ta sından çi zi len te ğe ti nin eği mi kaç tır? A) B) C) D) E) 4 8. f() = fonksionunun dönüm noktası aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, 9) 5. + ( m) + + m = denkleminin kökleri ve dir. + toplamının en küçük olması için m kaç olmalıdır? A) B) C) D) E). C. B. A 4. E 5. D 6. A 7. C 8. E 9. E. D. B. C. A 4. D 5. E 68

85 TEST 8 Türevin Geometrik Yorumu. > olmak üzere, + = 4 çemberine üzerindeki = noktadan çizilen teğetin eğimi kaçtır? apsisli 5. f() = + m + n fonk si o nu nun gra fi ği, ap sisi olan nok ta da ek se ni ne te ğet ol du ğu na gö re, n kaç tır? A) B) C) D) E) A) 4 B) C) D) E). f( ) = + olmak üzere, f() in = ap sis li nok ta sın da ki te ğe ti nin eği mi kaç tır? A) B) 4 C) D) 4 E) 8 6. f() = + b + c parabolü A(, ) noktasında bir erel minimuma sahipse (b, c) ikilisi nedir? A) (, 4) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, 4). f() = + eğ ri si nin aşa ğı da ki nok ta la rı nın han gi sin den çi zi len te ğe ti = doğ ru su na pa ra lel dir? A) (4, 65) B) (, 8) C) (, 9) D) (, ) E) (, ) 7. f() = fonksionunun erel maksimum noktasının koordinatları nedir? A) (, ) B) (, 7) C) (, 4) D) (, 5) E) (, ) 4. = + parabolü üzerindeki, = doğrusuna en akın noktanın koordinatları toplamı kaçtır? A) B) C) D) 4 E) 5 8. f() = 5cos sin fonksionunun alabileceği en büük değer kaçtır? A) B) 5 C) 7 D) E) 7 7

86 9. d. f() = + b + c eğ ri si A(, ) nok ta sın da e rel mak simum de ğe ri ni al dı ğı na gö re c kaçtır? A) B) C) D) E) 45 f() Şekildeki = a + b + parabolünün = ap sis li noktasındaki teğeti ekseni ile pozitif ön de 45 lik açı ap tı ğı na gö re, a + b kaç tır? A) B) C) D) E). f() = ln eğrisinin başlangıç nok ta sın dan ge- çen teğetinin eğimi aşağıdakilerden hangisidir? A) B) C) D) e E) e e e e. f() = a + b c d fonk si o nu A(, ) nokta sın da e rel maksi mu mu ve B(, ) nok ta sında e rel mi ni mu mu ol du ğu na gö re, a + b + c + d kaç tır? A) B) C) D) 4 E) = f () Yukarıda verilen = f () fonk si o nu nun gra fi ğine gö re, aşa ğı da kilerden hangisi anlıştır?. f: R R, f() = + b + + fonksionunun erel ekstremum noktasının olmaması için b nin alabileceği kaç farklı tam saı değeri vardır? A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4 A) ( 5, ) nok ta sı f fonk si o nu nun dö nüm nokta sı dır. B) (, 4) nok ta sı f fonk si o nu nun dö nüm nokta sı dır. C) (, ) nok ta sı f fonk si o nu nun dö nüm nokta sı dır. D) ( 5, ) aralığında f fonk si o nu iç bükedir. E) (, ) aralığında f fonk si o nu dış bükedir.. B. E. D 4. C 5. A 6. A 7. E 8. D 9. C. D. B. B. A 4. C 74

87 TEST 9 Türevin Geometrik Yorumu. 5. f() = 4 + fonksi o nu nun = ap sis li nokta sın dan çi zi len nor ma li nin denk le mi aşa ğı da kiler den han gi si dir? 4 4 = f() A) + = B) + = C) = D) = E) + = Yukarıda grafiği verilen = f() fonk si o nu na gö re, f ( 4) + f (4) kaç tır? A) B) C) D) E). f() = + a + 4 eğ ri si nin = ap sis li nokta sın da ki te ğe tinin eğimi 6 ise a kaçtır? A) B) C) D) E) ( ), < 6. f() = * ln, fonksionunun dönüm noktası aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 4) B) (, ) C) (, ) D) (, ) E) (, ln4). f() = n + eğrisine üzerindeki = ve = ap sis li nok ta la rdan çizilen te ğet ler bir bi ri ne paralel ise n kaçtır? 5 A) B) C) D) E) 7. f() = fonksionuna dönüm noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır? A) 8 B) C) D) 6 E) 4. f() = eğri si nin = ap sis li nok ta sın dan çi zi len te ğe ti eğrii hangi noktasında keser? A) ( 4, 64) B) (, 7) C) (, 8) D) (, ) E) (, ) 8. f() = + b + 4 fonk si o nu da ima ar tan ise b nin ala bi le ce ği kaç fark lı tam sa ı de ğe ri var dır? A) B) C) D) 4 E) 5 75

88 9.. = f() = f () Şe kil de ve ri len = f() fonk si o nu na gö re,.f () eşit siz li ği ni sağ la an kaç fark lı tam sa ı sı var dır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Şe kil de ve ri len = f () türev fonksionunun grafiğine göre, f() fonksionunun erel maksimum değerini aldığı noktanın apsisi kaçtır? A) 5 B) C) D) E) 5. f() = a 6 + fonksionu R için azalan bir fonksion ise a nın değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir? A) (, 5) B) (, 4 ] C) (, ) D) ( 4, ) E) (, ). f() = 5 6 fonk si o nu üze rin de ko or dinat la rı top la mı en kü çük olan nok ta nın ap si si kaç tır? 5 A) B) C) D) E). = a b + fonk si o nu nun (, ) nok tasın da ki teğetinin eğimi ise a kaçtır? A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 4. f: (, 5) R, f() = 4 + fonksionunun alabileceği en büük ve en kü çük tam sa ı de ğer le ri nin top la mı kaç tır? A) B) 4 C) 5 D) 6 E) 7. B. A. D 4. C 5. B 6. C 7. E 8. C 9. D. B. E. E. C 4. D 76

89 TEST Türevin Geometrik Yorumu. Aşağıda ki fonk si on lar dan han gi si da ima artandır? A) f() = B) f() = C) f() = D) f() = ln E) f() = 5. f() = d fonk si o nu nun e rel mi ni mum değeri 8 olduğuna göre, d kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E). = f() 6. f() = + (m ) + 4 fonk si o nu nun dö nüm nok ta sın ın apsisi = ise ordinatı kaçtır? A) B) C) 4 D) 6 E) 8 Şekildeki = f() fonksionunun = apsisli noktasındaki teğetinin eksenleri kestiği noktalar verilmiştir. f ( ) g() = olduğuna göre, g ( ) kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 7. f() = + n + m + 5 fonksionunun dönüm noktası A(, 4) olduğuna göre, m kaçtır?. f() = 4 + fonksionunun = apsisli noktasından çizilen nor mal denk le mi aşa ğı da kiler den han gi si dir? A) B) C) D) 4 E) 5 A) 8 = B) 8 + = C) 8 = D) 4 = E) 8 = 4. f() = sin cos fonksionuna = 4 r apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır? A) 4 B) C) D) E) 8. f() = + b ve g() = a + pa ra bol le rinin = ap sis li nok ta la rın daki te ğet le ri ça kı şık ol du ğu na gö re, (a, b) iki li si ne dir? A) (4, ) B) (, ) C) (4, ) D) (, 4) E) (, ) 8

90 9. = f(). = f () Yukarıda ve ri len = f() fonk si o nu nun gra fi ğine gö re, aşa ğı da ki ler den han gi si an lış tır? A) f ( 5).f () > B) f ( ).f() < C) f ( ).f ( ) > D) f ( ).f () > E) f ().f () > Şekildeki grafik = f () türev fonksionuna aittir. Buna göre, f() için aşağıdakilerden hangisi anlıştır? A) = 5 te erel minimum vardır. B) = de erel maksimum vardır. C) = de dönüm noktası vardır. D) = te dönüm noktası vardır. E) = 5 te erel maksimum vardır.. f() = e eğrisinin başlangıç noktasından geçen teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) = B) = e. C) =. D) = e. e E) = e. e. f() = pa ra bo lü ile A(, ) nok ta sı ara sında ki en kısa uzaklık kaç birimdir? A) B) 5 C) 6 D) E) = eğrisine üzerindeki A(, ) noktasından çizilen teğetin denklemi nedir? A) = B) = 4 C) = 6 D) = 4 E) = a + 4a = denkleminin kökleri ve dir. Buna göre, a nın hangi de ğe ri için + top la mı en kü çük olur? A) 5 B) 4 C) D) E). E. A. C 4. D 5. B 6. E 7. A 8. D 9. D. B. B. E. B 4. D 8

91 TEST L Hospital Kuralı. ( 4) 64 lim + " ifadesinin değeri nedir? A) 64 B) 56 C) 5 D) 48 E) 4 n lim n 5 n " + n n limitinin değeri nedir? 5 A) B) C) D) E) 4. lim " A) B) limitinin değeri nedir? C) D) E) cos e 6. lim ifadesinin değeri nedir? cos " r A) B) C) D) E). lim 5 " A) B) ifadesinin değeri nedir? C) 5 D) E) + cos 6 7. lim limitinin değeri nedir? + sin " r 9 A) B) C) 4 D) E) 9 4. lim n" 64 A) n n 8 4 limitinin değeri nedir? B) C) D) E) 8. lim " ne dir? + sin sin A) B) C) ifa de si nin de ğe ri D) E) 8

92 9. f ( ) = olmak üzere, f( h) f( + h) lim ifa de si nin de ğe ri h h" ne dir? A) B) C) D) 6 E) 9 ". lim c. sin m ifadesinin değeri aşağıdakiler- den hangisidir? A) B) C) D) E). lim arctan arctan " + limitinin değeri nedir? 4. sin sin lim sin( ) " limitinin değeri nedir? A) B) C) 4 D) E) A) sin B) sin C) cos D) cos E) sin. lim " c + m limitinin değeri aşa ğı da ki ler den han gi si dir? A) B) C) e D) e E) e 5. lim ( sin ) tan limitinin değeri nedir? " + A) B) C) D) e E). lim b e + l ifadesinin değeri nedir? " A) B) C) D) E) e e r 6. lim. sec " r : b l D ifadesinin değeri nedir? r r A) B) C) D) E). D. C. A 4. E 5. D 6. B 7. C 8. D 9. E. C. E. A. D 4. B 5. C 6. A 84

93 TEST 6 4. f() = ve 4 g() =.f() olmak üzere, g () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 6 B) C) D) E) f() = * a + 4b,, < fonksionu R için türevli olduğuna göre, (a, b) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir? A) (, ) B) (, ) C) (, ) D) (4, ) E) (4, ). f() = ise f () aşa ğı da ki ler den hangi si ne eşit tir? A) B) 5 C) D) E) 6. f() = + b + c fonksionunun grafiği, apsisi olan noktada eksenine teğet olduğuna göre, c kaçtır? A) B) C) D) E) 4 7. Reel saılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonk si o nu için f() = f () = 6 ol du ğu na gö re, g() = f(.f()) ile tanımlanan g fonksionu için g () kaçtır? A) B) 6 C) D) 6 E) 7. f() = cosbln nedir? l olduğuna göre, f () nin değeri A) B) C) D) E) 8. = f () 5 4. f() = 4.ln ise (fof) (e) aşa ğı da ki ler den han gisi ne eşit tir? A) 6 e B) e 4 C) e D) 4e E) 6e Yukarıda ve ri len = f () tü rev fonk si o nu nun gra fi ği ne gö re, f fonk si o nu nun dö nüm nok ta ları nın apsisleri toplamı kaçtır? A) B) C) D) E) 4 89

94 9. Denklemi + = 7 olan eğ ri e, üze rin deki (, ) nok ta sın dan çi zi len nor ma lin ek se ni ni kes ti ği noktanın ordinatı kaçtır? A) 5 B) 4 C) D) E). lim tan e cos ifadesinin sonucu aşağıdakiler- " r den hangisidir? A) B) C) D) E) e 4. lim h" h lnc + h m limitinin eşiti nedir?. f() = sin fonksionunu maksimum apan en küçük pozitif açısının ölçüsü kaç derecedir? A) ln B) C) ln D) E) A) B) C) 9 D) 8 E) 7 5. f() = e cos fonksionunun = r ap sis li nok -. f() = e fonk si o nu nun ala bi le ce ği e rel mak si mum değeri kaçtır? ta sın dan geçen teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? r r A) = + B) = + + r r C) = + D) = + r E) = + + A) e 6 B) e 8 C) e 4 D) e 8 E) e 6. = 6 pa ra bo lü nün = doğ ru suna en akın noktasının ordinatı kaçtır? A) 6 B) 5 C) D) E) 6. Şekildeki ABCD dik dört ge ni nin C ve D kö şe le ri ve ri len doğru lar üze rin de, [AB ] D ke na rı ise ek se ni üzerindedir. Buna A göre, ABCD dikdörtgeninin alanı en çok kaç br olabilir? A) 4 B) C) D) C B E). E. D. C 4. B 5. A 6. C 7. E 8. C 9. A. C. E. A. D 4. D 5. E 6. C 9

95 TEST 7. f () = 4 olmak üzere, f( + h) f( h) lim h h" ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir? 5. = f() A) B) 4 C) 8 D) E) 6 Yukarıda grafiği verilen = f() fonksionuna göre, (fof )() ifadesinin değeri kaçtır? A) B) C) D) E) = _ b. = cos t ` olduğuna göre, t = z b a d nin z = için de ğe ri kaç tır? dz A) 6 B) C) D) E) 6. = + 4 parabolü üzerindeki, = doğrusuna en akın noktanın koordinatları toplamı kaçtır? A) 9 4 B) 5 C) 4 D) E) 4. f() = ln[(sin) cos r ] ise f b l aşağıdakilerden 6 hangisine eşittir? A) + ln D) + ln B) + ln E) C) + ln + ln 7. Reel saılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksionu için f( + ) = f() + f() + f () = 4 olduğuna göre, f () kaçtır? A) 4 B) 6 C) 8 D) E) 4. f() = log (+) ( + ) ise f () aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) ln 8 B) ln 4 D) ln4 E) ln8 C) ln 8. f : [a, b ] B, = f() fonk si o nu (a, b) ara lığın da artan ve = f() < ise aşağıdakilerden hangisi anı aralıkta azalandır? A) f ( ) B) f ( ) D) f () E) f() C) f() 9