İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN MATEMATİKSEL ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERİLERİ Editörler: Erhan Bingölbali Mehmet Fatih Özmantar 4. Baskı
TEEKKÜR Bu kitap bir yl süren titiz bir çalmann neticesinde ve birçok kiinin katklaryla ortaya çkmtr. Bunlar arasnda bölüm yazar arkadalarmza, bölüm yazmlarnda gösterdikleri yüksek performans, bu süreçte sergiledikleri profesyonel tutum ve dier bölümler için yaptklar hakemliklerden dolay öncelikle te- ekkür etmek isteriz. Alannda uzman ve profesyonel böylesi bir ekip ile çalmak bizim için büyük bir keyif oldu. Öte yandan kitapta yer alan birçok bölümü okuyarak çeitli tavsiye ve önemli katklarda bulunan deerli öretim üyesi arkadalarmz Yrd. Doç. Dr. Ali BOZKURT ve Yrd. Doç. Dr. Recep BNDAK a da yardmlarndan dolay teekkür ederiz. Ar. Gör. Ökke ESENDEMR e ise bölümlerin dizgiye hazrl srasnda salad yardmlardan dolay teekkür ederiz. Son olarak bu kitabn basmn gerçekletiren PEGEM AKADEM yaynevine de göstermi olduklar yakn ibirlii ve profesyonellikten dolay teekkür ederiz. Erhan BNGÖLBAL Mehmet Fatih ÖZMANTAR vii
ÖNSÖZ Örencilerin karlatklar matematiksel zorluklar ve sahip olduklar kavram yanlglar uzun bir süredir deiik ülkelerdeki matematik eitimcilerinin ilgi oda- n oluturmutur. Bu aratrmaclar örencilerin matematiksel zorluklarn belirleme, anlama, anlamlandrma ve sebeplerini ortaya koyma yönünde birçok çalma yapmlardr. Bununla birlikte, matematik öreniminde karlalan zorluklarn almas yönünde de önemli uralar verilmitir. Yaplan bu aratrmalarla deiik seviyelerdeki örencilerin matematiin birçok kavramna dair ne tür örenme güçlükleri ile karlatklar, sahip olduklar kavram yanlglarnn doasnn ne olduu ve bu yanlglarn almas için nelerin yaplabilecei ile ilgili kapsaml bir ngilizce literatür olumutur. Birçok ülkede matematik örenimi ve öretimi konusunda derin etkiler oluturan bu literatürün, dilimize kazandrlmasnn önemine olan inancmz bu kitap çalmasnn ortaya çkmasna yol açmtr. Bu kitap çalmas, daha önce hazrladmz Matematiksel Kavram Yanlglar ve Çözüm Önerileri adl kitap çalmasnn devam niteliindedir. Daha önceki çalma ortaöretim seviyesindeki kavramlar üzerine younlarken, bu çalmada ilköretim seviyesinde öretilen kavramlar ele alnmtr. Fakat bu kitap çalmas bir çeviri mantndan çok yaplan aratrmalarn bulgu ve sonuçlarnn incelenmesi ve sentezlenmesi sonucu ortaya çkmtr. lköretim seviyesinde öretilmekte olan matematik konular arasndan seçilen kavramlar hakknda yaplan çalmalar, kendi alanlarnda uzman ve tecrübeli aratrmaclar tarafndan titizlikle incelenmi ve bu kavramlara dair literatürde rapor edilen örenci zorluklar ve kavram yanlglar ortaya konulmutur. Bu kapsamda, ele alnan kavramlara dair örencilerin sergiledikleri alg biçimleri, bu alglarn niçin bir yanlg ya da zorluk oluturduu tartlm, söz konusu zorluklarn daha rahat anlalmas için örnekler sunulmu ve bu zorluklar ortaya çkaran nedenler irdelenmitir. Belirtilen zorluklarn ve kavram yanlglarnn almasna dönük her bölümde bir takm önerilere ayrca yer verilmitir. lköretimde Karlalan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri adl bu kitap çalmasyla Türkçe matematik eitimi literatürüne katkda bulunmak amaçlanmtr. Böylesi bir çalma ile matematik eitimcilerinin, halen hizmet vermekte olan matematik öretmenlerinin ve öretmen adaylarnn faydalanabilecei bir eser oluturarak, daha etkin bir matematik öretiminin gerçeklemesine katkda bulunmu olmay ümit etmekteyiz. Erhan BNGÖLBAL ve Mehmet Fatih ÖZMANTAR Eylül 2009, Gaziantep ix
KNC BASKI ÇN ÖNSÖZ lköretimde karlalan matematiksel zorluklar ve çözüm önerileri isimli kitap çalmamzn ikinci basmnda siz deerli okuyucularmzla yeniden bulumann mutluluunu yaamaktayz. lk basksnn bir yldan daha ksa bir sürede tükenerek, ikinci basksnn yaplmas böylesi bir kitaba olan ihtiyacn bir göstergesi olduu düüncesindeyiz. Özellikle ilköretim seviyesinde çeitli matematiksel kavramlarn örenilmesinde sklkla karlalan zorluklar konu edinen bu çalma, matematik eitimi alannda akademik çalma yapan ve konunun daha çok teorik boyutuyla ilgilenen aratrmaclara olduu kadar uygulamann içinde olan öretmenlerimize de faydal olmas amaçlanarak oluturulmutu. Bu yüzden de çalmada karlalan zorluklarn yan sra bu zorluklarn almas için çözüm önerileri de sunulmutu. Kitabn ilk basmndan sonra, hem deiik üniversitelerimizde görev yapan ve bu kitab lisans ve yüksek lisans seviyesinde derslerinde kullanan meslektalarmzdan ve hem de ilköretim seviyesinde öretim yapan snf ve matematik öretmenlerinden yorum ve dönütler bizlere ulamtr. Bu dönütler ise kitabmzn ortaya çk amacna hizmet edecek nitelikte bir çalma yapldna dair yorumlar içermektedir. Ülkemizde oldukça yeni ve hzla gelien bir çalma alan olan matematik eitimine böylesi bir eser ile katkda bulunmann sevincini tüm yazar arkadalarmzla birlikte yaamaktayz. Deerli okuyucularmza bize verdikleri destekler ve yapc yorumlarndan dolay teekkürü bir borç biliriz. Erhan Bingölbali ve Mehmet Fatih Özmantar Austos 2010 x
ÇNDEKLER Özgeçmiler... iii Teekkür... vii Önsöz... ix çindekiler... xi 1. Bölüm MATEMATKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLER VE ÇÖZÜM ARAYILARI (ss: 1/30) Giri...1 Kavram Yanlgs Nedir?...2 Kavram Yanlgsnn Türleri Söz Konusu Mudur?...6 Ar Genelleme...6 Ar Özelleme...9 Kavram Yanlglarnn Sebepleri Neler Olabilir?...10 Kavram Yanlglarnn Epistemolojik Nedenleri...11 Kavram Yanlglarnn Psikolojik Nedenleri...14 Kavram Yanlglarnn Pedagojik Nedenleri...18 Kavram Yanlglarn Amak Mümkün müdür?...20 Sonuç ve Deerlendirme...27 Teekkür...28 Kaynakça...28 2. Bölüm TOPLAMA VE ÇIKARMA KAVRAMLARININ ÖRETM VE ÖRENC GÜÇLÜKLER (ss: 31/61) Giri...31 Toplama ve Çkarma ile lgili Problem Türleri...33 Toplama ve Çkarma Problemlerini Çözme Stratejileri ve Geliimleri...36 Farkl Problem Türlerinde Karlalan Güçlükler...37 Çok Basamakl Saylarla Toplama ve Çkarma...39 Çok Basamakl Saylarda Toplama ve Çkarmaya Geçi...39 Çok Basamakl Saylarda Sembolik Toplama ve Çkarma...42 Sembolik Toplama ve Çkarma lemlerinde Örenci Hatalar ve Kavram Yanlglar...45 Örenci Kavram Yanlglar...45 Öretim Programlarnda Toplama ve Çkarma...50 Deerlendirme ve Sonuç...57 Kaynakça...59 xi
3. Bölüm ÖRENCLERN KESRLER KONUSUNDAK KAVRAM YANILGILARI (ss: 63/95) Giri...63 Yenilenen Müfredatta Kesirlerle lgili Kazanmlar...65 Kesirlerde Kavram Yanlglar ve Nedenleri...66 Kesirin Öretim Modelleri...78 Sonuçlar...92 Kaynakça...93 EK - Öretmenler çin Kesirler Konusunda nternetteki Ücretsiz Elektronik Programlar...95 4. Bölüm SAYILARDA BASAMAK DEER KAVRAMI VE ÖRENCLERN YAADII ZORLUKLAR (ss: 97/126) Giri...97 Basamak Deeri Kavram ve Ksa Tarihçesi...99 Basamak Deeri Kavramnn Örencilerde Geliimi ve Zorluklarn Olas Nedenleri...103 Basamak Deeriyle ilgili Karlalan Zorluklar, Hatalar ve Kavram Yanlglar...105 Basamak Deeri Kavramnn Çokluk Deerine ndirgenmesi...106 Rakamn Basamak ve Say Deerlerinin Ayrt Edilememesi...108 Basamaklar Arasndaki likiyi Anlama ile lgili Güçlükler...109 Sfr Bir 'Yer Tutucu' Olarak Kabul Etmede Karlalan Güçlükler...111 10 ile Çarpmayla lgili Güçlükler...112 Ondalk Yerler Arasndaki likileri Belirleme Güçlüü...113 Ondalk Saylarda Basamak Deeri ile lgili Güçlükler...114 Basamak Deeri Kavram ile lgili Karlalan Zorluklar Engellemek çin Öneriler...115 Gattegno Tablolar...119 Basamak Deeri (Gattegno) Kartlar...121 Dier Materyaller...121 Sonuç...122 Kaynakça...123 5. Bölüm ÖLÇME, TEMEL BLEENLER VE SIK KARILAILAN KAVRAM YANILGILARI (ss: 127/154) Giri...127 Deiik Anlamlaryla Ölçme...127 Ölçmenin Matematiksel Yaps...128 Farkl Nitelikler, Birbirleriyle Olan likileri ve Genel Yanlglar...130 Ölçme ile lgili Sk Karlalan Yanlglar...133 Alan ile lgili Genel Alglar ve Yanlglar...133 xii
Hacim ile lgili Genel Alglar ve Yanlglar...137 Uzunluk ile lgili Genel Alglar ve Yanlglar...141 Uzunluk Nitelii ve MEB lköretim 1-5 Matematik Programnda Ele Aln...144 Ölçmenin Yapsn Dikkate Alan Yaplandrmac Bir Ders Örnei Önerisi...147 Sonuç...150 Kaynakça...151 6. Bölüm NEGATF SAYILARA LKN ZORLUKLAR, KAVRAM YANILGILARI VE BU YANILGILARIN GDERLMESNE YÖNELK ÖNERLER (ss: 155/186) Giri...155 Negatif Say Nedir?...156 Negatif Saylarn Müfredattaki Yeri...157 Negatif Saylara likin Zorluklar ve Kavram Yanlglar...159 Negatif Saylarn Kavramlatrlmasna likin Zorluklar...159 Negatif Saylarda Toplama ve Çkarma lemlerine likin Zorluklar...160 Negatif Saylarda Çarpma ve Bölme lemlerine likin Zorluklar...163 Kavram Yanlglarnda Öretmen Bilgisinin Önemi...164 Çoklu Gösterim Modellerinin Kullanlmas...166 Negatif Saylar Anlaml Örenmeye Yönelik Yöntem ve Öneriler...168 Negatif Saylarn Anlamlandrlmas...168 Negatif Saylarda Toplama ve Çkarma lemlerinin Anlamlandrlmas...171 Toplama lemi...171 Çkarma lemi...172 Negatif Saylarda Çarpma ve Bölme lemlerinin Anlamlandrlmas...177 Sonuç...182 Kaynakça...183 7. Bölüm SMETR KAVRAMININ ÖRENM VE ÖRETMNDE KARILAILAN ZORLUKLARIN ANALTK BR YAKLAIMLA NCELENMES (ss: 187/215) Giri...187 Simetri Kavramnn Doas...190 Simetri Kavramnn lköretim Ders Programlarndaki Yeri...194 Simetri Kavramnn Öreniminde Karlalan Zorluklar...196 Simetri Kavramnn Örenimini Nasl Kolaylatrabiliriz...203 Sonuç ve Öneriler...211 Kaynakça...213 xiii
8. Bölüm OLASILIK KONUSU ÖRENCLERE NEDEN ZOR GELMEKTEDR? (ss: 217/239) Giri...217 Olaslklar Tahmin Etme ve Deerlendirme...218 Olas Durumlar Belirleme...222 Olaslkla lgili Temel Kavramlar Anlama ve Uygulama...223 Olaslk Çeitlerini ve Aralarndaki likiyi Anlama...226 Teknoloji Destekli Olaslk Öretimi...228 Sonuç...237 Kaynakça...238 9. Bölüm BRNC DERECEDEN TEK BLNMEYENL DENKLEMLER LE LGL KAVRAM YANILGILARI (ss: 241/262) Giri...241 Cebirsel denklem çözümü örenciler için anlaml bir etkinlik olabilir mi?...242 Kavram Yanlglar ve lgili Hatalarn Belirlenmesinin Faydalar...244 Denklem Çözümünde Eitlik Kavramnn Önemi ve Bununla lgili Kavram Yanlglar...248 Denklem Balamnda lemler Aras likiler...250 Denklemlerin Yaps ve Edeer Denklemler...251 Denklem Çözümü ve Getirdii Zorluklar...252 Deiken Kavramnn Denklem Kavram Üzerindeki Etkisi...255 Çözüm Önerileri...256 Tartma...258 Kaynakça...260 10. Bölüm ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL ÖRENMNDE KARILAILAN ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNERLER (ss: 263/285) Giri...263 Orantsal Düünebilme Yetenei...264 Oran ve Orant...265 Toplamsal ve Çarpmsal likilendirme Yapabilme Yetenei...266 Nitel Muhakame ve Nicel Muhakeme...268 Oran Kavramnn çerdii Nitel ve Nicel (Kantatif) Muhakeme Çeitleri...269 Nitel Muhakeme Çeitleri...269 Nicel Muhakeme Çeitleri...270 Dönüüm (Transformasyon)...272 Oran Kavramnn Oluturulmas Sürecinde Karlalabilecek Muhtemel Kavram Yanlglar..273 Toplamsal ve Çarpmsal likilendirmeyle lgili Örenci Yanlglar...273 xiv
Kovaryasyon ve Dönüüm ile lgili Örenci Yanlglar...274 Deimezlik Konusundaki Yanlglar...276 Oran Kavramnn Oluturulmasnda Karlalabilecek Muhtemel Örenme Zorluklar...277 Oran Konusunda Kavram Yanlglar ve Örenme Zorluklar Üzerine Çözüm Önerileri...281 Sonuç ve Deerlendirme...282 Kaynakça...283 11. Bölüm MATEMATKSEL PROBLEMLERN ÖRENM VE ÖRETM (ss: 287/312) Giri...287 Problem ve Problem Çözme Nedir?...290 Problem Türleri...291 Problem Çözme Sürecinde Takip Edilen Aamalar...294 Problem Çözme Stratejileri...296 Tahmin-Kontrol Stratejisi...296 Geriye Doru Çalma Stratejisi...297 Tümevarmc Düünme Stratejisi (Looking for Pattern)...299 Problem Çözme Konusunun Öretimi Nasl Yaplmaldr?...300 Üst Bilisel Yetenek ve Problem Çözme...305 Sonuç ve Öneriler...308 Kaynakça...310 12. Bölüm ETKNLK TASARIMI VE TEMEL TASARIM PRENSPLER (ss: 313/348) Giri...313 Etkinlik Nedir?...314 Etkinlik (Task) Türleri...317 Matematiksel objeleri snflandrma...317 Farkl gösterimlerin yorumlanmas...318 Matematiksel ifadeleri deerlendirmek...319 Örencinin kendi problemini oluturmas ve çözmesi...320 Çözüm ve Gerekçeleri Analiz Etme...321 Var olan problem durumlarndan genellemeler yapmak...321 Etkinlik Tasarm Prensipleri...321 Etkinliin Amac...323 Snf Yönetimi...330 Etkinliin Birden Fazla Balangç Noktasna Sahip Olmas...333 Kullanlacak Materyaller/Araçlar...335 Öretmen ve Örenci Rolleri...337 Örencilerin Ön Bilgileri...338 Örenci Zorluk ve Yanlglar...339 Ölçme Deerlendirme...340 xv
Uygulamada Dikkat Edilecek Baz Noktalar...341 Esneklik...341 Örencilerin Dikkatlerini Yönlendirme (shift of attention)...342 Alana Özgü Uygun Dil Gelitirme...344 Sonuç...344 Teekkür...345 Kaynakça...345 xvi
1. Bölüm MATEMATKSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLER VE ÇÖZÜM ARAYILARI 1 Erhan Bingölbali Mehmet Fatih Özmantar Bu bölümde matematiksel kavram yanlglar ve bu yanlglarn giderilebilmesine yönelik çözüm araylar üzerinde durulmaktadr. Bunun için öncelikle kavram yanlgs, hata ve zorluk terimlerinin ne anlama geldii ve bunlar arasnda ne tür bir ilikinin söz konusu olduu açklanmtr. Daha sonra kavram yanlglarnn türlerinden bahsedilmi ve bu türler matematiin deiik konularndan seçilen kavramlarla örneklendirilmitir. Ayrca kavram yanlglarn ortaya çkaran epistemolojik, psikolojik ve pedagojik sebepler incelenmitir. Matematiksel yanlg ve zorluklarn almas için öretim sürecinde neler yaplabilecei konusunda bir deerlendirme yaplarak, bu kapsamda örnek etkinlikler sunulmutur. Giri Örenciler matematii örenmede neden zorlanmaktadrlar? Örenciler matematik öreniminde neden kavram yanlgsna dümektedirler? Örenciler baz matematiksel hatalar neden sistematik bir ekilde yapmaktadrlar? Matematiksel zorluklarn almas ve kavram yanlglarnn engellenmesi için neler yaplabilir? Bu ve benzeri sorular özellikle son 40 yldr deiik ülkelerdeki matematik eitimcilerinin ilgisini çekmi ve birçok aratrmaya yön vermitir. 1 Bu çalma TÜBTAK tarafndan desteklenen bir proje sonucu olarak ortaya çkmtr (proje numaras: 108K330).
2 lköretimde Karlalan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri Matematik eitimcilerinin matematik öreniminde karlalan zorluklarla ilgili yukarda belirtilen sorular eksenli yaptklar aratrmalar incelendiinde, karmza birbirini tamamlayan ve ksmen de takip eden iki aratrma temas çkmaktadr. Bunlardan birincisi problemi belirleme ve anlamlandrma, ikincisi ise çözüm üretme temasdr. Matematik eitimi literatüründe kavram-eksenli yaplan ve örencilerin karlatklar zorluklarn, kavram yanlglarnn, hatalarn ve bunlarn nedenlerinin aratrld çalmalar (örnein kesirlerle alakal örenci zorluklar, kavram yanlglar, hatalar ve bunlarn nedenleri) problemi belirleme ve anlamlandrma temas çalmalarna örnek olarak gösterilebilir. Çözüm üretme temas çerçevesinde yer alan çalmalar ise örencilerin karlatklar zorluklarn almasna yönelik olarak nelerin yaplabilecei konusu üzerinde durmaktadrlar. Matematik öretiminde çoklu temsillerin kullanm (cebirsel, tablo, grafik), teknolojinin öretime entegre edilmesi, örenci zorluklar göz önünde bulundurularak etkinliklerin tasarlanmas, öretmen eitimi ve mesleki geliimine yönelik yaplan aratrmalar çözüm üretme temasna örnek gösterilebilecek çalmalardr. Matematik eitimi çalmalarnda ön plana çkan bu iki ana tema, örencilerin matematiksel zorluklarn, kavram yanlglarn ve hatalarn anlamlandrmay ve bunlar için çözüm olabilecek öneriler sunmay amaçlayan bu bölüm yazmnda rehber olarak kullanlacaktr. Bu kapsamda öncelikle matematiksel zorluk, kavram yanlgs ve hata kavramlar, kavram yanlgs ile ilikilendirilerek tantlacaktr. Daha sonra kavram yanlgs türleri ilenecektir. Ayrca örencilerin karlatklar zorluklarn ve kavram yanlglarnn nedenleri konusu ele alnacaktr. Son olarak karlalan zorluklarn almasna yönelik çözüm olabilecek öneriler üzerinde durulacaktr. Kavram Yanlgs Nedir? Matematik eitimi literatüründe matematik öreniminde karlalan zorluklar ifade etmek için birçok deiik terimin, çou zaman da birbirlerinin yerine, kullanld görülmektedir. Zorluk (difficulty), kavram yanlgs (misconception) ve hata (error) terimleri örencilerin matematik öreniminde yaadklar güçlüklerin ifade edilmesinde en sk kullanlanlar arasnda gelmektedir. Zorluk kapsaml bir kavram olup, örencilerin matematik örenimi ile ilgili yaadklar güçlükleri genel anlamda ifade etmek için kullanlan bir terimdir. Bu özelliinden dolay kavram yanlgs ve hatay da içeren bir kavramdr. Zorluk teriminin genel ve kapsayc bir ifade olarak kullanlmas kanaatimizce bu terimi örencilerin örenme güçlüklerini anlamlan-
Matematiksel Kavram Yanlglar: Sebepleri ve Çözüm Araylar 3 drmada ve çözümlemede yetersiz de klmaktadr. Zorluk teriminin bu özelliinden ötürü örencilerin karlatklar güçlükler daha çok kavram yanlgs terimi ekseninde incelenecektir. Zorluk ve hata terimlerinin anlalmasn da mümkün klacan düündüümüz bu inceleme, öncelikle kavram yanlgsnn ne olduunun açklanmasn gerekli klmaktadr. Mevcut literatüre bakldnda kavram yanlgsn (misconception) ifade etmek için birçok deiik terimin kullanld görülmektedir. Bunlar arasnda ön kavray (preconceptions), alternatif kavray (alternative conceptions), olgunlamam kavray (naive conceptions) terimleri örnek olarak verilebilir (Clement, 1982; Hewson ve Hewson, 1984; McCloskey, 1983; daha fazla detay için, bknz, Zembat, 2008a). Bu terimler yakndan incelendiinde iki önemli husus ön plana çkmaktadr. Birincisi bu terimler aslnda örtük de olsa uzman bilgisinden farkl olan veya bilimsel olarak kabul edilen bir kavraytan uzak olan kavraylar ifade etmek için kullanlmaktadr. Bu anlamda kavram yanlgs bir konuda uzmanlarn (expert) üzerinde hemfikir olduklar görüten uzak kalan alg ya da kavray (conception) olarak kullanlmaktadr (Zembat, 2008a, s.2). kincisi husus ise Hammer n (1996) da belirttii gibi kavray (conception) teriminin bu terimlerin hepsinin özünü ve esasn oluturmasdr. Her iki husus da aslnda kavram yanlgs teriminin anlalmasnda kavray teriminin önemli rolüne iaret etmektedir. Bu balamda Smith, disessa ve Roschelle (1993, s.119) kavray teriminin kavram yanlgsnn anlamlandrlmasndaki rolüne iaret etmi ve kavram yanlgsn sistematik bir ekilde hata üreten örenci kavray olarak tarif etmitir. Bu açdan, Zembat n da (2008b, s.42) belirttii gibi, kavram yanlgs basit hatadan çok sistemli bir ekilde insan hataya tevik eden alg biçimidir. Buradan da anlalmaktadr ki örencilerin sistematik olarak yaptklar hatalar sradan yaplan bir ilem hatasndan farkl olup, kendisini ortaya çkaran ve kontrol eden derin bir kavrayn, bir mana sisteminin (Nesher, 1987), bir bilisel yapnn (cognitive structure) (Oliver, 1989) ya da bir kavram yanlgsnn varlna iaret etmektedir. Baka bir deyile örencilerin yaptklar hatalar yüzeydeki görüntü olup, bu görüntünün olumasn kontrol eden ve olumasna kaynaklk eden bir kavram yanlgs söz konusudur (Nesher, 1987). Sistemli bir ekilde insan hataya tevik eden bir kavray biçimi olarak kabul ettiimiz kavram yanlgsnn ve ayrca hata ile olan ilikisinin daha iyi anlalmas için aadaki örnei yakndan inceleyelim. Ele alacamz örnek örencilerin skça kavram yanlgsna sahip olduu ve neticesinde de hatalar yaptklar, deiik ülkelerdeki birçok aratrmac tarafndan da ortaya konulan, ondalk saylara ilikindir (Nesher, 1987).
4 lköretimde Karlalan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri Ondalk saylarn büyüklüklerinin karlatrlmasnn aratrlmas amaçlanan bir çalmada 6., 7., 8., ve 9. snftaki örencilere aada sunulan (Tablo 1) ondalk saylarn hangisinin daha büyük olduu sorusu yöneltilmitir (Nesher ve Peled, 1984; Nesher, 1987). Aratrma neticesinde bu soruya birçok örencinin hatal cevap verdikleri ortaya çkmtr. Aada bu aratrmann ortaya çkard örenci hatalarnn bir ksmn temsil etme özelliine sahip olan iki örenci cevab kavram yanlgs ve hata ilikisi açsndan ele alnm ve bu hatalarn ortaya çkmasna kaynaklk eden örenci kavraylar yakndan incelenmitir. Durum 1 0.4 0.234 Durum 2 0.4 0.675 Tablo 1.1. Ondalk saylarn karlatrlmas Durum 1 ve Durum 2 de verilen ondalk saylarn hangisinin daha büyük olduu sorusunun yöneltildii örencilerden biri, Durum 1 de 0.234 ondalk saysnn 0.4 ondalk saysndan daha büyük, Durum 2 de ise 0.675 ondalk saysnn 0.4 ondalk saysndan daha büyük olduunu belirtmitir. Bu cevap Durum 1 için yanl (hatal) iken, Durum 2 için ise dorudur. Peki örencinin verdii cevaplarn altnda yatan neden ya da nedenler nelerdir? Ya da yukarda tanttmz kavramlardan faydalanacak olursak, örencinin verdii doru ve hatal cevaplara kaynaklk eden mana sistemi, bilisel yap veya kavram yanlgs nedir? Ayrca verilen cevaplara dayal olarak bu örencinin ne ölçüde ondalk saylarda sralamay bildiini söyleyebiliriz? Bu ve benzer sorulara cevaplar ancak ilgili örenci ile yaplacak mülakatlarla elde edilebilir ya da hakknda fikir sahibi olunabilir. Nitekim bu aratrmaclar da yaptklar aratrmann devamnda örenci ile verdii cevaplar üzerinde mülakatlar yapm ve bu mülakatlarda örencinin her iki durum için de u ekilde açklamalar yapt görülmütür: çok rakam içeren say daha büyüktür (ondalk saydaki noktadan sonra). Örenciye ondalk saylarn büyüklüklerini karlatrmada rehberlik eden bu kavray ya da prensip Durum 1 de yanl bir cevap vermesine yani hata yapmasna yol açarken, tam tersine Durum 2 de ise doru bir cevap sunmasna izin vermitir. Buradan da anlalmaktadr ki bu örenci ondalk saylarn karlatrlmasnda (ondalk saydaki noktadan sonra) çok rakam içeren say daha büyüktür ya da uzun saylar deerce daha büyüktür eklinde bir kavram yanlgsna sahiptir. Dolaysyla burada ortaya çkan sadece basit bir hata olmayp, o hatann olumasna kaynaklk eden ve o hatay sistematik bir hale getiren veya getirebilecek olan çok rakam içeren say daha büyüktür gibi bir kavram yanlgs söz konusudur. Ondalk saylarn büyüklüklerinin
Matematiksel Kavram Yanlglar: Sebepleri ve Çözüm Araylar 5 karlatrlmasna ilikin sahip olunan bu tür bir kavram yanlgs benzeri sorularda yine hata yapmaya sevk edecei öngörülebilir. Örnein bu kavram yanlgs 3.57 ondalk saysnn 3.7 ondalk saysndan daha büyük olduu yönünde hatal bir cevaba da neden olabilecektir. Nesher in (1987) çalmasna katlan bir baka örenci ise ilkinin aksine 0.4 ondalk saysnn hem 0.234 hem de 0.675 ondalk saysndan daha büyük olduunu belirtmitir. Bu cevap Durum 1 için doru iken, Durum 2 için yanl yani hataldr. Peki, burada verilen hatal cevabn arkasnda yatan kavram yanlgs acaba ne olabilir? Bu örenci ile verdii cevaplar üzerine yaplan mülakatlarda her iki durum için de u ekilde bir gerekçe sunulduu görülmütür: onda birler binde birlerden daha büyüktür ve bu yüzden de sadece onda birlere sahip olan az basamakl (ksa) say daha büyüktür. Baka bir deyile bu örenciye ondalk saylarn büyüklüklerinin karlatrlmasnda rehberlik eden kavray ya da prensip (ki biz buna ayn zamanda kavram yanlgs diyoruz) az rakam içeren say deerce daha büyüktür kavray olmutur. imdi ikinci örencinin yapt hatay, sahip olduu bu kavram yanlgs nda tekrar ele alalm. Mülakat sonuçlarnda bu örencinin ondalk saylarn karlatrlmasna ilikin olarak onda birler binde birlerden daha büyüktür ve bu yüzden de sadece onda birlere sahip olan az basamakl (ksa) say daha büyüktür ya da daha genel bir ifade ile az rakam içeren say deerce daha büyüktür eklinde bir kavram yanlgsna sahip olduu görülmektedir. Bu kavram yanlgs 0.4 ondalk saysnn 0.675 ondalk saysndan daha büyük olduu eklinde bir hataya yol açmtr. Çünkü bu örencinin sahip olduu kavram yanlgsna göre 0.4 ondalk saysnda, ondalk saydaki noktadan sonra sadece 4 says vardr ve bu 4 says ondalk saydaki onda birlerdir. Öte yandan 0.675 ondalk saysnda ondalk saydaki noktadan sonra 675 says vardr ve bu say ondalk saydaki binde birlerdir. Bu örencinin sahip olduu kavraya göre, ondalk saylarda onda birler, binde birlerden büyük olduu için (1/10>1/1000 ) 0.4 ondalk says da 0.675 ondalk saysndan daha büyük olmak zorundadr. Dolaysyla burada sergilenen sradan ve basit bir hata olmayp, bu hatann ortaya çkmasna kaynaklk eden bir kavram yanlgsnn varl söz konudur. Burada ayrca not etmekte fayda vardr ki örencilerin sahip olduu kavram yanlglar bazen doru sonuçlara ulamalarn da salayabilmektedir. Nitekim bu örencinin sahip olduu kavram yanlgs 0.4 ve 0.675 saylarnn karlatrlmasnda hata yapmasna neden olurken 0.4 ve 0.234 saylarnn karlatrlmasnda ise doru cevap vermesine neden olmutur. Sadece 0.4 ve 0.234 ondalk saylar ve benzerlerinin karlatrlmas üzerinden örencinin cevab deerlendirilseydi, ondalk saylarda sralama konusunun