www.mustaaagci.com, 005 ebir Notları Mustaa YĞI, agcimustaa@ahoo.com Notlara çemberin tanımıla gireim de siz de Ne alaka! dein Nedir çemberin tanımı? Yuvarlak geometrik şekil değil elbet. Düna uvarlak örneğin, ama düna çember değildir. Futbol topu da uvarlak ama utbol topu da çember değil. Çember matematikte şöle tanımlanır: Sabit bir noktaa eşit uzaklıkta ve onla anı düzlemde olan noktalar kümesi. Şimdi, bir düzlem ve o düzlem üzerinde bir noktala bir doğru düşünün. ma nokta doğrunun üstünde olmasın. Düzlemi bu saanın üzei gibi düşünürsek, aşağıda temsili bir resim bulacaksınız. Noktaı noktası, doğruu da d doğrusu olarak aldık. Şimdi öle,,, D, noktaları bulacağız ki; bu noktaların noktasına ve d doğrusuna uzaklıkları eşit olacak. öle dört noktaı ben bulup, aşağıdaki şekildeki gibi işaretledim. D ' ' ' D' İşte bu noktaların dördü değil, tamamı, adına parabol dediğimiz bir graik çizerler. undan sonra bu noktasına parabolün odak noktası, d doğrusuna da parabolün doğrultmanı dieceğiz. ma maalese matematiğin ve geometrinin şahikası sadığım konikler dersi, ÖSS sorularının kapsama alanından çıkartıldığından aşağıdaki gibi bir tanımla etineceğiz. İkinci dereceden onksionların graiklerine parabol denir. 1 Nedir, nee benzer acaba? u amaçla, en sade ikinci dereceden denklem olan = 1 u tanıma sormuşlar Neren anlış? die, Nerem doğru ki? demiş d d nin graiğini bir çizelim. Graiği çizebilmek için üzerinde birkaç nokta bilmemiz gerekior. nalitik geometri ve onksion dersinden de bilioruz ki, bir eğri bir noktadan geçiorsa, o nokta eğrinin denklemini sağlıordur. Tersi de mümkündü, bir nokta bir eğri denklemini sağlıorsa, o nokta o eğrinin graiği üzerindedir. u sebeple, = eşitliğini sağlaan birkaç tane (, ) noktası azıp, bunları koordinat düzleminde işaretleerek graiği oluşturmaa çalışacağız. Solda gördüğünüz üzere, (0, 0), (1, 1), ( 1, 1), (, ), (, ), (, ) ve (, ) noktaları işaretlendiğinde, az çok nee benzediği anlaşılıor. en daha kola 1 haal edebilin die koordinatlarını ukarda azmadığım birkaç noktaı daha işaretledim. ---1 1 Şimdi bu şekli mümkün olduğunca arıntısıla irdeleeceğiz. azı sorulara cevaplar araacağız. Örneğin: acaba her zaman böle çukur şeklinde midir? Ters dönmüş hali, ani tümsek halini alabilir mi? Sola vea sağa atık olabilir mi? Dikkat ederseniz ekseni parabolün simetri ekseni konumunda, parabol her zaman böle simetrik midir? eksenine her zaman teğet midir, kesebilir mi? Keserse, ne zaman keser, kesmezse ne zaman kesmez? eksenini kestiği er özel mi? Daha daha birçok sorua cevap araacağız, ne mutlu ki hiçbiri cevapsız kalmaacak aşlıoruz: ün eksenini kestiği noktalar. Eğer varsa o noktaa dielim. noktası ekseni üzerinde olduğundan koordinatları ( 1, 0) şeklinde olur. Nokta parabolün üstünde olduğundan denklemini sağlıor olmalı, ani erine 1 azdığımızda = 0 olmalı. halde bu 1, düpedüz denklemin kökü! nlaşılan o ki; bir parabol eksenini köklerinde kesior. Eğer iki arklı reel kökü varsa iki arklı erde, tek reel kökü varsa tek erde kesior. Hiç reel kökü oksa da hiçbir erde kesmior. Peki,
Mustaa YĞI bir denklemin reel kökünün olup olmadığını nerden anlıorduk? Diskriminantından n + n = halde m n = 1 = die n = <0 =0 h g >0 = a + b + c parabolü; > 0 ise eksenini iki arklı noktada keser (üst şekildeki h parabolü böledir), = 0 ise eksenini tek noktada keser, ani eksenine teğettir (üst şekildeki g parabolü böledir), < 0 ise eksenini kesmez (üst şekildeki parabolü böledir). Örnek. = + a + parabolü eksenine teğetse a kaçtır? Çözüm: ir parabol eksenine teğetse, denklemi bir tamkaredir, ani diskriminantı 0 dır. = a = 0 die a = 16. Dolaısıla a = ± olarak bulunur. Örnek. () = + m 1 parabolünün graiği anda verilmiştir. = olduğuna göre m kaç- tır? Çözüm: = bilgisinden kökün birinin diğerinden azla olduğunu ani kökler arkının olduğunu anlıoruz. Kökler toplamı ormülünden de kökler toplamı bulunduğundan 1 = 1 ve = 7 bulunur. Şimdi de kökler çarpımı ormülünden ardım isteeceğiz. 7 11 1. = = m 1 olduğundan m =. Örnek. = + (1 m) + n = (m + 1) + n + parabollerinin eksenini kestiği noktalar anı ise m n çarpımı kaçtır? Çözüm: ir parabolün eksenini kestiği noktalarının aslında kökleri olduğunu dealarca söledik. halde soruda bu iki parabolün de köklerinin anı olduğu anlatılmak istenior. Kökler toplamında giderek m i, kökler çarpımından giderek de n i bulacağız. m +1 (1 m) = die m =, Örnek. = m + m m parabolü eksenini iki arklı noktada kesiorsa m hangi aralıktadır? Çözüm: = m m ( m) = m + m = m (1 + m) > 0 1 olmalıdır. halde m >. ün eksenini kestiği nokta. Eğer varsa o noktaa dielim. noktası, ekseni üzerinde olduğundan koordinatları (0, 1 ) şeklindedir. Yine denklemi sağlaması gerektiğinden denklemde gördüğümüz erlere 0 azdığımızda = 1 olmalıdır. uradan anlaşılan; = a 0 + b 0 + c = 1 parabol eksenini, denkleminin sabit terimi olan c noktasında kesior. Örnek. = + 6 + m parabolünün eksenini kesmediği biliniorsa, m nin alabileceği en küçük tamsaı değeri kaçtır? Çözüm: = 6 1 (m ) < 0 olmalıdır. halde m > 11 eşitsizliğinden m nin alabileceği en küçük tamsaı değeri 1 dir. ün kollarının önü. ün kollarının çok çok büük saılarda hangi öne doğru gittiğini merak edioruz. nalitik düzleme göre düşünürsek, ukarı mı, aşağı mı, sola mı, sağa mı? halde değerine çok çok büük saılar verdiğimizde, nin alacağı değerleri bulmalıız. Peki, nin alacağı değerleri, daha çok li terim mi etkiler, li terim mi, sabit terim mi? Sabit terim, adı üstünde hep sabit, e etkisi de hep sabittir. saısının da, saısından kat be kat hızlı arttığını hepimiz biliriz. halde bizim için li terim önemli olmalı. ma li terimin olmadığı parabol ok ki, ani anlatmak istediğimiz nin katsaısı önemli olmalı. Eğer nin katsaısı olan a > 0 ise, çok çok büük ler için a de çok çok büük olur, b + c iadesindeki b ve c negati olsa dahi a i negati apmaa güçleri etmez, durmadan büür, o halde kollar ukarı doğru olur. ma a < 0 ise a terimi daima negati olur, çok çok büük ler için b + c saısı a saısını negati olmaktan kurtaramaz, o halde a < 0 durumunda parabolün kolları aşağı doğru olur.
Mustaa YĞI ün kolları sağa vea sola doğru olabilir mi? Evet olabilir, () = = a + b + c şeklindeki ikinci dereceden onksionların graikleri o şekildedir ama mutlu haber, onlar bizim konumuz değil. Örnek. = a + 6 + a parabolü eksenine teğet olup, parabolün kollar aşağı doğrudur. una göre a kaçtır? Çözüm: = 6 a a = 0 eşitliğinden a = 1 bulunur. ün kolları aşağı doğru olduğundan başkatsaı olan a negati olmalıdır, o halde a = Tepe noktası ve simetri ekseni. urada işleeceğimiz parabol çeşitleri demin bahsettiğimiz üzere hep çukur vea tümsek şeklinde olanlar olacak. Çukur şeklindeki parabollerin azalmaktan artmaa geçtiği noktaa, tümsek şeklindeki parabollerin de artmaktan azalmaa geçtiği noktaa parabolün tepe noktası denir. Her parabolün bir tepe noktası mutlaka vardır. Çukur parabollerde onksionun minimum değeri, tümsek parabollerde de onksionunun maksimum noktası tepe noktasıdır. Tepe noktasından geçip, eksenine paralel olan doğrua parabolün simetri ekseni denir. Simetri ekseninin varlığını, mutlak değeri anı olan negati ve poziti saıların karelerinin eşit olmasına borçluuz. = parabolündeki 1 = ( 1) = 1, = ( ) =, = ( ) = olduğunu hatırlaınız. undan dolaı çukur vea tümsek şeklindeki her parabol, eksenine paralel olan bir doğrua göre simetriktir. Örnek. Yanda graiği verilen parabolü eksenini ve 8 apsisli noktalarda, eksenini de - 8 - ordinatlı noktada kestiğine göre (6) kaçtır? Çözüm: Dedik a parabol simetrik bir şekildir. İşte ondan dolaı, 6 soldaki kökten sağa birim gittiğimizde değeri azalıorsa, - 8 - (6,-) sağdaki kökten sola doğru birim ilerlediğimizde de değeri azalır. Diğer bir deişle, şekildeki taralı bölgeler eştir, o halde (6) = T Örnek. () = + k parabolünün graiği anda verilmiştir. Tepe noktası T ve kökleri ve iken = 1 ise k kaçtır? Çözüm: ( 1, 0) ve (, 0) olsun. 1 < 0 olduğundan 1 = 1 ve > 0 olduğundan = olur. 1. = 1 = 1 olarak verilmiş. Kökler çarpımı ormülünden 1 = k = 1 bulunur ki k = dir. denkleminin azılması. ir doğru kaç noktasıla bellidi? İki, değil mi Çünkü, tek bir noktadan geçen istediğimiz kadar çok doğru çizebilecekken, arklı iki noktadan geçen tek bir doğru çizebiliriz. unu doğrunun genel denklemi olan = a + b denkleminden de anlaabiliriz. Denklemde bulunması gereken iki bilinmeen var: a ve b. İki arklı noktanın koordinatlarını, sağlaması gerektiğinden denklemde erlerine azan biri, a ve b i bulduğunda, iki bilinmeenli iki denklemi çözerek, doğrunun denklemini azabiliordu. İşte bunun gibi, = a + b + c denkleminde de a, b ve c bilinmeenleri bulup, üç bilinmeenli üç denklemi çözenler, parabol denklemini azabilecek. Nasıl mı olacak? ir örnekle anlatalım: Örnek. ( 1, ), (1, ) ve (0, ) noktalarından geçen parabolün denklemini azınız. Çözüm: ün denklemi = a + b + c olsun. Mademki parabol bu noktalardan geçior, o halde bu koordinatlar parabol denklemini sağlıordur. ( 1, ) için = a ( 1) + b ( 1) + c, (1, ) için = a 1 + b 1 + c, (0, ) için = a 0 + b 0 + c olur. Son eşitlikten bulduğumuz c = eşitliğini ilk iki denklemde erlerine azıp, iki bilinmeenli iki denklemi çözeceğiz: a b + = a + b + = çıkar ki, buradan da a = 1 ve b = 0 buluruz. Üç bilinmeen de artık bilindiğinden gerie sadece denklemde erlerine azmak kaldı: = a + b + c = ( 1) + 0 + = + Örnek. (, 1), (1, ) ve (, ) noktalarından geçen parabolün denklemini azınız. Çözüm: (, 1) için 1 = a ( ) + b ( ) + c, (1, ) için = a 1 + b 1 + c, (, ) için = a + b + c olur. irinci ve üçüncü eşitlikleri tara taraa çıkarırsak, b = 1 buluruz. unu son iki denklemde
Mustaa YĞI erlerine azıp, iki bilinmeenli iki denklemi çözeceğiz: a + 1 + c = a + 1 + c = 5 1 çıkar ki, buradan da a = ve c = buluruz. 1 6 Üç bilinmeen de artık bilindiğinden gerie sadece denklemde erlerine azmak kaldı: = a 5 + b + c = 1 1 + +. 1 6 Örnek. p nin alabileceği her reel saı değeri için (p 1, 8p + 6) noktalarının analitik düzlemde çizdiği eğrinin denklemini azınız. Çözüm: Eğrinin geçtiği noktalar (, ) olsun. = p 1, = 8p + 6 olur. p leri çekip eşitleeceğiz. p = 6 8 +1 lıştırmalar ve p = 6 8 olduğundan ( olur ki düzenlenirse = + + 8. +1 ) = (-1, 0), (1, 0) ve (0, ) noktalarından geçen parabolün denklemini azınız.. (, 1), (, 1) ve (0, 1) noktalarından geçen parabol, eksenini nerelerde keser? (1, 1), (, 1) ve (5, ) noktalarından geçen parabol, eksenini hangi noktada keser? ( 1, ), (0, ) ve (1, ) noktalarından geçen parabolün denklemi = a + b + c ise a + b + c toplamı kaçtır? Kökleri ve geçtiği herhangi bir noktası verilen parabolün denkleminin azılması. Kökleri 1 ve olarak verilmiş ikinci dereceden denklem için şunu demiştik: ( 1 ) ve ( ) ile tam bölünür. Zaten denklem ikinci dereceden olduğundan başka li çarpana da gerek ok. ma bu çarpanların başında katsaı olarak herhangi bir saı da bulunabilir. Öle a, ekseni üzerinde iki arklı nokta düşünün, o noktalardan geçen kolları aşağıa vea ukarıa bakan binlerce parabol olabilir. Şimdi bize bir de = a ( 1 ) ( ) denkleminin başkatsaısı olan a lazım. İşte onu da, üçüncü nokta olarak verilen, geçtiği herhangi bir nokta koordinatını kullanarak bulacağız. una da bir örnek gelior: Örnek. Kökleri ve 1 olan ikinci dereceden bir denklemin graiği (, 5) noktasından geçmektedir. u denklemi azınız. Çözüm: Derhal kökleri ve 1 olan tüm ikinci dereceden denklemleri azalım: = a ( 1 ) ( ) = a ( + ) ( 1) u denklemi (, 5) de sağlaması gerekior. halde 5 = a ( + ) ( 1) olduğundan a = 1 dir. denklemi bulundu bile: = ( + ) ( 1) = + Örnek. eksenini 1 apsisli, eksenini ordi- -1 natlı noktada kesen andaki parabolün, tepe noktasının apsisi ise bu pa- - T rabolün denklemini azınız. Çözüm: Tepe noktası simetri ekseni üzerinde bu- -1 5 lunduğundan = G - dir. halde verilmemiş kök olan nokta- T sının apsisi 5 dir. Şu durumda parabolün iki kökü ve geçtiği bir noktası bellidir. = a ( + 1) ( 5) G(0, ) noktası da parabol üstünde olduğundan sağlaması gerekir. = a (0 + 1) (0 5) olduğundan a = 5 dir. ize lazım olan her şe bulunduğundan parabol denklemini azabiliriz: = 5 ( + 1) ( 5) = 5 5 8.
Mustaa YĞI Örnek. Tepe noktası T(, 5) T(, 5) olan andaki parabol eksenini ve noktalarında, 5 eksenini de noktasında =() kesmektedir. (5, 0) ise üçgeninin alanı kaç br dir? Çözüm: Tepe noktasının simetri ekseni üzerinde bulunduğunu, dolaısıla r = olduğundan ( 1, 0) olduğunu unutmaın. Şu an üçgenin taban uzunluğu belli olduğundan üksekliği ani noktasının ordinatını bulursak, soru çözülmüş olacak. Ki orası da parabolün sabit terimidir. İki kök de belli olduğundan = a ( + 1) ( 5) T(, 5) ten geçtiğinden koordinatları eşitlikte erine koacağız, ve sağlaacak: 5 = a ( + 1) ( 5) 5 olur ki a = bulunur. Şimdi parabolün denklemini azabiliriz: 5 0 = 5 ( + 1) ( 5) = + halde lan() = lıştırmalar 5 6 = 5 br. + 5 Denkleminin kökleri {0, 5} olan bir parabol, G(, 1) noktasından geçiorsa denklemi nedir?. Denkleminin kökleri {, } olan bir parabol, G(, 1) noktasından geçiorsa eksenini nerde keser? Kökleri {, } olan ikinci dereceden bir denklemin graiği G(, 1) noktasından geçiorsa denklemi nedir? Kökleri {, } olan ikinci dereceden bir denklemin graiği eksenini 1 ordinatlı noktada kesiorsa denklemi nedir? Tepe noktası ve geçtiği herhangi bir noktası verilen parabolün denkleminin azılması. Neden bilmiorum ve bir mana da veremiorum ama tepe noktası koordinatları tüm kanaklarda (r, k) olarak gösterilior. iz de sürüe katılacağız. Tepe noktası T(r, k) olarak verilen parabollerin genel denklemi = a ( r) + k şeklindedir. r ve k zaten bize verilecek, verilen geçtiği herhangi bir nokta koordinatı ardımıla da a ı bulacağız. İşlem tamam olacak. Örnek. Tepe noktası T(1, ) olup, G(, 5) ten geçen parabolün denklemini azınız. Çözüm: r = 1 ve k = olduğundan, = a.( r) + k = a ( 1) + olur. G(, 5) noktası parabol üstünde olduğundan hemen görevimizi apalım: 5 = a ( 1) 7 + olur ki a = bulunur. Düzenlenirse; 7 = ( 1) 7 + = 7 1 + +. Örnek. Yanda graiği verilen parabolün tepe noktası T(1, ) T(1, ) olup, parabol G(5, ) noktasından geçmektedir. una göre (8) kaçtır? = () G(5, -) Çözüm: ün denklemi olan = () onksionunu bulup, erine 8 azacağız. r = 1 ve k = olduğundan, = a ( r) + k = a ( 1) + olur. G(5, ) noktası parabol üstünde olduğundan denklemi sağlar: = a (5 1) + olur ki a = 8 bulunur. Düzenlenirse; = () = ( 1) + = + + 8 8 8 bulunur, dolaısıla (8) = 8 115 + 8 + =. 8 8 8 g Örnek. (,0) ve (0, ) ortak noktalarına sahip parabolü ile g doğrusunun graikleri anda verilmiştir. Taralı bölgee karşılık gelen eşitsizlik sistemini azınız. 5
Mustaa YĞI Çözüm: Tepe noktası ve geçtiği bir noktası bilindiğinden parabol denklemini = ( ) olarak buluruz. Geçtiği iki noktası bilinen doğru denkleminin ormülünden de doğrunun denklemi = + olarak bulunur. Taralı bölge parabolün üstü ile doğrunun alt bölgesinin kesişimi olduğundan eşitsizlik sistemi şöle olmalıdır: ( ) ve + lıştırmalar Tepe noktası T(0, 5) olup, G(, 0) noktasından geçen parabolün denklemi nedir?. Tepe noktası T(1, ) olup, G(, 1) noktasından geçen parabolün köklerini bulunuz. Tepe noktası T( 1, ) olup, G(0, ) noktasından geçen parabol eksenini nerde keser? Tepe noktası T(, ) olup, G( 1, 1) noktasından geçen parabolün denklemi = a + b + c ise a + b + c toplamı kaçtır? Denklemi verilen parabolün tepe noktasının koordinatlarının bulunması. = a + b + c denklemini = a ( r) + k haline getirerek r ve k nın ormüllerini çıkarmış olacağız. = a + b + c = a ( + a b + a c ) = a ( b b b c + + + ) a a a a b c b = a ( + ) + ( ) a a a b ac b = a ( + ) + a a b ac b olduğundan r = ve k = bulunur. a a Görüldüğü üzere r nin ormülü şık ama k nın ormülü gıcık. una hemen bir ormül bulmalıız: T(r, k) noktası parabolün üzerinde olduğundan parabol denklemini sağlaması gerekir. halde erine r azdığımızda çıkacak değeri k olmalıdır. uradan anlaşılması gereken şudur: k ı bulmak isteen bir vatandaş, onksionda gördüğü ere r i azarak da k ı bulabilir. b ac b k = (r) = ( ) =. a a Unutmaın ki, k değeri onksionun alabileceği minimum a da maksimum değeri verir, r değeri ise o minimum a da maksimum değerini hangi değeri için aldığını verir. Örnek. = + + 8 parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığını bulunuz. Çözüm 1: Önce bir koordinatlarını bulalım, orijine olan uzaklı kola. b r = = =, a.1 k = (r) = ( ) = ( ) + ( ) + 8 = T(, ) noktasının orijine olan uzaklığı ise ( ) + = 0 = 5. Çözüm : Tavsiemiz bu oldur, verilen ikinci dereceden denklemi derhal tamkare haline getirin, gerisi sırıtacak zaten. = + + 8 = + + + = ( + ) + Ne kadar da = a ( r) + k ormülüne benzior değil mi? slında ta kendisi, o halde r = ve k = Örnek. = + 6 parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz. b 6 Çözüm 1: r = = =, k = (r) = () = a.( 1) + 6 = 7 olduğundan T(r, k) = T(, 7). Çözüm : = + 6 = + 6 + 7 = ( ) + 7 olduğundan T(r, k) = T(, 7). Örnek. () = a + b + c parabolünün tepe noktası T(r, k) olup, diskriminantı dır. a, b, c, r, k, değerlerinden en çok kaç tanesi anı anda negati olabilir? 6
Mustaa YĞI Çözüm: Eğer () in, anda görüldüğü üzere, tepe noktası analitik düzlemin III. bölgesinde ve kolları aşağı doğru- r < 0 k < 0 < 0 T sa, bahsi geçen altı değer de c < 0 anı anda negati olabilir. Kollar aşağı doğru olduğundan a < 0 = () a < 0, eksenini negati tarata kestiğinden c < 0, Tepe noktası III. bölgede olduğundan r < 0 ve k < 0, eksenini kesmediğinden < 0, b = ar olup, ar > 0 olduğundan b < 0. Dolaısıla altı değerin altısı birden anı anda sıır olabilir. Örnek. () = (m + ) + m + 6 onksionunun tepe noktası = 1 doğrusu üzerinde ise m nin alabileceği değerleri bulunuz. Çözüm: aşkatsaı poziti olduğundan, parabolün kolları ukarı doğru olup, parabol andaki gibidir. Tepe noktası 0 da = 1 doğrusu üstünde olduğundan k = 1 dir. = 1 ac b 1 ( m + 6) (m + ) k = = = 1 a 1 eşitliği çözülürse (m + ) (m ) = 0 buluruz ki m = vea m = olabilir. lıştırmalar = + parabolünün tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.. = + 1 parabolünün tepe noktasının orijine olan uzaklığı kaçtır? = ve = + parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir? = + 16 1 parabolünün tepe noktasından geçip, eğimi olan doğrunun denklemini azınız. 5. = ( 6) parabolüle = + k parabollerinin tepe noktaları arasındaki uzaklık 10 br ise k nın poziti değeri kaçtır? ile doğrunun birbirlerine göre durumları. slında sadece parabol ve doğru çiti için değil, denklemleri bilinen herhangi bir geometrik şeklin bir diğerine göre konumunu belirlemek için denklemlerini birbirlerine eşitleriz. rtaa çıkan denklemin kaç arklı reel kökü varsa, o kadar arklı noktada kesiştiklerini söleriz. unun mantığı şudur: Kesişim noktası her iki geometrik şeklin de üzerinde olduğundan, her iki geometrik şeklin de denklemini sağlıor olmalı, işte bu üzden eşitlenen denklemlerden ortaa çıkan denklemin kökü zaten her iki denklemin de köküdür. Peki, a o denklemin tek kökü varsa? zaman tek noktada kesişiorlardır vea teğetlerdir. Eğer hiç reel kökü oksa da kesişmiorlardır. Toparlaalım: = a + b + c parabolünün = m + n doğrusuna göre konumunu belirlemek için verilen denklemleri eşitleriz. a + b + c = m + n a + (b m) + (c n) = 0 denkleminin diskriminantı olsun. > 0 ise parabol doğruu iki arklı noktada keser, = 0 ise doğru parabole teğettir, < 0 ise parabol ile doğru kesişmezler. >0 =0 <0 Örnek. = + 5 + 8 parabolü ile = + 6 doğrularının birbirlerine göre durumlarını inceleiniz. Teğetseler değme noktasının, kesişiorsalar kesim noktalarının koordinatlarını bulunuz. Çözüm: + 5 + 8 = + 6, + + = 0, + + 1 = 0 = ( + 1), Görüldüğü gibi eşitlenen denklemlerin ortaa çıkardığı denklemin tek kökü var, o halde doğru parabole tek noktada değior, ani teğet. = 1 olduğundan = 1 + 6 = 5 olduğundan teğet değme noktası koordinatları ( 1, 5) tir. Örnek. = + 11 parabolünün = 1 doğrusuna göre konumunu belirleiniz. 7
Mustaa YĞI Çözüm: Her zamanki gibi denklemleri ortak çözeceğiz. + 11 = 1, + + 10 = 0. u denklemin reel kökü olmadığından doğrula parabol kesişmezler. lıştırmalar = + parabolüle = doğrusunun birbirlerine göre konumu inceleiniz.. = m doğrusu ile = m + 1 parabolünün kesişmemesi için m kaç olmalıdır? = + 1 parabolüle = + 1 doğrularının kesiştikleri iki nokta arasındaki uzaklık kaç birimdir? evaplı Test 1 Denklemi () = + m + olan parabolün graiği anda verilmiştir. = 6 br ise m kaçtır? ) / ) 5/ ) / D) 1/ E) /. () = + b + c g() = + m + n parabolleri ekseni üstünde kesişiorlar. una göre b m arkı kaçtır? ) 6 ) 5 ) D) E) - 1 g = + parabolüle = doğrularının kesişmediklerini gösterin. 5. = + 5 + 17 parabolüle = + m doğrusu birbirine teğettir. Teğet değme noktasının orijine olan uzaklığını bulunuz. = parabolünün graiği anda verilmiştir. D karesinin bir kenarı kaç br.dir? ) 8 1 ) 8 ) 8 D) 18 E) 1 D 6. = + parabolünün = doğrusuna en akın noktasının apsisi kaçtır? 7. = parabolüle = + 1 doğrusunun kesim noktalarının oluşturduğu kirişin orta nokta koordinatlarını bulunuz. Yandaki graikte üçgeni eşkenardır. u üçgenin alanı br ise parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir? 8. = + 1 doğrusu = + (m + ) + m + parabolüne teğetse m kaçtır?. = (m + ) m + 1 parabollerinin geçtiği ortak sabit noktaların kümesini bulunuz. 10. = m + 1 parabollerinin tepe noktalarının geometrik er denklemi nedir? ) = ) = ) = D) = E) = 5. Yanda = () parabolünün graiği çizilmiştir. una göre ( 1) kaçtır? ) 16 ) 15 ) 1 D) 1 E) 1 6 T(,-) = () 8
Mustaa YĞI 6. Yanda graiği çizilmiş parabolün denklemi = (m 1) (m ) m + n dir. una göre n kaç olmalıdır? ) ) ) D) E) 7. Tepe noktası T(, ) olan andaki parabolün bir kökü tür. una göre taralı dikdörtgeninin alanı kaç br.dir? ) 16 ) ) D) 6 E) 8 - T(-,) -1 1 Yan şekildeki d doğrusu, parabole ( 1, ) noktasında teğettir. una göre d doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? d ) = ) = ) = + 1 D) = + 6 E) = 1 + / eşitsizlik sistemini sağlaan bölge,,, D, E olarak isimlendirilmiş bölgelerden hangisidir? ) ) ) D) D E) E E - D 8. Yandaki graik = () parabolüne aittir. Şekilde bir kare ise ( ) kaçtır? ) / ) ) / D) 1 E) 5/ - 1 Şekildeki KL doğru parçasının üzerinde değişken bir noktası alınıor. dikdörtgenlerinin alanı olan () onksionunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? K L. + = 0 doğrusu, = + b + c parabolünü eksenler üzerindeki ve noktalarında kesmektedir. una göre b kaçtır? ) ) 8/ ) 7/ D) E) 15/ 10. () = + m 6 g() = + + n onksionlarının graikleri anda verilmiştir. una göre m + n toplamı kaçtır? ) 11 ) ) 10 D) 10 E) 11 5 g ) + 1 ) + 1 [ 1,8] olduğuna göre, 1 ) + D) + ( ) = 1 + 1 E) parabolünün alabileceği en büük değer kaçtır? ) 1 ) 16 ) 10 D) E) 1 evap nahtarı 1. 5. 6. 7.E 8.E.E 10. 1 1 1
Mustaa YĞI evaplı Test n parametresi değiştikçe, ( ) = ( n 1) + 1 parabolünün tepe noktalarının geometrik eri aşağıdakilerden hangisidir? 6. k negati bir reel saı olmak üzere, ( ) = k + 8 + 15 ( ) parabolü verilior. una göre ( ) ( ) 0 eşitsizliğini sağlaan negati tamsaıların toplamı kaçtır? ) = ) = 1 ) D) = 1 E) = = 1+ ) 1 ) ) 8 D) 7 E). ( ) = ve g( ) = + parabolleri verilmiştir. u parabollerin tepe noktaları ile kesim noktalarının belirttiği dörtgensel bölgenin alanı kaç birimkaredir? ) 56 ) 18 ) 6 D) E) 1 m parametresi değiştikçe, = m ile = parabolünün kesim noktalarının orta noktalarının geometrik eri nedir? ) D) = ) = ) = = E) = m parametresi değiştikçe, = m + 5 m parabollerinin geçtiği sabit nokta nedir? ) (1, 0) ) (, ) ) (, ) D) (, ) E) (, ) 5. = 15 + 5m + 1 parabolü eksenini poziti tarata da, negati tarata de kessin. = ise parabolün eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır? ) 100 ) 70 ) 6 D) 60 E) 5 7. ( ) = + 10 parabolünün = 1 doğrusuna en akın noktasının ordinatı kaçtır? ) 5 ) 7 ) D) 1 E) 1 8. m = + 5 parabolüne başlangıç noktasından çizilen teğetler birbirine dik olduğuna göre, m nin alabileceği değerlerden negati olanı kaçtır? ) ) 11 ) 11 D) E) 1. = + 8 parabolünün 5 0 aralığında aldığı en büük değerle en küçük değerin çarpımı kaçtır? ) 6 ) 56 ) 0 D) 56 E) 6 10. eksenine negati tarata teğet, kolları ukarı doğru bir parabol düşünün. Tepe noktası olsun. de parabol üstünde bir nokta olsun. (: orijin) üçgeni, alanı 16 br olan bir eşkenar üçgense, bu parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir? ) ) E) = ( ) + 5 ) = ( 8) D) = ( ) ( 8) = + = ( 8) evap nahtarı D. D D 5. 6. 7.D 8.. 10. 10