DERS 3 Fonksionlr - II Bu derste fonksionlr için eni örnekler göreceğiz. Önce, grfik çiziminde kollık sğlck ir kvrmdn söz edeceğiz. 3.. Bir Fonksionun Koordint Kesişimleri. Bir fonksionun grfiğine kınc dikktimizi ilk çekecek noktlr rsınd grfiğin koordint eksenlerini kestiği noktlr olcktır. Bir fonksionun grfiğinin koordint eksenlerini kestiği noktlr o fonksionun koordint kesişimleri denir. Grfiğin -eksenini kestiği noktlr vrs u noktlr fonksionun -kesişimleri, vrs -eksenini kestiği nokt d -kesişimi denir. Bir f fonksionunun -kesişimleri, vrs f( 0 oln (, 0 noktlrı; -kesişimi de vrs ( 0, f(0 noktsıdır. Tnım gereği, ir fonksionun en çok ir -kesişimi ulunilir; nck, irden çok -kesişimine ship oln fonksionlr vrdır. -kesişimi f( -kesişimleri Örnek. f ( 6 denklemi ile tnımlnn fonksionun -kesişimleri 6 0 ( 3( 0 ve 3 ten de görüleceği üzere, (-,0 ve (3,0 noktlrı; -kesişimi de f ( 0 6 dn (0,-6 noktsıdır.
Ders 3... 40 3.. Doğrusl Fonksionlr. m ve reel sılr, m 0 olmk üzere f( m denklemi ile tnımlnn fonksion ir doğrusl fonksion denir. Her doğrusl fonksionun tnım kümesi ve değer kümesi R dir. Elemnter fonksionlrdn ilki olrk tnıdığımız irim fonksion, f(, ir doğrusl fonksiondur: m ve 0. Bu fonksionun grfiğinin ir doğru olduğunu nımsınız. Her doğrusl fonksion, irim fonksion f( e zı elemnter dönüşümler ugulnrk elde edileilir. m m (0, m m O hlde, her doğrusl fonksionun grfiği ir doğrudur. Bölece, Doğrusl Fonksion deiminin nereden knklndığı d nlşılmktdır. Grfik ir doğru olduğun göre, ir doğrusl fonksionun grfiğini çizmek için iki frklı noktsını elirlemek eterlidir. Özel olrk, koordint kesişimlerinin elirlenmesi, grfik çizimi için rrlı olur. Örnek. f( 4 doğrusl fonksionunun grfiğini çizmek için koordint kesişimlerini ullım. -kesişimi : f( 0 - olduğundn, (-, 0. -kesişimi : (0, f(0 (0, 4. f( 4 f(4 ün koordint kesişimleri ulunrk nd çizilen grfiğinin, in grfiğinden, u grfik önce kt gerilerek ve sonr d elde edilen grfik 4 irim ukrı kdırılrk elde edileileceğine dikkt ediniz. (-, 0 (0, 4
Fonksionlr - II. 4 Örnek. f( - doğrusl fonksionu koordint eksenlerini sdece ir noktd, orijinde, kestiğinden, u fonksionun grfiğini çizeilmek için ir noktsını dh elirlemek gerekir. Örneğin, f( - olduğundn, (,- noktsı grfik üzerindedir ve grfik nd görüldüğü gii, orijin ile (,- noktsını irleştiren doğru olrk elde edilir. f( - (, - f(- in ukrıd çizilen grfiğinin, in grfiğinden, u grfik önce kt gerilerek ve sonr d elde edilen grfik -eksenine göre nsıtılrk elde edileileceğine dikkt ediniz. 3.3. Sit Fonksion. her hngi ir reel sı olmk üzere, f( denklemi ile verilen, ni, her reel sısın nı reel sısını krşılık getiren fonksion, sit fonksion denir. (-, (0, (, Sit fonksionun grfiği, ndki şekilde görüldüğü gii, ir t doğrudur: f ( 3.4. Düzlemde Doğrulr. Düzlemde ir doğrunun koordint eksenlerine göre konumu için üç durumdn iri söz konusudur. Doğru t, ni -eksenine prlel; dike, ni -eksenine dik d eğik, ni ne t ne de dike olilir. Yukrıd, her doğrusl fonksionun grfiğinin ir eğik doğru ve her sit fonksionun grfiğinin ir t doğru olduğunu
Ders 3... 4 gördük. Aşğıd göreceğiz ki, her t doğru ir sit fonksionun ve her eğik doğru d ir doğrusl fonksionun grfiğidir. Bu rd, dike doğrulrın d denklemini elirleeceğiz. Bir t doğru -eksenini (0, noktsınd kesiors, her R için (, noktsı o doğru üzerindedir. Krşıt olrk, o t doğru üzerindeki her noktnın koordintlrı, ugun ir R için (, içimindedir. Dolısıl, -eksenini (0, noktsınd kesen t doğru, denklemi ile tnımlnn sit fonksionun grfiğidir. (0, (, Bir düşe doğru -eksenini (,0 noktsınd kesiors, her R için (, noktsı o doğru üzerindedir. Krşıt olrk, o t doğru üzerindeki her noktnın koordintlrı, ugun ir R için (, içimindedir. Dolısıl, -eksenini (,0 noktsınd kesen t doğru, denkleminin grfiğidir. Dike doğru deimi erine düşe doğru deimi de kullnılır. (, (,0 Şimdi t ve düşe olmn ir doğru (eğik doğru için durumu gözden geçireceğiz. (, d (, (, (0, Şekilde görülen enzer dik üçgenlerin dik kenrlrının ornlrı nı olcğındn, 0 m
Fonksionlr - II. 43 eşitlikleri elde edilir. Bu ornlrın ortk değeri oln m sısın d doğrusunun eğimi denir. Eğer d doğrusunun eğimi ve -kesişimi iliniors, ukrıd m e eşit oln son orndn, ni m eşitliğinden m denklemi elde edilir ki u denkleme d doğrusunun Eğim -Kesişim Denklemi denir. Bir (, noktsının d doğrusu üzerinde olmsı için gerek ve eter koşul, (, noktsının eğim- kesişim denklemini sğlmsıdır. Eğer d doğrusunun ir noktsı ve eğimi iliniors, ukrıd m e eşit oln ikinci orndn, ni m eşitliğinden m( denklemi elde edilir. Bu denkleme d doğrusunun Nokt-Eğim Denklemi denir. Bir (, noktsının d doğrusu üzerinde olmsı için gerek ve eter koşul, o noktnın nokt-eğim denklemini sğlmsıdır. İki noktsı ilinen ir doğrunun denklemi de nokt-eğim denklemi olrk zılilir. Söz konusu iki nokt (,, (, ise, doğrunun eğiminin m olduğunu ilioruz. Noktlrdn iri ve eğim kullnılrk denklem elde edilir. Şimdi doğru denklemlerine örnekler verelim. Örnek. Eğimi m 3 ve kesişimi 4 oln doğrunun (eğim-kesişim denklemi: 3 4. Örnek. Eğimi m 3 oln ve (-,3 noktsındn geçen doğrunun (nokt-eğim denklemi: 3 ( ( 3 3 9. Örnek 3. (-, 3 ve (,4 noktlrındn geçen doğrunun denklemi : Bu doğrunun eğimi 4 3 m ( 3 olcğındn, (-, 3 noktsı kullnılrk doğrunun şğıdki denklemi elde edilir: ( ( 3. 3 3 3
Ders 3... 44 3.5. Doğrusl Denklemler. A, B ve C reel sılr olmk üzere A B C denklemine ir doğrusl denklem denir. A ve B e u denklemin ktsılrı, C e de sğ trf siti denir. ve semollerine u denklemin değişkenleri denir. Bundn önceki çlışmlrımız, ktsılrındn en z iri sıfırdn frklı oln ir doğrusl denklemin grfiğini elirlememize rdımcı olur: A C Eğer A 0, B 0 ise, A B C olduğundn, B B A C A B C doğrusl denkleminin grfiği, doğrusl B B fonksionunun grfiği oln eğik doğrudur. C Eğer A 0, B 0 ise, A B C olduğundn, B C A B C doğrusl denkleminin grfiği, sit fonksionunun B grfiği oln t doğrudur. C Eğer A 0, B 0 ise, A B C olduğundn, A C A B C doğrusl denkleminin grfiği, nın grfiği oln dike A doğrudur. Sonuç olrk, ktsılrındn en z iri sıfırdn frklı oln her doğrusl denklemin grfiği ir doğrudur. Grfik, iki noktsı trfındn tmmen elirlenir. (Ktsılrının her ikisi de sıfır oln ir doğrusl denklemin grfiği üzerine düşününüz.. 3.6. Kresel Fonksionlr., ve c reel sılr, 0 olmk üzere, f( c
Fonksionlr - II. 45 denklemi ile verilen fonksion ir kresel fonksion denir. Bzı kitplrd kresel sözcüğü erine kudrtik sözcüğü ve ikinci derece deimi de kullnılır. Kree tmmlm işlemi ile c c f ( c c 4 4-4 ve 4 ( ( ( c f ifdesinde c k h 4, zılrk, fonksionu tnımln şlngıçtki denklem k h f ( ( içimine dönüştürüleilir. Son ifdeden görüoruz ki, her kresel fonksion kre fonksionun elemnter dönüşümler ugulnrk elde edileilir. ( ( ( k h h h Dolısıl, kresel fonksionun grfiği de nin grfiğinin kdırılmsı, -ekseni etrfınd nsıtılmsı ve üzülüp gerilmesile elde edilir. Kresel fonksionun grfiği prol olrk dlndırılır. k h ( ifdesinde ( h nin lileceği en küçük değer h için sıfır değeri olduğundn, k h f ( ( kresel fonksionu için k h f ( değeri, >0 olmsı durumund minimum, <0 olmsı durumund mksimum değerdir. Bu kresel fonksionun >0 olmsı durumund mksimum değeri, <0 olmsı durumund d minimum değeri oktur. (h,k noktsın k h f ( ( kresel fonksionunun (ve onun grfiği oln prolün köşe noktsı denir. >0 olmsı durumund, köşe noktsı prolün en lt, ni dip noktsıdır ve prol ukrı doğru çılır; <0 olmsı durumund, köşe noktsı prolün en üst, ni tepe noktsıdır ve prol şğı doğru çılır. Bir kresel fonksionun grfiği, koordint kesişimleri ve köşe noktsı elirlenip ukrıdki ilgilerden rrlnılrk çizilir.
Ders 3... 46 Örnek. f( 0.5-6 kresel fonksionunun grfiğini çizelim. Burd, 0.5, 6, c olduğundn, köşe noktsının koordintlrı h 6 6, k c 4 36 ve dolısıl köşe noktsı, (6,3 noktsıdır. 0.5 > 0 olduğundn, köşe noktsı grfiğin en lt noktsıdır ve prol ukrı doğru çılır. Burdn, görülür ki, grfik, -ekseninin üst trfınd klmktdır; -kesişimi oktur. -kesişimi ulunmdığı, 3 (0, f ( 0.5 6 0.5 ( - 6 3 > 0 ifdesinden görüleilir. f(0 olduğundn, -kesişimi (0, noktsıdır. Bu ilgiler ışığınd nd görülen grfik elde edilir. (6,3 Fonksionun minimum değeri 3, değer kümesi [3, dur. Örnek. f( - 6-4 kresel fonksionunun grfiğini çizelim. Burd,, 6, c 4 olduğundn, köşe noktsının koordintlrı h 6 4, k 4 c 4 56 4 8 8 (4,8 ve dolısıl köşe noktsı, (4,8 noktsıdır. - < 0 olduğundn, köşe noktsı grfiğin en üst noktsıdır ve prol şğı doğru çılır. f ( - 6 4 0 denklemi çözülerek, -esişimleri (,0, (6,0 olrk elde edilir. Arıc f(0-4 olduğundn -kesişimi (0,-4 noktsıdır. Bu ilgiler ışığınd ndki grfik elde edilir. (6, 0 (, 0 Fonksionun mksimum değeri 8, değer kümesi (-,8] dir. (0,-4
Fonksionlr - II. 47 Kresel fonksionlrl ilgili ilgileri özetleelim: f ( c, h, k c f ( ( h k 4 f nin grfiği, köşe noktsı (h, k oln proldür. f nin -kesişimi (0, c noktsıdır; -kesişimleri c 0 denklemi çözülerek elirlenir. Eğer > 0 ise, prol ukrı doğru çılır ; f nin minimum değeri f(h k ve değer kümesi [k, dur. Eğer < 0 ise, prol şğı doğru çılır ; f nin mksium değeri f(h k ve değer kümesi (-,k] dır. Aşğıd kresel ve doğrusl fonksionlrl ilgili ir ugulm örneği verioruz. Örnek 3. Bir firmnın ıllık gelir ve gider fonksionlrı, in det ürün için ( 00 5, Gi( 60 Ge( 0 in YTL olrk verilior. Bu firmnın ıld en z in, en çok 6 in ürün ürettiği vrsıldığın göre, Ge ve Gi nin grfiklerini nı koordint düzleminde çizerek şğıdki sorulrı nıtlınız: Gelir ve giderin eşit olduğu sılrını ulunuz. Kâr edilen ve zrr edilen ölgeleri ve mksimum kârı elirleiniz. Çözüm. Firm, ıld en z in en çok 6 in ürün ürettiğinden, ıllık gelir ve gider fonksionlrının tnım kümesi, [,6], ni 6 lınmlıdır. Gelir fonksionu ir kresel fonksion, ( 00 5 5 00 5( 0 500, 6 G ( 5, 00, c 0 olduğundn h 0, k 5.0 500 dür. O hlde gelir fonksionunun grfiği, köşe noktsı (0,500 oln ve şğı doğru çıln (-5 ir prolün ir prçsı olcktır. Grfiği çizerken olduğunu d kullncğız. Ge ( 00 5 95 ve Ge ( 6 6(00 80 30 Gider fonksionu ir doğrusl fonksion, G i( 60 0, 6
Ders 3... 48 olup Gi ( 80 ve Gi ( 6 480 olduğundn, grfik, (,80, (6,480 noktlrını irleştiren doğru prçsıdır. Gelir ve gider fonksionlrının grfiklerini şğıd verioruz: 500 (in gelir gider 50.340 0 3.660 6 (in Grfikten de görüleileceği üzere, gelir ve giderin eşit olduğu sılrı gelir ve gider fonksionlrının grfiklerinin kesim noktlrının -koordintlrıdır. Ceirsel olrk u sılr Ge ( Gi( 5 00 60 0 5 80 60 0 denklemi çözülerek ulunur. Çözüm pılınc, 8 4 ve 8 4 değerleri ulunur. Üretilen ürün sısı in ile ölçüldüğünden en kın inliğe tmmlnınc 343 ve 3 657 ürün üretilince gelir ve giderin eşit olduğu görülür. Kâr ve zrr edilen ölgeleri grfikten göreiliriz. Gelir fonksionunun grfiğinin gider fonksionunun grfiğinin ukrısınd ulunduğu rlıklrd kâr, şğısınd ulunduğu rlıklrd zrr edilir. Bölece, (.343, 3.657 rlığınd, ni 343 üründen çok ve 3 657 üründen z ürün üretildiğinde kâr edilir; [,.343 ve (3.657, 6] rlıklrınd, ni 343 üründen z ve 3 657 üründen fzl ürün üretildiğinde zrr edilir. Mksimum kârı elirlemek için kâr fonksionun klım. Kâr fonksionu K ( Ge( - Gi( 5 00 60 0 5 80 60 ir kresel fonksion olup köşe noktsının koordintlrı 80 h 8, k 0 80 60 0 60 tir. Dolısıl, mksimum kâr, K(860 in YTL dir.
Fonksionlr - II. 49 3.7. Polinom Fonksionlr. Prtikte krşılşıln fonksion türlerinden iri de polinom fonksionlrdır. 0,,,..., n reel sılr olmk üzere f ( n n n n L 0 denklemi ile verilen fonksion ir polinom fonksion denir. 0,,,..., n sılrın u polinom fonksionun ktsılrı denir. n n f ( n n L 0 ifdesinde n 0 ise, f nin derecesi n dir denir. Bu durumd n e f nin şktsısı denir. Dh önce zı polinom fonksionlrı ele ldığımızı nımsınız. f ( Sit fonksion f ( Doğrusl fonksion ( 0 f ( c Kresel fonksion ( 0 3 f ( c d Küik fonksion ( 0 Doğrusl fonksionun derecesi, kresel fonksionun derecesi, küik fonksionun derecesi 3 tür. Her polinom fonksionun tnım kümesi tüm reel sılr kümesi R olup grfiği, kesiksiz (sürekli dir ve hiç sivri köşe ulundurmz. Bir grfikte kesiklilik(süreksizlik ve sivri köşe vrs, o grfik ir polinom fonksionun grfiği olmz. Herhngi ir fonksionun grfiğini çizerken olduğu gii, ir polinom fonksionun grfiğini çizerken de koordint kesişimlerini elirlemek rrlı olur. f polinom fonksionunun - kesişimlerini veren sılr, ni f ( 0 denlemini sğln sılrın, f polinomunun kökleri denir. Bir polinom en çok derecesi kdr köke ship olilir, dolısıl, en çok derecesi kdr - kesişimine ship olilir. Herhngi ir reel sısı ve ir n doğl sısı verildiğinde, c için n c n olduğu göz önüne lınrk, f ir polinom fonksion ve ir reel sı ise, c için f ( f (c
Ders 3... 50 olduğu görülür. Arıc f nin şktsısı pozitif ise, için f ( olduğu görülür. Benzer şekilde, şktsısı pozitif oln ir f polinom fonksionunun derecesi tek ise, - için f ( - ve öle ir polinom fonksionun derecesi çift ise, - için f ( olduğu görülür. Örnek. f ( 3 5-74 olsun. için f ( f ( olduğu çıktır. Diğer ndn, için 5 ve - için 5 - olduğundn ( 5 5 f 3 7 4 (3 7 4 3 4 5 ifdesinden için f ( ve - için f ( - olduğunu görürüz(.0 kınız. 3.8. Rsonel Fonksionlr. p( ve d( polinom fonksionlr olmk üzere p f ( d ( ( ile tnımlnn fonksion ir rsonel fonksion denir. p( ve d( polinomlrın, sırsıl, u rsonel fonksionun pı ve pdsı denir. Pı p( ve pdsı d( oln ir rsonel fonksionun tnım kümesi kümesidir. { : d( 0 } Bir rsonel fonksionun grfiğini çizerken, için ve - için nsıl değiştiğini ilmek önem kznır. f ( in Örnek. f ( rsonel fonksionun klım. Bu fonksionun tnım kümesi { : 0 } R\{0} (-, 0 (0, dur. için f ( 0, - için f ( 0 olduğunu kolc göreilirsiniz(.0 kınız.
Fonksionlr - II. 5 Örnek. f ( rsonel fonksionun klım. Bu fonksionun tnım kümesi { : 0 } R\{-} (-, - (-, dur. f ( ifdesini f ( 3 3 içiminde zrk ve için 3 0 ve - için 3 0 olduğunu kullnrk için f ( ve - için f ( olduğunu görürüz. Anı sonuc f ( ifdesini f ( ( ( içiminde zrk d ulsşılileceğine dikkt ediniz. Bir rsonel fonksionun tnımsız olduğu, ni pdsının sıfır olduğu, reel sılr o fonksionun süreksiz olduğu noktlrdır. Eğer f f ( ( ( p, d d ( 0 ifdesi ile verilmişse, pdnın ir kökünü, ni d ( 0 oln ir sısını düşünelim. f ( tnımlı olmmkl erer, in kın her değeri için f ( tnımlıdır. İşte u noktd değişkeni sğdn ve soldn klşırken f ( in nsıl değerler ldığı önem kznmktdır. Eğer p ( 0 ise, değişkeni sğdn ve soldn klşırken p d ( sıfır klşcğındn ( ( f sınırsız olrk üüen pozitif değerler ve d( sınırsız olrk küçülen negtif değerler lcktır. Bşk ir ifde ile, d ( 0 oln ir sısı verildiğinde, - ve için f ( - ve f ( olur. Örnek 3. f ( rsonel fonksionu 0 d tnımsızdır. İlk dersimizde gördüğümüz gii(.0 kınız 0 için f ( ve 0 - için f ( -
Ders 3... 5 dur. Benzer şekilde, - için 3 - ve - - için 3 ; için ve - için -. Örnek 4. zdığımız f ( rsonel fonksionu - de tnımsızdır. Dh önce de 3 3 ifdesinden, - - için f ( ve - için f ( - dur. Yukrıdki örneklerde ele lınn iki rsonel fonksionu grfikleri şğıd gösterilmiştir. - (,0 (0,- f ( in grfiğinde için f ( 0, - için f ( 0 olmsı sınırsız olrk üüdükçe ve sınırsız olrk küçüldükçe f ( in sıfır klştığını, ni grfiğin 0 doğrusun (-eksenine klştığını gösterir. Benzer şekilde, 0 için f ( ve 0 - için f ( - olmsı, sıfır klştıkç grfiğin 0 doğrusun(-eksenine klştığını gösterir.
Fonksionlr - II. 53 f ( in grfiğini inceleince, için f ( ve - için f ( olmsının sınırsız olrk üüdükçe ve sınırsız olrk küçüldükçe f ( in sısın klştığını ve dolısıl grfiğin doğrusun klştığını gösterir. Diğer ndn, - - için f ( ve - için f ( - olmsının d değişkeni e klştıkç grfiğin doğrusun klştığını gösterir. Aşğıd tnımlnn simtot kvrmını u gözlemler ışığınd değerlendiriniz. 3.9. Asimtotlr. f ( denklemi ile tnımlnn ir f fonksionu verilmiş olsun. - ve için f ( oln her için doğrusun f nin ir t simtotu denir. R olmk üzere - ve için f ( - ve f ( ise, doğrusun f nin ir düşe simtotu denir. Örnek. Örnek 3 ve Örnek 4 te elde edilen sonuçlrdn görülür ki, f ( fonksionu için 0 t simtot, 0 düşe simtottur; f ( fonksionu için t simtot, - düşe simtottur. Örnek. ( 3 f rsonel fonksionun klım. - ve için 4 0 olduğundn 0 doğrusu t simtottur. Fonksion ve - için tnımsız olup - - ve - için - ; - ve için olduğundn - ve doğrulrı u fonksionun düşe simtotlrdır.
Ders 3... 54 Bu rsonel fonksionun grfiği şğıd verilmiştir. İleride u tür grfikleri çizmek için dh elverişli öntemler göreceğiz. - 3 4 3.0. Ugulm (Meslek içi eğitim. Bilgisr üreten ir firm t gün iş şınd eğitim görmüş ir teknisenin günde monte ettiği ilgisr sısı N(t ile gösterilirse, N 50t t 4 ( t, t 0 olrk gerçekleştiğini görüor. N(t nin grfiğini çizelim ve orumllım. Üretilen ilgisr sısını veren N fonksionunun tnımınd ğımsız değişken olrk t semolü kullnılmış ve tnım kümesi, t 0 ni [0, rlığı olrk verilmiştir. Söz 50t konusu grfik, N ( t rsonel fonksionunun grfiğinin [0, rlığı üzerinde kln t 4 kısmı olcktır. Önce rsonel fonksionun grfiğinin tmmını çizelim. Grfik, koordint eksenlerini orijinde, ni noktsınd keser. N (-4 tnımsız olup t -4 - için N (t, t -4 için N (t - dur. Dolısıl, t -4 düşe simtottur.
Fonksionlr - II. 55 t - ve t için 50 olduğundn 50 t simtottur. 50t O hlde N ( t nin grfiği şğıdki giidir. t 4 50-4 t Biz, grfiğin t 0 oln kısmı ile ilgileneceğiz. Grfikten görüoruz ki, eğitim süresi rttıkç monte edilen ilgisr sısı d rtr. Anck, elli ir süreden sonr u rtış çok vşlr; monte edilen ilgisr sısı dim 50 den zdır. 3.. Prçlı tnımlı fonksionlr. Bzı fonksionlr değişik rlıklr üzerinden değişik denklemlerle tnımlnırlr. Bunun en lın örneği mutlk değer fonksionudur:, 0., < 0 Bu ifdeden, mutlk değer fonksionunun [0, rlığı üzerinde denklemi, (-,0 rlığı üzerinden ise - denklemi ile tnımlndığını nlıoruz.
Ders 3... 56 Mutlk değer fonksionund olduğu gii frklı rlıklr üzerinde frklı denklemlerle tnımlnmış fonksionlr prçlı tnımlı fonksionlr denir. Prçlı tnımlı ir fonksionun grfiği çizilirken tnımd söz konusu oln her ir rlık için fonksionu o rlıkt tnımln denklemin grfiği çizilir., Örnek. Prçlı olrk f (, < < içiminde tnımlnn f, fonksionunun grfiği şğıd gösterilmiştir. (-, (, (-,0 (,0 Örnek. Toptn kumş stn mtemtiğe merklı ir tüccr, her ir müşterisinin stın ldığı kumşın metre fitını ilk 0 metresi için 0 YTL, on metreden fzl 50 metree kdr oln kısmı için 8 YTL ve 50 metreden sonrki kısmı için 6 YTL olrk uguluor. Bu tüccrdn kumş ln ir müşterinin ödemesi gereken tutrı stın ldığı kumş miktrının fonksionu olrk ifde edelim. Müşteri metre kumş stın lmış olsun ve ödeeceği YTL miktrını f ( ile gösterelim. Eğer 0 < 0 ise, gelir f ( 0 YTL olur. Eğer 0 < 50 ise, ilk 0 metre için 0. 0 00 YTL, geri kln ( 0 metre için 8( 0 YTL ödemesi gerekir ve f ( 00 8( 0 8 0 YTL olur. Eğer > 50 ise, ilk 0 metre için 0. 0 00 YTL, sonrki 40 metre için 8. 40 30 YTL, geri kln ( 50 metre için 6( 50 YTL ödemesi gerekir ve f ( 00 30 6( 50 6 0 YTL olur. Dolısıl, 0, 0 < 0 f ( 8 0, 0 < 50. 6 0, > 50
Fonksionlr - II. 57 Prolemler 3. Aşğıdki denklemlerin her irinin grfiğini çiziniz: 3 c 3. Aşğıd denklemi verilen her ir doğrunun eğimini ve -kesişimini ulunuz: 3 c 3 3. Verilen eğim ve -kesişimine ship oln doğrunun denklemini zınız ve grfiğini çiziniz: eğim -, -kesişimi 4 eğim - 3, -kesişimi - c eğim, -kesişimi - ç eğim -, -kesişimi 4. Aşğıd, her şıkt ir doğrunun eğimi ve geçtiği ir nokt verilmiştir. Doğrunun denklemini m içiminde zınız: m -3, nokt (-4, m -, nokt (-3, 3 c m, nokt (-6, -5 ç m, nokt (-5, -6 3 5. Verilen iki noktdn geçen doğrunun denklemini önce m, sonr A B C içiminde zınız: (, 3, (7, 5 (-5, -, (5, -4 3 c (0,, (, 6. Eğer A YTL, r fiz ornı ile t ıl nkd tutulurs, t ıl sonund ulşcğı değer B Ar t A olur. (Burd r ondlık kesir olrk düşünülmektedir. Örneğin, fiz ornı % 6 ise, r 0.06 dır ve 00 YTL, % 6 dn t ıl fizde klırs, ulşcğı değer B 6 t 00 YTL olur. 00 YTL, % 6 fizle 5 ıl sonund kç YTL olur? 0 ıl sonund kç YTL olur? B 6 t 00 ün 0 t 0 için grfiğini çiziniz. c Grfiğin eğimi nedir? 7. Rdo üreten ir firmnın günlük giderinin üretilen rdo sısının doğrusl fonksionu olduğu ilinmektedir. Firmnın, günlük 00 $ sit gideri vrdır ve eğer ir günde 0 rdo üretirse, o günkü toplm gideri 3 800$ olmktdır. Firmnın günde det rdo üretmesi durumund günlük toplm gideri Gi( ile gösterilior. Gi( i ulunuz. Günde rdo üretilmesi durumund toplm gider nedir? c Gider fonksionunun 0 0 için grfiğini çiziniz.
Ders 3... 58 8. Aşğıdki kresel fonksionlrdn her irinin (i koordint kesişimlerini, (iii mksimum ve minimumunu, ulunuz ve grfiğini çiziniz (ii köşe noktsını, (iv değer kümesini f ( 0 m ( ( 3 4 c r ( 0 4 ç f ( 8 6 d m ( 3 8 5 e r ( 3 0 9. Bir firmnın ıllık gelir ve gider fonksionlrı, milon det ürün için ( 80 4, Gi( 8 Ge( 6 milon YTL olrk verilior. Bu firmnın ıld en z milon, en çok 6 milon ürün ürettiği vrsıldığın göre, Ge ve Gi nin grfiklerini nı koordint düzleminde çizerek şğıdki sorulrı nıtlınız: Gelir ve giderin eşit olduğu sılrını ulunuz. Kâr edilen ve zrr edilen ölgeleri ve mksimum kârı elirleiniz. 0. Aşğıdki rsonel fonksionlrdn her irinin (i koordint kesişimlerini ulunuz (iii t ve düşe simtotlrını ulunuz (ii tnım ölgesini elirleiniz (iv grfiğini çiziniz f ( f ( c 3 f ( ç 4 f ( 4. Aşğıdki fonksionlrın her iriningrfiğini çiziniz., 0 f ( (, > 0 f (,,,, < 0 0 < >. Sulr idresi, onelerinin lık su tüketimine göre ir m 3 suun fitını, ilk 5 m 3 için 3 YTL, 5 m 3 ten 0 m 3 e kdr 3.5 YTL, 0 m 3 ten 0 m 3 e kdr 4 YTL ve 0 m 3 ten sonrsı için 5 YTL olrk elirlior. Ad m 3 su tüketen ir onenin o kç YTL ödemesi gerektiğini ifde eden fonksionu prçlı olrk tnımlınız ve u fonksionun grfiğini çiziniz.