T.C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ EĞĐTĐM BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ ORTÖĞRETĐM FEN VE MTEMTĐK LNLR EĞĐTĐMĐ N BĐLĐM DLI MTEMTĐK EĞĐTĐMĐ BĐLĐM DLI RSYONEL FRK DENKLEMLERĐ VE RSYONEL FRK DENKLEMLERĐNĐN BĐLGĐSYR UYGULMLRI ÜZERĐNE BĐR ÇLIŞM Sea ÇLIK YÜKSEK LĐSNS TEZĐ Daışa Yrd. Doç. Dr. Đbrahi YLÇINKY Koya
ii T. C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ Eğiti Bilileri Estitüsü Müdürlüğü BĐLĐMSEL ETĐK SYFSI dı Soyadı Sea ÇLIK Öğrecii Nuarası 953 Ortaöğreti Fe ve Mateati lalar Eğitii a Bili a Bili / Bili Dalı Dalı / Mateati Eğitii Bili Dalı Prograı Tezli Yüse Lisas Dotora Tezi dı Rasyoel Far Deleleri ve Rasyoel Far Delelerii Bilgisayar Uygulaaları Üzerie Bir Çalışa Bu tezi proje safhasıda souçlaasıa adari bütü süreçlerde bilisel etiğe ve aadei urallara özele riayet edildiğii, tez içidei bütü bilgileri eti davraış ve aadei urallar çerçeveside elde edilere suulduğuu, ayrıca tez yazı urallarıa uygu olara hazırlaa bu çalışada başalarıı eserleride yararlaılası duruuda bilisel urallara uygu olara atıf yapıldığıı bildiriri.
iii T. C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ Eğiti Bilileri Estitüsü Müdürlüğü YÜKSEK LĐSNS TEZĐ KBUL FORMU dı Soyadı Sea ÇLIK Öğrecii Nuarası 953 a Bili / Bili Dalı Ortaöğreti Fe ve Mateati lalar Eğitii a Bili Dalı / Mateati Eğitii Bili Dalı Prograı Tezli Yüse Lisas Tez Daışaı Yrd. Doç. Dr. Đbrahi YLÇINKY Tezi dı Rasyoel Far Deleleri ve Rasyoel Far Delelerii Bilgisayar Uygulaaları Üzerie Bir Çalışa Yuarıda adı geçe öğreci tarafıda hazırlaa Rasyoel Far Deleleri ve Rasyoel Far Delelerii Bilgisayar Uygulaaları Üzerie Bir Çalışa başlılı bu çalışa 3/5/ tarihide yapıla savua sıavı soucuda oybirliği/oyçoluğu ile başarılı buluara, jüriiz tarafıda yüse lisas tezi olara abul ediliştir. Uvaı, dı Soyadı Daışa ve Üyeler Đza Yrd. Doç. Dr. Đbrahi Daışa YLÇINKY Doç. Dr. Cegiz ÇĐNR Üye Yrd. Doç. Dr. Dağısta ŞĐMŞEK Üye
iv ÖN SÖZ VE TEŞEKKÜR Far Deleleri Uygulaalı Mateatiği yei çalışa alalarıda olup bu alada olduça açı proble buluatadır. So yıllarda bili isaları bu delelere olduça ilgi duyuş ve bu sayede Far Deleleriyle ilgili pe ço çalışa yapılıştır. Geel olara Far Deleleri uygulaada öeli bir yer tutatadır. Yüse Lisas tezii bu verileri referas alara hazırladı. Bu çalışa, Selçu Üiversitesi het Keleşoğlu Eğiti Faültesi Ortaöğreti Fe ve Mateati lalar Eğitii Bölüü Mateati Eğitii a Bili Dalı Öğreti Üyesi Yrd. Doç. Dr. Đbrahi YLÇINKY yöetiide yapılara Selçu Üiversitesi Eğiti Bilileri Estitüsü'e Yüse Lisas Tezi olara suuluştur. Çalışalarıı yöledire, araştıralarıı her aşaasıda bilgi, öeri ve yardılarıı esirgeeyere aadei ortada egi fiirleriyle yetişe ve gelişee atıda bulua daışa hoca Yrd. Doç. Dr. Đbrahi YLÇINKY ya ve yüse lisas eğitii boyuca zegi baış açısıyla bei aydılata değerli hoca Doç. Dr. Cegiz ÇĐNR a sosuz teşeürlerii suuyoru. Bu çalışaı, bei bu gülere getire, her alada desteleye, utlulu ayağı ola, hayatıdai e değerli ii isa: Sevgili e Ceile Şule ÇLIK a ve Sevgili Baba Talip ÇLIK a ithaf ediyoru. Sea ÇLIK Koya
v T. C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ Eğiti Bilileri Estitüsü Müdürlüğü dı Soyadı Sea ÇLIK Öğrecii Nuarası 953 Ortaöğreti Fe ve Mateati lalar Eğitii a Bili a Bili / Bili Dalı Dalı / Mateati Eğitii Bili Dalı Prograı Tezli Yüse Lisas Dotora Tez Daışaı Yrd. Doç. Dr. Đbrahi YLÇINKY Tezi dı Rasyoel Far Deleleri ve Rasyoel Far Delelerii Bilgisayar Uygulaaları Üzerie Bir Çalışa ÖZET Bu çalışa dört bölüde oluşatadır. Birici bölüde, Far Deleleri ile ilgili geel taı ve teoreleri verdi. Đici bölüde, Far Deleleri ile ilgili yapılış bazı çalışalar haıda bilgi verdi. Üçücü bölüde, Far Delelerii bazı uygulaalarıda bahsetti. Dördücü bölüde, (,) başlagıç şartları,, ve pozitif tasayılar, > ve..., (,] ola üzere ( ) ( ) far deleii loal asiptoti ararlılığı, ii periyotlu çözüleri, ivariat aralığı ve global çeiciliği iceleiştir. So olara da bu far deleii bazı özel duruları içi öreler verdi. ahtar elieler: Loal asiptoti ararlılı; ii periyotlu çözüler; ivariat aralı; global çeicili
vi T. C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ Eğiti Bilileri Estitüsü Müdürlüğü Öğrecii dı Soyadı Sea ÇLIK Nuarası 953 Ortaöğreti Fe ve Mateati lalar Eğitii a Bili a Bili / Bili Dalı Dalı / Mateati Eğitii Bili Dalı Prograı Tezli Yüse Lisas Dotora Tez Daışaı Yrd. Doç. Dr. Đbrahi YLÇINKY Tezi Đgilizce dı Study O Ratioal Differece Equatios ad Coputer pplicatios of Ratioal Differece Equatios SUMMRY This study cosists of four sectios. I the first sectio, we give geeral defiitios ad theores about differece equatios. I the secod sectio, we give soe iforatio about soe differece equatios studied before. I the third sectio, we give iforatio about soe applicatios of differece equatios. I the fourth sectio, we ivestigate the locally asyptotically stable, periodtwo solutios, ivariat itervals ad global attractivity of all egative solutios of,, the oliear differece equatio ( ) ( ) where (,) are positive iteger, > ad iitial coditios,..., (,]. Fially, we give eaples of this differece equatio for soe special cases. Keywords: Locally asyptotically stable; period-two solutio; ivariat iterval; global attractor
vii ĐÇĐNDEKĐLER Bilisel Eti Sayfası...ii Yüse Lisas Tezi Kabul Foru... iii Ö Söz ve Teşeür...iv Özet...v Suary...vi. BÖLÜM FRK DENKLEMLERĐ ĐLE ĐLGĐLĐ GENEL TNIM VE TEOREMLER.... BÖLÜM FRK DENKLEMLERĐ ĐLE ĐLGĐLĐ YPILMIŞ ÇLIŞMLR...6 3. BÖLÜM FRK DENKLEMLERĐNĐN BZI UYGULMLRI...4 4. BÖLÜM RSYONEL FRK DENKLEMĐNĐN ÇÖZÜMLERĐ VE BĐLGĐSYR UYGULMLRI...5 SONUÇ VE ÖNERĐLER...43 KYNKLR...44 Özgeçiş...5
. BÖLÜM FRK DENKLEMLERĐ ĐLE ĐLGĐLĐ GENEL TNIM VE TEOREMLER Bu bölüde far deleleri ile ilgili geel taı ve teoreler veriliştir. bağısız değişeii taılı olduğu aralıta, y () bağılı değişeii ' '' ( ) değişii y ( ), y ( ),..., y ( ),... türevleri yardııyla açılaabiletedir. ca i esili değerler alası duruuda değişi türevler yardııyla açılaaaz. Bu bölüde i tasayı değerler aldığı durularda ortaya çıa ve içide solu farları buluduğu deleler üzeride duracağız. Taı.. bağısız değişe ve bua bağılı değişe de y ola üzere, bağılı değişe ve bağısız değişe ile bağılı değişei E ( y), E ( y), 3 E ( y),..., E ( y),... gibi farlarıı içere bağıtılara Far Delei deir. Birici ertebede far delei şelidedir. a y ) a y( ) ( f ( ) Đici ertebede far delei a y ) a y( ) a y( ) g( ( ) şelidedir. Delei ertebesii belirleeside, y i hesaplaabilesi içi gereli ola başlagıç şartı sayısı göz öüe alıatadır.
Taı.. Bir far deleide bağılı değişeler birici derecede ve dele bağılı değişeleri paratezie alıdığıda atsayılar sadece bağısız değişelerde oluşuyorsa bu delee lieer far delei deir. Öreği, ( ) a y( )... a y( ) f( ) a y. ertebede bir lieer far deleidir. Teore.. I reel sayıları herhagi bir alt aralığı ola üzere, süreli diferasiyelleebile bir fosiyo olsu. Her,,..., ( ) şartları içi f : I I I başlagıç (,,..., f ),,,... (.) delei bir te { } çözüüe sahiptir. Taı.3. Eğer { } dizisi içi p ise { } ve p bu şartı sağlaya e üçü pozitif ta sayıdır. dizisi p periyotludur deir Taı.4. Eğer { } diziside solu sayıda teri hariç tutulduğuda, geriye p ise { } dizisie er geç p periyotludur ala sosuz sayıdai teri içi deir ve p bu şartı sağlaya e üçü pozitif ta sayıdır. Taı.5. (.) deleide f (,,..., ) şartıı sağlaya otasıa (.) deleii dege otası deir. Eğer içi ise e f i sabit otası deir.
3 Taı.6., (.) deleii dege otası ola üzere: (a) Eğer, ( ),..., I ola üzere her ε > içi... < δ ie her içi < ε olaca şeilde bir δ > sayısı varsa dege otası ararlıdır deir. (b) Eğer dege otası ararlı ve, ( ),..., I ie li olaca şeilde... < γ şartıı sağlaya γ > sayısı varsa dege otası loal asiptoti ararlıdır deir. (c) Eğer her, ( ),..., I ie li ise dege otasıa çei otası deir. (d) Eğer dege otası ararlı ve çei otası ise dege otası global asiptoti ararlıdır deir. (e) Eğer dege otası ararlı değil ise ararsızdır deir. (f) Eğer, ( ),..., I ie... < r ve bazı N sayıları içi r olaca şeilde bir r > sayısı varsa dege otasıa repeller deir. N Taı.7. (.) deleide elde edile f y (,..., ) y (.) i i i deleie dege otası civarıda lieer dele deir.
4 (.) deleii arateristi delei λ f (,..., ) λ (.3) i i i şelidedir. Teore.. (Lieer Kararlılı Teorei) (a) Eğer (.3) deleii bütü öleri utla değerce de üçü ise dege otası loal asiptoti ararlıdır. (b) Eğer (.3) deleii öleride e az biri utla değerce de büyü ise dege otası ararsızdır. Taı.8. { } çözülerii hepsi birde dege otasıda e büyü e de üçü ise bu çözülere dege otası civarıda salıılıdır deir. si halde salıılı değildir. Taı.9., (.) deleii dege otası olsu. l, ola l l,..., dizisii her eleaı dege otasıda büyü veya eşit, üzere { } l, veya l> içi l < ve { l, l,..., } dizisie { } şeilde l, veya < içi < oluyorsa çözüüü bir pozitif yarı döesi deir. Bezer ola üzere { l, l,..., } dizisii her eleaı dege otasıda üçü, l veya l> içi l ve veya < içi oluyorsa { l, l,..., } dizisie { } çözüüü bir egatif yarı döesi deir.
5 Teore.3. (Clar Teorei) p, q R ve {,,... } ola üzere p q,,,..., far deleii loal asiptoti ararlı olası içi gere ve yeter şart p q < olasıdır. Souç.. p R, {,,... } ola üzere p p far deleii loal asiptoti ararlı olası içi gere ve yeter şart i olasıdır. pi < Teore.4. f ( ),,,..., far deleii göz öüde buluduralı. Burada bir aralığı olsu ve f :[ a, b] [ a, b] [ a, b] bir fosiyo olduğuu abul edeli., (.4) dir. [ a, b] Ι reel sayıları i aşağıdai özellileri sağlaya süreli (a) f ( u. v) fosiyou u ya göre azalaya; v ye göre artaya bir fosiyodur. (b) Eğer (, M) [ a, b] [ a, b] sisteii bir çözüü ise f( M) ve M f( M, ), M dir. Bu şartlar altıda (.4) deleii her çözüü dege otasıa yaısar.
6. BÖLÜM FRK DENKLEMLERĐ ĐLE ĐLGĐLĐ YPILMIŞ ÇLIŞMLR Bu bölüde, far delelerii öeli çalışa alalarıda ola global asiptoti ararlılı ile ilgili literatürde yapılış çalışalar haıda bilgi veriliştir. leh, Grove ve Ladas (998) yaptıları çalışada; [, ) başlagıç oşulları pozitif reel sayılar ola üzere α ve, α far deleii pozitif çözülerii global ararlılığıı ve sıırlılığıı iceleişlerdir. içi Devault ve Galias (999) yaptıları çalışada;,, ( ) p p ve p >, deleii pozitif dege otasıı global asiptoti ararlı olduğuu gösterişlerdir. a b Valiceti (999) yaptığı dotora tezide; Lyess far deleii çözülerii periyodiliğii ve global asiptoti ararlılığıı iceleiştir. Gibbos ve aradaşları () yaptıları çalışada; tü başlagıç şartları ve paraetreleri (, ) aralığıda seçile şartıyla y deleii iceleişlerdir. α βy lieer olaya far γ y
7 Kosola, Kuleovic, Ladas ve Teieira () yaptıları çalışada; pozitif paraetreler ve başlagıç oşulları ile p y y far deleii qy y çözülerii periyodiliğii ve dege otasıı global asiptoti ararlılığıı belirleişlerdir. boutaleb, El-Sayed ve Haza () yaptıları çalışada; α, β, γ > ola üzere αβ γ far deleii dege otasıı global asiptoti ararlılığıı iceleişler ve te pozitif dege otasıı global çeici olabilesi içi gereli ola şartları belirleişlerdir. leh, Kir ve Ladas () yaptıları çalışada; tü başlagıç şartları ve paraetreleri (, ) aralığıda ola üzere iceleişlerdir. a b far deleii B Caouzis ve Devault () yaptıları çalışada;,, p> başlagıç şartları altıda p far deleii periyodiliğii ve dege otasıı global asiptoti ararlılığıı iceleişlerdir. Zhag, Shi ve Gaı () yaptıları çalışada;,b [, ) a b a içi far deleii pozitif çözülerii global çeiciliğii iceleişlerdir.
8 Li, Ya ve Su () yaptıları çalışada; α, β, γ,, b atsayıları pozitif reel α b ola üzere sayı ve {,,.. }, αβ, γ αβ γ far deleleri her pozitif dege otasıı global çeici olduğuu gösterişlerdir. bu-saris ve Devault (3) yaptıları çalışada; deleii çözülerii y, y( ),..., y, > y, {,3,4,... } y far y başlagıç şartları altıda pozitif dege otasıı global asiptoti ararlı olası içi gereli ola şartları elde etişlerdir. El-fifi (4) yaptığı çalışada; egatif olaya atsayılar ve pozitif başlagıç oşulları altıda α β γ B C rasyoel far deleii dege otasıda global asiptoti ararlı olduğuu gösteriştir. yrıca bu delei pozitif ve egatif yarı döeleri ile ivariat aralığıı iceleiştir. Caouzis, Devault ve Kosala (3) yaptıları çalışada; başlagıç şartları ve p paraetresi pozitif reel sayılar ola üzere p far deleii pozitif çözülerii davraışıı iceleişler ve şu çıarıları elde etişlerdir: p paraetresii tü pozitif değerleri içi te dege otası ola ye ait p eşitliği vardır. < p < veya p ise delei tü pozitif sıırlı çözüleri pozitif dege otası de birleşir. < p < ie sıırsız çözüler vardır. p ie pozitif dege otası global asiptoti ararlıdır. Çalışada so olara < p < ie pozitif dege otasıı global asiptoti ararlı olduğu varsayııda buluuluştur.
9 Chatterjee, Grove, Kostrov ve Ladas (3) yaptıları çalışada; tü paraetreler α,γ,, B ve başlagıç oşulları,, egatif olaya reel sayılar ola üzere α γ B far deleii çözülerii sıırlılığı, periyodi arateri ve dege otasıı global asiptoti ararlılığı gösteriliştir. El-Owaidy, hed ve Mousa (3) yaptıları çalışada; tü başlagıç şartları ve paraetreleri (, ) aralığıda ola üzere deleii iceleişlerdir. α far β ± Kalabusic ve Kuleovic (3) yaptıları çalışada; pozitif paraetreler ve pozitif başlagıç oşulları ile araterii iceleişlerdir. γ C δ D far deleii global Mestel (3) yaptığı çalışada; pozitif başlagıç şartları altıda far deleii çözülerii periyodiliğii iceleiştir. f ( ) içi Yag, Lai, Evas ve Megso (3) yaptıları çalışada; a, b, c, d > a b c far deleii egatif olaya dege otasıı global d çeici olduğuu gösterişlerdir.
El-Owaidy ve aradaşları (4) yaptıları çalışada; α [, ),,,,... içi ve pozitif reel sayılar ola başlagıç şartları altıda α far deleii pozitif çözülerii periyodi araterli ve bu çözüleri global asiptoti ararlı olduğuu gösterişlerdir. El-Owaidy ve aradaşları (4) yaptıları çalışada; tü başlagıç şartları ve paraetreleri (, ) aralığıda seçile şartıyla deleii global çeiciliğii iceleişlerdir. αβ lieer olaya far γ Kalabusic, Kuleovic ve Overdeep (4) yaptıları çalışada; pozitif paraetreler ve egatif olaya başlagıç oşulları ile deleii global araterii iceleişlerdir. β B δ D far Dehgha ve Dourai (5) yaptıları çalışada; paraetreler, {,,3,... } α β B B,C, α, β, γ pozitif ve egatif olaya başlagıç oşulları,...,, ile γ C lieer olaya yüse ertebede far deleii pozitif çözülerii global asiptoti ararlılığıı iceleişler ve te pozitif dege otasıı global asiptoti ararlı olabilesi içi gereli ola şartları belirleişlerdir. El-Owaidy, hed ve Youssef (5) yaptıları çalışada (, ) p ola üzere α β γ p far deleii iceleişlerdir.
Li (5) yaptığı çalışada;, b, (, ) eyfi pozitif sayılar ola üzere a, pozitif bir tasayı ve,..., a b far deleii pozitif çözülerii global asiptoti ararlılığıı iceleiş ve te pozitif dege otasıı global çeici olduğuu elde etiştir. p Stevic (5) yaptığı çalışada; α far deleii p çözülerii s, l N başlagıç şartları altıda asiptotiliğii, periyodiliğii, salıılılığıı ve sıırlılığıı iceleiştir. Su ve Li (5) yaptıları çalışada;, q, r [, ) oşulları y,..., y egatif olaya reel sayılar ola üzere p, ve başlagıç y p qy y ry lieer olaya far deleii global çeiciliğii iceleişler ve te pozitif dege otasıı global çeici olabilesi içi gereli ola şartları belirleişlerdir. Su, Li ve Stevic (5) yaptıları çalışada; a, b,, B pozitif reel sayılar, ve başlagıç oşulları veya pozitif reel sayı olaca şeilde,...,, egatif olaya reel sayılar ie a b far deleii B global çeiciliğii, değişez aralılarıı, periyodi ve salıılı araterii iceleişlerdir. yrıca te pozitif dege otasıı global çeici olduğuu belirleişlerdir.
Ya ve aradaşları (5) yaptıları çalışada; α,, başlagıç şartlarıı reel sayı alara α far deleii bütü pozitif ve egatif çözülerii asiptoti ararlılığıı ve periyodiliğii iceleişlerdir. loqeili (6) yaptığı çalışada, ( ),..., >, > ve herhagi pozitif bir tasayı ola üzere ararlılığıı iceleiştir. far deleii çözülerii ve a Haza (6) yaptığı çalışada; α egatif bir sayı ve ve başlagıç oşulları egatif sayılar ola üzere ararlılığıı, süreliliğii ve salıılılığıı iceleiştir. α far deleii global Saleh ve loqeili (6) yaptıları çalışada; y y far y deleii y, y ( ),..., y, > başlagıç şartları altıda pozitif dege otasıı global asiptoti ararlılığıı ve periyodiliğii iceleişlerdir. Şişe, Çiar ve Yalçıaya (6) yaptıları çalışada; ( ) ola i, üzere deleii çözülerii ve periyodiliğii iceleişlerdir. 5 3 Şişe, Çiar ve Yalçıaya (8) yaptıları çalışada; pozitif başlagıç şartları altıda ( 5 9) far deleii çözülerii ve periyodiliğii iceleişlerdir. 4 9... ( 5 9)
3 Zhou ve Zhag (8) yaptıları çalışada; p s t deleii qs t pozitif başlagıç şartları altıda pozitif dege otasıı global asiptoti ararlılığıı ve salıılılığıı iceleişlerdir. Dogei ve Li (9) yaptıları çalışada; α β γ p far deleii pozitif paraetreler ve egatif olaya başlagıç şartları altıda global asiptoti ararlılığıı iceleişlerdir.
4 3. BÖLÜM FRK DENKLEMLERĐNĐN BZI UYGULMLRI Mateati, Fizi, Biyoloji, Eooi, Mühedisli ve diğer bili dallarıda ortaya çıa çeşitli probleler far delelerii ullaıı ile forüle edilebilir. Bu bölüde, literatürde var ola bu uygulaaları bazılarıı ele alacağız. 3.. Far Delelerii Biyolojiye Uygulaası (Fiboacci Dizisi) Bu proble şu şeilde ifade edilebilir: Her bir çift (dişi-ere) tavşaı doğduta ii ay sora yetişi olacağı ve buda sora her ay yei bir çift tavşa doğuraya başlayacağı düşüülürse, bir çift yetişi tavşa bir yılda aç çift yavru düyaya getirir? Tablo-3.: Tavşa ı Popülasyo Büyülüğü y 3 4 5 6 7 8 9 Çiftler 3 5 8 3 34 55 89 44 33 377 Birici çift il ayı souda, bir çift yavruya sahiptir ve bu duruda çift elde ederiz. Đici ayı souda, sadece birici çift yavru sahibi olacatır ve bu duruda 3 çift elde ederiz. Üçücü ayı souda, il ve iici çiftler yavru sahibi olacatır ve böylece beş çiftiiz olacatır. Bu şeilde deva edilirse, Tablo-3.. yi elde edilir. Eğer F ( ), ay soudai tavşa çiftlerii sayısı ise, bu odeli tesil ede bağıtı iici ertebede lieer far delei ile ifade edilebilir. ( ) F( ) F( ), F ( ), ( ) F F, Bu öre aşağıda verile Fiboacci dizisii özel bir duruudur. Fiboacci dizisi;
5 ( ) F( ) F( ), F ( ), ( ) F F, (3.) şelidedir. Đl 3 teri,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33 ve 377 olara veriliştir ve tavşa probleide belirtiliştir. (3.) deleii arateristi delei λ λ olur ve böylelile öleri 5 λ ve λ 5 olara elde edilir. (3.) deleii geel çözüü içi F ( ) a a λ λ F ( ) a 5 a 5 olara elde edilir. Başlagıç değerleri ola F ( ) ve ( ) atsayıları F yardııyla a ve a a 5, a 5
6 olara buluur. (3.) deleii geel çözüü 5, 5 5 5 ( ) ( λ λ ) F şelidedir. 3.. Far Delelerii Olasılığa Uygulaası (Kuarbazı Đflası) Bir uarbaz, q ie herhagi bir oyuda $. azaa olasılığıı q bilie değeri ve $. aybete olasılığıı q bilie değeri olduğu bir dizi oyuu raibie arşı oyaatadır. N dolar para elde ete aacıa ulaşırsa veya tü parasıı aybederse uar oyaayı bıraacatır. Eğer uarbazı parası biterse iflas ettiğii söyleyeceğiz. Kuarbazı dolar paraya sahip olası duruuda iflas ete olasılığı p () olsu. Kuarbaz ii şeilde iflas ettirilebilir. Đl olara, bir sorai oyuu azadığıda, bu olayı olasılığı q dur, bu duruda serveti olacatır ve iflas ete olasılığı p ( ) olacatır. Đici olara, bir sorai oyuu aybettiğide, bu olayı olasılığı q dur ve iflas ete olasılığı p ( ) olacatır. Dolayısıyla, topla olasılı teorei uygulaara p ( ) qp( ) ( q) p( ) elde edilir. yerie yazıp düzelerse ( q) p ( ) p( ) p( ),,,..., N, q q
7 olara buluur. ( ) p ve ( ) N p ile arateristi dele q q q λ λ şelide elde edilir ve arateristi delei öleri q q q q q q q q λ λ şelidedir. Bu duruda q ola üzere geel çözü ( ) q q a a p olara elde edilir. ( ) p, ( ) N p başlagıç şartları ullaılara N q q a a a a elde edilir. Böylece
8 a N q q q q N ve a q q N olara buluur. Burada p q q ( ) N q q N q q (3.) elde ediliş olur. q olduğu zaai özel duru ayrı olara çözülelidir; çüü bu duruda λ λ terarlaa öleri elde ederiz. dil bir oyu olduğu zaa bu duru esilile gerçeleşir. Bu duruda geel çözü ( ) c c p şelide ifade edilir ve başlagıç oşullarıı ulladığıız zaa
9 p ( ) N (3.3) N N deleii elde ederiz. Öreği eğer birisi $4 ile oyua başlarsa, dolar azaa olasılığı.3 tür, parası biterse ya da topla $ para azaırsa uar oyaayı bıraacatır. Böylelile 4, q. 3 ve N ie iflas ete olasılığı; p 7 7 3 3 7 3 ( ). 994 4 4 olara buluur. Öte yada eğer q. 5, N $. ve ise o zaa (3.3) deleide p ( ). 8 elde edilir. O halde q. 5 ve N ise (.) ve (.3) forüllerii her iiside de p () olasılığı e yalaşatadır ve uarbazı iflas etesi esidir. Kuarbazı azaa olasılığı
~ p ( ) p( ) q q N q q N q.5 q.5 olara veriletedir. 3.3. Far Delelerii Eooiye Uygulaası (Milli Gelir) Kapitalist bir ülede belirli zaa diliidei illi gelir Y ( ) ( ) C( ) I( ) G( ) Y, (3.4) şelide yazılabilir. C ( ) : Tüeti allarıı satı alıası içi yapıla tüetici harcaaları I ( ) : Seraye alzeelerii satı ala içi yapıla (illi gelirdei artış sebebi ile sağlaa) özel yatırı artışı G ( ) : Kau harcaalarıı gösteretedir. geellile yıl olara hesaplaatadır. Şidi eooistler tarafıda yaygı olara abul edile bazı varsayıları iceleyeli:. Tüetici harcaaları ola ( ) Y ( ) ile oratılıdır. C, bir öcei yılıdai illi gelir
( ) Y( ) C α (3.5) Burada geellile α > arjial tüeti eğilii adıı alır.. Özel yatırı artışı I ( ), tüetidei artış ( ) C( ) ( ) [ C( ) C( ) ] C ile oratılıdır. I β (3.6) Burada β > fosiyoel bağıtı atsayısıdır. birii 3. So olara, au harcaaları G (), yıllar boyuca sabittir ve bu sabit ( ) G (3.7) olara alırız. (.5), (.6) ve (.7) delelerii (.4) deleide yerie oyduğuuzda iici derecede far delei elde edilir. Bu dele Y ( ) α ( β) Y( ) αβy( ) şelidedir ve düzelee yapılara Y ( ) ( β) Y( ) αβy( ) α, Ζ (3.8) şelide ifade edilebilir. Bu delei te dege otası vardır. Bu dege otası Y, α α
olara buluur. Bu dege otasıı asiptoti ararlı olası aca ve aca aşağıdai oşullar altıda gerçeleşir α <, α αβ > ve αβ < (3.9). eşitsizli her zaa sağlaatadır; çüü α ve β pozitif sayılardır. Bu duruda illi geliri dege otası ola Y, aca ve aca (.9) da belirtile oşullar altıda loal asiptoti ararlı olur. yrıca illi gelir ola Y ( ) 4β α < (3.) ( β) şartı sağladığı zaa dege duruu ola Y etrafıda salıılıdır. Bu deetir i (.8) deleii arateristi delei ola λ α ( β) λ αβ, deleii hiçbir öü pozitif reel sayı değildir. Öreği α, β olsu, o halde Y ( Y G( ) ) olacatır. Bu duruda (3.9) ve (3.) oşulları sağlaatadır. Dolayısıyla illi gelir Y ( ), başlagıç geliri ola Y ( ) ve ( ) otasıa salıılı biçide yalaşatadır. Y değerlerie baılasızı her zaa Y dege
3 3.4. Far Delelerii Đletişie Uygulaası (Bilgii tarıı) Bir siyal sisteii telgraftai ota ve çizgiler gibi s ve s şelide siyale sahip olduğuu varsayalı. Mesajlar il olara bu ii siyali arater dizisi ya da serisie odlaası ile göderiletedir. s i ta olara atarııı yapılabilesi içi, birilerie, s i de birilerie ihtiyaç duyduğuu abul edeli. M () de süresi boyuca olası esaj serilerii sayısı olsu. ya s ya da s siyali ile solaatadır. Eğer esaj s ile biterse so siyal de başlaalıdır. Böylelile so buluatadır. Yai Bezer şeilde s i eleebileceği M( ) s ile bite süreside M( ) s ile bite süreside M( ) adar olası esaj esaj buluatadır. esaj buluduğu soucua ulaşılabilir. Souç olara süreside M ( ) esajları topla sayısı ola üzere M ( ) M( ) M( ) şelide verilebilir. Eğer ise o zaa yuarıdai dele ici derecede bezer şeliyle yazılabilir. M ( ) M( ) M( ) Diğer tarafta eğer ise o zaa ici derecede dele elde ederiz. Dele ise M ( ) M( ) M( ) şelidedir. ve olara alıdığıda özel bir duru ortaya çıatadır. Bu duruda
4 M ( ) M( ) M( ) veya ( ) M( ) M( ) M elde edilir ve bu bir Fiboacci dizisidir. Geel çözü M ( ) 5 5 a a,,,,..., şelide verilir.
5 4. BÖLÜM RSYONEL FRK DENKLEMĐNĐN ÇÖZÜMLERĐ VE BĐLGĐSYR UYGULMLRI Bu bölüde (,) ( ],...,, şartları altıda, ve pozitif tasayılar, > ve,,,... (4.) far deleii egatif çözülerii loal asiptoti ararlılığı, periyotlu çözüleri, ivariat aralığı ve dege otasıı global çeiciliği iceleiştir. (4.) deleii araterii iceleesi içi te egatif dege otasıı elde edeli: ( ) olduğuda ( ) ( ) 4 (4.) elde edilir.
6 (4.) deleii arateristi delei elde edeli: ola üzere f u, (4.3) v ( u v) f u f v f v u u ( v) (, ) (, ) f v ( ) (4.4) şelidedir. Burada, ( ) ( ) olduğuda f v (, ) elde edilir. Bu duruda dege otası civarıdai lieer dele y y y (4.5) şelidedir. Taı.6 ve Teore.3 de arateristi delei
7 λ λ (4.6) olduğu açıtır. Teore 4.. < ise (4.) far deleii egatif dege otası ola ( ) ( ) 4 loal asiptoti ararlıdır. Đspat. (4.5) deleide p, q dir. yrıca < olduğuda Teore.3 e göre (4.) far deleii egatif dege otası loal asiptoti ararlı olur. Teore 4.. (4.) far deleii periyotlu egatif çözüleri yotur. Đspat. (4.) far deleii çözülerii φ ve ϕ şelide periyotlu olduğuu abul edeli. Bu duruda düşüülesi geree dört duru vardır: (a) Eğer ve te ise bu duruda deleide yerie yazılırsa dır. yrıca (4.) far eşitliği her ii tarafıı liiti alıırsa
8 li li φ φ φ ya da ϕ ϕ ϕ olur. Burada ϕ ϕ ϕ φ φ φ ( )( ) ϕ φ ϕ φ elde edilir. Yuarıdai eşitlite iici çarpa sıfır olaayacağı içi ϕ φ dir ve abulüüzle çelişir. Yai (4.) far deleii ve te sayı ie ii periyotlu egatif çözüü yotur. (b) Eğer ve çift ise bu duruda dır. yrıca (4.) far deleide yerie yazılırsa eşitliği her ii tarafıı liiti alıırsa li li ϕ ϕ φ ya da φ φ ϕ olur. Burada
9 φ φϕ ϕ ϕ φϕ φ ( φ ϕ)( ) elde edilir. Bezer şeilde, yuarıdai eşitlite iici çarpa sıfır olaayacağı içi φ ϕ dir ve bu da abulüüzle çelişir. Yai (4.) far deleii ve çift sayı ie ii periyotlu egatif çözüü yotur. (c) Eğer çift, te ise bu duruda far deleide yerie yazılırsa, dır. yrıca (4.) eşitliği her ii tarafıı liiti alıırsa li li φ φ ya da ϕ ϕ ϕ φ olur. Burada φ φϕ φ ϕ φϕ ϕ ( φ ϕ)( ) elde edilir. Bezer şeilde yuarıdai eşitlite iici çarpa sıfır olaayacağı içi φ ϕ dir ve bu da abulüüzle çelişir. Yai (4.) far deleii çift ve te sayı ie ii periyotlu egatif çözüü yotur.
3 (d) Eğer te, çift ise bu duruda, dır. yrıca (4.) far deleide yerie yazılırsa eşitliği her ii tarafıı liiti alıırsa li li ϕ φ ya da φ ϕ φ ϕ olur. Burada φ φ ϕ ϕ ϕ φ ( φϕ)( φ ϕ ) elde edilir. Bezer şeilde yuarıdai eşitlite iici çarpa sıfır olaayacağı içi φ ϕ dir ve bu da abulüüzle çelişir. Yai (4.) far deleii te ve çift sayı ie ii periyotlu egatif çözüü yotur. Böylece ispat taalaış olur. Lea 4.. < olsu. O zaa aşağıdai ifadeler doğrudur: (a) ( ) ( ) 4 < < dır.
3 (b) Eğer u, v (,] ise o zaa ( u v) v ye göre esi azala bir fosiyodur. f, fosiyou u ya göre esi arta, Đspat. (a) < içi < < olduğu açıtır. f ( u, v) u v f u v > (b) f ( u, v) u v f v u ( v) < olduğuda ( u v) olduğu açıtır. f, fosiyouu u ya göre esi arta, v ye göre esi azala 5 Lea 4.., olsu. Eğer i,,..., içi (,], ve,,..., [,] i ise o zaa,,... içi < dır. Đspat. 5, olduğuda yazılabilir. Burada
3 ( ) ( ) ( ) < < < M ( ) < < < M elde edilir. Bu duruda (4.) far deleii çözülerii,,... içi < şelide olduğu görülür. Teore 4.3. 5, ise (4.) far deleii ivariat aralığı [ ], dır.
33 Đspat. [ ],,,..., olsu. Lea 4. de ( ) v u f, fosiyouu ( ],, v u içi u ya göre esi arta, v ye göre esi azala olduğu açıtır. O halde ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f > < <,,,, [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f > < <,,,, [ ], M ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f > < <,,,, [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f > < <,,,, [ ], Böylece iterasyo yardııyla (4.) far deleii tü çözülerii içi [ ], aralığıda olduğu ispatlaış olur.
34 Teore 4.4. 5, ise (4.) far deleii te egatif dege otası [,] S üeside global çeicidir. Đspat. (,..., ) S olsu. çıça görületedir i (4.3) de taılaa, süreli fosiyo [,] ivariat aralığıda u ya göre arta v ye göre azala bir fosiyodur., M Ι f M (, M), M f( M, ) M sistei bir çözüü olsu. Bu duruda M M ( M) ( ) ( M)( ) eşitliği elde edilir. Burada < olduğuda M elde edilir ve Teore.4 de li olduğu soucua varılır i bu da (4.) far deleii egatif dege otasıı global çeici olduğu alaıa gelir. Böylece ispat taalaıştır. 5 Teore 4.5., ise (4.) far deleii te egatif dege otası S (, ] [,] üeside global çeicidir. Đspat. ( [,],..., ) S olsu. Lea 4. de,,...,,,... içi, ve Teore 4.4 de li olduğuu biliyoruz. (4.) far deleii çözüleri icelediğide
35 ( ) < < < < < < M ( ) < < < < < < M şelidedir. (4.) far deleii çözüleri Lea 4. de gösterildiği gibi [ ], ivariat aralığıdadır. yrıca içi
36 < ( ) < < 3 ( ) < < 4 ( 3) 3 < < M 5 ( 4) 4 < elde edilir. Bu duruda li olduğuda açıça li olduğu görületedir. Böylece ispat taalaış olur.. Öre 4... (4.) far deleii egatif dege otası ola, Lea 4. şartları altıda < < dır. Tablo-4... 955 3.. 339 3.. 4 33.. 3 5.. 39 35.. 93 7.. 5975 37.. 768 9.. 63 39.. 63.. 986 4.. 49 3.. 89 43.. 374 5.. 757 45.. 66
37 7.. 687 47.. 68 9.. 558 49.. 78.. 4963 5.. 995 3.. 456 53.. 99 5.. 44 55.. 848 7.. 386 57.. 78 9.. 3554 59.. 7 Öre 4... (4.) far deleide 4, 5 ve. 65 olası duruuda başlagıç şartları 5, 4. 6, 3. 5,. 4,. 3 ve. ie elde edile far deleii çözüleri Lea 4. şartları altıda,,... içi < olur. Bu duru Şeil- 4. de açıça görületedir. Tablo-4.: Çözüleri. 57576 6. 7557. 7693 7. 6579 3. 769 8. 796 4. 754 9. 786 5. 74576. 764 6. 9377. 7387 7. 54847. 68894 8. 789 3. 77657 9. 777 4. 69979. 766 5. 7396. 79464 6. 7366. 6635 7. 775
38 3. 7863 8. 75956 4. 766 9. 749 5. 76 3. 7377 Şeil- 4. () -, -,4 -,6 -,8 - -, -,4 -,6 -,8 5 5 5 3 35 () Öre 4..3. (4.) far deleide 3, 4 ve. 683 olası duruuda başlagıç şartları 4, 3.,.,. 3 ve.4 ie elde edile far deleii çözülerii ivariat aralığı Teore 4.3 şartları altıda [,] dır. Bu duru Şeil- 4. de açıça görületedir. Tablo-4.3: Çözüleri. 67984 6. 73775. 69847 7. 74459 3. 756 8. 79 4. 799 9. 7494
39 5. 834. 73484 6. 7395. 7455 7. 7436. 788 8. 7447 3. 7476 9. 7843 4. 7379. 7973 5. 73976. 7383 6. 7399. 7384 7. 74467 3. 75458 8. 7348 4. 784 9. 746 5. 74678 3. 735 Şeil- 4. () -, -, -,3 -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -,9 5 5 5 3 35 () Öre 4..4. (4.) far deleide 3, 4 ve 6 olası duruuda başlagıç şartları 5, 4, 3, ve ie elde 4 3 edile far deleii te egatif dege otası ola. 958 Teore 4.4 şartları altıda global çeicidir. Bu duru Şeil- 4.3 te açıça görületedir.
4 Tablo-4.4: Çözüleri. 45455 6. 957. 4 7. 957 3. 33333 8. 967 4. 5 9. 959 5. 779. 958 6. 69. 958 7. 833. 96 8. 9737 3. 958 9. 935 4. 958. 963 5. 958. 9436 6. 958. 986 7. 958 3. 954 8. 958 4. 93 9. 958 5. 976 3. 958
4 Şeil- 4.3 () -,5 5 5 5 3 35 -, -,5 -, -,5 -,3 -,35 -,4 -,45 -,5 () Öre 4..5. (4.) far deleide, ve 4 olası duruuda başlagıç şartları. 6,. 3 ve ie elde edile far deleii te egatif dege otası ola. 378 Teore 4.4 şartları altıda global çeicidir. Bu duru Şeil- 4.4 te açıça görületedir. Tablo-4.5: Çözüleri. 86 6. 375. 356 7. 379 3. 365 8. 377 4. 878 9. 378 5. 3. 377 6. 986. 378 7. 3599. 377 8. 33 3. 378 9. 3386 4. 378
4. 34 5. 378. 335 6. 378. 355 7. 378 3. 39 8. 378 4. 37 9. 378 5. 38 3. 378 Şeil- 4.4 () -,5 5 5 5 3 35 -, -,5 -, () -,5 -,3 -,35
43 SONUÇ VE ÖNERĐLER Bu çalışada; (,) ( ],...,, ola üzere, ve pozitif tasayılar, > ve far deleii loal asiptoti ararlılığı, ii periyotlu çözüleri, ivariat aralığı ve global çeiciliği iceleiştir. Bu çalışaı ışığıda bu far deleii atsayıları geelleştirilere dege otasıı global asiptoti ararlılığı ve global çeiciliği iceleebilir.
44 KYNKLR boutaleb, M. T., El-Sayed, M.. ad Haza,. E. (). Stability of the recursive sequece pplicatios, 6, 6-33. αβ γ. Joural of Matheatical alysis ad y bu-saris, R. M. ad Devault, R. (3). Global stability of y. pplied Matheatics Letters, 6, 73-78. y loqeili, M. (6). Dyaics of a th order ratioal differece equatio. pplied Matheatics ad Coputatio, 8, 38-335. leh,. M., Grove, E.. ad Ladas, G. (998). O the recursive sequece α. Joural of Matheatical alysis ad pplicatios, 33, 79-798. leh,. M., Kir, V. ad Ladas, G. (). O the dyaics of a b. Matheatical Scieces Research Hot-Lie, 5, -5. B
45 Caouzis, E. ad Devault, R. (). syptotic behavior of solutios of p. Joural of Differece Equatio ad plicatios, 7, 477-48. Caouzis, E., Devault, R. ad Kosala, W. (4). O the period five trichotoy of all positive solutios of p. Joural of Matheatical alysis ad pplicatios, 9, 4-49. Che, D. ad Li, X. (9). Dyaics for oliear differece equatio p γ β α. dvaces i Differece Equatios, 3569. Chatterjee, E., Grove, E.., Kostrov, Y. ad Ladas, G. (3). O the trichotoy character of B γ α. Joural of Differece Equatios ad pplicatios, 9 (), 3-8. Dehgha, M. ad Dourai, M. J. (5). O the recursive sequece C B γ β α. pplied Matheatics ad Coputatio, 7, 45-66.
46 Devault, R. ad Galias, L. (999). Global stability of Joural of Matheatical alysis ad pplicatios, 3, 459-466.. p p El-fifi, M. M. (4). O the recursive sequece pplied Matheatics ad Coputatio, 47, 67-68. α β γ B C. El-Owaidy, H. M., hed,. M. ad Mousa, M. S. (3). O the recursive sequece 747-753. α. Joural of pplied Matheatics ad Coputig, 45, β ± El-Owaidy, H. M., hed,. M. ad Youssef,. M. (5). The dyaics of the recursive sequece 8. α β γ p. pplied Matheatics Letters, 8, 3- El-Owaidy, H. M., hed,. M. ad Mousa, M. S. (4). O asyptotic behaviour of the differece equatio Coputatio, 47, 63-67. α. pplied Matheatics ad
47 El-Owaidy, H. M., hed,. M. ad Elsady, Z. (4). Global attractivity of the recursive sequeces Coputig, 5, 87-833. αβ. Joural of pplied Matheatics ad γ y Gibbos, C., Kuleovic, M. ad Ladas, G. (). O the recursive sequece α βy. Matheatical Scieces Research Hot-Lie, 4 (), -. γ y Haza,. E. (6). O the recursive sequece Matheatical alysis ad pplicatios, 3, 668-674. α. Joural of 7. Kalabusic, S. ad Kuleovic, M. R. S. (3). O the recursive sequece, γ C δ D. Joural of Differece Equatios ad pplicatios, 9 (8), 7- Kalabusic, S. ad Kuleovic, M. R. S. ad Overdeep, C. B. (). O the recursive sequece pplicatios,, 95-98. β B δ D. Joural of Differece Equatios ad
48 Kosala, W., Kuleovic, M. R. S., Ladas, G. ad Teieira, C. T. (). O the recursive sequece pplicatios, 5, 57-586. y p y qy y. Joural of Matheatical alysis ad Li, W. T., Zhag, Y. H. ad Su, Y. H. (5). Global attractivity i a class of higher-order oliear differece equatio. cta Matheatica Scietia, 5, 59-66. Mestel, B. D. (3). O globally periodic solutios of the differece equatio ( ) f. Joural of Differece Equatios ad pplicatios, 9 (), -9. y Saleh, M. ad loqeili, M. (6). O the ratioal differece equatio y / y. pplied Matheatics ad Coputatio, 77, 89-93. Stevic, S. (5). O the recursive sequece pplied Matheatics ad Coputig, 8 (-), 9-34. p α. Joural of p Su, Y. H., Li, W. T. ad Stevic, S. (5). Dyaics of a higher order oliear ratioal differece equatio. Joural of Differece Equatios ad pplicatios,, 33-5.
49 Su, Y. H. ad Li, W. T. (5). Global attractivity of a higher order oliear differece equatio. Joural of Differece Equatios ad pplicatios,, 947-958. Şişe, D., Çiar, C. ad Yalçıaya, Đ. (6). O the recursive sequece ( ) 5 3 8 (), 7-4.. Iteratioal Joural of Pure ad pplied Matheatics, Şişe, D., Çiar, C. ad Yalçıaya, Đ. (8). O the recursive sequece ( ).... Taiwaese Joural of Matheatics, (5), 87-99. ( 5 9) 4 9 ( 5 9) Valiceti, S. (999). Periodicity ad global attractivity of soe differece equatios. Uiversity of Rhode Islad, (PhD Thesis). Ya, X. X., Li, W. ad Zhao, Z. (5). O the recursive sequece α -. Joural of pplied Matheatics ad Coputig, 7 (-), 69-8. Ya, X. X., Li, W. T. ad Su, H. R. (). Global attractivity i a higher order oliear differece equatio. pplied Matheatics E- Notes,, 5-58.
5 Yag, X., Lai, H., J. Evas, D. ad M. Megso, G. (3). Global asyptotic stability i a ratioal recursive sequece. pplied Matheatics ad Coputatio, 58, 73-76. Zhag, D. C., Shi, B. ad Gaı, M. J. (). ratioal recursive sequece a b. Coputers ad Matheatics with pplicatios, 4, 3-36. Zhou, X. ad Zhag, W. (8). Oscillatory ad asyptotic properties of higher order oliear eutral differece equatios Matheatics ad Coputatio, 3 (), 679-689. p s t. pplied qs t
5 T. C. SELÇUK ÜNĐVERSĐTESĐ Eğiti Bilileri Estitüsü Müdürlüğü Özgeçiş dı Soyadı: Sea ÇLIK Đza: Doğu Yeri: daa Doğu Tarihi:..986 Medei Duruu: Bear Öğrei Duruu Derece Oulu dı Progra Yer Yıl Đloul Đılap Đloulu Selçulu- 993-998 Koya Ortaoul Mareşal Mustafa Selçulu- 998- Keal Koya Đlöğreti Oulu Lise Dolapoğlu Selçulu- -4 adolu Lisesi Koya Lisas Selçu Đlöğreti Mera- 5-9 Üiversitesi Mateati Koya Öğreteliği Yüse Lisas Selçu Eğiti Bilileri Mera - 9- Üiversitesi Estitüsü Koya Yüse Lisas
5 Prograı Kitap oua, Kişisel Gelişi laı, Psioloji, Mateati Đlgi laları: Bilii, Matısal Çözüleeler Đş Deeyii: Özel ders vere Haıda bilgi Prof. Dr. Eşref HTIR ala içi Doç. Dr. Cegiz ÇINR öerebileceği Yrd. Doç. Dr. Đbrahi YLÇINKY şahıslar: Yrd. Doç. Dr.. Selçu KURBNLI Tel: 555 643 95 59 Melişah Mah. Güler So. Yılaz Sitesi Blo 5/8 Mera- dres KONY