Foksiyolarda Limit Foksiyolarda it: Bu bölümde y f ( ) foksiyou ve sayısı verildiğide, bağımsız değişkei sayısıa (solda veya sağda) yaklaşırke ya da sosuza yaklaşırke, foksiyou da bir L sayısıa (veya ya da 'a ) yaklaşıp yaklaşmadığı araştırılacak. Buu içi öce özel alamda bir foksiyo ola dizileri iti iceleecek. Sora diziler yardımıyla, reel değişkeli y f ( ) reel foksiyoları iti ve daha sora da tamame foksiyolarda kalarak tekiği de deile it taımı ve özellikleri verilecek, o kadar özel it taıtılacaktır. Ayrıca it alırke karşılaşıla ilk beş belirsiz hâl (belirsiz durum, ya da kısaca belirsizlik) ola,,,, belirsizlikleri taıtılacak ve bu belirsizliklere sahip bir çok it örekleri L Hospital Kuralı kullaılmada çözülecektir. Bu ilk beş belirsizliğe sahip olup L Hospital siz çözülemeye bazı it örekleri ve diğer iki tae daha belirsiz hâl deile, belirsizlikleri de türev kousu işledikte sora, türev uygulamalarıda biri ola L Hospital Kuralı ile verilecektir. Diziler: Taım kümesi,,,,, bir dizi (veye bir reel dizi) deir. sayma sayıları kümesi ola her foksiyoa da ye f : ; f ( ) diziside f(), f(), f(),..., f ( ), ile gösterilirse,,,,,... lere dizii elemaları veya terimleri, 'ye ise dizii geel terimi deir. Dizi foksiyou, taım kümesideki bütü,,,,, sayma sayılarıa, sırasıyla,,,,, reel sayılarıı karşılık getirmekte Bir dizi, geel terimi parateze alıarak ( ) veya biçimide gösterilir. (, dizii bir elemaıı değildir, belli bir reel sayıyı göstermek içi kullaılır. Zira dizii taım kümesi sayma sayıları kümesi Sayma sayıları kümeside de sıfır yoktur. Dolayısıyla dizii ilk terimi )
Foksiyolarda Limit Örekler: ),,,,,, dizisii geel terimi 4 Bu dizi ile gösterilir.,,,,, dizisii geel terimi ) ) ( ) Bu dizi ile gösterilir. i terimleri,,, 4,,,, 4) a ve d reel (gerçek) sayıları içi a, a d, a d, a d,, a ( ) d, terimlerie (elemalarıa) sahip dizi a ( ) d Bu diziye aritmetik dizi deir. Burada d sayısıa dizii ortak farkı deir. Yai ardışık terimleri arasıdaki fark her içi d 5) a ve q ( q ) gerçek sayıları içi oluşturduğu dizii geel terimi aq a aq aq aq aq,,,,,, olup, bu dizi aq terimlerii Bua geometrik dizi ve ardışık terimlerii oraı ola q sayısıa da dizii ortak çarpaı deir. 6) sayısıı yaklaşık birer değerii göstere,4 ;,4 ;,45 ;.. gibi rasyoel odalık sayıları gitgide bir aralığıda sayısıa daha da çok yaklaşırlar, fakat bir dizi oluşturmazlar. Acak her sayısıı buludura, iç-içe aralıklar deile aralıkları sol uç oktaları bir dizi, sağ uç oktaları da bir başka dizi olarak oluşturulabilir ve her iki dizi de yaklaşır. sayısıa 7),,, 4 terimlerie sahip bir dizi,,,, 4 terimlerie sahip bir dizi y ( ),,,,,, 6 4 terimlerie sahip bir dizi z,, 4, 8, 6, terimlerii oluşturduğu bir dizi t 4 5,,,, 4 5 6 terimleride oluşa bir dizi u ( ) ( )
Foksiyolarda Limit 8) cos dizisii ilk birkaç terimi cos,54 cos, 7 ; cos,46 4 4 cos,4 ; cos.9899 8 8 cos.6 dır. rd Burada kosiüsü öüdeki,, sayıları radya ciside radya 57, rd rd rd 7, (.46) 8 dir Komşuluk (civar) ve Deiş Komşuluk: Bir sayısı ve isteildiği kadar küçük bir gerçek (reel) sayısı verilsi. (, ) açık aralığıa sayısıı yarıçaplı komşuluğu deir ve C ( ) ile gösterilir. C açık aralığıdır. (Bkz.Şekil ). Bu aralıkta Yai ( ) : (, ) sayısı aralığı orta oktasıdır. Eğer bu okta aralıkta atılacak olursa elde edile ( ) \{ } : (, ) (, ) C açık aralığıa sayısıı yarıçaplı deiş komşuluğu deir (bkz. Şekil ). Şekil. Sayı doğrusu üzeride komşuluk Şekil. Sayı doğrusu üzeride deiş komşuluk Dizii yığılma oktası: A ve olsu. Eğer sayısıı her deiş komşuluğu A kümesii e az bir elemaıı içide buluduruyorsa bu sayısıa A kümesii bir yığılma oktasıdır deir. A kümesii yığılma oktalarıı oluşturduğu kümeye A ı türev kümesi deir ve A ile gösterilir.
Foksiyolarda Limit Örek: ( ) dizisii tek idisli terimleri sayısıa, çift idisli terimleri de sayısıa yığılmaktadır. Yai A {,} İleride görülecek ki bu dizii iti yoktur. Dizii Limiti ( tekiği): Bir diziside büyüdükçe dizii heme heme tüm terimleri belli bir sayısıa isteildiği kadar yaklaşıyorsa, dizisi sayısıa yaklaşıyor veya dizisii iti dır deir ve veya ile gösterilir. Bir başka deyişle; dizisii heme heme her terimi ı yarıçaplı komşuluğuda buluuyorsa, i iti dır deir ve veya ya da yazılır. Yai e kadar küçük olursa olsu, C ( ) komşuluğuu dışıda dizii solu sayıda ( 'a bağlı, biraz sora açıklayacağımız bir ( ) pozitif reel sayısıı tam kısmı kadar) elemaı, fakat bu komşuluğu içide ise dizii geri kala sosuz tae elemaı vardır. Bu durumda bu dizii sosuz elemaı sadece bu sayısıa yığılmaktadır ve dolayısıyla bu dizii iti oktasıdır deilir. Burada komşuluğu içideki elemaları saymak kolay olmadığıa göre komşuluğu dışıda solu sayıda elema olduğuu göstermek daha kolay olacaktır. Artık şimdi dizilerde iti matematiksel taımı verilebilir: dizisi verilsi. Eğer isteildiği kadar küçük her gerçek sayısıa karşılık, öyle bir ( ) reel sayısı buluabiliyor ve bu da büyük ola tüm sayma sayılarıı idis olarak kabul ede ler ile reel sayısı arasıda fark mutlak değerce da daha küçük sayısıa dizisii iti kalıyorsa, yai eşitsizliği sağlaıyorsa, o zama deir ve veya ya da ile gösterilir. Eğer bir dizii yığılma oktası bir tek ise bu dizi yakısak ve iti de bu yığılma oktasıdır. Yığılma oktaları birde fazla ise o zama dizi yakısak değil Yai dizii heme heme her terimi sadece bir sayısıa yığılmayıp, sosuz terimi da başka oktalara da yığılmaktaysa bu dizi yakısak değil Yakısak olmaya dizilere ıraksak dizi deir. Ayrıca iti ola dizilere sıfır dizisi deir. 4
Foksiyolarda Limit Uyarı: Dizilerde it, sadece ike araştırıldığıda, yerie de yazılabilir. Bir de sıfır idisli bir dizi elemaı yoktur. Yai sayısı dizi elemaı olarak gösterilmez. Dizii ilk elemaı Çükü dizilerde taım kümesi,,,,,,,,,, sayma sayıları kümesidir, doğal sayılar kümesi deile kümesi değil yerie l, a, c, v.s. de yazılabilir. Acak biz dizileri daha çok taım aralığı (taım kümesi) reel sayılar kümesi ola reel foksiyoları itii hesaplamada kullaacağımızda sayısıı foksiyou bağımsız değişkei itii yaklaşacağı sayıyı l, a, c, v.s. olarak almak yerie, almayı tercih edeceğiz. Bu bölümde dizii itii çok az yerde l olarak göstereceğiz. Bir Dizii Grafiği: f : ; f ( ) dizi foksiyouda, ( ), f f kümesie aalitik düzlemde (dik karteziye koordiat sistemide) karşılık gele oktaları oluşturduğu şekle ( ) dizisii grafiği deir. Burada grafik sürekli (veya kesikli) bir eğri olmayıp f veya aalitik düzlemde sıralı ikililerde oluşa bir oktalar topluluğudur (bkz. Şekil ). Şekil : Bir f( ) dizisii grafiği. Şekil te Oy eksei üzerideki f (), f (), f (), f (4),, f ( ), f ( ), ordiat değerlerii (görütü elemalarıı) sırasıyla,,, 4,,, olarak alıp O eksei üzerie yerleştirmekle dizileri yei bir geometrik gösterimii elde ederiz. (Bkz. Şekil 4). 5
Foksiyolarda Limit Şekil 4. Bir dizisii geometrik gösterimi. Şimdi dizileri itii, tekiği kullaılarak gösterildiği birkaç örek vere: Örek: dizisii itii sıfır olduğuu gösteriiz. Burada ve dır. İsteildiği kadar küçük sayısı seçilsi. Her sayısıa karşılık bir ( ) gerçek (reel) sayısı var mıdır? Öyle ki her içi dur. o Bu so eşitsizlikte hareketle deilirse burada da buluur. İşte bu sayısıı olarak alırsak o ( ) dur. Yai her sayısıa karşılık bir ( ) o reel (gerçek) sayısı buluabilmektedir ve her içi dur. Yai dır. Bua göre mesela,5 seçilseydi ( ) (,5) 66, 6, 5 5 olup ı,5 yarıçaplı komşuluğu dışıda dizii ilk 66 terimi vardır ve bu komşuluğu içide (,5) 66, 6 koşuluu sağlaya 67., 68.,.. sosuz tae terim vardır. Yai isteildiği kadar küçük her sayısıa karşılık eşitsizliğii her o ( ) içi sağlayacak biçimde bir o ( ) reel (gerçek) sayısıı bulabilmekteyiz. Dolayısıyla komşuluk dışıda solu, komşuluk içide sosuz terim vardır. O halde dır. 6
Foksiyolarda Limit Örek: dizisii itii olduğuu gösteriiz. Her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı, her içi dır. olacak biçimde varsa o zama Burada hareket oktamız dur; ( ) deilirse () ( ) ( ) ( ) burada ( ) () olarak alıabilir ve koşulu da sağlamış olur. buluur. ( ) Böylece her sayısıa karşılık bir ( ) pozitif reel sayısı vardır ve her 4 içi dur, yai Uyarı: Bu örekte mesela, içi (,) 5 5,5 4, 4 olup her 5,5 içi, Yai, içi i, yarıçaplı komşuluğuu dışıda dizii ilk 4 tae terimi vardır ve 5-ici terimde itibare (her 5,5 içi) dizii sosuz tae terimi olsu i, yarıçaplı komşuluğuu içide Burada e kadar küçük olursa ( ) reel sayısı solu bir sayı (gerçi küçüldükçe 4 ( ) sayısı büyümektedir fakat yie de solu) olup, komşuluk dışıda dizii solu sayıda, komşuluk içide de sosuz sayıda terimi olmaktadır ki bu, demektir. Örek: 7 5 olduğuu gösteriiz. Her içi bir ( ) sayısı var mıdır? Öyle ki her ( ) içi 7 dur. Burada 5 7
Foksiyolarda Limit 7 7 ( 5) 5 5 4 içi. O halde her 4 içi 7 5) 5 5 5, her 5 5 5 7 7 deilirse, bu so eşitsizlikte 7 7 7 alıabilir. de, her 8 içi 7 7 olup ( ) 7 olarak ( ) 7 Böylece her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı vardır; öyle ki 7 7 koşuluu sağlaya her içi dur. 5 7 Dolayısıyla 5 Uyarı: Bu örekte çözümü beşici satırıda, ikici adımdaki payı yerie bir büyütme yapılarak alıdı, payda da -5 yerie -5 alıarak payda daha da küçültüldü ve böylece yei elde edile kesir büyümüş oldu. Bu işlemleri souda da yazıldı. Böylece mutlak değer dışıdaki kesri, bu kesri itii 5 değiştirmeyecek biçimde uygu terim ekleyip çıkarmakla basitleştirildi ve geçişme özelliği de göz öüde buludurularak olması da sağladı. Burada amaç her sayısıa karşılık olacak biçimde a bağlı bir ( ) reel sayısıı buluabilmesidir! Bu sayeside ı yarıçaplı komşuluğu dışıda dizii solu sayıda elemaı olduğu, dolayısıyla içeride de sosuz sayıda elemaıı (yai dizii heme heme her terimii) olduğu gösterilmiş olmaktadır. Ayrıca bu örekte, mesela, sayısal değeri içi ( ) 7, 6 dır. Acak bu sayı, C () komşuluğu dışıda dizii ilk 74 terimii olduğuu göstermez., Gerçekte dışarıda buda daha az sayıda terim vardır. Zira yukarıda yapıla büyültmelerde dolayı dışarıda kala elema sayısı daha büyük çıkmaktadır. Ama bizim içi öemli ola solu bir ( ) sayısıı buluabildiğii göstermektir. 8
Foksiyolarda Limit dizisii itii olduğuu, yai bu dizii bir sıfır dizisi Örek: olduğuu gösteriiz. Eğer dizisii iti ise, her sayısıa karşılık e az bir ( ) sayısı vardır ve her içi dur. O halde ( ) dersek, 4 4 olup sayısı vardır ve her dır. ( ) yi olarak alırsak; her sayısıa karşılık bir ( ) 4 4 içi ( ) dur. Yai Uyarı: Limiti sıfır ola dizilere sıfır dizisi veya sosuz küçüle dizi deir. Her yakısak dizi, geel terimi ile iti arasıdaki farkı ola dizisii yei bir dizi olarak aldığımızda y dır. Eğer ise göre tersii iti ya veya dur. bir sıfır dizisi dur. Yai sıfır dizisii çarpmaya Sosuz Büyüye Diziler: Limiti veya ola dizilere (pozitif veya egatif yöde) sosuz büyüye diziler deir. Sosuz büyüye dizileri itleri de matematiksel olarak verilebilir. Bu tekiğe de (M - tekiği) diye. Sosuz Büyüye Dizileri Limitleri ( M tekiği): İsteildiği kadar büyük M reel sayısıa karşılık bir ( ) M reel sayısı, her ( M ) içi deir ve dizide dizii M olacak biçimde buluabiliyorsa, dizisie sosuz büyüye dizi veya şeklide gösterilir. Ayrıca sosuz büyüye bir terimi belli bir sayma sayısıda soraki ler içi (veya baze ilk terimde itibare) daima pozitif değerler alıyorsa baze ilk terimde) itibare daima egatif değerler alıyorsa yazılır ve belli bir de (veya yazılır. 9
Foksiyolarda Limit Örek: q içi gösteriiz. q olduğuda q dizisii sosuz büyüye bir dizi olduğuu İsteildiği kadar büyük M reel sayısı verildiğide e az bir ( ) M reel sayısı buluabilir mi? Öyle ki her ( M ) içi q M olsu. Bu so eşitsizlikte hareketle q q M q M log q log M olup, burada log q M sayısı ( M ) olarak alıabilir. q q Böylece her isteildiği kadar büyük her M reel sayısıa karşılık bir ( ) log M M reel q sayısı buluabilmektedir ve her log ( M) içi q q M Yai q dur, hatta q> gibi pozitif reel sayı olduğuda q dur. Eğer q ise iki durum söz kousudur. Çift idisli dizi geel terimi içi q q dur. ve tek idisli dizi geel terimi içi de Örek: 5 geel terimli dizii sosuz büyüye bir dizi olduğuu gösteriiz. İsteildiği kadar büyük her M reel sayısı verildiğide her ( M ) içi olacak biçimde bir ( ) M var mı? Buu araştırıyoruz. Bu so eşitsizlikte 5 M hareketle, öcelikle eşitsizlikteki mutlak değeri içii dışarı alabilmek içi sayısı, 4 olmak koşuluyla, 5 5 M de M M 5 5 olup ( M) ( M ) M 5 olarak alıabilir. Yai isteildiği kadar büyük her M reel sayısıa karşılık bir ( M ) M 5 reel sayısı vardır ve her M 5 içi 5 M Yai 5 dur. Öte yada dizii ilk birkaç terimi hesaplaırsa 4,, 6, 4, 5, 6, her 4 içi olduğuda, yai de daha büyük ola her içi olacaktır; o halde ( ) dur. egatif olduğuda iti de egatif
Foksiyolarda Limit Örek: dizisi bir sosuz büyüye dizi olduğuu gösteriiz. Gerçekte her M reel sayısı verildiğide, her ( M ) içi M olacak biçimde bir ( ) M var mı? Bu so eşitsizlikte, yai M de log M logm alıabilir. Böylece isteildiği kadar büyük sayısı buluabilmektedir ve her olup ( M ) log M olarak M sayısıa karşılık bir M M ( ) log reel log M içi M Dolayısıyla dur. Öte yada her içi olduğuda dur. Arta İdis Dizisi: da ya gide ve her k içi k k sayıları dizisie arta idis dizisi deir. eşitsizliğii sağlaya sayma k Örek: k k k ise k k bir arta idis dizisi Gerçekte her k içi k k ( k ) k eşitsizliği sağlaır. k Bezer biçimde k k eşitsizliğii sağlaya, geel terimleri k, ola bir çok arta idis dizisi oluşturulabilir. k k, k k, Örek: k k bir arta idis dizisi değil Zira ike, k içi Yai k k dizisi, da ya gide bir arta idis dizisi değil Alt Dizi: herhagi bir reel dizi olsu. bir alt dizisi deir. k bir arta idis dizisi ise k dizisie dizisii
Foksiyolarda Limit Örek: k k ( ) k ( ) k k dizisi içi bir arta idis dizisi k bir alt dizi k k k içi bir başka arta idis dizisi içi k ( ) k k k k bir başka alt dizi Uyarı: Yukarıdaki alt dizileri k yerie yazarak göstermek dizi yazılışıa daha uygu olacaktır. Bua göre yukarıdaki örekte verile ( ) y ve z ( ) ( ) dizisii farklı iki alt dizisi Arta ve Azala Diziler: Bir dizisi verilsi. Her içi ise bu dizi mooto arta bir dizi ve her içi ise bu dizi mooto azala bir dizi Eğer her içi ise bu diziye azalmaya bir dizi ve her içi ise bu diziye de artmaya dizi deir. Örek: dizisi mooto azala bir dizi y mooto azala bir dizi Fakat z ( ) bir dizi Acak bu so dizii alt dizileride z azala, z dizisi bir dizisi e mooto arta e de mooto azala ( ) dizisi de mooto artadır. () ( ) dizisi mooto
Foksiyolarda Limit Sıırlı Diziler: dizisii tüm terimleri içi, eğer diziye üstte sıırlı dizi; eğer M eşitsizliğii sağlaya bir M reel sayısı varsa m koşuluu sağlaya bir m sayısı varsa dizisie altta sıırlı bir dizi deir. Hem altta, hem de üstte sıırlı bir diziye de sıırlı dizi deir. Yai her içi K olacak biçimde bir K reel sayısı varsa bu dizi sıırlı bir dizi Örekler:. {} sıırlı değil. { } dizisi her içi olduğuda bu dizi altta sıırlıdır. Fakat üste dizisi her içi olduğuda bu dizi üstte sıırlıdır. Fakat altta sıırlı değil Yai her içi. ( ) bu dizi sıırlıdır. Üstelik dizisi her içi ( ) olduğuda, m ve ( ) yazılabileceğide biçimde bir K sayısı vardır. Dolayısıyla bu sıırlı dizi 4. 7 ( ) M olup olabilecek dizisi içi 4 olup, m ve M 4 dür. Ayı zamada dizii geel terimi 4 4 olarak da yazılabileceğide 4 olup K 4 olarak alıabilir. Dolayısıyla bu dizi de sıırlı bir dizi Dizi Özellikleri: Dizilerle ilgili belli başlı özellikler ve teoremler aşağıda öermelerle verilmektedir:. dizisi yakısak ise iti tektir.. dizisi yakısak ise sıırlıdır.. ve y dizileri verilsi. Her içi y ise y 4. ve y yakısak dizileri verildiğide, y ve y ve y y ve ( y ) y dizileri de yakısaktır
Foksiyolarda Limit 5. ve y yakısak ve y ise y dizisi de yakısaktır ve y y 6., y ve olsu. Eğer ve z dizileri verilsi ve her içi y z ( veya y z ) z ayı bir l itie yakısarsa, yai z l ise, o zama y dizisi de yakısaktır ve ayı l ite yakısar, yai y l dır. (Sadöviç teoremi). 7. Mooto arta ve üstte sıırlı bir dizi yakısaktır. Bezer şekilde mooto azala ve altta sıırlı bir dizi de yakısaktır. 8. Bir dizi yakısak ve iti l ise bütü alt dizileri de yakısak ve ayı ite sahiptir. Tersie bir dizii iki alt dizisi farklı itlere sahipse o dizi ıraksaktır. 9. c sabit dizisii iti kedisi Yai. dizisi bir sosuz küçüle dizi (sıfır dizisi), y dizisi de bir sıfır dizisi (Burada y c, c,, c olup c y dizisi de sıırlı bir dizi ise o zama dizisii iti olmayabilir.yeter ki sıırlı olsu). Örek: 5 dizisii itii buluuz. 5 Ayı souca it özelliklerii adım adım kullaarak da ulaşabiliriz; 5 5 5 5 buluur. 4
Foksiyolarda Limit Örek: dizisii bir sıfır dizisi olduğuu gösteriiz. olduğuda de Öte yada ve olup yazılabilir. Bu so eşitsizlikte ite geçilirse dır (6. Özellik: Sadöviç teoremi). Örek: ( ) dizisii yakısak olup olmadığıı araştırıız. ( ) alt dizisi içi Bir başka ( ) () alt dizisi içi ( ) dır. Verile dizii farklı iki alt dizisi farklı iki ite sahip olduğuda bu dizi yakısak değildir, ıraksaktır. Uyarı:: Bu örekteki dizi ıraksak olmasıa rağme ayı zamada ( ) ( ) olduğuda dizi sıırlıdır. Demek ki sıırlı her dizi yakısak olmayabilir, fakat yakısak bir dizi ayı zamada sıırlıdır. (Teorem: Yakısak her dizi sıırlıdır). 5
Foksiyolarda Limit Örek: cos dizisii itii olmadığıı gösteriiz. Bu öreği çözümü içi sosuza gide sayısıı, yei bir k sayma sayısı ile foksiyou periyodik oluşua da uygu biçimde düzelediğimizde acaba farklı itlere ulaşabilir miyiz? Buu içi yerie öce k yazılırsa, ile birlikte k da sosuza gideceğide k cos cos( k ) cos cos (sabit dizi) buluur. Şimdi de yerie k k biçimide bir düzeleme yapılırsa cos cos( k ) cos cos Buluur. Demek ki periyodik olma ve sosuza gidişi de amacımıza uygu biçimde düzelemekle (düzeli hale getirmekle)) bu dizii iti - ile + arasıda her hagi bir sayı olarak karşımıza çıkmaktadır. Dolayısıyla bu dizii iti biemekte Yai cos cos Yok! dur. Örek: cos dizisii itii buluuz. bir sıfır dizisi y cos cos ya da cos (Burada (cos ) YOK! cos dır. dizisi ise sıırlı bir dizi Yai ). O halde. Özelliğe göre Örek: dizisi yakısak mıdır? Araştırıız. Verile dizii geel terimi biom (iki terimli)açılımıa göre!!! () Ve bezer biçimde! ( )! yazılabilir. ile dizi elemalarıı sağ tarafları terim terim karşılaştırılırsa () deki paratezleri herbiri () deki karşılık geldiği paratezlerde büyük olup, ayrıca () de bulumaya fakat açılım gereği () de bulua pozitif soucu terimi ilaveside dolayı her içi Yai dizimiz mooto artadır. () 6
Foksiyolarda Limit Acaba üstte de sıırlı mıdır? () ifadesii sağ tarafıdaki paratezleri yerie daha büyük ola sayıları yazılır ve daha sora her içi! olduğuda (buu doğruluğu tümevarım ile yapılabilir), açılımdaki büyültme yapılmış kısımdaki terimleri yerie eşit ya da! daha büyük ola terimlerii yazıp elde edile ifadedeki geometrik serii de eşiti yazılarak; olup!!! dür. Yai üstte de sıırlıdır. Mooto arta ve üstte de sıırlı ola bir dizi yakısaktır ve bir iti vardır. Bu it e yaklaşık e, 7 dir ( e,788884594556 ). e sayısı ile gösterilir. Bu e sayısı p q gibi yazılamaya, yai rasyoel olmaya, irrasyoel bir sayıdır. Trasadat (yüksek, aşkı) sayı olarak adladırılır. rd e,, l, log, si, Arc ta, birer trasadat sayıdır.,46, l,695, radya rd 57, rd 7, (,46) rd rd 8 Dizi Problemlerii Çözümüde İzleecek Yollar: Bir dizisii itii bir l reel sayısı olduğuu gösterilmesi isteildiğide, eğer l solu ise tekiği ile uygu bir ( ) sayısıı buluulabileceği, eğer l sosuz ise M tekiği ile uygu bir ( ) M sayısıı buluabileceği matematiksel olarak gösterilmeli Verile dizi mooto-sıırlı ise yakısaktır. Fakat bu yolla yakısaklığı gösterile bir dizii itii her zama bulamayabiliriz. Sadece yakısak olduğuu dolayısıyla bir itii olduğuu söyleyebiliriz. Verile dizii itii pratik yolda, yai geel terimii içi itii (daha öce verile it özellikleride de yararlaarak) elde edebiliriz. Verile bir dizii alt dizilerii hepsi ayı bir ite yakısıyor ise dizi yakısaktır ve iti de bu alt dizilerii iti ile ayıdır. Burada dizileri elemaları souçta bir sayı doğrusu üzeride buluduğuda, verile dizide yerie arta idis dizisie uygu li yei idisler verilerek buluacak iki alt diziside birisii geel terimii itte küçük ola bir dizi olarak, diğerii geel terimii de itte büyük bir dizi olarak seçip, ayı ite yaklaştıklarıı (mesela tekiği ile, ya da pratik yolda ike itii araştırarak) göstermek yeterli 7
Foksiyolarda Limit Foksiyolarda Limit: Foksiyolarda ite geçmede öce, bağımsız değişkei itii taımlayalım. Bağımsız değişkei Limiti: Eğer bir sayısıa yakısaya bir dizisii her bir terimi (elemaı) olarak alıırsa bu değişkei sayısıa yakısıyor veya itie sahiptir deir ve veya şeklide gösterilir. Örek: değişkeie sıra ile,,,,, değerleri verilirse, bu durumda tür veya tür. (Burada değişkei te büyük kalarak e yaklaşıldığıda bua sağda it de deir). Örek: değişkeie sıra ile,,,,, değerleri verilirse, bu durumda dir veya tür. (Burada değişkei de küçük kalarak ye yaklaştığıda bua solda it de deir). Foksiyolarda Limit (Diziler Yardımıyla): Eğer reel sayısıa yaklaşa her dizisie karşılık ( ) f görütüler dizisi bir L reel sayısıa yakısıyorsa giderke f( ) foksiyou L ye yakısıyor deir ve f ( ) L biçimide gösterilir. (Burada L bir reel sayı olabileceği gibi veya da olabilir). UYARI:: Burada dizilerii geel olarak veya gibi sayısıa solda veya sağda yaklaşa iki diziyi seçmek yeterli dizisi yerie veya ya da gibi dizilerde birisi de alıabilir. Ayı durum sağda it içi de geçerli Acak e yalı ve dizilerii almak daha kullaışlıdır. Fakat baze problemi gerektirdiği daha farklı diziler de alıabilir. 8
Foksiyolarda Limit Örek: f( ) foksiyouu içi itii diziler yardımıyla buluuz. geel terimli dizi içi dizii geel terimi yazılırsa olup foksiyoda her yerie bu ( ) f( ) f( ), görütüler dizisi geel terimi Buu içi iti olup, f( ) Bezer şekilde dizisi içi ( ) olup, f( ) Yai solda ve sağda itler var ve birbirii ayısıdır. ( itie sahip başka dizileri içi de kotrol edilirse yie L dir). O halde f( ) Örek: f( ) si foksiyouu içi, yai içi iti var mıdır? Burada olarak seçe; dizisii bu problemde amacımıza uygu olacak şekilde olup, görütüler dizisi geel terimi f( ) içi f ( ) si si si si ( sabit dizi) L Bir 9
Foksiyolarda Limit başka dizisi olarak seçilirse bu yei dizisi içi buluacak ola f( ) görütüler dizisii iti ise olup, f ( ) si si si si ( sabit dizi) L Farklı iki dizi içi görütü dizilerii itleri de farklıdır. Dolayısıyla içi f( ) si i iti yoktur. (Burada sadece sağda farklı iki dizi içi farklı itler buluduğua dikkat edilmeli. Bezer biçimde solda da it çalışmaları yapılabilir.). Örek: f ( ) cos foksiyouu içi itii olmadığıı gösteriiz. Sosuza gide dizisi içi f ( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) görütüler dizisi geel terimi olup f ( ) ( ) ( ) L ve f ( ) ( ) ( ) ( ) L Uyarı:: Burada it alıırke yerie sadece yazılmıştır. Zira dizilerde it icelemeleride it değişkei (idis) sadece a giderke it araştırılır. Dolayısıyle gösterimii altıa yazılmayabilir. Örek: f ( ) foksiyouu oktasıdaki itii diziler yardımıyla buluuz. geel terimli dizii iti Görütüler dizisi geel terimi ise f ( ) f 4 L 4 olup, olduğuda Gerçekte L f ( ) olduğuu dizilerdeki her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı bularak da gösterebiliriz. Şöyle ki; isteildiği kadar küçük her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı bulabilir miyiz ki, her ( ) içi f ( ) L 4 olsu.
Foksiyolarda Limit O halde 4 4 4 4 4 f ( ) L 4 4 4 4 4 olup burada Burada Böylece ( ) olur. deilirse bu eşitsizliği so kısmıda ifadesi ( ) olarak alıabilir. Demek ki her sayısıa karşılık bir ( ) sayısı vardır ve her içi f ( ) L 4 dur. Yai f( ) 4 Yai dizisi içi bulua görütüler dizisi f ( ) 4 i iti L= Başka bir dizisi içi yukarıdakie bezer bir çalışma ile buluacak ola görütüler dizisi geel terimii iti de f ( ) f 4 L Böylece diziler yardımıyla bulua solda ve sağda itler ayıdır. O halde UYARI:: Yukarıdaki sağda it 4 4 4 4 olarak yazılabilir. Hatta ileride bu örekte çözümü araştırıla it sorusu, dizilerde yararlamaksızı, pratik olarak ( ) ( ) 4 olarak da buluabilecektir.
Foksiyolarda Limit Örek: f( ) foksiyouu içi itii diziler yardımıyla buluuz. itie yaklaşa bir dizi içi f ( ) f ( ) dur. olarak seçilsi. Görütüler dizisi geel terimi Gerçekte isteildiği kadar büyük bir M reel sayısıa karşılık bir ( ) M pozitif reel sayısı var mıdır? Öyle ki her ( M ) içi ( ) f M dir, yai f ( ) M Burada M de log M olup, ( M) log M alıabilir. Dolayısıyla isteildiği kadar büyük her M reel sayısıa karşılık bir ( M) log M pozitif reel sayısı vardır ve her log M içi M Yai dur. UYARI:: f( ) görütüler dizisii ilk birkaç terimi farklı işarette olsa ve belli bir terimde itibare bu dizi daima pozitif değerler alıyorsa ( ) f dur. Bezer biçimde ( ) f görütüler dizisii ilk birkaç terimi hariç belli bir terimde itibare bu dizi daima egatif değerler alıyorsa ve örekteki gibi koşullar gerçekleiyorsa (yai isteildiği kadar büyük bir M reel sayısıa karşılık bir ( ) M pozitif reel sayısı buluabiliyor ve her ( M ) içi f ( ) M oluyorsa) f( ) dur. Örek: f( ) foksiyouu ike sıfıra yaklaştığıı diziler yardımıyla gösteriiz. Burada seçilirse, dur. (Gerçekte her sayısıa karşılık bir ( ) pozitif reel sayısı var mıdır? Öyle ki her ( ) içi f ( ) L olsu. Bu so eşitsizlikte olup burada log log log buluur. Bu so eşitsizlikte log ( ) olarak alıabilir. Yai her sayısıa karşılık bir ( ) log vardır, öyle ki her ( ) log içi dur. Yai f( ) dur. Buu bir başka yolda şöyle de açıklayabiliriz: f ( ) f ( ) olup dizisie karşılık görütüler dizisi dır. (Zira olup, bir sosuz büyüye dizidir, buu çarpmaya göre tersi ola geel terimli dizi ise bir sosuz küçüle dizi (sıfır dizisi) dir, yai dır.
Foksiyolarda Limit Bir Foksiyou Limiti ( Tekiği): ve L solu iki reel sayı olsu. İsteildiği kadar küçük sayısıa karşılık, ( ) koşuluu sağlaya her içi f ( ) L olacak şekilde bir ( ) buluabiliyorsa değişkei oktasıa (sayısıa) yaklaştığıda f( ) foksiyouu iti L dir deir ve f ( ) L ile gösterilir. Örek: ( ) olduğuu gösteriiz. Burada f ( ), ve L dür. Öcede seçilmiş isteildiği kadar küçük her sayısıa, ( ) oldukça f( ) olacak şekilde bir ( ) sayısıı belirleye. Buu içi f( ) eşitsizliğide hareketle; f ( ) f ( ) f ( ) 4 de dir, burada ( ) olarak 4 alıabilir. (Hatta ( ) sayısı, de küçük ola,,,,... de biri olarak da alıabilir). 5 9 Başka bir deyişle, ola ler içi ( ) dur, yai tür. (Bkz. Şekil.5).
Foksiyolarda Limit Şekil 5. ( ) itii grafiği. Buu bir de sayısal olarak gözlemlemek istersek,, olarak verilmiş olsu. O zama, ( ) (,),5 olur ve,5 ike f ( ), Yai bağımsız değişkei civarıda gezerke, f ( ) foksiyou da i civarıdaki değerlerie karşılık, L= sayısıı civarıda görütü değerleri almaktadır. Örek: gösteriiz. içi y f foksiyouu itie sahip olduğuu f ( ) deilirse bu ifadei so eşitsizliğide dur. O halde ( ) olarak alıabilir. Böylece her sayısıa ( ) sayısı ( ) oldukça olacak şekilde karşılık gelmekte Yai ( ) (Bkz.Şekil.6). 4
Foksiyolarda Limit Şekil 6. itii grafiği. Örek: f ( ) si foksiyouu oktasıda itii L si olduğuu gösteriiz. Her reel sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı var mıdır? Öyle ki ( ) koşuluu sağlaya reel sayıları içi f ( ) L si si dur. Burada f ( ) L si si cos si cos si si si cos si si dur. Burada bu ifadei so kısmı ola eşitsizliğide buluup, buradaki sayısıı ( ) olarak alabiliriz. Yai ( ) ike si si dur. Dolayısıyla her sayısıa karşılık, ( ) olacak biçimde bir ( ) sayısı buluabilmekte O halde si si dır. olup 5
Foksiyolarda Limit UYARI:: Birim çemberdeki gözlemlerde (alfa), radya ciside pozitif bir yayı göstermek üzere yayı daima si da büyüktür. Gerçekte iki okta arasıdaki e kısa mesafe bu iki oktayı birleştire doğru parçasıdır. Dolayısıyla PP PΑP si si dır. Burada si si dır. ı kedisii de egatif olabileceği göz öüde buludurulursa si dır. Şekil 7. Birim çemberde yay-kiriş ilişkisi. Foksiyolarda Limiti Özellikleri: Foksiyolarda iti belli başlı özelliklerii ve teoremlerii aşağıdaki öermelerle vere:. Eğer f( ) iti varsa bu it tektir.. f( ) ve g ( ) foksiyoları verilsi. Eğer i a yakısaya tüm değerleri içi f ( ) g( ) ise ve f( ), g ( ) itleri varsa o zama f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ). f ( ) g( ) f ( ) g( ) 4. 5. k bir reel sabit ise k k dır. 6. k bir sabit olmak üzere k k olduğuda k f ( ) k f ( ) 7. f( ) f( ) g ( ) g ( ) 6
Foksiyolarda Limit 8. i a yakı tüm değerleri içi f( ) ve g ( ) ise o zama f( ) ve g ( ) 9. i a yakı tüm değerleri içi h( ) f ( ) g( ) ve zama f( ) ( ) f ( ). f iti de vardır ve dir ve h( ) g( ) L ise o f ( ) L (Sadöviç teoremi). f ( ) f ( ) m m. log a f ( ) log a f ( ), si f ( ) si f ( ) Arc ta f ( ) Arc ta f ( ), v.s., g( ) g( ) ( ) ( ) f. f. f ( ) f ( ) L ise f ( ) L dır. Sözle ifade edilirse; ike L ise ( ) ( ) g f L foksiyou da içi bir sosuz küçüle foksiyodur, yai g i ( ) iti sıfırdır. Hatta solu sayıda küçüle foksiyou toplamı da çarpımı da yie bir sosuz küçüle 4. f ( ) L ise f f L ( ) ( ) UYARI:: Limit özelliklerii ispatı tekiği ile yapılabilir. Acak her zama kolay olmayabilir. Bazı özellikleri ispatıda ( ) ları oldukça özel seçimi gerekir. Sosuz küçüle foksiyoları özellikleri ve Örek: teoremleri verildikte sora, yukarıdaki özellikleri ispatıı daha basit yolda vermek de mümküdür. ile göstere. + 4 foksiyouu içi itii L olduğuu tekiği f ( ) İsteildiği kadar küçük her sayısıa karşılık bir ( ) reel sayısı var mıdır? Öyle ki ( ) eşitsizliğii sağlaya ler içi f ( ) L ( 4) dur. Bu so eşitsizlikte ( 4) ( ) dersek, bu ifadedeki so eşitsizlikte ( ) da olup ( ) olarak alıabilir. Böylece her sayısıa karşılık e az bir ( ) reel sayısı buluabilmektedir; öyle ki ( ) içi ( 4) dur, yai ( 4) dür. 7
Foksiyolarda Limit Örek: 4 olduğuu tekiği ile göstere. Her içi ike sayısı bulmak gerekir. 4 olacak biçimde bir ( ) Şimdi 4 ( ) ( ) olup, 4 eşitsizliğide a bağlı, ( ) olacak biçimde bir ( ) var mı? Buu arıyoruz. Acak bu örekte eşitsizliğide eşitsizliğie varılıp, burada kolayca f ( ) L 4 ( ) olacak biçimde bir ( ) reel sayısıa buluamaz. Zira yukarıdaki so lu eşitsizlikte terimii yaıda bir de bir türlü kurtulamadığımız terimi vardır. Bu terimi ise aşağıdaki gibi bir ek kabulle amacımıza uygu bir hale getirmeliyiz. Buu içi civarıdaki lerle ilgileildiğide öce koşuluu göz öüe alalım. Bu koşuldaki sayısı ( ) u göstersi, yai ( ) olsu. (Burada yerie ; ;, ;, ; v.s. de alıabilirdi!). Böylece koşuluda 4 4 4 5 5 5 5 buluur. Böylece ( ) koşulu altıda (bu durumda 5 dir), 4 ( ) ( ) 5 eşitsizliğide olup bu 5 5 pozitif reel sayısı ( ) olarak alıabilir, yai ( ) seçilebilir. O halde 5 ( ) mi ( ), ( ) mi, olarak alıırsa (dolayısıyla hem 5 hem de sağlaır), her sayısıa karşılık, ( ) ike 4 olacak 5 biçimde bir ( ) mi, sayısı buluabilmekte Dolayısıyla 4 UYARI:Yukarıdaki örekte görülüyor ki 4 dür. Yai bu örek içi f ( ) f ( ) dır. Zate poliomlarda her zama bağımsız değişkeii a yaklaşırke buluacak it poliomu bu oktasıdaki değerie eşittir. 8
Foksiyolarda Limit Özel Limitler: Limit hesaplamakta, süreklilik-süreksizlik araştırmakta ve hatta taımda hareketle türev almakta çok işimize yarayacak belli başlı özel itleri vere: si, ta, Arcsi, Arc ta, e, u u ( u) e, l( ), e sih,, tah, ( ), burada UYARI:: Bu özel itler u u ( ) l u ( ) l( u) ; u( ) u olmak üzere u si u( ) si u olarak; u( ) u u u( ) u e e u( ) u Bu özel itlerde birkaçıı ispatı aşağıda örekler içide verilmiştir. olarak da kullaılabilir. Örek: si olduğuu gösteriiz. olmak üzere, birim çemberde AP yayıı uzuluğu m( AP) radya ya da AOP merkez açısıı ölçüsü de m( AOP) üzere yadaki şekilde alalar: radya olmak POA üçgeii alaı: A( POA) si si br POA daire diii alaı: A( POA) ( ) br ve TOA dik üçgeii alaı: A( TOA) ta ta br olup Şekil 8. si iti içi şekil. 9
Foksiyolarda Limit Bu üç ala karşılaştırılırsa; A( POA) A( POA) A( TOA) si ta si si cos bu so eşitsizliği her bir yaı si e bölüürse (si olduğuda eşitsizlikler yö değiştirmez) si si si si cos si si cos Bu so eşitsizlikler ters si çevrilirse cos olup her bir yaı içi iti alıırsa si si cos olup (Sadöviç Teoremi) si olup Örek: Örek: ta olduğuu gösteriiz. ta si si buluur..cos cos (özel it) Arc ta olduğuu gösteriiz. Arc ta itide Arc ta t döüşümü yapılırsa burada içi t olduğuda Arc ta Arc ta t ta t t t ta t ta t ta t t t t t t t ta t olup Örek: Arc si olduğuu gösteriiz. Arc si Arc si t si t t t t si t buluur. UYARI:: f() t f ( t) L ise t yararlaılır. si t t deilirse () sit f( t) t t t t ike Yai kısaca t f ( t) t si t Yukarıdaki örekte olduğu gibi, bir çok problemde bu it özelliğide t f t L
Foksiyolarda Limit Örek: Özel itlerde Öce dizilerdeki a e itii ispatıı vere. geel terimli dizii itii e olduğuu göstere. 9 64 a, a,5, a,7, 4 7 7 böylece devam edilirse a dizisii arta olduğu hissediliyor. Öce artalığıı, sora da üstte sıırlılığıı göstere. Buu içi biom (iki terimli) açılımda yararlaarak a buluur. Burada a ( ) ( ) ( ). ( ). ya da daha uygu bir yazılışla!!!.. (*) Elde edilir. Bu so eşitlikte her yerie yazılırsa buluacak yei ifadede sağ tarafta her bir paratez daha da büyüyeceğide ve yie bu tarafa yei bir pozitif ifade ekleeceğide her içi olmaktadır. Yai a dizisi kesi arta bir dizi Bu dizii üstte de sıırlı olduğuu göstermek içi (*) eşitliğide sağ taraftaki her bir paratez yerie daha büyük ola sayısı yazılarak ve sora yerie de (daima olduğuda) daha büyük-eşit ola!! ler alıarak daha da büyültmeler yapılırsa......!!! olup, her içi a tür.
Foksiyolarda Limit Dolayısıyle kesi arta ve üste sıırlı bir dizi yakısaktır ve bir ite sahiptir. Bu örekteki ite e deilirse, e irrasyoel ve trasadat (yüksek,aşkı) bir sayıdır. Bu e sayısı e,788884594556... biçimide UYARI:: Her içi! ( ) olup,!! Diziler içi e e olduğu gibi, sürekli değişkeler (reel değişkei) içi de doğru olduğuu göstere. Öce olsu. Her pozitif reel sayısıı biçimide yazabiliriz ( eşitsizlik ). içi dur. Bu eşitsizlikte ve hatta içi it araştırılırsa ike olduğuda e Bu so olarak da yazılabileceğide, olduğuda so eşitsizlikte her bir yaı iti alıırsa ve e e buluur, burada sadöviç teoremi gereği olup, burada e elde edilir. Hatta ike de it e Gerçekte itii hesabıda ( t ) döüşümü uygulaırsa içi t dır. O halde ( t) t ( t) ( t) t t t t t t t t t t t t t t t t t e e Yai t t t t t t t t t t t
Foksiyolarda Limit içi de e Souç olarak e Örek: u u ( u) e olduğuu gösteriiz. t ( ) u t u u u t e u t t u t Yai u u ( u) e l( ) Örek: olduğuu gösteriiz. l( ) l( ) l( ) l ( ) l e buluur. Yai l( ) Örek: e olduğuu gösteriiz. buluur. Yai e e t e t t l( t) ; t t l( t) t l( t) t e t Artık birçok foksiyou itii alabilecek güçteyiz. Aşağıda, özel itler dışıda fakat özel itlerde yararlaılarak çözüle örekler verilmiştir. Örek: si ta itii hesaplayıız. si si si si ta ta ta ta buluur.
Foksiyolarda Limit Örek: e si itii hesaplayıız. si si si si e e si e si e si si si (özel it) (özel it) t si t dö. ile e buluur. t t t cos Örek: itii hesaplayıız. cos ( cos ) cos si si ( cos ) ( cos ) cos si cos buluur. Örek: Arcsi l( ) itii hesaplayıız. Arc si Arc si ( ) Arcsi ( ) 9 l( 5 ) l( 5 ) l( 5 ) (5 ) 5 5 5 l( 5 ) 5 Arcsi 9 9 9. 5 5 5 buluur. Örek: l itii hesaplayıız. l l ( ) t dö. ile l( t) t t t (özel it) buluur. 4
Foksiyolarda Limit Örek: a a a itii hesaplayıız. a a a a a t dö. ile a a a a a a a a t a a ( t) a a a buluur. t t UYARI:: Burada çalışma, ayı zamada (özel it) ( ) itide yararlaıldı. ( bir sabit sayı.) Bu örekte yapıla u uu f ( ) f ( ) f ( a) f( a) a a f ( ) ola foksiyouu a oktasıdaki türev değeri ola itii (türevi it ile yapıla taımı olarak) hesaplamak demektir. Bu souç, foksiyouu (pratik yolda) türevi ola ile ayıdır. f ( a) a ( ) i f a oktasıdaki türev değeri Örek: itii hesaplayıız. buluur. Başka yolda çözüm: t dö. ile t ( t) t t t t ( t) ( t) ( t) t t t ( t) ( t) t t buluur. (Burada ( u) özel itide yararlaıldı. bir sabit sayı.) u u 5
Foksiyolarda Limit Örek: Arc ta 4 itii hesaplayıız. Arc ta Arc ta Arc ta ta ta 4 Arc Arc (+) + Arc ta Arc ta (+) + buluur. UYARI:: Burada u döüşümü ile u ve Arc ta ta Arc u u u Yukarıdaki öreği biraz daha geelleştirerek aşağıdaki örek de verilebilir. Örek: Arc ta Arc ta itii hesaplayıız. Arc ta Arc ta Arc ta Arc ta - (+ ) + Arc ta Arc ta - + - + + + ( ) buluur. UYARI:: Bu öreği çözümüde yerie ve yerie de yazılıp içi it alıırsa Arc ta( ) Arc ta buluur ki bu, f ( ) Arcta foksiyouu taımda hareketle (it yoluda) türevii f( ) olduğuu göstermekte (Taımda hareketle it çalışmasıda it değişkei olup, it değişkeie göre sabittir). 6
Foksiyolarda Limit Örek: 5 5 7 7 a a a itii hesaplayıız. 5 5 5 5 7 7 7 7 a 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 5 a a a 7 7 7 a a a a a a a a a a a a a 5 7 5 5 5 7 5 5 t dö. ile ( t) 5 5 5 7 a 7 7 7 7 a a a a a a a t t 7 7 7 a t a buluur. 5 (özel it) 7 Örek: a itii hesaplayıız. t a e dö. ile la t le t t a e e t l a t t t t t l a l a t e (l a).l a l a buluur. t t t ( özel it) Örek: log ( ) a itii hesaplayıız. Örek: log ( ) e e a log a( ) log a( ) log a ( ) log a itii hesaplayıız. ( ) ta si ( ) ta ( ) si cos cos 7
Foksiyolarda Limit si cos cos si si ( ) ( ) ( ) ( ) t t t si ( ) si ( ) si t t Örek: cota si itii hesaplayıız. cos cos cos cota si si si si si (cos ) si si si si (si ) buluur. si si l( ) Örek: ( e ) Arc ta 4 itii hesaplayıız. si l( ) si l( ) ( ) ( e ) Arc ta 4 e Arc ta 4 4 4 si l( ) ( )...( ) buluur. e Arc ta 4...4 8 8 4 4 Örek: ( cos 4 ) Arc ta ( )l( e ) itii hesaplayıız. ( cos 4 ) ta ( si ) ta Arc Arc ( e ) l( ) ( e ) l( ) 8
Foksiyolarda Limit si Arc ta si Arc ta ( ) 4 ( ) e l( ) e l( ) si Arc ta 4 4 8 e l( ) buluur. Örek: Aşağıdaki itleri hesaplayıız: a) 5 4, b) 4 5, c) 4 4, d) 4 5 5 5 Çözümler: a) 4 4 4 5 5 5 ( ) ( ) 4 4 4 buluur. b) 4 5 5 5 4 4 4 4 buluur. 4 4 4 4 ( ) 4 4 4 c) 9
Foksiyolarda Limit d) 4 4 4 ( ) 4 NOT: Bir poliomu (çok terimlii) bir polioma bölümüü dereceli terimleri oraıa bakmak yeterli Gerçekte içi iti araştırılırke e yüksek a, m ise b a a a a a, m ise m m m b b bm b m b, m ise Örek: 4 itii hesaplayıız. 4 ( ) e e e e buluur. Örek: 5 itii hesaplayıız. 5 4 4 6 8 4 4 4 6 8 4 4 e e e 6 buluur. 4
Foksiyolarda Limit Örek: (cos ) itii hesaplayıız. (cos ) [ (cos )] [ ( cos )] si si ( si ) si si si si si e e si si si si 4 () 4 e e e e e e buluur. e Örek: 4 itii hesaplayıız. 4 4 e e e buluur. u( ) v( ) u( ) e Limit çalışmalarıda karşılaşıla belirsizlik durumlarıda v( ) UYARI:: u ( ) ve v ( ) itteki belirsizlik ise dur. ise bu durumda v( ) u( ) v( ) u( ) e dir ve e i üssü ola 4
Foksiyolarda Limit Tek Taraflı (Solda veya Sağda) Limitler: Şimdiye kadar alıa itlerde aksi bir durum söz kousu olmadıkça bağımsız değişkei oktasıa (sayısıa) da küçük kalarak (solda) veya da büyük kalarak (sağda) yaklaşabiliyordu. Buu ( ) ola mutlak değerli eşitsizlik sayeside yapabiliyorduk. Ama baze verile foksiyou kedi özelliğide dolayı it çalışmalarıı tek taraflı yapmak gerekebilir, ya da özellikle süreksizlik çalışmalarıda süreksiz cisii belirlemek içi solda veya sağda itlere bakmak gerekir. Mesela f( ) foksiyouu oktasıdaki itii sadece solda iceleyebiliriz. Zira paydadaki karekökte dolayı sayısıa de küçük kalarak yaklaşmak gerekir. Bu iti biçimide göstereceğiz. Yie bezer bir biçimde l f( ) foksiyouu oktası civarıdaki itii de logaritma foksiyouu cota taım aralığıda dolayı, sadece pozitif ler içi yai içi araştırabiliriz. Solda Limit: İsteildiği kadar küçük bir sayısıa karşılık, eşitsizliğii sağlaya ler içi f ( ) L olacak biçimde bir ( ) sayısı buluabilirse, o zama bu L sayısıa, foksiyou oktasıdaki solda iti deir ve gösterilir. f( ) biçimide Bu it, ya da f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) olarak da gösterilir. Şekil 9. Foksiyou solda iti. 4
Foksiyolarda Limit Sağda Limit: İsteildiği kadar küçük bir sayısıa karşılık, eşitsizliğii sağlaya ler içi f ( ) L olacak biçimde bir ( ) sayısı buluabilirse, o zama bu L sayısıa, foksiyou oktasıdaki sağda iti deir ve f( ) biçimide gösterilir. Bu it, f ( ) f ( ) ya da f ( ) f ( ) olarak da gösterilir. Şekil. Foksiyou sağda iti. UYARI:: Solda itte da küçük kalarak, sağda itte ise da büyük kalarak a yaklaşılır. Sağda,solda it çalışmaları yei bir pozitif p reel değişkei yardımıyla şöyle yapılabilir: Sağda itte olup burada p deilerek p döüşümü yapılabilir. Burada p olup p içi it araştırılabilir. Bezer biçimde solda it içi değişkei sayısıda küçük kalarak a yaklaşacağıda (O-eksei üzeride oktası, daima ı soluda olacağıda) p döüşümü yapılır ve yie p olup p içi it araştırılır. Bu durumda pozitif p değişkei, taımda hareketle türev almadaki h veya gibi davramaktadır. Acak türevde h veya hem pozitif, hem de egatif olabilirke buradaki p değişkei sadece pozitif bir yei değişke p Örek: f ( ) l( ) foksiyouu oktasıda solda ve sağda itlerii hesaplayıız. p l( ) l ( p) l( p) p, p p p Solda it: ( ) 4
Foksiyolarda Limit l( p) l( p) l( ) p p p p p p p p p (özel it) buluur. (Burada l( p) l[ ( p)] p p p ( p) özel ittir.) Sağda it: p l( ) l ( p) l( p) p, p p p ( ) l( p) l( p) l( p) p p buluur. p p p p p p (özel it) Şekil. f ( ) l( ) i grafiği. Şekil. f ( ) l( ) i grafiği. UYARI:: Bu örekte f ( ) l( ) foksiyouu oktasıda solda ve sağda itleri var ve ayı olduğuda, bu oktada foksiyou iti vardır ve bu it f () l( ) l olduğuda bu örekte f ( ) l( ) dır. Üstelik f ( ) f () dır. Yai, ileride de görüleceği üzere bu foksiyo oktasıda sürekli Hatta taımda hareketle (it yoluda) sağda ve solda türevlerie de bakılacak ve oktasıda foksiyou türevii olmadığı da söyleebilecek. (Foksiyo bir oktada sürekli olduğu halde, bu oktada türevli olmayabilir. Fakat türevli olduğu bir oktada mutlaka sürekli). 44
Foksiyolarda Limit Bu öreği ikici bir yolda çözümü: Eğer solda ve sağda itlerde p 'li çalışma yapılmak istemiyorsa, o zama öce mutlak değerli ifade mutlak değer dışıa alımalıdır. Yai verile mutlak değerli ifade parçalı, (dalladırılmış) biçimde yazılmalıdır; l( ), ise f ( ) l( ), ise l( ), ise ı soluda it çalışılırke yukarıdaki parçalı foksiyou e üst parçası (dalı) üzeride ve ı sağıda it çalışılırke e alttaki parçası (dalı) üzeride itler alımalıdır. Bua göre solda it; l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) buluur. Bezer biçimde sağda it çalışması ise l( ) l( ) l( ) l( ) l( ) dır. Örek: f( ) foksiyouu deki solda ve sağda itlerii hesaplayıız. Solda iti p ( p) ( p p ) p p p, p p ( p) p ( p) p p ( ) ( ) ( p) p ( p) p ( p) buluur. p p p p p Sağda iti ise p ( p) ( p p ) p p p, p p ( p) p ( p) p p ( p p ) p p p p p( p) [( ) ( p)] p p p p p p p p p 45
Foksiyolarda Limit Bu öreği ikici bir yolda çözümü: f( ) foksiyouu payıdaki mutlak değer ifadesii sıfır yerleri yai deklemii kökleri - ve + olup, kökler arası pozitif, kökler dışı egatif olduğuda ( ), ise, ise f ( ), ise, ise ( ), ise olarak yazılabilir. Bu örekte sadece oktasıda solda ve sağda it araştırılması istemekte Buu içi foksiyou oktasıda solda iti araştırılırke parçalı foksiyou üçücü satırı kullaılmalıdır, sağda iti araştırılırke de parçalı foksiyou so satırı kullaılmalıdır. Böylece solda iti ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) Buluur. Sağda iti ise ( ) ( ) f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Örek: cos f( ) foksiyouu oktasıdaki solda ve sağda itii buluuz. cos p cos p f ( ) ( ) p p, p p si p si p si p si p p p p p p p p p 46
Foksiyolarda Limit Sağda iti ise cos p cos p f ( ) ( ) p p, p p si p si p si p si p p p p p p p p p Bu öreği de ikici bir yolda çözümü: cos f( ) foksiyouu payıdaki mutlak değerli ifadeyi, mutlak değer dışıa parçalı foksiyo olarak oktası civarıda, cos, ise cos, ise cos, ise biçimide çıkarılabilir. Bua göre foksiyou solda iti si si cos cos f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) si ( ) ( ) (özel it) buluur. Sağda iti ise si si cos cos f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 47
Foksiyolarda Limit si ( ) ( ) (özel it) Örek:, ise f ( ), ise, ise foksiyouu ve oktalarıdaki solda ve sağda itlerii buluuz. Burada foksiyou solda ve sağda itleri araştırılırke p 'li çalışma yapmaya gerek yoktur. Çükü foksiyou gerek i gerekse ü soluda ve sağıda kesi taımları yukarıdaki parçalı (dalladırılmış) foksiyoda verilmiştir. Bua göre içi itler f ( ) f ( ) ( ) f( ) f( ) olup f ( ) f ( ) ( ) f( ) oktasıdaki solda ve sağda itleri ise f f f f f( ) f( ) olup ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) 9 f ( ) YOK tur. UYARI:: Bu örekte foksiyo oktasıda taımlı olmadığı halde itlidir, oktasıda ise taımlı olduğu halde itli değil Yai de iti yoktur. Örek: f ( ) foksiyouu deki iti edir? Foksiyo çift kuvvette köke sahip olduğuda içi taımlı olacağıda, yai bağımsız değişkei ye eşit ya da de büyük olacağıda iti de sadece içi araştırılabilir. p f ( ) f ( ) ( p) p p, p p p UYARI:: Hatta f () dır ve olduğuda, yai foksiyo içi ileride oktasıda sağda süreklidir deilecek. f ( ) f ( ) olduğuda bu 48