ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ. q-kantorovich TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ

ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ q-kantorovich TİPLİ LİNEER POZİTİF OPERATÖRLERİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ Özge (ÖZER) DALMANOĞLU MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 200 Her haı salıdır

ÖZET Dotora Tezi q-kantorovich T IPL I L INEER POZ IT IF OPERATÖRLER IN YAKLAŞIM ÖZELL IKLER I Özge (ÖZER) DALMANO ¼GLU Aara Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dal Da şma: Doç. Dr. Ogü DO ¼GRU Bu tez dört bölümde oluşmatad r. Birici bölüm giriş sm a ayr lm şt r. Bu s mda tezde ele al a ou ve bu ouyla ilgili ola literatürdei di¼ger çal şmalar saca özetlemiştir. Iici bölümde temel avramlara yer verilmiştir. "Lieer pozitif operatörler" ta m da başlaara, operatör dizileri içi "düzgü ya sal " avram ve buula beraber "Korovi Teoremi" ele al m şt r. Yalaş mlar teoriside ço öemli bir yere sahip ola Berstei operatörleri ve geelleşmeleri hat rlat lm ş, bilie baz souçlar verilmiştir. So olara, tezde s l la ullaaca¼g m z q-aaliz ousuu temel ta m ve özellilerie yer verilmiştir. Üçücü bölümde q-berstei operatörlerii Katorovich tipli bir geelleşmesi ta mlam ş ve bu operatörü lasi alamda yalaş m özellileri icelemiştir. So bölümde, istatistisel ya sal avram hat rlat lm ş ve q-berstei-katorovich operatörüü istatistisel yalaş m özellileri icelemiştir. Bu operatörü yalaş m h z iceleme istedi¼gimizde arş m za ç a problemlere de¼giilmiş ve bu do¼grultuda "iici tip q-berstei-katorovich operatörü" ta mlam şt r. Bu operatörü istatistisel ya sal ¼g icelemiş ve istatistisel yalaş m h z sürelili modülü ve Lipschitz s f da fosiyolar yard m yla elde edilmiştir. Bu bölümde so olara q-meyer-köig ve Zeller (q-mkz) operatörlerii Katorovich tipli geelleşmesi ta mlam ş ve istatistisel yalaş m özellileri icelemiştir. Hazira 200, 57 sayfa Aahtar Kelimeler :Berstei operatörü, Katorovich tipli geelleşmeler, q-aaliz, düzgü ya sal, istatistisel ya sal, sürelili modülü, Lipschitz s f, Meyer- Köig ve Zeller operatörü. i

ABSTRACT Ph.D. Thesis APPROXIMATION PROPERTIES OF q-kantorovich TYPE LINEAR POSITIVE OPERATORS Özge (ÖZER) DALMANO ¼GLU Aara Uiversity Graduate School of Natural Ad Applied Scieces Departmet of Mathematics Supervisor: Assoc. Prof. Ogü DO ¼GRU This thesis cosists of four chapters. The rst chapter has bee devoted to the itroductio. I this part, the issue of the thesis ad some other studies i literature related to this issue have bee summarized. I the secod chapter, basic otios have bee recalled. Startig from the de itio of liear positive operators, the otio of "uiform covergece" for the sequece of operators ad the "Korovi Theorem" have bee metioed. The Berstei operators, their geeralizatios ad some ow results cocerig these geeralizatios have bee cosidered. Lastly, the basic de itios from the cocept of q-aalysis, which will frequetly be used i this thesis, have bee recalled. I the third chapter, Katorovich type geeralizatio of q-berstei operators have bee itroduced ad the classical approximatio properties have bee examied. I the last chapter, the statistical approximatio properties of q-berstei-katorovich operators have bee cosidered. The problems, appeared i aalyzig the approximatio order of the operators, have bee metioed ad accordigly "the secod type q-berstei-katorovich operators" have bee costructed. The statistical covergece of this secod operator has bee examied ad approximatio order is obtaied by meas of modulus of cotiuity ad with the help of fuctios from Lipschitz class. Lastly, similar ivestigatios are doe for the Katorovich type geeralizatio of q-meyer-köig ad Zeller (q-mkz) operators. Jue 200, 57 pages Key Words: Berstei operators, Katorovich type geeralizatios, q-aalysis, uiform covergece, statistical covergece, modulus of cotiuity, Lipschitz class, Meyer-Köig ad Zeller operators. ii

TEŞEKKÜR Dotora e¼gitimimi her safhas da ya ilgi ve öerileri ile bei yöledire de¼gerli da şma hocam, Doç. Dr. Ogü DO ¼GRU (Gazi Üiversitesi Fe Faültesi) ya, çal şmam boyuca yard mlar ve öerilerii bede esirgemeye de¼gerli hocalar m Say Prof. Dr. Abdullah ALTIN (Aara Üiversitesi Fe Faültesi), Prof. Dr. Nurhayat ISP IR (Gazi Üiversitesi Fe Faültesi) ve Doç. Dr. Nuri ÖZALP (Aara Üiversitesi Fe Faültesi) e e içte sayg ve teşeürlerimi suar m. Çal şmalar m süresice bütü s t lar m paylaşa, deste¼gi ve güveiyle bei cesaretledirere hep ya mda ola sevgili eşim Mete Dalmao¼glu a, bilgilerii ve yard mlar bede esirgemeye sevgili aradaşlar m Elif Demirci ye ve Sibel Ersa a, ve so olara; bei hayat m her aşamas da desteleye, varl lar yla baa güç vere güzel aileme sosuz teşeürler ederim. Özge (ÖZER) DALMANO ¼GLU Aara, Hazira 200 iii

IÇ INDEK ILER ÖZET........................................................ ABSTRACT.................................................. TEŞEKKÜR.................................................. S IMGELER D IZ IN I........................................... G IR IŞ..................................................... 2. TEMEL KAVRAMLAR 3 2. Lieer Pozitif Operatörler.................................. 3 2.2 Lieer Pozitif Operatörleri Ya sal ¼g.................. 3 2.3 Lieer Pozitif Operatörleri Yalaş m H z................. 5 2.3. Sürelili modülü ve özellileri.......................... 6 2.3.2 Lipschitz s f da fosiyolar ve özellileri............ 7 2.4 Berstei Operatörleri ve Geelleşmeleri.................. 7 2.4. q-aaliz................................................. 8 3. OPERATÖRLER IN OLUŞTURULMASI................... 4 3. q-berstei-katorovich Operatörü........................ 4 3.2 q-berstei-katorovich Operatörüü Yalaş m Özellileri 8 4. q-bernstein-kantorovich OPERATÖRÜNÜN ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLI ¼GI......................... 22 4. Istatistisel Ya sal................................... 22 4.2 q-berstei-katorovich Operatörüü Istatistisel Ya sal ¼g.................................... 23 4.3 K s tlam ş q-itegral ve Riema tipli q-itegral Ta mlar ve Özellileri.................................... 28 4.4 Iici tip q-berstei-katorovich Operatörüü Istatistisel Ya sal ¼g................................... 3 4.5 Iici tip q-berstei-katorovich Operatörüü Istatistisel Yalaş m H z................................. 37 4.5. Sürelili modülü yard m yla yalaş m h z icelemesi............................. 37 4.5.2 Lipschitz s f da fosiyolar yard m yla yalaş m h z icelemesi............................. 4 4.6 q-mkz-katorovich Operatörü ve Yalaş m Özellileri..... 44 KAYNAKLAR................................................ 53 ÖZGEÇM IŞ.................................................. 57 i ii iii v iv

S IMGELER D IZ IN I L(f; x) Lf fosiyouu x otas da ald ¼g de¼ger C[a; b] [a,b] aral ¼g da ta ml ve süreli fosiyolar uzay L [a; b] [a,b] aral ¼g da itegralleebile fosiyolar uzay f C[a;b] C[a; b] fosiyo uzay üzeride ta ml orm B (f; x) f fosiyouu Berstei poliomu f f (f ) fosiyo dizisii f fosiyoua düzgü ya samas w(f; ) f fosiyou sürelili modülü Lip M () Lipschitz s f da fosiyolar uzay K (f; x) Berstei-Katorovich operatörü D (f; x) Berstei-Durrmeyer operatörü d q f(x) f(x) fosiyouu q-diferesiyeli D q f(x) f(x) fosiyouu q-türevi I q (f; a; b) f(x) fosiyouu [a; b] aral ¼g dai q-itegrali R q (f; a; b) f(x) fosiyouu [a; b] aral ¼g dai Riema tipli q-itegrali B (f; q; x) q-berstei operatörü ~B (f; q; x) q-berstei-katorovich operatörü B(f; q; x) Iici tip q-berstei-katorovich operatörü M (f; x) Meyer-Köig ve Zeller (MKZ) operatörü M ;q (f; x) q-mkz operatörü M(f; q; x) q-mkz-katorovich operatörü v

. G IR IŞ Yalaş mlar teorisi matemati¼gi birço dal yla ya ilişi içerisidedir. Özellile fosiyoel aaliz, yalaş mlar teoriside ortaya oula problemleri çözümü içi öemli bir araç iteli¼gide olup, bu teori içi temel teşil etmetedir. Fosiyo uzaylar da "süreli fosiyolara yalaş m" problemi il defa Weierstrass (885) taraf da ele al m şt r. Weierstrass, apal bir [a; b] aral ¼g da süreli ola fosiyolara düzgü ya saya poliomlar varl ¼g göstermiştir. Bu "varl " teoremide sora 92 y l da Berstei, bu poliomlar gösterimii de verere Weierstrass teoremii [0; ] aral ¼g da terar ispatlam şt r. Literatürde "Berstei poliomlar " olara bilie bu poliomlar lieer pozitif operatörlerdir. Bohma (952) ve Korovi (953), Berstei operatörleride yola ç ara, lieer pozitif operatörleri süreli fosiyolara düzgü ya samas ile ilgili ço öemli bir teorem vermişlerdir. Solu aral ta düzgü ya sama gerçelemesi içi sadece üç oşulu icelemesii yeterli oldu¼gu bu teorem sayeside birço yei lieer pozitif operatörü (Meyer-Köig ve Zeller operatörleri, Szasz operatörleri, Bleima, Butzer ad Hah operatörleri gibi) yalaş m özellileri icelemiştir. Berstei operatörleri ta mlad ta sora bu operatörleri çeşitli geelleşmeleri ele al m şt r. Öre¼gi, birço yazar aalizde bilie temel teoremler yard m yla Berstei operatörlerii itegral tipli geelleşmelerii ta mlam ş ve bu operatörleri yalaş m özellilerii icelemiştir (Katorovich 930, Durrmeyer 967, Derrieic 98). Temelde Durrmeyer-tipli ve Katorovich-tipli geelleşmeler olara adlad r la itegral tipli bu geelleşmeler, itegralleebilir fosiyolar uzay da yalaş m yapabilme ihtiyac da ortaya ç m şt r. Berstei operatörlerii di¼ger bir geelleşmesi de q-aaliz teorisie daya r. q-aaliz teorisii temelleri il defa 8. yüzy lda Euler taraf da at lm ş ve 9. yüzy lda bu alada öemli souçlar elde edildi¼gi çeşitli çal şmalar yap lm şt r. 20. yüzy l iici yar s da q-aalizi matemati ve zi alalar dai çeşitli uygulamalar ortaya ç m ş ve buda sora bu teoriye ola ilgi h zla artm şt r. So y llarda mate-

mati ala da, lasi aalizde bilie birço ta m ve teoremi ya s ra bilie baz itegral eşitsizlerii de q-geelleşmeleri üzeride çal ş lmatad r (Gauchma 2004, Brahim 2008, Fitouhi ad Brahim 2008, Mariović vd. 2002, 2008). Berstei operatörlerii q-geelleşmesi il defa Lupaş taraf da ele al m şt r (Lupaş 987). Daha sora 996 y l da Philips yei bir geelleşme yapara, literatürde "q-berstei operatörleri" olara bilie operatörleri ta mlam ş ve yalaş m özellilerii icelemiştir. 0 y l aşa süredir q-berstei operatörlerie ola ilgi devam etmete ve birço çal şma yap lmatad r. Buu ya s ra q-berstei operatörlerii ta mlamas, di¼ger operatörleri de q-geelleşmelerii oluşturulmas da öcü olmuştur. Yalaş mlar teoriside, lasi ya sal avram ile ilgili çal şmalar sürere, so y llarda "istatistisel ya sal " avram da öemli bir ou olara arş m za ç m şt r. Il defa 950 y l da Fast taraf da ta mlaa istatistisel ya sal avram Gadjiev ve Orha (2002) lieer pozitif operatör dizileri içi Korovi tipli yalaş m teoremi elde etme içi ullam şlard r. Bu teoremle birlite bilie birço operatörü istatistisel yalaş m özellileri ve yalaş m h zlar icelemiştir (Do¼gru vd. 2003, Do¼gru ve Duma 2006). Bu dotora tezide q-berstei operatörlerii Katorovich tipli bir geelleşmesi oluşturulara, operatörü lasi ve istatistisel yalaş m özellileri iceleecetir. Tezi iici bölümüde ouyla ilgili bilie temel avramlar hat rlat lacat r. Üçücü bölümde q-berstei-katorovich operatörü oluşturulara, sadece lasi alamda yalaş m özellileri iceleecetir. Dördücü bölüm istatistisel yalaş m ousua ayr lm şt r. Bu bölümde öcelile, üçücü bölümde oluşturula operatörü istatistisel yalaş m özellileri iceleece, daha sora yalaş m h z belirlemede arş laş la zorlularda bahsedilece ve q-aaliz teorisii so y llardai çal şmalar da faydala lara yei bir operatör ta m verilecetir. Bu ta m sayeside operatörü yalaş m özellileri ve yalaş m h z iceleecetir. Bölümü so sm da bezer çal şmalar Trif (2000) taraf da ta mlaa q-meyer-köig ve Zeller (q-mkz) operatörleri içi verilecetir. 2

2. TEMEL KAVRAMLAR Bu bölümde, dotora tezimizde ullaaca¼g m z baz avramlar hat rlat laca, temel teoremler ve ta mlar verilecetir. 2. Lieer Pozitif Operatörler X ve Y fosiyo uzaylar olma üzere X ümeside Y ümesie ola bir L döüşümüe operatör deir. Bu durumda L operatörü X uzay da ta ml her f fosiyoua Y uzay da bir Lf fosiyou arş l getirir. Bu Lf fosiyouu x otas da ald ¼g de¼ger L(f; x) ile gösterilir. E¼ger her f; g 2 X ve her, 2 R içi, L(f + g; x) = L(f; x) + L(g; x) (2.) oşuluu sa¼gl yor ise, L(f; x) operatörüe lieerdir deir. E¼ger L operatörü pozitif bir f fosiyouu pozitif bir Lf fosiyoua döüştürüyorsa; yai her x 2 X içi f(x) 0 ie L(f; x) 0 (2.2) sa¼gla yor ise, L(f; x) operatörüe pozitiftir deir. 2.2 Lieer Pozitif Operatörleri Ya sal ¼g Kapal bir [a; b] aral ¼g üzeride ta ml ve süreli ola tüm reel de¼gerli fosiyolarda oluşa ümeye C[a; b] fosiyo uzay deir. uzaydai orm ile gösterilir. E¼ger her x 2 [a; b] içi f 2 C[a; b] olma üzere, bu f C[a;b] = max jf(x)j (2.3) x[a;b] lim f f C[a;b] = lim max jf!! (x) f(x)j = 0 (2.4) x[a;b] 3

oşulu sa¼gla yorsa (f ) fosiyolar dizisi f fosiyoua C[a; b] ormuda düzgü ya sat r deir ve f f ile gösterilir. Yalaş mlar teoriside düzgü ya sal avram il defa Weierstrass taraf da aşa¼g dai şeilde verilmiştir. Teorem 2.2.. (Weierstrass, 885) f(x) 2 C[a; b] olsu. Her " > 0 içi jf(x) p (x)j < " (2.5) olaca şeilde bir p (x) poliomu vard r. Yai özetle, apal aral ta süreli ola her fosiyoa bu aral ta düzgü ya saya bir poliom vard r. Ili 885 y l da Weierstrass taraf da verilmiş ola bu temel teoremi birço ispat yap lm şt r. Bularda e öemlisi Berstei taraf da 92 y l da verilmiştir. Teorem 2.2.2. Berstei poliomu (Berstei, 92) f : [0; ]! R olma üzere, f fosiyouu B (f; x) = X f x ( x) (2.6) ile ta mla r ve f 2 C[0; ] olma üzere, her " > 0 içi jf(x) B (f; x)j < " (2.7) dir. Berstei bu teoremiyle [0; ] aral ¼g da düzgü ya saya bir poliomu sadece varl ¼g da söz etmemiş ay zamada bu poliomu aç bir şeilde ifade de etmiştir. Böylelile, Weierstrass yalaş m teoremi daha basit ve alaş labilir bir şeilde ispatlam şt r. 4

953 y l da ise Korovi, lieer pozitif operatörler yard m yla f fosiyoua yalaşma problemie dair ço öemli bir teorem vermiştir. Teorem 2.2.3. (Korovi, 953) f(x) 2 C[a; b] ve tüm reel esede jf(x)j M f olsu. E¼ger L (f) lieer pozitif operatör dizisi, her x 2 [a; b] ve e i = t i olma üzere i = 0; ; 2 içi L (e i ; x) x i oşullar sa¼gl yorsa, bu durumda [a; b] aral ¼g da L (f; x) f(x) dir. Korovi teoremi lieer pozitif operatörleri süreli fosiyolara düzgü ya sal ¼g ispatlamada olduça basit bir yötem vermiştir. (2.6) ile verile Berstei poliomlar da [0; ] aral ¼g da lieer pozitif oldu¼guda bu operatörleri [0; ] aral ¼g da süreli ola f fosiyoua düzgü ya sad ¼g Korovi Teoremi yard m yla olayl la gösterilmiştir. 2.3 Lieer Pozitif Operatörleri Yalaş m H z Yalaş mlar teoriside büyü öem taş ya "düzgü ya sama" avram a de¼gidite sora şimdi de "ya sama h z " avram a geçelim. Ta m 2.3.. (f (x)) fosiyo dizisi lim f (x) = 0! şart sa¼gl yorsa, bu durumda (f (x)) e sosuz üçüle dizi deir. Ta m 2.3.2. ( ) ve ( ), her 2 N + içi ve! içi! 0 ve! 0 oşullar sa¼glaya fosiyo dizileri olsular. Bu durumda ( ) dizisii s f ra yalaşma h z ( ) dizisiiide daha h zl d r deir. 5

Öcei bölümde lieer pozitif bir (L (f; x)) operatör dizisii belli şartlar alt da f(x) fosiyoua düzgü ya sad ¼g belirtmişti. Böyle bir durumda L (f) f ifadesii s f ra ya saya bir dizi olara alabiliriz. Böylece! içi! 0 olma üzere, e¼ger L f f C olaca şeilde bir ( ) dizisi bulabilirse, ( ) i s f ra yalaşma h z L (f; x) i f(x) e yalaşma h z de¼gerledirmemize yard mc olur. Bu de¼gerledirme geellile "sürelili modülü" ve "Lipschitz s f da fosiyolar" yard m yla yap lmatad r. 2.3. Sürelili modülü ve özellileri Ta m 2.3.4. f(x) bir I aral ¼g da ta mlam ş fosiyo olma üzere, w(f; ) = sup x ;x 2 2I jx x 2 j jf(x ) f(x 2 )j (2.8) ifadesie, f fosiyouu I aral ¼g da sürelili modülü ad verilir. w(f; ) fosiyou aşa¼g dai özellileri sa¼glar:. w(f; ) 0 2. 2 ise w(f; ) w(f; 2 ) 3. w(f + g; ) w(f; ) + w(g; ) 4. mn içi w(f; m) mw(f; ) 5. R + içi w(f; ) ( + )w(f; ) 6. jf(t) f(x)j w(f; jt xj) 7. jf(t) f(x)j jt xj + w(f; ) E¼ger f 2 C[a; b] ise, lim!0 +w(f; ) = 0 (2.9) 6

dir. 2.3.2 Lipschitz s f da fosiyolar ve özellileri Ta m 2.3.5. f(x) bir I aral ¼g da ta mlam ş fosiyo olsu. 0 < olma üzere, her x ; x 2 2 I içi jf(x ) f(x 2 )j M jx x 2 j (2.0) olaca şeilde bir M > 0 varsa, f ye Lipschitz s f dad r deir ve f 2 Lip M () ile gösterilir. Bir I aral ¼g da. f 2 Lip M () ise f fosiyou bu aral ta sürelidir. 2. > içi f 2 Lip M () ise f sabit fosiyodur. 2.4 Berstei operatörleri ve geelleşmeleri Yalaş mlar teoriside ço öemli bir yere sahip ola Berstei operatörleriyle ilgili literatürde birço çal şma yap lm şt r. Tezimizde Berstei operatörlerii itegral tipli ve q-tipli geelleşmeleride yararlaaca¼g m z içi, şimdi bu avramlara ve ilgili çal şmalara de¼gielim. Belirtelim i, Berstei poliomlar süreli olmaya fosiyolara yalaş m yapma içi uygu de¼gildir. Öre¼gi, itegrallaebilir fosiyolar uzay da yalaş m elde edebilme amac yla Berstei operatörlerii modi ye edilmesie ihtiyaç duyulmuştur ve bu modi asyo il defa Katorovich (930) taraf da yap lm şt r. Bua göre, K : L ([0; ])! C([0; ]) olma üzere Berstei-Katorovich operatörü, 8 2 N ve 8x 2 [0; ] içi K (f; x) = ( + ) X p ; (x) Z (+)=(+) =+ f(u)du (2.) 7

ile ta mla r. Burada p ; (x) = x ( x) d r. Bu operatörü her f 2 C[0; ] olma üzere, [0; ] aral ¼g da f fosiyoua düzgü ya sad ¼g Korovi Teoremi yard m yla gösterilmiştir (Altomare ve Campiti 994). Berstei operatörlerii di¼ger bir itegral geelleşmesi de 967 y l da Durrmeyer (967) taraf da verilmiştir. olma üzere, f 2 L ([0; ]) ve x 2 [0; ] içi Berstei-Durrmeyer operatörü D (f; x) = X Z ( + ) 0 t ( t) f(t)dt x ( x) (2.2) ile ta mla r. L ([0; ]) fosiyo uzay da C([0; ]) fosiyo uzay a ola D operatörü lieer pozitif bir operatördür ve Derrieic (98) taraf da ayr t l bir biçimde icelemiştir. Berstei operatörleriyle ilgili bir başa çal şmada q-tipli geelleşmeler üzeriedir. Bu geelleşmelere geçmede öce q-aaliz ile ilgili baz hat rlatmalar yapal m. 2.4. q-aaliz Ta m 2.4.. q-lar pozitif reel say lar olma üzere, egatif olmaya bir say s q-geelleşmesi q-biom atsay s 8 >< [] q = >: q q, q 6=, q = 2 4 3 5 q = [] q! [] q! [ ] q! ( 0) 8

ve q-fatöriyeli 8 < [] q [ ] q ::: [] q ; = ; 2; :: [] q! = : ; = 0 şelide ta mla r (Adrews 999). Ta m 2.4.2. Herhagi bir f(x) fosiyouu q-diferesiyeli d q f(x) = f(qx) f(x) (2.3) ile ta ml d r. Özel olara d q x = (q )x dir. Klasi diferesiyel ta m da farl olara, q-diferesiyelde ii fosiyou çarp m diferesiyeli simetri özelli¼gi taş maz. Gerçetede (2.3) ifadeside d q (f(x)g(x)) = f(qx)d q g(x) + g(x)d q f(x) (2.4) oldu¼gu görülür. Ta m 2.4.3. Herhagi bir f(x) fosiyouu q-türevi ile verilir. D q f(x) = d qf(x) d q x Öre¼gi, D q x = [] q x fosiyolar çarp mlar q-türevi oldu¼gu olayl la görülür. (2.4) ifadeside f(x) ve g(x) D q (f(x)g(x)) = f(qx)d q g(x) + g(x)d q f(x) (2.5) olara elde edilir. 9

Ta m 2.4.4. (x poliomu ile ifade edilir. a) ifadesii q-geelleşmesi 8 < = 0 (x a) q = : (x a)(x qa):::(x q a) Tümevar m yötemiyle, her 2 N içi D q (x a) q = []q (x a) q (2.6) oldu¼gu gösterilmiştir (Kac ve Cheug 953). (a x) q ifadesii q-türevii bulma istedi¼gimizde (a x) q 6= ( ) (x a) q olmas sebebiyle (2.6) eşitli¼gii ullaam yoruz. Buu yerie (a x) q = (a x)(a qx)(a q 2 x):::(a q x) = (a x)q(q a x)q 2 (q 2 a x):::q (q + a x) = ( ) q ( )=2 (x q + a):::(x q 2 a)(x q a)(x a) = ( ) q ( )=2 (x q + a) q ifadeside, (2.5) ile verile çarp m ural 2 ere uygulayara, D q ((a x) q ) = [] q (a qx) q (2.7) eşitli¼gi elde edilir. f(x) diferesiyelleebilir bir fosiyo olma üzere dir. lim D qf(x) = df(x) q! dx q-aalizde türev avram yla ilgili temel ta mlarda sora şimdi de itegral avram ele alal m. Öcelile bir fosiyou q-atitürevide bahsedelim. 0

Ta m 2.4.5. D q F (x) = f(x) olaca şeilde bir F (x) fosiyoua f(x) fosiyouu q-atitürevi deir ve Z F (x) = f(x)d q x ile gösterilir. Ta m 2.4.6. 0 < a < b ve 0 < q < olsu. f(x) fosiyouu [0; b] aral ¼g dai q-itegrali I q (f; 0; b) = ile ta mla r. Z b f(x)d q x = ( 0 j=0 X q)b f(q j b)q j (2.8) E¼ger f(x) fosiyou, [0; b] aral ¼g da süreli bir fosiyo ise, lim q! Z b f(x)d q x = Z b 0 0 f(x)dx dir. f(x) fosiyouu [a; b] aral ¼g dai q-itegrali I q (f; a; b) = Z b f(x)d q x = Z b a 0 f(x)d q x X = ( q) j=0 ile ta mla r (Kac ve Cheug 953). Z a 0 f(x)d q x bf(q j b) af(q j a) q j (2.9) E¼ger (2.8) ve (2.9) da verile seriler ya sasa, bu tatirde, f fosiyou s ras yla [0; b] ve [a; b] aral lar da q-itegralleebilirdir deir. Klasi aalizde türev ve itegral aras dai ba¼g t y vere ifade "aalizi temel teoremi" olara adlad r lmatad r. Aşa¼g da ispats z olara verece¼gimiz teorem de q- türev ve q-itegral aras dai ba¼g t y ortaya oymata ve bezer şeilde "q-aalizi temel teoremi" olara literatüde yer almatad r.

Teorem 2.4.. 0 a < b olsu. F (x) fosiyou x = 0 da süreli olma üzere, bir f(x) fosiyouu q-atitürevi ise, Z b a f(x)d q x = F (b) F (a) d r (Kac ve Cheug 953). Yalaş mlar teoriside q aaliz avram ulla lmas il defa 987 y l da Lupaş taraf da olmuştur. Lupaş (987), Berstei operatörlerii q geelleşmesii ta mlam ş ve daha sora Ostrovsa (2006) ise, ta mlaa bu operatörleri düzgü ya sal ¼g icelemiştir. 996 y l da ise Philips, Berstei operatörlerii, daha sora da üzeride s l la çal ş la yei bir geelleşmesii, f : [0; ]! R olma üzere B (f; q; x) = X f [] [] Y x s=0 ( q s x) (2.20) şelide ta mlam şt r. q il üç test fosiyou Berstei poliomu olara adlad r la bu operatör içi B (e 0 ; q; x) = B (e ; q; x) = x (2.2) B (e 2 ; q; x) = x 2 x( x) + [] olara elde edilmiş ve aşa¼g dai teoremle operatörü düzgü ya sal ¼g verilmiştir. Teorem 2.4.2. (q ) dizisi 0 < q < olma üzere,! içi q! oşuluu sa¼glas. Bu tatirde her f 2 C[0; ] içi B (f; q ; x) f(x) (x 2 [0; ];! ) dir. q-berstei poliomlar 997 y l da itibare birço yazar taraf da ele al m ş ve bu poliomlarla ilgili ço say da çal şma yap lm şt r (Oruç 999, Il isii ve Ostrovsa 2

2002, Ostrovsa 2003, Philips 2003, Videsii 2005). q-berstei poliomlar ard da di¼ger birço operatörü de q-tipli geelleşmeleri icelemiş ve yalaş m özellileri çal ş lm şt r. So y llarda ise, itegral tipli operatörleri q-tipli geelleşmeleri üzeride çal şmalar yap lmatad r. Öre¼gi, Derrieic (2005), (2.2) ile verile Berstei-Durrmeyer operatörlerii q-tipli bir geelleşmesii ta mlam ş ve operatörü yalaş m özellilerii ayr t l bir biçimde icelemiştir. Daha sora Gupta ve Hepig 2008 y l da farl bir q-geelleşme üzeride çal şm şlar ve q-berstei-durrmeyer operatörlerii, f 2 C[0; ]; x 2 [0; ] olma üzere L ;q (f; x) = [ + ] X q ( ) p (q; x) Z = 0 f(t)p ; (q; qt)d q t + f(0)p ;0 (q; x) (2.22) olara ta mlam şlard r. Gupta ve Fita (2009) ise (2.22) operatörü içi baz loal ve global yalaş m teoremleri vermişlerdir. 3

3. OPERATÖRLER IN OLUŞTURULMASI Bu bölümde amac m z (2.20) ile verile q-berstei operatörüü Katorovich tipli bir geelleşmesii oluşturara yalaş m özellilerii icelemetir. 3. q-berstei-katorovich Operatörü Il defa Philips taraf da ta mlaa q-berstei operatörüü Katorovich tipli geelleşmesii, f, [0; ] aral ¼g da q-itegralleebilir bir fosiyo olma üzere, her 2 N ve q 2 (0; ) içi ~B (f; q; x) = [ + ] X Z [+]=[+] []=[+]! Y f(t)d q t q x ( q s x) (3.) s=0 ile ta mlayal m (Dalmao¼glu 2007, Radu 2008). ~B (f; q; x) operatörüü yalaş m özellilerii icelemede öce aşa¼g dai lemmalar verelim. Lemma 3... ~ B (f; q; x) operatörü içi ~B (e 0 ; q; x) = dir. Ispat. ~ B (f; q; x) operatörüde f yerie e 0 (x) al ara elde edile ~B (e 0 ; q; x) = [ + ] X Z [+]=[+] []=[+]! Y d q t q x ( q s x) (3.2) s=0 ifadeside [ + ] [] = q ; X q j = q ; 0 < q < j=0 4

eşitlileride ve q-itegrali ta m da yararlaara, Z [+]=[+] []=[+] d q t = Z [+]=[+] 0 d q t [ + ] = ( q) [ + ] Z []=[+] 0 d q t X q j [] ( q) [ + ] j=0 = q [ + ] ([ + ] []) X j=0 q j X j=0 q j = q [ + ] (3.3) elde edilir. (3.3) eşitli¼gii (3.2) de ulla lmas yla ispat tamamla r. Lemma 3..2. ~ B (f; q; x) operatörü içi ~B (e ; q; x) = [] [ + ] x + [2] [ + ] dir. Ispat. ~ B (f; q; x) operatörüde f yerie e (x) alara ~B (e ; q; x) = [ + ] X Z [+]=[+] []=[+]! Y td q t q x ( q s x) (3.4) s=0 yazal m. Şimdi (3.4) dei q-itegrali hesaplayal m. Z [+]=[+] []=[+] td q t = Z [+]=[+] 0 td q t [ + ] = ( q) [ + ] X j=0 Z []=[+] 0 2j [ + ] q [ + ] td q t j=0 [] ( q) [ + ] X j=0 q 2j [] [ + ] [ + ]2 [] 2 = ( q)( [ + ] 2 [ + ] ) X q 2j (3.5) 2 dir. 0 < q < ve [ + ] = + q[] oldu¼guda, Z [+]=[+] []=[+] td q t = q [ + ] ([] + 2 [2] ) 5

buluur. Bu ifadeyi (3.4) de yerie yazarsa, X q ~B (e ; q; x) = [ + ] [] + Y q x ( q s x) [ + ] 2 [2] s=0 = [] X [] Y x ( q s x) [ + ] [] s=0 + X Y x ( q s x) [2] [ + ] = [] [ + ] B (e ; q; x) + [2] s=0 [ + ] B (e 0 ; q; x) ve (2.2) de ~B (e ; q; x) = [] [ + ] x + [2] [ + ] elde edilir. Lemma 3..3. ~ B (f; q; x) operatörü içi ~B (e 2 ; q; x) = [][ ] [ + ] 2 qx2 + [2]( + [2]) [3] [] [ + ] x + 2 [3] [ + ] 2 dir. Ispat. ~ B (f; q; x) operatörüde f yerie e 2 (x) alara elde etti¼gimiz ~B (e 2 ; q; x) = [ + ] X Z [+]=[+] []=[+]! Y t 2 d q t q x ( q s x) s=0 eşitli¼gidei q-itegrali hesaplama içi öcei lemmalara bezer işlemler yap l rsa Z [+]=[+] []=[+] t 2 d q t = [3] [ + ] 3 q ([ + ] 2 + [][ + ] + [] 2 ) elde edilir. Burada [ + ] = + q[] eşitli¼gii ulla p, elde etti¼gimiz ifadeyi ~B (e 2 ; q; x) de yerie oyarsa, ~B (e 2 ; q; x) = [ + ] 2 X [] 2 + (2q + ) [] + [3] [3] Y x s=0 ( q s x) 6

elde ederiz. Burada, ~B (t 2 ; q; x) = [] 2 [ + ] B (2q + ) (e 2 2 ; q; x) + [3] + [3] [ + ] B (e 2 0 ; q; x) [] [ + ] B (e 2 ; q; x) yazabiliriz. So olara (2.2) ifadeside verile eşitlileri ullaara soucuu buluruz. ~B (t 2 [][ ] ; q; x) = q [ + ] 2 x2 + [2]( + [2]) [3] [] [ + ] x + 2 [3] [ + ] 2 So lemmay vermede öce aşa¼g dai hat rlatmay yapal m. Not: q- Berstei-Katorovich operatörüü düzgü ya sal ¼g Korovi-tipli teorem yard m yla gösterebilmemiz içi operatörü lieer ve pozitif oldu¼guu garatilememiz geremetedir. q-itegral lieer oldu¼guda (3.) operatörü lieerdir. 0 < q < oldu¼guda (3.) operatörüü poziti i¼gi q-itegrali poziti i¼gie ba¼gl olacat r. Faat, [a; b] aral ¼g dai q itegral ii seri far içerdi¼gide, f 0 olmas R b a f(t)d qt 0 olmas geretirmez. Bu durumda ise oluşturdu¼gumuz operatör pozitiftir diyemeyiz. Buula ilgili olara aşa¼g dai öreleri iceleyelim. Öre 3... f(x) = l(x 3) fosiyouu ele alal m. [4; 5] aral ¼g da f(x) 0 d r faat fosiyo [0; 3] aral ¼g da ta ml olmad ¼g da R 5 4 l(x 3)d qt itegrali hesaplaamamatad r. Öre 3..2. f(x) = 25 x 2 fosiyouu [3; 4] aral ¼g dai q-itegralii iceleyelim. Buu içi Z 4 (25 x 2 )d q x = Z 4 3 0 = ( q) (25 x 2 )d q x Z 3 0 (25 x 2 )d q x X 4(25 6q 2j ) 3(25 9q 2j ) q j j=0 7

ifadeside gereli işlemler yap l rsa, Z 4 3 (25 x 2 )d q x = 25 37 + q + q 2 elde edilir. [3; 4] aral ¼g da f(x) = (25 x 2 ) 0 olmas a ra¼gme 0 < q < 0:3544 içi R 4 3 (25 x2 )d q t < 0 ve 0:3544 < q < içi R 4 3 (25 x2 )d q t > 0 elde edilir. Lemma 3..4. 0 < a < b ve 0 < q < olsu. f fosiyou [0; b] aral ¼g da ta mlam ş mooto arta bir fosiyo ise I q (f; a; b) = R b a f(t)d qt ile verile q itegral pozitif bir operatördür. Ispat. f mooto arta bir fosiyo olsu. Kabul edelim i f 0 olsu. durumda Bu Z b f(t)d q t = Z b a 0 = ( q) f(t)d q t Z a 0 X (bf(q j b) j=0 f(t)d q t af(q j a))q j ifadeside f fosiyou pozitif oldu¼guda, 8x 2 [0; b] içi f(x) 0 d r. f fosiyou mooto arta oldu¼guda b > a olmas her j = 0; ; 2::: içi f(q j b) f(q j a) > 0 olmas geretirir. Dolay s yla paratez içidei ifade pozitif olur ve 0 < q < oldu¼guda R b a f(t)d qt 0 d r ve bu da ispat tamamlar. 3.2 q-berstei-katorovich Operatörüü Yalaş m Özellileri Bu esimde ~ B (f; q; x) operatörüü düzgü ya sal ¼g iceleyece¼giz. Teorem 3.2.. q = (q ) dizisi 0 < q < olma üzere lim q = ve lim!! [] = 0 (3.6) şartlar sa¼glas. Bu tatirde, f, [0; ] aral ¼g da süreli ve mooto arta bir 8

fosiyo olma üzere, bu aral üzeride lim B ~ (f; q ; :) f(:) C[0;] = 0! dir. Ispat. Lemma 3..4. göstermetedir i f mooto arta bir fosiyo ise ~ B (f; q; x) operatörü lieer pozitif bir operatördür. Lemma 3..2 ve 3..3 te elde etti¼gimiz mometlerde q yerie (3.6) oşullar sa¼glaya bir (q ) dizisi seçip, [] q = [+]q q eşitli¼gii ulla rsa [] q [] q [ ] q lim = = lim [ + ]! q [ + ] 2 q! oldu¼gu olayl la görülür. Dolay s yla burada, ~B (e 0 ; q ; x) (! ) ~B (e ; q ; x) x (! ) ~B (e 2 ; q ; x) x 2 (! ) elde ederiz. Böylece Korovi Teoremide ispat tamamla r. Souç 3.2.. Lemma 3.., 3..2 ve 3..3 te özel olara q = al rsa ~B (e 0 ; x) = ~B (e ; x) = + x + 2( + ) ( ) ~B (e 2 ; x) = ( + ) 2 x2 + 2 ( + ) x + 2 3( + ) 2 elde edilir i bu ifadeler lasi Berstei-Katorovich operatörüü mometleridir (Altomare ve Campiti 994). f, [0; ] aral ¼g da itegralleebile bir fosiyo olma üzere, (2.6) ile verile lasi 9

Berstei operatörüü türevi ve (2.) ile verile Katorovich operatörü aras da (B + (f; x)) 0 = K (f 0 ; x) şelide bir ba¼g t vard r (Loretz 953). Burada B +, ( + )ici Berstei operatörüdür. Burada yola ç ara, B (f; q; x) q-berstei operatörü ve B ~ (f; q; x) q- Berstei-Katorovich operatörü aras da da bezer bir ba¼g t oldu¼gu aşa¼g dai teoremde verilmiştir. Teorem 3.2.2. (Radu 2008) F, x = 0 da süreli olma üzere, f fosiyouu q atitürevi olsu. Bu durumda 2 N ve 0 < q < olma üzere, D q B + (F ; q; x) = ~ B (f; q; qx) ba¼g t s mevcuttur. Ispat. (2.7) eşitli¼gide, Y D q s=0 ( q s x)! Y 2 = [ ] ( q s+ x) s=0 oldu¼gu görülür. q-aaliz içi verile çarp m ural ullaara, D q B (F ; q; x) = = X! [] Y F D q x ( q s x) [] s=0 X [] Y F []x ( q s+ x) [] s=0! Y 2 [ ]x ( q s+ x) s=0 X [] []! Y = F [] [ ]![ ]! x ( q s+ x) = s=0 X [] []! Y 2 F [] [ ]![]! x ( q s+ x) s=0 X [ + ] [] Y 2 = [] F F x ( q s+ x) [] [] 20 s=0

elde edilir. yerie + yaz p, Teorem 2.4. ile verile q-aalizi temel teoremii uygularsa, D q B + (F ; q; x) = [ + ] = [ + ] X X F [ + ] [ + ] Z [+]=[+] []=[+] = [ + ] ~ B (f; q; qx) [] h i Y F x ( q s (qx)) [ + ] s=0! h i Y f(t)d q t x ( q s (qx)) s=0 buluur i bu da istee souçtur. 2

4. q-bernstein-kantorovich OPERATÖRÜNÜN ISTAT IST IKSEL YAKINSAKLI ¼GI Bu bölümde öcelile istatistisel ya sal avram hat rlat l p, (3.) ile ta mlaa q-berstei-katorovich operatörüü istatistisel ya sal ¼g iceleecetir. Daha sora Mariovic vd. (2008) taraf da ta mlaa "Riema-tipli q- itegral" avram da bahsedilece ve bu yei q-itegral ta m ulla lara (3.) operatörüü " Iici tip q-berstei-katorovich operatörü" olara adlad raca¼g m z farl bir formu ta mlaacat r. Bu operatörü istatistisel yalaş m özellileri iceleip, istatistisel yalaş m h z sürelili modülü ve Lipschitz s f da fosiyolar yard m yla de¼gerledirilecetir. So olara bezer icelemeler q-mkz operatörüü Katorovich tipli geelleşmesi içi yap lacat r. 4. Istatistisel Ya sal K ümesi N do¼gal say lar ümesii bir altümesi olma üzere, K = f : 2 Kg olsu. Öcelile "yo¼gulu" avram ele alal m. Ta m 4... Bir K N altümesi içi lim jk j limiti mevcut ise, bu limit de¼gerie K ümesii yo¼gulu¼gu deir ve (K) ile gösterilir (Nive vd. 99). Burada jkj, K ümesii elema say s gösterir. Öre olara (N) =, f 2 : 2 Ng = 0, f2 : 2 Ng = f2 + : 2 Ng = 2 oldu¼gu olayca görülebilir. Ta m 4..2. x := (x ) reel terimli bir dizi olsu. E¼ger her " > 0 içi f : jx Lj "g = 0 olaca şeilde bir L say s varsa, bu durumda x dizisi L say s a istatistisel ya sat r deir ve st lim x = L ile gösterilir (Fast 95). 22

Ta mda da görülebilece¼gi üzere, istatistisel ya sal ta, bir L say s " omşulu¼gu d ş da dizii sosuz çoluta elema bulumas a arş, idis ümesii yo¼gulu¼gu s f r olabilir. Bu ise bize istatistisel ya sal ¼g lasi ya sal ta daha geel bir avram oldu¼guu gösterir. Dolay s yla ya sa her dizi istatistisel ya sat r, faat buu tersi do¼gru de¼gildir. Buu içi aşa¼g dai öre¼gi verebiliriz. Öre 4... x := (x ) dizisii geel terimi 8 < x = : L L 2 = m 2 ise 6= m 2 ise şelide ta mlas. f : jx L 2 j "g = 0 oldu¼gu içi (x ) dizisi istatistisel olara L 2 ye ya sar, yai st lim x = L 2 dir, faat L 6= L 2 içi x dizisi lasi alamda ya sa de¼gildir. Gadjiev ve Orha (2002), lieer pozitif operatörler içi istatistisel yalaş m vere Korovi tipli bir teoremi aşa¼g dai şeilde vermişlerdir. Teorem 4... (Gadjiev ad Orha 2002) E¼ger A : C[a; b]! B[a; b] lieer pozitif operatörler dizisi e (t) = t, = 0; ; 2 içi st lim A (e ; :) e C[a;b] = 0 oşullar gerçeliyorsa, her f 2 C[a; b] içi st lim A (f; :) f C[a;b] = 0 sa¼gla r. Burada B[a; b], [a; b] aral ¼g dai s rl fosiyolar uzay göstermetedir. 4.2 q-berstei-katorovich Operatörüü Istatistisel Ya sal ¼g Bu s mda amac m z (3.) ile verile operatörü istatistisel ya sal ¼g icelemetir. Buu içi aşa¼g dai teoremi verelim. 23

Teorem 4.2.. q := (q ) dizisi 0 < q < olma üzere, şartlar sa¼glas. st lim q = ve st lim [] = 0 (4.) Bu tatirde, f, [0,] aral ¼g da süreli ve mooto arta bir fosiyo olma üzere, (3.) operatörü içi st lim ~ B (f; q ; :) f(:) C[0;] = 0 sa¼gla r. Ispat. ~ B (f; q; x) lieer-pozitif bir operatör oldu¼guda, e¼ger, = 0; ; 2 içi st lim ~ B (e ; q ; :) e C[0;] = 0 (4.2) oldu¼guu gösterebilirse, Teorem 4.. de ispat tamamla r. = 0 içi Lemma 3.. de st lim ~ B (e 0 ; q ; :) e 0 C[0;] = 0 oldu¼gu aç t r. = içi Lemma 3..2 de []q ~B (e ; q ; x) e (x) = x + [ + ] q [2] q [ + ] q [] q yazar z. = eşitli¼gii ulla p her ii taraf x 2 [0; ] de [ + ] q q q [ + ] q maximumuu al rsa, ~ B (e ; q ; :) e C[0;] q q [ + ] q + q q + [2] q + [2] q [ + ] q [ + ] (4.3) 24

elde ederiz. Şimdi verile bir " > 0 içi aşa¼g dai ümeleri ta mlayal m. T := f : ~ B (e ; q ; :) e C[0;] "g; T := f : " q 2 g ve T 2 := : + " : q [2] q [ + ] q 2 (4.3) eşitsizli¼gide T T [ T 2 oldu¼gu görülür. Böylece f : B ~ (e ; q ; :) e C[0;] "g (4.4) f : " q 2 g + f : + " q [2] q [ + ] q 2 g yazabiliriz. (4.) oşullar da st lim = 0 ve st lim + = 0 q q [2] q [ + ] q oldu¼gu görülür. Böylece yo¼gulu ta m da, f : q " 2 g = 0 ve : lim + " = 0 q [2] q [ + ] q 2 dir ve bu da bize (4.4) de st lim ~ B (e ; q ; :) e C[0;] = 0 oldu¼guu verir. 25

So olara = 2 içi, Lemma 3..3 te ~B (e 2 ; q ; x) e 2 (x) = [] q [ ] q q x 2 + [2] q ( + [2] q ) [] q x [ + ] 2 q [3] q [ + ] 2 q + [3] q [ + ] 2 q yazabiliriz. Şimdi q aaliz yard m yla elde edebildi¼gimiz [] q [ ] q q = [ + ] 2 q q 2 ( + [2] q ) + [2] q [ + ] q [ + ] 2 q eşitli¼gii yuar dai delemde yerie oyup, her ii taraf x 2 [0; ] de masimumuu alal m. Böylelile, ~ B (e 2 ; q ; :) ve daha aç olara, e 2 C[0;] ( + [2] q ) + [2] q q 2 [ + ] q [ + ] 2 q + [2] q ( + [2] q ) [] q + [3] q [ + ] 2 q [3] q [ + ] 2 q ~ B (e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] q 2 + ( + [2]q ) + + [2] q ( + [2] q ) q 2 [3] q + [2] q [3] q q 2 [ + ] 2 q [ + ] q (4.5) elde ederiz. Burada e¼ger, = = = q 2 ( + [2]q ) + [2] q ( + [2] q ) q 2 [3] q [ + ] q + [2] q [3] q q 2 [ + ] 2 q seçilirse, (4.) oşullar da st lim = st lim = st lim = 0 (4.6) 26

oldu¼gu olayl la görülür. Yie bir " > 0 içi U := f : ~ B (e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] "g; U := f : " 3 g; U 2 := f : " 3 g; U 3 := f : " 3 g ümelerii ta mlayal m. (4.5) de dolay U U [U 2 [U 3 oldu¼gu aç t r. Dolay s yla burada, f : ~ B (e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] "g f : " 3 g + f : " 3 g + f : " 3 g yazabiliriz. (4.6) da yuar dai eşitsizli¼gi sa¼g taraf s f r oldu¼gu görülür. O halde st lim B ~ (e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] = 0 elde edilir. Böylece Teorem 4.. i şartlar sa¼glam ş ve dolay s yla da teoremi ispat tamamlam ş olur. Korovi tipli teoremleri lieer pozitif operatörler içi geçerli oldu¼guu biliyoruz. Daha öcei bölümde de belirtti¼gimiz gibi, ta mlam ş oldu¼gumuz ~ B (f; q; x) operatörüü pozitif olmas içi f fosiyouu özel olara [0; ] aral ¼g da mooto arta seçmişti. Bu sayede operatörü lasi ve istatistisel olara f fosiyoua düzgü ya sad ¼g Korovi tipli teoremler yard m yla gösterebildi. Yalaş mlar teoriside operatörleri düzgü ya sal ¼g ya s ra bu ya sama h z de¼gerledirilmesi de olduça öemli bir oudur. Bu de¼gerledirme geellile sürelili modülü ve Lipschitz s f da fosiyolar yard m yla yap lmata ve lasi aalizde bildi¼gimiz Hölder eşitsizli¼gi ve ou bir özel hali ola Cauchy- Schwarz eşitsizli¼gide faydalaara operatörü yalaş m h z hesaplaabilmatedir. Belirtelim i ~ B (f; q; x) operatörü q-itegral içerdi¼gide, yalaş m h z de¼ger- 27

ledirire q-itegral ile ilgili baz eşitsizlilerie ihtiyaç duyaca¼g z. Klasi aalizde, itegral eşitsizliler ço uzu y llard r ayr t l bir şeilde çal ş lm ş ve ay ölçüde geliştirilmiştir. Bu çal şmalar hem teori Matematite hem de Matemati ve Fizi alalar çeşitli uygulamalar da arş m za ç matad r. q-aalizde ise, q-itegral ta m da ayalaa baz zorlular sebebiyle, q-itegral içere eşitsizlilere ola ilgi aca so y llarda ortaya ç abilmiştir. q-itegraldei bu zorlular esase [a; b] (0 < a < b) aral ¼g dai q-itegrali, [0; b] ve [0; a] aral ¼g dai ii q- itegral far olara ta mlamas da ortaya ç matad r. Dolay s yla ta mlaa q-itegral özellileri, sadece itegral aral ¼g içidei otalar de¼gil, itegral aral ¼g d ş dai otalar da içermelidir. Işte bu sebepte dolay da lasi itegral içi geçerli ola baz eşitsizliler, [a; b] aral ¼g da ta mlaa q-itegral içi geçerli olmayabilir. q-itegraldei bu zorlular giderebilme amac yla Gauchma (2004) ve Mariović vd. (2008) ii ayr q-itegral ta m vermişlerdir. Bularda biricisi, [a; b] aral ¼g dai q-itegrali solu toplamlara s tlamas ile verile " s tlam ş q-itegral", iicisi ise [a; b] aral ¼g dai q itegrali te bir seri olara ifade edilmesiyle verile "Riema-tipli q-itegral"dir. Şimdi bu ii avram üzeride dural m. 4.3 K s tlam ş q-itegral ve Riema tipli q-itegral Ta mlar ve Özellileri Ta m 4.3.. (Gauchma 2004) a, b, ve q reel say lar olma üzere 0 < a < b ve q 2 (0; ) olsu. K s tlam ş q-itegral, lasi q-itegral ta mda a = bq al ara Z b Z b G q (f; a; b) = a f(x)d G q x = f(x)d q x bq X = ( q)b f(q j b)q j (4.7) ile ta mla r. Do¼gal olara bu şeilde ta mlaa itegral b, q ve say lar a ba¼gl olacat r. j=0 Öcelile belirtelim i (4.7) itegrali içi aşa¼g dai özelliler sa¼gla r. 28

. [a; b] aral ¼g da f(x) g(x) ise 2. a < c < b olma üzere Z b Z b f(x)d G q x a Z c f(x)d G q x = a a Z b a f(x)d G q x + g(x)d G q x dir. Z b c f(x)d G q x dir. f(x) fosiyou [a; b] aral ¼g da Riema itegralleebilir ise, Z b lim q! a f(x)d G q x = Z b a f(x)d q x dir. Gauchma (2004), s tlam ş q-itegral ta m yapara hem lasi hem de gücel ola baz eşitsizlileri q-geelleşmelerii elde edebilmiştir. Ta m 4.3.2. (Mariović 2008) a, b, ve q reel say lar olma üzere 0 < a < b ve q 2 (0; ) olsu. Riema-tipli q itegral R q (f; a; b) = Z b f(x)d R q x = ( q)(b a) a j=0 X f(a + (b a)q j )q j (4.8) ile ta mla r. Klasi q itegral ta m da farl olara bu ta m te bir seri ile gösterildi¼gide sadece itegral aral ¼g içidei otalar içerir. (4.8) de verile seri ya sasa, f fosiyou [a; b] aral ¼g da "qr-itegralleebilirdir" deir. Şimdi amac m z, daha öce oluşturdu¼gumuz B ~ (f; q; x) operatörüde lasi q-itegral yerie Riema-tipli q-itegral ulla p, operatörü yeide ta mlamat r. Bu sayede yei ta mlayaca¼g m z operatörü yalaş m h z elde edebilece¼giz. Öcelile Riematipli q itegral ile ilgili olara aşa¼g dai lemmalar verelim. Lemma 4.3.. R q (f; a; b) operatörü lieer pozitif bir operatördür. 29

Ispat. R q ((f + g)(t); a; b) = Z b a (f + g)(t)d R q t = ( q)(b X a) (f + g) (a + (b a)q j )q j j=0 = ( q)(b X a) f(a + (b a)q j )q j + g(a + (b a)q j )q j = ( q)(b a) j=0 X f(a + (b j=0 + ( q)(b a) a)q j )q j X g(a + (b a)q j )q j j=0 = R q (f(t); a; b) + R q (g(t); a; b) oldu¼guda R q (f; a; b) operatörü lieerdir. f 0 ise (4.8) de R q (f; a; b) i pozitif oldu¼gu aç t r. Böylece 8x 2 [a; b] içi f(x) g(x) ise R q (f; a; b) R q (g; a; b) (4.9) yaz labilir. Lemma 4.3.2. (q Hölder Eşitsizli¼gi) 0 < q <, 0 < a < b ve, pozitif reel say lar olma üzere + = olsu. Bu durumda, [a; b] aral ¼g da ta ml f ve g fosiyolar içi R q (jfgj; a; b) (R q (jfj ; a; b)) (Rq (jgj ; a; b)) eşitsizli¼gi sa¼gla r. 30

Ispat. R q (jfgj; a; b) = Z b a jf(t)g(t)jd R q t = ( q)(b a) = ( q)(b a) X f(a + (b a)q j ) g(a + (b a)q j ) q j j=0 X j f(a + (b a)q j )q j= g(a + (b a)q j )q j= j j=0 Toplam içi ola Hölder eşitsizli¼gii uygularsa, R q (jfgj; a; b) ( q)(b a)! = X jf(a + (b a)q j )j q j j=0! = X jg(a + (b a)q j )j q j j=0 = ( q)(b a) Z b = a ( q)(b a)! = X jf(a + (b a)q j )j q j j=0! = X jg(a + (b a)q j )j q j j=0 = Z b jf(t)j d R q t jg(t)j d R q t a = R q (jfj ; a; b) = R q jgj ; a; b = = elde edilir. 4.4. Iici Tip q-berstei-katorovich Operatörüü Istatistisel Ya sal ¼g Şimdi ~ B (f; q; x) operatörüde lasi q-itegral yerie, Riema-tipli q-itegral ullaara oluşturdu¼gumuz "iici tip q-berstei-katorovich operatörü" ü, f, [0; ] aral ¼g da qr-itegralleebilir bir fosiyo olma üzere, her 2 N ve q 2 (0; ) içi B (f; q; x) = [ + ] X Z [+]=[+] []=[+]! Y f(t)d R q t q x ( q s x) (4.0) s=0 3

ile ta mlayal m (Dalmao¼glu ve Do¼gru 200). Bu esimde operatörü yal zca istatistisel olara düzgü ya sal ¼g de¼gil ay zamada yalaş m h z da iceleyebilece¼giz. Öcelile aşa¼g dai teoremi verelim. Teorem 4.4.. q := (q ) dizisi 0 < q < olma üzere (4.) ile verile oşullar sa¼glas. Bu tatirde, her f 2 C[0; ] içi, st lim B (f; q ; :) f(:) C[0;] = 0 sa¼gla r. Ispat. Lemma 4.3. de B(f; q; x) i lieer pozitif bir operatör oldu¼gu aç t r. B(f; q; x) operatörüü Teorem 4... i oşullar sa¼glad ¼g gösterme ispat içi yeterlidir. Buu görebilme içi öcelile i = 0; ; 2 içi B(e i ; q; x) ifadesii hesaplayal m. Bir öcei bölüme bezer şeilde işlemler yap l rsa Z [+]=[+] []=[+] Z [+]=[+] []=[+] Z [+]=[+] []=[+] d R q t = td R q t = t 2 d R q t = q [ + ] [ + ] 2 [ + ] 3 q [] + [2] q2 q [] 2 + 2q2 [2] q3 [] + [3] (4.) eşitlilerii elde ederiz. i = 0 içi, X B(e 0 ; q; x) = [ + ] Z [+]=[+] []=[+]! Y d R q t q x ( q s x) = (4.2) s=0 32

oldu¼gu aç t r. i = içi B (e ; q; x) = [ + ] = [ + ] X X Z! [+]=[+] Y td R q t q x ( q s x) []=[+] s=0 [] + Y x [2] q ( q s x) s=0 ifadeside q = (q )[] + (4.3) eşitli¼gii ullaara gereli sadeleşmeler yap l rsa B (e ; q; x) = [] [ + ] B (e ; q; x) + X ((q )[] + ) [2] [ + ] [] = [ + ] + q [] [2] [ + ] = 2q [] [2] [ + ] x + [2] [ + ] elde edilir. So olara i = 2 içi, B (e 2 ; q; x) = [ + ] = [ + ] 2 X X Y x s=0 B (e ; q; x) + [2] ( q s x) [ + ] B (e 0 ; q; x) Z! [+]=[+] Y t 2 d R q t q x ( q s x) []=[+] s=0 [] 2 + 2q q2 Y [] + x ( q s x) [2] [3] s=0 (4.4) 33

ifadeside (4.3) eşitli¼gii ullaara gereli işlemler yap l rsa B (e 2 ; q; x) = = = [ + ] 2 + X 2(q ) (q )2 + + [] 2 [2] [3] 2 2(q ) + [2] [3] [] + [3] Y x s=0 ( q s x) 2(q ) (q )2 + + [] 2 B [ + ] 2 (e 2 ; q; x) [2] [3] 2 2(q ) + + []B (e ; q; x) + [2] [3] [3] q 2 [2] + 3q4 [][ ] 3[3] + q( + [2]) [] [2][3] [ + ] 2 x2 + q [2][3] [ + ] x 2 + (4.5) [3] [ + ] 2 eşitli¼gii elde ederiz. (4.2) ifadeside, st lim B (e 0 ; q ; :) e 0 C[0;] = 0 (4.6) oldu¼gu aç t r. (4.4) de B (e ; q ; x) e = = 2q [] q x + [2] q [ + ] q [2] q [ + ] q 2 x + [2] q [ + ] q [2] q [ + ] q yazabiliriz. Burada, B (e ; q ; :) e C[0;] q [2] q + 3 [2] q [ + ] q : (4.7) 34

elde edilir. Şimdi verile bir " > 0 içi aşa¼g dai ümeleri ta mlayal m. M : = f : B (e ; q ; :) e C[0;] "g M : = f : q [2] q " 2 g M 2 : = f : 3 " [2] q [ + ] q 2 g: (4.7) de M M [ M 2 oldu¼gu görülür. Dolay s yla f : B (e ; q ; :) e C[0;] "g f : q [2] q " 2 g +f : 3 [2] q [ + ] q " 2 g yazabiliriz. (4.) oşullar da eşitsizli¼gi sa¼g taraf s f r olur ve st lim B (e ; q ; :) e C[0;] = 0 elde edilir. Bezer şeilde, B (e 2 ; q; x) içi (4.5) te buldu¼gumuz ifadede, B (e 2 ; q ; x) e 2 C[0;] = q 2 + 3q4 []q [ ] q [2] q [2] q [3] q [ + ] 2 q 3[3]q + q ( + [2] q ) []q +q + [2] q [3] q [ + ] 2 q [3] q [ + ] 2 q yazar z. []q[ yaparsa, [+] 2 q B (e 2 ; q ; :) ]q = q 3 (+[2] q ) [+] q + [2]q eşitli¼gii ullaara gereli işlemleri [+] 2 q e 2 C[0;] + 3q [2] q q [2] q [3] q 3q ( + [2] q ) + ( + [2] q ) [2] q [3] q [2] q q [ + ] q + + 3q q [3] q [ + ] 2 q 3[3]q + q ( + [2] q ) []q + q + [2] q [3] q [ + ] 2 q [3] q [ + ] 2 q 35

elde edilir. Mutla de¼gerdei paratezleri içide düzelemeler yap l p, oldu¼gu gözöüde tutulursa, [] [+] 2 < [+] B(e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] ( q )(q( 2 + [2] q ) + [3] q ) q [2] q [3] q (3q 2 + + [3] q )( + [2] q ) 3q 2 + + [3] q [2] q [3] q q [ + ] q [3] q q [ + ] 2 q 3[3]q + q ( + [2] q ) + q + [2] q [3] q [ + ] q [3] q [ + ] 2 q elde edilir. Burada, B(e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] ( q )(q( 2 + [2] q ) + [3] q ) +M + q [2] q [3] q [ + ] q [ + ] 2 q yazabiliriz. Burada M say s [+] ve [+] 2 ifadelerii atsay lar masimumudur. Şimdi bir " > 0 içi, K := f : B (e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] "g; K := f : ( q )(q 2( + [2] q ) + [3] q ) " q [2] q [3] q 3 g; K 2 := f : " [ + ] q 3M g; K 3 := f : " [ + ] 2 q 3M g ümelerii ta mlayal m. Burada K K [ K 2 [ K 3 oldu¼gu görülür. Dolay s yla, f : B(e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] "g f : ( q )(q 2( + [2] q ) + [3] q ) q [2] q [3] q +f : " [ + ] q 3M g + f : " [ + ] 2 q 3M g " 3 g yazabiliriz. (4.) de yuar dai eşitsizli¼gi sa¼g taraf s f r oldu¼guu elde ederiz. O halde f : B (e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] "g = 0 ve böylece, st lim B (e 2 ; q ; :) e 2 C[0;] = 0 36

elde edilir. Souç olara i = 0; ; 2 içi st lim B (e i ; q ; :) e i C[0;] = 0 olup, Teorem 4.. de ispat tamamla r. 4.5 Iici tip q-berstei-katorovich Operatörüü Istatistisel Yalaş m H z Bu bölümde (4.0) ile ta mlad ¼g m z iici tip q-berstei-katorovich operatörüü istatistisel yalaş m h z sürelili modülü ve Lipschitz s f da fosiyolar yard m yla iceleyece¼giz. Bu icelemeyi yapare B (f; q; x) operatörüü. ve 2. merezi mometlerie ihtiyaç duyaca¼g m zda, öcelile bu ifadeleri verelim. (4.4) ve (4.5) eşitlileride,. ve 2. merezi mometler s ras yla 2q B((e [] x); q; x) = [2] [ + ] ( q2 B((e x) 2 ; q; x) = [2] + 3q4 [2][3] 3[3] + q( + [2]) + q [2][3] olara elde edilir. x + [2] [ + ] ] 4q )[][ [ + ] 2 [2] [] 2 [ + ] 2 (4.8) [] [ + ] + x 2 x + (4.9) [2] [ + ] [3] [ + ] 2 4.5. Sürelili modülü yard m yla istatistisel yalaş m h z icelemesi Aşa¼g dai teoremde (2.8) ile ta mlaa sürelili modülü yard m yla B (f; q; x) operatörüü f(x) fosiyoua yalaş m h z istatistisel olara de¼gerledirilmiştir. Teorem 4.5.. q := (q ) dizisi 0 < q < olma üzere (4.) ile verile oşullar sa¼glas. Bu tatirde, her f 2 C[0; ] içi, B (f; q ; :) f(:) C[0;] 2w(f; ) 37

sa¼gla r. Burada = s 2q [2] [] [ + ] 2 + [ + ] + (4.20) [ + ] 2 dir. Ispat. f 2 C[0; ] olsu. B (f; q; x) operatörüü lieerli ve mootolu özelli¼gide dolay, jb(f; q; x) f(x)j B(jf(t) f(x)j; q; x) X = r ;;q (x) Z [+]=[+] []=[+] jf(t) f(x)jd R q t! yazabiliriz. Burada r ;;q (x) = [ + ]q x Y s=0 ( q s x) dir. Riema-tipli q-itegrali mootolu¼guda ve sürelili modülüü 7. özelli¼gide jb (f; q; x) f(x)j X r ;;q (x) = w(f; ) ( + Z [+]=[+] []=[+] X r ;;q (x) +! jt xj w(f; )d R q t Z [+]=[+] []=[+] jt xj d R q t!) yazar z. Şimdi yuar da buldu¼gumuz eşitsizlitei q-itegralde, q-cauchy-schwarz 38

eşitsizli¼gii uygularsa, 8 < jb(f; q; x) f(x)j w(f; ) : + X r ;;q (x) Z [+]=[+] []=[+] 8 < = w(f; ) : + r ;;q (x) X d R q t! =2 9 = ; r ;;q (x) Z [+]=[+] []=[+] d R q t Z [+]=[+] []=[+] Z [+]=[+] []=[+]! =2 9 = ; (t x) 2 d R q t (t x) 2 d R q t! =2! =2 elde ederiz. Toplam içi ola lasi Cauchy-Schwarz eşitsizli¼gii terar uygulayara 8 < jb(f; q; x) f(x)j w(f; ) : + di¼ger bir ifadeyle X r ;;q (x)! 9 =2 X q = r ;;q (x) [ + ] ; 8 < = w(f; ) : + X r ;;q (x) Z [+]=[+] []=[+] Z [+]=[+] []=[+] (t x) 2 d R q t! =2! 9 =2= (t x) 2 d R q t ; ; jb(f; q; x) f(x)j w(f; ) + B((e x) 2 ; q; x) =2 (4.2) elde edilir. Şimdi (4.9) ile verile B ((e x 2 li terimi atsay s A ile gösterelim. x) 2 ; q; x) ifadesii ele alal m. Öcelile q 2 A := [2] + 3q4 [2][3] [][ ] 4q [ + ] 2 [2] [] [ + ] + : E¼ger q 2 [2] + 3q4 [2][3] 4q2 ([2]) 2 (4.22) 39

oldu¼guu gösterebilirse, [ ] < [] eşitsizli¼gii de ullaara, 2q [] A [2] [ + ] 2 yazabilece¼giz. Şimdi (4.22) ifadesii do¼gru olmad ¼g varsayal m. Yai, q 2 [2] + 3q4 [2][3] > 4q2 ([2]) 2 olsu. Burada, 4q 5 + q 4 2q 3 3q 2 > 0 elde edilir. Faat, 0 < q < oldu¼guda, 4q 5 + q 4 2q 3 3q 2 = q 2 (q )(4q 2 + 5q + 3) < 0 d r. Dolay s yla varsay m m z do¼gru olmay p, 0 < q < içi (4.22) eşitsizli¼gi sa¼gla r. Böylece A 4q2 [] 2 4q [] ([2]) 2 [ + ] 2 [2] [ + ] + 2 2q [] = (4.23) [2] [ + ] yazabiliriz. Şimdi (4.9) ifadeside x li terimi atsay s B ile gösterirse, 3[3] + q( + [2]) [] 2 B = q [2][3] [ + ] 2 [2] [ + ] 3q[3] + q 2 ( + [2]) 2 [2][3] [2] [ + ] 3q[3] + q 2 ( + [2]) 2[3] = [2][3] [ + ] 40

yazabiliriz. Burada paratez içidei ifadeyi aç bir şeilde yazarsa, 0 < q < içi 3q[3] + q 2 ( + [2]) 2[3] = (3q 2)( + q + q 2 ) + q 2 (2 + q) = 4q 3 + 3q 2 + q 2 = (q 3 + 2q 2 + 2q + ) + (3q 3 + q 2 q 3) = [2][3] + (q )(3[3] + q) [2][3] elde edilir. Böylece B [ + ] (4.24) buluur. Dolay s yla (4.23) ve (4.24) eşitsizlileride B (f; q; x) operatörüü 2. mometi içi B ((e 2q x) 2 [] ; q; x) [2] [ + ] 2 x 2 + [ + ] x + [ + ] 2 yazabiliriz. Buldu¼gumuz so ifadeyi (4.2) eşitsizli¼gide yerie oyup, q yerie (4.) oşullar sa¼glaya bir (q ) dizisi seçelim. x 2 [0; ] aral ¼g da her ii taraf masimumuu al rsa, B(f; q ; x) f(x) C[0;] 8 < w(f; ) : + " 2 2q [] q + [2] q [ + ] q [ + ] q + [ + ] 2 q # =2 9 = ; elde ederiz. := i (4.20) de verile şeilde seçti¼gimizde ispat tamamla r. 4.5.2 Lipschitz s f da fosiyolar yard m yla yalaş m h z icelemesi Bu s mda, çal şt ¼g m z f fosiyolar Lipschitz s f da seçere, B (f; q; x) operatörüü ya sal h z hesaplayal m. Teorem 4.5.2. f 2 Lip M () olsu. q := (q ) dizisi 0 < q < olma üzere (4.) 4

ile verile oşullar sa¼glas. Bu durumda, (4.20) ile verilme üzere, jjb (f; q ; x) f(x)jj C[0;] M eşitsizli¼gi sa¼gla r. Ispat. 0 < olma üzere f 2 Lip M () olsu. B operatörüü lieer ve mooto olmas da dolay, jb(f; q; x) f(x)j B(jf(t) f(x)j; q; x) X = r ;;q (x) Z [+]=[+] []=[+] jf(t) f(x)jd R q t yazar z. f 2 Lip M () oldu¼guda, jb (f; q; x) f(x)j M X r ;;q (x) Z [+]=[+] []=[+] jt xj d R q t (4.25) dir. Eşitsizlitei q-itegrale p = 2 ve q = 2 2 alara, q-hölder eşitsizli¼gii uygularsa, Z [+]=[+] []=[+] jt xj d R q t = Z [+]=[+] []=[+]! =2 Z [+]=[+] (t x) 2 d R q t d R q t []=[+] q (2 )=2 Z [+]=[+] (t x) 2 d R q t [ + ] []=[+]! =2! (2 )=2 elde ederiz. Buldu¼gumuz bu eşitsizli¼gi (4.25) de yerie yazarsa, jb (f; q; x) f(x)j M X r ;;q (x) Y x ( q s x) s=0 Z [+]=[+] []=[+] (t x) 2 d R q t! (2 )=2! =2 42

elde edilir. Hölder eşitsizli¼gii bir ere daha uygulad ¼g m zda jb (f; q; x) f(x)j M X X r ;;q (x) Y x ( q s x) s=0 Z [+]=[+] []=[+] = M B ((s x) 2 ; q; x) =2! (2 )=2 (t x) 2 d R q t! =2 (4.26) soucuu buluruz. Bir öcei teoremi ispat da oldu¼gu gibi (4.26) ifadeside her ii taraf x 2 [0; ] aral ¼g da masimumuu al rsa, jjb (f; q ; x) f(x)jj C[0;] M elde edilir. Not: Teorem 4.5. ve Teorem 4.5.2 de (4.) ile verile oşullar gözöüe al d ¼g da st lim = 0 oldu¼guu görürüz. Bu ise sürelili modülüü (2.9) ile verile! özelli¼gide st lim w(f; ) = 0 oldu¼guu garatiler. Dolay s yla yuar dai! teoremler B(f; q ; x) operatörüü f fosiyoua yalaşma h z vermetedir. Öre: Teorem 4.5. ve Teorem 4.5.2 de bahsetti¼gimiz q dizisii 8 < q = : = m 2 ise, 5 6= m 2 ise olara seçerse, 0 < q < oldu¼guu ve (4.) ile verile oşullar sa¼glad ¼g görürüz. Bu bölümü so sm da yuar da yapt ¼g m z icelemeleri Meyer-Köig ve Zeller operatörlerii q-tipli bir geelleşmesi içi yapaca¼g z. Buu içi öcelile q-mkz operatörleri ile ilgili baz hat rlatmalar yapal m, daha sora da bu operatörleri Katorovich tipli geelleşmesii ta mlay p yalaş m özellilerii iceleyelim. 43

4.6 q-mkz-katorovich Operatörü ve Yalaş m Özellileri Il defa 960 y l da Meyer-Köig ve Zeller taraf da oluşturula M (f; x) = X + f x ( x) + ; 0 x < + + operatörü, mootolu özellilerii iceleebilmesi amac yla Cheey ve Sharma (964) taraf da yeide ta mlam şt r. Berstei uvvet serisi olara da adlad r la bu operatör M (f; x) = X + f x ( x) + ; 0 x < + ile verilmiştir. MKZ operatörleriyle ilgili literatürde birço çal şma yap lm şt r. Do¼gru (997), MKZ operatörlerii geelleşmiş şelii ta mlam ş ve yalaş m özellilerii icelemiştir. Daha sora bu geelleştirilmiş operatörleri Katorovich tipli bir geelleşmesi ise Do¼gru ve Özalp (200) taraf da aşa¼g dai şeilde verilmiştir. A, (0; ) aras da bir reel say olma üzere (' ) dizisi aşa¼g dai özellileri sa¼glas : i: f' g dizisi B = fz 2 C : jzj Ag disii apsaya bir D bölgeside aaliti olsu. ii: ' 0 (x) = ' (x) > 0 iii: ' () (x) = d ' dx (x) olma üzere ve ve l ; say dizileri özellilerii sa¼glama üzere ba¼g t s sa¼glas. l ; = o( ); l ; 0; = + o( ); ' () (x) = ( + )( + l ; )' (x), = ; 2; ::: Bu durumda, 0 < ; ve f, (0; ) de itegralleebilir bir fosiyo olma üzere, Katorovich tipli MKZ operatörü M (f; x) = ' (x) X ; Z +; f( + )d ' (0) x! 44