6 th Iteratioal Advaed Tehologies Symposium (IATS 6-8 May 2 Elazığ Turkey Paralel Hesaplama Kullaılarak Doğrusal Olmaya Sistemleri Aazi S. Kaçar Ġ. Çakaya 2 Sakarya Üiversitesi Türkiye skaar@sakarya.edu.tr 2 Sakarya Üiversitesi Türkiye iakaya@sakarya.edu.tr Noear Systems Aalysis Usig Parallel Computig Abstrat Oe of aalytial methods usig for oear systems aalysis is Volterra Series method. Sie this method is very omplex it takes a lot of time gettig results i higher order system aalysis. I this work it is purposed to get aalysis results from Volterra Series method i a shorter time by usig parallel omputatio tehique. Keywords Parallel omputatio MATAB Parallel Proessig Toolbox Parfor oop Volterra Series System aalysis Ġ I. GĠRĠġ Ģlem yükü fazla ola problemleri çözülmeside veya veri boyutu yüksek ola iģlemleri gerçekleģtirilmeside e etki yötemlerde birisi kuģkusuz paralel hesaplamadır. Bu yötem ile souçlar daha kısa sürede elde edilebilmektedir. Bu edele yüksek kapasite gerektire iģlemlerde yaygı olarak kullaılmaktadır. Özelkle gülük hayatta kullaıla bilgisayarları paralel hesaplamaya uygu hale gelmiģ olması bu yötemi daha da yaygılaģmasıı sağlamaktadır. Bu çalıģmada paralel hesaplama yötemii doğrusal olmaya sistemleri aazi içi kullaılması amaçlamıģtır. Sistem aazide kullaıla birçok yötem bulumaktadır. Bu yötemler aatik ve sayısal olmak üzere iki temel sııfa ayrılabir. Sayısal yötemler çok sayıda iterasyoa ihtiyaç duyduğuda daha uzu sürede souç verirler. Bua karģı aatik yötemler daha karmaģık iģlemler gerektirir. Özelkle doğrusal olmaya sistem aazi söz kousu olduğuda iģlem yükü daha da artmaktadır. Bu sebeple aatik yötemleri bilgisayarlar araılığıyla gerçekleģtirilmesi uygulayııları karmaģık ve yüklü iģlemlerde kurtarılmasıı ve aatik yötemleri sayısal yötemlere göre üstülüğü ola daha kısa sürede soua ulaģma avatajıı elde etmelerii sağlar. Doğrusal olmaya sistemleri aazide kullaıla e temel aatik yötemlerde bir taesi Volterra Serileri yötemidir. Bu yötem doğrusal olmaya sistemleri frekas boyutuda aazii gerçekleģtirilmesie olaak sağlar. Bu sayede aazi gerçekleģtirile sisteme ait gek ve faz evapları elde edilebilmektedir. Bu çalıģmada Volterra Serileri yötemii güümüzde yaygı biçimde kullaıla çok çekirdek iģlemiye (Multi-ore CPU sahip bir bilgisayarda paralel hesaplama ile daha hızlı gerçekleģtirilmesi sağlamıģtır. ÇalıĢmaı ikii bölümüde paralel iģlemlerde ve MATAB programıı paralel iģlemler içi sağladığı olaaklarda bahsedilmiģtir. Üçüü bölümde Volterra Serileri yötemii geģimi ve otomatikleģtirilmesi ile ilgi yapıla çalıģmalarda söz edilmiģtir. Dördüü bölümde Volterra Serileri yötemi paralel hesaplama metodua uyarlaarak souçlar elde edilmiģtir. So bölümde ise souç ve değerledirmelere yer verilmiģtir. II. PARAE HESAPAMA VE MATAB IN PARAE HESAPAMA ARAÇ KUTUSU Paralel hesaplama birçok iģlemi ayı ada geçekleģtirilmesie olaak sağlaya bir hesaplama yapısıdır []. Böylee büyük ölçek bir problem daha küçük parçalara ayrılarak daha hızlı ve kolay bir Ģekilde çözülebilmektedir. ġekil : Problemi parçalara bölüerek paralel biçimde çözülmesi[2] Paralel hesaplama çok çekirdek iģlemii buluduğu bir bilgisayarla gerçekleģtirilebileeği gibi birde fazla bilgisayar içere sistemlerle de gerçekleģtirilebir [3]. Bu çalıģmada çok çekirdek (Multi-ore yapıdaki paralel hesaplama kullaılmıģtır. Paralel hesaplamaları gerçekleģtirilmesi içi High Performae Fortra (HPF Uified Parallel C (UPC Ope MP gibi programlama dilleri ve kütüphaeleri kullaılabir [2]. Bularda bir taesi de MATAB programı ve bu 35
S. Kaçar İ. Çakaya programa ait Paralel ĠĢlem Araç Kutusudur (Parallel Proessig Toolbox. MATAB ı Paralel ĠĢlem Araç Kutusu yerel bir bilgisayarda açıla MATAB oturumuu yaıda kullaıı tarafıda berlee sayıda (e fazla sekiz adet iģçi (worker olarak taımlaa MATAB kopyalarıı çalıģmasıı ve buları aa oturumla haberleģmesii sağlaya bir ekletidir [4]. Bu araç kutusu sayeside çözüleek problem oluģturula MATAB kopyaları adedie farklı birimde paralel yapıda iģleerek daha kısa sürede istee çözüme ulaģılabilmektedir. MATAB ile paralel iģlemler görev (task paralel (ġekil 2 ve veri (data paralel (ġekil 3 olmak üzere iki temel yapıda gerçekleģtirilebilmektedir. Görev paralel yapıda büyük bir iģ daha küçük görevlere ayrılarak paralel formda iģleirke veri paralel yapıda büyük ölçek bir veri seti iģçiler arasıda paylaģtırılarak iģlemektedir. Bu çalıģmada görev paralel yapı temel alımıģ ve bu bağlamda MATAB ı paralel-for (parfor yapısı kullaılmıģtır. garatisi yoktur [4]. Yukarıda bahsedile özelkleri göz öüe alıdığıda Parfor dögülerii birbirii etkilemeye souu daha öeki iterasyoları souçlarıa bağlı olmaya herhagi bir sıra ile iģlemesi gerekmeye problemlerde kullaılmasıı uygu olduğu görülmektedir. Buu yaıda gerçekleģtirileek iģleri iģçilere dağıtılması ve souçları geri alıması gibi fazlada zama alıı iģlemlerde söz kousu olmaktadır. Bu sebeple iģlem yükü fazla olmaya problemleri çözümüde bu yapıı kullaılması zama kazamakta çok zama kaybıa ede olmaktadır [4]. Parfor kullaımıda dikkat edilmesi gereke iki oktada bahsetmek faydalı olaaktır. Biriisi ayı ada sadee bir adet ve e dıģtaki parfor dögüsü paralel olarak çalıģabilmektedir. Örek-: parfor i=: x(i=f(@f2 ed Örek de görüle f ve f2 foksiyoları da içide parfor dögüsü ola foksiyolar olarak düģüülürse bu durumda yalıza e dıģtaki parfor dögüsü paralel olarak çalıģırke diğerleri ormal for dögüsü gibi iģlem görür. Örek-2: for i=: x(i=f(@f2 ed ġekil 2: MATAB Paralel iģleme araç kutusuu sağladığı görev paralel yapı [5] Örek 2 de görüle f ve f2 foksiyoları da içide parfor dögüsü ola foksiyolar olarak düģüülürse bu durumda yalıza f foksiyou paralel olarak çalıģabir. Eğer f foksiyou içeriside parfor yok ise f2 foksiyou paralel olarak çalıģabir. Ġkii öem okta ise iç içe ola for dögülerii e verim biçimde parfor yapısıa dödürülme iģlemidir. Bu iģlem Örek 3 deki gibi gerçekleģtirilebir. Örek-3: a for i = : for j = : X(i j = *i + j - ; ed ed ġekil 3: MATAB Paralel iģleme araç kutusuu sağladığı veri paralel yapı [5] Parfor dögüsü ormal bir for dögüsüü yaptığı iģi paralel yapıda gerçekleģtirmektedir. Parfor dögüsüü gövdeside bulua kodları bir defa iģlemesie iterasyo deir [4]. Eğer dört iterasyoluk bir dögüüz ve dört adet iģçiiz varsa her bir iģçi bir iterasyou gerçekleģtirir ve souuu istemiye geri göderir. Parfor da her bir iterasyo birbiride bağımsız çalıģtırılır ve herhagi bir sıra takip edilmez. Bu edele Parfor da iģçiler arası sekroizasyo b parfor i = : Y = zeros(; for j = : Y(j = *i + j - ; ed X(i : = Y; ed Örek 3-a da görüle kodlarda iç içe for dögüleriyle iki boyutlu bir X matrisi oluģturulmaktadır. Bu yapı parfor yapısıa aktarılırke Örek 3-b deki gibi geçii bir Y vektörü oluģturulmaktadır. Parfor dögüsü kullaılmada öe matlabpool komutu ile paralel iģlemlerde kullaılaak iģçi sayısı berlemedir. 36
Paralel Hesaplama Kullaılarak Doğrusal Olmaya Sistemleri Aazi Örek-4: matlabpool ope loal 4 parfor i=.. ed matlabpool lose Örek 4 de görüldüğü üzere parfor da öe matlabpool ile dört adet yerel iģçi oluģturulmuģ ve iģlem souuda da matlabpool lose ifadesi ile kapatılmıģtır. ( H l l j u i l l i q H l l uy p q p q q p l l pq H j j j q p q i iq (6 (7 III. VOTERRA SERĠERĠ METODU ĠÇĠN TASARANAN ARAYÜZ Volterra Serileri metodu doğrusal olmaya sistemleri frekas boyutuda aazi içi kullaıla bir metoddur. Bu metod Vito Volterra tarafıda ortaya koa Volterra Serileri teorisii temel almaktadır. Bu teoriye göre tek giriģ tek çıkıģlı bir sistem Volterra Serileri ile aģağıdaki gibi taımlaabilmektedir [6]. N y( t y ( t ( y ( t... h (... u( t d i i i Zama boyutuda yapıla bu taımlama çok boyutlu Fourier döüģümüe tabi tutularak frekas boyutua taģıabir. Böylee bir sistemi frekas boyutudaki giriģ çıkıģ bağıtısı aģağıdaki gibi verilebir [7]. (2 H j j l l y p p p2 l l H j j p GeĢtirile bu algoritmalar kodlaması kolay aak iģlem yükü fazla ola kedii çağıra yapıda olduklarıda 27 yılıda Peyto Joes tarafıda basitleģtirilmiģ baģka bir algoritma ortaya komuģtur []. GiriĢ harmoiklerii sırasıı değiģmesii çıkıģa ola etkisii ortada kaldırmak içi FCF i aģağıdaki simetrikleģtirme iģlemie tabi tutulması gerekir []. sym H ( j... j {... } setii tüm permütasyoları asym H ( j... j! (8 (9 N Y j A Y ( j Y ( j... H ( j... j (2 i U ( j d... d i (3 (4 2 yılıda bu algoritma Kaçar ve Çakaya tarafıda MATAB GUI ile arayüze taģımıģtır [2]. Bu çalıģmada bu arayüzle iģlemler gerçekleģtirirke geçe süreleri tespit ede bir bölüm eklemiģtir. Eklee bu bölüm ile paralel ve paralel olmaya iģlemler arasıdaki süre farkı tespit edilebilmektedir. Yei arayüz ve arayüz ile elde edilmiģ örek souçlar ġekil 4 ve 5 de görülmektedir. Burada H ( j... j ifadesi. deree Frekas Cevabı Foksiyou (FCF olarak taımlaır.. deree bir FCF i bir sistemi taımlaya doğrusal olmaya diferasiyel deklem modedeki terim katsayılarıda doğruda elde edilmesi içi kedii çağıra (reursive yapıda ola aģağıdaki algoritmalar geģtirilmiģtir [89]. H j j asym H j j u H j j uy H j j y l ( l j j l (5 ġekil 4: Sistemleri Volterra Serileri ile aazi içi tasarlaa arayüz 37
S. Kaçar İ. Çakaya yüksek gek değerie 4 rad/s frekasıda ulaģtığı görülmektedir. Faz değiģimleri de yie ayı frekas değeride oluģmaktadır. Bu çalıģmada ġekil 4 de görüle siyah çerçeve bölümde. deree FCF i ve grafiksel souçları e kadar sürede elde edildiğii göstere iki meti kutusu eklemiģtir. Öreği yukarıda souçları elde edile sistem modede x ve y ekseleri içi rad/s de rad/s ye kadar rad/s artıģlarla değerler verilmiģ ve souçlar elde edilmiģtir. Bua göre üçüü deree FCF elde edilee kadar geçe süre 353 s ike grafiksel souçları elde edilmesi içi geçe süre 39558 s olmuģtur. Görüldüğü üzere üçüü deree FCF çok kısa bir sürede elde edirke grafiksel souçları elde edilmesi çok daha uzu bir zama almıģtır. Bu yüzde toplamda haraa zamaı düģürmek içi paralel hesaplama grafiksel souçları elde edilmeside kullaılmıģtır. IV. GRAFĠKSE SONUÇARIN PARAE HESAPAMA ĠE EDE EDĠMESĠ ġekil 5: Arayüz ile elde edile gek ve faz grafikleri ġekil 4 de görüle arayüzde matematiksel mode diferasiyel bir deklem (EĢitk ola bir sistem NDE (Noear Differetial Equatios mode (EĢitk ile terimler hade taımlamaktadır. EĢitk daki sistem bir Duffig osilatörü olup parametreleri. 3 olarak berlemiģtir [3]. 2 2 2 6 3 u t 3.4 ( ( 2 ( ( ( M m p pq p q pq m p l l pq i i p ( l... l D y( t D u( t ( ( EĢitk de görüle D ile türev iģlemi l i ile türev dereesi pq (. ile sistem modede bulua ilgi terimi katsayısı ifade edilmektedir. pq (l l p+q ifadesi sistemi model deklemide p tae çıkıģ bileģei ve q tae giriģ bileģeide oluģa bir terimi katsayısıı taımlar. EĢitk de görüle sisteme ait terim katsayılarıı NDE karģılıkları aģağıda verilmiģtir. Bölüm 3 de aaz süresie yapıla iģlemler içi haraa zamaı yaklaģık tamamıı grafiksel souçları elde edilmesi içi sarf edildiği görülmüģtür. Öyle ise paralel hesaplama iģlemii grafiksel souçlar elde edirke kullaılmasıı daha uygu olduğu söyleebir. Grafiksel souçlar arayüzde x ve y ekseleri içi berlee her bir frekas dizii iç içe iki for dögüsü ile iģlemesi souu elde edilmektedir. Bu iģlemi paralelleģtirilmesi Bölüm 2 de kullaımı açıklaa paralel hesaplama özelğie sahip parfor dögü yapısı kullaılarak gerçekleģtirilmiģtir. ġekil 6 daki souçlar özelkleri Tablo de verile bir masaüstü bilgisayar ile paralel ve paralel olmaya yapılar içi elde edilmiģtir. Tüm bu souçlar x ve y ekselerie rad/s de rad/s artıģlarla rad/s ye kadar ola frekas değerleri ile üretilmiģtir. Tablo : Bilgisayar Özelkleri ĠĢlemi Mode Itel(R Core(TM 2 CPU 63 Çekirdek Sayısı 2 ĠĢlemi Frekası.87 GHz Ram Miktarı 3. GB ĠĢletim Sistemi Wi 7 64 Bit (2 3 ( 2 6 3 ( 2 ( diğer terimler pq ( 2 (2 Taımlama iģlemii ardıda istee dereedeki FCF sembok olarak hesaplatılabir. Sorasıda x ve y ekseleri içi frekas değerleri berleerek grafiksel souçlar elde edilebir. Bu grafiksel souçlar gek grafiği gek grafiğii otour çizimi faz grafiği ve faz grafiğii otour çizimide oluģmaktadır. Cotour çizimideki izotop eğrilerii seviye sayısı da arayüzde berlemektedir [2]. ġekil 5 de üçüü dereede doğrusal olmaya bir sistem içi elde edile üçüü deree FCF ye ait grafiksel souçlar görülmektedir. Bu souçlara bakıldığıda sistem evabıı e ġekil 6: FCF dereelerie göre hesaplama zamaları 38
Paralel Hesaplama Kullaılarak Doğrusal Olmaya Sistemleri Aazi ġekil 6 da görüldüğü gibi FCF dereelerie göre hesaplama süreleri logaritmik biçimde artmıģtır. Burada alaģılaağı üzere FCF dereesi arttıkça iģlem karmaģıklığı ve yükü çok büyük ölçüde artmaktadır. Öreği basit bir hesaplama gerektire birii deree FCF de paralel yapı daha çok zama haramıģtır. Bua karģı iģlem yükü arttıkça paralel hesaplamaı verimi atmıģ ve dokuzuu deree FCF de paralel hesaplama yaklaģık üç kat daha hızlı gerçekleģmiģtir. AĢağıdaki Ģekilde paralel hesaplamaı diğerie göre sağladığı kazaçlar görülmektedir. ġekil 7: FCF dereelerie göre paralel hesaplamaı sağladığı kazaçlar [3] http://e.wikipedia.org/wiki/parallel_omputig#ite_ref-view-power _3-.2.2. [4] MATAB Parallel Proessig ToolboxTM 5 User s Guide The MathWorks I. 2. [5] A. Demirkese Matlab ile Paralel Hesaplamalara GiriĢ Ġteret Semieri Figes A.ġ. http://www.mathworks.om/ompay/evets /webiars/webiarof.html?id=496&laguage=tr&by=appatio 4.2.2. [6] V. Volterra Theory of Futioals ad of Itegral ad Itegro- Differetial Equatios Blakie ad So imited 93. [7] E. Bedrosia S.O. Rie The Output Properties of Volterra Systems (Noear Systems with Memory Drive by Harmoi ad Gaussia Iputs Proeedigs of the Istitutio of Eletrial Egieers 59 p. 688-77 97. [8] J.C. Peyto Joes S.A. Bilgs Reursive Algorithm for Computig the Frequey Respose of a Class of No-ear Differee Equatio Models Iteratioal Joural of Cotrol Vol. 5 No. 5 p. 925-94 989. [9] S.A. Bilgs J.C. Peyto Joes Mappig No-ear Itegro- Differetial Equatios ito the Frequey Domai Iteratioal Joural of Cotrol 52 No. 4 p. 863-879 99. [] J.C. Peyto Joes Simpfied Computatio of the Volterra Frequey Respose Futios of No-ear Systems Mehaial Systems ad Sigal Proessig 2 p. 452-468 27. [] M. Shetze The Volterra ad Wieer Theories of Noear Systems New York Joh Wiley ad Sos 98. [2] S. Kaçar i. Çakaya Doğrusal Olmaya Sistemleri Volterra Serileri Metodu ile Aazie Yöek Arayüz Tasarımı Diyarbakır SIU2 - IEEE 8.Siyal ĠĢleme ve ĠletiĢim Uygulamaları Kurultayı sf. 566-569 2. [3] Z.K. Peg Z.Q. ag S.A. Bilgs G.R. Tomso Comparisos Betwee Harmoi Balae ad Noear Output Frequey Respose Futio i Noear System Aalysis Joural of Soud ad Vibratio 3 56 73 28. ġekil 6 ve 7 de görüle souçlar paralel hesaplamaı karmaģık iģlemlerdeki avatajıı ortaya koymaktadır. Bua karģı basit iģlemlerde paralel hesaplamaı kullaımı ek bir yük getirdiğide zama kaybıa ede olmaktadır. V. SONUÇ VE DEĞERENDĠRMEER Bu çalıģmada paralel hesaplamaı temelleride ve araçlarıda bahsedilmiģ ayrıa MATAB Paralel ĠĢleme Araı taıtılmıģtır. Volterra Serileri metodu kısaa açıklamıģ ve daha öe bu metod içi hazırlaa arayüz paralel hesaplama içi uygu duruma getirilmiģtir. ParalelleĢtirme iģlemi parfor dögüsü ile gerçekleģtirilmiģ ve souçlar elde edilmiģtir. Elde edile souçlar paralel hesaplamaı karmaģık iģlemlerde oldukça avatajlı olmasıa karģı basit iģlemlerde zama kaybıa ede olduğuu ortaya koymuģtur. TEġEKKÜR Bu çalıģma 2-5-2-4 olu BAP projesi kapsamıda Sakarya Üiversitesi Bimsel AraĢtırma Projeleri Komisyo BaĢkalığı tarafıda desteklemiģtir. KAYNAKAR [] G.S. Almasi ad A. Gotteb Highly Parallel Computig Bejami- Cummigs pubshers Redwood City CA 989. [2] M. Akçay H. A. Erdem Paralel Hesaplama ve Matlab Uygulamaları Akademik BiĢim 2 Bildiri No:27. 39