Saf Eğilme(Pure Bending)

Saf Eğilme(Pure Bending)

Saf Eğilme (Pure Bending) Bu bölümde doğrusal, prizmatik, homojen bir elemanın eğilme etkisi altındaki şekil değiştirmesini/ deformasyonları incelenecek. Burada çıkarılacak formüller en kesiti en az bir eksene göre simetrik olan ve kesite etkiyen eğilme momentinin bu eksene dik bir doğrultuda olması durumu için geçerli olacak.

Saf Eğilme (Pure Bending) Bireksenegöresimetrikenkesitesahipvebueksenedikdoğrultuda etkiyen eğilme momentine (sağ-el kuralını uygula) maruz prizmatik, doğrusal eleman(örneğin kiriş), aşağıda gösterilmiştir: Simetri Ekseni Boyuna Doğrultuda Eksen Tarafsız/Nötr Yüzey (*) (*) Daha sonra bu yüzeye neden nötr yüzey dendiği konusu açıklanacak!

Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Gözle izlenebilir düzeyde deforme olabilen bir malzemeden yapılmış, (örneğin: kauçuk malzemesi), prizmatik bir elamanın uçlarına etkiyen eğilme momenti etkisi altındaki deformasyonunu inceleyelim, elemanın en kesiti dikdörtgen olsun: Yatay çizgiler eğildi Deformasyondan Önce Düşey çizgiler düz kaldı, ancak döndü Deformasyondan Sonra

Yukarıdaki gözlemlerden, gerilmelerin malzemeyi nasıl deforme ettiği ile ilgili şu kabulleri yapmak mümkün: (i) düzlemden önce düzlem olan kesitler eğildikten sonra da düzlem kalmaktadır, (ii) tarafsız düzlemde bulunan boyuna doğrultudaki x ekseninin boyu değişmemektedir, sadece eğilmektedir, (iii) kirişin deformasyondan önce x eksenine dik olan tüm kesitleri deformasyon sonrasında da x eksenine dik kalmaktadır, (iv) kesitlerin kendi düzlemleri içindeki deformasyonları ihmal edilecektir. Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Boyuna Ekse zekseni tarafsız eksen! Nötr yüzey

Momentin yönü aşağıdaki gibiyse (+ moment) eğilme etkisine maruz bir elemanın alt kısımları(lifleri) çekme, üst kısımları(lifleri) ise basınç etkisine maruz kalacaktır. Bu durumda bu iki bölüm arasında, şekil değiştirmeyen bir yüzey olmak zorundadır. Bu yüzeye tarafsız veya nötr yüzey denir. Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar M M

Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Bu şekil değişiminin malzemeyi nasıl zorladığını incelemek için kirişin mesnetlenmiş noktasından x mesafesinde ve deforme olmamış kalınlığı Δx olan bir kiriş dilimi çıkarılacaktır. Bu dilimin deforme olmadan önce ve sonraki durumu aşağıda gösterilmiştir: Dikkat edilirse, nötr eksen üzerinde herhangi bir şekil değişimi olmamakta! x Boyuna eksen Boyuna eksen Deformasyondan Önce Deformasyondan Sonra

Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Nötr eksenin üstünde kalan kısımlarda boy kısalması, altında kalan kısımlarda ise boy uzaması olacaktır. Nötr eksenin üzerinde herhangi bir y mesafesindeki bir lifte oluşan normal birim şekil değiştirme aşağıdaki gibi bulunur: ε = lim s s s s 0 (1) Boyuna eksen Şimdi bu şekil değişiminidilimin çıkarıldığı noktadaki eğrilik yarıçapı (ρ)vey mesafesi cinsinden ifade edelim. Deformasyondan Sonra

Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Deformasyondan önce Δs = Δx. Deformasyondan sonra Δx, O merkezine sahip ρ eğrilik yarıçapına sahip olacaktır. Δθ en kesitler arasındaki açıyı tanımlamaktadır, bu durumda, x= s= ρ θ Benzer şekild, tarafsız eksenden y mesafesindeki kısalmış boy aşağıdaki gibi bulunur: ( ρ y) s = θ (2) (3) Boyuna eksen

Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar (2) ve(3) nolu ifadeler(1) nolu ifadede yerine konur ve sadeleştirmeler yapılırsa, ( ρ y) θ ρ θ y ε = lim = s 0 ρ θ ρ Bu çok önemli bir sonuçtur ve şunu ifade eder: kirişin herhangi bir noktasındaki eğilmeden kaynaklı oluşan boyuna normal birim şekil değiştirme, o noktanın kesitteki yerini tanımlayan y mesafesine ve incelenen kesite ait eğrilik yarıçapına bağlı olarak değişir.

Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Bir başka deyişle, boyuna doğrultudaki normal birim şekil değiştirme, nötr eksenden ölçülen y mesafesi ile lineer olarak değişmektedir. +y mesafesinde kısalma şekil değişimleri (negatif işaret), -y mesafesinde ise uzama birim şekil değişimleri oluşacaktır(pozitif işaret) ε ε max = y/ ρ c/ ρ y ε = ε c max Kesitteki normalşekil değişimi dağılımı

Bu sonuçlar yaptığımız kabuller altında geçerlidir ve kiriş sadece moment etkisi altındadır. Bu durumda kirişte sadece eksenel doğrultuda normal birim şekil değişimi oluşmaktadır. Bu durumda şunu söylemek de uygun olacaktır: kirişte sadece boyuna eksen doğrultusunda normal gerilmeler oluşmaktadır (Hookeyasasıgereği:σ x =Eε x ). Saf Eğilme (Pure Bending) Doğrusal Elemanlar Poissonoranıgereğidiğerikiyöndedeşekildeğişimleroluşacaktır:ε y =-ϑε x ve ε z =-ϑε x budeğerlerkesitikendiiçindedeformeedeceklerdir. Bu tip bir deformasyon, nötr eksenin üstünde kalan kısımların en kesit alanını büyütecek, altında kalanlarının ise küçültecektir. Bu deformasyonlar, bu derste ihmal edilecektir.

Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü Şimdi boyuna doğrultuda oluşan gerilmeler ile kirişte oluşan moment arasında bir ilişki geliştirelim. Bu ilişki için, malzemenin lineer elastik davrandığı kabulü yapılacaktır, yani Hooke yasası geçerlidir. Bu durumda, kesitte oluşan lineer normal şekil değiştirme, lineer normal gerilmelerin bir sonucu olarak oluşacaktır: y ε = ε c max y σ = σ c max Üçgenlerin benzerliğinden Kesittengelişennormalbirim şekil değişimi (yandan görünüş) Kesitte gelişen normal gerilme değişimi (yandan görünüş)

Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Altında Kırılma/Göçme Modu

Buradaki pozitif işaret kabulü önemlidir: pozitif moment (+z yönünde), +y doğrultusunda negatif gerilmeler (basınç), y doğrultusunda ise pozitif gerilmeleri(çekme) oluşturmaktadır. Aşağıdaki eğilme durumunu düşünelim: Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü Örneğin kesit üzerinde y mesafesindeki bir noktada, basınç gerilmesi oluşacaktır. + Tek bir noktada, tek bir gerilme durumu söz konusudur. Kesit üzerindeki eğilme gerilmesi değişimi

Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü Nötr eksenin yerini bulmak için kesite etkiyen kuvvetler düşünülmelidir. Bu durumda denge şartından kesitteki normal gerilmelerden dolayı oluşan bileşke kuvvet sıfır olmalıdır(sadece moment var). Aşağıdaki şekle referansla: Eğilme gerilmesi dağılımı ya = 0 y = df = A σda= A σ A maxda c σmax = yda c A Bu ifadenin sıfır olabilmesi için integrantın sıfır olması gerekmektedir, yani: A yda=0 Alanın nötr eksene göre birinci momentinin sıfır olması gerekmekte. Bu durum ancak nötr eksenin kesitin merkezinden geçmesi durumunda mümkündür. Bir başka deyişle, kesitin merkezi biliniyorsa nötr eksenin yeri de bilinmektedir.

Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü Kesitte oluşan gerilmelerin şiddeti ise denge şartını dikkate alarak bulunabilir: kesit momenti(iç kuvvet) = gerilme dağılımının oluşturduğu moment değerine eşit olmak zorundadır. ( M ) R = y( σda) = M ; M = dm = ydf z z A A ( ) ; 0 R A y = y A σ c σmax M= c A M M z σ da y = y = A max Dikkate edilirse, kesit y-eksenine göre simetrik olduğunda aşağıdaki koşul otomatik olarak sağlanmakta: 2 y da

Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü σ M= c max y 2 da A Yukarıdaki denklemde, integrand nötr eksene (kesit merkezinden geçen z-eksenine) göre kesitin atalet momentidir ve I harfi ile gösterilir. Budurumdaσ max aşağıdakigibiyazılabilir: σ max M = c I σ max /c=-σ/yifadesikullanılarak,kesitinherhangibiryerindekigerilme değeri formülü yazılabilir. Bu ifadeye EĞİLME FORMÜLÜ denir ve çok önemli bir ifadedir: M σ=- y I (-)işareti önemlidir, çünkü şağel kuralına göre belirlenen pozitif moment, nötr eksenin üstünde basınç altında ise çekme gerilmeleri oluşturmaktadır!

Saf Eğilme (Pure Bending) Eğilme Formülü σ max M = c I Eğilme formülü (i) kesitin nötr eksene göre dik olan bir eksene göre simetrik olması durumunda, ve (ii) momentin nötr eksen doğrultusunda etkimesi durumunda kullanılabilir.

Örnek -1 Şekilde gösterilen kiriş dikdörtgen en kesit alanına sahiptir ve kesit üzerinde gösterilen gerilme dağılımına sahiptir, kesitteki normal gerilmenin nedeni M eğilme momentini: (a) eğilme formülünü kullanarak ve(b) gerilme dağılımının bileşkesini kullanarak bulunuz. 1 lb= 4.448 N 1 in = 2.54 cm 1 ft= 12 in 1 ft= 0.3048 m

Örnek 1 (devam) (a) şekline referansla maksimum gerilmenin c = 6 in değerinde oluşacağını görebiliriz: Eğilme formülünü kullanırsak: σ max M = c I Bu durumda

Örnek 1 (devam) (b)aşağıda gerilme dağılımlarının altında kalan hacimler birbirine eşittir ve bir kuvvet çifti sistemi oluştururlar. Bu durumda, bileşke kuvvet F aşağıdaki gibi bulunabilir: = Kuvvet çifti arasındaki mesafesinin 8 in olduğu görülürse, kesitte oluşan moment değeri bulunabilir:

Örnek -2 Şekilde gösterilen basit mesnetli kirişin en kesit geometrisi aşağıda gösterilmiştir. Kirişte oluşan mutlak maksimum gerilme değerini bulunuz ve gerilme dağılımını kesit üzerinde çiziniz.

Örnek 2 (devam) Maksimum gerilme değeri maksimum momentin oluştuğu noktada oluşacaktır (gerilme formülünü hatırlayınız). Bu nedenle önce kirişin moment diyagramının çizilerek, maksimum moment değerinin bulunması gerekmektedir: 0 3 6 22.5 kn.m M [kn.m] Bu yükleme durumu için maksimummoment kirişin tam ortasında 22.5 knm şiddetindedir.

Örnek 2 (devam) Simetriden dolayı en kesitin alan merkezinin simetri eksenlerinin kesiştiği noktada olduğu ve dolayısıyla tarafsız eksenin de buradan geçtiği görülecektir. Bir başka deyişle ağırlık merkezini ayrıca hesaplamaya gerek yoktur. Tarafsız (nötr) eksen toplam yüksekliğin tam ortasında olacaktır! Bu eksene göre atalet momenti paralel eksenler teoremi kullanılarak hesaplanabilir:

Örnek 2 (devam) Eğilmeden dolayı oluşan gerilmeler gerilme formülü uygulanarak hesaplanır, c = 170 mm için en dış lifte mutlak maksimum gerilmeler oluşacaktır: Gerilme diyagramını çizmek için, kesitin B noktasında oluşan gerilme değerini de hesaplamak gerekmektedir (kesitteki gerilme dağılımı doğrusal olduğunda dolayı aslında iki noktada oluşan gerilmenin bilinmesi yeterlidir):

Kesitteki gerilme dağılımının üç boyutlu görünümü aşağıda gösterilmiştir: Örnek 2 (devam) Sınavda iki boyutlu görünümü çizmek yeterli olacaktır!

Örnek -3 Şekilde gösterilen ankastre mesnetli kirişin en kesit geometrisi aşağıdaki gibidir. a-a kesitinde eğilmeden dolayı oluşan maksimum gerilmeyi bulunuz.

Örnek 3 (devam) Bileşke iç kuvvetlerin kesit üzerinde etkidiği nokta kesitin alan merkezidir, ayrıca nötr (tarafsız) eksen kesitin merkezinden geçmektedir. Bu nedenle ilk önce kesitin merkezi bulunmalıdır, bu işlem için hatırlanırsa ağırlıklı ortalama formülü kullanılır: Nötr eksen z

Örnek 3 (devam) a-a kesitinde oluşan moment değerini bulalım. Bunun için, kiriş a-a kesitinden kesilir ve sol parçanın dengesi incelenir: Dikkat edilirse, iç kuvvetlerin bileşkesi kesit alan merkezinden geçtiği kabul edilmekte! Önemli Not: Bu moment değeri eğilmeden kaynaklı oluşan normal gerilmelerin hesabında kullanılacaktır. Normal kuvvet ise kesitte ekstra gerilmeler oluşturacaktır, ileride bu gerilmelerle momentten kaynaklı gerilmelerin süperpozisyonu gerçekleştirilecektir. Burada sadece momentten kaynaklı gerilmeler dikkate alınacaktır.

Örnek 3 (devam) Kesitin nötr eksene göre atalet momentine ihtiyaç var:

Örnek 3 (devam) Maksimum gerilme nötr eksenden en uzak mesafede oluşacaktır, burasıkesitinenaltnoktasıdırvec=0.2 0.05909=0.1409m dir. 59.09 mm 0.1409 mm Bu örnekte momentin etkime yönünden dolayı nötr eksenin üst tarafında çekme, alt tarafında ise basınç gerilmeleri oluşmaktadır.