Mukavemet-II Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş
Bölüm 7 Gerilme ve Şekil Değiştirme Dönüşümleri Kaynak: Cisimlerin Mukavemeti, F.P. Beer, E.R. Johnston, J.T. DeWolf, D.F. Mazurek, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok.
7.1 Giriş Bölüm 1 de bir Q noktasındaki en genel gerilme halinin altı bileşenle temsil edilebileceğini gördük. Koordinat eksenleri döndürüldüğünde, aynı gerilme hali farklı bir bileşen takımıyla temsil edilecektir.
7.1 Giriş İncelememiz, temelde düzlem gerilme halini yani kübik elemanın iki yüzünde herhangi bir gerilme olmaması haliyle ilgili olacaktır. τ yx = τ xy, τ zy =τ yz,τ xz =τ zx olduğunu hatırlayalım.
7.1 Giriş İnce cidarlı basınç kapları, düzlem gerilme analizinin önemli bir uygulamasını oluşturur.
7.2 Düzlem Gerilme Dönüşümü Elemanın z ekseni etrafında θ açısı kadar döndükten sonraki durumuyla ilişkili σ x', σ y' ve τ x'y' gerilme bileşenlerini belirlemeyi ve bu bileşenleri σ x, σ y, τ xy ve θ cinsinden ifade etmeyi amaçlıyoruz.
7.2 Düzlem Gerilme Dönüşümü
7.2 Düzlem Gerilme Dönüşümü
7.2 Düzlem Gerilme Dönüşümü
7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi Bunlar bir çemberin parametrik denklemleridir. Bir dik eksen takımı seçer ve θ parametresinin değerleri için bulunan M noktalarını birleştirirsek, bunlar bir çember üzerinde bulunur.
7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi denklemi, merkezi σ ort apsisli ve 0 ordinatlı C noktası olan R yarıçaplı bir çemberin denklemidir. Çember yatay eksene göre simetrik olduğundan, N noktalalarının çizilmesi ile de aynı sonuç elde edilir.
7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi Çember üzerindeki A ve B noktaları özel öneme sahiptir. A noktası σ x' normal gerilmesinin maksimum değerine, B noktası ise minimum değerine karşılık gelir. Ayrıca her iki nokta da τ x'y' kayma gerilmesinin sıfır değerine karşılık gelir.
7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi Bu şekilde elde edilen elemanın yüzlerini içeren düzlemlere, Q noktasındaki asal gerilme düzlemleri denir. Bu düzlemler üzerinde uygulanan normal gerilmelerin karşı gelen σ maks ve σ min değerlerine de Q daki asal gerilmeler adı verilir. Asal düzlemler üzerinde hiçbir kayma gerilmesinin olmadığı açıktır.
7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi İki asal düzlemden hangisinin σ maks ve σ min değerlerine maruz kaldığını anlamak mümkün olmazsa, iki θ p değerinden birisi aşağıdaki denklemde yerine koymak gerekir.
7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi Çemberin düşey çapı üzerinde bulunan D ve E noktalarının, τ x'y' kayma gerilmesinin en büyük sayısal değerine karşılık geldiği görülür.
7.3 Asal Gerilmeler; Maksimum Kayma Gerilmesi Kayma gerilmesinin maksimum değeri, çemberin R yarıçapına eşittir. İki denklem birbirinin tersinin ters işaretlisidir. Yani, 2θ p ve 2θ s arasındaki fark 90 ve θ p ve θ s arasındaki fark 45 dir. Maksimum kayma gerilmesi düzlemleri, asal düzlemlerle 45 lik açı yapar.
Örnek 7.01 Şekilde gösterilen düzlem gerilme hali için, (a) asal düzlemleri, (b) asal gerilmeleri, (c) maksimum kayma gerilmesini ve karşı gelen normal gerilmeyi belirleyiniz.
Örnek 7.01 a. Asal Düzlemler. b. Asal Gerilmeler.
Örnek 7.01 c. Maksimum Kayma Gerilmesi.
Örnek Problem 7.1 250 mm 100 mm 450 mm 30 mm 600 N büyüklüğündeki tek bir P yatay kuvveti, ABD manivelasının D ucuna uygulanmaktadır. Manivelanın AB parçasının çapı 30 mm olduğuna göre, (a) H de yer alan ve x ve y eksenlerine paralel kenarlara sahip olan bir eleman üzerindeki normal ve kayma gerilmelerini, (b) H noktasındaki asal düzlemleri ve asal gerilmeleri belirleyiniz.
Örnek Problem 7.1 Kuvvet-kuvvet çifti sistemi. 450 mm 270 Nm 600 N 250 mm 100 mm 30 mm 150 Nm
Örnek Problem 7.1 270 Nm 600 mm a. H Noktasındaki Gerilmeler. 56.6 MPa 50.9 MPa 150 Nm
Örnek Problem 7.1 56.6 MPa b. Asal Düzlemler ve Asal Gerilmeler. 50.9 MPa 86.5 MPa 29.9 MPa
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi Mohr çemberinin çizimi: 1. Çember üzerinde X ve Y noktaları belirlenir. X noktası, x eksenine dik yüzeydeki gerilmeleri, A noktası da a eksenine dik yüzeydeki gerilmeleri temsil eder. Benzer uylaşım, Y ve B noktaları için de geçerlidir.
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi 2. X ve Y bir doğru ile birleştirilir. XY doğrusunun σ ekseniyle kesiştiği nokta C ile gösterilir ve C merkezli, XY çaplı çember çizilir. C nin apsisi ve çemberin yarıçapı: 3. Çemberin σ eksenini kestiği A ve B noktalarının apsisleri, sırasıyla, ele alınan noktadaki σ maks ve σ min asal gerilmelerini temsil eder.
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi tan (XCA) = 2τ xy /(σ x - σ y ) olduğundan, XCA açısı yukarıdaki denklemi sağlayan açılardan birine büyüklükçe eşittir. Bu nedenle, çemberin A noktasına karşı gelen asal düzlemin yönelimini eleman üzerinde tanımlayan θ p açısı, XCA açısının yarısıdır.
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi Mohr çemberi üzerinde, saatin tersi yönünde 2θ p kadar bir dönme, CX i CA ya taşırsa, saatin tersi yönünde θ p kadar bir dönme Ox i Oa ya taşır.
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi Aynı çember, x' ve y' eksenlerine karşı gelen gerilme bileşenleri ele alınarak da elde edilebilir. XCX' açısı, xox' açısının iki katına eşittir. XY çapını X'Y' çapına taşıyan dönmenin yönü, xy eksenlerini x'y' eksenlerine taşıyan dönme ile aynıdır.
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi Buradan, maksimum kayma gerilmesi düzlemlerinin asal düzlemlerle 45 lik bir açı yaptığı da gözlemlenebilir. Mohr çemberinin AB ve DE çapları arasındaki açı 90 olduğundan, karşı gelen elemanların yüzleri arasındaki açı 45 dir.
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi (a) Saat yönünde Yukarıda (b) Saatin tersi yönünde Aşağıda Verilen bir yüz üzerine uygulanan kayma gerilmesi, elemanı saat yönünde döndürme eğiliminde ise, Mohr çemberi üzerinde bu yüze karşılık gelen nokta, σ ekseninin üst kısmında yer alır. Normal gerilmelerde ise, çekme gerilmesi pozitif kabul edilir ve sağa doğru çizilir. Basınç gerilmesi ise negatif kabul edilir ve sola doğru çizilir.
Örnek 7.02 Şekildeki düzlem gerilme hali için, (a) Mohr çemberini oluşturunuz, (b) asal gerilmeleri belirleyiniz, (c) maksimum kayma gerilmesini ve karşı gelen normal gerilmeyi belirleyiniz.
Örnek 7.02 a. Mohr Çemberinin Oluşturulması. X ve Y noktaları belirlendikten sonra, XY doğrusu çizilerek Mohr çemberinin merkezi bulunur.
Örnek 7.02 b. Asal Düzlemler ve Asal Gerilmeler.
Örnek 7.02 b. Asal Düzlemler ve Asal Gerilmeler. CX i CA ya taşıyan dönme saatin tersi yönünde olduğundan, Ox i Oa eksenine taşıyan dönme de saatin tersi yönündedir.
Örnek 7.02 c. Maksimum Kayma Gerilmesi. Saatin tersi yönünde 90 lik dönme CA yı CD ye taşıdığına göre, saatin tersi yönünde 45 lik bir dönme, Oa eksenini, maksimum kayma gerilmesine karşı gelen Od eksenine taşır.
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi Mohr çemberi, merkezi eksenel yüklemeye maruz bir elemandaki gerilmeleri belirlemek için kullanılabilir.
7.4 Düzlem Gerilmede Mohr Çemberi Mohr çemberi, ayrıca burulma yüklemesine maruz bir elemandaki gerilmeleri belirlemek için kullanılabilir.
Örnek Problem 7.2 Gösterilen düzlem gerilme hali için, (a) asal düzlemleri ve asal gerilmeleri, (b) verilen elemanın saatin tersi yönünde 30 dönmesiyle elde edilen eleman üzerine uygulanan gerilme bileşenlerini belirleyiniz.
Örnek Problem 7.2 Mohr Çemberinin Oluşturulması.
Örnek Problem 7.2 a. Asal Gerilmeler ve Asal Düzlemler.
Örnek Problem 7.2 b. 30 Döndürülen Eleman Üzerindeki Gerilme Bileşenleri.
Örnek Problem 7.3 56 MPa Şekildeki düzlem gerilme hali, düşey yüzeyler üzerine uygulanan σ 0 =56 MPa lık bir çekme gerilmesi ve bilinmeyen kayma gerilmelerinden oluşmaktadır. (a) τ 0 kayma gerilmesinin büyüklüğünü, en büyük normal gerilme 70 MPa olacak şekilde belirleyiniz, (b) karşı gelen maksimum kayma gerilmesini bulunuz.
Örnek Problem 7.3 Mohr Çemberinin Oluşturulması. (MPa) 70 MPa 14 MPa 28 MPa 56 MPa 28 MPa 56 MPa (MPa)
Örnek Problem 7.3 (MPa) 70 MPa 14 MPa 28 MPa 56 MPa 28 MPa a. τ 0 Kayma Gerilmesi. (MPa)
Örnek Problem 7.3 b. Maksimum Kayma Gerilmesi. (MPa) 70 MPa 28 MPa 56 MPa 14 MPa 28 MPa 28 MPa 42 MPa 14 MPa 70 MPa (MPa)
Örnek Problem 7.3 b. Maksimum Kayma Gerilmesi. 14 MPa 28 MPa 70 MPa 42 MPa τ 0 kayma gerilmesinin yönü ile ilgili ilk varsayımımız ters çevrilseydi, aynı çemberi ve aynı cevapları elde ederdik. Fakat elemanların yönelimi şekildeki gibi olurdu.
7.5 Genel Gerilme Hali Önceki kesimlerde düzlem gerilme hali ele alınıp sadece z ekseni etrafında bir dönmeyle ilgili gerilme dönüşüm denklemleri elde edildi. Şimdi ise genel gerilme hali ve şekilde gösterilen eksenlerin dönmesiyle ilişkili gerilme dönüşümünü ele alacağız.
7.5 Genel Gerilme Hali Yüzlerden üçü koordinat düzlemlerine paraleldir. ABC yüzü ise QN doğrusuna diktir. QN doğrusunun doğrultu kosinüsleri λx, λy, ve λz dir.
7.5 Genel Gerilme Hali ABC yüzü üzerine uygulanan kuvvetler, QN doğrultusundaki normal kuvvet ile QN ye dik, fakat doğrultusu bilinmeyen bir kesme kuvvetinden oluşur.
7.5 Genel Gerilme Hali Bu ifade, λx, λy, ve λz nin bir kuvadratik formudur. Koordinat eksenleri, denklemin sağ yanı doğrultu kosinüslerinin karelerini içeren üç terime dönüşecek şekilde seçilebilir. Bu eksenleri a, b, c ile, karşı gelen gerilmeleri σ a, σ b, σ c ile ve QN in bu eksenlere göre doğrultu kosinüslerini λa, λb, ve λc ile gösterirsek, şeklinde yazılabilir.
7.5 Genel Gerilme Hali a, b, c koordinat eksenlerine asal gerilme eksenleri adı verilir. Karşı gelen koordinat düzlemleri asal gerilme düzlemleri ve σ a, σ b, σ c gerilmeleri Q daki asal gerilmeler olarak bilinir.
7.6 Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması Eleman bir eksen etrafında, örneğin, c ekseni etrafında döndürülürse, Mohr çemberi (AB çaplı) düzlem gerilme dönüşümü gibi çizilebilir. Eleman, a ve b eksenleri etrafında döndürülürken, sırasıyla BC ve CA çaplı Mohr çemberleri gerilme dönüşümü için kullanılabilir.
7.6 Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması Düzlem gerilme halinde σ z, τ zx ve τ zy sıfır olduğundan, z ekseni asal eksenlerden biridir ve O orijinine karşılık gelir. A ve B, O orijininin zıt taraflarında ise, maksimum kayma gerilmesi, maksimum «düzlem» kayma gerilmesine eşittir.
7.6 Mohr Çemberinin Üç Boyutlu Gerilme Analizine Uygulanması A ve B, O orijininin aynı tarafında ise, maksimum kayma gerilmesi, OA çemberinin yarıçapına eşittir. Yani, maksimum kayma gerilmesi, maksimum düzlem kayma gerilmesine eşit değildir.
Örnek 7.03 Şekilde gösterilen düzlem gerilme hali için, (a) üç asal düzlemi ve asal gerilmeyi, (b) maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz.
Örnek 7.03 a) Asal Düzlemler ve Asal Gerilmeler.
Örnek 7.03 b) Maksimum Kayma Gerilmesi.
7.7* Düzlem Gerilme Halinde Sünek Malzemeler için Akma Ölçütü Sünek bir malzemeden yapılmış yapı elemanları ve makine parçaları genellikle akmaya karşı tasarlanırlar. Eleman veya parça eşeksenli gerilme altında ise, akmaya neden olacak normal gerilme aynı malzemeden yapılan bir numunenin çekme deneyinden kolayca elde edilebilir.
7.7* Düzlem Gerilme Halinde Sünek Malzemeler için Akma Ölçütü Makine parçası veya eleman düzlem gerilme halinde ise, asal gerilmelerin belirlenmesi gerekir. İki eksenli bir yükleme söz konusudur. Çekme deneyine maruz bir numunedeki eşeksenli gerilme halinden farklı olduğundan, ele alınan parçanın hasara uğrayıp uğramamayacağı bilgisi böyle basit bir deneyden elde edilemez. Her iki gerilme halinin etkilerini karşılaştırmaya imkan veren bir ölçüt oluşturulmalıdır.
Maksimum Kayma Gerilmesi (Tresca) Ölçütü Sünek malzemelerdeki akmanın, malzemenin eğik yüzeyler boyunca kaymasıyla ortaya çıktığı ve özellikle kayma gerilmelerinden kaynaklandığı gözlemi üzerine kurulmuştur. Bu ölçüte göre, bir yapı elemanı, elemandaki kayma gerilmesinin maksimum değeri (τ max ), aynı malzemeden yapılmış numunenin çekme deneyinde, numunede akma başladığı andaki kayma gerilmesinden daha küçük kaldığı sürece emniyetlidir.
Maksimum Kayma Gerilmesi (Tresca) Ölçütü Merkezi eksenel yük halinde, kayma gerilmesinin maksimum değeri, karşı gelen maksimum normal gerilmenin yarısına eşittir. ½ σ Y = τ Y σ Y = 2τ Y
Maksimum Kayma Gerilmesi (Tresca) Ölçütü Düzlem gerilme halinde, asal gerilmelerin ikisi de pozitif veya ikisi de negatifse, τ max = ½ σ max = ½ σ a Asal gerilmelerin biri pozitif diğeri negatifse, τ max = ½ σ max - σ min = ½ σ a - σ b
Maksimum Distorsiyon Enerjisi (von Mises) Ölçütü Bir malzemedeki distorsiyon enerjisinin, yani, malzemenin şeklindeki değişmelerle ilişkili enerjinin belirlenmesi esasına dayanır. Bu ölçüte göre, bir yapı elemanı, elemanın birim hacmindeki distorsiyon enerjisinin maksimum değeri, aynı malzemeden yapılmış numunenin çekme deneyinde akmanın oluşması için gerekli olan birim hacimdeki distorsiyon enerjisinden daha küçük kaldığı sürece emniyetlidir.
Maksimum Distorsiyon Enerjisi (von Mises) Ölçütü Düzlem gerilme halindeki bir izotropik malzeme birim hacme düşen distorsiyon enerjisi: Çekme numunesi özel halinde: olduğu sürece, yapı elemanının em- veya niyetli olduğunu belirtir.
Tresca ve von Mises Ölçütlerinin Karşılaştırılması Burulma Elips, altıgenin köşelerinden geçmektedir. Bu altı noktayle temsil edilen gerilme halleri için, iki ölçüt aynı sonuç verir. Diğer gerilme hallerinde Tresca ölçütü daha ihtiyatlı sonuç verir. Burulma halinde σ min = -σ maks olur. Burulma testinde akma noktaları: Tresca von Mises
7.8* Düzlem Gerilme Halinde Gevrek Malzemeler için Kırılma Ölçütü Gevrek malzemeler bir çekme deneyinde akma olmaksızın aniden kırılırlar. Gevrek malzemeden yapılmış bir yapı elemanı veya makine parçası, eşeksenli bir çekme gerilmesine maruz kaldığında, kırılmaya neden olan normal gerilmenin değeri, malzemenin σ U kopma mukavemetine eşittir. σ x < σ U
7.8* Düzlem Gerilme Halinde Gevrek Malzemeler için Kırılma Ölçütü Makine parçası veya eleman düzlem gerilme halinde ise, asal gerilmelerin belirlenmesi gerekir. İki eksenli bir yükleme söz konusudur. Çekme deneyine maruz bir numunedeki eşeksenli gerilme halinden farklı olduğundan, ele alınan parçanın hasara uğrayıp uğramamayacağı bilgisi böyle basit bir deneyden elde edilemez. Her iki gerilme halinin etkilerini karşılaştırmaya imkan veren bir ölçüt oluşturulmalıdır.
Maksimum Normal Gerilme (Coulomb) Ölçütü. Bu ölçüte göre, verilen bir yapı elemanı, elemandaki maksimum normal gerilmenin değeri aynı malzemenin çekme deneyinden elde edilen σ U kopma mukavemetine ulaştığında kırılır. Bu ölçütün en önemli eksikliği, malzemenin kopma mukavemetinin çekmede ve basmada aynı olduğu varsayımına dayanmasıdır. Mikroskobik çatlaklar ve malzeme kusurları nedeniyle çekme mukavemeti genellikle basma mukavemetinden daha düşüktür.
Maksimum Normal Şekil Değiştirme (Saint Venant) Ölçütü. Bu ölçüte göre, verilen bir yapı elemanı, elemandaki maksimum normal şekil değiştirmenin maksimum değeri aynı malzemenin çekme deney numunesinin kırılacağı şekil değiştirmenin ε U değerinden küçük kaldığı sürece emniyetlidir.
Mohr Ölçütü. Malzeme üzerinde testler yapılıp σ UT çekme ve σ UC basma kopma mukavemetlerinin belirlendiğini varsayalım. Çekme deney numunesinin kırıldığı nokta, yatay ekseni O da ve σ UT de kesen çemberle temsil edilebilir. Basma halinde, yatay ekseni O da ve σ UC de kesen çember çizilebilir. Bu çemberlerden birinin içinde yer alan bir çemberle temsil edilen gerilme hali emniyetli olacaktır.
Mohr Ölçütü. σ a ve σ b nin ters işaretli olduğu hali analiz etmek için τ U kopma mukavemetinin burulma deneyi ile belirlendiğini varsayalım. O merkezli çember, burulma deney numunesinin kırılmasına karşılık gelen gerilme halini temsil eder. Çember içindeki noktalar emniyetlidir.
Mohr Ölçütü. Sadece σ UT çekme ve σ UC basma mukavemetleri biliniyorsa, zarf eğrileri şekildeki gibi basitleştirilebilir.
Örnek Problem 7.4 Gösterilen düzlem gerilme hali, bir çelik makine parçasının kritik bir noktasında ortaya çıkmıştır. Birçok çekme deneyi sonucunda, kullanılan çeliğin çekme akma mukavemeti σ Y = 250 MPa olarak bulunmuştur. Akmaya göre emniyet katsayısını, (a) maksimum kayma gerilmesi ölçütünü ve (b) maksimum distorsiyon enerjisi ölçütünü kullanarak belirleyiniz.
Örnek Problem 7.4 Mohr Çemberi. Asal Gerilmeler.
Örnek Problem 7.4 a. Maksimum Kayma Gerilmesi Ölçütü. b. Maksimum Distorsiyon Enerjisi Ölçütü.
Örnek Problem 7.4 Verilen düzlem gerilme hali H noktası ile temsil edilir. Emniyet katsayıları her bir ölçüt için doğru parçalarının oranları ile hesaplanabilir.
7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler İnce cidarlı basınç kapları, düzlem gerilme analizinin önemli bir uygulamasını oluşturur. Cidarlar eğilmeye karşı küçük bir direnç gösterdiğinden, cidarın verilen bir parçası üzerine uygulanan iç kuvvetlerin, kabın yüzeyine teğet olduğu varsayılabilir. Bir cidar elemanında ortaya çıkan gerilmeler, kap yüzeyinin teğet düzlemi içinde yer alır.
7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler En sık karşılaşılan ince cidarlı basınç kapları, silindirik ve küresel basınç kaplarıdır.
7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler Kabın ve içindeki akışkanın eksenel simetrisinden dolayı eleman üzerinde kayma gerilmesi meydana gelmez. σ 1 ve σ 2 gerilmeleri asal gerilmelerdir. σ 1 çembersel gerilme ve σ 2 de boyuna gerilme olarak adlandırılır.
7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler
7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler Maksimum düzlem kayma gerilmesi, yüzeydeki elemanın teğet düzleminde 45 dönmesiyle elde edilir. Ama maksimum kayma gerilmesi daha büyüktür. Boyuna eksen etrafında, gerilme düzleminin dışına çıkan 45 lik bir dönmeye karşılık gelir.
7.9 İnce Cidarlı Basınç Kaplarındaki Gerilmeler p manometre basıncı altında bir akışkan içeren bir küresel basınç kabında, simetriden dolayı, küçük bir cidar elemanı üzerine uygulanan gerilmeler eşit olmalıdır. Maksimum düzlem kayma gerilmesi sıfırdır ama maksimum kayma gerilmesi sıfır değildir.
Tankın silindirik gövdesi, 30 in. lik bir dış çapa sahip olup eksenine dik düzlemle 25 lik açı yapan bir helis boyunca kaynaklanan 3/8 in. lik bir çelik plakadan yapılmıştır. Uç kapaklar küresel olup, 5/16 in. lik düzgün bir cidar kalınlığına sahiptir. İç manometre basıncı 180 psi olduğuna göre, (a) küresel kapaklardaki normal gerilmeyi ve maksimum kayma gerilmesini, (b) helisel kaynağa dik ve paralel doğrultulardaki gerilmeleri belirleyiniz. Örnek Problem 7.5 Basınçlı hava tankı, gösterildiği gibi iki mesnet üzerine yerleştirilmiştir. Mesnetlerden biri tank üzerine herhangi bir boyuna kuvvet uygulamayacak şekilde tasarlanmıştır.
Örnek Problem 7.5 a. Küresel Kapak.
Örnek Problem 7.5 b. Tankın Silindirik Gövdesi. Kaynaktaki Gerilmeler. Kaynak
7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü Sabit mesnet Bu bölümde, koordinat eksenlerinin dönmesi durumundaki şekil değiştirme dönüşümlerini ele alacağız. Düzlem şekil değiştirmede ε z = γ zx = γ zy = 0 olur ve geriye sadece ε x = ε y ve γ xy şekil değiştirme bileşenleri kalır. Sabit mesnet Düzgün yayılı enine yüklere maruz uzun bir çubukta, simetri nedeniyle bir enine kesitteki elemanlar bu düzlem dışına çıkamadıkları için, bir düzlem şekil değiştirme hali mevcuttur.
7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü Q noktasında (ε z = γ zx = γ zy = 0) bir düzlem şekil değiştirme halinin olduğunu ve bunun x ve y eksenleriyle ilişkili ε x, ε y ve γ xy şekil değiştirme bileşenleriyle tanımlandığını varsayalım. Bu eleman, verilen şartlar altında bir paralelkenara deforme olur.
7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü Amacımız, x ve y eksenlerinin θ açısı kadar dönmesiyle elde edilen x'y' referans sistemi ile ilişkili ε x', ε y' ve γ x'y' şekil değiştirme bileşenlerini ε x, ε y, γ xy ve θ cinsinden belirlemektir. Bu yeni şekil değiştirme bileşenleri, kenarları sırasıyla x' ve y' eksenlerine paralel bir karenin deforme olduğu paralelkenarı tanımlar.
7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü A'B'C' üçgeninde kosinüs teoremini uygularsak:
7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü Denklemde θ = 45 yazarsak, x ve y eksenlerinin oluşturduğu açının OB açıortayı doğrultusundaki normal şekil değiştirmeyi elde ederiz. Bu ifade, bir dik eksen takımıyla ilişkili kayma şekil değiştirmesini, bu eksenler ve bunların açıortayları boyunca ölçülen normal şekil değiştirmeleri cinsinden ifade etmemizi sağlar.
7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü Bu denklem, aynı zamanda x' ekseni boyunca ε x ' normal şekil değiştirmesini vermektedir.
7.10* Düzlem Şekil Değiştirme Dönüşümü
7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi Düzlem şekil değiştirme denklemleri, düzlem gerilme dönüşümü denklemleriyle aynı formda olduğundan, Mohr çemberi, düzlem şekil değiştirme analizi için de kullanılabilir. Kayma deformasyonu bir kenarın saat yönünde dönmesine neden oluyorsa, karşı gelen nokta yatay eksenin yukarısında işaretlenir.
7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi A ve B noktaları, asal şekil değiştirmelere karşılık gelir. Buna karşılık gelen θ p değeri, kayma şekil değiştirmesinin A ve B için sıfır olması koşulundan elde edilir:
7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi a ve b eksenleri, asal şekil değiştirme eksenleridir. θ p açısı, XCA açısının yarısına eşittir ve Ox i Oa ya taşıyan dönme, Mohr çemberinin XY çapını AB çapına taşıyan dönme ile aynı yöne sahiptir. Asal şekil değiştirme eksenleri, asal gerilme eksenleriyle çakışır.
7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi Maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesi, D ve E noktalarıyla tanımlanır ve Mohr çemberinin çapına eşittir.
7.11* Düzlem Şekil Değiştirmede Mohr Çemberi Koordinat eksenlerinin bir θ açısı kadar dönmesine karşı gelen şekil değiştirme bileşenlerini tanımlayan X' ve Y' noktaları, Mohr çemberinin XY çapının aynı yönde 2θ kadar dönmesiyle elde edilir.
Örnek 7.04 Düzlem şekil değiştirme halindeki bir malzemede 10x10 mm lik bir karenin yatay kenarı 4 μm uzadığına, düşey kenarı değişmeden kaldığına ve sol alt köşedeki açı 0.4x10-3 rad arttığına göre, (a) asal eksenleri ve asal şekil değiştirmeleri, (b) maksimum kayma şekil değiştirmesini ve karşı gelen normal şekil değiştirmesini belirleyiniz.
Örnek 7.04 a. Asal Eksenler ve Asal Şekil Değiştirmeleri. OC = OY olduğundan, OCY açısı 45 dir. Buna göre, 2θ p = 45 ve θ p = 22.5 dir.
Örnek 7.04 b. Maksimum Kayma Şekil Değiştirmesi. D ve E noktaları, asal şekil değiştirmelerin ters işaretli olmasından dolayı aynı zamanda gerçek maksimum kayma şekil değiştirmesi olan maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesini tanımlar.
7.12* Üç Boyutlu Şekil Değiştirme Analizi Daha önce asal gerilme eksenleri olarak belirlediğimiz a, b ve c eksenleri aynı zamanda asal şekil değiştirme eksenleridir. Asal eksenlerdeki bir yükleme halinde, kübik eleman şekilde görüldüğü gibi deforme olur.
7.12* Üç Boyutlu Şekil Değiştirme Analizi Kübik eleman asal eksenlerden biri etrafında döndürülürse, daha önce düzlem gerilme analizinde kullanılan yöntem, şekil değiştirme bileşenlerinin belirlenmesi için kullanılabilir.
7.12* Üç Boyutlu Şekil Değiştirme Analizi Düzlem şekil değiştirme özel hali A ve B noktaları O nun zıt taraflarında ise, elde edilen maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesi maksimum kayma şekil değiştirmesidir.
7.12* Üç Boyutlu Şekil Değiştirme Analizi Bir yapı elemanı veya makine parçasının serbest yüzeyinde ortaya çıkan «düzlem gerilme» özel halini göz önüne alalım. Bir düzlem gerilme hali, genellikle bir düzlem şekil değiştirme ortaya çıkarmaz.
Örnek 7.05 Şekil değiştirme ölçüm aletinin çeşitli şekillerdeki yönelimiyle bir makine elemanı yüzeyi üzerinde yapılan ölçümler sonucunda, serbest yüzey üzerindeki asal şekil değiştirmeler ε a = +400 x 10-6 in./in. ve ε b = -50 x 10-6 in./in. bulunmuştur. Malzemenin Poisson oranı ν = 0.30 olduğuna göre, (a) maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesini, (b) elemanın yüzeyi yakınındaki maksimum kayma şekil değiştirmesinin gerçek değerini belirleyiniz.
Örnek 7.05 a. Maksimum Düzlem Kayma Şekil Değiştirmesi.
Örnek 7.05 b. Maksimum Kayma Şekil Değiştirmesi. ε a ve ε b ters işaretli olmalarına rağmen, maksimum düzlem kayma şekil değiştirmesi, gerçek maksimum kayma şekil değiştirmesini temsil etmemektedir.
7.13* Şekil Değiştirme Ölçümleri; Şekil Değiştirme Rozeti Elektrikli şekil değiştirme ölçüm aleti (strain gauge) kullanılarak bir noktadaki normal şekil değiştirme hassas bir şekilde ölçülebilir. Malzeme uzarken, telin uzunluğu artar, çapı azalır ve böylece aletin elektriksel direnci artar. Yük uygulanırken ölçüm aletinden geçen akım ölçülerek ε AB şekil değiştirmesi belirlenebilir.
7.13* Şekil Değiştirme Ölçümleri; Şekil Değiştirme Rozeti Bir malzemenin serbest yüzeyinin bir noktasındaki ε x ve ε y şekil değiştirme bileşenleri, bu noktadan geçen x ve y eksenleri boyunca normal şekil değiştirme ölçülerek belirlenebilir. x ve y eksenlerinin oluşturduğu açının OB açıortayı boyunca yapılan bir normal şekil değiştirme ölçümü, γ xy kayma şekil değiştirmesinin de belirlenmesini sağlar.
7.13* Şekil Değiştirme Ölçümleri; Şekil Değiştirme Rozeti Bir noktadaki ε x, ε y ve γ xy şekil değiştirme bileşenleri, bu noktadan geçen herhangi üç doğru boyunca yapılan normal şekil değiştirme ölçümlerinden belirlenebilir. ε 1, ε 2 ve ε 3 normal şekil değiştirmelerini ölçmek için kullanılan şekil değiştirme ölçüm aleti düzenlemesi, bir şekil değiştirme rozeti olarak bilinir. 45 lik ve 60 lik rozetler en sık kullanılan tiplerdir.
Örnek Problem 7.6 Silindirik tank, 24 in. lik bir çapa ve ¾ in. lik bir cidar kalınlığına sahiptir. Tankın yüzeyine, enine ve boyuna doğrultularda bağlanan şekil değiştirme ölçüm aletleri sırasıyla 255 x 10-6 ve 60 x 10-6 in./in. lik şekil değiştirmeleri belirtmiştir. Malzemenin rijitlik modülü G = 11.2 x 10 6 psi olduğuna göre, (a) tank içindeki manometre basıncını, (b) tank cidarındaki asal gerilmeleri ve maksimum kayma gerilmesini belirleyiniz.
Örnek Problem 7.6 a. Tank İçindeki Manometre Basıncı.
Örnek Problem 7.6 b. Asal Gerilmeler ve Maksimum Kayma Gerilmesi.
Örnek Problem 7.7 60 lik bir rozet kullanılarak, çelik bir makine elemanının yüzeyindeki Q noktasında aşağıdaki şekil değiştirmeleri elde edilmiştir: Gösterilen koordinat eksenlerini kullanarak, Q noktasındaki, (a) ε x, ε y ve γ xy şekil değiştirme bileşenlerini, (b) asal şekil değiştirmeleri, (c) maksimum kayma şekil değiştirmesini belirleyiniz.
Örnek Problem 7.7 a. ε x, ε y ve γ xy Şekil Değiştirme Bileşenleri.
Örnek Problem 7.7 b. Asal Şekil Değiştirmeler.
Örnek Problem 7.7 c. Maksimum Kayma Şekil Değiştirmesi.