. TRNSFER FONKSİYONU VE BLOK DİYRM İNDİREME. Hedefler Bu bölümün amacı;. Tranfer fonkiyonu ile blok diyagramları araındaki ilişki incelemek,. Fizikel itemlerin blok diyagramlarını elde etmek, 3. Blok diyagramlarının indirgenme yöntemlerinin tanıtmaktır.. Blok Diyagram Hatırlanacağı üzere bir itemin tranfer fonkiyonu başlangıç koşulları ıfır kabul edilerek çıkış değişkenin Laplace dönüşümünün, item girişinin Laplace dönüşümüne oranı olarak tanımlanır. Eğer itemin giriş değişkeni r(t) ve Laplace dönüşümü R(); çıkış değişkeni c(t) ve Laplace dönüşümü ie, Sitemin tranfer fonkiyonu () : L () L ct () C () r( t) R( ) Tranfer fonkiyonu itemin girişi ile çıkışı araındaki bağıntıdır ve blok diyagramı yardımı ile bait şekilde göterilebilir, R() () Şekil. Bir itemin blok diyagramı Bir kontrol itemi birçok elemandan oluşabilir. Kontrol mühendiliğinde, her bir elemanın yerine getirmiş olduğu işlevi (dinamiğini) götermek için blok diyagram adı verilen dikdörtgen şeklinde diyagramlar kullanılır. Bir kontrol iteminde herhangi bir eleman, giriş ve çıkış araındaki ilişkiyi (Tranfer fonkiyonu) göteren bir blok diyagram ile göterilebilir. Şekil.. bir kontrol itemi elemanının ya da itemin tamamının blok diyagram şeklinde göterimidir. Kontrol itemini oluşturan elemanların tranfer fonkiyonları blok diyagramların içinde göterilir ve elemanın fizikel olarak bağlı olduğu diğer elemana yönleri oklarla belirtilen inyal akış diyagramları ile bağlanırlar. Blok diyagrama yönelmiş ok tarafındaki değişken girişi, okun ayrıldığı taraftaki değişken ie çıkışı imgeler.
Herhangi bir doğrual kontrol itemi bloklar, toplama (Summing) ve dallanma (Branch) noktaları içeren blok diyagramları ile ifade edilebilir. Toplama Noktaı (Summing Point): Blok diyagramlarında iki inyalin toplam veya farkı Şekil. de göterilen çember şeklindeki elemanla göterilir. Bir inyalin diğer inyale ekleneceği ya da çıkarılacağı inyali belirten okun ucuna toplam ya da fark işareti konulmaı ile belirlenir. R() E() X() Şekil. Toplama noktaı E() = R() ± X() Dallanma Noktaı (Branch Point). Bir inyal bir bloğun çıkışından alınıp kontrol iteminin başka bir kımındaki toplama noktaında veya blokta kullanılabilir. Sinyalin ayrıldığı bu noktaya dallanma noktaı adı verilir ve Şekil.3 te göterilmiştir. Y() Y() Şekil.3 Dallanma noktaı Bir itemin blok diyagramı itemi oluşturan her bir elemanın işlevini ve diğer item elemanları ile olan ilişkiini bloklar ve inyal akış şemaları kullanarak reimel olarak göterimidir. Bu ayede tamamen matematikel ifadeler ile itemin anlamak yerine blok diyagramları vaıtaı ile itemin işleyişi daha net şekilde anlaşılabilir. Bir blok diyagram itemin dinamiği ile ilgili bilgi içermeine karşın itemin fizikel yapıı hakkında bir bilgi vermez. Bu nedenle birçok farklı ve birbiri ile benzerliği olmayan fizikel item aynı blok diyagram göterimine ahip olabilir. Bir blok diyagramda enerji kaynağı açık bir şekilde göterilmez ve ayrıca aynı item farklı blok diyagramlar ile de ifade edilebilir. ynı item için analiz yaklaşımına göre farklı blok diyagramlar elde edilebilir..3 Kapalı çevrim bir itemin blok diyagramı Şekil. kapalı çevrim bait bir itemin blok diyagramı verilmiştir. Çıkış toplama noktaına geri belenmektedir. eri beleme işleminin yapılabilmei için bir ölçüm cihazına
ihtiyaç vardır ve burada H() ölçüm cihazının karakteritiğini belirtmektedir. Çıkış değeri, ölçüm cıhazı karakteritiği ile çarpılarak R() ile aynı niceliğe getirilmekte ve toplam noktaına geri belenmektedir. eri beleme inyali, toplam noktaında referan girişi R() ile kıyalanmaktadır. E() ie gerçek çıkış değeri ve referan değeri araındaki fark veya toplamdır. R() E() () B() H() Şekil. Bait bir geri belemeli item blok diyagramı eri beleme inyali B() ile hata inyali E() oranına açıkçevrim (openloop) tranfer fonkiyonu adı verilir. çık çevrim tranfer fonkiyonu = B () ( ) H( ) E () Çıkış in hata inyali E() e oranına ileribeleme (feedforward) tranfer fonkiyonu denir ve aşağıdaki gibi ifade edilir: İleribeleme tranfer fonkiyonu = C () () E () aynıdır. Eğer H()= ie İleribeleme tranfer fonkiyonu ile çık çevrim tranfer fonkiyonu C () Kapalı Çevrim Tranfer Fonkiyonu: Şekil. ile verilen item tranfer fonkiyonu R () bulunarak tek bir blok ile göterilebilir. Şekil. ile verilen bait bir kapalı çevrim iteminin tranfer fonkiyonunun bulunmaı aşağıda verilmiştir (: Çıkış ve R(): iriş): 3
C( ) E( ) ( ) E( ) R( ) B( ) C( ) R( ) C( ) H( ) ( ) E( ) R( ) C( ) H( ) B( ) C( ) H( ) Yukarıdaki denklemlerden E() yok edilire; C( ) R( ) C( ) H( ) ( ) C( ) ( ) H( ) R( ) ( ) C( ) ( ) Kapalı çevrim tranfer fonkiyonu olarak elde edilir. R( ) ( ) H( ). İki irişli Sitemler ( ürültü Sinyali N() veya Bozucu giriş D() in Sitem Üzerindeki Etkii ) Kontrol itemleri çalışmalarında önemli bir konu da iteme bozucu bir inyal girişi olmaı durumudur. Bozucular genellikle kontrol itemlerinin performanlarını kötü yönde etkilerler. Bozucu içeren bait bir kapalı çevrim item Şekil.5 te verilmiştir. Sitemde bozucu olmaı durumunda kontrolcü taarlamadan önce bozucu N() in item üzerindeki etkiinin incelenmei gereklidir. Bunun için çok girişli itemlerde Süperpoziyon ilkei uygulanır. R() () Diturbance (Bozucu) N() () H() Şekil.5 Bozucu giriş içeren bait bir kapalı çevrim itemin blok diyagramı Önce bozucu giriş N() = 0 alınarak adece referan giriş R() in ürettiği item çıkışı C () R elde edilir ve onra da referan giriş R() = 0 olarak alınarak bozucu giriş N() in ürettiği
item çıkışı C () elde edilir. Her iki giriş R() ve N() in eş zamanlı item üzerine etki etmei N durumu Süperpoziyon ilkei yardımıyla, elde edilen çıkışların toplanmaı ile bulunur: C( ) C ( ) C ( ) R N (i) C () : R() in tek başına iteme etki ettiği durumdaki item çıkışı (N()=0): R N() = 0 olduğunda, blok diyagramın baitleştirilmiş hali, CR( ) ( ) ( ) N ( ) 0 R( ) ( ) ( ) H( ) R() () () C () R H() (ii) Benzer şekilde adece N() olduğu durumda elde edilen çıkış C () (R()=0) R() = 0 olduğunda, blok diyagramın baitleştirilmiş hali, N CN () () R ( ) 0 N( ) ( ) ( ) H( ) N() () C () N () H() Doğrual itemler için itemin toplam çıkış cevabı ayrı ayrı girişler için elde edilen çıkış cevaplarının toplamı ile bulunabilir: () C C C C R N ( ) R( ) N( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H( ) ( ) ( ) H( ) açık çevrim tranfer fonkiyonudur. Sitemin karakteritik denklemi kapalı çevrim tranfer fonkiyonun paydaıdır: ( ) ( ) H( ) 5
özlemler: a) ()H() ve () ()H() olduğu durum için: Bu durumda, kapalı çevrim tranfer fonkiyonu böylelikle bozucu etkii bertaraf edilmiş olur: CN () N () ıfıra çok yakın bir değer alır ve C () () N 0 N () ( ) ( ) H () ( ) H( ) Kapalı çevrim itemlerin en büyük avantajlarından biri bozucu etkiini yok etmeye çalışmalarıdır. b) Diğer yandan, ( ) ( ) H( ) değeri arttıkça kapalı çevrim tranfer fonkiyonu CR () R () H() e yaklaşır. Diğer bir ifade ile () ()H(). ie CR() R () ( ) ( ) ( ) ( ) H () H () Kapalı çevrim tranfer fonkiyonu CR kapalı çevrim itemlerin diğer bir avantajıdır. H ( ) ki kapalı çevrim bir item giriş ve çıkışı eşitlemeye çalışır; (), R () () ve () den bağımız hale gelir. Bu durumunda açıkça görülmektedir eri beleme hataı: E( ) R( ) C ( ) 0 R H ( ) yapılarak geri beleme hataı etkin bir şekilde azaltılabilir. Not: Bununla birlikte () kazancının belirli bir değerin üzerine çıkmaı itemi kararız yapabilir.
.5 Blok diyagram indirgeme yöntemleri Bir kontrol iteminin tranfer fonkiyonu blok diyagramının adeleştirilerek tek bir bloğa indirgenmei ile bulunabilir. Karmaşık blok diyagramlar için kıyalama elemanının (Fark yada toplam elemanı) veya dallanma noktaının yer değiştirilmei indirgeme işlemini kolaylaştırır. şağıdaki tabloda blok diyagram indirgeme kurallarının en yaygınları verilmiştir:. B CB B BC C C CB B C C B
B B. Karmaşık itemlerin Blok diyagramlarının indirgenmei Örnek : şağıda verilen kapalı çevrim itemin tranfer fonkiyonunu bulunuz. Kural 5 i kullanarak H içeren dalı ağa kaydır. H R() 3 H H 3 H Kural i kullanarak iki eri bağlanmış 3 ve ü tek bloğa indirge. Kural i uygulayarak içteki kapalı çevriminin tranfer fonkiyonunu elde et. R() H 3 H H 3 H () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 H 8
Tekrar Kural i uygulayarak içteki kapalı çevriminin tranfer fonkiyonunu elde et. R() H H 3 H () () ( ) ( ) H 3 Kural i kullanarak iki eri bağlanmış ve yi tek bloğa indirge. Kural yı uygulayarak ütteki kapalı çevriminin tranfer fonkiyonunu elde et. H R() 3 H () 3 ( ) ( ) H () ( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 H Kural i kullanarak iki eri bağlanmış ve 3 yi tek bloğa indirge. Kural yı uygulayarak kapalı çevriminin tranfer fonkiyonunu elde et. R() 3 R() H 9
Örnek : H R() 3 H H R() 3 H 3 () ( ) ( ) () ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) H( ) H ( ) ( ) 3 () () R() H 3 R() R() 3 3 C () () 3 () R( ) ( ) 0
ÖRNEK b: Öğrenciye çözülmeyecek H R() 3 H R() H 3 H () ( ) ( ) () ( ) ( ) 3 ( ) ( ) H( ) H ( ) 3( ) () () R() H 3 H R() 3 R() 3 C () () 3 () R( ) ( )
Örnek 3: H R() 3 H H 3 H R() 3 H H 3 H () () () ( ) H ( ) ( ) () R() 3 3 H 3 () 3 ( ) ( ) ( ) C () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 () ( ) ( ) 3 ( ) H3( ) R 3 R() 3 R()
Örnek : R() 0 R() 0 R() 0 R() 0 0 Örnek 5: R() R() 3 H 3 H R() 3 H ( ) R() 3 H ( 3) Örnek : H H 3 R() 3 H H H H 3 R() 3 H H 3
(H H )/ 3 R() 3 H H H (H H )/ 3 R() 3 H H R() 3 R() H H Örnek : şağıda blok diyagramı verilen item için C/R oranını bulunuz. R() 3 3 8 3 R() 3 3 8 8
3 R() 3 3 R() 3 3 R() 3 3 R() 3 3 3 R() 3 R() 3 R() R() 3 5