Kısmi Türevli Denklemler Problem Seti-I S1 u = u(x, y ve a, b, c R olmak uzere, ξ = ax + by ve η = bx ay degisken degistirmesi yaparak n cozunuz. au x + bu y + cy = 0 S2 Aşa gidaki denklemleri Adi Diferensiyel Denklemler yada Kısmi Türevli Denklemler olarak siniflandiriniz. 1. u tt c 2 u xx = 0. 2. y x 2 y = 0 3. u x = 1 4. c u t = 0 5. u t c 2 u xx = 0. 6. u t + 6uu x u xxx = 0 7. x 2 y xy + 4y = 0 S3 Aşa gidaki denklemlerin mertebesini bulunuz. 1. tu t + c 2 u x = t 2 + x 2. 2. u xx + u yy = u t 3. u x = 1 4. c u t = 0 5. u tt + c 2 u xxxx = 0. 6. u t + 6uu x u xxx = f(x, t S4 u(x, y = ln ( sin y sin x fonksiyonu 0 < x < π ve 0 < y < π bölgesinde (1 + u 2 yu xx 2u x u y u xy + (1 + u 2 xu yy = 0 minimal yüzey sa gladı gını gösteriniz. S5 u(x, y = 2α 2 sec(α(x 4α 2 t fonksiyonunun u t + 6uu x u xxx = 0 KdV sa gladı gını gösteriniz. S6 u(x, y = sin(x ct fonksiyonunun dalga sa gladı gını gösteriniz. S7 v = x + ct ve w = x ct dönüşümleri yaparak dalga u vw = 0 denklemine dönüstürünüz. S8 u = u(x, y olmak üzere u xy = 0 n çözümünü bulunuz. S9 Uygun bir dönüşüm kullanarak dalga S10 a, b, c sabitler olmak üzere, ax 3 +by 3 +cz 3 +3xyz = 0 kapalı şekilde verilen z = z(x, y fonksiyonunun sa gladı gını gösteriniz. S11 xz x + yz y = z xz x + yz y = 2x 2 sin(xy Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 1 Tuesday 29 th October, 2013 16:39
f tek degiskenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak uzere: z = x y cos(xy + f(x y S12 V (x, y, z = 1 x 2 +y 2 +z 2 fonksiyonunun sa gladı gını gösteriniz. S13 V xx + V yy + V zz = 0 x z x + yz = 1 1 + x 2y f tek degiskenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak uzere: S14 ( arctan(x y z = y + f(y x y. x 2 z z y2 x y = 0 kısmi diferansiyel u = 1 x + 1 y, v = y, de gişken de gi stirmesi yaparak çözünüz. f tek degiskenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak uzere: ( x + y z = f(u = f. xy S15 z = x sin ( 1 1 fonksiyonunun y x x 2 y 2 z xy xy 2 z y = z sa gladı gını gösteriniz. S16 c 0 sabit olmak uzere, e ger u(x, t fonksiyonu dalga n bir cozumu ise bu taktirde 1. u(x y, t, (y = sabit 2. u x (x, t 3. u(ax, at, (a = sabit fonksiyonlarıda dalga sa gladı gını gösteriniz. S17 z x 3 z = sin x + sin y y f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak uzere: S18 z = f(3x + y cos x 1 3 sin y 5 z x + 4 z y + z = x3 + 1 + 2e 3y f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak uzere: z = e x/5 f(4x 5y + x 3 15x 2 + 150x 749 + 2 13 e3y S19 a, b, m sabitler olmak üzere, z x a z y = emx cos by Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 2 Tuesday 29 th October, 2013 16:39
f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak uzere: S20 ( z = f(ax + y + e mx m m cos by m 2 + a 2 b2 m 2 + a 2 b sin by 2 x z x y z y = (x y cos(x + y f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak uzere: S21 u(x, t = 1 t e x2 4t z = f(xy + sin(x + y fonksiyonunun u t = u xx ısı sa gladı gını gösteriniz. S22 f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere fonksiyonunun 1. xz x yz y = 0 2. x 2 z xx y 2 z yy = 0 3. x 3 z x 2 y y 3 z x 2 y = 0 z = f(xy denklemlerini sa gladı gını gösteriniz. S23 Aşa gıdaki denklemleri lineer ve non-linear olarak sınıflandırınız. 1. u t = c 2 u xx, (c R 2. u tt = c 2 u xx 3. u xx + u yy = λu, (λ R 4. u t + 6uu x u xxx = 0 5. u t = u xx (u m, (c R S24 Yarıcapı 2, merkezi M = (a, b, 0 olan kürenin sa gladı gı KTD bulunuz. z ((z 2 x 2 + (z y 2 + 1 = 4 S25 3z x + 4z y = x 3 f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak uzere: z = 1 12 x4 + f(3y 4x S26 f ve g diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak uzere z = f(x + e y g(x fonksiyonun sa gladı gı KTD i bulunuz. z y + z yy = 0 S27 4z x + 3z y + z = 0 saglayan 3 adet çözüm bulunuz. S28 Aşa gıdaki tanımları tam bir şekilde ifade ediniz. 1. Kısmi Türev 2. Kısmi Türevli Denklem 3. Linear Operator Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 3 Tuesday 29 th October, 2013 16:39
4. Fonksiyonel Ba gımsızlık 5. Bir Yüzeyin Normali 6. Kapalı Fonksiyon Teoremi S29 u xy + 3u y = 0 F ve G diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak üzere S30 u(x, y = e 3x F (y + G(x (1 + x 2 u x + u y = 0 f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere S31 u = u(x, t olmak uzere, koşulu altında çözünüz. u(x, y = f(y arctan x 3u x + 2u t = 0 u(x, 0 = sin x ( u(x, t = sin x 3t 2 S32 Aşa gıdaki operatorlerden hangileri linear dir? Lütfen çözümünüzü tam bir sekilde ifade ediniz. 1. L(u = u u + x2 x y 2. L(u = u + u u x y 3. L(u = u x + ( u y 2 4. L(u = u y + 4 S33 (1 + x 2 u x + u y = 0 u(0, y = sin y koşulu altında çözünüz. u(x, y = sin(y arctan x S34 Yarıcapı r, merkezi M = (0, 0, a olan kürenin sa gladı gı birinci basamakdan KTD bulunuz. yz x xz y = 0 S35 4xz x 8yz y + 4z = x sin x n genel çözümünü bulunuz. x 0 ve f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere : z = 1 4 cos x + 1 4x sin x + 1 x f(x2 y S36 ξ = ln x ve η = ln y dönüşümlerini kullanarak 4xz x 2yz y = 0 sabit katsayili hale dönüstürünüz ve daha sonrada n genel çözümünü bulunuz. x 0, y 0 ve f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere : z = f(ln xy 2 Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 4 Tuesday 29 th October, 2013 16:39
S37 ξ = ln x ve η = ln y dönüşümlerini kullanarak 2xz x + 3yz y = ln x sabit katsayili hale dönüstürünüz ve daha sonrada n genel çözümünü bulunuz. x 0, y 0 ve g tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere : z = (ln x2 4 + g( x3 y 2 f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere z = f(y xe x e x Çözümler Ç1 S38 x-eksenine gore donel butun yuzeylerin deklemini bulunuz ve daha sonra bu yuzey sagladigi en dusuk basamakli lismi turevli denklemi bulunuz. x-eksenine gore donel butun yuzeylerin deklemini: x = f( y 2 + z 2 = h(x 2 + z 2 Kapali formda ψ(x, y 2 +z 2 = ψ(u, v = 0 yazilir. Buradan gerekli kismi turevler alinirsa: ψ u + 2zz x ψ v = 0 ve ψ u.0 + (2y + 2zqψ v = 0 elde edilir. Buradan [ ] [ ] [ ] 1 2zzx ψu 0 = 0 2y + 2zz y ψ v 0 Buradan : y + zz y = 0 elde edilir. S39 xz x + yz y = xe y x + y n genel çözümünü bulunuz. x 0 ve f tek de gişkenli diferensiyellenebilir fonksiyon olmak üzere : z = xe y x + y S40 e x z x + xz y = 0 n genel çözümünü bulunuz. Yazım hatalari olabilir. Yeni sorular eklenecek. 5 Tuesday 29 th October, 2013 16:39