ÜN TE II KÜMELER 1. TANIM 2. KÜMELER N GÖSTER M a) Liste yöntemi ile gösterimi b) Venn flemas ile gösterimi c) Ortak özelik yöntemi ile gösterimi 3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a) Kümenin elaman say s b) Sonlu kümeler c) Sonsuz kümeler ç) Bofl kümeler d) Eflit kümeler e) Denk kümeler 4. ALT KÜME (KÜME PARÇASI) a) Alt küme b) Alt kümenin özelikleri c) Alt küme say s ç) Özalt küme I. Özalt küme II. Özalt kümelerin say s d) n elemanl bir kümenin r elemanl alt küme say s e) Kuvvet kümesi 5. KÜMELERDE filemler a) Kümelerin birleflim ifllemi ve özelikleri I. Kümelerin birleflim ifllemi II. Birleflim iflleminin özelikleri b) Kümelerin kesiflim ifllemi ve özelikleri I. Kümelerin kesiflim ifllemi II. Kesiflim iflleminin özelikleri c) Ayr k kümeler ç) Kümelerde da lma özelikleri I. Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine da lma özeli i II. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine da lma özeli i 39
d) Birleflim kümesinin eleman say s I. ki kümenin birlefliminin eleman say s II. Üç kümenin birlefliminin elaman say s 6. EVRENSEL KÜME a) Evrensel küme b) Evrensel kümenin özelikleri 7. TÜMLEME a) Tümleme b) Tümleme iflleminin özelikleri c) De Morgan kural 8. K KÜMEN N FARKI a) Kümelerde fark ifllemi b) Kümelerde fark iflleminin özelikleri c) ki kümenin simetrik fark ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST II 40
BU ÜN TEN N AMAÇLARI MATEMAT K 1 * Bu bölümde günümüz matemati inde kullan lan kümeleri tan mlayabilecek, baz nesnelerin kümeye ait olup olmad n aç klayabilecek, * Kümeleri liste, Venn flemas ve ortak özelik yöntemi ile gösterimini yazabilecek, * Kümelerin karfl laflt r lmas nda, kümenin eleman say s n, sonlu kümeler, sonsuz kümeler, bofl kümeler, eflit ve denk kümeleri aç klayabilecek, * Bir kümenin tüm alt kümelerinin say s n ve belirli say da eleman içeren alt kümelerinin say lar n bulabilecek, * Özalt küme ve kuvvet kümesini aç klayabilecek, özalt kümenin eleman say lar n bulabilecek, * Sonlu say daki kümelerin birleflim ve kesiflim ifllemini ve özeliklerini gösterebilecek, ki veya üç kümenin birlefliminin eleman say s n bulabilecek, * Evrensel kümeyi ve bir kümenin tümleyenini aç klayabilecek. Tümleme iflleminin özeliklerini ve De Morgan kurallar n gösterebilecek, * ki kümenin fark n aç klayabilecek. Fark iflleminin özeliklerini gösterebilecek, * Kümelerdeki ifllemleri kullanarak problemler çözebileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Konunun bir k sm n ilkö retimde gördü ünüzden, konunun iyi anlafl lmas için tekrar ediniz. Eski bilgilerinizi hat rlamaya çal fl n z. * Ders notlar aras ndaki ve konunun sonunda verilen çeflitli örnekleri inceledikten sonra, çözümlerine bakmadan bir de siz çözmeye çal fl n z. Tak ld n z yerde, dönüp çözüme bak n z. * Konuya ait uygun olarak haz rlanm fl kaynak kitaplardan faydalan n z. Çok say da soru çözünüz. * Konu sonunda verilen araflt rma ve de erlendirme testi sorular n cevaplay n z. Tak ld n z yerde, ilgili konuyu tekrar gözden geçiriniz. 41
1. TANIM ÜN TE II KÜMELER Kümeler, günümüz matemati inde en önemli konular ndan biridir. Birçok problemin anlat m n ve çözümünü kolaylaflt r r. Küme, matemati in tan ms z terimlerinden biridir. Kümeleri, s n rlar kesin olarak belirtilmifl, nesneler toplulu u olarak kabul edece iz. Kümeyi meydana getiren nesnelerin, herkes taraf ndan ayn flekilde, aç k seçik anlafl lmas ve belli bir anlam olmas gerekir. Bir kümeyi oluflturan nesnelerden her birine, kümenin eleman denir. a elaman A kümesine ait ise a A fleklinde yaz l r. a, A kümesinin eleman d r. diye okunur. a, eleman A kümesine ait de il ise a A fleklinde yaz l r. a, A kümesinin eleman de ildir. diye okunur. Kümeler genellikle büyük harflerle, elemanlar da küçük harflerle gösterilir. ÖRNEK 2.1 Afla daki ifadelerden hangisinin, bir kümeyi belirtip belirtmeyece ini inceleyelim. a) 5 ile 12 aras ndaki do al say lar b) S n f n zdaki çal flkan ö renciler. c) 30 gün süren aylar. d) Alfabemizdeki baz harfler. Örne in a ve c seçene indeki ifadeler, birer küme belirtir. Çünkü hangi nesnelerin hangi kümenin, kapsam na al naca ve hangilerinin al nm yaca kesinlikle bellidir. b ve d seçene indeki ifadeler birer küme belirtmez. Çünkü kümeyi meydana getiren nesneler aç k ve anlafl labilir de ildir. 42 2. KÜMELER N GÖSTER M a. Liste Yöntemi ile Gösterimi Kümeyi meydana getiren nesneler, { } içerisinde ve aralar na virgül konularak yaz l r. Kümenin bu flekilde gösterilmesine, Liste yöntemi ile gösterimi denir. Kümenin liste fleklindeki yaz l fl nda, elemanlar n yaz l fl s ras önemli de ildir. Kümeye her eleman bir defa yaz l r.
ÖRNEK 2.2 Alfebemizdeki sesli harflerden oluflan A kümesini liste yöntemi ile yazal m. A = {a,, o, u, e, i, ö, ü} fleklinde yaz l r. b. Venn fiemas ile Gösterimi Kümeyi meydana getiren nesnelerin adlar, resimleri ya da simgeleri kapal bir e ri çizgisinin içine al n r. Kümenin bu flekilde gösterilmesine, Venn fiemas ile Gösterimi denir. Kümenin elemanlar n n, küme içinde yaz ld yerler önemli de ildir. ÖRNEK 2.3 Liste yöntemi ile verilen A = {1, 2, 3, 4} ve B = { 1,3, 5} kümelerini, Venn flemas ile gösterelim. A ve B kümelerin Venn flemas ile gösterimi flekil 2.1 de yap lm flt r. ( fiekil 2.1) Siz de baz kümeler yazarak, bunlar liste yöntemi ve Venn fiemas ile gösteriniz. c. Ortak Özelik Yöntemi ile Gösterimi Kümenin elemanlar aras nda ortak bir özelik varsa, bu özelik belirtilerek küme gösterilebilir. Kümenin bu flekilde yaz lmas na, ortak özelik yöntemi ile gösterimi denir. ÖRNEK 2.4 Liste yöntemi ile verilen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesini ortak özelik yöntemi ile gösterelim. A kümesinin her bir eleman do al say d r. Bu say lar s f rdan büyük, yediden küçüktür. Bu nedenle bu kümeyi A ={x 0 < x < 7 ve x do al say d r} fleklinde yaz l r. x öyleki, s f rdan büyük yediden küçük ve x do al say d r. diye okunur. 43
3. KÜMELER N KARfiILAfiTIRILMASI a. Kümenin Eleman Say s Bir kümeye ait eleman say s na kümenin eleman say s denir. Bir A kümesinin n tane eleman varsa, s (A) = n fleklinde gösterilir. ÖRNEK 2.5 Verilen A ={ a, b, {a, b}, c} kümesinin eleman say s n bulal m. Verilen A kümesinin eleman say s dörttür. s(a) = 4 fleklinde gösterilir. b. Sonlu Kümeler: Elemanlar say larak belirtilebilen kümelere sonlu kümeler denir. ÖRNEK 2.6 Verilen A = {x 1 < x 4 ve x do al say d r.} kümesi sonlu bir kümedir. Çünkü elemanlar say larak, üç elemanl bir küme oldu u görülüyor. c. Sonsuz Kümeler: Elemanlar say larak belirtilemeyen veya say lam yacak kadar çok elemanl olan kümelere, sonsuz kümeler denir. ÖRNEK 2.7 Bir do ru üzerindeki noktalar kümesi, do al say lar ve tam say lar kümesinin elemanlar say lamayacak kadar çoktur. Bunun için bu kümelere sonsuz küme denir. 44 ç. Bofl Küme Hiçbir eleman olmayan kümeye, bofl küme denir. Bofl küme, ya da { } fleklinde gösterilir. ÖRNEK 2.8 Günlerin say s 32 olan aylar veya Ay da yaflayan insanlar n kümesi bofl kümedir. Çünkü bu kümelerin elemanlar yoktur. Siz de baz kümeler yazarak, bunlar n eleman say lar n söyleyiniz. Sonlu, sonsuz ve bofl kümeye ait çeflitli örnekler yaz n z. Bunun nedenlerini aç klay n z.
d. Eflit Kümeler Herhangi iki A ve B kümeleri verilmifl olsun. A kümesinin her eleman, B kümesinin de bir eleman ysa ve B kümesinin her eleman da, A kümesinin bir eleman ysa, A ile B kümeleri eflittir. Ayn elemanlardan oluflan kümelere, eflit kümeler denir. A = B fleklinde gösterilir. A kümesi B kümesine eflittir diye. okunur. Herhangi iki küme eflit de ilse, bu kümelere, farkl kümeler denir. ÖRNEK 2.9 A = {x 1 < x < 6 ve x do al say d r.} kümesi ile B = {2, 3, 4, 5} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin eflit kümeler oldu unu gösterelim. A kümesinin her eleman, B kümesinin bir elam n d r. B kümesinin her elaman da, A kümesinin bir elam n d r. O halde, A ve B kümeleri eflit kümelerdir. A = B dir. e. Denk Kümeler: Herhangi iki A ve B kümeleri verilmifl olsun. A ve B kümesinin elemanlar, bire bir efllenebiliyorsa bu kümelere, denk kümeler denir. Tan ma göre, eleman say lar eflit olan kümeler denk kümelerdir. A ve B gibi iki küme birbirine denk ise A B fleklinde gösterilir. A kümesi B kümesine denktir. diye okunur. Bütün eflit kümeler denk kümelerdir. Fakat denk kümeler eflit kümeler olmayabilir. ÖRNEK 2.10 A = {3, 5, 7} ile B = { a, b, c} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin denk kümeler oldu unu gösterelim. A ve B kümelerin eleman say lar eflit oldu undan, bu kümelerin elemanlar aras nda birebir eflleme yap labilmektedir. O halde, A ve B kümeleri denk kümelerdir. Sizde eflit ve denk kümeler yaz n z. Nedenlerini aç klay n z. 45
4. ALT KÜME (KÜME PARÇASI) a) Alt Küme Herhangi iki A ve B kümeleri verilmifl olsun. A kümesinin her eleman B kümesinin de bir eleman ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A B fleklinde yaz l r A alt küme B diye okunur. Bu tan ma göre, (A B) ( x A x B) dir. A B yi flekil 2.2 deki gibi Venn flemas ile gösterelim. (fiekil: 2.2) fiekil 2.2 deki Venn flemas nda B kümesi, A kümesini içine ald ndan, B A d r. Bu da B kapsar A diye okunur. A kümesinde olup B kümesinde olmayan en az bir eleman varsa, A kümesi B kümesinin bir alt kümesi de ildir. Bu durumda B kümesi A kümesini kapsamaz B A veya A B fleklinde gösterilir. ÖRNEK 2.11 A = {a, b, c, d, e} ve B = {a, c, e} kümeleri veriliyor. B kümesi, A kümesinin bir alt kümesi oldu unu Venn flemas yla gösterelim. (fiekil: 2.3) 46 fiekil 2,3 de Venn flemas nda A ile B kümeleri gösterilmifltir. Burada B A d r.
b. Alt Kümenin Özelikleri: 1. Etkisiz eleman özeli i: Bofl küme, her kümenin bir alt kümesidir. ( A) 2. Yans ma özeli i: Her küme, kendisinin bir alt kümesidir. (A A) 3. Geçiflme özeli i: A, B ve C kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin bir alt kümesidir. (A B)Λ (B C) (A C) (geçiflme özeli i) 4. Ters simetri özeli i: A ve B kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de A kümesinin alt kümesi ise A kümesi B kümesine eflittir. (A B) Λ (B A) (A = B) O halde, karfl l kl olarak birbirinin alt kümesi olan iki küme, birbirine eflittir. Siz de baz kümeler yazarak, alt küme özeliklerinin do rulu unu gösteriniz. c. Alt Küme Say s Verilen bir kümenin alt küme say s n bir örnekle aç klayal m. ÖRNEK 2.12 Verilen A = {1, 2, 3 } kümesinin eleman say s s (A) = 3 tür. Bu kümenin alt kümelerini yazal m. Bofl küme (eleman olmayan alt küme): Bir elemanl alt kümeleri: {1 }, { 2}, { 3 } ki elemanl alt kümeleri: {1, 2} {1, 3}, {2, 3} Üç elemanl alt küme (Kümenin kendisi) : {1, 2, 3} dir. A kümesinin bütün alt kümelerini yazarsak,, {1 }, { 2}, { 3 }, {1, 2} {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} fleklindedir. Böylece A kümesinin bütün alt kümelerin say s sekiz tane olur. Eleman say s verilen alt küme say s Eleman olmayan bofl kümenin alt küme say s, Bir elemanl bir kümenin alt küme say s, ki elemanl bir kümenin alt kümesi say s, Üç elemanl bir kümenin alt küme say s, 2 0 = 1 dir. 2 = 2 1 = 2 dir. 2 x 2 = 2 2 = 4 tür. 2 x 2 x 2= 2 3 = 8 dir. 47
Bu flekilde devam edersek n elemanl bir kümenin alt küme say s 2 x 2 x... x 2 = 2 n olur. n tane Bir kümenin alt kümelerinin say s bulunurken, kümenin eleman say s kadar 2 yan yana yaz larak çarp l r. O halde, n elemanl bir kümenin alt küme say s 2 n ile bulunur. ÖRNEK 2.13 A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin kaç tane alt kümesi oldu unu bulal m. A = {a, b, c, d, e, f } kümesinin eleman say s s (A) = 6 oldu undan, Alt küme say s : 2 n = 2 6 = 64 tanedir. ç. Özalt Küme I. Özalt Küme Bir kümenin e er varsa kendisinden baflka her alt kümesine, bu kümenin bir özalt kümesi denir. ÖRNEK 2.14 A = {a, b, c } kümesinin özalt kümelerini yazal m. Tan ma göre, yazmam z gereken kümeler;, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, (b, c} olur. II. Özalt kümelerin say s n elemanl bir kümenin alt küme say s 2 n dir. Her küme kendisinin alt kümesidir. Kendinden baflka her alt küme bir özalt küme olaca ndan, özalt kümelerinin say s 2 n - 1 olur. ÖRNEK 2.15 Özalt küme say s 31 olan kümenin, eleman say s n bulal m. Kümenin eleman say s n olsun. Özalt küme say s 2 n - 1 dir. Bu ifadeye göre, 2 n - 1= 31 ; 2 n = 32 ; 2 n = 2 5 ; n = 5 dir. O halde, kümenin eleman say s 5 olur. 48
ÖRNEK 2.16 Alt küme say s ile özalt küme say s n n toplam 63 olan kümenin, kaç elemanl oldu unu bulal m. 2 n + 2 n - 1 = 63 ; 2. 2 n = 64 ; 2 n = 32 2 n = 2 5 ; n = 5 dir. O halde, küme 5 elamanl d r. d. n elemanl bir kümenin r elemanl alt küme say s 1. n elemanl bir kümenin r elemanl alt kümelerinden her birine, n nin r li kombinasyonu denir. Buna göre, n elemanl bir kümenin r elemanl alt kümelerinin say s ; C n, r = n r = n! r! n - r! n r ifadesi ile hesaplan r. 2. n elemanl bir kümenin en çok r elemanl alt küme say s, n 0 + n 1 + n 2 +... + n r ifadesi ile hesaplan r. 3. n elemanl bir kümenin en az r elemanl alt küme say s, n r + n r+1 + n r+2 +... + n n ifadesi ile hesaplan r. 4. n elemanl bir kümenin alt küme say s, n 0 + n 1 + n 2 +... + n n = 2n olur. ÖRNEK 2.17 Befl elemanl bir A kümesinin, üç tane eleman olan alt kümelerinin say s n bulal m. C 5,3 = 5! 3! 5-3! = 5! 3!. 2! = 5. 4 = 10 tanedir. 2 49
ÖRNEK 2.18 Alt tane eleman olan bir A k ü m e s i n i n, en az üç eleman olan alt kümelerinin say s n bulal m. I. Yol: Alt elemanl bir kümenin en az üç elemanl alt küme say s, 6 3 + 6 4 + 6 5 + 6 6 kombinasyonu ile hesaplan r. = 6! 3! 6-3! + 6! 4! 6-4! + 6! 5! 6-5! + 6! 6! 6-6! = 6! 3!. 3! + 6! 4!. 2! + 6! 5!. 1! + 6! 6!. 0! = 5. 4 + 5. 3 + 6. 1 + 1 = 20 + 15 + 6 + 1 = 42 tanedir. II. Yol A, kümesinin alt kümelerinin say s, 2 6 = 64 tanedir. Bofl küme (eleman olmayan küme), 1 tanedir. Bir eleman olan alt kümelerinin say s, 6 tanedir. ki eleman olan alt kümelerinin say s, 6, 2 = 6! 2! 6-2! = 6! 2!. 4! 6. 5 2 = 15 tanedir. Buna göre, en az üç tane eleman olan alt kümelerinin say s, 2 6 - (1 + 6 + 15) = 64-22 = 42 tanedir. ÖRNEK 2.19 A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesi veriliyor. Bu kümenin en çok iki elemanl alt küme say s n bulal m. A = { 1, 3, 5, 7, 9 } oldu undan s (A) = 5 tir. Buna göre, en çok iki elemanl alt küme say s, 5 0 + 5 + 5 1 2 = 5! 0! 5-0! + 5! 1! 5-1! + 5! 2! 5-2! 50 = 5! 5! + 5! 4! + 5! = 1 + 5 + 10 = 16 tanedir. 2!. 3!
e. Kuvvet kümesi A herhangi bir küme olmak üzere, A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine, A kümesinin kuvvet kümesi denir. Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir. n elemanl bir A kümesinin kuvvet kümesinin eleman say s 2 n dir. s [p(a)] = 2 n olur. ÖRNEK 2.20 A = {3, 5, 7} kümesi veriliyor. A kümesinin kuvvet kümesini yazal m. Kuvvet kümesinin eleman say s n bulal m. Verilen A kümesinin bütün alt kümelerini yazarsak, P(A) = {, {3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7} olur. Böylece A kümesinin kuvvet kümesini yazm fl oluruz. A kümesinin eleman say s n = 3 oldu undan, s[p(a)] = 2 n ifadesinden, 2 3 = 8 dir. O halde, A kümesinde kuvvet kümesinin eleman say s 8 olur. 5. KÜMELERDE filemler a. Kümelerin Birleflimi Ve Özelikleri I. Kümelerin Birleflimi Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlar ndan oluflan kümeye, bu iki kümenin bileflimi denir. A B fleklinde gösterilir. A bileflim B diye okunur. A ile B kümelerinin bileflimi, A B = {x x A Vx B} fleklinde tan mlan r. Bu tan ma göre göre, A (A B) ve B (A B) dir. ÖRNEK 2.21 Afla daki ifllemlerde verilen kümeler için birleflim kümesini yazal m. 1. {1, 2, 3, 4} {5, 6} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} 3. {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 4. {1, 2, 3, 4} { } = {1, 2, 3, 4} 5. {1, 2, 3, 4} {3, 4} = {1, 2, 3, 4} 51
Yukar da verilen örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Sizde bunlara ait örnekler yaz n z. Venn flemas nda gösteriniz. II. Birleflim flleminin Özelikleri 1. Tek kuvvet özeli i: Her A kümesi için, A A = A d r. 2. De iflme özeli i: Her A ve B kümesi için, A B = B A d r. 3. Birleflme özeli i: Her A, B ve C kümesi için, (A B) C) = A (B C) d r. 4. Etkisiz eleman özeli i: Her A kümesi için, A = A = A d r. Birleflim iflleminde birim (etkisiz) eleman dir. ÖRNEK 2.22 A = {1, 2, 3, 5}, B = {3, 5} ve C = {3, 4, 6} kümeleri veriliyor. Buna göre (A B) C kümesini Venn flemas ile gösterelim. Liste yöntemi ile yazal m. (A B) C kümesi fiekil 2.4 de Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.4) A, B ve C kümelerinin birleflimini liste yöntemi ile yazmak istersek A B = {1, 2, 3, 5} kümesidir. (A B) C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesi olur. 52
b. Kümelerin Kesiflimi ve Özelikleri I. Kümelerin Kesiflimi A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlar ndan oluflan kümeye, bu iki kümenin kefliflimi denir. A B fleklinde gösterilir. A keflisim B diye okunur. A ile B kümelerinin kesiflimi A B = {x x A Λ x B} fleklinde tan mlan r. Bu tan ma göre, (A B) A ve (A B) B dir. ÖRNEK 2.23 Afla daki ifllemlerde verilen kümeler için kesiflim kümelerini yazal m. 1. {1, 2, 3, 4} {5, 6} = { } 2. {1, 2, 3, 4} {3, 4, 5} = {3, 4 } 3. {1, 2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4} 4. {1, 2, 3, 4} { } = { } 5. {1, 2, 3, 4} {3, 4} = {3, 4} Yukar da verilen örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Siz de bunlara ait örnekler yaz n z. Venn flemas nda gösteriniz. II. Kesiflim flleminin Özelikleri 1. Tek kuvvet özeli i: Her A kümesi için, A A = A d r. 2. De iflme özeli i: Her A ve B kümesi için, A B = B A d r. 3. Birleflme özeli i : Her A, B ve C kümesi için, A (B C) = (A B) C dir. 4. Yutan eleman özeli i : Her A kümesi için, A = A = d r. Kesiflim iflleminde yutan eleman ( ) Bofl kümedir. ÖRNEK 2.24 A = {a, b, c, d, e} ve Β = {c, d, e, f, g} kümeleri veriliyor. A B kümesini liste fleklinde yazal m ve Venn flemas ile gösterelim. A ve B kümelerin kesiflimini liste yöntemi ile yazarsak, A B = {c, d, e} d i r. 53
Venn flemas fiekil 2.5 de gösterilmifltir. (fiekil 2.5) c. Ayr k Küme Kesiflimleri bofl küme olan iki kümeye ayr k kümeler denir. O halde, A ve B kümeleri ayr k kümeler ise A B = dir. ÖRNEK 2.25 A = {a, b, c, d} ve B= {e, f, g, h} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin ayr k kümeler oldu unu gösterelim. A ve B kümelerin kesiflim ifllemini yaparsak, A B = {a, b, c, d} {e, f, g, h} = { } dir. O halde, A ve B kümelerin kesiflimleri bofl küme oldu undan ayr k kümelerdir. ç. Da lma Özelikleri I. Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine da lma özeli i A, B ve C herhangi üç küme olsun. A (B C) = (A B) (A C) dir. Bu özeli e, kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine soldan da lma özeli i denir. (A B) C = (A C) (B C) dir. Bu özeli e, kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine sa dan da lma özeli i denir. 54
Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine hem soldan hem de sa dan da lma özeli i oldu undan, kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine da lma özeli i vard r denir. II. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine da lma özeli i A, B ve C herhangi üç küme olsun. A (B C) = (A B) (A C) dir. Bu özeli e, birleflimi iflleminin, kesiflim ifllemi üzerine, soldan da lma özeli i denir. (B C ) A = (B A) (C A) d r. Bu özeli e birleflim iflleminin, kesiflim ifllemi üzerine, sa dan da lma özeli i denir. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine hem soldan, hem de sa dan da lma özeli i oldu undan, birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine da lma özeli i vard r denir. d. Birleflim Kümesinin Eleman Say s I. ki kümenin birlefliminin eleman say s Bofl küme olmayan farkl ve sonlu A ve B kümeleri için, s (A B) = s (A) + s (B) - s (A B) dir. A ve B kümeleri ayr k kümeler ise, A B = ve s (A B) = 0 olaca ndan, s (A B) = s (A) + s (B) olur. II. Üç kümenin birlefliminin eleman say s Bofl küme olmayan farkl ve sonlu A, B ve C kümeleri için, s(a B C) = s(a) + s(b) + s(c) - s(a B) - s(a C) - s(b C) + s(a B C) dir. ÖRNEK 2.26 Verilen A ve B kümeleri için s (A) = 8, s (B) = 9 ve s (A B) = 3 oldu una göre, s (A B) bulal m. s (A B) = s (A) + s (B) - s( A B) ifadesinden, s (A B)= 8 + 9-3 = 14 olur. 55
ÖRNEK 2.27 Bir s n ftaki ö rencilerden 25 i matematik 18 i ingilizce kursuna gidiyor. Bunlardan 9 u her iki kursada gitti ine göre, bu s n fta kurslara kat lan ö rencilerin, kaç kifli oldu unu bulal m. Problemde verilenlere göre, s ( M) = 25, s ( ) =18 ve s ( M ) = 9 dur. s (M ) = s (M) + s ( ) - s (M ) ifadesinden, s ( M ) = 25 + 18-9 = 34 kifli olur. 6. EVRENSEL KÜME a. Evrensel küme Elemanlar incelenen kümeye göre, yap lmas gereken bütün ifllemleri içine alabilecek flekilde belirlenen, en genifl kümeye evrensel küme denir. Genel olarak E ile gösterilir. Evrensel küme sonlu veya sonsuz küme olabilir. Evrensel küme, incelenen probleme göre de iflir. Hiç bir zaman bofl küme olamaz. Evrensel kümeyi Venn flemas ile gösterirken, di er kümelerden ay rt etmek için dikdörtgen fleklinde gösterilir. ÖRNEK 2.28 Do al say larda çözülen probemler için evrensel küme, bütün do al say lard r. Tam say larda çözülen problemler için evrensel küme, bütün tam say lard r. b. Evrensel kümenin özelikleri A çözüm kümesi çözüm için al nan E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna göre, A E dir. A çözüm kümesi, çözüm için al nan E evrensel küme ile kesiflimi, A çözüm kümesine, A çözüm kümesinin çözüm için al nan E evrensel küme ile birleflimi E evrensel kümesine eflittir. Buna göre, A E = A ve A E = E olur. 56
7. TÜMLEME a. Tümleme E evrensel kümesi içinde bir A kümesi veriliyor. A kümesi, E evrensel kümenin bir alt kümesidir. Buna göre, E evrensel kümesine ait olup, A kümesine ait olmayan elemanlar n oluflturdu u kümeye, A kümesinin tümleyeni denir. A veya A sembolü ile gösterilir (fiekil 2.6). (fiekil 2.6) Buna göre, A = {x x E Λ x A} fleklinde yaz l r. Burada, A A = E ve A A = dir. Bir kümenin tümleyeni evrensel kümeye göre belirtilir. Buna göre, bir kümenin farkl evrensel kümelerde tümleyenleri de farkl d r. Bir A kümesinden A kümesini elde etme ifllemine, tümleme ifllemi denir. ÖRNEK 2.29 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ve A = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor. A kümesinin tümleyenini liste yöntemi ile yazal m. Venn flemas ile gösterelim. A kümesinin tümleyenini liste yöntemi ile yazmak istersek, A = {2, 4, 6, 8} kümesi olur. Venn flemas ile gösterimi (fiekil. 2.7) de gösterilmifltir. (fiekil 2.7) 57
b. Tümleme iflleminin özelikleri A, B herhangi iki küme, E evrensel küme ve A kümesi A kümesinin, B kümesi B kümesinin tümleyeni ise tümleme iflleminin afla daki özelikleri vard r. 1. (A ) = Α 2. Ε = 3. = Ε 4. Α Α = 5. A A = E 6. A E = E 7. A E = A 8. A B B A 9. s (A) + s (A ) = s (E) c. De Morgan Kural A ve B herhangi iki küme olsun. Bu kümeler üzerinde yap lan birleflim, kesiflim ve tümleme ifllemleri aras nda De Morgan kurallar vard r. Buna göre, I. ( A B) = A B ve II. (A B) = A B dir. ÖRNEK 2. 30 Verilen [A (B A)] ifadesini en sade flekilde yazal m. [A (B A )] = (Α ) (B A) = A (B A ) = (A B ) (A A ) = (A B ) = A B olur. 58
8. K KÜMEN N FARKI a. Kümelerde fark ifllemi A ve B iki küme olsun. A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanlardan meydana gelen kümeye A fark B kümesi denir. A \ B veya A B fleklinde gösterilir. Buna göre, A \ B = { x x A ve x B} olur. fiekil 2.8 de Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.8) ÖRNEK 2.31 A = {1, 2, 3, 6, 8} v e B = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor. A \ B v e B \ A k ü m e l e r i n i liste yöntemi ve Venn flemas ile gösterelim. Verilen A ve B kümeleri için, A\B = { 2, 6, 8} ve B\A = {5, 7, 9} olur. Fark ifllemi fiekil 2.9 da Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.9) Sizde iki kümenin fark na ait örnekler yaz n z. Venn flemas nda gösteriniz. 59
b. Kümelerde fark ifllemin özelikleri: A, B ve C herhangi üç küme ve E evrensel küme veriliyor. A kümesinin tümleyeni A, B kümesinin tümleyeni B ise verilen kümelerde fark iflleminin afla daki özelikleri vard r. 1. A \ A = 2. A \ = A 3. \ A = 4. A \ B = A B 5. A \ B B \ A 6. E \ A = A, E \ A = A 7. A B ise A \ B = dir. 8. A \ B = A \ (A B) 9. A B = ise A \ B = A 10. A \ A = A, A \ A = A 11. (A \ B) \ C = A \ (B C) 12. A B = ise A \ B = A ve B \ A = B 13. (A \ B) (A B) = A 14. (B \ A) (A B) = B 15. (A \ C) \ (B \ C) = (A \ B) \ C = (A \ C) \ B 16. ( A \ B) = A B 17. (A \ B) B = A B 18. (A \ B) \ C = A \ (B C) 19. s (A B) = s (A) + s (B \ A ) 20. s (A B) = s (B) + s (A \ B) 21. s (A B) = s (A \ B) + s (B \ A) + s ( A B) c. ki Kümenin Simetrik Fark Herhangi A ve B kümeleri için, A\B ile B\A kümelerinin birleflimine A ile B kümelerinin simetrik fark denir. A ile B kümelerin simetrik fark A Δ B fleklinde gösterilir. Buna göre, A Δ B = (A \ B) (B \ A ) d r. Bunu, A Δ B = (A B) \ (A B ) fleklinde de yazabiliriz. ÖRNEK 2.32 A = {a, b, c, d, e } ve B = {c, d, f, g, h} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin simetrik fark n liste yöntemi ve Venn flemas ile gösterelim. 60
A \ B = {a, b, e } B \ A = {f, g, h} A Δ B = (A \ B) (B \ A) A Δ B = {a, b, e} {f, g, h} A Δ B = {a, b, e, f, g, h } olur. A ve B kümesinin simetrik fark Venn flemas nda fiekil 2.10 da gösterilmifltir. fiekil 2.10 Sizde iki kümenin simetrik fark na ait örnekler yaz n z Venn flemas nda gösteriniz. ÖRNEK 2.33 Verilen 1, 2, 3, 4, 5, 6 do al say lar, bir A kümesinin elemanlar olsun. Bu kümeyi, a) Liste yöntemi, b) Venn flemas yla, c) Ortak özelik yöntemi ile yazal m. a) A kümesinin liste yöntemi ile A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} fleklinde yaz l r. b) A kümesinin Venn flemas fiekil 2.11 de yap lm flt r. (fiekil 2.11) 61
c. A kümesinin ortak özelik yöntemi ile A = {x 1 x 6, x do al say } fleklinde yaz l r. ÖRNEK 2.34 A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 4, 5} kümeleri veriliyor. A B kümesini liste yöntemi ile yaz p, Venn flemas ile gösterelim. A B kümesinin listele yöntemi ile yazarsak, A B = {1,2, 3, 4, 5} {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5} olur. Burada B A oldu undan, A B = A ve B (A B) olur. A B kümesi fiekil 2.12 de Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.12) ÖRNEK 2.35 A = {e, l, m, a} ve B = {elma} kümeleri veriliyor. Bu kümelerin eflit veya denk olup olmad n belirtelim. A kümesinin elemanlar, e, l, m, a oldu undan, s(a) = 4 tür. B kümesinin eleman, elma oldu undan, s(b) = 1 dir. A ve B kümeleri eflit veya denk kümeler de ildir. Çünkü elemanlar ve eleman say lar eflit de ildir. 62
ÖRNEK 2.36 6 elemanl bir A kümesinin en çok iki elemanl kaç tane alt kümesinin oldu unu bulal m. s (A) = 6 oldu undan A kümesinin en çok iki elemanl alt küme say s, 6 0 + 6 1 + 6 2 = 1 + 6 + 15 = 22 tane olur. ÖRNEK 2.37 A = {2, 4, 6} kümesi ile E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} evrensel kümesi veriliyor. A kümesinin tümleyenini bulal m. Venn flemas ile gösterelim. Verilen A kümesinin tümleyeni, A = {1, 3, 5} kümesidir. fiekil 2.13 de Venn flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.13) ÖRNEK 2.38 A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri veriliyor. A fark B kümesini bulal m. Venn flemas ile gösterelim. Verilen A ve B kümeleri için, A \ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} \ {2, 4, 6, 8} = {1, 3, 5} olur. fiekil 2. 14 de Venn, flemas ile gösterilmifltir. (fiekil 2.14) 63
ÖRNEK 2.39 32 kiflilik bir s n fta 18 kifli veleybol, 20 kifli futbol oynamaktad r. Bu s n fta 5 kifli de bu sporlar n ikisini de oynamad na göre, her iki sporu oynayan kaç kifli oldu unu bulal m. fiekil 2.15 e göre, yaln z veleybol oynayanlar x, yaln z futbol oynayanlar z ve her iki sporu oynayanlar y olsun. (fiekil 2.15) Buna göre, x + y + z = 32-5 = 27 kiflidir. x + y = 18 + y + z = 20 x + 2y + z = 38 x + 2y + z = 38 + x + y + z = + 27 y = 11 kifli olur. ÖRNEK 2.40 s (A) = 9, s (B) = 7 ve A B oldu una göre, A B kümesinin en çok kaç eleman oldu unu bulal m. A B nin en çok eleman olmas için A B nin az eleman olmal d r. A B oldu undan, s (A B) = 1 dir. 64 Buna göre, s (A B) = s (A) + s (B) - s (A B) ifadesinden, s (A B) = 9 + 7-1 = 15 o l u r.
ÖRNEK 2.41 A ve B kümeleri E evrensel kümesinin iki alt kümesi olsun. s (A) + s (B) = 24, s (A ) = 10, s (B ) = 6 oldu una göre, A kümesinin kaç tane üç elemanl alt kümeleri oldu unu bulal m. s (A) + s (A ) = s (E) dir. Ayn düflünce ile s (B) + s (B ) = s (E) olur. s (A) + s (A ) + s (B) +s (B ) = 2 s (E) 24 + 10 + 6 = 2 s (E) 2 s (E) = 40 s (E) = 20 s (E) = 20 ve s (A ) = 10 ise s (A) = 20-10 = 10 olur. 5 3 = 5! 3!(5-3)! = 5! 3! 2! = 5. 4 = 10 tanedir. 2 ÖRNEK 2.42 Bir uçaktaki yolculardan her biri, ngilizce, Almanca ve Frans zca dillerinden en az bir tanesini konuflmaktad r. Yolculardan 30 u ngilizce, 38 i Almanca, 20 si Frans zca konuflabiliyor. Bunlardan 10 u ngilizce ve Almanca, 9 u ngilizce Frans zca 8 i Almanca ve Frans zca, 5 tanesi de her üç dili konuflabilmekedir. Bu uçakta kaç yolcu oldu unu bulal m. I. Çözüm (Formülle) s ( A F) = s ( ) + s (A) + s (F) - s ( A) - s ( F) - s (A F) +s ( F A ) s ( A F) = 30 + 38 + 20-10 - 9-8 + 5 s ( A F) = 66 yolcu vard r. II. Çözüm (Venn flemas yla) Venn flemas nda bilgileri yerlefltirirken önce, s ( A F ) sonra s ( A), s ( F), s (A F) de erleri yaz ld ktan sonra, s ( ), s ( A ), s ( F) de erleri yerlefltirilir. Sonra bu de erlerin hepsi toplan r (fiekil 2.16). 65
(fiekil 2.16) Buna göre, s ( A F) = 16 + 5 + 25 + 5 + 3 + 4 + 8 s ( A F) = 66 olur. 66
ÖZET - Küme matemati in tan ms z terimlerinden biridir. Kümeleri, s n rlar kesin olarak belirtilmifl nesneler toplulu u olarak kabul edece iz. Bir kümeyi oluflturan nesnelerden her birine, kümenin eleman denir. - Kümeleri liste yöntemi, Venn flemas ve ortak özelik yöntemi ile gösterebiliriz. - Bir kümeye ait eleman say s na, kümenin eleman say s denir. s (A) = n fleklinde gösterilir. - Elemanlar say larla belirtilebilen kümelere, sonlu kümeler denir. Elemanlar say larla belirtilemeyen veya say lamayacak kadar çok elemanl olan kümelere, sonsuz kümeler denir. Hiç bir eleman olmayan kümeye, bofl küme denir. veya { }fleklinde gösterilir. - Ayn elemandan oluflan kümelere, eflit küme denir. Elemanlar bire bir efllenebilen kümelere, denk küme denir. - A kümesinin her eleman B kümesinin de bir eleman ise A kümesine B kümesinin bir alt kümesi denir. A B fleklinde gösterilir. Bu tan ma göre, (A B) ( x Ax B) dir. - Alt kümenin özelikleri 1. Bofl küme, her kümenin bir alt kümesidir. 2. Her küme, kendisinin bir alt kümesidir. 3. A, B ve C kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de C kümesinin alt kümesi ise A kümesi C kümesinin bir alt kümesidir. 4. A ve B kümeleri için, A kümesi B kümesinin alt kümesi ve B kümesi de A kümesinin alt kümesi ise A kümesi B kümesine eflittir. - Bir kümenin alt kümelerinin say lar bulurken kümenin eleman say s kadar 2 yan yana yaz larak çarp l r. Buna göre, n elemanl bir kümenin alt küme say s 2 n d i r. - A herhangi bir küme olmak üzere, A kümesinin bütün alt kümelerinin kümesine, A kümesinin kuvvet kümesi denir. p(a) ile gösterilir. - Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin bütün elemanlar ndan oluflan kümeye, bu iki kümenin birleflimi denir. A B fleklinde gösterilir. Bu tan ma göre, A B = { x x A V x B} dir. - Ave B herhangi iki küme olmak üzere, A kümesi ile B kümesinin ortak elemanlar ndan oluflan kümeye bu iki kümenin kesiflimi denir. A B fleklinde gösterilir. Bu tan ma göre, A B = { x x A Λ x B} dir. - Kesiflimleri bofl olan iki kümeye ayr k küme denir. - Kümelerin da lma özeli i vard r. 1. Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine soldan da lma özeli i: A (B C) = (A B) (A C) dir. 67
2. Kesiflim iflleminin birleflim ifllemi üzerine sa dan da lma özeli i: (A B) C = (A C) (B C) dir. 3. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine soldan da lma özeli i: A (B C) = (A B) (A C) dir. 4. Birleflim iflleminin kesiflim ifllemi üzerine sa dan da lma özeli i: (B C) A = (B A) (C A) d r. * Birleflim kümesinin eleman say s : 1. Bofl küme olmayan farkl ve sonlu A ve B kümeleri için, s (A B) = s (A) + s (B) - s (A B) dir. 2. Bofl küme olmayan farkl ve say l A, B ve C kümeleri için, s (A B C) = s (A) + s (B) + s (C) - s (A B) - s (A C) - s (B C) + s (A B C) dir. * Elemanlar incelenen kümeye göre, yap lmas gereken bütün ifllemleri içine alabilecek flekilde belirlenen en genifl kümeye, evrensel küme denir. E ile gösterilir. * Verilen bir E evrensel kümeye ait olup, A kümesine ait olmayan elemanlar n oluflturdu u kümeye, A kümesinin tümleyeni denir A veya A sembolü ile gösterilir (fiekil 2.17). Buna göre, A = {x x E Λ x A}, A A = E ve A A = dir. (fiekil 2.17) Bundan baflka tümleme iflleminin birçok özelikleri vard r. * A ve B herhagi iki küme olsun. Bu kümelerde, (A B) = A B ve (A B) = A B ba nt s vard r. Bu ba nt ya De Morgan Kural denir. 68
* A ve B iki küme olsun A kümesine ait olup B kümesine ait olmayan elemanlardan meydana gelen kümeye, A fark B kümesi denir. A \ B veya A - B fleklinde gösterilir. Buna göre, A \ B = {x x A ve x B} dir. * A ve B kümeleri için, A \ B ile B \ A kümelerinin birleflimine A ile B kümelerinin simetrik fark denir. A Δ B fleklinde gösterilir. 69
ALIfiTIRMALAR 1. A = { x 1 x 5, x Do al say } ve B = {x 3 x 7, x do al say } kümeleri veriliyor. A B kümesini liste yöntemi ile yaz n z. Venn flemas nda gösteriniz. 2. A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} ve B = {1, 3, 5} oldu una göre, A kümesini liste yöntemi ile yaz n z. Bunlar Venn flemas ile gösteriniz. 3. A = {a, b, c, d, e} kümesi veriliyor. A, A, A A ve A A kümelerini liste yöntemi ile yaz n z. Bunlar n eleman say lar aras ndaki ba nt y söyleyiniz. 4. Afla daki Venn flemas ndan faydalanarak, afla daki kümeleri liste yöntemi ile yaz n z (fiekil 2.18). (fiekil 2.18) I. (A B) (A C) II. (A B) C III. (A C B) C IV. A (B C) 5. s (A) = 6, s (B) = 5 ve s (A B) = 3 oldu una göre, s (A B) yi hesaplay n z. 6. A ve B bofl olmayan iki küme veriliyor. s ( A) = 2 s (B) ve s (A B) + s (A B) = 18 i s e s (B) yi bulunuz. 7. Bir oteldeki turistler ngilizce veya Almanca dillerinden en az birini biliyor. ngilizce bilenlerin say s 40, Almanca bilenlerin say s 32 dir. Otelde 60 turist oldu una göre, her iki dili bilen turist say s kaçt r? 70
8. s (A) = 3x + 5, s (B) = 2x + 1 ve s (A B) = 6 d r. s (A B) = 10 oldu una göre, A kümesinin eleman say s n bulunuz. 9. 8 elemanl bir A kümesinin kaç tane 4 elemanl alt kümesi vard r? 10. 5 tane eleman olan A kümesinin en az iki eleman olan alt kümelerinin say s n bulunuz. 11. Bir A kümesinin eleman say s, B kümesinin eleman say s ndan 2 fazlad r. Bu iki kümenin özalt kümelerinin toplam 78 oldu una göre, A kümesinin eleman say s n bulunuz. 12. Evrensel küme E = { x x, bir basamakl do al say }, A = { 1, 3, 5, 7} kümeleri veriliyor. Bunlar Venn flemas nda göstererek A kümesini taray n z ve liste yöntemi ile yaz n z. 13. E = { x 0 < x < 10, x do al say } evrensel kümesinde, A = {x x asal say ve x E} B = {1, 3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor. Buna göre, B A kümesini yaz n z. 14. A \ B = { 1, 2, 3, 4} ve B \ A = { 0, 6, 9} kümeleri veriliyor. A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} oldu una göre, A B kümesini yaz n z. 15. A \ B = {1, 3, 5} ve A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} oldu una göre, B kümesini yaz n z. 16. s (A B) = 10 s (A \ B) = 4 ve s (A B) = 2 oldu una göre, B \ A kümesinin eleman say s n bulunuz. 17. Bir s n fta ngilizce veya Frans zca dillerinden en az biri okutulmaktad r. ngilizce okuyup, Frans zca okumayan 12 kifli, Frans zca okuyup ngilizce okumayan 18 kiflidir. Her iki dili de okuyan 8 kifli oldu una göre, s n fta kaç kifli oldu unu bulunuz. 71
18. Bir s n ftaki ö rencilerin %60 n n bisikleti %75 inin bilgisayar vard r. Bisikleti ve bilgisayar olan ö renci say s 14 kifli oldu una göre, bu s n ftaki ö renci say s n bulunuz. 19. Bir spor salonundaki sporcular voleybol, basketbol veya futboldan en az birini oynuyor. Sporcular n 10 u veloybol ve futbol, 9 u voleybol ve basketbol, 6 s futbol ve basketbol, 5 i hem voleybol hem futbol hem de basketbol oynamaktad r. Di er taraftan sporcular n 20 si futbol, 19 u basketbol oynamaktad r. Sporcular n say s 40 oldu una göre voleybol oynayanlar n say s n bulunuz. 20. fiekil 2.19 da E evrensel kümesinin A, B ve C alt kümeleri verilmifltir. Buna göre, çizelgede bofl bulunan yerleri doldurunuz. (fiekil 2.19) 72 Kümenin ad A B A B A C B C A \ (B C) E \ (A B C) A B \ E C \ C E \ (A B) Kümenin Liste Yöntemi ile Gösterimi
. TEST II 1. A açkakan kelimesindeki harflerden oluflan kümenin, eleman say s kaçt r? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 2. { 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 2 ve 3 eleman bulunur? A) 4 B) 8 C) 16 D) 24 3. s (A) = 6 ve s (B) = 5 ise A B kümesinin en çok kaç eleman olabilir? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 4. fiekildeki taral bölgeyi afla daki kümelerden hangisi gösterir? (fiekil 2.20). A) (A B) (C \ B) B) (B \ A) (C \ B) C) (A \ B) (C \ A) D) C \ (A B) (fiekil 2.20) 73
5. E evrensel kümesinde, bofl olmayan A ve B kümeleri için, (A B ) (B \ A) kümesi afla dakilerden hangisine eflittir? A) A B) B C) D) A B 6. fiekildeki taral bölgeyi afla daki kümelerden hangisi gösterir? (fiekil 2.21). 74 A) A B B) A Β C) B \ A D) B A 7. A ve B kümeleri E evrensel kümenin alt kümeleri olsun s (E) = 28, s (B \ A ) = 6 ve s (A B ) = 15 ise s (A ) kaçt r? A) 5 B) 7 C) 9 D) 12 8. A ve B kümeleri için s (A \ B) = 6, s (B \ A ) = 2 ve A B kümesinin özalt küme say s 15 oldu una göre, s (A B) kaçt r? A) 9 B) 11 C) 12 D) 15 (fiekil 2.21)
9. E evrensel kümesinde, s (A) + s (B) = 10, s (A ) + s (B ) = 12 ve s (B ) = 5 ise s (A) kaçt r? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 10. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve B = (2, 4} kümeleri için B C A flart n sa layan kaç tane C kümesi vard r? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 11. 32 alt kümesi olan bir A kümesinin 3 ve 3 ten az elemanl kaç alt kümesi vard r. A) 20 B) 24 C) 26 D) 28 12. A ve B kümeleri için, s (A \ B) = 4, s (B \ A), s (A B) = s (B \ A) ve s (A) = 40 ise, s (A B) kaçt r? A) 42 B) 48 C) 54 D) 56 13. E evrensel kümesinde, s (A) + s (B ) = 18, s (A ) = 6 ve s (B) = 4 dür. A B = oldu una göre s (E) kaçt r? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 75
14. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesinin kaç tane 2 elemanl alt kümesi vard r? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 15. A ve B iki küme olmak üzere, A B dir. s (A \ B) = 8 ve s (B \ A) = 12 oldu una göre, A B kümesinin eleman say s en az kaçt r? A) 17 B) 19 C) 21 D) 23 16. A kümesinin alt küme say s, B nin alt küme say s ndan 8 fazlad r. s (A) = 4 ve s (A B) = 2 ise s (A B) kaçt r? A) 5 B) 8 C) 10 D) 12 1 7. A B = { a, b, c, d, e } ve A C = {a, c, e, f, h} oldu una göre A (B C) kümesi afla dakilerdan hangisine eflittir? A) {a, b, c, d} B) {a, c, e} C) {a, c, f, h} D) {a, b, c} 18. 40 kiflilik bir s n fta yaln z ngilizce bilen, yaln z Frans zca bilen ve her ikisini de bilenlerin say s eflittir. Bu iki dilden yaln z birini bilenlerin say s, hiç birini bilmeyenlerin say s n n 3 kat oldu una göre, her iki dili bilen kaç ö renci vard r? A) 4 B) 8 C) 10 D) 12 76
19. Bir s n fta Türkçe veya Matematik derslerinden geçen 25 kiflidir. Yaln z Türkçe dersinden geçenlerin say s, yaln z Matematik dersinden geçenlerin say s n n 4 kat d r. Hem Türkçe hemde matematik desinden geçenlerin say s 5 kifli oldu una göre, Matematik dersinden geçen kaç kiflidir? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 20. Bir okulda Türkçe, Matematik ve ngilizce kurslar verilmektedir. Yaln z Türkçe kursuna 8 kifli, Türkçe ve Matematik kursuna 11 kifli, Türkçe ve ngilizce kursuna 9 kifli ve her üç dersten kursa kat lanlar n say s 5 kifli oldu una göre, Türkçe kursuna kat lan kaç ö renci vard r? A) 15 B) 18 C) 23 D) 33 77