Sayısal Türev Sayısal İtegrasyo İterpolasyo Ekstrapolasyo Bölüm Üç
Bölüm III 8 III-. Pvot Noktaları Br ( ) oksyouu değer, geellkle ekse üzerdek ayrık oktalarda belrler. Bu oktalara pvot oktaları der. Bu oktalar arasıdak açıklığı eşt olduğu geel alde erag br oktaı koordatı, ( ) = ± =,,,, olarak esaplaır. Bu oktaya karşılık gele ( ) oksyouu pvotal değer şekl. de görüldüğü gb = ( ) olarak gösterlr. Şekl - () ı erag br pvotal okta ola dek değer ola başka br pvotal okta ola dek ( ) ve ou türevlere bağlı olarak, bu oksyou oktası cvarıda Taylor sers açılımları kullaılarak elde edlr. Eğer, = ± m se,
Bölüm III 9 ( ) ( ) m m = ( ı± m) = ± m + ± +!! elde edlr. Özel olarak m= vem= alıırsa, ( ) ( ) = + + (.)!! ( ) ( ) = + + (.)!! ( ) ( ) + = + + + + (.)!! ( ) ( ) + = + + + + (.4)!! elde edlr. III-. Sayısal Türev Formüller (.), (.), (.) ve (.4) deklemler dkkate alarak ç, ( ) ( ) = + + (.5)!! ( ) ( ) = + + (.6)!! 5 () 5 ( ) ( ) + = +! 5! ( ) ( ) + = + + (.7)!! ( ) ( ) + = + + (.8)!! olarak elde edlr. Bu deklemlerde paratez çdek termlerde görüle yüksek mertebede türevler oksyoları pvotal değerler kullaılarak asıl elde edleceğ ayrı br sorudur. (.) deklem le (.) deklem tara taraa toplaarak, + + ( 4) = + Acak paratez çdek termler mal edlerek oksyoları pvotal değerler kullaılarak brc ve kc mertebede türevler yaklaşık değerler elde edleblr.
Bölüm III ÖRNEK y= ( ) = e oksyou = oktasıdak brc ve kc türev değer =. alarak esaplayıız..9.4596..788..466 +. 466. 788 = = =. 85884.. 788. 4596 = = =. 586787. +. 466. 4596 = = =. 785. + +. 466. 788+. 4596 = = =. 7548. III. Fark tabloları Farklar: a- Ger arklar b- Merkez arklar c- Ger arklar olarak üç gurupta celer. III.. Ger Farklar. = = = = + = = + = : Brc ger arktır. :İkc ger arktır. :Üçücü ger arktır. : c ger arktır. = + + Fark tablosua gelce,
Bölüm III Örek III. Tablo Ger ark tablosu - - - = - - 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 =. alarak tablosuu azırlayıız. [PROGRAM.] = = - = 4= 4 4= 4 = 5= 5 4 5= 5 4 = 6= 6 5 6= 6 5 = 7= 7 6 7= 7 6 = 8= 8 7 8= 8 7 = 9= 9 8 9= 9 8 = = = 4 4 5 5 4 6 6 5 7 7 6 8 8 7 9 9 8 9 olmak üzere y cos( ) EFBL A-Z OPEN "BWIF.SON" FOR OUTPUT AS# IM BWIF(,) EF FN Y(X)=COS(X) XILK= XSON= AIM= FARKAEI= STP=(XSON-XILK)/AIM FOR I= TO AIM+ BWIF(I,)=XILK BWIF(I,)=FN Y(XILK) PRINT USING"##.######"; BWIF(I,);BWIF(I,) XILK=XILK+STP PRINT FOR I= TO FARKAEI+ FOR J=I- TO AIM+ BWIF(J,I)=BWIF(J,I-)-BWIF(J-,I-) FOR I= TO AIM+ PRINT #,USING" ##"; I; PRINT #,USING" ##.#"; BWIF(I,); FOR J= TO FARKAEI+ PRINT #,USING" ##.########## "; BWIF(I,J); PRINT #, 9 9 = oksyou ç üçücü ger arka kadar ark
Bölüm III Tablo - =. alarak olmak üzere y cos( ) üçücü ger arka kadar ark tablosu = oksyou ç..5459..455964 -.8676844..6577545 -.98669 -.4585 4..67498886 -.94858959 -.65589.966 5.4.6996749 -.9756857 -.677599.947799 5.5.7777 -.99994 -.698555.974544 6.6 -.9995 -.999674 -.76787.99478 7.7 -.8844494 -.9964497.975.998547 8.8 -.7947 -.985764.8776.995696 9.9 -.895669 -.968747.78.987566. -.4646865 -.9857697.5.9674 III.. İler Farklar. = = + :Brc ler arktır. = + + + = + + + = + :İkc ler arktır. = + :Üçücü ler arktır. = : c ler arktır. = + + + + + + Fark tablosua gelce, 4 4 4 5 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 Tablo - İler ark tablosu = = = 4 = 4 5 4 = 5 6 5 = 6 7 6 = 7 8 7 = 8 9 8 = = = 4 4= 5 4 5= 6 5 6= 7 6 7= 8 7 8 9 8 = = = 4 = 4 5 4 = 5 6 5 = 6 7 6 = = - 7 8 7 9 9 9 9= 9 - - - - -
Bölüm III Örek III. =. alarak tablosuu azırlayıız. olmak üzere y cos( ) = oksyou ç üçücü ler arka kadar ark [PROGRAM.] EFBL A-Z OPEN "FWIF.SON" FOR OUTPUT AS# IM FWIF(,) EF FN Y(X)=COS(X) XILK= XSON= AIM= FARKAEI= STP=(XSON-XILK)/AIM FOR I= TO AIM+ FWIF(I,)=XILK FWIF(I,)=FN Y(XILK) PRINT USING"##.######"; FWIF(I,);FWIF(I,) XILK=XILK+STP PRINT FOR I= TO FARKAEI+ FOR J= TO AIM+-I+ FWIF(J-,I)=FWIF(J,I-)-FWIF(J-,I-) FOR I= TO AIM+ PRINT #,USING" ##"; I; PRINT #,USING" ##.#"; FWIF(I,); FOR J= TO FARKAEI+ PRINT #,USING" ##.########## "; FWIF(I,J); PRINT #, Tablo - =. alarak olmak üzere y cos( ) ç üçücü ler arka kadar ark tablosu = oksyou..5459 -.8676844 -.4585.966..455964 -.98669 -.65589.947799..6577545 -.94858959 -.677599.974544 4..67498886 -.9756857 -.698555.99478 5.4.6996749 -.99994 -.76787.998547 6.5.7777 -.999674.975.995696 7.6 -.9995 -.9964497.8776.987566 8.7 -.8844494 -.985764.78.9674 9.8 -.7947 -.968747.5 -.9 -.895669 -.9857697 - -. -.4646865 - - -
Bölüm III 4 III.. Merkez Farklar. Merkez arklarda durum braz değşktr. Bua göre ç brc merkez ark, δ( ) = δ= + olarak yazılır. yere + yazılırsa, δ + = ( + ) ( ) = = δ( + ) + = = elde edlr. + + δ = δ = + + + : Brc merkez arktır. ( ) ( ) δ = δ+ ( + ) δ+ ( ) δ = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) δ = + = + :İkc merkez arktır. δ + Fark tablosua gelce, Tablo -4 Merkez ark tablosu -/ / / - -/ / δ δ - - - = - - δ / / / δ / δ / / / / / / / / / / / δ = δ / = δ δ - = δ = δ/ δ / δ = δ δ δ = δ / = δ δ - δ = - - - - - / / Örek III. =. alarak tablosuu azırlayıız. olmak üzere y cos( ) = oksyou ç üçücü merkez arka kadar ark
Bölüm III 5 [PROGRAM.] EFBL A-Z OPEN "CIF.SON" FOR OUTPUT AS# IM CIF(,) EF FN Y(X)=COS(X) XILK= XSON= AIM= FARKAEI= STP=(XSON-XILK)/AIM/ FOR I= TO *AIM+ CIF(I,)=XILK CIF(I,)=FN Y(XILK) PRINT USING"##.######"; CIF(I,);CIF(I,) XILK=XILK+STP PRINT FOR I= TO FARKAEI+ FOR J=I TO *AIM+-I+ CIF(J-,I)=CIF(J,I-)-CIF(J-,I-) FOR I= TO *AIM+ PRINT #,USING" ##"; I; PRINT #,USING" ##.##"; CIF(I,); FOR J= TO FARKAEI+ PRINT #,USING" ##.########## "; CIF(I,J); PRINT #, Tablo -4 =. alarak olmak üzere y cos( ) ç üçücü merkez arka kadar ark tablosu = oksyou δ δ..5459 - - -.5.49757479 -.8676844 - -..455964 -.89867 -.4585 -.5.48487449 -.98669 -.48475.966..6577545 -.965785 -.65589.98747.5.564 -.94858959 -.55968.947799..67498886 -.965675 -.677599.96544.5.96687 -.9756857 -.8844.974544.4.6996749 -.985977 -.698555.98486.45.57694 -.99994 -.48.99478.5.7777 -.9977946 -.76787.996488.55.794878 -.999674 -.7775.998547.6 -.9995 -.9995766.975.99848.65 -.798888 -.9964497.795498.995696.7 -.8844494 -.995668.8776.99459.75 -.7846556 -.985764.789757.987566.8 -.7947 -.97449.78.976.85 -.7559468 -.968747.75666.9674.9 -.895669 -.94595845.5 -.95 -.7884 -.9857697 - -. -.4646865 - - - δ
Bölüm III 6 III.4 Sayısal Türev III.4. Ger Farklar le Hesap Yötem (.) adesde, d d = d d = d d =... d d = değşklkler yapalım. Bua göre ade ye şekl, 4 4 = + +!! 4! (.4) ale gelr. Paratez çdek ade, ades, e Maclaur serse açılmış aldr. Bua göre (.) e = (.5) olarak da yazılablr. = olduğu atırlaarak, (.) adesde ( ) = e (.6) buluur. (.4) adesde açıkça görüleceğ gb ger ark operatörü ç, = e (.7) şeklde br ade elde edlr. Bu adede de türev operatörü çeklrse, 4 5 ( ) l = = + + + + + 4 5 4 5 = + + + + + 4 5 (.8) elde edlr. Burada brc ger ark operatörü, operatörüdür. kc ger ark operatörü, üçücü ger ark
Bölüm III 7 Örek III.4 =. alarak y= cos( ) oksyouu üçücü ger arka kadar ark tablosuu azırlayıız ve =. 5 oktasıda bu oksyou brc türev esaplayıız. ( ) =. 5..6577545 - - -..67498886 -.94858959 - -.4.6996749 -.9756857 -.677599-4.5.7777 -.99994 -.698555.974544 -. 698555. 974544 = (-. 99994) + +. = -. 99754 d cos = s( ) = -. 997495 =. 5 d III.4. İler Farklar le Hesap Yötem (.) adesde ye, d d = d d = d d =... d d = değşklkler yapalım. Bua göre ade ye şekl, 4 4 + = + + + +!! 4! (.9) ale gelr. Paratez çdek ade, e Maclaur serse açılmış aldr. Bua göre (.) ades, e + = (.) olarak da yazılablr. + = olduğu atırlaarak, (.) adesde ( ) = e (.) buluur. (.4) adesde açıkça görüleceğ gb ler ark operatörü ç, = e (.) şeklde br ade elde edlr. Bu adede de türev operatörü çeklrse,
Bölüm III 8 4 5 ( + ) l = = + + + 4 5 4 5 = + + 4 5 (.) elde edlr. Burada brc ler ark operatörü, operatörüdür. Örek III.5. = alarak y cos( ) kc ler ark operatörü, üçücü ler ark = oksyouu üçücü ler arka kadar ark tablosuu azırlayıız ve =. 5 oktasıda bu oksyou brc türev esaplayıız..5.7777 -.999674.975.995696.6 -.9995 -.9964497.8776 -.7 -.8844494 -.985764 - - 4.8 -.7947 - - - ( ). 975. 995696 = (-. 999674) - +. = -. 99757 d cos = s( ) = -. 997495 =. 5 d =. 5 III.4. Merkez Farklar le Hesap Yötem (.) adesde yere / yazarak, ( ) ( ) + ve (.) adesde ye yere / yazarak, adeler elde ederz. Ye bu adelerde, ( ) ( ) = + + (.4) ( + ) + ( )!! ( ) ( ) = + + + + (.5)!! d d = d d = d d =... d d = değşklkler yapalım ve (.5) adesde(.4) ades çıkartalım.
Bölüm III 9 ( ) ( ) ( ) = ( ) + + + + + +!! ( + ) + + ( ) = e ( ) ( ) ( ) = ( ) + + +!! = e ( + ) + + ( ) ( ) = e e = δ elde edlr. Burada açıkça görülür k, brc merkez ark operatörü d, s δ= e e = ( ) olarak elde edlr. Burada türev operatörü çeklrse, 5 ( ) arcs δ δ 9δ = δ = + + +! 8 5! buluur. Örek III.6 =. alarak y= cos( ) oksyouu üçücü merkez arka kadar ark tablosuu azırlayıız ve =. 5 oktasıda bu oksyou brc türev esaplayıız. δ.5.96687 - - -.4.6996749 -.985977 - -.45.57694 -.99994 -.48.5.7777 -.9977946 -.76787.996488.55.794878 -.999674 -.7775.6 -.9995 -.9995766 - -.65 -.798888 - - - δ δ ( ) -. 9977946. 996488 = +.! 8 = -. 996664 d cos = s( ) = -. 997495 =. 5 d =. 5
Bölüm III 4 III-. Sayısal Etegral Formüller + () = ( ) = ( + ) I d zdz z ( + z) = + z + +! z z I( ) = ( zdz ) z + = + + + z=!! ( ) ( ) I( ) = ( ) + + +!! ( ) ( ) + = + + + = +!! ( ) ( ) ( ) ( ) + I = +! + +! ( ) I( ) = ( ) + ( + ) + +!! ( ) ( ) I = ( ) + + + + Özel olarak = alıırsa I + ( ) = [ + ]
Bölüm III 4 Elde edlr. Bu trapez metodua karşılık gelr.
Bölüm III 4 ÖRNEK =. alarak ed tegral trapez kadese göre esaplayıız. () = e ( )..788..466..7 4..66997 5.4 4.55 6.5 4.48689 7.6 4.95 8.7 5.47947 9.8 6.49647.9 6.685894. 7.8956 ( ) + ( ) =.86 ( ) + ( ) =.64 ( ) + ( ) 4 =.4947 ( ) + ( ) 4 5 =.865 ( ) + ( ) 5 6 =.46844 ( ) + ( ) 6 7 =.4776 ( ) + ( ) 7 8 =.549 ( ) + ( ) 8 9 =.5768 ( ) + ( ) 9 =.66777 ( ) + ( ) =.7748 TOPLAM 4.674666 Aaltk çözüm ed= e = = e e = = 4. 67774
Bölüm III 4 Eğer çt se I d zdz zdz + () ( ) = = + + = + ( + ) z z z + z = + z + + + + 4 ( 4) + + +! +! + 4! + ( ) 4 () z z z ( 4) I = zdz z + = dz ( + ) + + + + + + +! +! + 4! + 4 5 z z z z () () 4 = + + + + + +! +! + 4! + 5! + I z I () = + + +! + 4 4 5 5 + +! 4! 5! + + + Çt derecel üsler sıır olacağıda 5 () ( 4) I = + + + +! + 5! + ( 4) +
Bölüm III 44 elde edlr. okta dkkate alıarak, ve ç sayısal türev eşdeğer yazılarak, + = + + + + + ( 4) + + 5 + + + + + () ( 4) () 4 I = + +! + + + 5! + + + () I = +! +! +! 5 ( 4) + + 5!! + 5 5 4 I = + 4 + 4 576 + () () + + + + + elde edlr. = ç I 64 5 () ( 4) I = { + + 4+ + } + 576 5 5 () ( 4) = + 4 + 4 + + + + 576 + elde edlr. Bu se bldğmz Smpso kadesdr.
Bölüm III 45 ÖRNEK =. alarak ed tegral trapez kadese göre esaplayıız. () = e ( )..788..466..7 4..66997 5.4 4.55 6.5 4.48689 7.6 4.95 8.7 5.47947 9.8 6.49647.9 6.685894. 7.8956 ( ) + 4 ( ) + ( ) =.685 ( ) + 4 ( ) + ( ) 4 5 =.758 ( ) + 4 ( ) + ( ) 5 6 7 =.8978 ( ) + 4 ( ) + ( ) 7 8 9 =.9666 ( ) + 4 ( ) + ( ) 9 =.949 TOPLAM 4.67777 Aaltk çözüm ed= e = = e e = = III-4. İterpolasyo. 4. 67774 İterpolasyo, çeştl ölçümler soucuda bağımsız br değşkee bağlı olarak değşe zksel büyüklükler at oktalar düzlemde şaretledğde, bağımsız değşkee, bağımlı değşkee ( ) der sek, bağımsız değşkee at k pvot oktası arasıa tekabül ede ( ) oksyou değer belrlemek demektr. Eğer bağımlı değşke le bağımsız değşke arasıda oksyoel br müasebet bulua blseyd, k pvot oktası arasıa dek gele erag br değere karşılık gele ( ) kolaylıkla esaplaablrd. Acak böyle br lşk kurulamaz se, k pvot değer arasıa dek gele ( ) değer belrleye blmek ç yapıla şleme terpolasyo der. İterpolasyo yapablmek ç pvot oktalar arasıdak bağımlı değşke ç öcede br değşm kauu ortaya koymak gerekr. Eğer k pvot oktası arasıda bağımlı değşke leer olarak değştğ kabul edlrse yapıla şleme leer terpolasyo, üç pvot oktası dkkate alıarak bu pvot oktaları arasıda bağımlı değşke parabolk değştğ kabul edlerek şlem yapılırsa bu şleme parabolk terpolasyo der.
Bölüm III 46 Leer İterpolasyo ( ) ı P ve Q veya Q ve R oktaları arasıdak değşm kauu leerdr. Öyleyse, ( ) ( ) = = A + B yazılarak, = ç ( ) + = A + B = B = A + = ç ( ) + = + + + A elde edlr. Q ve R arasıda bağımlı değşke ç doğru deklem, ÖRNEK ( ) + = + + şeklde buluur. veya = + + Aşağıdak tablo ( ) = s( ) oksyouda türetlmştr. Leer terpoasyo ormüller kullaarak ( s 48) y esaplayıız. (derece) 4 5 6 7 8 9 ( ) s.7648.4.5.64788.76644.8665.9969.98488. 4 < 48 < 5 olduğuda, = + + ( ) ( s 48 s 4) 48 4 = ( ) ( s 5 s 4) 5 4 ( s 48). 64788 48 4 =. 76644. 64788 5 4 ( s 48) =. 749 ( [ s 48) =. 7445] Parabolk İterpolasyo 48 ya 4, 5 ve 6 arasıda veya, 4 ve 5 arasıda yer almaktadır. ( ) ı P, Q ve R oktaları arasıdak değşm kauu parabolktr.. Öyleyse, ( ) ( ) ( ) = = A + B + C yazılarak,
Bölüm III 47 = ç ( ) ( ) = A + B + C A B C = + = ç ( ) ( ) = A + B + C = C = ç ( ) ( ) + A= B= C= + + + = A + B + C + + = A + B + C ÖRNEK elde edlr. Artık P, Q ve R oktalarıda geçe parabol deklem, + = ( ) + ( ) + + + şeklde buluur. Aşağıdak tablo ( ) = s( ) oksyouda türetlmştr. Leer terpoasyo ormüller kullaarak ( s 48) y esaplayıız. (derece) 4 5 6 7 8 9 ( ) s.7648.4.5.64788.76644.8665.9969.98488. 4, 5, 6 y dkkate alarak,. 8665. 76644+. 64788. 8665. 64788 = ( 48 5) + ( 48 5) +. 76644 =. 7455 ( s 48) =. 7455 ( [ s 48) =. 7445], 4, 5 y dkkate alarak,. 76644. 64788+. 5. 76644. 5 = ( 48 4) + ( 48 5) +. 64788 =. 74956 ( s 48) =. 74956 ( [ s 48) =. 7445] elde edlr. Lagrage İterpolasyou Eğer pvotal oktalar arasıdak açıklıklar eşt değlse Lagrage taraıda tekl edle terpolasyo oksyoları kullaılır. Bua göre, p ( ) = P( ) + P( ) + + P( ) + + P ( ) m m
Bölüm III 48 polomlar taımlamak gerekr. Bu polomlar ( ) = ( )( )( ) ( )( ) ( ) P A + m şeklde olup = oktasıda ( )( )( ) ( )( + ) ( ) = A m olmalıdır. Öyleyse, A ÖRNEK = ( )( )( ) ( )( + ) ( m) elde edldkte sora, P( ) = ( )( )( ) ( )( + ) ( m) ( )( )( ) ( )( + ) ( m) buluur. Souç olarak, p ( ) = P( ) + P( ) + + P( ) + + P ( ) m m ( )( ) ( ) ( )( ) ( m) ( )( ) ( m) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( m) ( )( ) ( m) ( )( ) ( ) m m P( ) = + m + + elde edlr. m ( )( ) ( m ) ( )( ) ( ) 5 9 m m m m 6 olarak verldğe göre ( 6) değer Lagrage terpolasyo yötemyle esaplayıız. A A A A 5 9 4 8 = ( )( )( ) ( )( )( ) = = ( )( )( ) = 5 9 7 = = = = ( )( )( ) ( )( )( ) ()( )( ) 6 6 6 5 5 5 9 4 4 48 = = = = ( )( )( ) ( )( )( ) ( )()( ) 9 9 9 5 8 7 4 4 = ( )( )( ) ( )( )( ) = = ()( )( ) = m
Bölüm III 49 p( ) ( )( )( ) ( )( )( ) = 5 9+ 5 9 6 + ( )( )( 9) + ( )( )( 5) 48 4 p ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 6 = 6 6 5 6 9+ 6 6 5 6 9 6 + ( 6 )( 6 )( 6 9) + ( 6 )( 6 )( 6 5) 48 4 6 p ( ) ( )()( ) ()()( ) ()( )( ) ()( )() 6 = 4 + 5 + 5 4 + 5 4 = 6. 65 48 4 Eğer pvotal oktalar eşt aralıklı se, = = = = = = = yazılablr. p= = p yazarak, = + = ( ) = p = ( p ) = + = ( ) = p = ( p ) = + = ( ) = p = ( p ) = + = = p = p ve = yazılarak, = = ( ) ( ) = + = ( ) = = ( ) = + = ( ) = = ( ) = + = ( ) = = ( ) = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) = + = = + = + + + = + = ( ) = m= ( m ) m m m
Bölüm III 5 ( ) = ( )( )( ) ( )( ) ( ) P A A A ÖRNEK + m = ( )( )( ) ( )( + ) ( m) = m ( )( ) ()( ) ( m) m ( ) A= m! ( m )! P( ) = A[ p]( p ) ( p ) { p ( ) } { p ( + ) } ( p m ) m ( ) m P( ) = [ p]( p )( p ) { p ( ) } { p ( + ) } ( p m) m! ( m )! m ( ) P( ) [ ]( )( ) ( ) ( ) { }{ ( )}!! ( ) = p p p p p + p m m elde edldkte sora, m m ( ) p ( ) ( )( ) [ ( ) ][ ( ) ] m = p p p p p ( p m + ) [( ) =! m!] elde edlr.., (. ),. oktalarıdak e değerler kullaarak =. 4 ç ( ) = e oksyouu değer elrleyz.. 4 =. p= =. 4 m=. m ( ) P( ) = p( p )( p ) p ( ) p ( + ) ( p m)! ( m )! ( ) P( ) ( )( )( ). 4 =. 4. 4. 4 =. 56 =! [( )!] ( ) P( ) ( )( ). 4 =. 4. 4. 4 =. 88! [( )!] ( ) P( ) ( )( ). 4 =. 4. 4. 4 =. 8! [( )!] ( ) P( ) ( )( ). 4 =. 4. 4. 4 =. 4! [( )!] =. 57 =. 4 =. 4859 p( ) ( ). 4 = P. 4 =. 75. 4 (. 4) = e =. 749 =