SERİLER Tım: bir reel syı dizisi olm üzere...... 3 toplmı SERİ deir. gerçel syısı serii geel terimi deir. S 3... toplmı SERİNİN N. KISMİ (PARÇA) TOPLAMI deir. S dizisie SERİNİN N. KISMİ TOPLAMLAR DİZİSİ deir. bir ritmeti dizi ise seri ritmeti S seridir ve S, geometri dizi ise geometri seridir ve r S dir. r yıs ise seri yıs, S ırs ise seri de ırstır deir. Yi, R Seri Yıs lim S R Seri Irs Not: Bir serii toplmı ise seri ırstır. Irs olmy her seri yıstır. 5 serisii 0. ısmi terimler toplmı çtır? 3 toplmı çtır? Çözüm: seriside 0. ısmi terimler telesopi serisii ısmi toplmlr dizisii buluuz. Bu seri yıs mıdır? Geometri Serii Yıslığı ve Irslığı: r R olm üzere, 3 r r r r... seriside, r ise seri yıstır ve R olm üzere; olur. r r seri ırs ve dur. 7?
3 3 3 m m?? 3 0? 4 4 Çözüm:?! 3 x 0 toplmıı bir gerçel syı olmsı içi x tmsyısıı lbileceği ç değer vrdır?
Ödev: cos ise x =?. x. x ise x R? 3 3.? Çözümler: Bir top h metre yüselite düz bir zemie bırılıyor. Dh sor top her seferide düştüğü yüseliği tı dr yüseliyor. Bu top dur dr ç metre yol lır? 0 Bir er uzuluğu 3cm ol bir eşer üçgei erlrıı ort otlrı birleştirilere yei bir eşer üçge oluşturuluyor ve bu işlem oluş her yei üçge içi uygulıyor. Bu işlemi sosuz def ypıldığıı vrsyrs oluş tüm üçgeleri llrı toplmı ç cm olur? 0,4 0,04 0,004... toplmıı seri toplmı yrdımı ile buluuz. 3
lim L R olm üzere telesopi serisii soucu edir? 3.? 4. Ödev: Z olm üzere. cos serisii soucu edir?. l? 5. Bir er uzuluğu cm ol bir rei erlrıı ort otlrı birleştirilere yei bir re oluşturuluyor ve bu işlem oluş her yei re içi uygulıyor. Bu işlemi sosuz def ypıldığıı vrsyrs oluş tüm releri i. Allrı toplmı ç cm olur? ii. Çevreleri toplmı ç cm olur? 4
Çözümler: 5
? serisii ısmi toplmlr dizisii buluuz. Bu seri yıs mıdır? Ödev: Çözüm: x 5 65 x? hrmoi serisi yıs mıdır? Pozitif Terimli Serilerde Yıslı Testleri A.. Terim Testi B. D Alembert Or Testi C. Couchy Kö Testi D. Krşılştırm Testi E. Limit Krşılştırm Testi F. İtegrl Testi G. Rbe Testi H. Bertrd Testi İ. Abel Testi J. Dirichlet Testi Not: Negtif terimli diziler içi de yurıdi testler uygulbilir. A). Terim Testi İl olr ypıl testtir... yıs lim 0 dır. Ac lim 0 yıslı rştırılır. lim 0 serisi ırstır. Not:. Bu isptı ort çğ (4. Yy) mtemtiçileride Nicole Oresme bulmuştur.. p-serisi (Hiperhrmoi Seri) p formudi seridir. Burd, p ise yıstır. p serisi 0 p ise ırstır. 6
3 serisi yıs mıdır?! serisi yıs mıdır? 3 serisi yıs mıdır? l serisi yıs mıdır? 0!! serisi yıs mıdır? B) D Alembert Or Testi. öcelili testtir. Souç vermez ise diğer testler uygulır. Ödev:.!. serisi yıs mıdır?!! Çözümler: serisi yıs mıdır? 5 3 lim serisi lim lim ise yıstır. ise ırstır. ise souç yotur.* * Rbe Testi uygulır. 7
l 9 serisi yıs mıdır? C) Couchy Kö Testi Kısmi toplmlr dizisii geel terimide. uvvet bulu seriler içi ullımı uygudur. l e 5 serisi yıs mıdır? lim ise yıstır. serisi lim ise ırstır. lim ise souç yotur.* * Diğer Testler uygulır. serisi yıs mıdır? serisi yıs mıdır? 3 serisi yıs mıdır? e 8
Ödev:.. 3 serisi yıs mıdır? 3 Çözümler: serisi yıs mıdır? serisii ırs olduğuu rşılştırm testi ile gösteriiz. serisi yıs mıdır? D) Krşılştırm Testi N ve b içi ırs ise b yıs ise b ırstır. yıstır. 5 serisi yıs mıdır? 3 3 serisi yıs mıdır?! cos serisi yıs mıdır? 3 9
E) Limit Krşılştırm Testi lim L ve L R ise ve b b serileri yı rterdedir (yısırs). serisii ırs olduğuu limit rşılştırm testi ile gösteriiz. F) İtegrl Testi fosiyou, f x, süreli ve zl bir fosiyo olsu. olm üzere, f rlığıd yıs yıstır. f x dx ırs ırstır. f x dx UYARI! Seri, itegrli yısdığı değere yısm zorud değildir. = hrmoi serisii ırs olduğuu itegrl testi ile gösteriiz. serisii ırs olduğuu limit rşılştırm testi ile gösteriiz. hiperhrmoi serisii = yıs olduğuu itegrl testi ile gösteriiz. 5 3 3 serisi yıs mıdır? 0
serisi yıs mıdır? l G) Rbe Testi Or testi cevp vermediğide ullılır. L ise yıstır. serisi L ise ırstır. L ise souç yo.* (p testi ile bezer) lim L ve L R olm üzere *Diğer testler uygulır. mıdır? 46... serisi yıs 35... Ödev: 4 46 468... 35 357 3579 yıs mıdır? Çözüm: serisi
H) Bertrd Testi l. lim L R olsu. O hlde, l L ise yıstır. serisi L ise ırstır.. l serisi > ise yıstır. ve ise yıstır. ise ırstır. Aşğıd verile serileri yıslı durumlrıı iceleyiiz.. l b. c. d. e. 3 3 l l l l ll l I) Abel Testi ise b serisi yıs dizisi mooto ve sıırlı b yıstır. l 3 serisii yıs olduğuu gösteriiz.
İ) Dirichlet Testi b serisii ısmi toplmlrı sıırlı ve zl bir sıfır dizisi ise yıstır. olm üzere serisii yıs olduğuu gösteriiz. b cos Mutl Yıslı ve Koşullu Yıslı serisi yıs ise Mutl Yıstır deir. serisi serisi yıs ie serisi yıs değilse serisi Koşullu (Şrtlı) Yıstır deir. Altere (Almşı) Seriler gibi serilere Altere (Almşı) Seriler deir. Bu tür serileri yıslı-ırslı durumuu iceleme içi Leibiz Kurlı uygulır. Leibiz Kurlı serisi ve lim 0 ise yıstır. Not: Mutl yıs seriler yıstır. Aşğıd verile serileri yıslı durumlrıı iceleyiiz.. b. Aşğıd verile serileri yıslı durumlrıı iceleyiiz.. b. l 3
Kuvvet Serileri ve Yıslı Yrıçpı serisie x c etrfıdi uvvet serisi deir. xcr x c serisi x m, rlığıd yıs olsu. Burdi rlığı Yıslı Arlığı m, m ve R syısı d Yıslı Yrıçpı deir. Yıslı rlığı Uyrı! Sıır değerler deemeli x rlığıı ve yrıçpıı buluuz. serisii yıslı lim x c x c ile elde edile rlıtır. x serisii yıslı rlığıı ve yrıçpıı buluuz. x serisii yıslı rlığıı! ve yrıçpıı buluuz. 4
Seri Formülleride Türev ve İtegrl Uygulmlrı; A) xr ve x içi, 3 x x x x... 0 x seriside terim terim her ii trfı. ve. türevii lıp oluş yei serileri ve toplmlrıı bullım, Çözüm: B) xr ve x içi, x x x... seriside x yerie x x yzlım ve 0, rlığıd itegrl llım 3 x yerie itegrl llım, x yzlım ve 0, rlığıd.? 3.3? Souç: l 4 5
f x 3 4 x fosiyouu uvvet serisi şelidei gösterimii ve yıslı yrıçpıı buluuz. f x 8x 3x 8 x... seri 4 6 çılımı verile fosiyou ve yıslı yrıçpıı buluuz. Tylor ve Mcluri Serileri: Tylor serisi mtemtite, bir fosiyou, o fosiyou terimlerii te bir otdi türev değerleride hespl sosuz toplmı şelide yzılmsı şelidei gösterimi/çılımıdır. Adıı İgiliz mtemtiçi Broo Tylor'd lmıştır. Eğer seri sıfır merezli ise ( ), Tylor serisi dh bsit bir biçime girer ve bu özel seriye İsoç mtemtiçi Coli Mcluri'e istide Mcluri serisi deir. Bir serii terimleride solu bir syı drıı ullm, bu seriyi bir fosiyo yısm içi geel bir yötemdir. Tylor serisi, Tylor poliomuu limiti olr d görülebilir. Her derecede türevli, gerçel y d rmşı bir fosiyouu gerçel f x 0 y d rmşı bir syı olm üzere r, r rlığıdi Tylor serisi; 3 '' ' f f f x f x x!! f 3 x... 3! vey f f x x 0! Mcluri serisi; ' '' f 0 f 0 f x f 0 x x!! 3 0 x f 3... 3! vey f f x x! 0 0 x f x e fosiyouu Mcluri çılımıı yzıız. 6
f x si x fosiyouu Mcluri çılımıı yzıız.,64493... olduğuu 6 si x f x fosiyouu Mcluri x çılımı ve Viet formülleri yrdımı ile gösteriiz. (Euler Isptı) f x cos x fosiyouu Mcluri çılımıı yzıız. f x l x fosiyouu x civrıdi Tylor çılımıı yzıız. Euler Formülüü Seri İle İsptı; ix e cos x isi x İspt: 7