AH EVRAN ÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ SCHRODINGER OPERATÖRÜNE KARILIK GELEN MARCINKIEWICZ NTAGRAL OPERATÖRÜNÜN MORREY UZAYLARINDA SINIRLILII TEZ MATEMATK ANABLM DALI KIREHR 204
AH EVRANÜNVERSTES FEN BLMLER ENSTTÜSÜ SCHRODINGER OPERATÖRÜNE KARILIK GELEN MARCINKIEWICZ NTAGRAL OPERATÖRÜNÜN MORREY UZAYLARINDA SINIRLILII DOKTORA TEZ MATEMATK ANABLM DALI DANIMAN Doç. D. KIREHR 204
Fen Bilimlei Enstitüsü Müdülüğü ne Bu çalışma jüimiz taafından MATEMATİK Anabilim Dalında DOKTORA TEZİ olaak kabul edilmişti. Başkan Pof. D. Rabil AYAZOĞLU Üye Doç. D. Ali AKBULUT Üye Pof. D. Vagif S. GULİYEV Üye Pof. D. Ayhan ŞERBETÇİ Üye Pof. D. Levent KULA Onay Yukaıdaki imzalaın, adı geçen öğetim üyeleine ait olduğunu onaylaım..../.../204 Doç. D. Mahmut YILMAZ Enstitü Müdüü
TEZ BİLDİRİMİ Doktoateziolaak sunduğum Schödinge Oeatöüne Kaşılık Gelen Macinkiewicz İntegal Oeatöünün Moey Uzaylaında Sınılılığı başlıklı çalışmamın, akademik kuallaa ve etik değelee uygun olaak yazıldığını, yaalandığım eselein kaynaklada eksiksiz olaak gösteildiğini ve çalışmamın içinde kullanıldıklaı he yede bunlaa atıf yaıldığını bildiiim. Okan KUZU i
SCHRODINGER OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN MARCINKIEWICZ İNTEGRAL OPERATÖRÜNÜN MORREY UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Doktoa Tezi Okan KUZU Ahi Evan Ünivesitesi Fen Bilimlei Enstitüsü Ekim 204 ÖZET Bu çalışmada Schödinge oeatöüne kaşılık gelen Macinkiewicz integal oeatöünün Moey uzaylaındaki sınılılıklaı incelenmiş ve biçok yeni sonuçla elde edilmişti. Beş bölümden oluşan buçalışmanın biinci bölümü olan Giiş bölümünde, liteatüde bu konu ile ilgili aaştımalaı olan biçok matematikçi hakkında bilgi veilmiş ve bu çalışmanın amacından bahsedilmişti. İkinci bölümde, çalışmamız ile ilgili olan temel kavamla, uzayla ve oeatöle hakkında genel bilgilee ve bazı temel tanımlaa ye veilmişti. Üçüncü bölümde Schödinge oeatöüne kaşılık gelen Macinkiewicz integal oeatöünün ve komütatöünün genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılığı gösteilmişti. Dödüncü bölümde Schödinge oeatöüne kaşılık gelen kaba çekidekli Macinkiewicz integal oeatöünün ve komütatöünün vanishing genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılığı gösteilmişti. Çalışmamızın sonuncu bölümü olanbeşinci bölümde, Schödinge oeatöüne kaşılık gelen kaba çekidekli Macinkiewicz integal oeatöünün ve komütatöünün Guliyev taafından tanımlanan genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzaylaındaki sınılılığı veilmişti. Anahta Kelimele: Schödinge oeatöü, Moey uzayı, Macinkiewicz integal oeatöü, Komütatö, A Muckenhout sınıfı. Sayfa Adedi: 93 Danışman: Doç. D. Ali AKBULUT ii
BOUNDEDNESS OF MARCINKIEWICZ INTEGRAL OPERATORS ASSOCIATED WITH SCHRODINGER OPERATORSONMORREYSPACES Ph.D. Thesis Okan KUZU Ahi Evan Univesity Institute of Science Octobe 204 ABSTRACT In this study, the boundedness of Macinkiewicz integal oeatos associated with Schödinge oeatos on Moey saces ae investigated and many new esults ae obtained. This study is aanged in five chates, in The Intoduction chate which is fist at, infomations ae given about many mathematicians studying in this field in the liteatue and also about uose of this study. In the second chate, some basic definitions and geneal infomations about basic concets, saces and oeatos elated to this study ae given. In the thid chate, the boundedness of Macinkiewicz integal oeatos associated with Schödinge oeatos its commutatos on genealized Moey saces is oved. In the fouth chate, the boundedness of Macinkiewicz integal oeatos with ough kenel associated with Schödinge oeatos and its commutatos on vanishing genealized Moey saces is oved. In the fifth chate which is last at of this study, the boundedness of Macinkiewicz integal oeatos with ough kenel associated with Schödinge oeatos and its commutatos on genealized weighted Moey saces intoduced by Guliyev is oved. Keywods: Schödinge oeatos, Moey saces, Macinkiewicz integal oeatos, commutatos, A Muckenhout class. Numbe of Pages 93 Sueviso: Doç. D. Ali AKBULUT iii
TEŞEKKÜR Doktoaöğenimim boyunca olduğu gibi tez çalışmalaımın da he aşamasında he tülü desteğini ve emeğini esigemeyen; kıymetli zamanını, fikileini ve bilgileini benimle aylaşan; göstediği sonsuz anlayış ve ilgiyle tezimin otaya çıkmasına yadımcı olan saygıdeğe danışman hocam Doç. D. Ali AKBULUT a ve he ihtiyaç duyduğumda bana yadımcı olan, değeli ve dein bilgileiyle ışık tutan, önüme çıkan he konuda yadımlaını esigemeyen saygıdeğe hocam Pof. D. Vagif S. GULİYEV e minnettalığımı sunaım. Doktoa öğenimim boyunca manevi destekleini benden hiçbi zaman esigemeyen başta saygıdeğe hocam Pof. D. Levent KULA olmak üzee bölümümüzün değeli hocalaına, tez çalışmalaım boyunca yadımlaını ve desteğini benden hiçbi zaman esigemeyen sevgili akadaşım Aş. Gö. Fatih DERİNGÖZ e şükanlaımı sunaım. Öğenim hayatım boyunca olduğu gibi bu çalışma dönemimde de he yanımda olan kıymetli anne ve babama, beni bu taz çalışmalaa teşvik eden değeli kadeşleime, bu zolu süeçte he zaman yanımda olan ve sonsuz destekleini benden hiçbi zaman esigemeyen sevgili eşime ve biicik kızıma teşekküleimi sunaım. Ayıca doktoa süesince maddi ve manevi desteğini benden esigemeyen Tükiye Bilimsel ve Teknoloji Aaştıma Kuumu na (TÜBİTAK ), Yüksek Öğetim Kuulu Öğetim Üyesi Yetiştime Pogamı na (ÖYP 2 ) ve Ahi Evan Ünivesitesi Bilimsel Aaştıma Pojelei Koodinatölüğü ne (BAP 3 )teşekkü edeim. Okan KUZU Tezin yazaı Yut İçi Doktoa Bus Pogamı kasamında desteklenlenmişti. 2 Tezin yazaı Öğetim Üyesi Yetiştime Pogamı kasamında desteklenmişti. 3 Tezin yazaı Ahi Evan Ünivesitesi Bilimsel Aaştıma Pojesi kasamında PYO-FEN 400.4.006 ve PYO-FEN 4003.3.004 oje numaalaı ile desteklenmişti. iv
İÇİNDEKİLER DİZİNİ TEZ BİLDİRİMİ ÖZET ABSTRACT TEŞEKKÜR SİMGELER VE KISALTMALAR i ii iii iv vii GİRİŞ 2 TEMEL KAVRAMLAR, UZAYLAR VE OPERATÖRLER 5 2. TemelKavamla... 5 2.2 L Lebesgue Uzayı ve L (ω) AğılıklıLebesgueUzayı... 6 2.3 BMO Uzayı... 3 2.4 L,λ MoeyUzayı... 5 2.5 L,κ (ω) AğılıklıMoeyUzayı... 7 2.6 M,ϕ Genelleştiilmiş MoeyUzayı... 8 2.7 M,ϕ (ω) Genelleştiilmiş AğılıklıMoeyUzayı... 20 2.8 Hady-Littlewood Maksimal Oeatöü, Riesz Potansiyeli, Singüle İntegal OeatöüveKomütatö Oeatöü... 22 2.9 Macinkiewicz İntegal Oeatöü... 33 3 SCHRODINGER OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN μ L j MAR- CINKIEWICZ İNTEGRAL OPERATÖRÜNÜN VE μ L j,b KOMÜ- TATÖRÜNÜN M,ϕ GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAY- LARINDA SINIRLILIĞI 37 3. Schödinge Oeatöüne Kaşılık Gelen μ L j Macinkiewicz İntegal Oeatöünün M,ϕ Genelleştiilmiş Moey Uzaylaında Sınılılığı.. 37 3.2 Schödinge Oeatöüne Kaşılık Gelen μ L j,b Macinkiewicz İntegal Oeatöünün Komütatöünün M,ϕ Genelleştiilmiş MoeyUzaylaında Sınılılığı... 42 v
4 SCHRODINGER OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN KABA ÇEKİRDEKLİ μ L j,ω MARCINKIEWICZ İNTEGRAL OPERA- TÖRÜNÜN VE μ L j,ω,b KOMÜTATÖRÜNÜN VM,ϕ VANISHING GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYLARINDA SINIRLILIĞI 49 4. VM,ϕ Vanishing Genelleştiilmiş MoeyUzayı... 49 4.2 Schödinge Oeatöüne Kaşılık Gelen Kaba Çekidekli μ L j,ω Macinkiewicz İntegal Oeatöünün VM,ϕ Vanishing Genelleştiilmiş Moey Uzaylaında Sınılılığı... 50 4.3 Schödinge Oeatöüne Kaşılık Gelen Kaba Çekidekli μ L j,ω,b Macinkiewicz İntegal Oeatöünün Komütatöünün VM,ϕ Vanishing Genelleştiilmiş Moey Uzaylaında Sınılılığı... 56 5 SCHRODINGER OPERATÖRÜNE KARŞILIK GELEN KABA ÇEKİRDEKLİ μ L j,ω MARCINKIEWICZ İNTEGRAL OPERA- TÖRÜNÜN VE μ L j,ω,b KOMÜTATÖRÜNÜN M,ϕ (ω) GENELLEŞ- TİRİLMİŞAĞIRLIKLI MORREY UZAYLARINDA SINIRLILIĞI 64 5. Schödinge Oeatöüne Kaşılık Gelen Kaba Çekidekli μ L j,ω Macinkiewicz İntegal Oeatöünün M,ϕ(ω) Genelleştiilmiş Ağılıklı Moey Uzaylaında Sınılılığı... 64 5.2 Schödinge Oeatöüne Kaşılık Gelen Kaba Çekidekli μ L j,ω,b Macinkiewicz İntegal Oeatöünün Komütatöünün M,ϕ(ω) Genelleştiilmiş Ağılıklı Moey Uzaylaında Sınılılığı... 72 KAYNAKLAR 77 ÖZGEÇMİŞ 85 vi
SİMGELER VE KISALTMALAR Simgele B(x, ) suf Açıklamala x mekezli yaıçalı yuva f fonksiyonunun desteği L loc (E n ) E n de lokal integallenebilen fonksiyonlaın sınıfı L (R n ) L (ω) L,λ (R n ) L,κ (ω) M,ϕ (R n ) M,ϕ (ω) VM,ϕ (R n ) BMO(R n ) M T I α μ Ω μ L j μ L j,b μ L j,ω μ L j,ω,b Lebesgue uzayı Ağılıklı Lebesgue uzayı Moey uzayı Ağılıklı Moey uzayı Genelleştiilmiş Moeyuzayı Genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzayı Vanishing Genelleştiilmiş Moey uzayı BMO Uzayı Hady-Littlewood maksimal oeatöü Singüle integal oeatöü Riesz otansiyeli Macinkiewicz integal oeatöü Schödinge oeatöüne kaşılık gelen Macinkiewicz integal oeatöü Schödinge oeatöüne kaşılık gelen Macinkiewicz integal oeatöünün komütatöü Schödinge oeatöüne kaşılık gelen kaba çekidekli Macinkiewicz integal oeatöü Schödinge oeatöüne kaşılık gelen kaba çekidekli Macinkiewicz integal oeatöünün komütatöü vii
GİRİŞ Klasik Moey uzaylaı 938 yılında C.B. Moey [66] taafından ikinci deeceden elitik kısmi difeensiyel denklemlein çözümleinin lokal davanışlaı aaştıılıken ve vayasyonla analizi teoisindeki oblemlele ilgileniliken otaya çıkaılmıştı. Moey uzaylaı Lebesgue uzaylaının bi uzantısı olaak değelendiileceğinden klasik oeatölein sınılılıklaının Moey uzaylaında aaştıılması oldukça doğal ve önemlidi. Moey uzaylaında Hady-Littlewood maksimal oeatöünün ve singüle integal oeatöünün sınılılık koşullaı F. Chiaenza ve M. Fasca [8] taafından gösteilmişti. Ayıca D.R. Adams [] taafından Riesz otansiyelin sınılılığı çalışılmıştı. Hamonik analizde bu oeatölein ağılıklı eşitsizlikleini çalışmak önemli bi yee sahi olu, L (ω) ağılıklı Lebesgue uzaylaında sınılılıkla R. Coifman ve C. Feffeman [23], B. Muckenhout [67], B. Muckenhout ve R. Wheeden [69] taafından elde edilmişti. Bu sonuçla M,ϕ genelleştiilmiş Moey, L,κ (ω) ağılıklı Moey ve M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzaylaı gibi biçok uzaylaa genişletilmişti. Moey uzaylaının genişlemesi olan M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaı 990 yılında T. Mizuhaa [65] taafından tanımlanmışvesingüle integal oeatöünün bu uzayladaki sınılılığı aaştıılmıştı. 994 yılında E. Nakai [72] taafından hamonik analizde önemli bi yee sahi olan maksimalintegaloeatöünün, Riesz otansiyelinin ve singüle integal oeatöünün M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaınaki sınılılığı aaştıılmıştı. Aynı yıllada V.S. Guliyev [42] taafından doktoa tezinde, hamonik analizin integal oeatöleinin genişletilmiş lokal Moey uzayındaki sınılılığı E. Nakai nin şatlaından daha geniş şatla ile aaştıılmıştı. 2009 yılında V.S Guliyev, matematik liteatüünde önem veilen M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayının nomalleştiilmiş nomunu tanımlayaak, M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayında hamonik analizin integal oeatöleinin sınılılığını Mizuhaa ve Nakai ye göe daha geniş şatla altında aaştımıştı. Ayıca V.S. Guliyev [45], [46] taafından M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaında maksimal, otansiyel ve singüle integal oeatölein sınılılıklaı otaya koyduğu yeni metot ile elde edilmişti. 2009 yılında Y. Komoi ve S. Shiai [59] taafından L,κ (ω) ağılıklı Moey uzaylaı tanımlanaak hamonik analizin klasik oeatöleinin sınılılıklaı bu uzaylada aaştıılmıştı. 20 yılında V.S. Guliyev [4]
taafından M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayını ve L,κ (ω) ağılıklı Moey uzayını kasayan M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzayı tanımlanmış ve hamonik analizin integal oeatöleinin ve yüksek metebeden komütatöleinin bu uzayladaki sınılılıklaı aaştıılmıştı. Ayıca M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzayı V.S. Guliyev ile bilikte A. Akbulut, F.Ch. Alizadeh, R.Ch. Mustafayev, A. Sebetci gibi aaştımacıla taafından da çalışılmıştı (bkz. [39], [47], [50], [5] [58], [7]). V.S. Guliyev [42], [43] taafından hamonik analizin integal oeatölei için doktoa tezinde otaya koyduğu yeni metot ile lie gulaında ve R n de sınılılıklaı elde edilmişti. V.S. Guliyev ile bilikte V.I. Buenkov, H.V. Guliyev, A. Sebetci, T. Taaykova, A. Gogotashvili, R.Ch Mustafayev, S. Samko ve H. Hasanov gibi aaştımacıla, Moey-tili uzayla başta olmak üzee diğe fonksiyon uzaylaında da yeni sonuçla elde etmişti (bkz. []-[5], [43], [48], [49]). Macinkiewicz integal oeatöü ilk olaak 938 yılında J. Macinkiewicz [62] taafından bi boyutta otaya atılmıştı. 958 yılında E.M. Stein [8] taafından n-boyutta Macinkiewicz integal oeatöü tanımlanmıştı. 960 yılında ise L. Hömande [54] taafından aametik Macinkiewicz integal oeatöü tanımlanmışvebuoeatöün L sınılılığı gösteilmişti. Ayıca V.S. Guliyev, A. Al-Salman, H. Al-Qassem, L. Cheng, Y. Pan, Y. Ding D. Fan, S. Lu, D. Yang, A. Tochinsky, S. Wang gibi biçok aaştımacı taafından L Lebesgue ve L,λ Moey uzaylaında, Macinkiewicz integal oeatölei ile ilgili çalışmala yaılmış vebuuzayladaki sınılılıklaı ile ilgili yeni sonuçla elde edilmişti (bkz. [5], [8], [24]-[27], [29], [44], [60], [85], [87]). Son yıllada, fonksiyon uzaylaı ve Schödinge oeatölei için hamonik analizin integal oeatöleinin teoisinde büyük gelişmele olmuştu. Bu duum, analizdebazı önemli oblemlein anlaşılmasında daha dein bi anlayışa yol açmıştı. Tes Hölde eşitsizliğini sağlayan negatif olmayan V otansiyelli Δ + V fomundaki Schödinge oeatöüne kaşılık gelen hamonik analizde L Lebesgue ve L,λ Moey uzaylaının özel yei ve ağılığı vadı. Ayıca Schödinge oeatöüne kaşılık gelen difeensiyel denklemlein çözümleinin aaştıılması da bu uzaylada önemli bi yee sahiti. B. Bongioanni, A. Cabal ve E. Haboue [9], T. Matinez [63], L. Tang ve J. Dong [83] taafından Schödinge oeatöüne kaşılık gelen hamonik analizin integal oeatöleinin L Lebesgue uzayı ve L (ω)ağılıklı Lebesgue 2
uzaylaında sınılılıklaı aaştıılmıştı. Bu tezde V.S Guliyev taafından veilen isat tekniği yadımıyla Schödinge oeatöüne kaşılık gelen μ L j Macinkiewicz integal oeatöünün ve μ L j,b komütatöünün M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılıklaı ile Schödinge oeatöüne kaşılık gelen kaba çekidekli μ L j,ω Macinkiewicz integal oeatöünün ve μ L j,ω,b komütatöünün VM,ϕ vanishing genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki ve M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzaylaındaki sınılılıklaı ile ilgili yeni sonuçla elde edilmişti. Schödinge oeatöüne kaşılık gelen μ L j Macinkiewicz integal oeatöünün M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılığı incelenmiş vem,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayından bi diğe M,ϕ2 genelleştiilmiş Moey uzayına ve M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayından WM,ϕ2 zayıf genelleştiilmiş Moey uzayına sınılılığını sağlayan (ϕ,ϕ 2 )çifti üzeinde yetelilik şatlaı elde edilmişti. Elde edilen bu sonuçla Jounal of Mathematical Inequalities isimli degide Macinkiewicz integals associated with Schödinge oeato on genealized Moey saces başlığı ile yayımlanmıştı. Ayıca b BMO(R n ) olmak üzee j =,...,n için μ L j,b komütatöünün M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılığı da elde edilmişti. Schödinge oeatöüne kaşılık gelen kaba çekidekli μ L j,ω Macinkiewicz integal oeatöünün VM,ϕ vanishing genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılığı incelenmiş vevm,ϕ vanishing genelleştiilmiş Moey uzayından bi diğe VM,ϕ2 vanishing genelleştiilmiş Moey uzayına ve VM,ϕ vanishing genelleştiilmiş Moey uzayından WVM,ϕ2 zayıf vanishing genelleştiilmiş Moey uzayına sınılılığını sağlayan (ϕ,ϕ 2 )çifti üzeinde yetelilik şatlaı elde edilmişti. Elde edilen bu sonuçla Azebaijan Jounal of Mathematics isimli degide Macinkiewicz integals with ough kenel associated with Schödinge oeato on vanishing genealized Moey saces başlığı ile yayımlanmıştı. Ayıca <q için Ω L q (S n ) ve b BMO(R n ) olmak üzee j =,...,n için μ L j,ω,b komütatöünün VM,ϕ vanishing genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılığı da elde edilmişti. Schödinge oeatöüne kaşılık gelen kaba çekidekli μ L j,ω Macinkiewicz integal oeatöünün ve b BMO(R n ) olmak üzee μ L j,ω,b komütatöünün M,ϕ(ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzaylaındaki sınılılığı incelenmiş, q << ve 3
ω A /q veya <<qve ω A /q için μl j,ω ve μl j,ω,b oeatöleinin M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzayından bi diğe M,ϕ2 (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzayına sınılılığını sağlayan (ϕ,ϕ 2 )çifti üzeinde yetelilik şatlaı elde edilmişti. Elde edilen bu sonuçla uluslaaası indeksli degide Commutatos of Macinkiewicz integals associated with Schödinge oeato on genealized weighted Moey saces başlığı ile yayımlanması için göndeilmişti. 4
2 TEMEL KAVRAMLAR, UZAYLAR VE OPERATÖRLER 2. Temel Kavamla Tanım 2.. ([77]) X bi küme olsun. X in alt kümeleinin bi M sınıfı için aşağıdaki özellikle sağlanısa bu M sınıfı X üzeinde bi σ-cebi olaak adlandıılı. (i) X M (ii) E M, c E = X E M (iii) n =, 2,... için E n M n= E n M Bu duumda (X, M) ikilisine bi ölçülebili uzay, M deki he bi kümeye de ölçülebili küme adı veili. Tanım 2..2 ([77]) (X, M) bi ölçülebili uzay olsun. Bi μ : M [0, ] fonksiyonu (i) μ( ) =0, (ii) He A M için μ(a) 0, (iii) M nin he ayık (A n ) dizisi için μ ( n= A n)= n= μ (A n) özelliklein sağlıyosa bu fonksiyona M üzeinde bi ölçü fonksiyonu veya ölçü adı veili. Eğe he A M için μ (A) < ise μ ölçüsüne sonlu ölçü deni. X kümesi hebii sonlu ölçüye sahi sayılabili adetteki kümelein bileşimi olaak yazılabiliyosa μ ölçüsü σ-sonlu olaak adlandıılı. Eğe μ(x) = ise bu ölçüye olasılık ölçüsü deni. Ayıca (X, M,μ) ölçü uzayı olaak adlandıılı. Tanım 2..3 ([77]) (X, M) bi ölçülebili uzay ve f : X R {, + } bi fonksiyon olsun. Eğe t R için {x X : f(x) >t} M oluyosa f fonksiyonu ölçülebilidi deni. Ölçülebili fonksiyonlaın ailesi M (X, M) ile gösteili. M nin elemanlaı R n nin (Lebesgue) ölçülebili alt kümelei olaak adlandıılı ve μ, R n de (Lebesgue) ölçü olaak adlandıılı. Lebesgue ölçüsü R 3 deki hacmin doğal bi genişlemesi olduğundan A M için μ(a), A nın ölçüsü veya hacmi olaak adlandıılı. 5
Tanım 2..4 ([77]) (X, M,μ) bi ölçü uzayı olsun. Eğe bi öneme, ölçüsü sıfı olan bi kümenin tümleyeni üzeinde veya kendisi M ya ait olmadığında, sıfı ölçülü bi küme taafından kasanan bi kümenin tümleyeni üzeinde doğu ise, o öneme hemen hemen he yede doğudu deni. R n üzeinde dx = dx dx n ile Lebesgue ölçüsünü gösteeceğiz. R n tam uzayı üzeinde f fonksiyonunun (Lebesgue) integali f(x)dx = f(x,..., x n )dx dx n R n ile gösteili. B = B(x, ) ={y R n : x y <}, mekezi x, yaıça uzunluğu olan açık yuvaı ve c B(x, ) onuntümleyenini göstesin. B(x, ), B(x, ) açık yuvaının Lebesgue ölçüsü veν n = B(0, ) olmak üzee biçimindedi. B(x, ) = ν n n = 2πn/2 n nγ(n/2) = n Sn n Buada S n =2π n/2 /Γ(n/2), R n de n için yaıçaı olan S n = {x R n : x =} küesinin yüzey alanıdı. Γ(z) gamma fonksiyonu ve bi z komleks sayısı için Rez >0 olmak üzee Γ(z) = t z e t ile tanımlanı. 0 Bu çalışmada Q = Q(x 0,) ile x 0 mekezli ve kena uzunluğu olan küü ifade edeceğiz. Veilen bi Q küü ve λ > 0 için λq ile Q nun mekezine sahi ve kena uzunluğu Q nun kena uzunluğunun λ katı olan küü gösteeceğiz. Ayıca A B gösteimini A CB, C>0eşitsizliğinin yeine kullanacağız. Eğe A B ve B A ise A B yazılı ve A, B ye eşdeğedi deni. Bu çalışma boyunca C faklı sabitlei gösteecekti. olmak üzee, R n nin he bi komakt alt kümesinde. kuvveti integallenebilen tüm ölçülebili fonksiyonlaın uzayı L loc (R n ) ile gösteili. Bu uzay = için L loc (R n ) L loc (R n )şeklinde gösteilen lokal integallenebili fonksiyonlaın sınıfını göstei. 2.2 L Lebesgue Uzayı ve L (ω) Ağılıklı Lebesgue Uzayı L Lebesgue uzayı sonlu boyutlu vektö uzayı için nomunun genelleşmesi kullanılaak tanımlanmış bi fonksiyon uzayıdı. Boubaki gubuna göe ilk olaak 90 yılında F. Riesz [0] taafından tanıtılmasına ağmen 958 yılında Fansız 6
matematikçi H. Lebesgue nin adını almıştı. Fonksiyonel analizde, Banach uzaylaının ve toolojik vektö uzaylaının önemli bi sınıfını L Lebesgue uzayı oluştuu. Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğe disilinlede uygulamalaı vadı. Tanım 2.2. 0 < ve f ölçülebili bi fonksiyon olmak üzee Lebesgue uzayı L (R n ):= { f ölçülebili : f L(R n ) < } ile veili, buada 0 << için ( f L(R n ) = f dx R n ve = duumunda ise ) biçiminde veili. f L (R n ) = ess su f(x) x R n Tanım 2.2.2 WL (R n )zayıfl uzayı < olmak üzee f WL(R n ) =sut {y R n : f(y) >t} / < t>0 quasi-nomuna sahi f ölçülebili fonksiyonlaının uzayıdı. Kolayca gösteilebili ki < için L (R n ) WL (R n ) di. Önek 2.2.3 () f(x) = x α L (R n ) (2) f(x) = x α χ B(0,) (x) L (R n ) α> n (3) f(x) = x αχc B(0,)(x) L (R n ) α< n (4) f(x) = x n L (R n ), f(x) = x n WL (R n ) Teoem 2.2.4 Eğe ise L bi Banach uzayıdı. Tanım 2.2.5 (Hölde eşitsizliği) ([53], [76]) X ölçülebili hehangi bi küme ve >için / +/q = olsun. Bu duumda f L (X) veg L q (X) olmak üzee eşitsizliğine Hölde eşitsizliği deni. fg L (X) f L(X) f Lq(X) 7
Tanım 2.2.6 (Minkowski eşitsizliği) ([77]) X ölçülebili hehangi bi küme ve için f,g L (X) ise f + g L(X) f L(X) + g L(X) eşitsizliğine Minkowski eşitsizliği deni. Teoem 2.2.7 L loc (R n )uzayı için bütün L (R n ) uzaylaının bileşimleini içei. Daha genel olaak 0 <<q< için L q (R n ) L loc q (R n ) L loc (R n ) elde edili. Teoem 2.2.8 (Lebesgue difeensiyelleme teoemi) Eğe f L loc (R n )isebu duumda hemen he x R n için sağlanı. lim 0 f(y)dy = f(x) B(x, ) B(x,) Tanım 2.2.9 ([77]) Bi f fonksiyonunun desteği suf = {x R n : f(x) 0} ile tanımlanı. Yani f fonksiyonunun desteği onun sıfıdan faklı olduğu noktalaın kümesinin kaanışıdı. Eğe suf sınılı bi küme ise f fonksiyonuna komakt desteğe sahiti deni. Tanım 2.2.0 ([77]) T, eel değeli ölçülebili fonksiyonlaın bi (X, μ) ölçü uzayı üzeinde tanımlanmış ve bi (Y,ν) ölçü uzayıüzeinde bütün komleks değeli hemen he yede sonlu ölçülebili fonksiyonlaın kümesinde değele alan bi oeatö olsun. Bu duumda he f,g ve he λ C için T (f + g) =T (f)+t (g) ve T (λf) =λt (f) ise T ye linee oeatö, T (f + g) T(f) + T (g) ve T (λf) λ T(f) 8
ise T ye altlinee oeatö, bi K>0 sabiti için T (f + g) K ( T (f) + T (g) ) ve T (λf) λ T(f) ise T ye quasilinee oeatö deni. Altlineelik, quasilineliğin özel bi duumudu. Tanım 2.2. ((, q) tili oeatö) ([60]), q,(x, μ) ve(y,ν) ikiölçü uzayıvet, L (X, μ) den tanım ve göüntü kümelei sıasıyla Y ve C olan ölçülebili fonksiyonlaın uzayına bi oeatö (altlinee) olsun. Eğe q< olmak üzee ( ) q C f ν ({y Y : T f(y) >λ}) λ ise T zayıf (, q) tiinden ve eğe q = iken L (X, μ) denl (Y,ν) ye sınılı bi oeatö ise zayıf (, ) tiindedi deni. Eğe T, L (X, μ) denl q (Y,ν) ya sınılı ise kuvvetli (, q) tilidi deni. Yani, he f L (X, μ) için T f q C f olacak şekilde bi C>0 sabiti vadı. Buadan q = olması duumunda zayıf ve kuvvetli ti çakışmaktadı. Eğe T, kuvvetli(, q) tili ise aynı zamanda zayıf (, q) tilidi. Geçekten, eğe E λ = {y Y : T f(y) >λ} olaak alısak, bu duumda q ν(e λ )= dν T f(x) E λ λ dν T ( f q q C f λ q λ olu. E λ Eğe (X, μ) =(Y,ν) ve T özdeşlik oeatöü olusa zayıf (, ) klasik Chebyshev eşitsizliği olu. Teoem 2.2.2 (Macinkiewicz inteolasyon teoemi) ([28]) (X, μ) ve(y,ν) ölçü uzaylaı olsunla. 0 < olmak üzee T, L 0 (X, μ) +L ( )(X, μ) den Y üzeindeki ölçülebili fonksiyonlaa giden ve zayıf ( 0, 0 ) ve zayıf (, ) tili bi altlinee oeatö olsun. Bu duumda T, 0 << içinkuvvetli(, ) tilidi. ) q 9
Tanım 2.2.3 (A Muckenhout sınıfı) ([67]) Eğe < < olmak üzee hehangi bi B = B(x, ) yuvaı için [ω] A =su[ω] A(B) B =su B ( )( ω(x)dx w(x) dx) < (2.) B B B B ise ω ağılık fonksiyonu A Muckenhout sınıfındandı deni. Buada suemum bütün B yuvalaı üzeinden alınmaktadı ve /+/ biçimindedi. Buada Hölde eşitsizliğini kullanaak bütün B yuvalaı için [ω] / A (B) = B w / L (B) w / L (B) olu. = iken, hemen hemen he x için Mω(x) Cω(x) (2.2) olacak şekilde C > vasaω A di ve (2.2) eşitsizliğini sağlayan C sayısının infimumu [ω] A elde edili. ile gösteili. ve üslei ile Hölde eşitsizliği kullanılısa = dx = ω(x) / ω(x) / dx [ω] / A B B B (2.) eşitsizliğinde iken limite geçilise ( ) ω(x)dx C ex log ω(x)dx B B B B elde edili ve eşitsizlik sağlandığında ω A deni. Ayıca, = iken A = < A ile tanımlanı. A içinveilenbuikitanımeşdeğedi (bkz. [36]). A sınıfı 972 yılında Muckenhout [67] taafından ağılıklı L loc (R n,ωdx) uzayı üzeinde tanımlı Hady-Littlewood maximal oeatöünün sınılılıklaı ile ilgili çalışmalaında tanımlanmış ve ε>0 için B A A ε olduğu gösteilmişti. ω A,<< Muckenhout ağılıklaının en önemli önekleinden bii n <α<n( ) iken ω(x) = x α fonksiyonudu. Eğe n <α 0 olaak 0
alınısa ω A elde edili. 0 <δ< ise bu duumda ω(x) = x n( δ) A ve ω(x) = x n( )( δ) A elde edili. Eğe ω bi ağılık ve /ω lokal integallenebili ise bu duumda /ω da ayıca bi ağılıktı. Veilen bi ω ağılığı ve bi E ölçülebili kümesi için ω(e) = ω(x)dx notasyonunu E kümesinin ω-ölçüsünü göstei. Ağılıkla lokal integallenebili fonksiyonla olduklaından dolayı bi yuvadaki bütün E kümelei için ω(e) < olu. Lemma 2.2.4 ([28]) Eğe ω A ise bu duumda w A ε sağlanı ve E [ω] A ε C[ω] A olacak şekilde bi C sayısı vadı ve buada ε [ω] A Öneme 2.2.5 ([28]) () <qolmak üzee A A q sağlanı. (2) << olmak üzee A = q< A q sağlanı. şeklindedi. (3) / +/ = olmak üzee ω A olması için geek ve yete şat ω A olmasıdı. (4) w 0,w A ise bu duumda ω 0 ω A olu. (5) ω A, < ise bu duumda ω +ɛ A olacak şekilde ɛ>0 vadı. Tanım 2.2.6 ([28]) Veilen bi w ağılık fonksiyonu için B hehangi bi yuva olmak üzee eğe ω(2b) Cω(B) olacakşekilde bi C>0sabiti vasa ω doubling şatını sağla deni ve ω Δ 2 şeklinde yazılı. Lemma 2.2.7 ([59]) Eğe ω Δ 2 iken ω(2q) Cω(Q) olmak üzee C > sabiti vasa ω tes doubling şatını sağla.
Lemma 2.2.8 ([37]) <, ω A olsun. Bu duumda () ω Δ 2 sağlanı. Ayıca he λ>için ω(λb) λ n [ω] A ω(b) elde edili. (2) Eğe ω A ise bu duumda ω Δ 2 sağlanı. Ayıca he λ>için elde edili. ω(λb) 2 λn [ω] λn A ω(b) (3) Mf(x) [ω] / A M ω ( f )(x) / eşitsizliği sağlanı ve buada biçimindedi. M ω f(x) =suω(b) f(y) ω(y)dy B x B (4) He B yuvaı ve bi S B ölçülebili kümesi için ω(s) ω(b) C olacak şekilde C>0 ve δ>0 sayısı vadı. ( ) δ S (2.3) B ω ağılık fonksiyonu, (2.3) eşitsizliğini sağlamak üzee, Muckenhout [68], Coifman ve Feffeman [23] taafından ω A olduğu gösteilmişti. Uyaı 2.2.9 Eğe 0 <α<n, <n/αve /q =/ α/n olmak üzee, aşağıdaki ifadele doğudu. () Eğe > ise bu duumda ω A,q ω q A q n α n ω A + olu. q ω q A + q (2) Eğe > ise bu duumda ω A,q ω q A q ve ω A olu. (3) Eğe = ise bu duumda ω A,q ω q A olu. 2
Tanım 2.2.20, ω bi ağılık fonksiyonu olsun. Bu duumda, L (ω) L (R n,w)ağılıklı Lebesgue uzayı ( ) f L,ω f L,ω = f(x) ω(x)dx < R n nomuna sahi bütün bütün ölçülebili f fonksiyonlaın uzayı olaak tanımlanı. = duumunda ise L (ω) L (R n,ω)denom ile tanımlanı. f L,ω f L,ω(R n ) = ess su f(x) ω(x) x R n 2.3 BMO Uzayı BMO (Bounded Mean Oscillation) uzayı, 96 yılında John ve Nienbeg [56] taafından otaya konulmuştu. BMO uzayı L uzayı ile benze özelliklee sahiti ve sıklıkla L yeine kullanılı. Klasik singüle integal oeatöle L uzayından L uzayına sınılı olmamasına ağmen L uzayından BMO uzayına sınılıdı. Feffeman 97 yılında BMO uzayının H Hady uzayına dual olduğunu göstemişti. Tanım 2.3. f fonksiyonu R n de lokal integallenebili bi fonksiyon olmak üzee BMO(R n )uzayı f = su x R n,>0 f(y) f B(x,) dy < B(x, ) B(x,) ile veilen yaı-nomu ile tanımlı Banach uzayıdı. Buada f L loc (R n )ve f B(x,) = f(y)dy B(x, ) B(x,) dı. BMO uzayı L (R n ) uzayına eşit değildi. Fakat L (R n ) BMO(R n ) dı. Geçekten; B(x, ) B(x,) B(x, ) = B(x, ) 2 B(x, ) 2 f f(y) fb(x,) dy B(x,) B(x,) B(x,) f(y) dy + f(y) dy + f B(x,) f(y) dy 3 fb(x,) dy B(x, ) B(x,)
ve buadan f 2 f elde edili. f 2 f olduğundan L (R n ) BMO(R n ) sağlanı. He sınılı (ölçülebili) fonksiyon BMO uzayındandı. Ancak sınılı olmayan BMO fonksiyonlaı da vadı. BMO(R n ) uzayına ait olan fakat L (R n ) uzayına ait olmayan tiik bi önek log x veilebili. Şimdi BMO fonksiyonlaına ekçok önek vemeyi sağlayan bi sonucu veelim. Teoem 2.3.2 ([36]) Eğe ω bi A ağılığı ise bu duumda sadece [ω] A nom ile log ω BMO sağlanı. ebağlı bi Şimdi BMO uzayına ait olmayan bi fonksiyon öneği veelim. Önek 2.3.3 g(x) =sign(x)log fonksiyonu BMO([, ]) uzayına ait değildi. x Geçekten 0 <h<vei [ h, h] için g =0ve g(y) g dy = h I I 2h log h x dx = h log h 0 x dx =+log h, h 0iken elde edili. Dolayısıyla bu önek bi fonksiyonun mutlak değei BMO sınıfına ait ise bu fonksiyonun bi BMO fonksiyonu olmasını geektimeyeceğini göstei. Uyaı 2.3.4 ([56]) () He f BMO(R n )veα>0için {x B : f(x) f B >α} C B e C 2α/ f, B R n olacak şekilde ozitif C ve C 2 sayılaı vadı. Bu eşitsizlik John-Nienbeg eşitsizliği olaak bilini. (2) John-Nienbeg eşitsizliği << için olmasını geektii. ( f su x R n,>0 B(x, ) 4 B(x,) ) f(y) fb(x,) dy
(3) f BMO(R n ) olsun. Bu duumda 0 < <tiçin f B(x,) f B(x,t) C f ln t (2.4) olacak şekilde x,, t ve f fonksiyonundan bağımsız ozitif bi C sayısı vadı. Uyaı 2.3.5 (i) Eğe f BMO(R n )veh R n ise bu duumda f ( h) BMO(R n )ve dı. f ( h) BMO = f BMO (ii) Eğe f BMO(R n )veh R n, λ>0 ise bu duumda f (λx) BMO(R n )ve dı. f (λ ) BMO = f BMO (iii) Eğe f BMO(R n ) ise bu duumda f BMO su inf Q c R n Q dı. Q f(x) c dx 2.4 L,λ Moey Uzayı Klasik Moey uzaylaı 938 yılında C.B. Moey taafından ikinci deeceden elitik kısmi difeensiyel denklemlein çözümleinin lokal davanışlaı aaştıılıken ve vayasyonla analizi teoisindeki oblemlele ilgileniliken otaya çıkaılmıştı. Moey uzaylaının önemli uygulamalaı Navie-Stokes ve Schödinge denklemleinde, süeksiz katsayılı elitik oblemlede ve otansiyel teoide otaya çıkmıştı. Tanım 2.4. <, 0 λ n, f L loc (R n ) olmak üzee L,λ L,λ (R n ) Moey uzayı L,λ := { f : f L,λ < } şeklinde tanımlanı. Buada f L,λ şeklinde veili. f L,λ f L,λ (R n ) = nomu ( ) su f(y) dy x R n,>0 λ B(x,) 5
λ =0için L,0 L (R n ) di. Eğe λ<0veyaλ>nise bu duumda L,λ = θ olu. Buada θ, R n üzeinde 0 a denk olan bütün fonksiyonlaın kümesini göstemektedi. WL λ WL,λ (R n ) ile bütün f WL loc Moey uzayını gösteeceğiz. Buada, fonksiyonlaının uzayı olan zayıf şeklindedi. f WL,λ f WL,λ (R n ) = su λ f WL,λ (B(x,)) < x R n,>0 Lemma 2.4.2 < olsun. Bu duumda L,n L (R n )ve olu, buada v n = B(0, ) dı. f L,n = v / n f L (R n ) İsat. f L (R n ) olsun. Bu duumda ) / (t n f(y) dy vn / f L (R n ) B(x,t) olu. Buadan f L,n ve f L,n v / n f L (R n ) şeklindedi. f L,n olmak üzee Lebesgue yakınsaklık teoeminden (bkz. [82]) lim B(x, t B(x,t) t) f(y) dy = f(x) olu. Bu duumda ( ) / f(x) = lim B(x, t B(x,t) t) f(y) dy vn / şeklindedi. Buadan f L (R n ) dı ve olu. f L (R n ) vn / f L,n f L,n Lemma 2.4.3 <, 0 λ<nolsun. Bu duumda α = n λ için f L,n α vn / f L,λ dı ve buadan L,λ L,n olu. Buada / +/ = dı. 6
İsat. eşitsizliğinden f L,λ, <, 0 λ<nve α = n λ olmak üzee Hölde B(x,t) elde edili. Ayıca t α n ( f(y) dy B(x,t) elde edili. Buadan f L,n α ve f(y) dy B(x,t) ) / ( ( = vn / t n/ f(y) dy B(x,t) ( f(y) dy vn / t α n/ = v / n (t λ vn / f L,λ B(x,t) dy B(x,t) ) / f(y) dy B(x,t) ) / ) / f(y) dy ) / şeklindedi f L,n α vn / f L,λ 2.5 L,κ (ω) Ağılıklı Moey Uzayı L,κ (ω) ağılıklı Moey uzayı 2009 yılında Komoi ve Shiai [59] taafından tanımlanmış ve Hady-Littlewood maximal oeatölei ve Caldeón-Zygmund oeatölei gibi hamonik analizin klasik oeatöleinin sınılılıklaı bu uzaylada aaştıılmıştı. Tanım 2.5. <, 0<κ<veω bi ağılık fonksiyonu olsun. Bu duumda L,κ (ω) L,κ (R n,ω)ağılıklı Moey uzayı f L,κ(ω) = su ω (B(x, )) κ f L,ω(B(x,)) < x R n,>0 ile bütün lokal integallenebili fonksiyonlaın uzayı olaak tanımlanı. Ayıca WL,κ (ω) WL,κ (R n,ω) ile f WL,κ(ω) = su ω (B(x, )) κ f WL,ω(B(x,)) < x R n,>0 olmak üzee bütün lokal integallenebili fonksiyonlaın zayıf ağılıklı Moey uzayı gösteili. 7
Uyaı 2.5.2 ([84]) () Eğe ω ve0<λ<nolmak üzee κ = λ/n ise bu duumda L,λ/n () = L,λ (R n ) klasik Moey uzayıdı. (2) ω Δ 2 olsun. Eğe κ = 0 ise bu duumda L,0 (ω) =L (ω) olu. Eğe κ = ise, bu duumda ω ye göe Lebesgue difeensiyelleme teoeminden L, (ω) = L (ω) elde edili. 2.6 M,ϕ Genelleştiilmiş Moey Uzayı Moey uzaylaının genişlemesi olan M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayı 990 yılında Mizuhaa [65] taafından tanımlanmış ve singüle integal oeatöünün bu uzayladaki sınılılığı aaştıılmıştı. 994 yılında Nakai [72] taafından hamonik analizde önemli bi yee sahi olan maksimal integal oeatöünün, Riesz otansiyelinin ve singüle integal oeatöünün M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılığı aaştıılmıştı. M,ϕ geneleştiilmiş Moey uzayının nomalleştiilmiş nomlu hali ilk olaak 2009 yılında Guliyev [38] taafından tanımlanmış ve hamonik analizin integal oeatöleinin sınılılığı Mizuhaa ve Nakai ye göe daha genişşatla altında aaştıılmıştı. Ayıca Guliyev [45], [46] taafından M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaında maksimal, otansiyel ve singüle integal oeatölein sınılılıklaı otaya koyduğu yeni metot ile elde edilmişti. M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayı Mizuhaa [65] taafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştı. Tanım 2.6. ([65]) ϕ(x, ), R n (0, ) üzeinde ozitif ölçülebili bi fonksiyon olsun. M,ϕ M,ϕ (R n ), < ile f M,ϕ f M,ϕ(R n ) = su ϕ(x, ) f L(B(x,)) < x R n,>0 nomuna sahi bütün f L loc (R n ) fonksiyonlaının uzayı genelleştiilmiş Moey uzayı olaak tanımlanı. Ayıca WM,ϕ WM,ϕ (R n ) ile f WM,ϕ f WM,ϕ(R n ) = su ϕ(x, ) f WL(B(x,)) < x R n,>0 8
nomuna sahi bütün f WL loc (R n ) fonksiyonlaının uzayı zayıf genelleştiilmiş Moey uzayı olaak tanımlanı. Buada WL (B(x, )) uzayı ile f WL(B(x,)) fχ B(x,) WL(R n ) < şeklindeki bütün ölçülebili f fonksiyonlaını içeen zayıf L uzayı ifade edili. Ayıca doğal tooloji ile veilen L loc (R n )vewl loc (R n ) uzaylaı he B R n yuvaı için fχ B L (R n )vefχ B WL (R n )şeklindeki bütün f fonksiyonlaın uzayı olaak tanımlanı. Bu tanıma göe ϕ(x, ) = λ için L,λ = M,ϕ ϕ(x,)= λ, WL,λ = WM,ϕ ϕ(x,)= λ olduğu göülü. M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayının nomalleşmiş nomlu hali Guliyev [38] taafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştı. Tanım 2.6.2 [38] ϕ(x, ), R n (0, ) üzeinde ozitif ölçülebili bi fonksiyon olsun. M,ϕ M,ϕ (R n ), < ile f M,ϕ f M,ϕ(R n ) = su x R n,>0 ϕ(x, ) B(x, ) f L(B(x,)) < nomalleşmiş nomuna sahi bütün f L loc (R n ) fonksiyonlaının uzayı genelleştiilmiş Moey uzayı olaak tanımlanı. Ayıca WM,ϕ WM,ϕ (R n ) ile f WM,ϕ f WM,ϕ(R n ) = su x R n,>0 ϕ(x, ) B(x, ) f WL(B(x,)) < nomalleşmiş nomuna sahi bütün f WL loc (R n ) fonksiyonlaının uzayı zayıf genelleştiilmiş Moey uzayı olaak tanımlanı. Bu tanıma göe ϕ(x, ) = λ n için L,λ = M,ϕ ϕ(x,)= λ n, WL,λ = WM,ϕ ϕ(x,)= λ n olduğu göülü. Hamonik analizin integal oeatöleinin M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzaylaındaki sınılılıklaını elde etmek amacıyla (ϕ,ϕ 2 ) üzeindeki şat için tatışan biçok çalışma vadı. Guliyev [38] taafından (ϕ,ϕ 2 )çifti için t α ϕ (x, t) t Cϕ 2(x, ) (2.5) 9
şatı getiilmişti. Buada, C sayısı x ve den bağımsız ozitif bi sayıdı. Guliyev [2], [46] taafından Caldeón-Zygmund singüle integal oeatöünün ve << q<, α = n(/ /q) olmak üzee, Riesz otansiyelinin, M,ϕ (R n ) uzayından M q,ϕ2 (R n ) uzayına sınılılığı elde edilmiş vex R n ve < için daha zayıf şat tanımlanmıştı. ess inf t<s< ϕ (x, s)s n t n q + ϕ 2 (x, ) >0 (2.6) Eğe (ϕ,ϕ 2 )çifti (2.5) şatını sağlasa, bu duumda (2.6) şatını da sağla. Ancak tesi doğu değildi (bkz. [46]). (ϕ,ϕ 2 )çifti (2.6) ve ( +ln t )ess inf ϕ (x, s)s n t<s< t n q t Cϕ 2(x, ) şatlaını sağlamak üzee, Guliyev [2], [46] taafından kaba çekidekli T Ω,α kesili integal oeatöünün ve [b, T Ω,α ]komütatöünün genelleştiilmiş Moey uzaylaında sınılılığı elde edilmişti. 2.7 M,ϕ (ω) Genelleştiilmiş Ağılıklı Moey Uzayı 2009 yılında Komoi ve Shiai [59] taafından tanımlanan L,κ (ω) ağılıklı Moey uzaylaı ile aynı yıllada Guliyev [38] taafından tanımlanan M,ϕ geneleştiilmiş Moey uzayının nomalleştiilmiş nomlu halini kasayan M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzaylaı 20 yılında Guliyev [4] taafından tanımlanmış ve hamonik analizin integal oeatöleinin ve yüksek metebeden komütatöleinin bu uzayladaki sınılılıklaı aaştıılmıştı. Ayıca M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzayı Guliyev ile bilikte Akbulut, Alizadeh, Mustafayev, Sebetci gibi aaştımacıla taafından da çalışılmıştı (bkz. [39], [47], [50], [5], [58], [7]). M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzayı Guliyev [4] taafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştı. Tanım 2.7. ([4])ϕ(x, ), R n (0, ) üzeinde bi ozitif ölçülebili fonksiyon ve ω, R n üzeinde negatif olmayan ölçülebili fonksiyon olsun. M,ϕ (ω) M,ϕ (R n,ω) 20
olmak üzee < için f M,ϕ(ω) f M,ϕ(R n,ω) = su x R n,>0 ϕ(x, ) ω(b(x, )) f L,ω < nomuna sahi bütün f L loc,ω(r n ) fonksiyonlaının uzayı genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzayı olaak tanımlanı. Ayıca WM,ϕ (ω) WM,ϕ (R n,ω) ile f WM,ϕ(ω) f WM,ϕ(R n,ω) = su x R n,>0 ϕ(x, ) ω(b(x, )) f WL,ω < nomuna sahi bütün f WL loc,ω(r n ) fonksiyonlaının uzayı zayıf genelleştiilmiş ağılıkı Moey uzayı olaak tanımlanı. Uyaı 2.7.2 () Eğe ω ise, bu duumda M,ϕ () = M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayıdı. (2) Eğe ϕ(x, ) ω(b(x, )) κ ise, bu duumda M,ϕ (ω) = L,κ (ω) ağılıklı Moey uzayıdı. (3) Eğe ω ve0<λ<nolmak üzee ϕ(x, ) = λ n ise, bu duumda M,ϕ() = L,λ klasik Moey uzayı ve WM,ϕ() = WL,λ zayıf Moey uzayıdı. (4) Eğe ϕ(x, ) ω(b(x, )) ise, bu duumda M,ϕ (ω) =L (ω)ağılıklı Lebesgue uzayıdı. Guliyev [4], [50] taafından he x R n ve t>0 olduğunda <q< için C>0 olmak üzee ess inf t<s< ϕ (x, s)ω(b(x, s)) ω(b(x, t)) q şeklinde bi ağılık şatı tanımlanmıştı. t Cϕ 2(x, ) (2.7) ω A ve <q< için (ϕ,ϕ 2 )çifti (2.7) veya ( ln k e + t )ess inf ϕ (x, s)(ω(b(x, s))) t<s< ω(b(x, t)) q t Cϕ 2(x, ) şatlaını sağlamak üzee, Guliyev [4] taafından T α oeatöünün ve [b, T α ] k komütatöünün M,ϕ (ω) genelleştiilmiş ağılıklı Moey uzaylaında sınılılığı elde edilmişti. 2
2.8 Hady-Littlewood Maksimal Oeatöü, Riesz Potansiyeli, Singüle İntegal Oeatöü ve Komütatö Oeatöü Hady-Littlewood maksimal fonksiyonu ilk olaak 930 yılında n = için Hady ve Littlewood [52] taafından 939 yılında Wiene [88] taafından n > için komleks analizin uygulamalaına yönelik olaak tanımlanmıştı. Maksimal fonksiyon analizde ekçok oeatöün sınılılığında çok önemli bi ole sahiti. Hady-Littlewood maksimal fonksiyonunun faklı tanımlaı aşağıdaki gibi veilebili. Tanım 2.8. (Hady-Littlewood maksimal fonksiyonu) f L loc (R n ) olsun. Bu duumda Mf Hady-Littlewood maksimal fonksiyonu Mf(x) =su B(0,) f(x y) dy (2.8) >0 B(0,) ile tanımlanı. Bu fonksiyon + aeşit olabili. Hady-Littlewood maksimal fonksiyonu yuva yeine kü alınaak aşağıdaki gibi tanımlanabili. f L loc (R n ) olsun. Eğe Q, [, ] n kübüisem f mekezli Hady-Littlewood maksimal fonksiyonu M f(x) =su >0 f(x y) dy (2.9) () n Q ile tanımlanı. n =ikenm ve M çakışı. Eğe n> ise bu duumda C M f(x) Mf(x) C 2 M f(x) olacak şekilde sadece n ye bağlı C ve C 2 sabitlei vadı. Bu eşitsizlikten dolayı M ve M oeatölei uygun koşullaa göe değiştiilebili. Ayıca, M f mekezli olmayan Hady-Littlewood maksimal fonksiyonu f L loc (R n )için şeklinde tanımlanı. M f(x) = su B(x 0,) x f(y) dy (2.0) B(x 0,) B(x 0,) Buada suemum x i içeen ve kenalaı eksenlee aalel olan bütün B R n yuvalaı üzeinden alınmaktadı. M ve M noktasal olaak eşdeğedi. Uyaı 2.8.2 (2.8)-(2.0) ifadelei için he x R n olmak üzee C 0 Mf(x) C M f(x) C 2 M f(x) C 3 Mf(x) 22
eşitsizliğini sağlayan n ye bağlı C i (i =0,, 2, 3) sayılaı vadı. Mf, M f ve M f Hady-Littlewood maksimal fonksiyonlaı noktasal olaak eşdeğedi. Uyaı 2.8.3 f L loc olmak üzee Mf(x) Hady-Littlewood maksimal fonksiyonu R n de alt yaı süekli ölçülebili bi fonksiyondu. Yani, M Hady-Littlewood maksimal oeatöü altlineevehomojen bioeatödü. M(f + g) Mf + Mg ve M(λf) =λ(mf), λ 0 sağlanı. Hady-Littewood maksimal oeatöünün L (R n ) Lebesgue uzayındaki sınılılığı < olmak üzee n = için Hady-Littlewood [52] taafından n > için Wiene [88] taafından aaştıılmıştı Uyaı 2.8.4 M Hady-Littlewood maksimal oeatöü L (R n ) uzayından L (R n ) uzayına sınılı değildi. Geçekten; n =vex duumunda f(x) =χ [0,] (x) için Mf(x) 2x 2x 0 f(y) dy = 2x olu, buadan R n Mf(x)dx Mf(x)dx 2x dx = elde edili. Öneme 2.8.5 ([28]) Eğe f L (R n ) sıfıa denk değilse bu duumda Mf L (R n ) di. M Hady-Littlewood maksimal oeatöü L (R n ) uzayında sınılı olmamasına ağmen, L (R n ) uzayından WL (R n ) uzayına sınılıdı. Aağıdaki teoem M Hady- Littlewood maksimal oeatöünün hemen hemen he yede sonlu, zayıf (, ) ve < için (, ) tiinden bi oeatö olduğunu ifade etmektedi. Teoem 2.8.6 ([82]) () f L (R n )ve olsun. Bu duumda hemen he x R n için Mf(x) < dı. 23
(2) = ise, bu duumda he λ>0vef L (R n )için {x R n : Mf(x) >λ} C λ f L (R n ) olacak şekilde bi C = C(n) > 0 sabiti vadı. (3) < ise, he f L (R n )için Mf L(R n ) C f L(R n ) olacak şekilde bi C = C(n, ) > 0 sabiti vadı. Theoem (2.8.7) ve Theoem (2.8.8) ilk olaak 972 yılında bi boyutta Muckenhout [67] taafından n> duumunda ise 983 yılında Jouné [57] taafından isatlanmıştı. Teoem 2.8.7 ([57]) < olsun. Bu duumda ω A için M Hady- Littlewood maksimal oeatöü zayıf (L (ω),l (ω)) tiinden bi oeatödü. Yani, < ve ω A olmak üzee, he λ>0vef(x) L (ω) için ω ({x R n : Mf(x) >λ}) C λ f L (w) eşitsizliğini sağlayan bi C>0 sayısı vadı. Teoem 2.8.8 ([57]) < < olsun. Bu duumda ω A için M Hady- Littlewood maksimal oeatöü (L (ω),l (ω)) tiinden bi oeatödü. Teoem 2.8.9 ([8]) <, 0 λ<nolsun. Bu duumda >için Mf L,λ C f L,λ ve =için Mf WL,λ C f L,λ sağlanı. Buada C sabiti f fonksiyonundan bağımsızdı. Ayıca,0<λ<nve f L,λ için R n de Mf maksimal fonksiyonu hemen he yede sonludu. 24
Teoem 2.8.0 ([59]) << ve 0 <κ< olsun. Bu duumda ω A için M Hady-Littlewood maksimal oeatöü L,κ (ω) ağılıklı Moey uzayında sınılıdı. Eğe =,0<κ<veω A ise bu duumda he λ>0 ve hehangi bi Q küü için ω ({x Q : Mf(x) >λ}) C λ f L,κ (ω)ω(q) κ eşitsizliği sağlanı. Aşağıdaki teoem 994 yılında Nakai [72] taafından isatlanmıştı. Teoem 2.8. ([72]) q<< olsun. t iken c sayısı t,, x R n den, C sayısı da x ve den bağımsız olmak üzee ϕ(x, ) c ϕ(x, ) ϕ(x, t) cϕ(x, ) ve ϕ(x, t) t Cϕ(x, ) şatlaını sağlasın. Bu duumda M oeatöü q<< için M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayında sınılıdı. Aşağıdaki teoem 20 yılında Guliyev [4] taafından isatlanmıştı. Teoem 2.8.2 [4] <, ω A için C ozitif bi sayı olmak üzee (ϕ,ϕ 2 ) çifti ess inf t<s< ϕ (x, s)(ω(b(x, s))) ω(b(x, t)) t Cϕ 2(x, ) şatını sağlasın. Bu duumda > için M Hady-Littlewood maksimal oeatöü M,ϕ (ω) uzayından M,ϕ2 (ω) uzayına ve =için M,ϕ (ω) uzayından WM,ϕ2 (ω) uzayına sınılıdı. Singüle integal oeatöle hamonik analizde önemli bi yee sahi olu ikinci deeceden kısmi difeensiyel denklemlein çözümleinin egüleliği ile ilgili çalışmalala yakından ilgilidi. Tanım 2.8.3 (Singüle integal oeatöü ve komütatö oeatöü) Singüle integalle y = y/ y olmak üzee T f(x) = lim ɛ 0 y >ɛ 25 Ω(y ) f(x y)dy y n
biçimindeki oeatöledi. Buada Ω, R n deki S n biim küesi üzeinde tanımlanmış olu sıfı otalamalı, integallenebili bi fonksiyondu. C (R c n )denl loc (R n ) tanımlı T oeatöüaşağıdaki şatlaı sağlasa Caldeón- Zygmund oeatöü olaak adlandıılı. (a) T, L 2 (R n ) de sınılı linee oeatödü. (b) He f L c (R n ), için T f(x) = K(x, y)f(y)dy x {suf} c, R n şeklinde bi K çekideği vadı. (c) K çekideği x, y R n ve x y olduğunda C>0vebazıδ>0için K(x, y) K(x + h, y) K(x, y) K(x, y + h) K(x, y) C x y n, C h δ x y n+δ, C h δ x y n+δ Caldeón-Zygmund eşitsizikleini sağla. Buada h < x y /2 dı (bkz. [80]). Teoem 2.8.4 ([30]) Eğe << için T Caldeón-Zygmund oeatöü L (R n ) üzeinde sınılıdı. Eğe = ise, bu duumda he λ>0vef L (R n )için {x R n : T f(x) >λ}) C λ f L (R n ) olacak şekilde bi C = C(n) > 0 sabiti vadı. Teoem 2.8.5 ([28]) Eğe << ve ω A ise T Caldeón-Zygmund oeatöü L (ω) üzeinde sınılıdı. Eğe =veω A ise he λ>0için ifadesi sağlanı. ω ({x R n : T f(x) >λ}) C λ f L (ω) Teoem 2.8.6 ([8]) <, 0<λ<nolsun. Bu duumda << için T Caldeón-Zygmund oeatöü L,λ üzeinde sınılıdı. Ayıca =için L,λ uzayından WL,λ uzayına sınılıdı. 26
Teoem 2.8.7 ([59]) <<, 0<κ<veω A olsun. Bu duumda T Caldeón-Zygmund oeatöü L,κ (ω) üzeinde sınılıdı. Eğe =,0<κ<ve ω A ise bu duumda he λ>0 ve hehangi bi Q küü için ω ({x Q : T f(x) >λ}) C λ f L,κ (ω)ω(q) κ eşitsizliği sağlanı. Aşağıdaki teoem 994 yılında Nakai [72] taafından isatlanmıştı. Teoem 2.8.8 ([72]) < olsun. t iken c sayısıt,, x R n den, C sayısı da x ve den bağımsız olmak üzee ϕ(x, ) c ϕ(x, ) ϕ(x, t) cϕ(x, ) ve ϕ(x, t) t Cϕ(x, ) şatlaını sağlasın. Bu duumda T oeatöü >için M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayında ve M,ϕ uzayından WM,ϕ uzayına sınılıdı. Aşağıdaki teoem, 994 yılında Guliyev [42] taafından isatlanmış ve Mizuhaa [65] taafından elde edilen sonuçlaı içemektedi. Ayıca ϕ = ϕ 2 = ϕ duumu için 994 yılında Nakai [72] taafından elde edilen sonuçlaı da içemektedi. Buada he t, >0veC>0için 0 < t olacak şekilde ϕ C ϕ(t) ϕ() Cϕ(t) doubling şatını sağla. Teoem 2.8.9 ([42]) < iken C ozitif bi sayı olmak üzee he t>0için ϕ ve ϕ 2 şatını sağlasın. ϕ (x, ) d Cϕ 2(x, t) (2.) Bu duumda >için T Caldeón-Zygmund oeatöü M,ϕ uzayından M,ϕ2 uzayına ve =için M,ϕ uzayından WM,ϕ2 uzayına sınılıdı. Ayıca, Guliyev [2], [46] taafından daha zayıf şatla Caldeón-Zygmund singüla integal oaatöünün < için M,ϕ uzayından M,ϕ uzayına sınılılığı aaştıılmışı. 27
Teoem 2.8.20 ([2], [46]) < iken C ozitif bi sayı olmak üzee he t>0 için ϕ ve ϕ 2 çifti şatını sağlasın. ess inf t<s< ϕ (x, s)s n t n + Cϕ 2 (x, ) (2.2) Bu duumda >için T Caldeón-Zygmund oeatöü M,ϕ uzayından M,ϕ2 uzayına ve =için M,ϕ uzayından WM,ϕ2 uzayına sınılıdı. Eğe (ϕ,ϕ 2 )çifti (2.) şatını sağlasa, bu duumda (2.2) şatını da sağla. Ancak tesi doğu değildi (bkz. [46]). Teoem 2.8.2 [4] <<, ω A için C ozitif bi sayı olmak üzee (ϕ,ϕ 2 ) çifti ess inf t<s< ϕ (x, s)(ω(b(x, s))) ω(b(x, t)) t Cϕ 2(x, ) şatını sağlasın. Bu duumda >için T Caldeón-Zygmund oeatöü M,ϕ (ω) uzayından M,ϕ2 (ω) uzayına ve =için M,ϕ (ω) uzayından WM,ϕ2 (ω) uzayına sınılıdı. Caldeón komütatöü 965 yılında Caldeón [6] taafından Cauchy integalinin Lischitz eğisi üzeindeki çalışması sıasında ( ) ϕ(x) ϕ(y) f(y) C h,ϕ (f)(x) =.v. h x y x y dy şeklinde tanımlanmıştı. Buada h C (R n ), ϕ ise R üzeinde bi Lischitz fonksiyonudu. Eğe h(t) =(+it) ise bu duumda C h,ϕ (f), y = ϕ(x) eğisi üzeinde Cauchy integalidi. Eğe h = ise bu duumda C h,ϕ (f) Hilbet dönüşümüdü. Eğe k bi doğal sayı olmak üzee h(t) =t k ise bu duumda C h,ϕ (f), ϕ nin Hilbet dönüşümünün k. metebeden komütatöüdü. Tanım 2.8.22 f C 0, b L loc (R n )vet Caldeón-Zygmund oeatöü olmak üzee [b, T ]komütatö oeatöü [b, T ]f(x) = [b(x) b(y)] k(x y)f(y)dy, R n şeklinde tanımlanı. x suf K, Caldeón-Zygmund singüle integal oeatö ve b BMO(R n ) olmak üzee [b, K]f = K(bf) bkf şeklinde tanımlanan komütatö oeatöü < < için L (R n ) uzayında sınılıdı (bkz. [6], [7]). 28
976 yılında Coifman, Rochbeg ve Weiss [22] taafından T Ω Caldeón-Zygmund singüle integal oeatöünün ve bi b fonksiyonunun üettiği [b, T Ω ]komütatöünün L (R n )( << ) sınılılığı üzeine aaştıma yaılmıştı. Buada Ω (i) Hehangi bi λ>0vehex R n için Ω(λx) =Ω(x) (ii) S n Ω(x )dσ(x )=0 şatlaını sağlamak üzee, b BMO(R n ) fonksiyonu için [b, T Ω ]komütatöü Ω(x y) [b, T Ω ](f)(x) =.v. [b(x) b(y)] f(y)dy (2.3) R x y n n şeklinde tanımlanı. Ölçülebili fonksiyonla kümesi üzeinde tanımlı bi linee T oeatöü ve bi b fonksiyonu için [b, T ]komütatöü [b, T ]f(x) =b(x)t f(x) T(bf)(x) ile tanımlanı. Coifman, Rochbeg ve Weiss [22] taafından [b, T Ω ]komütatöünün L (Rn), < < sınılılığını kullanaak başaılı bi şekilde H (R n ) Hady uzayının ayışımı veilmişti. (2.3) tiindeki komütatöle ikinci metebeden elitik kısmi difeensiyel denklemlein çözümleinin egüleliği çalışmalaında önemli bi ol oynamaktadı (bkz. [9], [20], [34]). Açık olaak b L (R n ) ise bu duumda [b, T ], L (R n ), << üzeinde sınılıdı. Coifman, Rochbeg ve Weiss, [22] çalışmasında b BMO(R n )iken[b, T ]komütatöünün L (R n ), < < sınılılığını göstemişledi. Daha sona Janson, [55] çalışmasında [b, T ]komütatöü L (R n ), << üzeinde sınılı iken b BMO(R n ) olduğunu göstemişti. T Caldeón-Zygmund oeatöü zayıf(, ) eşitsizliğini sağlamasına ağmen [b,t ] komütatöü bu eşitsizliği sağlamaz. Buna kaşılık aşağıdaki zayıf sonuç doğudu. Teoem 2.8.23 ([73]) T Caldeón-Zygmund oeatöü veb BMO(R n ) olsun. Bu duumda he f C0 ve he λ>0için ( ( )) {y R n f(y) f(y) : [b, T ]f(y) >λ} C b +log + dy R λ λ n sağlanı. Buada, log + t = max(log t, 0) biçimindedi. Teoem 2.8.24 ([79]) b BMO(R n )vet Caldeón-Zygmund oeatöü olsun. Eğe << ve ω A ise bu duumda [b, T ], L (ω) ağılıklı Lebesgue uzayında üzeinde sınılıdı. 29
Teoem 2.8.25 ([33]) <<, 0<λ<nve b BMO(R n ) olsun. Bu duumda T Caldeón-Zygmund oeatöü olmak üzee [b, T ]komütatö oeatöü L,λ (R n ) Moey uzayında sınılıdı. Teoem 2.8.26 ([59]) <<, 0<κ<veb BMO(R n ) olsun. Bu duumda ω A için T Caldeón-Zygmund oeatöü olmak üzee [b, T ]komütatö oeatöü L,κ (ω) ağılıklı Moey uzayında sınılıdı. Aşağıdaki teoem 20 yılında Guliyev [46] taafından isatlanmıştı. Teoem 2.8.27 [46] <<, b BMO(R n )için C ozitif bi sayı olmak üzee (ϕ,ϕ 2 )çifti ( +ln t )ess inf ϕ (x, s)s n t<s< t n t Cϕ 2(x, ) şatını sağlasın. Bu duumda >için T b Caldeón-Zygmund oeatöünün komütatöü M,ϕ uzayından M,ϕ2 uzayına ve =için M,ϕ uzayından WM,ϕ2 uzayına sınılıdı. Aşağıdaki teoem 20 yılında Guliyev [4] taafından isatlanmıştı. Teoem 2.8.28 [4] <<, b BMO(R n ), ω A için C ozitif bi sayı olmak üzee (ϕ,ϕ 2 )çifti ( +ln t )ess inf ϕ (x, s)(ω(b(x, s))) t<s< ω(b(x, t)) t Cϕ 2(x, ) şatını sağlasın. Bu duumda >için T b Caldeón-Zygmund oeatöünün komütatöü M,ϕ (ω) uzayından M,ϕ2 (ω) uzayına ve = için M,ϕ (ω) uzayından WM,ϕ2 (ω) uzayına sınılıdı. Tanım 2.8.29 (Riesz otansiyeli) 0 <α<niçin I α Riesz otansiyeli f(y) I α f(x) = dy x y n α şeklinde tanımlanı. R n Aşağıdaki teoem I α Riesz otansiyelinin 0 <α<niçin (L,L q ) sınılılığını ifade etmektedi. 30
Teoem 2.8.30 ([37]) <q<, 0<α<nve f L (R n ) olsun. duumda > için Bu I α f Lq(R n ) C f L(R n ) ve =için I α f Lq, (R n ) C f L (R n ) olacak şekilde C = C(n, α, ) < sabiti vadı ve buada α = n(/ /q) biçimindedi. Aşağıdaki teoem I α Riesz otansiyelinin 0 < α < n ve ω A,q için (L (ω ),L q (ω q ) sınılılığını ifade etmektedi. Teoem 2.8.3 ([70]) 0 <α<n, <n/α, α = n(/ /q) veω A,q olsun. Bu duumda I α Riesz otansiyeli >için I α f Lq(ω q ) C f L(ω ) ve =,q = n/(n α), ω A,q ve λ>0için ω q ({x R n : I α f(x) >λ}) C λ q f q L (ω) olacak şekilde λ ve f fonksiyonundan bağımsız bi C sabiti vadı. Teoem 2.8.32 ([], [74]) 0 <α<n, <n/αve α = n(/ /q) olsun. Bu duumda 0 <λ<niçin I α Riesz otansiyeli L,λ (R n ) uzayından L q,λ (R n ) uzayına sınılıdı. Teoem 2.8.33 ([59]) 0 <α<n,<<n/α, α = n(/ /q), 0 <κ</qve ω A,q olsun. Bu duumda I α Riesz otansiyeli >için L,κ (ω,ω q ) uzayından L q,κq/ (ω,ω q ) uzayına sınılıdı. Eğe = ise hehangi bi Q küü için ω q ({x Q : I α f(x) >λ}) C λ q f q L,κ (ω,ω q ) ωq (Q) κq olacak şekilde λ ve f fonksiyonundan bağımsız bi C sabiti vadı. Aşağıdaki teoem 994 yılında Nakai [72] taafından isatlanmıştı. 3
Teoem 2.8.34 ([72]) < ve α = n(/ /q) olsun. t iken c sayısı t,, x R n den, C sayısı da x ve den bağımsız olmak üzee ϕ(x, ) ve c ϕ(x, ) ϕ(x, t) cϕ(x, ) t α ϕ(x, t) t Cϕ(x, ) şatlaını sağlasın. Bu duumda I α oeatöü >için M,ϕ genelleştiilmiş Moey uzayında ve M,ϕ uzayından WM,ϕ uzayına sınılıdı. Aşağıdaki teoem, 994 yılında Guliyev [42] taafından isatlanmış ve Mizuhaa [65] taafından elde edilen sonuçlaı içemektedi. Ayıca ϕ = ϕ 2 = ϕ duumu için 994 yılında Nakai [72] taafından elde edilen sonuçlaı da içemektedi. Buada he t, >0veC>0için 0 < t olacak şekilde ϕ doubling şatını sağla. C ϕ(t) ϕ() Cϕ(t) Teoem 2.8.35 ([42]) < ve α = n(/ /q) olsun. Ayıca he >0için ϕ ve ϕ 2 t α ϕ (x, t) t Cϕ 2(x, ) (2.4) şatını sağlayan ozitif ölçülebili fonksiyon olmak üzee, ozitif bi C sayısı vadı. Bu duumda >için I α oeatöü oeatöü M,ϕ uzayından M,ϕ2 uzayına ve =için M,ϕ uzayından WM,ϕ2 uzayına sınılıdı. Ayıca, Guliyev [2], [46] taafından daha zayıf şatla Riesz otansiyelinin < için M,ϕ uzayından M,ϕ uzayına sınılılığı aaştıılmışı. Teoem 2.8.36 ([2], [46]) <q< ve α = n(/ /q) olsun. Ayıca he t>0için ϕ ve ϕ 2 çifti ess inf t<s< ϕ (x, s)s n t n q + Cϕ 2 (x, ) (2.5) şatını sağlayan ozitif ölçülebili fonksiyon olmak üzee, ozitif bi C sayısı vadı. Bu duumda >için I α Riesz otansiyeli M,ϕ uzayından M,ϕ2 uzayına ve = için M,ϕ uzayından WM,ϕ2 uzayına sınılıdı. 32