T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

T I M U R K A R A Ç AY - H AY D A R E Ş C A L C U L U S S E Ç K I N YAY I N C I L I K A N K A R A

Contents 1 Denklik Bağıntıları 5 Bibliography 13

1 Denklik Bağıntıları 1 1denklik 1.1 Eşitlik Günlük yaşamda "eşit" terimini çok kullanırız. Kullanıldığı yere bağlı olarak anlam farklılıkları oluşur. Örneğin, 1$ = 2, 21 TL ifadesindeki = simgesiyle "Her üçgen kendisine eşittir" ifadesindeki eşit olma kavramları birbirlerinden farklıdır. Günlük yaşamda bu tür anlam farklılıkları sorun yaratmıyor. Ama matematikte, her tanıma yüklenen anlam kesinkes belirli olmalı, ondan farklı anlamlar çıkarılamamalıdır. Eşitlik Belitleri: 2 Eşit olma bağıntısı için üç belit koyacağız: x, y, z öğeler (değişken), µ ile ν iki formül olsun. 2eşitlik Her öğe kendisine eşittir: x = x Her formülde x yerine y konulabilir: [(x = y) µ(x, z)] µ(y, z) Her formülde y yerine x konulabilir: (y = x) [ν(y, z) = ν(x, z) 1.2 Denklik Bağıntıları 3 Birbirlerine eşit olmayan, ama eşitliğe benzer niteliklere sahip nesnelerle sık karşılaşırız. Örneğin, X marka ürün Y marka ürüne denktir derken, tümceye yüklenen anlam eşit olma değildir. Denklik bağıntısı, eşitlik kavramını genelleştirir. Bu genelleştirmeyi yapan tanımın matematikte kesinkes belirli olması, farklı anlamlara çekilememesi gerekir. Denkliği, aynı küme üzerinde tanımlı bir ikili bağıntı olarak ele alınca, (??) bağıntı türlerinden yararlanacağız. 3 eşdeğerlik

6 calculus Ortaya koyacağımız tanıma farklı anlamlar yüklenemez. Denklik bağıntısı yerine bazı kaynaklarda eşdeğerlik bağıntısı denilir. Tanım 1.1. Yansımalı, simetrik ve geçişimli bağıntıya, denklik bağıntısı, denilir. (??) uyarınca, bu tanımı simgesel olarak ifade edebiliriz: A kümesi üzerinde aşağıdaki özeliklere sahip δ bağıntısı bir denklik bağıntısıdır: x A xδx yansımalı (1.1) (x, y A) xδy yδx simetrik (1.2) (x, y, z A) xδy yδz xδz geçişimli (1.3) Denk Öğeler 4 4denk Tanım 1.2. Denklik bağıntısı ile birbirlerine bağlanan öğelere denk öğeler denilir. δ, boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı bir denklik bağıntısı olsun. δ bağıntısına göre birbirlerine denk olan öğeler aşağıdaki simgelerden birisiyle gösterilir. x y x y (mod δ) ya da x y (1.4) 1.3 Denklik Sınıfları 5 Tanım 1.3. A kümesi üzerinde tanımlı δ denklik bağıntısına göre, x öğesine denk olan bütün öğelerden oluşan altkümeye, x öğesinin denklik sınıfı, denir. 5denk sınıflar x öğesinin denklik sınıfını aşağıdaki simgelerden birisiyle göstereceğiz. x, [x], [x] δ Denklik sınıfını simgesel olarak da tanımlayabiliriz: x = [x] = [x] δ = {y (x, y) δ} (1.5) = {y xδy} (1.6) Aşağıdaki teorem, uygulamalarda önemli rol oynar. Theorem 1.4. (a) Boş olmayan A kümesi üzerinde tanımlı δ denklik bağıntısının denklik sınıfları A kümesinin bir ayrışımını oluşturur.

denklik bağintilari 7 (b) Tersine olarak, A kümesinin bir ayrışımını kendi denklik sınıfları olarak kabul eden bir δ denklik bağıntısı vardır. Kanit: (a): δ nın denklik sınıfları ailesinin (??) tanımındaki (i), (ii), (iii) ve (iv) ayrışım koşullarını sağlandığını göstermeliyiz. δ nın herhangi bir [x] denklik sınıfı için, hiç değilse, x [x] olduğundan [x] = sonucu çıkar. Ayrıca A = x A [x] eşitliği apaçıktır. Böylece (ii) ve (iv) koşulları sağlanır. (iii) özeliğini göstermek için herhangi iki [x] ve [y] denklik sınıflarını alalalım. [x] = [y] ya da [x] [y] = olduğunu göstermeliyiz. Olmayana ergi yöntemini kullanacağız. olacaktır. Şimdi olacağını gösterelim. u [x] [y] uδx uδy xδu uδy xδy w(w [x]) w [y] [x] [y] w [x] wδx dir. Ayrıca xδy olduğunu biliyoruz. Buradan şu sonuç görülür: b(b [x]) (bδx xδy) bδy b [y] [x] [y] Benzer yolla [x] [y] olduğu da gösterilebilir. Dolayısıyla, arakesitleri boş olmayan [x], [y] denklik sınıflarının eşit olduğu ortaya çıkar. Bu sonuç, teoremin (a) kısmını kanıtlar. (b): P kümesinin herhangi bir P = {P i i I} ayrışımı verilmiş olsun, Ayrışım tanımına göre [(i, j I) (i = j)] [P i P j = ] olur. x P x P i olacak şekilde bir tek i I vardır. Buna göre, P üzerinde xηy = [ i(i I) x, y P i ] (1.7) bağıntısını tanımlayalım, η nın bir denklik bağıntısı olduğu ve η nın denklik sınıflarının {P i i I} ailesinden ibaret olduğu kolayca görülebilir. Teorem 1.4 den şu sonuçları çıkarabiliriz: 1. A kümesinin her öğesi, bir ve yalnızca bir denklik sınıfına aittir. Denklik sınıflarının birleşimi A kümesine eşittir: A = {a a A}

8 calculus 2. İki denklik sınıfı ya birbirlerine eşittir ya da ayrıktırlar: x, y A [(x = y) (x y = )]. 1.4 Bölüm Kümesi 6 Tanım 1.5. A kümesi üzerindeki δ denklik bağıntısının bütün denklik sınıflarından oluşan aileye, A kümesinin δ ya göre bölüm kümesi denir. 6bölüm Bölüm kümesi A/δ simgesiyle gösterilir: Örnekler A/δ = {[x], [y], [z],...} = {[x] : x A} (1.8) 1. Boş olmayan bir küme üzerindeki eşitlik bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. X boş olmayan bir küme olsun. Bunun üzerinde, (=) = {(x, y) x = y } bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu kanıtlamak için, eşitliğin Tanım 1.1 koşullarını sağladığını göstermeliyiz. yansıma: Her öğe kendisine eşittir, belitinden x X x = x çıkar. O halde = bağıntısı yansımalıdır. simetri: Eşitliğin ikinci ve üçüncü belitlerinden x yerine y ve y yerine x koyabiliriz. Öyleyse, (x, y X) ve x = y ise y = x yazılabilir. Buradan = bağıntısının simetrik olduğu sonucuna varılır. geçişim: Gene, eşitliğin ikinci ve üçüncü belitlerinden (x, y, z X) için x = y ve y = z ise x = z yazılabilir. Buradan = bağıntısının geçişimli olduğu sonucuna varılır. O halde, eşitlik bağıntısı bir denklik bağıntısıdır. x öğesinin = bağıntısına göre denklik sınıfı, yalnızca kendisinden oluşur: x = {x} dir. 2. Düzlemdeki doğrular kümesi üzerinde, "diklik" ( ) bağıntısının bir denklik bağıntısı olmadığını gösteriniz. Çözüm: Denklik bağıntısı yansıma ve geçişim özeliklerini sağlamaz. Gerçekten, hiç bir doğru kendisine dik değildir. O halde diklik bağıntısının yansıma özeliği yoktur.(problemin çözümü için bu kadarı yeter. Ama istersek, geçişim özeliğinin de sağlanmadığını kolayca görebiliriz.) Düzlem geometriden iyi bilindiği

denklik bağintilari 9 gibi, d doğrusu e doğrusuna dik ve e doğrusu f doğrusuna dik ise d doğrusu ile f doğrusu birbirlerine paralel olur. (d e) (e f ) (d f ) Dolayısıyla, diklik bağıntısı geçişimli değildir. 3. Düzlemdeki doğrular üzerinde tanımlanan paralellik bağıntısının denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. Çözüm: Düzlemdeki bütün doğruların kümesini D ile gösterelim. D üzerinde paralellik bağıntısını δ ile, düzlemde d ile e doğrularının birbirlerine paralel oluşunu d e simgesiyle gösterelim. δ = {(d, e) (d, e D) (d e)} yazabiliriz. δ nın bir denklik bağıntısı olduğunu görmek için, yansıma, simetri ve geçişim özeliklerine sahip olduğunu göstermeliyiz. yansıma: Her doğru kendisine paralel olduğundan, d D d d olur. O halde paralellik bağıntısı yansıma özeliğine sahiptir. simetri: Sentetik geometriden bilindiği üzere (d e) (e d) olduğundan, paralellik bağıntısı simetriktir. geçişim: Gene, sentetik geometriden bilindiği üzere, [(d e) (e f )] (d f ) olduğundan, paralellik bağıntısı geçişimlidir. Düzlemde birbirlerine paralel olan doğrular, aynı denklik sınıfı içindedirler. Paralel doğruların doğrultuları aynıdır. Düzlemde, sonsuz doğrultu olduğu için, paralellik bağıntısının denklik sınıfları sonsuz çokluktadır. 4. Denklik bağıntısının tersi de denklik bağıntısıdır. Kanıtlayınız. Çözüm: Boş olmayan bir X kümesi üzerinde, δ bir denklik bağıntısı ise, δ yansımalı, simetrik ve geçişimlidir. Şimdi, bunun tersi olan δ 1 = {(x, y) (y, x) δ}

10 calculus bağıntısının da aynı özelikleri sağladığını göstermeliyiz. a A (a, a) δ (a, a) δ 1 (δ 1 yansımalıdır) (a, b) δ 1 (b, a) δ (δ 1 in tanımından) (a, b) δ (δ simetrik olduğundan) (b, a) δ 1 (δ 1 in tanımından) (δ 1 simetriktir) ( (a, b) δ 1) ( (b, c) δ 1) ((b, a) δ) ((c, b) δ) ((c, b) δ) ((b, a) δ) (c, a) δ (a, c) δ 1 (δ 1 geçişimlidir) 5. İki kesrin eşitliği bağıntısı denklik bağıntısıdır. Kanıtlayınız. Çözüm: İki kesrin eşitliği ( m n s t ) = (mt = ns) bağıntısı ile tanımlanır. Buradaki bağıntısının yansımalı, simetrik ve geçişimli olduğunu göstermeliyiz. yansıma: ( m n m n ) = (mn = mn) olduğundan bağıntısı yansımalıdır. simetri: ( m n s ) ( s = (mt = ns) = (ns = mt) = t t m ) n olduğundan, bağıntısı simetriktir. geçişim: ( m n s ) ( s t ) t p ) q olduğundan, bağıntısı geçişimlidir. = (mt = ns) (sq = tp) = (mq = np) ( m = n p ) q

denklik bağintilari 11 6. Tamsayılar kümesi üzerinde, denklik sınıfları 0 = {..., 8, 6, 4, 2, 0,, 2, 4, 6, 8,...} 1 = {..., 9, 7, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 7, 9...} olan denklik bağıntısını bulunuz. Çözüm: Birinci sınıf çift sayılardan, ikinci sınıf tek sayılardan oluşuyor. Bu iki kümenin ortak özeliği, her birinde iki sayının farkının çift olmasıdır. Gerçekten, tamsayılar kümesi üzerinde "farkları çift olanlar eşleşir" bağıntısını kurarsak, bunun bir denklik bağıntısı olduğunu gösterebiliriz. Tamsayılar kümesini Z ile gösterelim ve Z üzerinde, δ = {(p, q) (p q) çifttir} bağıntısını tanımlayalım. δ nın yansımalı, simetrik ve geçişimli olduğunu gösterelim. yansıma: q Z q q = 0 çifttir. O halde, δ yansımalıdır. simetri: (p, q Z) (p q) çift ise (q p) de çift olacağından, δ simetriktir. geçişim: (p, q, r Z) için(p q) çift ve (q r) çift ise (p r) = (p q) + (q r) de çift olacağından, δ geçişimlidir. {(p, q) δ = p q = çift} olabilmesi için, p, q tamsayılarının her ikisi de aynı zamanda ya çift ya da tek olmalıdır. Öyleyse, δ bağıntısına göre tek sayılar birbirlerine denk; çift sayılar birbirlerine denktir. Bir tek sayı ile bir çift sayı aynı denklik sınıfında olamazlar. Öyleyse, δ ya göre, yalnızca iki denklik sınıfı vardır: 0 ve 1 1.5 Alıştırmalar 7 1. A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesi üzerinde (a, b) = (c, d) = (a + b = c + d) bağıntısı bir denklik bağıntısı mıdır? 7 alıştırmalar 2. Kardeşlik bağıntısı bir denklik bağıntısı mıdır? Neden? 3. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} kümesinde tanımlı, δ = {(x, y) : 4 (x y)} bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz ve denklik sınıflarını bulunuz.

12 calculus 4. Tamsayılar kümesi üzerinde (m, n) δ = 3 (m n) bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. Denklik sınıflarını yazınız. 5. Düzlemdeki üçgenler kümesi üzerinde benzerlik bağıntısının bir denklik bağıntısı olduğunu gösteriniz. 6. Sınıftaki öğrenciler arasında "arkadaşlık" bağıntısı bir denklik bağıntısı mıdır? Neden? 7. Aynı bir küme üzerinde tanımlı iki denklik bağıntısının arakesiti de bir denklik bağıtısı mıdır? Neden?

Bibliography

0130 bibliography 15