uyruk Teorisi Ders Notları: Bazı uyruk Modelleri Mehmet YILMAZ mehmetyilmaz@akara.edu.tr 10 ASIM 2017
11. HAFTA 6 Çok kaallı, solu N kapasiteli, kuyruk sistemi M/M//N/ Birimleri sisteme gelişleri arasıdaki geçe sürei 1/λ ortalamalı, birimleri hizmet sürelerii ise 1/µ ortalamalı üstel dağılıma sahip olduğu düşüülmektedir. Bu kuyruk sistemide servis kaalı olup, kapasitei N gibi solu birim ile sıırladırıldığı, birimleri kayağıı da sosuz olduğu düşüülmektedir. Bu tür kapasiteli sistemlerde, N +1. veya daha soraki birimler sistemde hizmet görmede ayrılırlar. Böyle bir sıra bekleme sistemii "t" aıda gözlediğimizi düşüelim."t" zamaıda, bu sistemde > 0 sayıda birim müşteri) buluması olasılığı P t) ile ilgileeceğiz. Buu içi M/M/1/ / sistemii taıtırke elde edile eşitlik 7) yi kullaacağız. Sistemde birim olması olayı, aşağıdaki 4 durum ile açıklaabilir: 1. 0 durumu 0 λp 0 + µp 1 P 1 P 0 59) 2. [1, 1 durumu 0 λ + µ)p + λp 1 + + 1)µP +1 60) 3. [, N 1 durumu 0 λ + µ)p + λp 1 + µp +1 61) 95
4. N durumu 0 µp N + λp N 1 62) Şimdi, 59), 60) ve 61) deklemleri dikkate alıırsa, yielemeli adımlar ile P! P 0, 0, 1, 2,, 63) ifadesi elde edilir. 61) ve 62) deklemleride ise P! P 0, + 1, + 2,, N 64) elde edilir. Şimdi P 0 ifadesii e olduğuu bulalım; P 1 olduğu düşücesi ile, 1 P + [ 1 P [ 1 [ 1 P 0! + N! + N!! + 1! [ 1 [ 1 P 0! ) ) N +1 1! + 1! 1 ) N +1 1 1! +! 65) biçimide elde edilir. **NOT: Bu kuyruk sistemide 1 olabilir. Artık, M/M//N/ sistemii karakteristiklerii bulabiliriz. 96
6.1 M/M//N/ sistemi içi kuyrukta olması beklee birim sayısı Bu sistemde kuyruk oluşabilmesi içi bir birimi hizmet alırke, sisteme giriş yapa birimleri belirli bir düzeek ile dizilmeleri gerekir, yai +1 durumuda sistemde kuyruk oluşur. Bua göre, L q +1 P 0 +1! P 0 +1! P 0 +1! ) P 0 )! )P P 0! +1 N ) 1 P 0 +1 d N r )! dr r ) r r N +1 d 1 r dr r 1 N + 1)r N + N )r N +1 ) 1 r) 2 r P 0 +1 )N 1 N + 1) + N ) ) 2 1)! [ P ) ) 2 1 + P N N ) N + 1) N ) ) N +1) 66) eşitliği elde edilir. 97
6.2 M/M//N/ sistemi içi serviste olması beklee birim sayısı Bu sistemde, 1 durumuda sistemde hep birim hizmet görüyor olacaktır. > durumuda ise birim hizmet görüyor olacaktır. Bua göre, L servis P + P +1 [ [! + N +1 1)! +! 1 [! +! 1 [! + +1! 1 [! + +1! N! +1 ) 1 ) ) N 1 ) N + ) N +1 ) ) N +1 1 [ 1 ) ) ) N +1! + +1 +1 ) N 1!! [ 1 P 0! + 1 ) ) N +1 N P 0 1)! }{{}}! {{ N } P 1 N 67) [1 P N şeklide elde edilir. 98
6.3 M/M//N/ sistemi içi sistemde olması beklee birim sayısı Bu sistemde 0, 1, 2, N durumu göz öüe alıarak bir beklee değer buluacaktır. L P + P +1 [! +! [ +1 1)! +! 1 [! +! N +1 1 [! + N! 1 [ 1 [ + +1 1)! [ 1 P 0 [ 1 P 0 + ) ) ) N + )!! + +1 N ) 1 +1 1 ) ) N +! 1)! ) N +1 1 N + 1)! + + N ) ) 2 1)! 1 ) ) N! + 1 + N + 1) ) N +1) ) N ) N +1) + N ) ) 2 1)!! + 1 ) ) N +1 +P 0 1)! ) 2 1)! }{{} 1 ) N N ) + 1) N ) P 0 ) 2! [ P N + 1) N ) ) P N ) 2 68) 99
Ayı souca, kuyrukta olması beklee birim sayısı ile serviste olması beklee birim sayısıı toplamıı elde ederek ulaşabiliriz: L L q + L servis [ ) L P ) 2 1 + P N N ) N + 1) + [1 P N 6.4 M/M//N/ sistemi içi birim başıa kuyrukta geçe beklee süre Sistem dolu olduğuda, yai sistemde N birim olduğuda, hizmet içi gele birimler geri dömektedir. Dolayısı ile, λ hızı kadar geliş olsa da etki olarak hizmet alamayaları dikkate almamak gerekir. Geliş hızıı sistemi boş kalması olasılığı ile çarparsak etkili geliş hızıı elde edebiliriz: λ eff λ1 P N ). Bu durumda, λ λ eff farkı hizmeti almada geri döe ortalama birim sayısıdır. Little kauu, kararlı bir sistemde kuyrukta veya sistemde ola ortalama birim sayısı ile kuyrukta veya sistemde birim başıa beklee süre arasıda bir ilişki olduğuu söyler. Bu ilişki şöyle taımlaır: W q L q λ eff 1 [ ) [ P 1 + P N N ) N + 1) 69) µ ) 2 1 PN 100
6.5 M/M//N/ sistemi içi birim başıa serviste geçe beklee süre Little kaularıa göre birim başıa serviste geçe ortalama süre W servis L servis λ eff [1 P N λ [1 P N 1 µ 70) şeklide elde edilir. 6.6 M/M//N/ sistemi içi birim başıa sistemde geçe beklee süre Bezer biçimde, Little kaularıa göre birim başıa sistemde geçe ortalama süre W L λ eff L λ eff 1 [ ) [ P 1 + P N N ) N + 1) + 1 µ ) 2 1 PN µ [ P ) 1 + ) 2 + P N N + ) N + 1) 1 µ ) 2 [ 1 PN 71) Öte yada, L L q + L servis olduğu hatırlaırsa, W W q + W servis eşitliği elde edilir. ararlı sistemler içi 0, t gibi bir zama aralığıda, sisteme giriş yapa ortalama birim sayısı ile sistemde hizmet alıp çıkış yapa ortalama birim sayısıı degede olduğu bilimektedir doğum-ölüm süreçleri gibi). A rastgele değişkei ile sisteme 0, t zama aralığıda giriş yapa birimleri sayısıı, D rastgele değişkei ile sistemde 0, t zama 101
aralığıda hizmet alıp çıka birimleri sayısıı gösterelim. Bu durumda, ve E[A λt [P 0 + P 1 + P 2 + + P N 2 + P N 1 }{{} 1 P N E[D µt [1P 1 + 2P 2 + 3P 3 + + 1)P 1 + P + P +1 + P +2 + + P N }{{} L servis biçimide elde edilirler. Dege durumu göz öüe alıırsa E[A E[D L servis λ eff µ eff [1 P N serviste olması beklee birim sayısı elde edilebilir. Örek 6.1. Bir masaj saloua saatte 5 müşteri gelmektedir. Bu saloda 3 ayrı masöz görevlerii icra etmektedirler. Ortalama hizmet süresi 25 dakika sürmektedir ve bekleme salouda ise 3 koltuk vardır. Gele müşteri salodaki koltuklar dolu ise beklemeyip gitmektedirler. Bua göre, a) Sistemdeki saatlik ortalama müşteri sayısıı buluuz. b) uyrukta bekleye ortalama müşteri sayısıı buluuz. c) uyrukta geçe ortalama süreyi buluuz d) Sistemdeki bir müşterii harcadığı ortalama zamaı hesaplayıız. e) Bir saatlik zama dilimi içeriside hizmet göremeye ortalama müşteri sayısıı buluuz. f) E fazla iki masözü boş kalması olasılığıı hesaplayıız. g) Herhagi bir müşterii hizmet görememesi olasılığıı hesaplayıız. 102
Çözüm: M/M/3N 6 kapasiteli sistemdir. a) λ µ 5 60 25 P 0 1 25 1 + 25 +! + 1! ) 2 25 + 2 ) N +1 1 ) 1 5 25 3! ) 3 1 25 36 1 25 36 1 + + 2 2 + 3 3! ) 6 3+1 1 ) 0.11 1 3 ) 6 3+1 1 ) 1 3 L q 6 3+1 0.11 6 3)P P 0 3 25 3! 6 3+1 ) 3 2.6636 0.4416 3) 3 ) 3 0.11 6 ) [ 25 3 ) 25 25 2 36 + 2 + 3 36 25 36 ) 3 L servis λ µ [1 P N 5 [1 P 6 5 [ 1 P06 3! 3 3 5 0.9445 /5 1.97 5 5 [ 1 0.11 2 5 ) 25 ) 6 3 4 L L q + L servis 0.4416 + 1.97 2.41 b) L q 0.4416 c) W q L q 0.4416 0.0935 saat veya 5.61 dakika λ eff 5 0.9445 d) W 5.61 + 25 30.61 103
e) λ λ eff λp 6 5 5 0.9445 0.2775 f) P 1 + P 2 + P 3 + 2 0.6337 2 + 3 3! ) ) [ 25 0.11 1 + 25 24 + 625 6 2 0.11 25 2389 1728 6 g) P 6 N N! P 0 25/)6 0.11 0.0555 3 3 3! 104