OPİMAL HİSSE SENELERİNİN BELİRLENMESİNDE BULANIK DOĞRUSAL OLMAYAN PORFÖY MODELİ Oza KOCADAĞLI Mimar Sia Güzel Saatlar Üiversitesi İstatistik Bölümü, Çırağa Cad. Çiğdem Sok. No. 34349 Beşiktaş, İSANBUL el: (22) 236 69 36 / 62 ozakocadagli@msu.edu.tr Nala CİNEMRE Mimar Sia Güzel Saatlar Üiversitesi, İstatistik Bölümü, Çırağa Cad. Çiğdem Sok. No. 34349 Beşiktaş, İSANBUL el: (22) 236 69 36 / 62 ciemre@msu.edu.tr ÖZE Bu çalışmada, İMKB3 daki hisse seetleri içi oluşturula model Bulaık Matematiksel Programlama yaklaşımıyla çözümleerek, hisse seetlerii yatırım payları belirlemiştir. Buu içi, başlagıçta Koo - Yamazaki tarafıda öerile determiistik portföy modeli temel alımış ve ilk olarak bu modeli beklee getiri kısıtı bulaıklaştırılarak bulaık kayaklı doğrusal olmaya programlama modeli elde edilmiştir. Daha sora oluşturula model yardımıyla amaç foksiyo bulaıklaştırılarak, bulaık amaç ve kayaklı doğrusal olmaya bir portföy modeli oluşturulmuştur. Aahtar kelimeler: Bulaık matematiksel programlama; bulaık amaç ve kayaklı lieer olmaya programlama; portföy optimizasyou; Koo - Yamazaki portföy modeli; İMKB3. GİRİŞ Getirii beklee düzeyde farklı olmasıa fias dalıda risk deir. Bir fiasal varlığı getirisii belirlemesi soru yaratmazke, riskii değerledirilmesi her biri farklı bir şekilde taımlaa ve yorumlaa toplam riski bileşelerii oluşturula sistematik ve sistematik olmaya riski ölçülmesii gerektirir (Cabaş ve diğerleri, 2). Birde fazla fiasal varlığa yatırım yapıldığıda, yatırımı beklee kazacı fiasal varlıkları beklee kazaçlarıı toplamıa eşittir. Acak portföyü riski, fiasal varlıkları getirileri arasıdaki kovaryasa bağımlı olarak, fiasal varlıkları risklerii ağırlıklı ortalamasıda farklı olabilmektedir. Markowitz e göre tek bir varlığı ya da bir portföyü etki olabilmesi içi, ayı risk düzeyide başka hiç bir varlığı ya da portföyü daha yüksek getiri sağlamaması veya ayı getiri düzeyide hiç bir varlığı ya da portföyü daha düşük riske sahip olmaması gerekir (Fracis, 99). Geçmiş döem verilerii kullaarak, geleceği tahmi etme ilkesie dayaa regresyo aalizi ve tred aalizi gibi tekikler, geçmiş döem verilerii istikrarsız olmasıı yaıda bu verileri birçok makro (sistematik) ve mikro (sistematik olmaya) faktörü etkisi altıda olmalarıda ve bu faktörleri tam olarak modele yasıtılamamasıda dolayı eleştiri almaktadır. Bu edele, tek bir mekul kıymet yerie, portföy oluşturularak portföyde yer ala her mekul kıymeti sahip olduğu riskler toplamıda daha küçük bir risk elde edilmesi daha gerçekçi bir yaklaşımdır. Acak, bilgii açık veya kesi olmamasıda kayaklaa belirsizlik durumlarıda, determiistik matematiksel modeller yetersiz kalabilirler. Bu tür durumlarda, olasılık teorisi üstü bir yaklaşım gibi görüse de tüm belirsizlikler rasgeleliği beklee özelliklerii taşımaz (Ross, 997). Ayrıca, aalizleri maliyeti ve/veya yapılma süresi gibi kısıtlar göz öüde buludurulursa, karar alıcı bir olayı rasgeleliğii ifade etmek içi tekrar tekrar deeyleri gözleme lüksüe de sahip değildir (Masur, 995). Bulaık Kümeler eorisi, belirsizlik kayağı sııf üyeliklerii tam olarak belirleememesi ola
durumlarda sözel ve sayısal bilgiyi kullaarak isa aklıa e yakı modeli kurulmasıa imka vermektedir. Bu edele, karar vericiler kesi katsayı ve kayaklara sahip doğrusal veya doğrusal olmaya bir modeli katsayılarıı ve/veya kayaklarıı tümüü veya bir kısmıı bulaık/kesi olmaya olarak ele alabilir... Koo Yamazaki doğrusal programlama modeli Hiroshi Koo ve Hiroaki Yamazaki, portföy optimizasyou içi aşağıdaki modeli geliştirmişlerdir (Koo ve diğerleri, 99): Amaç foksiyou: Mi Z = y t / Kısıtlar: yt atjxj, yt + atjxj t =, 2,, rx j j ρm, xj = M, xj uj, yt j =, 2,, (.) Burada, = İcelee döem sayısı, t = döem içideki herhagi bir t. döem, ρ = Beklee getiri oraı, r j = j. hisse seedii döemdeki beklee getiri oraı, seedi t. döemde gerçekleşe getiri oraı, payı, u j = j. seede yapıla yatırımı üst sıırı, M = oplam yatırım miktarı, r t j. x j. hisse seedii toplam yatırım içideki y t = Yardımcı değişke olmak üzere atj = rtj rj, j. hisse seedii t. döemde gerçekleşe getiri oraı ve döemdeki beklee getiri oraı (ortalama getiri) arasıdaki farktır. Bu fark, ortalamada sapmadır ve riski ifade eder. Modeldeki amaç foksiyou ise beklee getiride sapma olarak ifade edile riski miimize etmek içi kullaılmaktadır..2. Bulaık matematiksel programlama yaklaşımı Koo Yamazaki portföy modeli, beklee bir getiri seviyeside ortalama getiriside ( j r ) sapması e küçük hisse seetlerii belirleme de etki bir yötemdir ve sadece belirli bir getiri seviyesideki aı fotoğraflamaktadır. Acak bu model, karar vericilere farklı getiri ve risk kombiasyolarıda asıl bir portföy oluşturulması gerekliliği hakkıda bir bilgi vermemektedir. Riske karşı kayıtsız yatırımcılar riskle pek ilgilemeyip yatırım kararlarıı sadece beklee getiriye göre aldıklarıda bu tür yatırımlar içi Koo Yamazaki portföy modeli farklı getiri seviyeleride çözülerek de souca gidebilir. Acak, riskte kaça ve riski seve yatırımcılar içi risk ve getiri arasıda bir tercih söz kousudur. Öreği, beklee getirideki artıma bağlı olarak katlaılabilecek risk düzeyide daha yüksek bir risk alıabilir veya çok düşük bir riskle makul bir getiri bekleebilir. Görüldüğü gibi getiri ve risk faktörlerii, yatırımcılar tarafıda kesi ve doğru bir şekilde değerledirilememesi bekleir. Bu edele, bu çalışmada getiri ve riski bulaık olduğu göz öüde buludurularak, getiri ve risk içi oluşturula üyelik foksiyoları ve bulaık matematiksel programlamada kullaıla yaklaşımlar yardımıyla maksimum getiri ve miimum risk altıda etki bir portföy oluşturulmaya çalışılmıştır. Koo Yamazaki modelideki 3. eşitsizliği sağ taraf sabiti ola beklee getiri oraıı ( ρ ) bulaık olduğu göz öüe alıırsa, Koo Yamazaki DP modeli, bulaık kayaklı bir
modele döüşür. Beklee getirii artması yatırımcıları memuiyetii arttıracağıda beklee getirii üyelik foksiyou, Zimmerma ve Zyso u uzaklık foksiyouda esileerek aşağıdaki gibi tasarlamıştır: μ ρ (x) = / + exp(- [ rj xj ) (.2) Böylece, Koo - Yamazaki i beklee getiri kısıtıı bulaık biçimi aşağıdaki gibi ifade edilebilir: rx j j ρm (.3) Verdegay a göre bulaık kayaklı modeller aşağıdaki modele dektir (Lai ve diğerleri, 992): Mi Z x X α (.4) Burada X α, α [, ] olmak üzere α - kesim kümesidir: X α = {x i, μi α, x } (.5) Beklee getirii üyelik foksiyou Verdegay ı modelide yerie koulursa, / + exp( - μ ρ (x) α [ rj xj ) α (.6) olmak üzere, bulaık kayaklı model beklee getiri kısıtıda dolayı parametrik modele döüşür. Bu model α [, ] olmak üzere beklee getirii α memuiyet seviyeleri göz öüe alıarak çözülebilir ve belirli bir α memuiyet seviyeside hagi hisse seetlerie e kadar orada yatırım yapılması gerektiği buluabilir. Acak, kouu başıda bahsedildiği gibi amacımız çeşitli getiri ve risk kombiasyoları arasıda bir optimum çözüme ulaşmak olduğuda, bu model amacımız içi yeterli değildir. Werer, bulaık kayaklar ve bulaık eşitsizlik kısıtlarıda dolayı (.4) ile açıklaa modeli amaç foksiyouu da bulaık olabileceğii ileri sürmüştür. Buu içi ilk olarak, (.4) modeli α = ve α = (ya da sırasıyla e küçük ve e büyük α *) içi çözülerek miimize edile amaç foksiyou değeri olarak sırasıyla Z ve Z elde edilir. Modeldeki beklee getiri değeri artırıldığıda risk değerleri de artacağıda Z > Z olur. Yatırımcılar riske karşı duyarlı olduğuda, risk arttığıda memuiyet azalacaktır. Buu içi amaç foksiyouu üyelik foksiyou, Z ve Z değerlerii kullaılmasıyla doğrusal olmaya mooto azala bir üyelik foksiyou olarak tasarlamıştır:
μ Z (x) = 2 /+ csbt exp[(z Z )] ], Z Z Z (.8) Beklee getirii üyelik foksiyou ( μ ρ ) ve amacı üyelik foksiyouu ( μ Z (x)) yardımıyla optimal bir çözüm elde etmek içi Bellma ve Zadeh i - mi operatörü kullaılabilir. Şöyle ki, x α, α = mi[ μ Z (x), μ ρ (x)] olmak üzere, - mi operatörüü kullaılmasıyla problem çok amaçlı optimizasyo problemie döüşür (Wag, 997): mi x [ μ Z (x), μ ρ (x)] (.9) (.9) ifadesi de aşağıdaki probleme dektir (Lai ve diğerleri, 992). Maks. α μ Z (x) μ ρ (x) α, α [,], x (.) Üyelik foksiyolarıı (.) da yerie koulmasıyla, aşağıdaki bulaık amaç ve kayaklı doğrusal olmaya programlama modeli elde edilir: Maks. α 2 / exp [( c sbt *[ y t / Z ] α, Z y t / Z yt atjxj, yt + atjxj t =, 2,, / + exp( - [ rj xj ) α, 2. UYGULAMA xj = M, xj uj, yt (.) Bu çalışmada, İMKB3 da Nisa 28 de işlem göre 3 hisse seedii 42 seasdaki kapaış değerleri kullaılarak, bulaık doğrusal olmaya matematiksel programlama yaklaşımıyla optimal portföy oluşturulmaya çalışılmıştır. Buu içi ilk olarak hisse seetlerii artış yüzdeleri bulumuş ve her bir hisse seedii beklee getirisi hesaplamıştır. (.2) daki üyelik foksiyou içi beklee getiri oraı olarak hisse seetlerii e yüksek getiri oralarıı ortalaması ( ρ = 4.8 %) ve beklee getiriler içi e yüksek getiriler ( r j ) göz öüde buludurularak beklee getirii üyelik foksiyou elde edilmiştir. (.6) eşitsizliği içide sırasıyla α = ve α = alıarak miimize edile risk değerleri Z =.28 ve Z =.6 bulumuştur. Bu değerler (.8) deki foksiyoa koularak ve c sbt = alıarak amaç foksiyoa ait üyelik foksiyou elde edilmiştir. Gerekli değerler (.) deki modelde yerie koularak optimal α * =,58 seviyesi içi aşağıdaki souçlar elde edilmiştir (ablo ):
ablo. Hisse Seetleri ve yatırım payları AKBNK AKGR ARCLK ASYAB AYGAZ DOHOL DYHOL EREGL GARAN HALKB 5 5 2 5 5 4 6 HURGZ IHLAS ISCR ISGYO KCHOL KRDMD MIGRS PEKM POFS SAHOL 3 2 4 2 5 2 SISE SKBNK CELL HYAO KFEN SKB UPRS ULKER VAKBN YKBNK 4 8 5 3 2 3 2 KAYNAKÇA Cabaş, S., Doğukalı, H., 2. Fiasal Pazarlar, Fiasal Kurumlar ve Sermaye Pazarı Aalizleri, Beta, İstabul, 287-288. Fracis, J. C., 99. Ivestmets, McGraw-Hill Iteratioal Editios, New York, 239. Koo, H., Yamazaki, H., 99. Mea-Absolute Deviatio Portfolio Optimizatio Model ad Its Applicatios to okyo Stock Market, Maagemet Sciece 37, 5, 59-53. Korkmaz,., Pekkaya, M., 25. Excel Uygulamalı Fias Matematiği, Eki Kitabevi, Bursa, 523. Lai, Y. J. ad Hwag C. L., 992. Fuzzy Mathematical Programmig, Sipreger-Verlag, Berli, 8-88. Masur, Y. M., 995. Fuzzy Sets ad Ecoomics, Edvard Elgar Publishig Compay, Oklahoma, 2. Masse, P., 968. Le Choix Des Ivestisemets, Duod, Paris,. Reilly, K. F., 989. Ivestmet Aalysis ad Portfolio Maagamet, he Dryde Pres, Chicago, 256. Ross,. J., 997. Fuzy Logic with Egieerig Applicatios, McGraw-Hill, ic., Sigapore, 4. Wag, L. X., 997. A Course i Fuzzy-Systems ad Cotrol, Pretice-Hall ic, Eastboure, 384-385.