İMO Teni Dergi, 547-5485, Yazı 353 Aarsu Aımlarında Volailienin Non-Lineer Varyans Modelleri ile İncelenmesi: Köprüçay Nehri Örneği * Veysel GÜLDAL* Haan TONGAL** ÖZ Aarsu aım serilerinin, varyansın sabi abul edildiği lasi zaman serisi modelleriyle (Ooregresif Hareeli Oralama - ARMA) modellenmesinde sürecin oralama davranışına odalanılmaa ve varyans değişenliğine dayalı non-lineer eiler göz ardı edilmeedir. Durağan olmayan varyans değişiliğine dayalı bu eilerin (volailie) Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (ARCH) ipi modeller ve bu modellerin genişleilmiş hali olan Genelleşirilmiş Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (GARCH) modelleri ile incelenmesinde ve ahmini su aynaları yöneimindei ris ve belirsizli içeren hidroloji süreçlerde önem azanmaadır. Bu çalışmada, il önce Köprüçay Nehri ne ai günlü ve yıllı aım serilerinin oralama davranışları lineer zaman serisi modelleri (AR, MA, ARMA) ile emsil edilere en uygun modeller seçilmiş, daha sonra bu modellerden elde edilen alınılar üzerinde volailienin varlığı Engle Lagrange Muliplier (LM) esi ile araşırılara oşullu değişen varyans modelleri (ARCH-GARCH) urulmuşur. Günlü aım verilerinde en iyi modelin ARMA(,)-GARCH(,3) olduğu, yıllı aım serisinde ise volailienin olmadığı görülmüşür. Günlü aım serilerindei volailie ümelenmesi, oşullu değişen sandar sapma ve varyans grafileriyle oraya onulmuşur. Bu çalışma, zamanla değişen varyans aynalı non-lineer eilerin aım değişenliğine eisini oraya oymaa olup aım süreçlerinin isaisisel modellenmesine bir aı sağlayacaır. Anahar Kelimeler: Volailie, ooregresif oşullu değişen varyans (ARCH), genelleşirilmiş ooregresif oşullu değişen varyans (GARCH), lagrange muliplier esi, Köprüçay Nehri. ABSTRACT Invesigaion of he Volailiy in Sream Flow Time Series wih Nonlinear Variance Models: Case Sudy of Köprüçay River In sream flow series modeling by he convenional ime series models (AuoRegressive Moving Average - ARMA) under he assumpion of consan variance, he mean behavior No: Bu yazı - Yayın Kurulu na 5.3.9 günü ulaşmışır. - 3 Eylül gününe adar arışmaya açıır. * Süleyman Demirel Üniversiesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Ispara - veyselguldal@sdu.edu.r ** Süleyman Demirel Üniversiesi, İnşaa Mühendisliği Bölümü, Ispara - haanongal@sdu.edu.r
Aarsu Aımlarında Volailienin Non-Lineer Varyans Modelleri ile İncelenmesi: of he process is focused on and he non-linear effecs based on variance behavior are negleced. Modeling of his nonlinear phenomenon wih variance behavior and waer resource managemen of hydrological processes which involve ris and uncerainy gains imporance. This is rue for modeling wih AuoRegressive Condiional Heerosedasiciy (ARCH) or wih is general form, Generalized AuoRegressive Condiional Heerosedasiciy (GARCH). In his sudy, he mean behavior of he daily and yearly sream flow series of he Köprüçay River is modeled wih he linear ime series models (AR, MA, ARMA) and he bes fi models are seleced. The volailiy presence is searched by using he Engle s Lagrange Muliplier (LM) Tes on he residuals from he linear models, and he condiional heerosedasic variance models (ARCH-GARCH) are developed. I is shown ha he ARCH effec in he daily sream flow series can bes be modeled wih ARMA(,)-GARCH(,3) and he volailiy does no exis in he yearly sream flow series. The volailiy clusering in daily sream flow series is shown wih he condiional sandard deviaion and variance graphs. I is expeced ha, his sudy can be a useful conribuion o he saisical modeling of sream flow processes. Keywords: Volailiy, auoregressive condiional heerosedasiciy (ARCH), generalized auoregressive condiional heerosedasiciy (GARCH), lagrange muliplier es, Köprüçay River.. GİRİŞ Klasi zaman serisi modellerinin (ARMA) ullanım olaylığı lineer modellerin zaman serisi analizlerinde ullanımını yaygınlaşırmışır. Anca herhangi bir doğrusal model, bilinmeyen dinami ilişileri maemaisel formüllerle emsil eme için sadece bir il adımdır. Bu nedenle, lineer orelâsyonun öesindei bağımlılı gibi doğrusal olmayan özellileri modelleme için non-lineer modellere ihiyaç vardır. Te değişenli soasi bir süreçe, varyanslar zamanla değişmiyorsa sürecin sabi varyansa sahip olduğu asi halde değişen varyanslı bir sürecin (volailie) olabileceği düşünülür. Bir hidroloji zaman serisiyle, modelleme ve ahmin amacıyla ilgilenildiğinde genellile serinin oralama davranışına [,, 3] ve nadiren de varyansların zamana bağımlılığına odalanılır [4, 5]. Su aynalarının yöneiminde ve aşın onrol yapılarında ris ve belirsizlilerin diae alınıyor olmasıyla birlie, zamanla değişen varyansların modellenmesine izin veren yeni zaman serisi meolarına ihiyaç duyulmaadır. Volailie ümelenmesinde büyü miarlı değişimleri büyü miarlı, üçü miarlı değişimleri de üçü miarlı değişimler aip eder. Bu olay durağan olmayan oşullu varyans (condiional heeroedasiciy) olara adlandırılır ve Engle [6] arafından önerilen Ooregresif Koşullu Değişen Varyans (ARCH) ipi modeller daha sonra Bollerslev [7] arafından genişleilmiş hali olan GARCH (Genelleşirilmiş ARCH) modelleri ile modellenebilir. Bu modeller, geçmiş varyansları ullanara gelece varyansları açılayan non-lineer birer meanizma olup gelece volailienin doğru ahminlerinde ullanılabilir. Özellile ARCH eisi gözlenen serilerin ısa dönemli ahminlerinde başarılı olması su aynaları yöneiminde ve aşın oruma yapılarının asarımında önem azanmaadır. Bununla beraber hidroloji araşırmalarda, büyü dalgalanmaların büyü dalgalanmalar, üçü dalgalanmaların üçü dalgalanmalar göserebildiği hidroloji zaman serilerinde olması muhemel ARCH eisinin es edilmesi ve modellenmesi onusu ço az ilgi görmüşür. 547
Veysel GÜLDAL, Haan TONGAL Bu çalışmada, Ora Adeniz Havzası nın önemli aarsularından biri olan Köprüçay Nehri ne ai günlü ve yıllı aımlarının soasi süreçleri incelenere, oralama davranışlarının lasi zaman serisi modelleriyle (ARMA) modellenmesi ve bu süreçlerdei zamana bağlı değişenliğinin (ARCH eisi) non-lineer zaman serisi modelleriyle (ARMA- ARCH ve ARMA-GARCH) anımlanması yapılmışır.. AKIM SERİLERİNDE VOLATİLİTENİN ARAŞTIRILMASI Genellile, aım serilerinde zamana bağlı oşullu varyans değişenliği araşırılmadan önce, gözlenmiş aım serileri, serinin oralama davranışını diae alan lineer zaman serisi modellerinden (AR, MA, ARMA) uygun olanı ile modellenir. Böylelile seri içindei lineer bağımlılığın oradan aldırıldığı ve gözlenen bağımlılığın bu modeller arafından yaalanamayan non-lineer meanizmadan aynalandığı abul edilir. Lieraürde, bu nonlineer bağımlılığın durağan olmayan oşullu varyansan aynalandığı düşünülere ARCH ve GARCH ipi zaman serisi modelleri [8] gelişirilmişir. Oralama davranışı lineer bir zaman serisi modeliyle emsil edilen bir hidroloji zaman serisinde, modelin gözlenmiş seriden çıarılmasıyla alını erimi (e ) (whie noise) elde edilir. ARCH modelinde e erimi ooorelasyonlu değil faa bağımlıdır [9]. Bu bağımlılı gecime değerlerinin basi bir iinci dereceden denlemi ile açılanabilir. ARCH modeli gecime sayısı (p) nin aldığı değer ile adlandırılmaadır (ARCH(), ARCH() vb). Genel bir ARCH modeli, e, () e... e p p şelinde ifade edilebilir. Burada, oralaması sıfır, varyansı bir olan normal dağılımlı bir haa erimidir. Koşullu varyans negaif olamaz, bundan dolayı p için, ve dır. Ayrıca ooregresif sürecin isirarı için p p, sıfır ile bir arasında değer almalıdır []. Örneğin p için ARCH(p) modelinin yapısı incelendiğinde, e, e ve () p e nin oşulsuz oralaması sıfırdır, çünü aşağıdai eşili geçerlidir. Ee ( ) E[ E( )] (3) e nin oşulsuz oralaması varyansı vereceğinden, Vare Ee E e Ee (4) ( ) ( ) ( ) ( ) 5473
Aarsu Aımlarında Volailienin Non-Lineer Varyans Modelleri ile İncelenmesi: ve Ee ( ) ile durağan bir süreç olduğu için ( ) ( ) ( ) Var e Var e E e Var( e ) Var( e ) Var( e ) (5) elde edilir. Volailienin değerlendirilmesi için urosis asayısı da incelenmelidir. 4 4 Ee ( ) 3 E( e ) 3E (6a) m 3 3 m 4 4 (6b) eşiliği elde edilir. Buradan hareele ii önemli çıarım elde edilir: () e nin dördüncü momeni poziif olduğundan in 3 oşulunu sağlamalıdır. Bir başa deyişle 4 Ee ( ) olmalıdır. () e nin oşulsuz urosisinin de; 3 3 3 [ Var( e )] 3 olduğu görülür [9]. Bir ARCH modeli uruluren gözlenen zaman serisindei herhangi bir doğrusal bağımlılığın yo edilmesi için bir zaman serisi modeli urulur ve ARCH eisinin mevcu olup olmadığının incelenmesi için modelin alınıları ullanılır. ARCH eisinin varlığını es eme için lieraürde sıça ullanılan ii yönem olup bunlardan biri alınıların arelerinin Mcleod ve Li arafından Ljung-Box [] esine dayalı olara gelişirilen Q- isaisiğidir [], diğeri de Engle [6] arafından gelişirilen Lagrange Muliplier (LM) esidir. Mcleod-Li esinin Ljung-Box Q-isaisiği, L rˆ ( e ) Q N( N ) (7) N şelinde olup, burada N gözlem sayısı, L diae alınan ooorelasyon sayısı, rˆ ( e) alını eriminin -gecimeli ooorelasyon değerlerinin aresidir. Burada, Q-isaisiği dağılımına sahipir. ( L) 5474
Veysel GÜLDAL, Haan TONGAL LM esi ARCH eisinin belirlenmesinde regrasyona dayalı bir yönemdir. N R olara anımlanan bu isaisie, N gözlem sayısı olup R, e ile -gecimeli e değerlerinin arasında regrasyondan hesaplanan belirlili asayısıdır (deerminaion of coefficien). Bollerslev [7], ARCH modelini genişleere hem daha fazla geçmiş bilgiye dayanan hem de daha esne bir gecime yapısına sahip olan Genelleşirilmiş ARCH (GARCH) modelini önermişir. Bu model, ARCH modeline alernaif olmaansa, bu modelin esililerini gidermeyi amaçlayan genelleşirilmiş halidir. GARCH modeli, e, p q (8) e i i j j i j oralaması sıfır, varyansı bir olan normal dağılıma sahip ve,, ve i j max( pq, ) ( ) ise e i j süreci GARCH modeline uyuyor demeir. GARCH, modelinin i oşulsuz oralaması, Var( e ) E( e ) max( pq, ) i i i (9) şelinde elde edilir. Burada, max( pq, ) i i, oşulu sağlanmalıdır. i 3. ARAŞTIRMA BULGULARI VE TARTIŞMA 3.. Havza ve Aım Verileri Çalışma alanı Türiye nin Baı Adeniz Bölgesi nde Ispara ve Analya il sınırları içerinde yer alan Yuarı Köprüçay Havzası dır. Köprüçay Havzası Eleri İşleri Eü İdaresi (E.İ.E) nin Müeferri Ora Adeniz Suları olara anımladığı bölgede yer almaadır. Havzada Asu Çayı ve Başa Deresi nin yanında irili ufalı birço dereler vardır. Bu ii büyü dere birleşere Köprüçay Nehri ni oluşurur. Bu nehir, sularının büyü bir ısmını Yuarı Köprüçay Havzası olara bilinen ve Ispara ili sınırları içerisinde alan (Eğirdir Gölünün doğusundan m olarından doğara güneye doğru çeşili yan ollar alara Adeniz e döülen) yalaşı 5m yağış alanından oplamaadır [3]. E.İ.E. arafından işleilmee olan 99 nolu Köprüçay Bolasan aım gözlem isasyonuna ai günlü ve yıllı verileri yeerli sılıa olduğundan model uygulamaları için seçilmişir. Çalışmada, günlü ve yıllı aımlar için lineer ve non-lineer modeller gelişirilere uygulamalar gerçeleşirilmişir. Yıllı verilerin modellenmesinde 684 aylı (94 997) 5475
Aarsu Aımlarında Volailienin Non-Lineer Varyans Modelleri ile İncelenmesi: aım verileri ullanılıren günlü verilerin modellenmesinde ise bu yıllar arasında süreli ayıları bulunan 6 yıllı (988 993) günlü debilerin oralaması ullanılmışır. 3.. Model Uygulamaları Aım verilerinin modellenmesinden önce verilerin belli bir periyoda ve belli bir rende veya sıçramaya sahip olup olmadığı araşırılmışır (Şeil ). Günlü ve yıllı verilerde belli bir periyodiliğe ve rende raslanmadığı açıça şeillerden görülmeedir. 4 Debi (m 3 /s) 8 6 4 5 5 5 3 35 Günler (a) 6 5 Debi (m 3 /s) 4 3 94 95 96 97 98 99 Yıl (b) Şeil. Aım verilerinin grafileri (a) Günlü (988 993) (b) Yıllı (94 997) Süreçlere ai momenler yönemine göre hesaplanan emel isaisisel paramereler aşağıda verilmişir. 5476
Veysel GÜLDAL, Haan TONGAL Tablo. Köprüçay Nehri gözlenmiş aım verilerinin isaisileri İsaisiler Oralama Sd Sapma Varyasyon Çarpılı Kurosis (m 3 /sn) (m 3 /sn) asayısı asayısı asayısı Günlü.83.45.998.44.475 Yıllı 5.787 8.959.347.53.84 Serilerin çarpılı asayısının dan isaisisel olara anlamlı derecede farlı olması verilerin normal dağılıma uyup uymadığının onrol edilmesini gereirir. Tablo incelendiğinde, zaman aralığı büyüdüçe dağılımların çarpılılarının üçüldüğü ve yıllı verilerin normal dağılıma uyduğu, günlü verilerin ise çarpı dağıldığı yani normal dağılıma uymadığı anlaşılmaadır. Bu nedenle günlü aım verilerinin Box-Cox dönüşümü ile doğal logarimaları alınara çarpılığı giderilmişir. Her ii veri sei için uygulanan Olasılı Çizgisi Korelasyon Kasayısı esi (PPCC) sonucu elde edilen gözlenen ümülaif olasılılara (observed cum. prob.) arşılı gelen belenen ümülaif olasılı (expeced cum. prob.) değerleri Şeil de verilmişir.,, Expeced Cum Prob,8,6,4, Expeced Cum Prob,8,6,4,,,,,4,6,8 Observed Cum Prob,,,,,4,6,8 Observed Cum Prob, (a) (b) Şeil. Serilerin olasılı çizgisi orelasyon asayısı esi sonucu (a) Günlü aım (b) Yıllı aım Günlü serinin yeni çarpılı asayısına ( C.487 ) ve Şeil ye baıldığında yeni sx serinin normal dağıldığı abul edilmişir. Bu nedenle modellemede yıllı aım verilerinin orijinal hali ullanılıren, günlü verilerin doğal logarimi dönüşümü yapılmış halleri ullanılmışır. 5477
Aarsu Aımlarında Volailienin Non-Lineer Varyans Modelleri ile İncelenmesi: Aımları modelleren iç bağımlılı göz önüne alındığında: günlü seride iç bağımlılığın yüse olması (.97 ) ve ooorelasyon değerlerinin ço uzun gecimelerden sonra sıfıra yaınsaması ( lag 7 ) yani soasi bir rendin bulunması, bu sürecin sasyoner olmadığını gösermişir. Yıllı verilerin süreci soasi bağımsız (iç bağımlılı ço üçüür.68 ) ve belli bir oralama erafında rassal salımlar gösermişir. Modelleme sürecinde bu çıarımlar diae alınara, günlü verilerin sasyonerliği birinci dereceden far alma yönemiyle (,.54 ), yıllı verilerin ise süreçen y y oralamanın çıarılması ile (, 8.7 ) sağlanmışır. Bu serilerin hesaplanan y y ooorelasyonları ( ) ve ( ) ısmı ooorelasyonları Şeil 3 e verilmişir., Günlü ve yıllı serilerin orelogram değerlerinin birinci gecime değerinden sonra, sıfır hipoezinin abul edildiği ( ) sınır aralığına düşmesi ve burada salınım yapması nedeniyle. veya. merebeden modeller yeerlidir. Elde edilen modellerin asayıları Tablo 3 e verilmişir. Bu modellerden en uygununu belirleme için Aaie bilgi rieri (A.I.C) esi ullanılmışır (Tablo 4) ve günlü modelde en üçü değeri veren ARMA(,) modelinin, yıllı modelde ise MA() modelinin süreçleri en iyi şeilde emsil eiği söylenebilir. Anca, urulan bu modellerin süreci yeerli emsil eiğine arar verebilme için, alını erimlerinin (e ) bağımsız ve normal dağılıyor olması geremeedir. Seçilen bu modellere ai e rassal değişenlerin gerçee rasgele olup olmadılarının, her birinin diğeriyle orelasyonsuz olduğunun onrol edilmesi gereir. Rasgele bileşenlere ai orelasyon değerleri gecime sürelerine göre değişimleri ve normal dağılıma uyup uymadılarının onrolü amacıyla yapılan PPCC esi sonuçları sırasıyla Tablo 5 ve Şeil 4 e verilmişir. Hesaplanan ooorelasyonların %5 anlamlılı düzeyinde günlü model için sadece ii değerin (,.3 ) güven sınırını aşması, yıllı modelde üm değerlerin güven 3 9 aralığında (.59 ) alması nedeniyle, ayrıca PPCC esi sonuçları diae alındığında günlü zaman serisinin orelasyonsuz, yıllı zaman serisinin de orelasyonsuz ve normal dağıldığı sonucuna varılmaadır. ARMA(, ) modeli günlü aım serisini yeerli ölçüde emsil emesine rağmen (min. AIC) süreçei muhemel volailienin varlığı nedeniyle alını erimi normal dağılmamaadır. Bu nedenle, oşullu değişen varyans eilerinin varlığını es eme için ARMA(,) modelinin alını erimlerinin areleri üzerinde Lagrange Muliplier esi uygulanara ARCH eisi araşırılmışır. Bir günlü gecimeyle hesaplanan ARCH LM esi sonucundan elde edilen F isaisiği (7.54),,365,.5 F değeri olan 3.84 en büyü olduğu için ARCH eisinin bulunmadığını savunan sıfır hipoezi reddedilir. Varlığı ARCH LM esi ile belirlenen ARCH eisinin modellenmesinde çeşili alernaif modeller ullanılabilir. Burada yer verilen model, denenmiş birço ARCH ipi model arasından paramerelerinin anlamlı olmasına dia edilere seçilmiş modeldir. Çalışmada günlü seri için en uygun model olan ARMA(, )-GARCH(, 3) modelinin paramereleri aşağıda verilmişir. 5478
Veysel GÜLDAL, Haan TONGAL,8,6,4, -, -,4 %5 %5 4 6 8 4 6 8 Gecime () (a).8.6.4. -. -.4 % 5 % 5 r f 4 6 8 4 6 8 Gecime () (b) Şeil 3. Köprüçay Nehri ne ai aım değerlerinin orelogramı () ve ısmi orelogramı () (a) Günlü seri (b) Yıllı seri Tablo 3. Günlü ve yıllı seri için elde edilen model asayıları Modeller Günlü seri Yıllı seri p q p q e e AR() -.76 --- --- ---.4.68 --- --- --- 8.33 AR() -.87 -.4 --- ---.3.58.44 --- --- 8.9 MA() --- --- -.7 ---.3 --- --- -.68 --- 79.9 MA() --- --- -.6 -.95.3 --- --- -.3 -.73 7.8 ARMA(,).666 --- -.837 ---.5.76 ---.5 --- 87.5 5479
Aarsu Aımlarında Volailienin Non-Lineer Varyans Modelleri ile İncelenmesi: Tablo 4. Lineer zaman serisi modelleri için Aaie bilgi rierleri (A.I.C.) Modeller AR() AR() MA() MA() ARMA(,) Günlü -359.34-37.875-367.84-38.848-953.465 Yıllı 5.75 54.547 5.74 46.8 58.89 Tablo 5. Uygun modellerdei rassal bileşenlerin orelasyon değerleri Lag () Günlü Yıllı Günlü Yıllı.43.43 -.5 -.73 -.49 -.33.7.5 3..34 3.5.7 4 -.45. 4 -..5 5 -..75 5 -.3.5 6.65 -.3 6.7.6 7.35.58 7.9.69 8 -.3 -.66 8 -..9 9 -.34.38 9.7.93.4.7.9 -.6,, Expeced Cum Prob,8,6,4, Expeced Cum Prob,8,6,4,,,,,4,6,8 Observed Cum Prob,,,,,4,6,8 Observed Cum Prob, (a) (b) Şeil 4. Seçilen modellere ai rassal değişenlerin PPCC esi sonucu (a) ARMA(,) modeli (b) MA() modeli 548
Veysel GÜLDAL, Haan TONGAL Tablo 6. Günlü serinin ARMA(,)-GARCH(,3) model sonuçları Model Kasayıları Kasayı Değerleri Sd. Haa z-isaisiği Olasılı.74.6.944. ARCH().8843.473 4.553. ARCH().994.34.8373.4 GARCH().48.337.69. GARCH() -.4645.493-7.84. GARCH(3).7333.344.4386. R.887 Bağımlı değişenin or..45 Düzelilmiş R -.68 Bağımlı değiş. s. haası.5453 Regresyonun s. haası.5536 A.I.C. -.38 Kalını areleri oplamı 8.5689 Schwarz rieri -.43 Log en ço olabilirli 49.5 Durbin-Wason isaisiği.43 Elde edilen modelde üm model asayıları isaisisel olara anlamlı bulunmuşur. Yine GARCH(,3) modeli için hesaplanan asayılardan, ARCH ve GARCH asayıları,, ve max( pq, ) ( ) oşullarını sağlamaadır. Elde edilen i j i modelin yapısı aşağıda verilmişir. y.666y e.837 e ().74.8843e.994e.48.4645.7333 3 Modelin yeerli olup olmadığına arar verme için alınıların arelerinin ooorelasyonları için hesaplanan Q isaisiği (3.96), %95 güven sınırı ve serbesli derecesi için değeri 3.67 den üçü olduğu için alınıların doğrusal bağımlılığı olmadığı veya rasgele dağıldığı hipoezi abul edilmişir. Bu nedenle varyansın doğru modellendiği söylenebilir. Elde edilen oşullu varyanslar (Şeil 5) ve oşullu sandar sapmalar (Şeil 6) aşağıda görülmeedir. Şeil 5 ve Şeil 6 beraber incelendiğinde günlü aımların yalaşı 5. ve. günleri arasında ve son 4 gününde yüse volailie görülmeedir. Varyans değişiminin en fazla görüldüğü aylar Eylül ve Aralı aylarıdır. Yaz aylarında aarsu rejimi daha düzenlidir. Özellile son 9 günün (Eim, Kasım, Aralı) oşullu varyans değişimi il dönem (Şuba- Mar) varyans değişiminin olduça üzerindedir. Havzada ar biriim ve erime döneminin Aralı-Nisan arası ve ein ar erimesinin Şuba ve Mar aylarında oluşu [3] il dönemdei bu volailienin yüse olmasının sebebi olara yorumlanabilir. Bunun yanında, 548
Aarsu Aımlarında Volailienin Non-Lineer Varyans Modelleri ile İncelenmesi: volailienin ço daha yüse görüldüğü son dönemde ise aarsu rejimindei bu dalgalanmaların aynağının, yağmur aynalı aımların eisi ile gerçeleşiği sonucuna varılmaadır. Havzada görülen yağmur aynalı volailienin ar erimesinden meydana gelen volailieden daha ein olduğu söylenebilir. Şeil (a) dan, yalaşı 5. ve. günler arasında ve son 4 günde büyü miarlı değişimleri büyü miarlı değişimlerin izlemesini, diğer günlerde ise üçü miarlı değişimleri üçü miarlı değişimlerin izlemesini bir başa değişle volailie ümelenmesi olgusunu, urulan modelle elde edilen oşullu varyans ve oşullu sandar sapma grafilerinden de görme mümündür. Şeil (a) ve Şeil 5-6 beraber incelendiğinde Köprüçay Nehri günlü aım serisi için, ARCH eisinin başlıca sıcalı ve yağışai değişimlere e olara ar erimesinin geirdiği belirsizlilerden aynalandığı söylenebilir. Yıllı aımlar MA() modeli ile yeerli ölçüde emsil edilmişir. Yine günlü seride olduğu gibi yıllı seride de ARCH eisinin varlığı, MA() modelinin alını erimlerinin areleri diae alınara incelenmişir. MA() modelinden elde edilen alınıların arelerinin orelogramı aşağıda görülmeedir...5 Koşullu varyans..5 5 5 5 3 35 Günler Şeil 5. Günlü serinin ARMA(,)-GARCH(,3) modeli ile elde edilen oşullu varyansı.5 Koşullu sandar sapma.4.3.. 5 5 5 3 35 Günler Şeil 6. Günlü serinin ARMA(,)-GARCH(,3) modeli ile elde edilen oşullu sandar sapması 548
Veysel GÜLDAL, Haan TONGAL Bu şeiller incelendiğinde orelogram ve ısmi orelogram değerlerinde isaisisel olara anlamlı bir değer görülmemeedir. Bu durum yıllı aımlarda ARCH eisinin olmadığı yönündei il bilgidir. Ayrıca, ARCH eisinin varlığı ARCH LM esi ile araşırıldığında (Tablo 7), bir yıllı gecimeyle hesaplanan ARCH LM esi sonucundan elde edilen F isaisiği (.37), F,57,.5 değeri olan 4. den üçü olduğu için ARCH eisinin bulunmadığını savunan sıfır hipoezi abul edilir. Yıllı aımlarda ARCH eisinin var olmadığı gere diagnosi gerese de isaisisel es ile oraya onması nedeniyle volailie eisinin modellenmesine devam edilmeyere analizler burada sonlandırılmışır..3.3. %5. %5.... -. -. -. -.3 %5 4 6 8 4 6 8 Gecime (yıl) (a) (b) Şeil 7. Yıllı serinin MA() modelinin; (a) arılarının orelogramı ve ısmi orelogramı (b) arılarının arelerinin orelogramı ve ısmi orelogramı -. -.3 %5 4 6 8 4 6 8 Gecime (yıl) F Tablo 7. MA() modelinin alını arelerinin ARCH LM esi sonucu ARCH Tes isaisiği.37 F(, 54) olasılığı.546 Gözlem * R.38 () olasılığı.537 5. SONUÇ Ris ve belirsizlilerin önem azandığı hidroloji süreçlerde, non-lineer bir meanizma olan durağan olmayan oşullu varyans (condiional heereodasiciy) modellemesi hidroloji çevrelerinde yeerli ilgiyi görmemişir. Bu ür süreçlerin modellenmesinde, daha ço sürecin oralama davranışıyla ilgilenilmeedir. Lieraürde oşullu değişen varyans modellemesinde yarı-parameri ve parameri olmayan yönemler [4] ullanılabilmesine rağmen bu çalışmada parameri bir yalaşım olan ARCH ipi modellerle oşullu değişen 5483
Aarsu Aımlarında Volailienin Non-Lineer Varyans Modelleri ile İncelenmesi: varyansın emsil edilmesi amaçlanmış ve Köprüçay Nehri aımlarında uygulamalar gerçeleşirilmişir. Köprüçay Nehri ne ai günlü ve yıllı oralama aım verilerinin soasi süreçleri analiz edilere zamana bağlı değişenlileri bir başa ifadeyle volailie analizi için farlı lineer zaman serisi modelleri arasından süreci en iyi emsil eden modeller belirlenip, modellerden elde edilen alını erimlerinden hareele non-lineer varyans modelleri incelenmişir. İl aşamada urulan lineer zaman serisi modelleri endi aralarında arşılaşırılara A.I.C. esine göre günlü ve yıllı aımlar için en iyi modeller belirlenmiş, model rassal bileşenlerinin bağımsızlığı ooorelasyon değerlerinin anlamlılı düzeyi ile es edilmiş ve dağılımlarının normal dağılıma uyup uymadığı PPCC Tesi ile espi edilmişir. Günlü aım modellerinde en iyi lineer modelin ARMA(, ) modeli, yıllı aımlarda ise MA() modeli olduğu belirlenmişir. Daha sonra, günlü ve yıllı aımlarda volailieyi analiz eme için oşullu değişen varyans modelleri urulmuşur. Günlü seride ARCH eisi Lagrange Muliplier esi ile belirlenere, bu eiyi en iyi ARMA(, )-GARCH(, 3) modelinin emsil eiği görülmüşür. Yıllı aımlarda ise ARCH eisinin olmadığı diagnosi ve isaisisel olara belirlenmişir. ARCH eisinin hâim olduğu seri için volailie ümelenmesinin değişimi göserilmişir. Sonuç olara urulan ve Köprüçay örneğinde uygulaması gerçeleşirilen bu modellerin, aarsular üzerinde planlanan ya da planlanaca olan su yapılarının sürdürülebilir işleilmesi onusunda ihiyaç duyulaca ararları vermede belirli olaylılar sağlayacağı düşünülmeedir. Kaynalar [] Miose, H.T., On Sochasic Properies of Daily River Flow Processes. Journal of Hydrology, 8 (), 88-5. [] Sepeçioğlu, M.Y., Gerger, Y., Aarsularda Aım Serilerinin İsaisisel Modellenmesi. 3. GAP Mühendisli Kongresi, Şanlıurfa,. [3] Tayfur, G., Kavvas, M.L.,. Tahoe Havzasında Gözlenen Hidroloji Değişenlerin Zaman Serisi Analizleri.. Türiye Su Kongresi, İsanbul, Cil. [4] Tol, R.J.S.: Auoregressive condiional heeroscedasiciy in daily emperaure measuremens, Environmerics, 7, 67-75, 996. [5] Wang, W., Van Gelder, P. H. A. J. M., Vrijling, J.K., Ma, J., Tesing and modeling auoregressive condiional heerosedasiciy of sreamflow processes, Nonlinear Processes in Geophysics, : 55-66, 5. [6] Engle, R., Auoregressive condiional heeroscedasiciy wih esimaes of he variance of UK inflaion. Economerica, 5: 987-8, 98. [7] Bollerslev, T., Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy. Journal of Economerics, 3:9-4, 986. [8] Fan, J., Nonlinear Time Series: Nonparameric and Parameric Mehods. Secaucus, NJ, USA: Springer-Verlag New Yor, Incorporaed, 3. p v. 5484
Veysel GÜLDAL, Haan TONGAL [9] Tsay, R.S., Analysis of Financial Time Series. A Wiley-Inerscience Publicaion John Wiley&Sons, Inc. 456s. New Yor,. [] Kular, A., Eonomeri Zaman Serileri, Anara Gazi Kiapevi,. [] Mcleod, A. I. and Li, W. K., Diagnosic checing ARMA ime series models using squared residual auocorrelaions, Journal of Time Series Analysis, 4, 69-73, 983. [] Ljung, G.M. and Box, G. E. P., On a measure of lac of fi in ime series models, Biomeria, 65, 97-33, 978. [3] E.İ.E., Yuarı Köprüçay Havzası Maser Plan Raporu. Eleri İşleri Eü İdaresi Gen. Müd., Yayın -5. Anara,. [4] Lall, U., Recen advance in nonparameric funcion esimaion- hydrologic applicaion, Reviews of Geophysics, 33, 93-, 995. 5485