TÜMEVARIM Matematite ulladığımız teoremleri ispatlamasıda pe ço ispat yötemi vardır. Özellile doğal sayılar ve birço ouda ispatlar yapare tümevarım yötemii sıça ullaırız. Tümevarım yötemii P Öermesii doğruluğuu ispatlama, avrayabilme içi sosuz domio öreği iyi bir modeldir. ( ) domio taşıı devirme gibidir. P ( ) Öermesii doğru olması halide ( ) P + öermesii de doğru olacağıı ispatlama, domio taşlarıı biri düştüçe diğerii de düşece şeilde düzelemeye bezer. Şöyle i, birici domio taşıa vurmala hepsii basitçe devirebilirsiiz. Matematisel tüme varımda ayı yötemle P öermesii çalışır. P ( ) doğru ise, P ( ) doğru olmalıdır,. İşlem bu şeilde devam eder. Böylelile, ( ) doğruluğuu P ( + ) öermesii doğruluğuu geretirdiğii göstermele, ( ) P öermesii içi doğru olduğu ispatlamış olur. (Ama bu arada düşmeye domio taşlarıa da diat etmeiz gereir.) Bu yötemi açılamaya geçmede öce bazı bilgileri hatırlamata fayda vardır. Öerme: Doğru ya da yalış esi hüüm bildire her cümle bir öermedir. Açı Öerme Yapısıda değişe buludura, bu değişeleri bazı değerleri içi doğru bazı değerleri içi yalış ola öermelere açı öerme deir.,,,,5,...,,... dizisidei sayıları (başta) ardışı toplamlarıa üçgesel sayılar deir., +, + +, + + +,..., + + +,... ( + ) 0.,,5,7,9,...,,... dizisidei sayıları (başta) ardışı toplamlarıa aresel sayılar deir., +, + + 5, + + 5 + 7,...,+ + 5 +.. + ( ),...,,7,0,,...,,... dizisidei sayıları (başta) ardışı toplamıa beşgesel sayılar deir., +, + + 7, + + 7 + 0,..., + + 7 + +,... ( ) 5
TÜMEVARIM İLKESİ P ( ) bir açı öerme, öermeyi doğru yapa e üçü pozitif doğal sayı a, ( ) doğrulu ümesi Ör : P ( ) N a olsu. Tümevarım ilesi aşağıdai gibi uygulaır.. P ( a) olduğu gösterilir. (Yai a içi doğruluğu gösterilir.). P ( ) verile öermei doğruluğu abul edilir.. P ( + ) olduğu, yai öermei ( ) ( + ). :+ + + +... + olduğuu gösteriiz. + içide doğru olduğu gösterilir. P öermesii + Çözüm : N olma üzere ; ( + ). içi P ( ) :, P ( ). ( + ). içi P ( ) :+ + +... + olduğuu abul edelim. ( + )( + ). + içi P ( + ) :+ + +... + + ( + ) olduğuu ispatlayalım. ( ). ( + ) + + + + öermeside eşitliği her ii yaıa ( ) P :.... ( + ) + + +... + + ( + ) + ( + ). ( + ) ( + ) + + +... + + ( + ) +. ( + ) +. ( + ) + + +... + + ( + ) ( + ).( + ) + + +... + + ( + ) buluur i ; + P + doğru olduğuda P öermesi doğrudur. ( ) Uyarı : N içi ( ) + eleyelim. Matematite birço geel ural, bazı özel modelleri gözlemleyere elde edilmiştir. Öreği, il tae pozitif te tam sayıı toplamı haıda "özelde - geele" bir tahmi yapılabilir. + + + 5 9 + + 5 + 7 + + 5 + 7 + 9 5
,, 9, ve 5 sayıları il beş pozitif tam sayıı areleridir. Burada, il tae pozitif te tam sayıı toplamıı olduğu uralı tahmi edilebilir, ici te pozitif tam sayı (-) olduğuda, tahmiimizi aşağıdai eşitlile ifade edebiliriz. + + 5 +... + (-) Bu eşitli ı her değeri içi doğru olsa dahi, bu şeilde urallar oluşturma matematite geçerli bir yötem değildir. Bazı modeller vardır i, üçü değerler içi eşitliler doğruladığı hâlde, büyü değerler verildiğide eşitliği sağlamadığı görülür. Buu e meşhur öreleride biri; F + ( 0,,,... ) şelidei, tüm sayıları asal olduğu tahmiii yürüte, Frasız matematiçi Pierre de Fermat'ı (0-55) tahmiidir, i 0,,, ve değerleri içi asal ola bu sayıı, belli bir döem, i tüm pozitif tam sayı değerleri içi asal olduğu abul edilmiştir. Faat daha sora ülü matematiçi Leohard Euler (707-78), 5 içi F 5 99797 sayısıı i tam atı (999797.7007) olduğuu bulara, Fermat'ı tahmiii yalış olduğuu göstermiştir. Yai, bazı değerler içi doğrulaa bir eşitli ya da formülü, urallara dayalı bir ispatı yapılmada, tüm değerler içi geçerli olduğu ararıa varma mümü değildir. Doğal sayılarla ilgili öermeleri doğruluğuu göstermeye yaraya ispat yötemleride biri de tüme varım yötemidir. Tüme varım yötemi, aşağıdai örelerde de belirtile, doğal sayıları basit arateristi özelilerie dayaır. Aşağıdai öermeleri doğru olduğuu tümevarımla ispatlayalım.. P ( ) : + + +... + ( + ) + + + +. P ( ) : 7... ( ) P :+ + 5 +... +. ( ) ( ). P ( ) 5. P ( ) ( ) ( + )( + ) : + + +... + ( + ). : + + +... + + + + + +. P ( ) :...... ( ) 7. P ( ) : + + +... +... r + + + + + r 8. P ( ) : r r r... r P : + + +... + 9. ( ) ( + )( + ) ( + ) ( + )
0. P ( ) :... ( ) ( ) ( ) ( ). + + + +. P ( ) :......5... ( ).( ) ( + ) ( + ) ( + )... + + + + + +. P ( ) ( ) :.! +.! +.! +... +.! +! P :!. ( ). P ( ) :! θ Cos Cos + θ + + + + θ. Si 5. P ( ) : Siθ Siθ Si θ... Si(. θ ) θ + P : Cosθ + Cosθ + Cos θ +... + Cosθ Si.. Cos. θ. ( ) ( ) 7. ( ) :.(. ) P r Cosθ + i Siθ r Cos (. θ ) + isi(. θ ) 8. P ( ) : > + 9. ( ) :( ) (De Moivre Kuralı) P ifadesi 8 ile tam olara bölüebilir. 0. P ( ) : Ardışı üç tam sayıı üpleri toplamı 9 ile bölüür.. P ( ) : r >, r 0 ve olma üzere ; ( r) + > +. r Öreler P : + 9 + 5 +... + +. ( ) ( ) P : +. +. +... +. +. P ( ) : + 7 + +... + ( 5 ).. ( 5 ). ( ) ( ). P ( ) : < P + 5. ( ) :. P ( ) : + + 5 +... + ( ) ( ) 7. P ( ) :0 < a < b ise, + a a < b b P : + ifadesi e bölüebilir. 8. ( ) 9. P ( ) :5 ifadesi e bölüebilir.
P :0 + +.0 + 5 ifadesi 9 a bölüebilir. 0. ( ). P ( ) : a + b ifadesi ( a b) + ile bölüebilir. +. Aşağıdai öermeleri sağlaya e üçü j N sayısıı bulara j de büyü sayma sayıları içi doğruluğuu ispatlayıız. a. + b. + 8 c. 5 + log d. 0 e. + f.! g. + < Toplam Sembolü sembolü matematite belli urala göre verile ardışı toplama işlemlerii ifade etme içi ullaılır. a, a, a,..., a R olma üzere a + a + a +... + a toplamıı ısaca Toplam de ye adar a diye ouruz., sembolü SİGMA diye ouur. a biçimide gösterilir. a a + a +... + a dir. Taım: N + içi a R olma üzere a a +a +a +...+a dir. Öre: ifadesii değeri açtır? Çözüm: + + +++7 dır. Öre:!.!+.!+.!++8. c c + c + c +... + c.c (c, sabit ya bağlı değil) ta e. c c + c + c +... + c (+).c (c, sabit, ya bağlı değil) 0 (+ ) tae 5
. c ( - p + ) p c UYARI: de terim sayısı tae, de + tae, de (-p+) taedir. b. ( a b) a 5 5 5 ) Ör: ( c a (c R) 5..a c. 5 5 Ör: m a a <m< m+. a + 7 7 Ör: + m+ 7. a a + m - (sıır değiştirme) a m Ör: ( ) [( + ) ] m 9 7 7 ( + ) + m+ a m BAZI AÇILIMLARIN SEMBOLÜYLE İFADELERİ....( + ) +++...+ + + +...+.( + )( + ) + + +...+.( + )
. 5.. 7. 8. 9. (-)++5+...+(-) +++...+(+) (-) + +5 +...+(-).( ) () + + +...+() ( + )( + ) ( + ). +. +... + ( + ) + + +... + ( ).. ( ) 0. r R, r 0,r olma üzere +r+r +r +...r - r a. r r r dir. b. 0<r< ise r dir. Geometri bir seridir. r ( + )( + ). ( + ).+.+...+(+). ( + ) (+)..+..+...+(+)(+) ( + )( + )( + )..!.!+.!+.!+...+.!(+)!- 7
. (x+y) x.y, ( N + ) 0 0 Öre: ( ) 0. - 0 0.(0 + ).0(0 + )(.0 + ) (5.) (5..) 5.(5.-) 55 (55-) 55. 870 Öre: ( t t + ) ifadesii değeri açtır?..5.. Çözüm: ( t t + ) + + 50.-.+50 5 + 50 50 Öre:! ifadesii 5 ile bölümüde ala edir? 50 Çözüm:!!+!+!+!+5!+...+50! +++5+5(...+...+... (.. : +... +...). + 5 ifadesi 5'i atı olduda 5'le tam bölüür Cevap tür. 8
UYGULAMALAR: 0 ) ( i + 5)? ) ( 5 + )? ) ( + )? i 7 9 + )? 5) ( + )? ) ( + ) ( 7)? 0 ( + ) 7) ( )? 7 00 8) log( + )? 8 0 9) ( )? + 0) l e? ) ( )? ) ( + p )? p 0 ) +? ) ( ) a + b + c ise a + b + c? p 00 5) ( ) log? 59 7) cos? 80 x + ) + + 5 + +0? 8) f(x)x+, x,x ( xi ) f( xi)? 9) f:n + N,g:N + R, f(x) ( ) g( x) ( + ) ( )( )? gof x i ÇARPIM SEMBOLÜ Taımı N + içi a R olma üzere a a.a.a...a dir. ( ı de ye adar değerli ola a sayılarıı çarpımıdır.) gösterimi pi diye ouur ve ya çarpma idisi deir. İdis de başlama zoruda değildir. Öre: çarpımı açtır? Çözüm:.. dır. (..! dir.) 5 Öre: log ( + ) işlemii eşiti edir? 9
5 Çözüm: log log.log.log 5...log 5 π Öre: cos çarpım açtır? log log log5 log..... log log log log5 log log log tür. log π π π π Çözüm: cos cos.cos.cos.. 0 0 ÇARPIM SEMBOLÜNÜN ÖZELLİKLERİ N ve olma üzere....!. a a a! 0 Öre: çarpım e olur? 0 Çözüm: 0.0! olur. 0
. a a -p+ (p ) p. a a (+)/ Öre: 8 ise değeri aç olur? Çözüm:..... olup (+ ) 8 +++... ( + ) + ve +-0 olup -- ve dir. - olamaz. 5. ( a.b) a. b p a a + p (m ) m m p. 7. p p a a a (<p<) p+ Öre: 0,0 ise değeri açtır? Çözüm:..... 00 buluur. 00 Öre: 0 ( + ) ifadesii değeri açtır? Çözüm: 0 ( + ) 0 ( + )
0..... dir: UYGULAMALAR: 00 )? ) p? )? m p ) ( )? 5) ( )? 7) 9 ) log p( p + )?? 8) 07 000? ( )! p 9) 5 5 5 5 5 8? 0 0) e + +? ) log (ta )? )? + 5 + 7 KARIŞIK ÖRNEKLER: 0 x ) ( ) ( ) x? ) log 0 0? ) ( j 5)? 0 0? 5) f 5 7 [ f 5 ] ) ij j i 8 0 ) a ( a + )( a + )( a + )( a + ) a? 0 a 0 0 j ( ) + + ( )?
Dosya adı: TÜMEVARIM (TOPLAM ÇARPIM) KONU ANLATIMI Dizi: C:\Users\TOLGA\Destop\INTERNET\TUMEVARIM TOPLAM CARPIM SEMBOLLERI Şablo: C:\Users\TOLGA\AppData\Roamig\Microsoft\Templates\Nor mal.dotm Başlı: TÜMEVARIM Kou: Yazar: EGESU Aahtar Sözcü: Açılamalar: Oluşturma Tarihi: 09.0.07 :55:00 Düzeltme Sayısı: So Kayıt: 09.0.07 :58:00 So Kaydede: TOLGA Düzeleme Süresi: 5 Daia So Yazdırma Tarihi: 09.0.07 :58:00 E So Tüm Yazdırmada Sayfa Sayısı: Sözcü Sayısı:.9(yalaşı) Karater Sayısı:.8(yalaşı)