ölüm 4 Olasılık OLSILIK opulasyon hakkında blg sahb olmak amacı le alınan örneklerden elde edlen blgler bre br doğru olmayıp heps mutlaka br hata payı taşımaktadır. u hata payının ortaya çıkmasının sebeb seçlen örneklern şansa bağlı olarak farklılıklar göstermes ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla karşılaşılmasıdır. Olasılık, herhang br deneyn sonucunda gözleneblecek farklı durumlar le hang sıklıkla karşılaşılacağı br başka fadeyle ortaya çıkan olayların belrszlğnn ncelenmes anlamına gelr. Olasılık br dğer fadeyle br olayın meydana gelme şansının sayısal fadesdr. 7 yy. da şans oyunlarıyla brlkte kullanılmaya başlanan olasılık, uygulamalı matematğn br dalı olarak gelşm göstermş ve statstksel yorumlamada öneml uygulama alanı bulmuştur. Örnekler: Maden paranın atılması sonucu tura gelme olasılığı, r deste skambl kağıdından çeklen kağıdın en az brnn papaz olma olasılığı, Nşanlı olan br çftn evlenme olasılığı.??? Temel Tanımlar ve Kavramlar-I Tekrarlanablr Deney: Sonucu kesn olarak kestrmlenemeyen br tek çıktı şans değşken oluşturan br eylem, gözlem ya da süreçtr. Örnek: maden para atılması, çnde sarı 7 lacvert blye bulunan torbadan br top çeklmes. ast Olay: r deneyn çıktısı daha bast br çıktı olarak ayrıştırılamıyorsa bast olaydır. Örnek: hlesz br zarın atılması sonucu gelmes, br deste skambl kağıdından çeklen kağıdın maça as olması. 4
Temel Tanımlar ve Kavramlar-II Olay: rden fazla bast olayın br araya gelmes sonucu oluşur. Örnek: hlesz br zarın atılması sonucu asal sayı gelmes, çnde sarı 7 lacvert blye bulunan torbadan top çekldğnde brnn sarı brnn lacvert olması. Örnek Uzayı: r deneyn sonucunda elde edlen tüm mümkün bast olaylarının oluşturduğu kümedr. Genellkle S le tanımlanır. Örnek: Hlesz br zarın atılması sonucu elde edlen örnek uzayı; x: zarın üst yüzünde gelen sayı S = { x; x =,,,4,,6 } Temel Tanımlar ve Kavramlar-III yrık Olay: Eğer ve gb k olay aynı anda geçekleşemyor se bu olaylara ayrıkbrbrn engelleyen olaylar denr Örnek: Maden para atılması sonucunda yazı veya tura gelmes ayrık olaylardır. Zarın atılması sonucu ve tek sayı gelmes olayları ayrık olaylar değldrler. Çünkü aynı anda gerçekleşeblrler. Eşt Olasılıklı Olaylar: r örnek uzayındak tüm bast olayların ortaya çıkma olasılığı eşt se bu olaylara eşt olasılıklı olaylar denr. Örnek: r deste skambl kağıdından br adet kağıt çeklmes. 6 Olasılık çn Notasyon Olasılığın Lmtler olasılığa karşılık gelr.,, ve spesfk olayları tanımlar. - olayının meydana gelmes olasılığını fade eder. İmkansız br olayın olasılığı 0 dır. Kesn br olayın olasılığı dr. r olayı çn 0. 7 8
Olasılığın İk Temel Kuralı; Tüm bast olayların olasılıkları 0 le arasındadır. r örnek uzayındak tüm bast olayların ortaya çıkma olasılıklarının toplamı e eşttr. DİKKT!!!! Hç br olayın OLSILIĞI den büyük olamaz!!!! Tanımlar ve olayları, eğer brlkte meydana gelemyorlarsa, ayrıktır brbrn engelleyen olaylardır. r olayın ortaya çıkma olasılığı; şeklnde gösterlr. 9 0 rbrn ütünleyen Tümleyen Olaylar ve yrık olaylarıdır Tüm bast olaylar, veya çersnde yer alır. + = Tümleyen Olaylar le İlgl Kurallar = =
Olayının Venn Dyagramı Gösterm Olasılığın Gelşm şamaları Klask ror Olasılık Frekans osteror Olasılığı ksyom Olasılığı NOT:u sıralama olasılık teorsnn tarhsel gelşmn tanımlamaktadır. 4 Klask Olasılık Eğer br örnek uzayı ns adet ayrık ve eşt olasılıkla ortaya çıkan bast olaylardan oluşuyor ve örnek uzayındak bast olaylardan n aded olayının özellğne sahp se nın olasılığı: = n ns kesr le elde edlr. Örnek: r kapta sarı, lacvert ve adet yeşl blye bulunmaktadır. Çeklen br blyenn sarı olma olasılığı nedr? : Çeklen br blyenn sarı olması ns: Örnek uzayı eleman sayısı = n: Örnek uzayındak elemanı sayısı = n n S 6 4
Klask Olasılık Nçn Yeterszdr? Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğu durumlarda, Eşt olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı durumlarda, Ne Yapılablr? raştırılan anakütle üzernde tekrarlı deneyler gerçekleştrlerek sonuçlar analz edlmek üzere kayıt edlmeldr. klask olasılık le hesaplama yapılamayacağından dolayı yeterszdr. 7 8 Frekans Olasılığı raştırılan anakütle üzernde n adet deney uygulanır. Yapılan bu deneylerde lglenlen olayı n defa gözlenmş se olayının görel frekansı yaklaşık olasılığı: olarak bulunur. = n n 9 Örnek: r fabrkanın üretmş olduğu televzyonların hatalı olma olasılığı p nedr? Önce örnek uzayı oluşturulur: S={sağlam,hatalı} Klask olasılığa göre eşt olasılıklı olaylar p=0. olup gerçeğ yansıttığı şüpheldr. Yapılması gereken örneklem alarak p = nh n olasılığını hesaplamaktır. 0
üyük Sayılar Kanunu r prosedür deney tekrarlandıkça, frekans olasılığı gerçek olasılığa yaklaşma eğlm gösterr. Frekans Olasılığının Kararlılık Özellğ Gerçekleştrlen deney sayısı arttıkça olasılık değerndek değşkenlk azalacak ve gderek br sabt değere yaklaşacaktır. u duruma kararlılık özellğ adı verlr. r olayın olasılığı deneyn tekrarlama sayısı sonsuza yaklaşırken o olayın görel frekansının alacağı lmt değer olarak tanımlanır: p = = lm n n n Frekans Olasılığı Nçn Yeterszdr? Olasılığın kararlılık değerne ulaştığı deneme sayısı kaçtır? Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değldr. ynı deney k defa aynı tekrar sayısı le gerçekleştrldğnde elde edlen olasılıklardan hangs olayın olasılığı olarak kabul görecektr? ksyom Olasılığı Nedr? Olasılığın matematksel teorsn tanımlar. u teornn oluşturduğu deal modeller yaşadığımız dünyanın problemlern çözmede kullanılır. Olasılığın k genel tpnn sahp olduğu öneml ortak nokta: Her ksnn de, benzer koşullarda teork olarak aynı koşullarda uygulanan deneylere gereksnm duymasıdır. ununla brlkte benzer koşullarda tekrarlı olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların hesaplanmasında KSİYOM OLSILIĞI yardımcı olur. 4 6
enzer Koşullarda Tekrarlı Olarak Uygulanamayan Durumlara Örnekler: Türkye nn hafta çnde Kuzay Irağa sınır ötes operasyon düzenleme olasılığı nedr? Çok hoşlandığınız br arkadaşınızla çıkma olasılığı nedr? Fenerbahçe - Galatasaray maçının 6-0 btmes olasılığı nedr? Subjektf Olasılıklar olayının meydana gelme olasılığı, konu le lgl blgler ve nanışlarına bağlı olarak belrlenr. Örnek: Kşsel yatırımcıların hçbr borsanın gelecektek davranışı konusunda aynı görüşü paylaşmaz. u kşlern subjektf olasılıkları, ulaşabldkler blgye ve onu yorumlama bçmlerne bağlıdır. 6 ksyomlar ksyom : örnek uzayı S dek her olayı çn 0 olan br gerçel sayıdır. ksyom : S= { =0 } ksyom : Eğer S,S,...Olaylarının her br S dek ayrık olaylar se,dğer br deyşle S S j = tüm j çn se, S S...=S +S +... 7 Sadece ksyomlar Yeterl m? HYIR u aksyomların ve onlara bağlı teoremlern faydalı br model gelştrlmesnde bze yardımcı olablmes çn, S örnek uzayındak her br olayı çn olasılığın hesaplanmasında kullanılacak br FONKSİYON ya da br KURL gereksnm vardır 8 7
u fonksyonlar İlglenlen anakütlenn Tanımladığı ÖRNEK UZYIN Göre Farklılık Gösterr. Sık karşılaşılan üç farklı örnek uzayı; Sonlu elemanlı keskl örnek uzayı sayılablr sonlu Genel keskl örnek uzayı sayılablr sonsuz Sürekl örnek uzayı sayılamaz sonsuz olarak fade edlr. x : herhang br gün çnde yağmur yağması x = 0 yağmur yağmaz x = yağmur yağar Örnek Uzayı; S = { x 0, } veya S = { x Yağmursuz, Yağmurlu } olarak belrlenr ve sayılablr sonlu br örnek uzayıdır. 9 0 x : br zar çn 6 gelnceye kadar yapılan atış sayısı Örnek Uzayı; S = { x,,,.. } olarak belrlenr ve sayılablr sonsuz br örnek uzayıdır. keskl şans değşken x : öğrenclern boyları Örnek Uzayı; S = { x 0 < x < 00 } olarak belrlenr ve sayılamaz sonsuz br örnek uzayıdır. sürekl şans değşken azı Temel Olasılık ksyomları. S =. = 0. olayının tümleyen olarak gösterlr. 4. ve herhang k olay olmak üzere; U = +. ve ayrık k olay se; U = + 8
Oranlar Özellkle bahs oyunlarında olasılıklar, oranlar le açıklanır. Organzatörler her üç sonuç çn kend değerlendrmelerne göre brer olasılık belrlyorlar. Ev sahb galbyet=.60, beraberlk=., deplasman galbyet=. gb. Ev sahbnn kazanması olayı E olsun. u durumda E nn lehndek oran, E-E, E nn aleyhne oran -EE olur. Örnek Uzayı ve Olay Sayısını elrleyen Sayma Yöntemler Klask olasılığın dğer br fade le eşt olasılıklı olayların geçerl olduğu durumlarda: Örnek uzayının eleman sayısı, İlglenlen olayın eleman sayısının belrlenmes gerekldr. Kullanılan k temel prensp; Toplama Yöntem Çarpma Yöntem 4 Toplama Yöntem r olayı m farklı şeklde, başka br olayı da n farklı şeklde oluşablen ayrık olaylar se; veya olayı n + m farklı şeklde oluşablr. Örnek: İstanbul dan İzmr e farklı tren sefer, 4 farklı havayolu frması, 40 farklı otobüs frması ve adet denzyolu frması le gdlebldğne göre İstanbul dan İzmr e kaç farklı şeklde gdlr? Çarpma Yöntem r olayı m farklı şeklde, başka br olayı da n farklı şeklde oluşablen ve aynı anda oluşmaları mümkün olaylar se; ve olayı n * m farklı şeklde oluşablr. Örnek: r skambl destesnden çeklen k kartın brnn Kupa dğernn Maça olması kaç farklı şeklde gerçekleşeblr? * =69 NOT: Çarpma yöntem bağımsız olaylar çn kullanılır. + 4 + 40 + = 47 6 9
k farklı sonuç veren br deney r kez tekrar edlrse ortaya çıkan tüm durumların sayısı; k r olarak hesaplanır. Örnek: r zarı kez attığımızda ortaya çıkablecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı; 6 = 6 adettr. Örnek Uzayı ve Olay Sayısının üyük Olduğu Durumlar Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu durumlarda kullanılan sayma yöntemler; ermütasyon Kombnasyon Örnek uzayının eleman sayısı 6 dır. 7 8 Notasyon Faktöryel sembolü! zalan poztf tamsayıların çarpımını fade eder. Örneğn, 4! 4 4. Tanım gereğ, 0! =. ermütasyon Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her br sadece br kez kullanılmak üzere kaç farklı sıralama yapılablr? n n- n-... n nesnenn mümkün sıralamalarının sayısı: nn-n-...=n! n n = n! 9 40 0
n tane nesne arasından seçlmş x tane nesnenn permütasyon sayısı n x..olarak fade edlr. Toplam n tane nesne arasından x tane nesne seçlr ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkablecek sıralamaların sayısıdır ve şu şeklde hesaplanır: x n n! n x! Örnek: 8 atletn katıldığı 00 metre yarışmasında lk üç dereceye grenler kaç farklı şeklde belrlenr? 8! 8 8*7*6 6 8! Örnek:,,,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı rakamları brbrnden farklı kaç sayı oluşturulur? 6! 6 4 6** 4* 60 6 4! Kullanıldığı durumlar İadesz örnekleme Örneğe çıkış sırası öneml 4 6 4 =60 4 ermutasyon Kuralı when some tems are dentcal to others n nesne verlmş olsun. u n nesnenn n tanes brnc çeşt, n tanes knc çeşt,... n k tanes k. Çeşt olsun. k grup ve her br grupta sırayla n, n,... nk nesne olacaktır. Tümü brlkte alınan n nesnenn permütasyonlarının sayısı kartlık standart br deste 4 oyuncu arasında kaç farklı şeklde dağıtılablr? n! n!. n!........ n k! 4 44
Kombnasyon n adet nesne arasından seçlen x tanesnn kombnasyon sayısı n x le gösterlr. Sıralama öneml olmaksızın tüm durumların sayısı olarak fade edlr. u sayı şu şeklde hesaplanır: x n Kullanıldığı durumlar; n! n x! x! İadesz örnekleme Örneğe çıkış sırası önemsz 4 Örnek: eş kşlk br topluluktan üç kşlk br komsyon kaç farklı şeklde seçlr?! *4**!! ** 0 Örnek: 0 bay ve bayan arasından bay ve bayan üye çeren br kurul kaç farklı şeklde oluşturulur? 0! 0*9 0!!!!! 0 4 0 bay arasından bay bayan arasından bayan Çarpım kuralı uygulanarak 4 * = farklı şeklde 46 oluşturulur. Örnek: 0 şletme ve 8 ktsat öğrencs arasından kşlk br komsyon oluşturulacaktır. Rasgele br seçm yapıldığında komsyonda çoğunlukla şletme öğrencs olma olasılığı nedr? şletme 0 ktsat, 4 şletme ktsat, şletme ktsat 8 9 868 0 8 0 0 4 8 0 8 8 8 0,6 Örnek: l ve an sml k arkadaş zar atarak oyun oynuyorlar. Oyuna l başlıyor. Zar veya gelrse oyunu kazanıyor.,4 veya gelrse oyuna devam etme hakkını kazanıyor. 6 gelrse zar atma sırası Velye geçyor. l nn bu oyunu kazanma olasılığı bulunuz. l nn oyunu kazanma olasılığı p olsun, l veya atar oyunu kazanır, olasılık : 6,4 ve atar oyuna tekrar devam eder ve sonra oyunu kazanır olasılık: 6p İlk atışta 6 atar oyun cana geçer ve can oyunu kaybeder olasılık 6-p p = 6 + 6p + 6-p p = 4 47 ğaç Dyagramı Her brnn sonucunun sonlu sayıda olduğu brden fazla deneyn tüm mümkün sonuçlarını görsel br şeklde ortaya koymak çn kullanılır. 48
Örnek: l le an masa tens oynamaktadırlar. set kazananın galp geleceğ maçın ortaya çıkablecek tüm mümkün sonuçlarını gösteren ağaç dyagramını oluşturunuz. Olası Durumlar;,,,,,,,,,, 0 D E T 49 Şartlı Olasılık ve gb k olaydan olayının gerçekleştğ blndğ durumda olayının gerçekleşmes olasılığına olayının şartlı olasılığı denr. le gösterlr. nın gerçekleştğ blndğnde nn ortaya çıkma olasılığı;.. 0 Örnek: r ünverstede okuyan öğrenclern % 70 tyatroya, % se snemaya lg duymaktadır. a r öğrencnn snemaya lg duyduğu blndğnde tyatroya lg duyma olasılığı 0,40 se her k aktvteye brden lg duyma olasılığı nedr? b r öğrencnn tyatro veya snemaya lg duyma olasılığı nedr? T:Tyatroya lg duyma S:Snemaya lg duyma T = 0,70 S = 0, a T S = 0,40 T S =? b T S TS S TS TS*S 0,40*0, 0,4 T U S T S - T S 0,70 0,- 0,4 0,9 Şartlı Olasılıkların lndğ Durumlarda Tek r Olayın Olasılığının ulunması şağıdak şeklde olayının brbryle ayrık olan farklı olayın brleşmnden meydana geldğ görülür. 4
4 olayı her br olayı le kesşmler cnsnden fade edldğnde;brbrn engelleyen olayların brleşmnn olasılığı toplama kuralına göre.... 4 4 4 Örnek: r laç üç fabrka tarafından üretlmektedr.. Fabrkanın üretm. ve. fabrkaların üretmnn katıdır. yrıca. ve. fabrkalar %,. fabrka % 4 oranında bozuk laç üretmektedr. Üretlen tüm laçlar aynı depoda saklandığına göre bu depodan rast gele seçlen br lacın bozuk olma olasılığı nedr. = Seçlen lacın bozuk olma olasılığı =? = Seçlen lacın nc fabrkada üretlmes = + + + = olduğundan; = 0,0 = = 0, olarak elde edlr. =0.00.+0.00.+0.040.=0,0 Depodan seçlen 000 ürünün tanesnn hatalıdır. ayes Teorem Sonucun blndğ durumda sebebn hang olasılıkla hang olaydan meydana geldğ le lglenr. Ele alınan örnekte depodan rast gele seçlen br lacın bozuk çıkması halnde.fabrkadan gelmesnn olasılığı araştırıldığında ayes Teoremne htyaç duyulmaktadır. k 6 0,40 0.040. 0.00. 0.00. 0.00. Depodan rasgele seçlen br lacın bozuk olduğu blndğne göre nc fabrkadan gelmş olma olasılığı;
ağımsız Olaylar Ele alınan olaylardan brnn gözlenp gözlenmemesnn olasılığı dğer br olayın ortaya çıkıp çıkmama olasılığını etklemyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denr. =. =. ve olayları bağımsız se br başka fadeyle olayının meydana gelme olasılığı olayının meydana gelme olasılığına bağlı değl se ve k olay aynı anda meydana geleblyor se; = ve = olur. Sonuç olarak ve olayları bağımsız seler Örnek: l ve an sml k avcının br hedef vurma olasılıkları sırasıyla 0,6 ve 0,40 olarak verlmştr. İk avcı hedefe brlkte ateş ettğnde hedefn vurulma olasılığı nedr? = l nn hedef vurması = 0,6 = an ın hedef vurması = 0,40 U =? U = + l le an nın hedef vurmaları brbrnden bağımsız olduğundan; =. = 0,6 * 0,40 = 0,6 =. eştlğ elde edlr. ynı şeklde =. se ve 7 olayları bağımsızdır denr. U = 0,6 + 0,40 0,6 = 0,79 8 Testng for Independence In Secton -4 we stated that events and are ndependent f the occurrence of one does not affect the probablty of occurrence of the other. Ths suggests the followng test for ndependence: Two events and are ndependent f = or and = Two events and are dependent f = or and = üyük anakütlelerden küçük örnekler Eğer örnek mktarı anakütlenn % nden az se, seçm şlemn bağımsız olarak varsayablrz. gerçekte seçmler adesz ve dolayısı bağımlı olsalar ble 9 60