ÜN TE IV A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I B) ÜÇGENLERDE EfiL K ve BENZERL K a) Üçgenlerde Efllik b) Üçgenlerde Efllik fiartlar c) Üçgenlerde Benzerlik d) Üçgenlerde Benzerlik fiartlar ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-II C) GEOMETR K C S MLER a) Üçgen Prizma b) Üçgen Prizman n Yüzey Alan ve Hacmi c) Piramit, Koni ve Küre ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-III 149
BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu bölümü çal flt n zda; * Bir bilinmeyenli rasyonel denklemleri çözebilecek, * Do rusal denklem sistemlerini cebirsel yöntemlerle çözebilecek, * Üçgenlerde efllik flartlar n aç klayabilecek, * Üçgenlerde benzerlik flartlar n aç klayabilecek, * Üçgenlerde benzerlik flartlar n problemlerde uygulayabilecek, * Prizmay infla edebilecek, temel elemanlar n belirleyebilecek ve yüzey aç n m n çizebilecek, * Dik prizmalar n yüzey alan n n ba nt lar n oluflturabilecek, * Dik prizmalar n hacim ba nt lar n oluflturabilecek, * Piramidi infla edebilecek, temel elemanlar n belirleyebilecek ve yüzey aç n m n çizebilecek, * Koninin temel elemanlar n belirleyebilecek, infla edebilecek ve yüzey aç n m n çizebilecek, * Kürenin temel elemanlar n belirleyebilecek ve infla edebileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? Bu bölümü kavrayabilmek için; * Aç klamalar dikkatle okuyunuz. * Konuda verilen örnekleri çözerek çal fl n z. * Uyar lar dikkate al n z. * Konuda verilen al flt rma ve problemleri yan tlay n z. * Konu sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme testi sorular n cevaplay n z. Tak ld n z yerde, ilgili konuyu tekrar gözden geçiriniz. * 8. S n f matematik kaynak kitaplar ndan faydalanarak çok say da soru çözünüz. * Çözemedi iniz sorular için çevrenizdeki bilenlerden yard m al n z. 150
DENKLEM S STEMLER ÜN TE IV ÖRNEK 5x -13 3 = 4 denklemini sa layan x de erini bulal m. Eflitli in her iki taraf n 3 ile çarpal m. Böylece payday ortadan kald rm fl oluruz. 3. 5x - 13 3 = 4. 3 5x - 13 = 12 5x 5 = 25 5 x = 5 elde ederiz. Buldu umuz de eri denklemde x yerine yazarak çözümün do rulu unu kontrol edelim 5x - 13 3 = 4 x = 5 için 5. 5-13 3 25-13 3 =? 4 =? 4 12 3 =? 4 4 = 4 Eflitlik sa land ndan buldu umuz de er do rudur. ÖRNEK x + 63 4x = 2 Denklemini sa layan x de erini bulal m. 151
ÖRNEK x + 63 4x = 2 Eflitli inin her iki taraf n 4x ile çarpal m. Böylece payday ortadan kald rm fl oluruz. 4x. x + 63 4x =2.4x x + 63 = 8x 63 = 7x x = 9 elde ederiz. Buldu umuz de eri denklemde x yerine yazarak çözümün do rulu unu kontrol edelim. x + 63 4x = 2 x = 9 için 9 + 63 4.9 Eflitlik sa land ndan buldu umuz de er do rudur. ÖRNEK =? 2 72 36 =? 2 2 = 2 x - 3 3x + 2 + 3 7 = 1 2 Denklemini sa layan x de erini bulal m. ÇÖZÜM x - 3 3x + 2 + 3 7 = 1 2 ifllem kolayl sa lamak amac yla bilinmeyen ifadelerle bilinen ifadeleri bir araya getirelim. 152 x - 3 3x + 2 + 3 7 = 1 2 x - 3 3x + 2 = 1 2-3 7 x - 3 3x + 2 = 7-6 14 x - 3 3x + 2 = 1 14 içler d fllar çarp m yapal m.
14 x - 3 = 3x + 2 14x - 42 = 3x + 2 11x = 44 x = 4 elde ederiz. Buldu umuz de eri denklemde yerine yazarak çözümün do rulu unu kontrol edelim. x - 3 3x + 2 + 3 7 = 1 2 x = 4 için 4-3 3. 4 + 2 + 3 7 =? 1 2 1 14 + 3 7 =? 1 2 1 14 + 6 14 =? 1 2 7 14 =? 1 2 1 2 = 1 2 Eflitlik sa land ndan buldu umuz x de eri do rudur. ÖRNEK 8 x - 2 + 1 2 = 5x - 2 x - 2 denkleminin çözüm kümesini bulal m. ÇÖZÜM 8 x - 2 + 1 2 = 5x - 2 x - 2 eflitsizli inde ifllem kolayl sa lamak amac yla paydalar eflit olan ifadeleri bir araya getirelim. 153
1 2 = 5x - 2 x - 2-8 x - 2 1 2 = 5x - 2-8 x - 2 1 = 5x - 10 içler d fllar çarp m yapal m. 2 x - 2 x - 2 = 10x - 20 9x = 18 x = 2 elde ederiz. Buldu umuz de eri denklemde yerine yazarak çözümün do rulu unu kontrol edelim. 8 x - 2 + 1 2 = 5x - 2 x - 2 x = 2 için 8 2-2 + 1 2 = 5. 2-2 2-2 8 0 + 1 2 = 8 0 x = 2 de eri payday 0 yapmaktad r. Bu nedenle 2 de eri denklemin çözümü olamaz. O hâlde denklemin çözüm kümesi bofl kümedir. 1. Afla daki denklemleri çözünüz. ALIfiTIRMALAR a) 3 2x + 3 + 4 5 = 5 2x + 1 + 1 5 b) x + x 2-2x 3 = 5 c) 1 3x - 1 = 1 x - 3 d) x + 6 5 = x 7 2. Afla daki problemlere uygun denklemler kurarak çözünüz. a) 1 2 'i ile 1 3 'i aras ndaki fark 5 olan say kaçt r? b) 3 5 'ünün 1 eksi i 20 olan say kaçt r? c) 10 eksi inin 3 'ü 36 olan say kaçt r? 4 d) Hangi say n n 3 fazlas n n 5 kat 75' tir? 154
DO RUSAL DENKLEM S STEMLER ÖRNEK Ayfle, terziye 1 pantolon ve 1 etek diktirmifl ve 50 TL ödemifltir. Funda da ayn terziye 3 pantolon ve 2 etek diktirmifl ve 130 TL ödemifltir. Bu terzi 1 ete i kaç TL ye dikmifltir. ÇÖZÜM Problemde verilen durumlara uygun denklemleri yazal m. Pantolonun fiyat x, ete in fiyat y olsun. x + y = 50 3x + 2y = 130 fleklinde iki bilinmeyenli iki denklem elde edilir. Bu denklem sisteminde bilinmeyenleri bulmak için iki farkl yol izleyebiliriz. 1. Yol (Yerine Koyma Yöntemi) I. x + y = 50 I. denklemden x = 50 - y eflitli ini yazabiliriz. II. 3x + 2y = 130 II. denklemde x yerine (50 - y) yazarak y de erini bulabiliriz. 3 (50 - y) + 2y = 130 150-3y + 2y = 130 150-130 = y y = 20 x + y = 50 denkleminde y yerine 20 yazarak x i bulabiliriz. x + 20 = 50 x = 30 elde edilir. Buldu umuz x ve y de erlerinin her iki denklemi de sa lamas gerekmektedir. x + y =? 50 3x + 2y =? 130 30 + 20 =? 50 50 = 50 130 = 130 3. 30 + 2. 20 =? 130 3. 30 + 2. 20 = 130 155
2. Yol (Yok Etme Yöntemi) Bu yöntemle çözüm yapabilmek için iki denklemde de bilinmeyenlerden birinin kat say lar eflit olmal d r. Ayn bilinmeyenin kat say lar eflit de ilse denklemlerden biri veya her ikiside s f rdan farkl bir say ile çarp larak kat say lar eflitlenir. ki denklem taraf tarafa toplanarak veya ç kart larak bir bilinmeyenli bir denklem elde edilir. Elde edilen bu bir bilinmeyenli denklem çözülerek bilinmeyen bulunur. Bulunan de er, denklemlerden herhangi birinde yerine konularak di er bilinmeyen bulunur. I. x + y = 50 I. denklemi 3 ile çarpal m. Böylece, II. 3x + 2y = 130 iki eflitli i taraf tarafa ç kart m zda x bilinmeyeni yok edilmifl olur. 3x + 3y = 150 3x + 2y = 130 y = 20 x + y = 50 denkleminde y yerine 20 yazarak x i bulal m. x + 20 = 50 x = 30 elde edilir. Ayn de iflkenleri içeren iki do rusal denklem do rusal denklem sistemi oluflturur. Do rusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma veya yok etme yöntemi kullan l r. Sistemin çözümü olan s ral ikili her iki denklemi sa lamal d r. ÖRNEK 4x + 3y = 32 3x + 2y = 23 denklem sisteminin çözüm kümesini bulal m. ÇÖZÜM Denklem sisteminin çözümünü yok etme metoduyla bulal m. 3/ 4x + 3y = 32 x lerin kat say lar n eflitleyelim. 4/ 3x + 2y = 23 12x + 9y = 96 12x + 8y = 92 y = 4 elde edilir. taraf tarafa ç karal m 4x + 3y = 32 denkleminde y yerine 4 yazarak x i bulal m. 4x + 3. 4 = 32 4x = 20 x = 5 elde edilir. Ç. K = {(5, 4)} tür. 156
ALIfiTIRMALAR 1. ki say n n toplam 95, farklar ise 45 tir. Bu say lar bulunuz. 2. Bir kesrin pay ve paydas ndan 1 ç kart rsak kesrin de eri 3, pay ve paydas na 1 eklersek kesrin de eri 5 4 oluyor. Bu kesri bulunuz. 6 3. Bahar ile annesinin yafllar fark 28 dir. 4 y l sonra annesinin yafl, Bahar n yafl n n 3 kat olacakt r. Bahar ile Annesinin flimdiki yafllar n bulunuz. 4. 15 soruluk bir testte 5 ve 10 puanl k sorular bulunmaktad r. Sorular n tamam do ru cevapland r ld nda 100 puan al rd na göre testte 5 ve 10 puanl k sorulardan kaçar tane vard r? 5. Hülya, kilogram 20 TL olan badem ile kilogram 10 TL olan f st ktan 400 graml k bir kar fl m alarak 7 TL ödemifltir. Hülya n n ald kar fl mda kaç gram f st k vard r? 6. Yeflim, kumbaras na hergün 25 Kr veya 50 Kr at yor. 30 gün sonra kumbaras nda 12 TL birikti ine göre, Yeflim kumbaras na kaç gün 50 Kr atm flt r? 4. Afla daki denklemleri çözünüz. a) 3x - 2y = - 7 4x - 3y = 24 b) x + y = 33 x - y = 13 c) 3x + y = 5 4x + 2y = 12 d) 4x + 3y = 15 x - y = 2 e) x + y = 5 2x - y = 10 f) 3x - 2y = 20 x + 2y = 2 157
ÖZET Ayn de iflkenleri içeren iki do rusal denklem do rusal denklem sistemi oluflturur. Do rusal denklem sistemlerinin çözümünde, yerine koyma veya yok etme yöntemi kullan l r. Sistemin çözümü olan s ral ikili her iki denklemi sa lamal d r. 158
1. TEST IV-I 1'inin 5 eksi inin yar s, 15 olan say kaçt r? 3 A) 60 B) 95 C) 105 D) 120 2. x 3 + x 2 + x 9 = x - 5 oldu una göre x kaçt r? A) 20 B) 30 C) 90 D) 180 3. x - 1 3 + x + 4 2 = x - 2 6 oldu una göre x kaçt r? A) -4 B) -3 C) 2 D) 6 4. 1 denkleminin reel say lardaki çözüm kümesi nedir? a + 2-1 a = 0 A) -2 B) 1 C) 0 D) 5. 72 cm uzunlu undaki bir tel iki parçaya ayr l yor. Parçalardan birinin uzunlu u di erinin 3 kat oldu una göre, küçük parçan n uzunlu u kaç santimetredir? A) 9 B) 18 C) 36 D) 54 159
6. Bir pastanede bir günde sat lan po aça ve böreklerin toplam say s 150 ve bu sat fltan elde edilen gelir 90 TL dir. Pogaça 50 Kr, börek 75 Kr oldu una göre kaç adet po aça sat lm flt r? A) 60 B) 70 C) 80 D) 90 7. Ard fl k befl tek say n n toplam n n üç kat 315 tir. Bu say lardan en büyü ü kaçt r? A) 23 B) 25 C) 46 D) 51 8. Toplamlar 87, farklar 11 olan iki say dan büyük olan kaçt r? A) 57 B) 50 C) 49 D) 38 9. 3x + y = 21 Denklem sisteminin çözümü olan s ral iki afla dakilerden x + 2y = 17 hangisidir? A) (5, 6) B) (6, 5) C) (3, 7) D) (7, 3) 10. x 2 + y 3 = 12 Denklem sistemini sa layan x de eri kaçt r? x 4 + y 3 = 10 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 160
Üçgenlerde Efllik ve Benzerlik ÖRNEK DEF ve KLM üçgenlerinin efl olduklar n gösterelim. DE = KL = 20 cm s E = s L EF = LM = 9 cm s F = s M DF = KM = 15 cm s D = s K oldu undan [EF] ile [LM], F ile M ve DF ile KM efltir. Bu nedenle D E Δ F Δ ile KL M efl üçgenlerdir. Bunu sembolle; DE Δ F KL M Δ fleklinde gösterebiliriz. 161
ki üçgenin karfl l kl aç lar n n ve karfl l kl kenarlar n n ölçüleri eflit ise bu iki üçgen eflittir denir. AB = KL s A = s K Δ AB Δ C KL M BC = LM s B = s L AC = KM s C = s M 1. Kenar - Aç - Kenar (K.A.K.) fiart ki üçgen aras nda birebir eflleme yap ld nda; bu üçgenlerin iki kenar ve bu kenarlar n oluflturdu u aç lar efl ise bu iki üçgen efltir. ÖRNEK 162
AB = DE AC = EF ve s A = s E Δ Δ ve ABC DEF olarak ifade edilir. oldu u için bu iki üçgen K. A. K. flart na göre efltir 2. Aç - Kenar- Aç (A.K.A.) fiart ki üçgen aras nda birebir eflleme yap l d nda; bu üçgenlerin ikifler aç s efl ve bu aç larla ortak olan kenar efl ise bu iki üçgen efltir. ÖRNEK KL = PR s K = s P s L = s R oldu u için bu iki üçgen A. K. A. flart na göre efltir ve Δ Δ KLM PRN olarak ifade edilir. 163
3. Kenar- Kenar - Kenar (K.K.K.) fiart ki üçgen aras nda birebir eflleme yap ld nda; bu iki üçgenin karfl l kl kenarlar n n uzunluklar eflit ise bu iki üçgen efltir. ÖRNEK NP = DE NR = DF PR = EF oldu u için bu iki üçgen Δ Δ NPR DEF olarak ifade edilir. K. K. K. flart na göre efltir ve 164
4. Kenar - Aç - Aç (K.A.A.) fiart ki üçgen aras nda birebir eflleme yap ld nda; bu üçgenlerin ikifler aç s efl ve bu aç lardan birbirine efl olan herhangi bir aç s n n karfl s ndaki kenarlar efl ise bu iki üçgen efltir. ÖRNEK DF = LN s D = s L s E = s M oldu u için bu iki üçgen K. A. A. flart na göre efltir ve Δ Δ DEF LMN olarak ifade edilir. 165
ALIfiTIRMA Afla da verilen üçgenlerin hangisi kurala göre efl olduklar n belirleyiniz. 166
a) ÖRNEK Afla da verilen üçgenlerin efl olduklar n, efllik flart n belirleyerek gösterelim. AE = ED = 4 cm BE = EC = 5 cm s AEB = s CED = 90 oldu undan K.A.K. efllik flart na göre, A E Δ B DE Δ C dir. b) s N = s S = 90 NR = RS = 8 cm s MRN = s SRT (ters aç ) oldu undan A. K. A. efllik flart na göre, Δ MN Δ R TS R dir. 167
MATEMAT K 8 Üçgenlerde Benzerlik Yukar daki haritalar farkl ölçeklerde çizilmifltir. Bu iki harita birbirine benzerdir. Üçgenlerin benzerli i için ise baz flartlar vard r. fiimdi bunlar inceleyelim. ÖRNEK Afla da verilen üçgenlerin benzer olup olmad klar n inceleyelim. ki üçgenin karfl l kl kenarlar n oranlayal m. AB 3 1 = = KL 6 2 AC = 5 =1 KM 10 2 BC 4 1 = = LM 8 2 168
Δ Δ ki üçgenin karfl l kl kenarlar n n oran ayn oldu undan ABC ve KLM benzer Δ Δ üçgenlerdir. ABC nin kenar uzunluklar, KLM nin kenar uzunluklar n n 1 oran nda 1 2 küçültülmüflütür. Bu nedenle benzerlik oran 2 dir. Aç - Aç - Aç (A.A.A.) Benzerlik Özelli i ki aç s efl olarak verilen üçgenlerin, üçüncü aç lar da efltir. Dolayas yla ikifler aç s efl olarak verilen üçgenler benzer üçgenlerdir. ÖRNEK s B = s E = 50 ve s C = s F = 85 verilmifltir. Üçgenlerin iç aç lar n n ölçüleri toplam 180 oldu undan, s A = s D = 45 dir. Δ Δ ABC ve DEF üçgenleri A.A.A. flart na göre benzerdir. Δ Δ ABC ~ DEF biçiminde gösterilir. 169
ÖRNEK Yukar da verilen KL M ve N Δ R Δ P üçgenlerinde s L = s R, s M = s P KL = 4 cm, NR = 6 cm ve PR = 15 cm oldu una göre, LM kaç santimetredir? ÇÖZÜM Δ KL M ve N R Δ P'ni karfl laflt ral m. s L = s R, s M = s P veriliyor. Üçgenin iç aç lar toplam 180 ve bu iki üçgenin ikifler aç lar efl oldu undan üçüncü aç lar s K = s N olur. Δ Δ KLM ve NRP üçgenleri A.A.A. flart na göre benzerdir. Δ Δ KLM ~ NRP oldu undan KL NR = LM RP = KM NP dir. 170 KL NR = LM PR 4 6 = LM 15 4. 15 = 6 LM LM = 4. 15 6 LM = 10 cm bulunur.
Kenar - Kenar- Kenar (K.K.K.) Benzerlik Özelli i Üçgenlerin bütün kenarlar orant l ise bu üçgenler benzer üçgenlerdir. ÖRNEK BC LM = AC KM = AB KL = 2 oldu undan orant l kenarlar n karfl s ndaki aç lar efl olaca için; Δ Δ ABC ve KLM üçgenleri K.K.K. flart na göre benzerdir. Kenar Aç -Kenar (K.A.K.) Benzerlik Özelli i Üçgenlerin ikifler kenarlar orant l ve bu orant l kenarlar n aras nda kalan aç lar efl ise bu üçgenler benzerdir. 171
AB MN = AC MR = 1 ve s A = s M dir. 3 Δ Δ ABC ve MNR K.A. K. flart na göre benzerdir. ÖRNEK Yukar da verilen MNP ve RST verilenlere göre MP kaç santimetredir? ÇÖZÜM Δ Δ MNP ve RST üçgenlerinde, aras ndaki orant 3 5 = 9 15 oldu undan, s N = s S ve eflit aç lar n kollar n n uzunluklar Δ Δ MNP ve RST üçgenleri K.A.K. flart na göre benzerdir. Δ Δ MNP ~ RST MN RS = NP ST = MP RT dir. 3 5 = 9 15 = MP 10 9 15 = MP 10 MP = 6 cm bulunur. 172
ÖRNEK Yandaki flekilde s EDF = s EHD = 90 ve s DEH = 60 dir. EHD, DHF, EDF üçgenlerinin benzerli ini, benzerlik flart n belirterek gösterelim. ÇÖZÜM Bir üçgenin iç aç lar n toplam 180 oldu undan s EFD = s EDH = 30 dir. Δ Δ Δ A.A. benzerlik flart ndan EHD ~ DHF ~ EDF dir. 173
ÖRNEK Yukar daki flekilde s KNP = s KM L, KN = 5 cm, KP = 3 cm ve NL = 4 cm oldu una göre, PM kaç santimetredir? ÇÖZÜM Δ Δ KNP ile KML karfl laflt ral m. s LKM = s NKP ortak aç, s KML = s KNP verilmifl, 174
Δ Δ A. A benzerlik flart ndan KNP ~ KML olur. Benzerlik orant s ndan, KN KM = KP KL 5 KM = 3 9 KM = 15 cm PM = 15-3 = 12 cm olur. ÖRNEK fiekilde görüldü ü gibi bir fl k kayna ndan 20 cm uzakl a, 15 cm boyunda bir kalem yerlefltiriliyor. Kalemin gölgesi, kalemden 40 cm uzaktaki perde üzerinde olufluyor. Buna göre, gölgenin uzunlu u kaç santimetredir? 175
ÇÖZÜM Sorunun çözümü için yukar daki gibi bir model çizelim. Gölgenin uzunlu una x diyelim. A. A. benzerlik flart ndan, Δ Δ DBE ~ ABC 20 60 = 15 x x = 45 cm. Gölgenin uzunlu u 45 cm olur. Benzer üçgenlerin alanlar oran benzerlik oran n n karesine eflittir. ÖRNEK Benzer iki üçgenin kenarlar oran ÇÖZÜM Kenarlar n n oran ; 3 5 ise alanlar oran kaçt r? 3 5 ise alanlar oran ; 3 2 = 9 5 25 olur. 176
ALIfiTIRMALAR Δ Δ 1. DEF ile DGF nin efl oldu unu gösteriniz ve efl aç lar yaz n z. Δ Δ 2. Afla daki flekilde ABE nin alan 240 cm 2 oldu una göre, ECD nin alan n bulunuz. 177
3. Afla da verilen flekilde [DE]//[BC], AD = 6cm, DB = 12 cm, EC = 9 cm ve BC = 21 cm oldu una göre, AE ve DE kaç santimetredir? 4. 160 cm boyundaki Gülcan n gölgesi 90 cm dir. Ayn anda gölgesi 180 cm olan dire inin uzunlu u kaç santimetredir? 178
5. fiekilde verilenlere göre, KM, PM ve MN bulunuz. 6. Afla da verilen dikdörtgendeki efl üçgenleri yaz n z. 179
ÖZET ki üçgenin karfl l kl aç lar n n ve karfl l kl kenarlar n n ölçüleri eflit ise bu iki üçgen efltir. Üçgenlerde efllik flartlar 1. Kenar-Aç -Kenar (K.A.K.) 2. Aç -Kenar-Aç (A.K.A.) 3. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) 4. Kenar-Aç - Aç (K.A.A.) ki üçgenin; ikifler aç lar n n efl, karfl l kl kenarlar n n orant l, karfl l kl iki kenar n n orant l ve dahil ettikleri aç lar n n efl olmalar durumunda bu üçgenler benzerdir. Üçgenlerde benzerlik flartlar 1. Aç -Aç -Aç (A.A.A.) 2. Kenar-Kenar-Kenar (K.K.K.) 3. Kenar-Aç -Kenar (K.A.K.) fleklinde adland r l r. Benzer üçgenlerin alanlar oran benzerlik oran n n karesine eflittir. 180
TEST IV-II Δ Δ 1. Bir DEF üçgeninde DE = 8 m, DF = 12 cm ve EF = 16 cm dir. DEF ~KLM ve Δ üçgenlerin benzerlik oran 3 oldu una göre KLM i afla dakilerden hangisidir? 4 181
2. Güneflli bir günde, boyu 160 cm olan Gülflen in gölgesinin uzunlu u 180 cm dir. Ayn anda gölgesinin uzunlu u 450 cm olan a ac n boyu kaç santimetredir? A) 300 B) 350 C) 400 D) 450 3. fiekilde [DE] // [BC] oldu una göre, DE kaç santimetredir? A) 9 B) 12 C) 18 D) 24 182
Δ Δ Δ 4. ABC ~ KLM oldu una göre, s(kml) kaç derecedir? A) 60 B) 70 C) 120 D) 140 Δ Δ 5. NMP ~ KLP oldu una göre, bu üçgenlerin benzerlik oran nedir? A) 1 3 B) 1 2 C) 3 4 D) 2 183
6. Afla daki flekilde verilenlere göre TR kaç santimetredir? A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 7. Afla daki flekilde [AB] // [CD] oldu una göre CD kaç santimetredir? A) 6 B) 10 C) 12 D) 24 8. ABC DEF oldu una göre, afla daki ifadelerden hangisi yanl flt r? A) DE = KN B) AC = DF C) s BAC = s EDF D) s CBA = s FED 184
9. fiekildeki ABC üçgeninde [DE] // [BC] 3 AE = AC ve BC = 24 cm oldu una göre, DE kaç santimetredir? A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 10. fiekilde görüldü ü gibi, bir fl k kayna ndan 20 cm uzakl a, 12 cm boyunda bir kalem yerlefltiriliyor. Kalemin gölgesi, kalemden 40 cm uzakl ktaki perde üzerinde olufluyor. Buna göre, gölgenin uzunlu u kaç santimetredir? A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 185
11. Afla daki AED üçgeninde verilenlere göre, ED kaç santimetredir? A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 Δ Δ 12. fiekilde KNP ~ KML ve üçgenlerin benzerlik oran 1 3 'tür. KN = 3 cm ve KP = 6 cm ise NL + PM kaç santimetredir? 186 A) 9 B) 12 C) 15 D) 18
13. Afla daki ABC inde [DE] // [BC] oldu una göre, BC kaç santimetredir? A) 6 B) 8 C) 9 D) 15 Δ Δ 14. Yukar daki ABC ve DEF üçgenlerinde verilenlere göre afla daki ifadelerden hangisi do rudur? Δ Δ A) ABC DFE Δ Δ B) ACB DEF Δ Δ C) ACB DFE Δ Δ D) ABC DEF 187
GEOMETR K C S MLER Üçgen Prizma Olufltural m Renkli kartonlardan birbirine efl iki üçgen çizelim ve keselim. Birer kanar uzunlu u bu üçgenlerin bu kenarlar na eflit olan, di er kenar uzunluklar ise kendi aralar nda birbirine eflit olan üç tane dikdörtgensel bölgeyi yanyana çizelim ve keselim. Kesti imiz üçgenleri kenar uzunluklar na dikkat ederek yap flt ral m. 188
fiekli katlayarak kapal hale getirelim. Oluflturdu umuz fleklin hangi geometrik flekillerden meydana geldi ini inceleyiniz, temel elemanlar n n neler olabilece ini düflününüz. Tabanlar üçgen, yan yüzleri dikdörtgen olan prizmaya üçgen dik prizma denir. Karfl l kl iki yüzde paralel ve efl olan üçgenler, üçgen prizman n tabanlar, dikdörtgensel bölgenin birlefltirilmesiyle elde edilen yüzey ise yanal yüzey dir. Üçgen prizman n temel elemanlar taban, yan yüz, ayr t, köfle ve yüksekliktir. Yanal ayr tlar tabanlara dik olan üçgen prizmalara üçgen dik prizma, denir. 189
Hat rlatma Bir flekil kendi merkezi etraf nda döndürüldü ünde 360 den küçük aç l dönmelerde en az bir defa kendisi ile çak fl yorsa bu flekil dönme simetrisine sahiptir. Eflkenar üçgen prizmada tabanlar n merkezinden geçen do ru eksen dir. 190
ÖRNEK Afla da verilen eflkenar üçgen prizman n dönme simetrisine sahip olup olmad n belirleyelim. Prizmam z ekseni etraf nda iki kez 60 lik aç ile afla daki gibi döndürelim. Eflkenar üçgen prizma ekseni etraf nda 60 lik dönmelerde dönme simetrisine sahiptir. Eflkenar üçgen prizma ekseni etraf nda 120 lik dönmelerde dönme simetrisine sahiptir. 191
ALIfiTIRMALAR 1. Afla da verilen üçgen prizmalar n aç n mlar n çiziniz? 2. Taban ayr tlar n n uzunluklar 26 cm, 24 cm ve 10 cm, yüksekli i 10 cm olan bir üçgen prizma çiziniz. 3. Afla da verilen üçgen prizman n aç n m n çiziniz? 192
4. Afla da verilen dikdörtgenler prizmas ndan ve beflgen prizmadan üçgen prizma elde ediniz. 193
Üçgen Prizman n Yüzey Alan ve Hacmi ÖRNEK Afla da verilen üçgen prizman n yüzey alan n bulal m. ÇÖZÜM Bunun için önce üçgen prizman n aç n m n çizelim. Aç n mda tabanlar üçgensel bölge yanal yüz ise dikdörtgensel bölge fleklindedir. Yüzey alan n bulmak için iki üçgensel bölgenin alan ile dikdörtgensel bölgenin alan n hesaplay p bu alanlar toplayal m. Üçgensel bölgenin alan : 5.12 2 = 30 cm2 194
Dikdörtgensel bölgenin alan : Üçgenin çevresi x yükseklik = (5 + 12 + 13) x 15 = 450 cm 2 Prizman n yüzey alan : 2.30 + 450 = 510 cm 2 olur. Dik üçgen prizman n yüzey alan, yanal yüz ile alt ve üst taban alanlar n n toplam na eflittir. Üçgen prizman n yüzey alan = Üçgenin çeve uzunlu u x yükseklik + 2. üçgenin alan Not: Kare prizma, küp ve dikdörtgenler prizmas n n yüzey alanlar n hesaplamay hat rlayal m. 195
ÖRNEK Taban ayr tlar ndan biri 6 cm ve yüksekli i 10 cm olan düzgün alt gen dik prizma n n yüzey alan n hesaplayal m. Yüzey alan = (2 taban alan ) + (Alt genin çevresi x yükseklik) Taban oluflturan düzgün alt genin alan, 6 tane eflkenar üçgenin alan na eflittir. Not: Eflkenar üçgenin alan n n a 2 3 4 oldu unu hat rlayal m. 196
Düzgün alt genin alan = 6. 62 3 4 = 54 3cm 2 Yüzey alan = 2. 54 3 + 6. 6.10 = 108 3 + 360 cm 2 bulunur. Dik Prizmalar n Hacmi ÖRNEK fiekilde verilen üçgen dik prizma fleklindeki kutunun taban alan 20 cm 2, yüksekli i 15 cm dir. Bu prizman n hacmini hesaplay n z. ÇÖZÜM Üçgen dik prizma fleklindeki kutunun hacmini bulal m. Hacim = V = Taban alan x yükseklik = 20 x 15 = 300 cm 3 bulunur. 197
Üçgen prizman n hacmi üçgensel bölgenin alan ile üçgen prizman n yüksekli inin çarp m d r. Hacim = taban alan x yükseklik V = a. h 2. y ÖRNEK Dik üçgen dik prizma fleklindeki bir deterjan kutusunun taban n n dik kenarlar ndan biri 12 cm, di eri 9 cm dir. Yüksekli i 25 cm olan bu kutunun hacmini hesaplay n z. ÇÖZÜM 198
Hacim = V = Taban alan x yükseklik = 54 x 25 = 1350 cm 3 Bütün prizmalarda hacim, prizman n taban alan ile yüksekli inin çarp m na eflittir. ÖRNEK Taban ayr tlar ndan birinin uzunlu u 4 cm ve yüksekli i 10 cm olan düzgün alt gen prizma fleklindeki çikolata kutusunun hacmini bulunuz. ÇÖZÜM Hacim = V = Taban alan x yükseklik = 6. 42 3 4. 10 = 240 3 cm 3 tür. ÖRNEK Taban alan 30 cm 2, yüksekli i 12 cm olan düzgün beflgen prizman n hacmini hesaplay n z. ÇÖZÜM Hacim = V = Taban alan x Yükseklik = 30. 12 = 360 cm 3 tür. 199
Piramit, Koni ve Küre Piramit- Koni - Küre 200
Piramit ve Özellikleri Afla daki piramidin temel elemanlar n belirleyelim. Piramidin temel elemanlar tepe noktas, taban, yan yüzleri, ayr lar ve yüksekli idir. 201
Piramitler, tabanlar ndaki çokgenlerin çeflitlerine göre adland r l r. Üçgen piramit, kare piramit, beflgen piramit v.b Piramitlerde, tepe noktas n taban merkezine (a rl k merkezi) birlefliren do ru parças tabana dik ise piramite dik piramit e ik ise e ik piramit denir. Koni ve Özellikleri Bir dairenin bütün noktalar n, daire düzlemi d fl nda al nan bir A noktas ile birlefltiren do ru parças n n oluflturdu u cisme koni denir. Afla da verilen koninin taban n, yanal yüzeyini, tepe noktas n ve eksenini belirle yip aç n m n çizelim. 202
Koninin temel elemanlar, bir dairesel bölge olan taban, taban n d fl nda bir tepe noktas, tepe noktas n taban merkezine birlefltiren do ru parças olan eksen tepeden geçen ve taban n kenar olan çembere dayanan ana do ru ve bu do runun süpürdü ü yanal yüzey dir. Ekseni tabana dik olan koni dik koni veya dönel koni, e ik olan ise e ik koni olarak adland r l r. Dik koniler, eksen etraf ndaki dönmelerde dönme simetresine sahiptir. Küre ve Özellikleri Bir dairenin, herhangi bir çap etraf nda 180 döndürülmesiyle elde edilen geometrik cisme küre denir. Kürenin temel elemanlar ; merkezi, yar çap ve yüzeyidir. Yukar daki küre, E düzlemi taraf ndan kesilmifltir. E düzlemi kürenin merkezinden geçmektedir. Bu durumda elde edilen daire kürenin en büyük dairesidir. Bu flekilde oluflan dairenin çap ise kürenin çap d r. 203
ALIfiTIRMALAR 1. Afla da verilen üçgen prizmalar n yüzey alanlar n ve hacimlerini bulunuz. 204
2. Hacmi 720 cm 3 olan üçgen prizma fleklindeki kutunun taban alan 60 cm 2 dir. Bu prizman n yüksekli ini bulunuz. 3. Afla da verilen prizmalar n yüzey alan n ve hacimlerini hesaplay n z. 205
4. Afla da verilen kare prizma fleklindeki tahta taban n n köflegeni boyunca ikiye ayr larak yeflil ile boyal cisim elde ediliyor. Bu cismin yüzey alan n ve hacmini hesaplay n z. 5. Taban beflgen fleklinde olan bir piramidin köfle, ayr t ve yüz say s n bulunuz. 6. Afla da verilen geometrik cisimlerin yüksekliklerini çizerek hangilerinin dik hangilerinin e ik oldu unu belirleyiniz. 206
ÖZET Tabanlar üçgen, yan yüzleri dikdörtgen olan prizmaya üçgen dik prizma denir. Üçgen prizman n temel elemanlar taban, yan yüz, ayr t, köfle ve yüksekliktir. Eflkenar üçgen prizmada tabanlar n merkezinden geçen do ru eksen dir. Üçgen prizman n yüzey alan = Üçgenin çevre uzunlu u x yükseklik + 2 üçgenin alan üçgen prizman n hacmi, üçgensel bölgenin alan ile üçgen prizman n yüksekli inin ç a r p m d r. Hacim = taban alan x yükseklik V = a.h 1 2.h 2 Bütün prizmalarda hacim, prizman n taban alan ile yüksekli in çarp m na eflittir. Piramidin temel elemanlar tepe noktas, taban, yan yüzleri, ayr tlar ve yüksekli idir. Piramitler, tabanlar ndaki çokgenlerin çeflitlerine göre adland r l r. Üçgen piramit, kare piramit, beflgen piramit v.b Piramitlerde, tepe noktas n taban merkezine (a rl k merkezi) birlefltiren do ru parças tabana dik ise piramide dik piramit e ik ise e ik piramit denir. Bir dairenin bütün noktalar n, daire düzlemi d fl nda al nan bir A noktas ile birlefltiren do ru parças n n oluflturdu u cisme koni denir. Koninin temel elemanlar, bir dairesel bölge olan taban, taban n d fl nda bir tepe noktas, tepe noktas n taban merkezine birlefltiren do ru parças olan eksen tepeden geçen ve taban n kenar olan çembere dayanan ana do ru ve bu do runun süpürdü ü yanal yüzey dir. 207
Ekseni tabana dik olan koni dik koni veya dönel koni e ik olan ise e ik koni olarak adland r l r. Bir dairenin, herhangi çap etraf nda 180 döndürülmesiyle elde edilen geometrik cisme küre denir. 208
1. Üçgen prizman n kaç ayr t vard r? TEST IV-III A) 6 B) 9 C) 12 D) 16 2. Yanal alan 210 cm 2 ve taban çevresi 30 cm olan bir üçgen prizman n yüksekli i kaç santimetredir? A) 21 B) 15 C) 10 D) 7 3. fiekilde verilen dik üçgen dik prizman n yüzey alan kaç santimetrekaredir? A) 360 B) 408 C) 456 D) 720 209
4. Afla da verilen üçgen dik prizman n hacmi kaç metreküptür? A) 48 B) 24 C) 12 D) 6 5. Taban çevresinin uzunlu u 26 cm olan üçgen dik prizman n yüksekli i 10 cm oldu una göre, prizman n yanal alan kaç santimetrekaredir? A) 65 B) 130 C) 195 D) 260 6. Düzgün alt gen piramidin kaç yüzü vard r? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 7. Bir taban ayr t n n uzunlu u 12 cm ve yüksekli i 20 cm olan düzgün alt gen piramitin hacmi kaç santimetreküptür? A) 1440 3 B) 2160 3 C) 4320 3 D) 6480 3 210
8. a, b, c, d ve h ayr t uzunluklar n göstermek üzere, yukar da bir üçgen dik prizma n n aç k flekli çizilmifltir. Bu çizim yap l rken afla dakilerden hangisinde verilen eflitlikler kesinlikle do rudur? A) a = d ve a = h B) c = b ve a = d C) a = b ve d = c D) h = b ve h = d 9. Afla daki üçgen prizmalardan hangisi dönme simetrisine sahiptir? 211
10. Yukar daki cisim hangi cisimlerin birlefltirilmesinden oluflmufltur? A) Küre - Koni B) Silindir- Piramit C) Koni- Silindir D) Küre- Silindir 11. Taban yar çap n n uzunlu u 4 cm, yüksekli i 15 cm olan dik silindirin yanal alan kaç santimetrekaredir? (π yi 3 al n z.) A) 180 B) 360 C) 540 D) 720 12. Beflgen piramidin kaç köflesi vard r? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 13. Alan 150 cm 2 olan küpün tüm ayr tlar n n uzunluklar toplam kaç santimetredir? A) 20 B) 40 C) 60 D) 70 212