T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ZAMAN SERİSİ MODELLERİ ÜZERİNE BİR SİMÜLASYON ÇALIŞMASI

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ZAMAN SERİSİ MODELLERİ ÜZERİNE BİR SİMÜLASYON ÇALIŞMASI Tufan ÖZEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Konya,

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ZAMAN SERİSİ MODELLERİ ÜZERİNE BİR SİMÜLASYON ÇALIŞMASI Tufan ÖZEK YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Bu ez... / / ariinde aşağıdaki üri arafından oybirliği ile kabul edilmişir.......... Yrd.Doç.Dr.İsmail KINACI DoçDr.Aşır GENÇ Doç.Dr.M.Fedai KAYA (Danışman) (Üye) (Üye)

ÖZET Yüksek Lisans Tezi ZAMAN SERİSİ MODELLERİ ÜZERİNE BİR SİMÜLASYON ÇALIŞMASI Tufan ÖZEK Selçuk Üniversiesi Fen Bilimleri Ensiüsü İsaisik Anabilim Dalı Danışman: Yrd.Doç.Dr.İsmail KINACI, 56 Sayfa Jüri: Doç.Dr. Aşır GENÇ Doç.Dr. M.Fedai KAYA Yrd.Doç.Dr.İsmail KINACI Bu ez çalışmasında gözlenmiş bir zaman serisi için bir başlangıç modelinin belirlenmesinde kullanılan çeşili grafikler irdelenmişir. İrdeleme için çeşili zaman serisi modellerinden simülasyonla üreilen seriler göz önüne alınmışır ve elde edilen seri için çeşili grafikler oluşurularak bir başlangıç model yada modeller sınıfı belirlenmeye çalışılmışır. Ayrıca bir zaman serisi için model belirlemede oldukça yararlı olan grafiksel özellikler farklı zaman serisi modelleri için incelenmişir. Anaar Kelimeler: Doğrusal zaman serisi modelleri, Doğrusal olmayan zaman serisi modelleri, Simülasyon. i

ABSTRACT Maser Tesis A SIMULATION STUDY ON TIME SERIES MODELS Tufan ÖZEK Selçuk Universiy Graduae Scool of Naural and Applied Sciences Deparmen of Saisics Supervisor:Ass.Prof.Dr. İsmail KINACI, 56 Pages Jury: Assoc.Prof.Dr. Aşır GENÇ Assoc.Prof.Dr. M.Fedai KAYA Ass.Prof.Dr. İsmail KINACI In is esis, i is invesigaed some graps o deermine e iniial model for a ime series. Various series generaed from ime series models via simulaion are considered for invesigaion and i is ried o deermine an iniial model or model class for generaed series by using various graps. Moreover, i is invesigaed grapical properies of differen ime series models. Key Words: Linear ime series models, Nonlinear ime series models, Simulaion. ii

TEŞEKKÜR Bu çalışma konusunu bana veren ve çalışmalarım süresince yakın ilgi ve yardımlarını içbir zaman esirgemeyen değerli ocam Sayın Yrd. Doç.Dr. İsmail KINACI ya, çalışmamda yardımcı olan ocam Sayın Doç.Dr. Coşkun KUŞ a, maddi ve manevi deseğini esirgemeyen arkadaşım Sayın Öğr. Gör. Muamme KIZIL a ve İngilizce öğremeni arkadaşım Sayın Serkan DALDAL a eşekkürlerimi sunarım. iii

ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil.. Muemel Trend Şekilleri.....5 Şekil.. Deerminisik Trend (I ve II) ve Sokasik Trend (III).....5 Şekil 3.. Zaman serisi modelinin belirlenme süreci... Şekil 4.. için serisinin yönlendirilmiş saçılım grafiği.......9 Şekil 5.. Şekil 5.. Şekil 5.3. Şekil 5.4. serisinin grafiği 3 serisinin ACF ve PACF grafikleri...3 serisinin grafi..3 serisinin ACF ve PACF grafikleri....3 Şekil 5.5. Y serisinin grafiği...33 Şekil 5.6. Y serisinin ACF ve PACF grafiği...33 Şekil 5.7. Şekil 5.8. Şekil 5.9. Şekil 5.. Şekil 5.. Şekil 5.. Şekil 5.3. Şekil 5.4. Şekil 5.5. Şekil 5.6. Şekil 5.7. Şekil 5.8. 3 serisinin grafiği....34 3 serisinin ACF ve PACF grafiği... 35 4 serisinin grafiği....36 4 serisinin ACF ve PACF grafiği......36 5 serisinin grafiği.. 37 5 serisinin ACF ve PACF grafiği......38 6 serisinin grafiği...39 6 serisinin ACF ve PACF grafiği...39 7 serisinin grafiği.. 4 7 serisinin ACF ve PACF grafiği......4 8 serisinin grafiği.. 4 8 serisinin ACF ve PACF grafiği.. 4 Şekil 5.9. serinin grafiği....43 Şekil 5.. serisinin ACF ve PACF grafikleri.. 43 iv

Şekil 5.. e karşı Şekil 5.. e karşı nin noka grafiği....44 nin yönlendirilmiş saçılım grafiği.. 45 Şekil 5.3. için g fonksiyonunun c ye göre grafiği.46 Şekil 5.4. serinin grafiği...46 Şekil 5.5. ve için g fonksiyonunun Şekil 5.6. e karşı Şekil 5.7. e karşı Şekil 5.8. c ye göre grafiği...47 nin noka grafiği..48 nin yönlendirilmiş saçılım grafiği....48 3 serisinin grafiği...49 Şekil 5.9. 3, e karşı 3 nin noka grafiği..49 Şekil 5.3. 4 serisinin grafiği..5 Şekil 5.3. 4, e karşı 4 nin noka grafiği.5 v

İÇİNDEKİLER. GİRİŞ.... TEMEL KAVRAMLAR... 4.. Zaman Serisi... 4.. Zaman Serisinin Bileşenleri... 4.3. Durağanlık... 6.3.. Güçlü Durağanlık... 7.3.. Zayıf Durağanlık... 7.4. Ookovaryans ve Ookorelasyon Fonksiyonu... 8.5. Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu... 8.6. Beyaz Gürülü Serisi... 9 3. DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ... 3.. Harekeli Oralama (MA) Modelleri... 3.. Ooregresif (AR) Modeller... 3 3.3. Ooregresif Harekeli Oralama (ARMA) Modelleri... 6 3.4. Büünleşik Ooregresif Harekeli Oralama (ARIMA) Modelleri... 7 3.5. Model Teşisi... 9 3.5.. Model Belirleme Süreci (Box-Jenkins Meodoloisi)... 9 4. DOĞRUSAL OLMAYAN ZAMAN SERİSİ MODELLERİ... 4.. Eşiksel Ooregresif (TAR) Modeller... 4... Yapısal paramerelerin seçimi... 4 4.. Düzgün Geçişli (Smooing Transiion) Ooregresif (STAR) Modeller... 5 4.3. Değişen Varyans Koşullu Ooregresif (ARCH) Modeller... 7 4.4. Lineer Olmayan Yapıların Teşisi... 9 5. SİMÜLASYON... 3 5.. Doğrusal Zaman Serisi Modelleri... 3 5.. Doğrusal Olmayan Zaman Serisi Modelleri... 4 5... STAR Modelleri... 43 5... TAR Modelleri... 49 6. SONUÇ... 5 KAYNAKLAR... 53 vi

. GİRİŞ Bir zaman serisi, zaman içinde periyodik (saalik, günlük, aylık, yıllık vb.) olarak yapılan gözlemlerin bir dizisidir. Bilimin birçok saasında zaman serisi verileri ile oldukça sık karşılaşılmakadır. Örneğin bir nerin günlük oralama debisi, bir baradaki saalik su seviyesi, belli bir bölgedeki günlük oralama sıcaklık değerleri ve yağış mikarları, yıllık işsizlik oranları, günlük borsa endeksi, aylık ükeici fiya endeksi, günlük döviz kuru verileri, borsa endeksi gibi bir çok veri ile karşılaşılabilmekedir. Bu ür zamana bağlı verilerin analizi ile ilgili isaisiksel meodoloi zaman serisi analizleri olarak adlandırılmakadır. Zaman serisi analizlerini lineer ve lineer olmayan zaman serisi analizleri olarak başlıca iki grupa incelemek mümkündür. Lineer zaman serisi analizleri, eori ve uygulamalarının kolay olması nedeniyle genelde erci edilmesine rağmen bazı durumlarda lineer olmayan zaman serisi analizlerinin kullanılması kaçınılmaz olmakadır. Doğrusal olmayan zaman serisi modelleri kullanılarak yapılan bazı çalışmalar aşağıda verilmişir. Tong ve Lim (98), yıllık güneş lekesi sayısı ve Kanada vaşak verisinde sergilenen asimerik ve periyodik davranışın eşiksel ooregresif (TAR) model ile açıklanabileceğini gösermişlerdir. TAR modelleri aynı zamanda finansal ve ekonomik zaman serilerine de uygulanabilmekedir. Örneğin Tyssedal ve Toseim (988), 984 ile 987 yılları arasındaki Hang Seng indeksinin analizinde TAR modellerini kullanmışlardır. Li ve Lam (995), 97 ile 99 yılları arasındaki Hong Kong Hang Seng indeksindeki asimerik davranışları belirlemişler ve bu seriyi lineer olmayan bir model olan eşiksel ooregresif (TAR) modeli ile modellemeye çalışmışlardır. Hall ve ark.(), ariinde el nino fırınası verilerini düzgün geçişli ooregresif (STAR) model ile karakerize ederek, birkaç ay öncesinden el nino olaylarını amin emeye çalışmışır. Kamarianakis ve Prasacos (5), rafik akışı yapılarındaki lineer olmayan yapıyı STAR modeli ile çözümleyerek açıklamışır. Narayan (6), eşiksel ooregresif (TAR) modelini 964:6-3:4 arileri arasında amerikan aylık sok price verilerine uygulamış ve bu isse fiyalarının

davranışlarındaki lineer olmayan yapıyı bu model ile karakerize emişir. Sen ve Ciang (999), faiz oranlarıyla enflasyonun yüksek ve düşük değerde olması arasındaki ilişkiyi TAR modeli ile karakerize emişir. Bu modelle beraber TAR modelinin vekörel bazda incelenmesinin de olumlu sonuçlar verdiğini görmüşür. Konik ve ark. (9), ses üreiminin ooregresif modellemesine dayanan diial modülasyon ekniği kullanarak en uygun GSM veri akarımının yapılabilmesi için AR modelinden faydalanmışır. Domain ve Louon (997), gerçek ekonomik akivie ile isse senedi kazançları arasındaki ilişkiye yönelik lineer olmayan yapıyı TAR modeli ile karakerize emişir. Ceong (9), am perol piyasasında amin ve modelleme yapmak için değişen varyans koşullu ooregresif (ARCH) modelini kullanmışır. Baı eksas ve avrupa bren perol pazarlarındaki fiya değişkenliğini ARCH modeli ile karakerize ederek incelemişir. Crisodoulakis ve Sacell (), finansal varlık kazançlarının zamana göre değişkenlik arz eden modelin amin edilerek ekili ve doğru kararlar alınabilmesi için lineer olmayan yapıyı ARCH modeli ve iki değişkenli genelleşirilmiş ARCH (GARCH) modelleriyle karakerize emişir. Gooier ve Anguera (3), sokasik enflasyon modellerinin gelişirilmesi ve aylık enflasyon ve mevsimsel dalgalanmaların dinamiklerini SETAR modeli ile karakerize ederek aminde bulunmuşur. Zaman serisi analizlerinde en önemli amaç, serinin gözlendiği dönemden ileriki dönemlerdeki değerleri akkında öngörüde bulunmakır. Öngörülerin anlamlı ve güvenilir olabilmesi iç şüpesiz ki zaman serisi için belirlenen modelin uygunluğuna bağlı olacakır. Seri için belirlenen modelin yanlış bir model olması durumunda modelden elde edilen öngörüler de yanlış ve anlamsız olacakır. Bir zaman serisi için serinin ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonlarına bakılarak serinin ooregresif (AR) yada arekeli oralama (MA) modeline uygun olup olmadığı belirlenebilmekedir. Ancak gerçeke, serinin AR yada MA modellerinden farklı bir modele uyması durumunda ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarına bakılarak karar verilememekedir. Ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayıları zaman serisinin geçmiş dönemleri ile olan doğrusal ilişkisinin bir ölçüsü olduğu düşünüldüğünde serisinin geçmiş dönemleri ile olan

3 ilişkisinin doğrusal olmaması durumunda bu kasayılar bir anlam ifade ememekedir. Lineer olmayan bir zaman serisi modeli için paramere amini ve bazı isaisiksel sonuç çıkarımların elde edilmesi zor ve zameli uğraşlar gerekirdiği için, veriye lineer olmayan bir model belirlemeden önce verideki lineer olmayan yapının güçlü kanılarla oraya konulması gerekmekedir. Bu ez çalışmada farklı seriler için, serilerdeki doğrusal ve doğrusal olmayan yapılar çeşili grafiklerle belirlenmeye çalışılmışır. Çalışmanın ikinci bölümünde, zaman serisi, zaman serisinin bileşenleri, durağanlık kavramı, ookovaryans ve ookorelasyon fonksiyonu ve beyaz gürülü süreci gibi ez içerisinde kullanılacak olan emel kavramları ele alınmışır. Üçüncü bölümünde AR, MA, ARMA ve ARIMA gibi lineer zaman serisi modelleri anıılmışır. Çalışmanın dördüncü bölümünde, lineer olmayan zaman serisi modellerinden TAR, SETAR, EAR, STAR, ARCH modelleri ve serideki lineer olmayan yapının eşisi için kullanılabilecek grafikler anıılmışır. Beşinci bölümde ise simülasyonla üreilen farklı seriler için serideki doğrusal ve doğrusal olmayan yapıların varlığı incelenerek üreilen seri için bir model belirlenmeye çalışılmışır.

4. TEMEL KAVRAMLAR.. Zaman Serisi serisi,u, P bir olasılık uzayı, T de bir indis kümesi olmak üzere, bir zaman T çarpım uzayından reel sayılara giden, (.,.) : T (, ) (, ) şeklinde bir fonksiyondur ve bu fonksiyon kısaca ile göserilecekir... Zaman Serisinin Bileşenleri Zaman serisi analizinde, farklı zaman nokalarındaki gözlemler arasındaki bağımlılık araşırılmakadır. Bu bağlamda bir zaman serisini oluşuran bileşenlerin oraya çıkarılması gerekmekedir. Bir zaman serisi için dör bileşen söz konusudur. Trend Devresel arekeler Mevsimsel değişiklikler Rassal değişiklikler Trend, değişkenin uzun dönem arekeini oraya koyan bir bileşendir. Trend ekisini üzerinde barındıran bir seri, zaman ilerledikçe aran veya azalan bir görünüm sergiler. Başka bir deyişle rend, zamanın aran ya da azalan bir fonksiyonudur. Bu fonksiyon bazen zamana göre doğrusal olabildiği gibi bazen de doğrusal olmayan bir yapıda karşımıza çıkabilmekedir. Gerçekleşmesi mümkün olan birkaç eğrisel ve doğrusal rend şekilleri Şekil. de göserilmişir.

5 Aran Doğrusal Trend Azalan Oranda Eğrisel Arış Aran Oranda Eğrisel Azalış Azalan Doğrusal Trend Azalan Oranda Eğrisel Azalış Aran Oranda Eğrisel Arış Şekil.. Muemel rend şekilleri Bir zaman serisindeki rend iki şekilde karşımıza çıkabilmekedir. Deerminisik rend (sürekli arış veya sürekli azalış) Sokasik rend (zaman içinde genel eğilimi arış faka bazen düşüşlerinde olduğu renddir) II III I Şekil.. Deerminisik rend (I ve II) ve sokasik rend (III) Uzun dönemli rend eğrisi erafında arış ve azalışlarla oluşan dalgalanmalar devresel arekeler olarak adlandırılır. Devresel arekeleri belirlemede en çok kullanılan yönem Box-Jenkins yönemidir ve bu yönem Kesim 3.5. de verilmişir. Bir zaman serisinde 3 aylık, aylık veya afalık gibi bir yıl içerisinde özel bir zaman

6 diliminde periyodik olarak meydana gelen arış veya azalış zaman serisindeki mevsimsel değişimleri meydana geirmekedir. Bir zaman serisindeki, rend, devresel arekeler ve mevsimsel değişimin arındırılmasından sonra bu seride geriye kalan değişimler rassal değişiklikler olarak adlandırılmakadır. Bir zaman serisi rend (T), devresel arekeler (C), mevsimsel değişiklikler (S) ve rassal değişiklikler (R) olarak dör bileşenden oluşmakadır. Lieraürde bir zaman serisi için, bu dör bileşene bağlı olarak aşağıdaki gibi göserilen oplamsal model veya çarpımsal model olarak iki ür model ele alınmakadır. Toplamsal Model : Çarpımsal Model : T C S R T. C. S. R Açıkır ki bu bileşenlerden biri belirlendiğinde, zaman serisinden bu bileşeni ayrışırmak modelin oplamsallığına veya çarpımsallığına göre değişecekir. Örneğin oplamsal bir modelden rend T C S R çarpımsal bir modelden rend T C. S. R şeklinde ayrışırılabilmekedir..3. Durağanlık Zaman serisi analizlerinde en önemli kavramlardan biri durağanlıkır. Bir zaman serisinin durağanlığı kısaca aşağıdaki şekilde anımlanabilmekedir.

7.3.. Güçlü Durağanlık Bir zaman serisi göz önüne alınsın. Eğer erangi,,, n T için (,,, ) nin orak dağılımı sadece,,, n değerlerine bağlı ve n den bağımsız ise yani, f ( x, x,, x ) f ( xk, xk,, xk ),, k T n n şeklinde (,,, ) ile ( k, k,, k ) rasgele vekörlerinin orak n n olasılık yoğunluk fonksiyonları aynı ise zaman serisine güçlü durağandır denir..3.. Zayıf Durağanlık Kesim.3. de anımlanan güçlü durağanlık özelliğinin uygulamalarda sağlanabilmesi oldukça güçür. Bu nedenle zaman serisi analizlerinde durağanlık kavramı genellikle, daa afif koşullara saip olan zayıf durağanlık biçiminde ele alınmakadır. Bir zaman serisinin zayıf durağanlığı aşağıdaki şekilde anımlanmakadır. bir zaman serisi olmak üzere eğer, i- T için E ) (Yani serinin oralaması zaman içinde sabiir) ( ii-, s T için Cov, ) kovaryansı ve s ye değil sadece s ( s değerine bağlıdır özellikleri sağlanıyorsa zaman serisine zayıf durağandır veya kovaryans durağandır yada sadece durağandır denir (Akdi, 3).

8.4. Ookovaryans ve Ookorelasyon Fonksiyonu Zaman serisi analizlerinde ookovaryans ve ookorelasyon fonksiyonu en önemli araçlardan biridir. Bu fonksiyonlar em zaman serisi modellerinin belirlenmesinde em de durğanlığın araşırılmasında kullanılabilmekedir. Bir zaman serisi için ookovaryans fonksiyonu, Cov(, ) (.) şeklinde anımlanmakadır. Eşilik (.) ile verilen ookovaryans fonksiyonundan yararlanarak serinin ookorelasyon fonksiyonu ise, (.) Cov(, ) Var( )Var( ) olarak elde edilebilmekedir (Akdi, 3)..5. Kısmi Ookorelasyon Fonksiyonu Verilen bir regresyonundaki adlandırılmakadır. Yani zaman serisi için, nin,,, üzerine ın kasayısı. kısmi ookorelasyon kasayısı olarak (.3) modeli göz önüne alındığında. kısmi ookorelasyon kasayısı olacakır. (.3) eşiliğini kullanarak kısmi ookorelasyonları esaplamak zor ve zameli olmakadır. Kısmi ookorelasyonları daa kolay olarak ookorelasyon kasayılarına bağlı olarak

9 3 3 P ve P 3 3 * olmak üzere, ) de( ) de( ) ( * P P (.4) eşiliğinden elde edilebilir (Akdi, 3)..6. Beyaz Gürülü Serisi Oralaması sıfır olan erangi bir zaman serisinin ookovaryans fonksiyonu,..,, ) ( y d (.5) şeklinde ise serisine beyaz gürülü serisi denir ve ) (, WN şeklinde göserilir.

3. DOĞRUSAL ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Lineer zaman serisi modelleri ooregresif (AR), arekeli oralama (MA) ve bu iki modelin birleşimi şeklinde ifade edilen ooregresif arekeli oralama modelleri olarak incelenebilir. Burada bu modeller kısaca anıılacak ve bazı özellikleri verilecekir. 3.. Harekeli Oralama (MA) Modelleri Harekeli oralama modellerinde bir seri, başka bir serinin lineer birleşimi olarak ifade edilmekedir. Genel olarak q. dereceden bir arekeli oralama serisi, q (3.), veya gerileme operaörü B yardımıyla ( (3.) q ) ( B B qb ) q ( B) olarak ifade edilebilmekedir ve MA (q) ile göserilmekedir. Burada ~ WN (, ) şeklindedir. Eşilik (3.) ile ifade edilen bir değeri ve varyansı, zaman serisi için serinin beklenen q E( ) E (3.3)

q q Var Var Var ) ( ) ( q (3.4) şeklinde elde edilmekedir. Aynı zamanda ) (q MA serisi için ookovaryans fonksiyonu, q q q q Cov Cov Cov,, ), ( ) (, ) (,,,,, q q q (3.5) olarak elde edilir ve bu ookovaryans fonksiyonundan yararlanarak seri için ookorelasyon fonksiyonu,, ) (,,,,,, () ) ( ) ( q q q q (3.6) biçiminde elde edilmekedir (Cafield, 989). ) (q MA serisi için ookovaryans ve ookorelasyon fonksiyonlarından, değerinin model derecesi olan q dan daa büyük olması durumunda ookovaryans ve ookorelasyonların (sıfır) olduğu anlaşılmakadır. Bu sebeple arekeli oralama serileri için model derecesinin

belirlenmesinde ookorelasyon fonksiyonu bir araç olarak kullanılmakadır. Harekeli oralama serilerinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise (3.6) eşiliği ile verildiği gibi esaplanmakadır ve kısmi ookorelasyon kasayıları değeri arıkça ooregresif modellerin ookorelasyon kasayılarına benzer olarak ya üsel olarak azalan yada azalan sinüs dalgalanmaları biçiminde bir eğilim gösermekedir (Brockwell ve Davis, 987). Eşilik (3.3) ve (3.4) den görüldüğü gibi, eşilik (3.) ile verilen MA (q) serisinin beklenen değeri sabi, varyansı sonlu ve ookovaryans (aynı zamanda ookorelasyon) fonksiyonu () den bağımsızdır. Bu da sonlu er q değeri için MA (q) serisinin durağan olduğu anlamına gelmekedir. Ancak q nun sonlu olmaması durumunda yani zaman serisinin, (3.7), şeklinde MA () serisi olması durumunda bu serinin durağan olabilmesi için, koşulunun sağlanması gerekmekedir (Box ve ark. 994). Eşilik (3.7) ile verilen MA() serisinde olmak üzere olarak anımlandığında, olacağından bu şekilde verilen MA () serisi durağan olacakır. Ayrıca,

3 (3.8) ve (3.9) olduğu dikkae alındığında, veya (3.) eşiliğine ulaşılır. Eşilik (3.) ile ifade edilen seri birinci dereceden ooregresif süreç olarak adlandırılır ve AR () ile göserilir. Doğaldır ki eşilik (3.) ile verilen AR () serisinin durağanlığı (3.7) eşiliği ile verilen MA () serisinin durağanlığına yani olmasına bağlıdır. 3.. Ooregresif (AR) Modeller Ooregresif zaman serilerinde, serinin şimdiki değerleri kendi geçmişindeki değerlere ve beyaz gürülüye bağlı olarak değişmekedir. Bir çok ekonomik veri ooregresif zaman serisi olarak modellenebilmekedir. Genel olarak p. dereceden bir ooregresif zaman serisi, p ( ) ( ) (3.) i i i

4 şeklinde ifade edilmeke ve kısaca AR ( p) ile göserilmekedir. Burada WN (, ) şeklindeki beyaz gürülü serisi,, serisinin oralaması ve i ler ise modelin bilinmeyen paramereleridir. Burada bazı kolaylıklar için olduğu varsayılacakır. Aynı zamanda kolaylık için Y dönüşümü de kullanılabilmekedir. varsayımı alında eşilik (3.) ile verilen AR ( p) serisi, p i i i (3.) şeklinde veya ( ) p B B pb (3.3) ( p B B pb ) ( B B ) (3.4) şeklinde MA () serisi olarak yazılabilir. Burada B, k B şeklinde k anımlanan gerileme operaörüdür. Eşilik (3.) ile verilen zaman serisinin (3.4) şeklinde MA () serisi olarak göserimi yardımıyla i yakınsak i olduğunda, ve E( ) E(( B B ) ) Var( ) i i sonlu olacakır ve bu eşilik (3.4) ile verilen koşuldur. serisinin durağanlığı için gerekli bir

5 Eşilik (3.) ile verilen zaman serisi için ookovaryans fonksiyonu, ( ) Cov( Cov( p, Cov( i i ),, ( ) ( ) ( p) p i i i i ) ) p, olarak bulunur. Ookovaryans fonksiyonuna bağlı olarak AR ( p) serisinin ookorelasyon fonksiyonu da, ( ) ( ) ( ) p( p), olarak elde edilmekedir. p. dereceden bir ooregresif zaman serisi modeli AR ( p) nin durağan olabilmesi p p pi m m (3.5) i i karakerisik denkleminin üm köklerinin mulak değerce den küçük olmasına yada buna eşdeğer olarak (3.3) eşiliğindeki, p ( B B pb ) (3.6) denkleminin üm köklerinin mulak değerce den büyük olmasına bağlıdır. Durağan ooregresif zaman serisi modelleri için serinin ookorelasyonları değeri arıkça ya üsel olarak azalan yada azalan sinüs dalgalanmaları biçiminde bir

6 eğilim gösermekedir. Burada azalma oranının yavaş olması durumunda serinin durağanlığı konusunda şüpeye düşülmekedir. Durağan ooregresif zaman serisi modellerinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise model derecesinden büyük değerleri için sıfır değerini almakadır. Bu yüzden ooregresif süreçler için model derecesinin belirlenmesinde kısmi ookorelasyon kasayıları bir araç olarak kullanılmakadır. 3.3. Ooregresif Harekeli Oralama (ARMA) Modelleri Çoğu durumda seriler ek başına AR ( p) veya MA (q) süreçleri arafından ifade edilemezler. Bu yüzden bu seriler ooregresif ve arekeli oralama modellerinin birleşimi olan ARMA modeli şeklinde ifade edilmeye çalışılır. Genel olarak p. ve q. dereceden bir ARMA ( p, q) modeli, ( B) ( B) (3.7) p q şeklinde veya açık olarak, p (3.8) i i i q şeklinde ifade edilir. Bu modelin durağan olması için ooregresif kesime ai olan ( B) denkleminin üm köklerinin mulak değerce den büyük olması p gerekmekedir. AR yada MA modelini kullanarak çok sayıda paramereyi gerekiren veriler, bir ARMA modeli kullanılarak sadece birkaç paramere ile modellenebilmekedir. Genelde, modelde çok sayıda paramerenin bulunması aminde ekinliği azalır (Wei, 99).

7 ARMA ( p, q) zaman serisi modelinin ookovaryansları, ( ) ( ) p ( p), q (3.9) şeklinde veya buna bağlı olarak ookorelasyonları, ( ) ( ) p( p), q (3.) şeklinde esaplanabilmekedir. ARMA ( p, q) modelinin ookorelasyonları q değerleri için AR ( p) modelinin ookorelasyonları ile aynı olmakadır (Akdi, 3). ARMA ( p, q) modelinin kısmi ookorelasyon kasayıları ise (.4) eşiliği ile verildiği gibi esaplanmakadır. 3.4. Büünleşik Ooregresif Harekeli Oralama (ARIMA) Modelleri Uygulamada karşılaşılan birçok seri durağan olmayan yapıya saipir. Böyle seriler için durağan bir model kullanabilmek için serideki durağan olmayan yapının arındırılması gerekmekedir. Eğer incelenen zaman serisi oralamaya göre durağan olmayan bir yapı sergiliyorsa o zaman serinin farkı alınarak durağanlık sağlanabilir ve bu yaklaşım ekonomeride sıklıkla kullanılmakadır. Yani eşilik (3.7) ile verilen eşilike yerine d alınarak oralamasına göre durağan olmayan seri modellenebilir. Böyle bir model büünleşik model olarak adlandırılmakadır. Buradaki d, serisinin durağanlığının sağlanabilmesi amacıyla uygulanması gereken fark işlemi sayısını gösermekedir ve uygulamada genellikle d durumu ile karşılaşılmakadır. Durağan olmayan zaman serisi için,

8 d d W ( B) yazarak genel büünleşik ooregresif arekeli oralama ( ARIMA) serisini, W W W pw p q q veya daa kısa olarak, veya ( B) W ( B) (3.) p q d p ( B)( B) q ( B) (3.) olarak yazılabilir. Eşilik (3.) ile verilen model kısaca ARIMA ( p, d, q) ile göserilmekedir. zaman serisi için oluşurulan (3.) modeli açık bir şekilde durağan olmayan bir modeldir. Çünkü modelin sol arafındaki ooregresif kısıma ai d p ( B )( B) ifadesinin d ane kökü çıkacakır. Aşağıda AR ( p), MA (q) ve ARMA ( p, q) lineer zaman serisi modellerini bir arada gösermek amacıyla Çizelge 3. düzenlenmişir. Model Çizelge 3.. Lineer zaman serisi modelleri Göserimi Modelin Maemaiksel İfadesi Ooregresif Model AR ( p) i i Harekeli Oralama Modeli Ooregresif Harekeli Oralama Modeli p i MA (q), q ARMA ( p, q) i i p i q Paramereleri i, i,,, p,,,, q i, i,,, p,,, q, Büünleşik Ooregresif Harekeli Oralama Modeli d ARIMA ( p, d, q) p ( B)( B) q ( B)

9 3.5. Model Teşisi Durağan ale geirilen zaman serisinin ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon fonksiyonlarına bakılarak sezgisel olarak serinin AR ( p) veya MA (q) sürecinden angisine uyduğu belirlenebilir. Eğer ookorelasyon fonksiyonu erangi q zirveden sonra birden sıfırlanıyor ve kısmi ookorelasyon fonksiyonu azalarak sıfırlanıyorsa modelin MA (q) şeklinde bir arekeli oralama modeli olduğu söylenebilir veya kısmi ookorelasyon fonksiyonu erangi p zirveden sonra birden sıfırlanıyor ve ookorelasyon fonksiyonu azalarak sıfırlanıyorsa modelin bir AR ( p) ipi olduğu söylenebilir. 3.5.. Model Belirleme Süreci (Box-Jenkins Meodoloisi) Zaman serisi analizleri bir çok saada kullanılmakadır. Zaman serisi analizleri meodoloisine en önemli kakı Box ve Jenkins (97) arafından yapılmışır. Bu çalışmalarında, zaman serisi modeli belirlemede Box-Jenkins yönemi olarak bilinen yönemi önermişlerdir. Box-Jenkins yönemi, ooregresif büünleşik arekeli oralama (ARIMA) süreçleri olarak adlandırılan modeller sınıfına dayanır ve bu modellerin belirlenme süreci öze olarak Şekil 3. de verildiği gibidir. Box-Jenkins yöneminin model oluşurma döngüsündeki en zor aşama modelin belirlenmesi aşamasıdır. Çünkü gelişirilen içbir yönem problemin çözümüne deerminisik bir yaklaşımda bulunmamakadır.

Modellerin genel bir sınıfı ele alınır Kesin olmayan bir şekilde olabilecek modeller belirlenir Belirlenen modellerin paramereleri amin edilir Hayır Diagnosik konrolü yapılır Model Yeerli mi? Eve Model öngörü ve konrol için kullanılabilir. Şekil 3.. Zaman serisi modelinin belirlenme süreci

4. DOĞRUSAL OLMAYAN ZAMAN SERİSİ MODELLERİ Bu bölümde uygulamada sıkça kullanılan eşiksel ooregresif (TAR) modeller, düzgün geçişli ooregresif (STAR) modeller ve değişen varyans koşullu ooregresif (ARCH) modeller gibi doğrusal olmayan zaman serisi modelleri anıılacakır. 4.. Eşiksel Ooregresif (TAR) Modeller Buradaki emel düşünce; zaman serisine ilişkin oluşurulan zaman serisi modelinin paramerelerinin, zaman serisinin geçmişeki değerlerinin düşüğü bölgeye göre değişim göserebileceğidir. Yani burada model ile modellenmeye çalışılmakadır. zaman serisi parçalı bir Eşik modelleri, modelin parçalarında kullanılan modele göre TAR, TARMA, SETAR, SETARMA gibi isimler almakadırlar. Eşik modelleri, zaman serisi analizlerinde sıklıkla kullanılan bir lineer olmayan zaman serisi modelidir. Bu modeller ilk kez Tong ve Lim (98) arafından oraya konulmuşur. Eşik modelleri, lineer olmayan bir modele parçalı lineer bir modelle yaklaşımda bulunulmasını sağlar. Bu modellerden biri parçalarında ooregresif modeller kullanılan eşiksel ooregresif modellerdir. TAR(k) ile göserilen k. dereceden l eşikli bir eşiksel ooregresif model, a a () ( l) a a () ( l) a a () k ( l ) k k k () ( l ),,,,,,,, k k () ( l ) (4.) şeklinde veya kısaca,,, l olmak üzere,

a ( ),, ( ) ( ) ( ) ( ) a ak k,, (4.) k şeklinde anımlanır. Burada; WN,,,,, l ( ), a ler kasayılar ve ( ). ( ), k boyulu (Tong, 99). k öklid uzayının bir bölgesidir ve eşik bölgesi olarak adlandırılır Eşilik (4.) ile verilen TAR(k) modeli vekörel formda,,, l için, A ( ) ( ) ( ) a a I k a ( ) k ( ) a k kk, H ( ),,,, k,, k ( ) kk ( ) ( ), C a,,, olmak üzere A ( ) ( ) ( ) ( ) H C, (4.3) şeklinde yazılabilir. Eşilik (4.) ile verilen TAR (k) modeli, f,,, k (4.4) şeklindeki genel lineer olmayan k. dereceden ooregresif model için parçalı lineer model yaklaşımı olarak ele alınabilir. Burada fonksiyondur. f., erangi bir lineer olmayan Uygulamada uygun büyüklükeki k değeri için (4.) biçiminde verilen bir modele veri uydurulması oldukça zordur. Çünkü eşik bölgesinin sapanması k boyulu uzay boyunca bir araşırma gerekirmekedir ve bu da oldukça zordur. Bu

3 yüzden Tong (98), olarak belirilen basi bir ek boyulu geçmiş değerine d göre eşik bölgelerini belirlemişir. Buna göre l eşikli TAR(k) modeli, k ( ) ( ) ( ) ( ) a ai i, d,,,, l (4.5) i şeklinde düşünülebilir. Burada d gecikme parameresi, ( ) reel sayılar kümesinin bir al kümesidir. Eşilik (4.5) ile verilen modelde, er bir eşik bölgesinde modelin k. dereceden ooregresif model olduğu varsayılmışır. Esasen uygulamada, farklı eşik bölgelerindeki modellerin dereceleri farklı olabilmekedir. Bu durumu da göz önünde bulundurarak (4.5) ile verilen model, a k ( ) i ( ) ( ) ( ) ai i, d,,,, l (4.6) şeklinde yeniden düzenlenebilir. Burada k,, k, kl, l ane eşik bölgesindeki ooregresif modellerin derecelerini gösermekedir. Tong (99), (4.6) eşiliği ile verilen modeli kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif model (self-exciing resold auoregressive model) olarak adlandırmış ve bu modeli SETAR( l ; k, k,, kl ) şeklinde gösermişir. Eşilik (4.6) ile verilen SETAR( l ; k, k,, kl ) modeli, i) k ( ) a veya max l ai ( ) ii) max k i l i i k, k max l k koşulları alında kesin durağan bir çözüme saipir (Fan ve Yao, 3). i SETAR( l ; k, k,, kl ) modeli erbir ( ) eşik bölgesindeki ( k ) AR modeli yerine ARMA k, k ) ooregresif arekeli oralama modeli kullanılarak kolaylıkla ( kendinden uyarımlı eşiksel ooregresif arekeli oralama modeline genişleilebilir. Bu model,

4 a k k ( ) ( ) ( ai i bi i d i i ) ( ) ( ) ( ),,,,, l (4.7) şeklinde ifade edilir ve kısaca SETARMA( l ( b ),,,, l koşulu alında (4.7) modeli, ; k, k,, kl; k, k,, k ) olarak göserilir. l a k k ( ) i i ( ) ( ) ( ) ( ) ai i bi i, d,,,, l (4.8) şeklinde yeniden yazılabilir (Tong, 99). bölgeleri problemdir. Bu modellerdeki yapısal paramerelerin yani gecikme parameresi d, eşik ( ) ve k, k,, kl model derecelerinin belirlenmesi başlı başına bir 4... Yapısal paramerelerin seçimi Eşilik (4.6) ile verilen SETAR modelindeki yapısal paramereler; gecikme parameresi d, eşik bölgesi k, ( ) ve er bir eşik bölgesindeki model dereceleri olan, k, k l dir. Bu paramerelerin sapanması oldukça zordur. Tong (983), AIC krierine dayalı olarak bu yapısal paramerelerin seçimi için bir algorima önermişir. Bu algorimanın adımları aşağıda verildiği gibidir: Adım. İlk önce gecikme parameresi d ve eşik değerleri r, r,, r l için uygun olması muemel değerlerin bir kümesi belirlenir. Adım. Başlangıça verilen d, r, r,, r l değerlerine göre er bir eşik bölgesinde k,, k, k l derecelerinde ayrı ayrı AR modelleri uydurulur. k i bölgesindeki modelin AIC değerini gösermek üzere kˆ i, AIC, i. eşik AIC k i değerini minimum

5 yapan değeri gösersin. Bu durumda SETAR modeline ilişkin AIC değeri, r r olmak üzere,, r,, rl AIC l d, r ˆ i AIC k i şeklinde esaplanır. Adım 3. r için uygun olabilecek değerlerin keyfi q ane al kümesi alınır. Bu al kümenin elemanları () () ( q) r, r,, r ile göserilsin. İlk başa alınan d değeri sabi uularak ( ) r r,,,, q için Adım ekrarlanarak AIC ( d, r) değerleri esaplanır ve AIC ( d, r) değerini minimum yapan rˆ değeri seçilir. AIC ( d, r) nin minimum değeri AIC( d) AIC( d, rˆ ) ile göserilsin. Adım 4. Bu durumda d di, i,,, p için Adım ve Adım 3 ekrarlanarak, d, d p içinde (d) d, AIC değerini en küçük yapan dˆ değeri araşırılır. AIC (d) değerini minimum yapan dˆ değeri seçildiğinde aynı zamanda rˆ ve kˆ, kˆ, değerleri de seçilmiş olur. d değerindeki değişiklikler, model amininde kullanılacak gözlem sayısını da değişirdiğinden burada AIC krierinin normalleşirilmiş biçimi yani AIC değerinin kullanılabilir gözlem sayısına oranı kullanılmışır., kˆ l 4.. Düzgün Geçişli (Smooing Transiion) Ooregresif (STAR) Modeller Düzgün geçiş fikri ilk önce Bacon ve Was (97) arafından oraya aılmışır. STAR modellerinin gelişmesinde ise Luukkonen ve ark (988), Grenger ve Teräsvira (993), Teräsvira (994), Teräsvira ve Anderson (99), Eireim ve Teräsvira (996) kakıda bulunmuşlardır. STAR ( p, d) modelleri,

6 p p i i i i g d c; (4.9) i i şeklinde ifade edilir. Burada g c; d sürekli geçiş fonksiyonu, poziif değerli geçiş parameresi, d gecikme değeri, ora nokasıdır. geçiş değeri ve c geçiş reiminin d Eğer g c; g d fonksiyonu, c; exp c d d (4.) şeklinde ise (4.9) eşiliği ile verilen STAR ( p, d) modeli üsel düzgün geçişli (exponenial smoo ransiion) ooregresif p d Dikka edilirse veya olduğunda p d lineer olacakır. ESTAR modelindeki g c; ve c d, bir ( p) d ESTAR, modeli aline dönüşür. ESTAR, lineer olmayan modeli d erimi ile arasında sınırlıdır için sıfır erafında simerikir. d c AR sürecidir, d c olduğunda c arada değerler aldığında yani, d c olduğunda başka bir AR ( p) süreci olur., olduğunda ise bundan önceki iki durumda belirilen AR ( p) süreçlerinin kombinasyonu olan bir AR ( p) sürecine saip olur. Dikka edilirse EAR ( p, d) modeli, ve c olan ESTAR modelinin özel bir alidir. g g * d c; fonksiyonu, * * * c; exp c d.5 (4.) d şeklinde loisik formda olduğunda STAR modeli, loisik smoo ransiion ooregresif LSTAR ( p, d) modeli olarak adlandırılır. olduğunda eğer

7 * * d c ise g d c;. 5, eğer * d c ise g ; * d c. 5 olur ve bu yüzden LSTAR modeli ek eşikli ooregresif model aline gelmekedir. LSTAR için.5,.5 * * modelindeki g d c erimi, d c, * sınırlıdır. c olduğunda d olduğunda * başka bir AR(p) süreci olur ve c aralığında * bir AR(p) sürecidir; c d d ın ara değerleri için bu AR ( p) süreçlerinin birleşimi olan başka bir AR ( p) süreci olur. Dikka edilirse olduğunda ESTAR ( p, d) modeli bir AR ( p) modeline dönüşmekedir. Benzer şekilde * olduğunda LSTAR ( p, d) modeli de AR ( p) modeline dönüşmekedir. 4.3. Değişen Varyans Koşullu Ooregresif (ARCH) Modeller Bundan önce basedilen üm lineer olmayan zaman serisi modellerinde aa eriminin bağımsız ve aynı dağılımlı olduğu varsayılıyordu ve lineer olmama model oralamasında gerçekleşiyordu. Ancak ARCH modellerinde lineer olmama, aa eriminin sabi olmayan koşullu varyansından kaynaklanmakadır. Engle (98 ve 983) ve Cragg (98), bazı ekonomik verileri inceleyerek, genellikle bilinenden farklı olarak, arıkların varyansının sabi olmadığını gösermişir. ARCH modelleri ilk önce Engle (98) arafından incelenmişir. Bir ARCH ( p, m) serisi için model, p u (4.) i i i gibi bir lineer AR ( p) formundadır. Ancak lineer olmamanın da kaynağı olan u, u (4.3) m u (4.4)

8 şeklinde anımlanmakadır. olmasını garanilemek için, m olması gerekmekedir. Aynı zamanda lerin oplamının den büyük olması sürece ai varyansı sonsuz kılacağı için koşulu da serinin zayıf durağan m olmasını garanilemek için gereklidir. Burada, varyanslı ve u,,,, m den bağımsız niid bir süreçir (Zang, ). bir ( m, n) ARMA süreci şeklinde olduğunda süreci, Bollerslev (986) arafından ileri sürülen GARCH ( p, m, n) (genelleşrilmiş ARCH modeli) olarak adlandırılır. Ancak burada, NLARMA modellerinin yerine NLAR modellerini ayrınılı incelenmesiyle aynı sebepen dolayı GARCH modelleri ayrınılı bir şekilde incelenmeyecekir. ARCH modellerindeki u nin koşullu varyansı kesirilebilirdir. Küçük bir esaplama ile u nin koşullu varyansı, onun geçmiş değerleri ile V ar u u,u, E u u,u, m u (4.5) şeklinde ifade edilebilir. Bu yüzden büyük bir koşullu varyansı başka bir büyük koşullu varyans izler ve küçük koşullu varyansı başka bir küçük koşullu varyans akip eder. Bu özellik ARCH modellerinin, oulier ların kümelerini oluşurmak için yeenekli olduğunu göserir. Bilindiği gibi asimpoik durumda, en küçük kareler ve en çok olabilirlik amin edicileri birbirine yakınsamakadır. Ancak en çok olabilirlik yönemi kullanıldığında ARCH arıklarına saip bir modelin daa ekin aminler vereceği kabul edilmekedir (Engle 98).

9 4.4. Lineer Olmayan Yapıların Teşisi Lineer olmayan zaman serisi analizlerinde, modeldeki paramerelerin amin edilmesi zor ve zameli olduğundan ilk önce verilen bir zaman serisinin gerçeken lineer olmayan bir yapıya saip olup olmadığı araşırılmalıdır. Bu araşırma çeşili esler yardımıyla yapılabildiği gibi çeşili grafikler yardımıyla da yapılabilmekedir. Bu grafiklerin en önemlilerinden biri yönlendirilmiş saçılım grafiği olarak adlandırılan grafikir. Bu grafikler (, ) ile (, ),,,, p nokalarının doğru ile birleşirilmesinden elde edilir ve serinin lineer olmayan bir yapıya saip olup olmadığının belirlenmesinde kullanılmakadır. Bu grafiklerde, lineer olmayan bir yapının varlığının espii için aranması gereken özellik sınır döngünün eşisidir. Örneğin bir zaman serisi için olmak üzere yönlendirilmiş saçılım grafiği Şekil 4. de verildiği gibi elde edilmiş olsun. 4 3,5 3,5,5,5,5 3 3,5 4 Şekil 4.. için serisinin yönlendirilmiş saçılım grafiği Şekil 4. e bakıldığında sınırlı daireye benzeyen bir yapı göze çarpmakadır. Ayrıca am ne olmamakla birlike ulaşılamayan bir iç bölgenin varlığından da söz edilebilir. Bu bulgular olabileceği konusunda fikir vermekedir. zaman serisinin lineer olmayan bir yapıya saip

3 5. SİMÜLASYON Bu bölümde farklı doğrusal ve doğrusal olmayan zaman serisi modellerinden simülasyonla üreilen n birimlik örnek seriler incelenmişir. Bu seriler için çizilen çeşili grafiklerle seriye uygun model belirlenmeye çalışılmışır. 5.. Doğrusal Zaman Serisi Modelleri Bu kesimde, durağan ve durağan olmayan doğrusal zaman serisi modellerinden üreilen çeşili serilerin sergilediği davranışlar grafiklerle incelenmişir. Seri. Simülasyonla üreilen,,,, serisinin grafiği Şekil 5. de ve ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının grafikleri ise Şekil 5. de verilmişir. Şekil 5.. serisinin grafiği

3 Şekil 5.. serisinin ACF ve PACF grafikleri Şekil 5. de verilen ACF ve PACF grafiklerine bakıldığında, serisinin üm ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının isaisiksel olarak anlamsız olduğu görülmekedir. Bu durumda söylenebilir. Gerçeke bu seri serisinin beyaz gürülü serisine benzediği e serisinden. için rasgele üreilerek elde edilmişir. Burada. kasayısının sıfıra yakın olmasından dolayı seri beyaz gürülü serisine benzemekedir. Seri. Simülasyonla üreilen,,,, serisinin grafiği Şekil 5.3 de ve ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının grafikleri ise Şekil 5.4 de verilmişir.

3 Şekil 5.3. serisinin grafiği Şekil 5.4. serisinin ACF ve PACF grafikleri Şekil 5.3 e bakıldığında serisinin açık bir şekilde deerminisik rende saip olduğu görülmekedir. İlk bakışa Şekil 5.4 de verilen ACF değerleri yavaş bir şekilde azalarak sıfıra yaklaşığından ve PACF değerleri 4 gecikmeden sonra isaisiksel olarak anlamsız olduğundan serinin durağan olmayan 4 üncü dereceden ooregresif modele uyduğu düşünülebilir. Aynı sonuçlara, serideki rend ayrışırıldıkan sonra bakılacakır. Serideki rend Şekil 5.3 en de görüldüğü gibi doğrusaldır. Yani rend denklemi b şeklinde düşünülebilir. Serideki

33 rendi ayrışırmak için bu rend denkleminin amin edilmesi gerekmekedir. Trend denklemindeki b parameresinin amini b ˆ. 549 olarak elde edilmişir. Buna göre serisindeki rendi yok emek için Y. 549 dönüşümü yapılabilir. Bu dönüşüm yapıldığında elde edilen Y serisi için grafikler aşağıdaki gibidir. Şekil 5.5. Y serisinin grafiği Şekil 5.6. Y serisinin ACF ve PACF grafiği

34 Şekil 5.5 e bakıldığında Y serisinde rendin yok olduğu ve Şekil 5.6 ya göre Y serisinin üm ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının isaisiksel olarak anlamsız olduğu görülmekedir. Bu durumda Y serisinin beyaz gürülü serisine benzediği söylenebilir. Gerçeke serisi b e serisinden. ve b. 5 için rasgele üreilerek elde edilmişir. Burada. kasayısının sıfıra yakın olmasından dolayı benzemekedir. Y serisi beyaz gürülü serisine Buna göre serideki rendin varlığı alında ACF ve PACF grafiklerine bakarak model akkında yorum yapmak doğru değildir ve bu ür yorumlar yapabilmek için öncelikle serideki rendin yok edilmesi gerekmekedir. Seri 3. Simülasyonla üreilen 3,,,, serisinin grafiği Şekil 5.7 de ve ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının grafikleri ise Şekil 5.8 de verilmişir. Şekil 5.7. 3 serisinin grafiği Şekil 5.7 ye bakıldığında serinin Şekil 5. ve Şekil 5.5 e verilen serilerin aksine oralamasının sabi olmadığı zaman içinde büyük değişimler göserdiği

35 dolayısıyla serinin durağan olmayan bir yapıya saip olduğu görülmekedir. Ayrıca seri düzensiz armalar ve azalmalardan ibare olduğu için deerminisik bir rendin varlığından söz emek de pek mümkün değildir. Şekil 5.8. 3 serisinin ACF ve PACF grafiği Şekil 5.8 e göre ookorelasyon kasayıları yavaş bir şekilde azalarak sıfıra yaklaşmaka ve kısmi ookorelasyon kasayıları ise ilk değerden sonra isaisiksel olarak anlamsız olmakadır. Bu durumda seri için birinci dereceden ooregresif modelin uygun olduğu düşünülebilir. Ookorelasyon kasayılarının sıfıra yavaş bir şekilde yaklaşması ise serinin durağan olmadığı akkında bir fikir vermekedir. Gerçeke 3 serisi, e 3 3, şeklindeki AR() serisinden. 95 için üreilmişir. Buradaki parameresinin e yakın olmasından dolayı grafiklerde serinin durağan olmadığına dair işareler oraya çıkmışır. Seri 4. Simülasyonla üreilen 4,,,, serisinin grafiği Şekil 5.9 da ve ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının grafikleri ise Şekil 5. da verilmişir.

36 Şekil 5.9. 4 serisinin grafiği Şekil 5.. 4 serisinin ACF ve PACF grafiği Şekil 5. daki 4 serisinin ACF ve PACF grafiklerine bakıldığında, 4 serisinin ookorelasyon kasayılarının ızlı bir şekilde sönerek sıfıra yaklaşığı ve kısmi ookorelasyon kasayılarının ise ilk iki değerden sonra isaisiksel olarak anlamsız oldukları görülmekedir. Bu durumda seri için ikinci dereceden ooregresif modelin uygun olduğu düşünülebilir. Ayrıca nci kısmi ookorelasyon kasayısının güven bandının dışarısında olduğu yani isaisiksel olarak anlamlı olduğu gözlenmişir. Ancak diğer kısmi ookorelasyon kasayılarına bakıldığında belirli bir düzen göze çarpmamakadır. Dolayısıyla nci kısmi ookorelasyon kasayısının isaisiksel

37 olarak anlamlı olması göz ardı edilebilir. Gerçeke bu seri e serisinden. 3,. 4 için rasgele üreilerek 4 4, 4, elde edilmişir. Seri 5. Simülasyonla üreilen 5,,,, serisinin grafiği Şekil 5. de ve ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının grafikleri ise Şekil 5. de verilmişir. Şekil 5.. 5 serisinin grafiği

38 Şekil 5.. 5 serisinin ACF ve PACF grafiği Şekil 5. deki serisinin ACF ve PACF grafiklerine bakıldığında, 5 5 serisinin ookorelasyon kasayılarının ızlı bir şekilde sönerek sıfıra yaklaşığı ve kısmi ookorelasyon kasayılarının ise ilk değerden sonra isaisiksel olarak anlamsız oldukları görülmekedir. Bu durumda seri için birinci dereceden ooregresif modelin uygun olduğu düşünülebilir. Gerçeke bu seri 5 5, 5, e şeklindeki AR() serisinden,. için rasgele üreilerek elde edilmişir. Burada kasayısının olması ve kasayısının sıfıra yakın olmasından dolayı ACF ve PACF grafiklerine göre seri için birinci dereceden ooregresif modelin uygun olduğu gibi bir sonuç oraya çıkmışır. Eğer kasayısına mulak değerce daa büyük bir değer verilmiş olsaydı muemelen PACF değerleri ilk iki değerden sonra anlamsız olacakı. Seri 6. Simülasyonla üreilen 6,,,, serisinin grafiği Şekil 5.3 de ve ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının grafikleri ise Şekil 5.4 de verilmişir.

39 Şekil 5.3. 6 serisinin grafiği Şekil 5.4. 6 serisinin ACF ve PACF grafiği Şekil 5.3 e bakıldığında serinin oralamasının sabi kaldığı görülmekedir. Ayrıca Şekil 5.4 deki 6 serisinin ACF ve PACF grafiklerine bakıldığında, serisinin ookorelasyon kasayıları ilk değerden sonra isaisiksel olarak anlamsız olmaka ve kısmi ookorelasyon kasayıları ise mulak değerce azalarak sıfıra yaklaşmakadır. Bu durumda modeline uyduğu söylenebilir. Gerçeke bu seri 6 6 serisinin birinci dereceden arekeli oralama 6 e e serisinden. 9 için rasgele üreilerek elde edilmişir. Seri için arekeli oralama modeli uygun olduğundan aynı zamanda bu serinin durağan olduğunu da söyleyebiliriz.

4 Seri 7. Simülasyonla üreilen 7,,,, serisinin grafiği Şekil 5.5 de ve ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının grafikleri ise Şekil 5.6 da verilmişir. Şekil 5.5. 7 serisinin grafiği Şekil 5.6. 7 serisinin ACF ve PACF grafiği Şekil 5.5 e bakıldığında serinin oralamasının zaman içinde sabi kalmayarak düzensiz bir şekilde dalgalı arekeler sergilediği görülmekedir. Şekil 5.6 da ise ookorelasyon kasayıları yavaş bir şekilde azalarak sıfıra yaklaşmaka ve kısmi

4 ookorelasyon kasayıları ise ilk 3 değerden sonra güven bandının içinde kalmakadır. İlk bakışa serinin durağan olmayan AR(3) modeline uygun olduğu düşünülebilir. Gerçeke bu seri 7 7, e e şeklindeki ARMA(,) modelinden.9,. 5 için rasgele üreilerek elde edilmişir. Her ne kadar grafiklere bakılarak model akkında öneriler yapılabiliyorsa da bu önerilerin er zaman doğru olacağını söylemek pek mümkün olmamakadır. Bu seri de buna bir örnek eşkil emekedir. Burada böyle bir durumun çıkma sebebi muemelen modeldeki ooregresif kısmın parameresi olan nın e yakın olmasıdır. Aşağıdaki seride bu parameresinin. olduğu yani sıfıra yakın olduğu durum incelenmişir. Seri 8. Simülasyonla üreilen 8,,,, serisinin grafiği Şekil 5.7 de ve ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayılarının grafikleri ise Şekil 5.8 de verilmişir. Şekil 5.7. 8 serisinin grafiği

4 Şekil 5.8. 8 serisinin ACF ve PACF grafiği Şekil 5.7 ye bakıldığına bir önceki serinin aksine oralamasının sabi olduğu görülmekedir ve bu da serinin durağan olabileceğine bir işareir. Şekil 5.8 deki ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon grafiklerine bakıldığında ne ookorelasyonların ne de kısmi ookorelasyonların düzenli bir şekilde azalarak sıfıra yaklaşmadığı görülmekedir. Bu durumda seri için AR yada MA modeli önerilememeke ARMA modeli önerilmekedir ve ARMA modelinin derecesi grafikler yardımıyla belirlenememekedir. Gerçeke bu seri 8 8, e e şeklindeki ARMA(,) modelinden.,. 5 için rasgele üreilerek elde edilmişir. 5.. Doğrusal Olmayan Zaman Serisi Modelleri Bu kesimde, doğrusal olmayan zaman serisi modellerinden düzgün geçişli ooregresif ve eşiksel ooregresif modellerinden üreilen çeşili serilerin sergilediği davranışlar grafiklerle incelenmişir.

43 5... STAR Modelleri Seri. Simülasyonla n birimlik bir seri ( ) üreilmiş ve bu serinin grafiği Şekil 5. de verilmişir. Şekil 5.9. serinin grafiği Şekil 5.9 a bakıldığında serinin sabi bir oralama erafında aşağı ve yukarı yönde düzenli salınımlar sergilediği görülmekedir. Bu serinin ACF ve PACF grafikleri ise Şekil 5. de verilmişir. Şekil 5.. serisinin ACF ve PACF grafikleri

44 Şekil 5. ye bakıldığında serisinin AR yada MA yapısına uygun olmadığı dolayısıyla bu iki modelin birleşimi olan ARMA modelleri ile modellenebileceği düşünülebilir. Ancak bazı durumlarda sadece serinin ACF ve PACF grafiklerine bakarak seri için model belirlemek er zaman doğru sonuçlar vermeyebilmekedir. Ookorelasyon ve kısmi ookorelasyon kasayıları zaman serisinin farklı dönemleri arasındaki doğrusal ilişkinin derecesini ve yönünü verdiğinden, serinin farklı dönemleri arasındaki ilişkinin doğrusal olmaması durumunda bu kasayılar anlamını yiirmekedir. Burada serisinin farklı dönemleri arasındaki ilişkisinin şeklini oraya koyabilmek için e karşı noka grafiği çizilmiş ve Şekil 5. de göserilmişir. 3 - -5 - -5 5 5 5 3 - - Şekil 5.. e karşı nin noka grafiği Şekil 5. den, serisi ile arasındaki ilişkinin doğrusal olmadığı açıkça görülmekedir. Ayrıca grafike iki ane doğrusal parça olduğu düşünüldüğünde ile arasındaki ilişkinin iki parçalı doğrusal modeller ile yada geçişli modeller ile modellenebileceği söylenebilir. Yaklaşık olarak in 5 den büyük değerleri için iki ayrı doğrusal yapı olduğundan parçalı modellerin bu seri için pek uygun olmadığı söylenebilir. olup olmadığını anlamak amacıyla grafiği çizilmiş ve Şekil 5. de verilmişir. serisinde doğrusal olmayan bir yapının nin e göre yönlendirilmiş saçılım

45 3 5 5 5 - - -5 3 - -5 - Şekil 5.. e karşı nin yönlendirilmiş saçılım grafiği Şekil 5. e bakıldığında ulaşılamayan bir iç bölgenin varlığı görülmekedir ve bu durum daa önce de basedildiği gibi olmayan bir yapının varlığını işare emekedir. Esasında serisi ile arasında doğrusal serisi, geçiş fonksiyonu g exp c.5 şeklinde olmak üzere 5.5 g e, e ~ WN,9 (5.) şeklindeki LSTAR modelinden ve c için üreilmişir. Bu modelde yer alan g geçiş fonksiyonunun için c ye göre grafiği Şekil 5.3 de verilmişir.

46 Şekil 5.3. için g fonksiyonunun c ye göre grafiği Şekil 5.3 e bakıldığında olmak üzere g fonksiyonu c nin yeeri kadar küçük ve yeeri kadar büyük değerleri için sırasıyla -.5 ve.5 değerlerine ızlı bir şekilde yakınsamakadır. STAR modellerinde yer alan bu g fonksiyonu iki modelin ağırlık fonksiyonu olarak da yorumlanmakadır. Buna göre c nin küçük değerleri için 5.5 e modeline, büyük değerleri için ise 5.5 e modeline daa fazla ağırlık yüklenmekedir. Seri. Bir önceki seriden faklı olarak alındığında üreilen n birimlik serinin ( ) grafiği Şekil 5.4 de verilmişir. Şekil 5.4. serinin grafiği

47 Şekil 5.4 e bakıldığında serisi gibi serisinin de sabi bir oralama erafında değişim göserdiği ancak serisindeki aşağı ve yukarı yöndeki salınımların modelde yer alan ninkinden daa düzensiz olduğu görülmekedir. Bunun sebebi g exp c.5 geçiş fonksiyonunun -.5 ve.5 değerlerine çok daa geç yakınsama sağlamasıdır. Bu durum g fonksiyonunun c ye karşı çizilen grafiğinden açıkça görülmekedir. Bu grafik Şekil 5.5 de verilmişir. Şekil 5.5. ve için g fonksiyonunun c ye göre grafiği Şekil 5.5 de durumu sürekli çizgi ile ve durumu nokalı olarak göserilmişir. Burada serisinin farklı dönemleri arasındaki ilişkisinin şeklini oraya koyabilmek için e karşı noka grafiği çizilmiş ve Şekil 5.6 da göserilmişir.

48 4 3-3 - - - 3 4 - -3 Şekil 5.6. e karşı nin noka grafiği Şekil 5.6 e bakıldığında Ayrıca amacıyla serisi ile benzer sonuçların elde edildiği görülmekedir. serisinde doğrusal olmayan bir yapının olup olmadığını anlamak nin e göre çizilen yönlendirilmiş saçılım grafiğinden de serisindekine benzer sonuçlar elde edilmişir. 4 3-3 - - - 3 4 - -3 Şekil 5.7. e karşı nin yönlendirilmiş saçılım grafiği Bu grafiken de görülmekedir. serisinde doğrusal olmayan bir yapının varlığı açıkça

49 5... TAR Modelleri Seri 3. Simülasyonla n birimlik bir seri ( 3 ) üreilmiş ve bu serinin grafiği Şekil 5.8 de verilmişir. 8 6 4-4 6 8-4 -6-8 - Şekil 5.8. 3 serisinin grafiği Şekil 5.8 e bakıldığında serinin sıfır erafında salınımlar göserdiği ve bu salınımların bazı dönemlerde oldukça fazla olduğu görülmekedir. Bu serinin, farklı dönemleri ile arasındaki ilişkisinin şeklini oraya koyabilmek için 3, e karşı noka grafiği çizilmiş ve Şekil 5.9 da göserilmişir. 8 6 4-9 -8-7 -6-5 -4-3 - - - 3 4 5 6 7 8 9-4 -6-8 - Şekil 5.9. 3, e karşı 3 nin noka grafiği

5 Şekil 5.9 dan, serisi ile 3, arasındaki ilişkinin doğrusal olmadığı açıkça 3 görülmekedir. Ayrıca grafike 3, için 3 nin doğrusal bir şekilde azalan ve 3, için 3 nin doğrusal bir şekilde aran bir yapı sergilediği görülmekedir. Burada iki ane doğrusal parça olduğu düşünüldüğünde ile 3, arasındaki 3 ilişkinin iki parçalı doğrusal modeller ile modellenebileceği söylenebilir. Gerçeke bu seri 3. 9 3,, 3,. 9 3,, 3, şeklindeki iki parçalı bir TAR () modelinden üreilmişir. Seri 4. TAR() modelinden üreilen başka bir serinin ( verilmişir. 4 ) grafiği Şekil 5.3 da 8 6 4-4 6 8-4 -6 Şekil 5.3. 4 serisinin grafiği Şekil 5.3 a bakıldığında bu serinin de sıfır erafında değerler aldığı ve bir önceki seriyle karşılaşırıldığında salınımların daa küçük olduğu görülmekedir. Bu serinin, farklı dönemleri ile arasındaki ilişkisinin şeklini oraya koyabilmek için 4, e karşı noka grafiği çizilmiş ve Şekil 5.3 de göserilmişir.