POLİNOMLARDA İNDİRGENEBİLİRLİK Derleye Osma EKİZ Eskişehir Fatih Fe Lisesi. GİRİŞ Poliomları idirgeebilmesi poliomları sıfırlarıı bulmada oldukça öemlidir. Şimdi poliomları idirgeebilmesi ile ilgili bazı kriter ve yötemleri alatalım. Taım. P K olmak üzere derecesi P de küçük e az birici derecede QR, K poliomları içi P QR. oluyorsa P ye K da idirgeebilir poliom deir. Aksi halde P QR. olacak şekilde Q ve R poliomları yoksa P ye K da idirgeemez poliom deir. P olduğuda P ye Z de idirgeebilirdir. P poliomu Z de idirgeemez olup P olduğuda R de idirgeebilirdir. Gauss Lemma. Tam sayı katsayılı bir poliom Q da idirgeebilir ise Z de de idirgeebilirdir.. Rasyoel Kök Teoremi. P Z ve P a a a a a içi rs, aralarıda asal o olmak üzere P i r s gibi bir sıfırı var ise ra ve sa olmalıdır. Bu ifadei
karşıtı doğru değildir. Yai ra ve sa şartıı sağlaya r s ifadesi P i sıfırı olmak zoruda değildir. Burada amacımız P i r s gibi bir rasyoel kökü olacağı varsayımıda hareket edip ra ve sa ifadeleride yola çıkarak olası tüm r s değerlerii bulup bu değerleri deemektir. Souç. Rasyoel kök teoremii doğal bir soucu, P, moik poliom olmak üzere P i rasyoel kökü varsa bu kök tam sayı olmalıdır... 4 P 6 7 7 8 4 poliomu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: r s, P deklemii rasyoel kökü ise r 4 ve s 6 olup mümkü r s değerleri 4,,,,, 4,, olup bu değerler poliomda yerie 6 yazılıp deeirse,, ve ü poliomu kökleri olduğu görülebilir. Bu durumda 6 4 7 7 8 4 Z de idirgeebilirdir. olup poliom 5.. 6 6 4 deklemii kaç farklı reel kökü vardır? Çözüm: Rasyoel kök teoremide muhtemel kökler deklemde yerie yazılırsa i verile ifadeyi sağladığı görülebilir. Verile ifadei 4 şeklide bir çarpaı olmalıdır. Poliom bölmeside diğer çarpa 4 olur. içide rasyoel kök teoremi uygulaırsa kök olmalıdır. Bu du- 4
rumda 4 ifadesi ile tam bölüür. Poliom bölmeside 4 4 4 olup Bu durumda 5 6 6 4 4 4 4 farklı reel kök vardır. olup, olup.. 4 6 + 6 8 = deklemii kaç farklı reel kökü vardır? Çözüm: Rasyoel kök teoremide bu deklemi kökleri ±, ±, ±4, ±8 sayılarıda herhagi biri olabilir. Bu sayılar deklemde yerie yazıldığıda i deklemi sağladığı görülür. O halde verile ifadei çarpalarıda biri olmalıdır. Poliom bölmeside 4 6 + 6 8 = ( )( 6 + 4) olur. Bezer şekilde 6 + 4 ifadesii kökleri ±, ±, ± sayılarıda herhagi biri olabilir. Sayılar yerie yazılıp kotrol edilirse i kök olduğu görülür. O halde 6 + 4 = ( )( + ) olur. Bu durumda 4 6 + 6 8 = ( ) ( + ) = deklemii farklı reel kökü vardır. 4 5 4.4. 75 a b c ve d e f g 75 deklemlerii tam sayı olmaya rasyoel ortak kökleri k olup k egatiftir. Tam sayı katsayılı h h j 4h deklemide h ve deklemi bir kökü k ise diğer kökleride büyük olaı kaçtır? Çözüm: İlk iki deklemi ortak kökleri ola k, rasyoel kök teoremide k,, olacağıda h h olduğuda kökler çarpımıda t 4 olup t olur. k olmalıdır. So deklemi kökler toplamı k dışıdaki diğer iki kökü t, t olur. Bu durumda
Souç. Rasyoel kökü olmaya her Kuadratik ve kübik poliom Z de idirgeemezdir.. Tahmi Metodu Verile poliomu dereceside yol çıkarak poliomu daha küçük derecede poliomları çarpımı şeklide yazıp poliom eşitliğide bilimeye katsayıları bulmaya çalışacağız... P poliomu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: Poliom idirgeebilirse bir ve ikici derecede iki moik poliomu çarpımı şeklide yazılabilmelidir. O halde P a b c olup sağ taraf çarpılıp düzeleirse olup a b, cab, ac a b c ab ac olur. ac,,,,,, ac olur. ac içi ab b olup c ab çelişkisi elde edilir.,, ac içi ab b olup c ab olduğuda P olur. O halde poliom Z de idirgeebilirdir., Z de idirgeemez olduğuda P başka şekillerde yazılamaz... P() = 4 + 4 + + 5 poliomu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: Rasyoel kök teoremide mümkü ola kökler, 5 olup bu değerler poliomda yerie yazılırsa kök olmadığı görülebilir. O halde poliom idirgeebilir ise ikici derecede moik iki poliomu çarpımı şeklide yazılabilmelidir. 4
4 + 4 + + 5 = ( +a + b) ( +c + d) = 4 + (a + c) + (ac + b + d) +(ad + bc) + bd olur. Bu durumda a + c =, ac + b + d = 4, ad + bc = ve bd = 5 olur. bd = 5 içi b = ve d = 5 durumuda a = ve c = olup 4 + 4 + + 5 = ( + + )( + 5) olduğuda poliom Z de idirgeebilirdir... 4 P 6 poliomu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: Rasyoel kök teoremide muhtemel kökler olup bu değerler P deklemii sağlamaz. O halde bu poliom idirgeebilir ise ikici derecede moik iki poliomu çarpımı şeklide yazılabilmelidir. O halde 4 6 a b c d içi 4 4 6 a c ac b d ad bc bd olup bd, ad bc 6, ac b d ve a c olmalıdır.,, bd içi ac b d ac olup a c olacak şekilde ac, tam sayıları yoktur.,, bd içi ac b d ac olup a c olacak şekilde ac, tam sayıları yoktur. O halde poliom Z de idirgeemezdir.. Eisestei İdirgeemezlik Kriteri P Q, P a a a a a ve p asal olsu. Eğer p, a yi bölmez ve p, a poliomu Q da idirgeemezdir. o,, a, aosayılarıı böler ike p, a ı bölmez ise P 5
Burada şu souç çıkarılmamalıdır. Yukarıdaki şartlar altıda p a ise P poliomu Q da idirgeebilir diyemeyiz. 6 9 6 poliomu Z de idirgeemezdir. Çükü p içi 5.. P Eisestei kriteride idirgeemezdir... 6 5 P 59 5 847 poliomu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: 59 7., 5 7.7 ve 847 7. olup p 7 içi Eisestei kriteride poliom Z de idirgeemezdir... 4 P 5 poliomu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: yerie yazarsak 4 poliomu elde edilir. Bu poliom p içi Eisestei kriteride idirgeemez olup P de idirgeemezdir. p p.4. p asal sayı olmak üzere P poliomuu Z de idirgeemez olduğuu gösteriiz. Çözüm: P p olur. k piçi p p p P p p p p p p k olup p, p yi bölemeyeceğide Eisestei kriteride P poliomu Z de idirgeemez olup P de Z de idirgeemez olur. 4. Özel Durumlar Matematik olimpiyatlarıda ve ifadeleri sık kullaıla ifadelerdir. Bu terimleri baze soruda verile poliomu bir çarpaı olması ihtimali 6
başka terimlere azara daha yüksek olmaktadır. Bu işlerle uğraşa okuyucu buu rahatlıkla görebilir. Bir poliomu çarpaları arasıda ve ifadelerii olup olmadığıı alamaı e kolay yolu poliomu ve moduda icelemekte geçer. Şimdi kullaışlı bir özellik verelim. mod olduğuda mod ve bezer şekilde mod dir. 4.. 5 poliomuu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: 5 mod poliom olduğuda ile tam bölüür. O halde poliom Z de idirgeebilirdir. Poliom bölmeside 5 olur. 4.. 5 poliomuu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: 5 mod olduğuda poliom ile tam bölüür. O halde poliom Z de idirgeebilirdir. Poliom bölmeside 5 8 7 5 4 olur. 4.. 4 poliomuu Z de idirgeebilir mi? Çözüm: 4 mod 7
olduğuda poliom ile tam bölüür. O halde poliom Z de idirgeebilirdir. Poliom bölmeside 4 olur. Bezer şekilde 4 olduğu gösterilebilir. 4.4 [UMO ]. 4 7 7 poliomuu farklı reel köklerii toplamı edir? 5 4 a) b) c) d) e) 7 Çözüm: 5 4 4 7 7 47 7 6 mod olduğuda poliom ile tam bölüür. Poliom bölmeside 5 4 4 7 7 5 olur. Rasyoel kök teoremide 5 i bir köküü olduğu görülebilir. Bu durumda 5 olup poliomu farklı reel köklerii toplamı vieta formülleride olur. 4.5 [UMO 4]. 4 5 4 deklemii reel köklerii toplamı edir? 4 a) 5 b) 4 c) d) e) Çözüm: 4 5 4 ifadesii 4 moduda iceleyelim. 4 4 5 4 45 4 5 mod olduğuda verile ifade ile tam bölüür. Poliom bölmeside 8
4 4 5 4 olup kök gelip toplamı olur. ifadeside reel 4.6. Hagi pozitif tam sayıları içi dir? Çözüm: k 6k k içi mod 6k k k içi mod 6k4 k k içi mod olduğuda e tam bölümeye pozitif tam sayılar içi iddia doğrudur. 4.7. 4 44 olduğuu gösteriiz. Çözüm: 5 4 olduğuda 5 4 mod olur. 44 4 4 mod olduğuda iddia doğrudur. 5.Karşıt Poliomlar a olmak üzere P a a a a a poliomuda o i,,..., içi ai a i ise P poliomua karşıt poliom deir. Öreği, 4 poliomları karşıt poliomlardır. 5 4 4, 8 6 5 7 4 4 7 P deklemie de karşıt deklem deir. 9
P, derecesi ola karşıt poliom ve şeklide yazılabilir. Burada t olmak üzere P Qt Q ici derecede bir poliomdur. k Z olmak üzere k k ifadesi daima ciside yazılabilir. k içi k içi k 4 içi k 5 içi t t t 4 4 t 4t 4 5 5 t 5t 5t 5 Şimdi karşıt bir poliomu çarpalarıa ayırmaya çalışalım 6 4 5.. P poliomuu Z de çarpalarıa ayırıız. P 4 Çözüm: 6 4 P t t 4 4 olur. olur. t 4t poliomu t ile tam bölüdüğüde t 4t t t t olur. Bu durumda P t t t olup t yerie tekrar yazıp düzelersek P 4 olup
4 P şeklide poliomu çarpalarıa ayırmış oluruz. Dikkat edilirse 4 poliomu da karşıt poliom olup be- 4 zer şekilde t t olup t t poliomu Z de idirgeemez olduğuda da Z de idirgeemezdir. poliomu 4 5..[UMO 4]. 4 5 4 deklemii reel köklerii toplamı edir? 4 a) 5 b) 4 c) d) e) Çözüm: 4 5 4 4 5 4 4 t t t t olduğuda 4 5 4 olur. 4 kök gelip toplamı olur. ifadeside reel Alıştırmalar. 9 poliomuu Z de idirgeebilir mi?. 4 poliomuu Z de idirgeebilir mi?. 6 poliomuu Q da idirgeebilir mi? 4 4.,,..., a a a farklı tam sayılar ise poliomuu Z de idirgeemez olduğuu gösteriiz. P a a a
5. Hagi pozitif tam sayıları içi 7... dir? tae tae 6. 4 4 + 5 4 + = deklemii reel köklerii toplamı kaçtır? 7. 6 4 + + 6 = deklemii reel köklerii çarpımı kaçtır? 8. 4 5 + 6 5 + = deklemii reel köklerii toplamı kaçtır? 9 [UMO 6]. 4 4 7 deklemii farklı reel köklerii toplamı edir? a) b) c) d) 4 e) Hiçbiri. 9 4 poliomuu çarpalarıa ayırıız.. Hagi pozitif tam sayıları içi dir?. Hagi pozitif tam sayıları içi dir?