MIT Açı Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerde alıtı yapma veya Kullaım Koşulları haıda bilgi alma içi http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.aciders.org.tr adresii ziyaret ediiz. 18.102 Itroductio to Fuctioal Aalysis Bahar 2009 Prof.Dr.Richard Melrose 30
18.102 Fosiyoel Aalize Giriş Bahar Döemi 2009 DERS 5. LEBESGUE İNTERGALLENEBİLİR FONKSİYONLAR VEKTÖR UZAYLARIDIRLAR L 1 (R) ile, daha öce olduğu gibi, gerçel sayılar üzeride Lebesgue itegralleebilir fosiyoları uzayıı gösterelim. Öerme 4.L 1 (R) bir vetör uzayıdır. Kaıt. R üzeridei tüm fosiyolar bir vetör uzayı oldularıda sadece L 1 (R) i toplama ve salerle çarpma altıda apalı olduğuu gösterme yeterlidir. Salerler altıda apalı oldularıı aıtlama olaydır. Eğer saler 0 ise çarpım sıfır fosiyoudur ve sıfır fosiyou itegralleebilirdir. Eğer g L 1 (R) ise, taım gereği, mutla toplaabilir ola basama fosiyolar dizisi f içi (5.1) f < f (x) <, sağlaya her x içif(x) = f (x). Eğer c 0 ise cf, cg içi araıla fosiyolardır. g ve g gibi ii fosiyou toplamıı da yie L 1 (R) olduğuu gösterme biraz daha zahmetlidir. Burada yapılaca aşiar şey basama fosiyoları serilerii toplamlarıı almatır. Aca bu bizi sııtıya soar. Buu yerie eğer f ve f ; g ve g ü L 1 (R) olduğuu vere basama fosiyoları serileri ise, { f (x) = 2 1 (5.2) h (x) = f (x) = 2 Bu dizi mutla toplaabilirdir. Çüü; (5.3) h = f + f < Daha da öemlisi, h (x) serisii yaısaması içi yeter ve gere oşul f (x) ve f (x) serilerii her iisii de yaısamasıdır. Mutla yaısaya seriler yeide düzeleebileceleride, (5.4) h (x) < h (x) = f (x) + f (x) = g(x) + g (x) 31
Dolayısı ile g + g L 1 (R) elde edilir. Buradai otumuz mutla yaısaya seriler ile yalaşım yapılıre biraz diatli oluması gereğidir. Taım 4. E R altümesii ölçümüü sıfır olması, E ümesidei her x içi buluabilece mutla toplaabilir basama fosiyoları f içi (5.5) f (x) = oşuluu sağlaması olara taımlaır. Öerme 5. Eğer g L 1 (R) ve g : R C ve ölçümü sıfır ola E ümesi içi R \ E ümeside g = g ise g L 1 (R) dir. Kaıt. Burada yapmamız geree g fosiyoua mutla yaısaya basama fosiyoları serisi f ve E ümesidei her x içi f (x) = basama fosiyoları serisi f bulmatır. g e yalaşma içi terimleri aşağıda verile seriyi düşüelim: f (x) = 3 2 (5.6) h (x) = f (x) = 3 1 f (x) = 3 Böylece öce f eler sora çıarırız. Bu seri mutla yaısaya bir seridir. (5.7) h = f + 2 Notasal yaısaya bir seri e zama mutla yaısar? Varmamız geree (5.8) f (x) + 2 f (x) < Yuarıdai toplamda iici serii yaısaması x / E verdiğide ve il toplamı solu olmasıda,(5.8) sağladığı zama (5.9) h (x) = g(x) = g (x) buluur. Solu toplam her zama N =1 f (x) veya bu artı f N(x)- i bu (5.8) dai serii mutla yaısamasıda N üzeride sıfıra gider. Dolayısı ile gerçete g L 1 (R) buluruz. Burada ölçümü sıfır ola ümeleri gerçete üçü oldularıa hümedebilmemize arşı hala L 1 (R) ifadesie alam azadıramadı. 32 f
Buu içi aşağıdaileri otrol etmemiz gere: Öerme 6. L 1 (R) uzayıı her öğesi f içi, itegral (5.10) f = f ifadesi (5.1) sağlaya ve f e yaısaya mutla toplaabilir basama fosiyolarıda bağımsız olara, iyi taımlıdır. Kaıt.f ve f dizileri (5.1) sağlaya ve f e mutla yaısaya diziler olsu. Artı biraz deeyim sahibi olduğumuzda, doğal olara, { f (x) = 2 1 (5.11) h (x) = f (x) = 2 alırız. Bu seri mutla toplaabilirdir. Notasal taımlaa serilerde her ii seride mutla toplaabilir olduğuda seri mutla yaısatır. Serileri geel terimleri sıfıra gittiğide (5.12) h (x) < h (x) = 0 dahası, itegraller dizisii mutla yaısamasıda (5.13) h (x) h (x) < Burada serileri terar düzeleyere (5.14) h = f elde ederiz. Şimdi sağ taraftai toplamları eşit oldularıı istediğimizde, farlarıı sıfır olduğuu görme yeterli olacatır. Bu ise bir sorai eticede elde edilir.. Öerme 7. f 0 olma üzere (5.1) sağlaya mutla toplaabilir bir f serisi (5.15) f = 0 sağlar. Kaıt. Elimizde ullaabileceğimiz te şey mootolutur. Beceri ise ou ullaabilmetir saırım. Bahsettiğimiz beceri ise bir doğal sayı N seçme ve terimleri aşağıda verile yei bir basama fosiyoları serisii düşümetir: 33 f
(5.16) N g 1 (x) = f j (x) g (x) = f N+ 1 (x), > 1. j=1 Serilerde yaısama serii uyruğuu bir özelliği olduğuda yuarıdai seri mutla toplaabilirdir. Yie de her durumda (5.17) g f Üstüe üstlü, birici terimde sorai terimler egatif olmadılarıda, aşağıdai serii ısmi toplamları p (5.18) G p (x) = g p (x) =1 azala olmadılarıda G p yie bir basama fosiyoları dizisidir. Diat ederse x e bağlı olara ii olasılı olduğuu görürüz. Eğer il seri ola f (x) serisi ırasa bir seri ise, başa bir deyişle + yaısıyorsa, bu G p - bu da serii solarıı bir özelliği olduğuda-içi de geçerlidir. Diğer yada, eğer f (x) solu ise, büyü p sayıları içi N p 1 (5.19) G p (x) = f (x) + f N+j (x) =1 j=1 p+n 1 =1 f (x). Sağ taraf sıfıra yaısadığıda, serii solu ola limiti egatif olamaz. Şimdi geçe derste görüle mootolu öermesi G p özelie uygulaara (5.20) lim p G p 0 elde ederiz i burada limiti + olma olasılığı vardır. Aca başta seçile N içi bulua N (5.21) f + f N+ 0 j=1 =1 eşitsizliği şimdi tüm N ler içi doğrudur. Diğer yada, itegralleri serisi solu olduğuda, verile δ > 0 içi buluabilece M ve N > M içi (5.22) M N f < δ j=1 f δ N > M. 34
buluruz. Şimdi bu (5.23) f 0 verir. Bu istediğimizi yarısıdır, diğer yarısıı elde etme içi yuarıdai aıl yürütmeyi f fosiyoua uygularız. Souç. 1. (5.1) dei oşulları sağlaya her yalaşım dizisi (f ) içi (5.24) f = f ile taımlaa itegral, (5.25) : L 1 (R) C iyi taımlı bir fosiyodur. Özellile taımlaa itegral aşiar değildir. Gerçete, eğer f bir basama fosiyou ise ve dizi f 1 = f, f j = 0 j > 1 olara seçilirse mutla toplaabilidir ve (5.1) alamıda f fosiyoua yaısar, dolayısıla, (5.26) basama fosiyolarıdai itegral ile çaışır. Şimdi beli biraz da gereğide fazla hızlı gidere aşağıdai teoreme adar geldi. Öerme 8. Ölçümü sıfır ola sayılabilir tae ümei bileşimii ölçümü sıfırdır. Kaıt. Taım gereğice bir E ümesii ölçümüü sıfır olması deme, E üzeride (5.27) f (x) = + sağlaya, f < ola mutla toplaabilir basama fosiyoları f (j) ı varlığıdır. Elimizdei veriler bize sayılabilir çoluta E j, j = 1,... ailesi ve bu ailedei her üme içi mutla toplaabilir f (j) vermetediri (5.28) f (j) <, E j {x R : f (j) (x) = + } Şimdi fiir her E j üzeride mutla ırasaya yei bir mutla yaısaya basama fosiyoları serisi elde etmetir. İl yapılaca iş 35
f (j) fosiyolarıı iyileştirmetir.(5.28) dei ırasama serii uyruğuu bir özelliğidir-başta solu tae terim atsa bile hala doğru olacatır. Mutla yaısama ullaara her j içi buluabilece N j, i buu (5.29) N j f (j) < 2 j j sağlaması gereir. Şimdi yapılaca iş = N j sayısıda öcei tüm terimleri silme olacatır. Geriye ala diziyi yie f (j) ile damgalarsa sadece (5.28) değil, buu yaısıra mutla yaısama ve e olara (5.30) f (j) < 2 j j f (j) < j elde ederiz. Böylece yuarıdai çift toplamı(mutla değerleri itegralleri ola) mutla yaısadığıı elde ederiz. Şimdi, h diye f (j) fosiyolarıı yei ve maul bir dizilişii alalım - öreği, bu her j + = p sırasıda çalışılara- yapılabilir. Gerçete, çift sıraı herhagi bir sıralaması işimize yarayacatır. (5.30) edei ile bu mutla yaısaya bir seridir. Üsteli otasal seri ola aşağıdai seride il toplam iicisii içide olduğuda, eğer her j içi; (5.31) f (j) (x) = ise h (x) = + elde edilir. Dolayısı ile h (x), E j ümesii her x otasıda ırasadığıda, birleşimi ölçümü sıfırdır. 36