T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK YÜKSEK LİSANS TEZİ Matemati Aabilim Dalı Temmuz- KONYA Her Haı Salıdır

ÖZET YÜKSEK LİSANS TEZİ KONVEKS FONKSİYONLAR VE MATRİS EŞİTSİZLİKLERİ Vilda BACAK Selçu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü Matemati Aabilim Dalı Daışma: Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN, 6 Sayfa Jüri Doç. Dr. Ramaza TÜRKMEN Prof. Dr. Hasa ŞENAY Prof. Dr. Durmuş BOZKURT Bu tezde öcelile oves, oav, matris oves, matris mooto fosiyolar ve majorizasyo içi temel taım ve teoremler verildi. Daha sora majorizasyo ve oves fosiyolarla ilgili bilie souçlarda bahsedildi ve bilie bazı Hermite-Hadamard tipi eşitsizliler ele alıdı. So olara, operatör (matris) oves fosiyolar içi elde edile Hermite-Hadamard tipi eşitsizliler ve itegral eşitsizlileri verildi. Aahtar Kelimeler: Hermite-Hadamard eşitsizliği, Hermitye matris, oav fosiyolar, oves fosiyolar, majorizasyo, matris oves fosiyolar, matris mooto fosiyolar, öz değer. iv

ABSTRACT MS THESIS CONVEX FUNCTIONS AND MATRIX INEQUALITIES Vilda BACAK THE GRADUATE SCHOOL OF NATURAL AND APPLIED SCIENCE OF SELÇUK UNIVERSITY THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE IN MATHEMATICS Advisor: Assoc. Prof. Dr. Ramaza TÜRKMEN, 6 Pages Jury Assoc. Prof. Dr. Ramaza TÜRKMEN Prof. Dr. Hasa ŞENAY Prof. Dr. Durmuş BOZKURT I this thesis firstly, the defiitios ad theorems for cove, cocave, matri cove, matri cocave fuctios ad majorizatio were give. Later, we metioed about the well ow results of majorizatio ad cove fuctios ad we eamied ow Hermite-Hadamard iequalities for cove fuctios. Fially, Hermite-Hadamard s type iequalities ad itegral iequalities for operator (matri) cove fuctios were give. Keywords: Cocave fuctios, cove fuctios, eigevalue, Hermite - Hadamard iequality, Hermitia matri, majorizatio, matri cove fuctios, matri mooto fuctios. v

ÖNSÖZ Bu tez çalışması, Selçu Üiversitesi Fe Faültesi Matemati Bölümü Öğretim Üyesi Doç. Dr. Ramaza Türme daışmalığıda hazırlaara, Selçu Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü e yüse lisas tezi olara suulmuştur. Bu çalışma 8 bölümde oluşmatadır. Tezi. bölümü Giriş ve Kaya Araştırması a ayrılmıştır.. bölümde tez içeriside ullaılaca geel bilgilere yer verilmiştir. 3. bölümde oves fosiyolar ve oves ümeler taıtılmıştır. 4. bölümde majorizasyo avramı üzeride durulmuştur. Majorizasyo ve oves fosiyolar arasıdai ilişi ele alımıştır. 5. bölümde matris mooto ve matris oves fosiyoları geel taım ve teoremlerie ve bazı örelere yer verilmiştir. 6. bölümde oves fosiyolar içi bilie Hermite-Hadamard ve itegral eşitsizlileri verilmiştir. 7. bölümde araştırma souçlarıa yer verilmiştir. Bu bölümde operatör oves fosiyolar içi elde edile Hermite-Hadamard eşitsizlileri ve itegral eşitsizlileri verilmiştir. Daha öcei çalışmalarla aralarıdai far açılamıştır. 8. bölüm souçlar ve öerilerde oluşmatadır. Yüse lisas eğitimim boyuca bilgileriyle ve tecrübesiyle baa yol göstere daışmaım Sayı Doç. Dr. Ramaza Türme e, Selçu Üiversitesi Fe Faültesi Matemati Bölümü ü saygıdeğer öğretim elemalarıa ve bede desteğii hiç esirgemeye, her zama iyi iyetiyle yaımda ola sevgili aradaşım Ayşegül Özca a ve aileme teşeürlerimi suarım. Vilda BACAK KONYA- vi

İÇİNDEKİLER ÖZET...iv ABSTRACT... v ÖNSÖZ...vi İÇİNDEKİLER... vii SİMGELER VE KISALTMALAR... viii. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI.... GENEL KAVRAMLAR... 3 3. KONVEKS FONKSİYONLAR VE KONVEKS KÜMELER... 9 3.. Koves Kümeler...9 3.. Koves Fosiyolar... 4. MAJORİZASYON VE KONVEKS FONKSİYONLAR... 4..Temel Gösterimler... 4.. Koves ve Mooto Fosiyolar İçi Majorizasyo... 7 4.4. Log-Koves Fosiyolar İçi Eşitsizliler... 34 5. MATRİS MONOTON VE MATRİS KONVEKS FONKSİYONLAR... 39 5..Taımlar ve Basit Öreler... 39 5..Temel Teoremler... 43 6. HERMİTE-HADAMARD TİPİ EŞİTSİZLİKLER... 48 7. ARAŞTIRMA SONUÇLARI VE TARTIŞMA... 65 7.. Operatör Koves Fosiyolar İçi Eşitsizliler... 65 7.. Tartışma... 8. SONUÇLAR VE ÖNERİLER... 3 8.. Souçlar... 3 8.. Öeriler... 3 KAYNAKLAR... 4 ÖZGEÇMİŞ... 6 vii

SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler A : A pozitif yarı taımlı A : A pozitif taımlı A B : A B pozitif yarı taımlı A A A * A : / : Komples sayılar ümesi : Komples sayılar üzeride bileşeli vetörleri ümesi ( A) : A matrisii spetrumu H : Hilbert uzay I : Reel sayılar ümesii bir aralığı I : Reel sayılar ümesii içermeye bir aralığı : Hermitye matrisler ümesi M : omples matrisleri ümesi : pozitif taımlı matrisleri ümesi : Reel sayılar ümesi : Reel sayılar ümesi üzeride bileşeli vetörleri ümesi : Negatif olmaya reel sayılar ümesi : Reel sayılar ümesi üzeride bileşeleri egatif olmaya bileşeli vetörleri ümesi : Reel sayılar ümesi üzeride bileşeleri pozitif ola bileşeli vetörleri ümesi m : Elemaları reel sayılar ola m matrisleri ümesi : pozitif yarı taımlı matrisleri ümesi : Negatif oordiatları ile yer değiştirmesiyle te elde edile vetör : Tüm oordiatları mutla değeri alıara elde edile vetör y :, y tarafıda majorize edilmiştir y :, y tarafıda zayıf majorize edilmiştir w w y :, y tarafıda süper majorize edilmiştir y : y ( y,..., y) Kısaltmalar det ep öş log : Determiat : Espoasiyel (üstel) fosiyo : Köşege matris : Logaritma fosiyou viii

. GİRİŞ VE KAYNAK ARAŞTIRMASI Kovesli; öei i değerii tahmi etmesi dolayısıyla, Arşimed e dayaa basit ve doğal bir avramdır. Arşimed, oves bir şeli çevre uzuluğuu ou çevreleye diğer bir oves şeli çevre uzuluğuda daha üçü olduğuu far etmiştir. Kovesli, hayatımızı birço evreside arşımıza çımatadır. Buu e basit öreği ayata di duruş pozisyoumuzdur. Ayalarımızı apladığı oves alaı içide, ağırlı merezimizi di izdüşümü boyuca degemizi orumatayız. Koves fosiyolar teorisi, matematiği heme heme tüm dallarıda öemlidir. Ayrıca edüstri, ticaret, tıp ve saat gibi dalları ümeri uygulamalarıda ve şas oyularıı degesii sağlamasıda da ullaılmatadır. Koves fosiyoları başlagıcı, Joha Ludwig William Valdemar Jese e (859-95) dayamatadır. Faat oves fosiyolarla il uğraşa işi Jese değildir. Jese de öce çalışalar arasıda Ch. Hermite, O. Hölder ve O. Stolz vardır.. yüzyıl boyuca geometri fosiyoel aalizde, matematisel eoomide, oves aalizde ve lieer olmaya optimizasyoda yoğu araştırma faaliyetleri ve öemli souçlar gerçeleştirilmiştir. G.H. Hardy, J.E. Littlewood ve G. Polya ı 934 yılıda basıla Iequalities, Cambridge Uiversity Press, Great Britai adlı itabı oves fosiyolar ousuu popüler olmasıda öemli rol oyamıştır. Eşitsizliler, matematiği tüm dallarıda geiş çalışma alaıa sahip, süreli gelişmete ola bir oudur. Bu ou, so yıllarda ço sayıda araştırmacıı diatii çemetedir. Jese, Hadamard, Hilbert, Hardy, Opial, Poicaré, Sobolev, Levi ve Lyapuov isimleriyle özdeşleşmiş birço eşitsizli tipi arasıda deri öler vardır ve bu eşitsizli tipleri matematiği farlı dallarıda ullaılmatadır. Eşitsizliler teorisii gelişmeside yuarıda bahsettiğimiz isimleriyle özdeşleşmiş eşitsizliler üzerie çalışmalar yapa araştırmacıları artmasıyla; çalışma alalarıı yeilemesi ve mevcut çalışma alalarıı geişlemesi bu teorii cazibesii de arttırmatadır. So yıllarda Hermite-Hadamard tipi eşitsizlilere ve itegral eşitsizlilerie ilgi artmıştır. S.S. Dragomir, B.G. Pachpatte, G. Zabada gibi araştırmacıları bu alada yapılmış çalışmaları mevcuttur. B.G. Pachpatte 3 te O some iequalities for cove fuctios, RGMIA Res. Rep. Coll., 6(E) maaleside elemater işlemler ullaara oves fosiyolar içi eşitsizliler vermiştir. M. Tuç de O some ew iequalities for cove fuctios, Tur J Math, 35,-7 maaleside Pachpatte i souçlarıa bezer eşitsizliler vermiştir. S.S. Dragomir de

Hermite Hadamard s type iequalities for operator cove fuctios, Applied Mathematics ad Computatio, 8, 766-77 maaleside oves fosiyolar içi var ola bir eşitsizliği operatör oves fosiyolar içi de sağladığı göstermiştir. G. Zabada 9 da A ew refiemet of the Hermite-Hadamard iequality for cove fuctios, JIPAM, vol., iss., art.45 maaleside Dragomir i oves fosiyolar içi ulladığı eşitsizliği bir geellemesii yapmıştır. Bu tezde yuarıda belirtile araştırmacıları eşitsizlileride daha geel eşitsizliler elde edilmiştir. Matris mooto fosiyolar, il olara K. Löwer (C. Loewer) tarafıda 934 yılıda Über mootoe Matrifutioe, Math. Z. 38, 77-6 maaleside icelemiştir. Daha sora 95 de Heiz, Beitrage zur Strörugstheorie der Spetralzerlegug, Math. A., 3, 45-438 maaleside matris mootoluğu ullamıştır. Matris oves fosiyolar, il olara F. Kraus tarafıda 936 da Über ovee Matrifutioe, Math. Z.,4, 8-4 maaleside icelemiştir. J.Bedat ve S.Sherma 955 te Mootoe ad cove operator fuctios, Tras. Amer. Math. Soc., 79, 58-7 maaleside Löwer ve Kraus u teoremleri üzerie yei bir perspetif sağlamışlardır. F. Zhag de Matri theory: Basic results ad techiques, secod ed., Spriger, New Yor itabıda matris teori üzerie bir ço taım ve teorem vermiştir. Ayrıca majorizasyo ve oves fosiyolar içi eşitsizliler vermiştir. J.S. Aujla ve F.C. Silva3 te Wea majorizatio iequalities ad cove fuctios, Liear Algebra ad its Appl., 369, 7-33 maaleleride oves fosiyolar içi majorizasyo eşitsizlileri vermişlerdir. R.Bhatia 997 de Matri aalysis, Spriger-Verlag, New Yor itabıda matris teori üzerie taımlar, teoremler, problemler vermiştir. Ayrıca, operatör oves fosiyolar avramıa yer vermiş, taım ve teoremler vermiştir. Pecaric ve aradaşları 99 de Cove fuctios, partial orderigs ad statistichal applicatios, Mathematics i Sciece ad Egieerig, vol 87, Academic Press Ic, USA itabıda oves fosiyolara, oves fosiyolarla ilişili birço taım ve teoremlere yer vermiştir.

3. GENEL KAVRAMLAR Taım.. A M olma üzere A ı arateristi poliomu P( ) det( I A) ile verilir. det( I A) delemie A ı arateristi delemi ve arateristi delemi ölerie de A ı öz değerleri deir. ( I A) delemide i ( i ) içi arşılı gele i vetörüe A ı öz vetörü deir. Taım.. A ı tüm öz değerlerii ümesie A ı spetrumu deir ve ( A) ile gösterilir. Taım.3. A a ij M olma üzere A ı öşege elemalarıı toplamıa A ı izi deir ve iz( A) a ile gösterilir. i ii Teorem.4. A, B M, olma üzere aşağıdai ifadeler vardır: i) iz( A) iz( A) ii) iz( A B) iz( A) iz( B) iii) iz( AB) iz( BA) iv) S, M de tersiir matris olma üzere v) iz(), iz( I) iz S AS iz A ( ) ( ) dır. vi) iz( A), ( A),..., i i Taım.5. A a ij M olma üzere A ı traspozu T A a ji ve A ı adjoiti * A a ji dir. Adjoit aşağıdai özellilere sahiptir: Teorem.6. A, B M, olma üzere aşağıdai ifadeler vardır: * i) A * A ii) * * * A B A B A A iii) * * iv) * * * AB B A * v) A det det( A) vi) * iza iza

4 vii) ı A ı bir öz değeri olması içi gere ve yeter şart ı * değeri olmasıdır. Yai, A A : ( A) dır. * A ı bir öz viii) A ı tersiir olması içi gere ve yeter şart * A A * dır. * A ı tersiir olmasıdır. Yai, * Taım.7. A A A / matrisii öz değerlerie A ı sigüler değerleri deir ve sigüler değerler, s( A) s ( A), s ( A),..., s ( A) ile gösterilir ve azala sırada sıralaırlar: s( A) s( A)... s ( A). Taım.8. A a ij M olma üzere i) i j olma üzere a ise A öşege matris, ij ii) i j olma üzere a ise A üst üçge matris, ij iii) iv) v) vi) vii) T A * A A ise A simetri matris, A ise A Hermitye matris, * * A A AA ise A ormal matris, * * A A AA I ise A üiter matris, T T A A AA I ise A ortogoal matristir. Not.9. i) A aij M olma üzere A ı Hermitye olması içi gere ve yeter şart i, j,,..., içi aij a ji olmasıdır. Eğer A Hermitye ise A ı öşege elemaları reeldir. ii) Hermitye ii matrisi toplamı Hermityedir. iii) Hermitye ii matrisi çarpımıı Hermitye olması içi gere ve yeter şart matrisleri değişmeli olmasıdır. iv) A M Hermitye ise * * * AA, A A, A A Hermityedir. v) A Hermitye ise,,... içi A Hermityedir. Eğer A tersiir ise A Hermityedir. vi) Hermitye bir matrisi bütü öz değerleri reeldir.

5 Teorem. (Weyl Mootolu Teoremi). A, B olma üzere i ( A), i ( B) ve i ( A B) öz değerleri azala sırada dizilsiler. Yai, ( A) ( A) ( A), ( B) ( B) ( B) ve ( A B) ( A B) ( A B) dir. Bu durumda her bir,,..., içi ( A) ( B) ( A B) ( A) ( B) (.) eşitsizliği vardır. (Bhatia,997) Taım.. Her satır ve sütuuda bir tae elemaı içere ve diğer elemaları ola matrise permütasyo matris deir. Taım.. A M matrisii determiatı sıfırda farlı ise matrise düzgü (regüler) matris, determiatı sıfır ise matrise teil (sigüler) matris deir. Taım.3. V, K cismi üzeride bir vetör uzayı ve f : V V K ( u, v) f ( u, v) u, v fosiyou; i) a, b K ve u, v, w V içi au bv, w a u, w b v, w, ii) u, v v, u, iii) u, u ( u, u u ) özellilerii sağlıyorsa f fosiyoua, V vetör uzayı üzeride bir iç çarpım ve V uzayıa da iç çarpım uzayı deir. V üzeride taımlaa bir iç çarpım, V üzeride u u, u (.) ile verile bir orm ve d( u, v) u v u v, u v (.3) ile verile bir metri taımlar.

6 Taım.4. Üzeridei iç çarpımla taımlı metriğe göre tam ola iç çarpım uzayıa Hilbert uzayı deir. Taım.5. A Hermitye bir matris olma üzere her içi A, T A ise A matrisie pozitif yarı taımlı matris deir. Her içi A, ise A matrisie pozitif taımlı matris deir. A ve B Hermitye matrisler olma üzere A B pozitif yarı taımlı ise A B ve pozitif taımlı ise A B yazılır. Burada, Hermitye matrisler ümesi üzeride ısmi bir sıralamadır ve ısmi Löwer sıralaması olara biliir ve aşağıdai özellileri sağlar: i) A içi A A dır. ii) A B ve B A ise A B dir. iii) A B ve B C ise A C dir. Pozitif taımlı ve pozitif yarı taımlı matrisleri araterize ede birço durum vardır. Bularda biraçı aşağıda listelemiştir: i) A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart A ı Hermitye olması ve tüm öz değerlerii egatif olmamasıdır. A ı pozitif taımlı olması içi gere ve yeter şart A ı Hermitye olması ve tüm öz değerlerii pozitif olmasıdır. ii) A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart Hermitye olması ve tüm esas miörlerii egatif olmamasıdır. A ı pozitif taımlı olması içi gere ve yeter şart A ı Hermitye olması ve tüm esas miörlerii pozitif olmasıdır. iii) A A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart bazı B matrisleri içi * B B olmasıdır. A ı pozitif taımlı olması içi gere ve yeter şart A ı Hermitye olması ve B i regüler olmasıdır. iv) içi A A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart üst üçge T matrisleri * T T olmasıdır. v) A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart bazı B matrisleri içi A B olmasıdır. Burada B bir taedir. B / A yazılır ve A ı pozitif are öü deir. A ı pozitif taımlı olması içi gere ve yeter şart B i pozitif taımlı olmasıdır. (Bhatia,7)

7 Teorem.6. A M olsu. Bu tadirde U, V M üiter matrisleri ve D öş( s ( A),..., s ( A)) içi ayrışımı deir. A * UDV yazılabilir i, bu ifadeye sigüler değer Teorem.7 (Spetral Ayrışım). A M ve A ı öz değerleri,..., olsu. Bu tadirde A ı ormal olması içi gere ve yeter şart A ı üiter olara öşegeleştirilmesi, yai * U AU öş,..., (.4) olaca şeilde bir U üiter matrisii olmasıdır. f, değerli bir fosiyo olsu. Bu durumda I aralığıda taımlı reel f A U öş f f f U * ( ) ( ( ), ( ),..., ( )) şelide taımlaır. Özel olara A ı Hermitye olması içi gere ve yeter şart i öz değerlerii reel olması ve A ı pozitif yarı taımlı olması içi gere ve yeter şart i öz değerlerii egatif olmamasıdır. Taım.8. A, B M içi : M fosiyou aşağıdai asiyomları sağlıyorsa matris orm deir: i) A ve A A ii) Komples c salerleri içi ca c A dır. iii) A B A B iv) AB A B Taım.9. U, V üiter matrisleri içi A UAV (.5) ise. ormua üiter ivaryat orm deir.

8 Not... üiter ivaryat bir orm içi A değeri A ı sigüler değerlerii bir fosiyoudur: U, V üiter matrisleri ve A matrisi içi s( UAV ) s( A) dır. Sigüler değer eşitsizlileri, ısmi Löwer sıralama eşitsizlileride daha zayıf ve üiter ivaryat orm eşitsizlileride daha güçlüdür. Yai, A B s ( A) s ( B) A B (.6) j j dır. Bazı özel matris orm türleri aşağıdadır: i) Frobeius orm (veya Hilbert- Schmidt orm) : / / j (.7) j A F A s ( A) iz A ii) Spetral orm (veya operatör orm): A s ( A) (.8) iii) p içi Schatte p orm : / p / p p p A p s j ( A) iz A (.9) j iv),,..., içi Ky- Fa orm : A s ( A) (.) ( ) j j

9 3. KONVEKS FONKSİYONLAR VE KONVEKS KÜMELER 3.. Koves Kümeler Taım 3... C ümesi üzeridei herhagi ii otayı birleştire doğru parçası üzeridei otalar, ayı ümede alıyorsa C ye oves üme ya da afi deir. Yai, olma üzere, C içi ( ) C (3.) ise C ümesi oves bir ümedir. Aşağıda oves ümelere ve oves olmaya ümelere öreler verilmiştir: Şeil 3.. (a) Koves ümeler, (b) Koves olmaya ümeler Teorem 3... C, C oves ii üme olsu. Bu durumda i) C C C C {, } oves ümedir. ii) içi C ovestir. iii) C C ovestir. iv) Boş üme, oves üme olara düşüülür. v) Herhagi sayıda (solu, sayılabilir ya da sayılamaz) oves ümeleri esişimi yie oves bir ümedir. (Rocafellar,97)

3.. Koves Fosiyolar Taım 3..., y I ve içi f y f f ( y) (3.) ise f : I fosiyoua oves fosiyo deir. durumuda y f ( ) f ( y) f (3.3) olur. Şeil 3.. Koves fosiyo Öre 3.. ( Üzeridei Koves Fosiyo Öreleri). Afi: Herhagi a, b içi fosiyodur. f a b fosiyou üzeride oves bir Espoasiyel: Herhagi a içi f e a fosiyou üzeride oves bir fosiyodur. Kuvvet: t veya t içi t (, ) üzeride oves bir fosiyodur. f fosiyou pozitif reel sayılar ümesi

Mutla değer uvveti: p içi p fosiyou üzeride oves bir fosiyodur. Negatif etropi: f ( ) log fosiyou üzeride oves bir fosiyodur. Taım 3..3., y I ve içi f y f f ( y) (3.4) ise f : I fosiyoua esi oves fosiyo deir. Taım 3..4. f deir. Taım 3..5. f fosiyo deir. fosiyou oves ise f : I fosiyoua oav fosiyo fosiyou esi oves ise f : I fosiyoua esi oav Şeil 3.3. Koav Fosiyo Şeil 3.4. (a) grafiği oves bir foiyo, (b) grafiği oav bir fosiyo ve (c) grafiği e oves e de oav bir fosiyodur

Öre 3..6. ( Üzeridei Koav Fosiyo Öreleri) Afi: Herhagi a, b fosiyodur. içi üzeride f a b oav bir Kuvvet: t içi pozitif reel sayılar ümesi üzeride t f oav bir fosiyodur. Logaritma: üzeride log oav bir fosiyodur. Teorem 3..7. i) f : I ve g : I fosiyoları oves ve ise f g ve f fosiyoları da I aralığıda ovestir. ii) f : I ve g : I fosiyoları oves ve g arta ise g f bileşesi ovestir. iii) f : I ve g : I fosiyoları oves, egatif olmaya, azala (veya arta) ise h( ) f ( ) g( ) fosiyou da bu özellileri sağlar. iv) Eğer f : I, solu bir f limit fosiyoua yaısaya oves fosiyoları bir dizisi ise f de ovestir.(roberts ve Varberg, 973) İspat: i) Koves fosiyo taımıda olayca görülebilir. ii), y I ve, olsu. ( ) ( ) ( ) ( ) g f ( ) ( ) g f ( y) ( g f )( ) ( ) ( g f )( y) g f y g f f y (3.5) dir. iii), y I ve, olsu. y f ( ) f ( y) g( y) g( ) (3.6) dır ve (3.6) da

3 f ( ) g( y) f ( y) g( ) f ( ) g( ) f ( y) g( y) (3.7) elde edilir. Eğer ise ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( y) g( ) ( ) g( y) f y g y f ( ) g( ) ( ) f ( ) g( y) f ( y) g( ) ( ) f ( y) g( y) f ( ) g( ) ( ) f ( ) g( ) f ( y) g( y) ( ) f ( y) g( y) f ( ) g( ) ( ) f ( y) g( y) ( ) ( ) f ( ) g( ) ( ) f ( y) g( y) (3.8) eşitsizliği elde edilir. iv), y I ve, olsu. ( ) lim ( ) f y f y lim f ( ) ( ) f ( y) f ( ) ( ) f ( y) (3.9) dir. Öre 3..8 ( Üzeridei Öreler). Afi fosiyolar, hem de oav fosiyolardır. Tüm ormlar Afi: Herhagi,, oav bir fosiyodur. T a b içi üzeride ovestir. üzeride hem oves f a b fosiyou, hem oves hem p / p Normlar: l p orm: p içi p p i, l i orm: ma i gibi i ormlar oves fosiyolardır. m Öre 3..9 ( Üzeridei Öreler). Afi fosiyolar, m üzeride hem oves hem de oav fosiyolardır. Normlar, fosiyolardır. m üzeride oves

4 m Afi: A, X ve b içi fosiyou hem oves hem de oav fosiyodur. T f ( X ) iz( A X ) b a b m i i Spetral (e büyü sigüler değer) orm: ma, bir matrisi e büyü öz değerii belirtsi. Bu tadirde f ( X ) X ( ( X X )) Taım 3... f : T / ma fosiyou oves fosiyodur. bir fosiyo olma üzere f i grafiği X m olma üzere ij ij {(, f ( )) } (3.) şelide taımlaır. Taım 3... i) dom f { : f ( ) } ümesie f i taım ümesi deir. ii) f : bir fosiyo olma üzere f i epigrafiği (esi epigrafiği) (, ) ( ), epis ( f ) (, t) f ( ) epi f t f t t (3.) şelidedir. f bir oves fosiyodur epi f bir oves ümedir. Şeil 3.5. Koves ve oves olmaya fosiyolarda epigrafi

5 iii) S ( f ) { : f ( ) t} ile taımlaa ümeye f i bir alt düzey ümesi deir. t (, t) epi f S ( f ) olduğu açıtır. t Şeil 3.6. Bir fosiyou epigrafiği ve esi epigrafiği Şeil 3.7. f ( ) fosiyouu S f ( ) { : 5} 5 alt düzey ümesi Not 3... i), y I, p, q, p q içi (3.) ifadesi

6 f p qy pf ( ) qf ( y) p q p q (3.) ifadesie detir. ii) (3.) i basit geometri yorumu,, f ve, doğruu grafiği üzeride olmasıdır. doğruu delemi, f ve, y f y otaları arasıdai y f y otalarıı birleştire f ( y) f ( ) f ( s) f ( ) y s f ( y) f ( ) f ( s) f ( ) ( s ) y (3.3) şelide belirtilir. s ty ( t) otasıda hesaplaırsa, f ( y) f ( ) f ( ty ( t) ) f ( ) t( y ) f ( ) t f ( y) f ( ) y tf ( y) ( t) f ( ) elde edilir. iii) 3 olaca şeilde,, 3 I de üç ota ise (3.) ifadesi f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( ) f ( ) (3.4) 3 3 3 f ( ) 3 3 ifadesie detir. Bu da f ( ) f ( ) f ( ) 3 3 3 3 (3.5) ifadesie veya daha simetri olara ve,, 3 üzeride mootolu şartı olmasızı

7 f ( ) f ( ) f ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 3 3 3 (3.6) ifadesie detir. iv) Köşeleri (, f ( )),(, f ( )),( 3, f ( 3 )) ola üçgei alaı f ( ) P f ( ) (3.7) f ( ) 3 3 ile verilir. v) (3.5) i diğer bir yazılışı f ( ) f ( ) f ( ) f ( ),(, ) 3 3 ve 3 3 (3.8) şelidedir. Böylece aşağıdai souç geçerlidir: f ( ) f ( c) Her c I otası içi c fosiyou ovestir. ( c) fosiyou I aralığıda arta ise f vi) (3.8) i ullaara aşağıdai soucu olayca ispatalayabiliriz: f, I aralığıda oves bir fosiyo ve y, y,, y y ise aşağıdai eşitsizli geçerlidir: f f f y f y y y ( ) ( ) ( ) ( ). (3.9) (Pecaric ve ar.99) Taım 3..3. Her, y a, b otaları içi

8 y f ( ) f ( y) f (3.) eşitsizliği geçerliyse f : a, b fosiyoua, a b üzeride Jese alamda oves veya J -oves deir. J -oves bir f fosiyoua her (, y), y ota çiftleri içi (3.) de daha sıı eşitsizli sağlaırsa esi J -oves deir. Koves fosiyolar içi Jese eşitsizliği, matemati ve istatistite ço öemli eşitsizlilerde biridir. Diğer birço eşitsizli bu eşitsizlite elde edilebilir. Teorem 3..4 (Jese Eşitsizliği). I, de bir aralı, f : I oves fosiyo,,..., I ve... olma üzere,,..., olsu. Bu durumda f ii i f ( i ) (3.) i i eşitsizliği geçerlidir. Eğer f esi oves ise (3.) ifadesi... olmasızı esidir. (Roberts ve Varberg, 973) İspat: (3.) i ispatı tümevarımda yapılır. içi eşitsizli doğrudur. Farz edelim i içi doğru olsu. Bu durumda içi doğruluğuu göstermemiz gereir.,...,, I ve... olma üzere,,...,, olsu.,,..., i e az bir taesi de üçü olmalıdır. Asi halde eşitsizli aşiardır. ve u... (3.) olsu.... (3.3) ve

9... ( ) u (3.4) olur. f oves foiyo olduğuda, f ( ) u ( ) f ( u) f ( ) (3.5) buluur ve tümevarım hipotezide f ( u) f ( ) f ( )... f ( ) (3.6) eşitsizliği vardır. (3.5) ve (3.6) eşitsizlileride f... f ( ) f ( )... f ( ) (3.7) elde edilir. Böylece eşitsizli içi urulmuştur ve böylelile eşitsizli herhagi pozitif tamsayısı içi geçerlidir. Teorem 3..5 (Aritmeti-Geometri Ortalama Eşitsizliği). Eğer, ve i ise i i i...... (3.8) dir. (Roberts ve Varberg, 973) İspat: i içi ispatlama yeterlidir. yi log i olsu. Bu durumda i log e i i e i y i i (3.9) t dir. f ( t) e fosiyou (, ) aralığıda oves olduğuda Jese eşitsizliği ullaılara,

i i yi i i i e i i i f y yi i f ( yi) i e ii i i i (3.3) elde edilir. Teorem 3..6. I açı bir aralı olma üzere reel değerli bir f fosiyouu I da oves olması içi gere ve yeter şart, f i süreli ve f ( ) olmasıdır. (Niculescu ve Persso, 6) Taım 3..7. I bir aralı olma üzere eğer log f oves ise veya her, y I,, içi f ( ( ) y) f ( ) f ( y) (3.3) ise f : I fosiyoua log-oves deir. I (, ) ve f pozitif ie, y I ve içi f ( y ) f ( ) f ( y) (3.3) ise çarpımsal oves deir. Eğer f çarpımsal oves ise f ( e ) döüşümü (, ) aralığıda logovestir. Buu görme içi alıırsa y y f ( y ) f ( ) f ( y) e ( e ) ( e ) y e ( e ) ( e ) e e e / y / y y y y y e e e e e y y y y l e l e y y y (3.33)

olur i, elde edile so eşitsizli aritmeti geometri ortalama eşitsizliğidir ve böylece f ( e ) döüşümüü (, ) aralığıda log-oves olduğu görülür. ep, sih, cosh fosiyoları çarpımsal ovestir. (3.3) i tersi durumua da log oav deir. Not 3..8. f ve g oves ve g arta ise g f oves olduğu içi f ep log f olara yazılabileceğide log-oves bir fosiyo ovestir. Tersi her zama doğru değildir. Bu doğruda (3.8) de ve (3.3) de f ( ) f ( y) f ( ) ( ) f ( y) (3.34) elde edilir. Böylece, f ( ) y f ( ) f ( y) f ( ) ( ) f ( y) (3.35) eşitsizliği yazılabilir.

4. MAJORİZASYON VE KONVEKS FONKSİYONLAR Majorizasyo; öz değer, sigüler değer ve matris ormlarıı matris eşitsizlilerii oluşturmada öemli bir araçtır., ve y y, y egatif olmaya reel vetörler olsu. Geelliği bozmasızı, vetörleri bileşeleri azala sırada sıralası. Eğer y ise vetörü y de büyütür. Öreği,.8,..6,.4 tür. Faat bu yalaşım 3 ya da daha ço bileşe durumua geişletilemez. Bu bölümde bileşe sayısı iide fazla ola vetörler üzeridei ısmi sıralama ele alıacatır. 4..Temel Gösterimler,..., olsu. ve, sırasıyla azala ve arta sırada i oordiatlarıı düzelemesiyle elde edile vetörler olsu. Böylece, eğer,..., ise...... dir. Not edelim i, dir. Bezer şeilde eğer,..., ise, i i i (4.) dir. Taım 4..., y olsu. Eğer i i i yi,,,..., (4.) ve i yi (4.3) i i ise, y tarafıda majorize edilmiştir deir ve y şelide gösterilir.

3 Bezer şeilde ve y y y azala sıralı bileşeli, y vetörleri içi vetörü y vetörüü majorize eder deir ve eğer i i i yi,,,..., ve i yi ise y i i yazılır. Eğer y,,,..., y,,,..., i i i i i i i i ve y y eşitsizlileri varsa, i i i i i i i i (süper majorize) edilir deir. Sembolle w w y y y y dir. w y tarafıda zayıf majorize şelide gösterilir. Açıtır i, Öre 4... Şeil 4.. dei durum göz öüe alısı. İi farlı vetör görülmetedir. A B A B A ve B şemalarıda e büyü ii bileşe eşittir ( ve ). B şemasıdai e B B B üçü üç bileşe eşittir ( 3 4 5 ), faat A şemasıdai e üçü üç bileşe eşit A A A değildir.( 3 4 5 ). Bua e olara, A ve B şemalarıdai tüm bileşeleri toplamı eşittir. Taım 4... de verile sıralama uygulaara A şemasıdai vetör, B şemasıdai vetörü majorize eder( A B ).(Jorswiec ve Boche,6) Şeil 4..Öre vetörler: A B Öre 4..3. Aşağıdai vetörler majorizasyo ullaılara arşılaştırılabilir:,,...,,,...,,...,,,...,,,..., Teorem 4..4., y, z olsu.

4 y y ve y y i y dir. i) w ii) Aşağıdai ifadeler majorizasyo ve zayıf majorizasyou geçişli olduğuu gösterir: y, y z z; y, y z z w w w iii) z, y z p qy z; p, q, p q. iv) z, y z p qy z; p, q, p q. w w w v) y y ve y 'dir. w w vi) P permütasyo matris olma üzere y, y yp dir. vii) P permütasyo matris olma üzere y, y yp dir. (Zhag,) Teorem 4..5. Aşağıdai ifadeler eşdeğerdir: i), y ie w y dir. w w ii) iii) z içi u içi z ve z y dir. u ve u y dir. (Zhag,), y içi y, bileşe toplamıı ve y, ve y i Hadamard çarpımıı belirtir., egatif oordiatları sıfır ile yer değiştirilmesiyle te elde edile bir vetör ve, tüm oordiatları mutla değeri alıara elde edile bir vetördür. Teorem 4..6., y olsu. Bu durumda i) w y t içi i t yi t (4.4) i i dır. ii) w y t içi t i t yi (4.5) i i dır.

5 iii) y t içi t yi t (4.6) i i i dir. (Bhatia,997) Teorem 4..7. (,..., ), y ( y,..., y ) olma üzere i) w ii) y y w iii) y y y w iv) i y i i yi i y i i i i dir. (Zhag,) Bileşeleri egatif olmaya üzeridei tüm vetörleri ümesi ile gösterilir. Yai, u i içi u ( u,..., u) dir. Teorem 4..8. (,..., ), y ( y,..., y ) olsu. Bu durumda (,..., ) içi u u u i i i i i i y u y u ve u ( u,..., u ) içi w i i i i i i y u y u dir. (Zhag,) Teorem 4..9., y, u, v olma üzere y u y u i) w w ii) u, y v y u v w w w dir. (Zhag,) Taım 4... Satırları ve sütuları toplamı ola, egatif olmaya bir are matrise iili stoasti matris deir. Yai eğer, i, j içi a (4.7) j içi i ij aij (4.8)

6 i içi aij (4.9) j ise bir A a ij matrisie iili stoasti matris deir. Teorem 4... y olması içi gere ve yeter şart Py olaca şeilde iili stoasti bir P matrisii olmasıdır. (Bhatia,997) Öre 4....6,.4.8,. y olsu. İlgili stoasti matris.6 3 3.8 3 3 P.4. 3 3 3 3 ile verilir. Teorem 4..3. Bir A matrisii iili stoasti olması içi gere ve yeter şart her vetörü içi A olmasıdır. (Bhatia,997) Taım 4..4. ve y olma üzere ve y y y,...,,..., vetörleri düşüülsü. Eğer,..., içi i yi ve i i i yi ise, y tarafıda i i log-majorize edilmiştir deir. Yai, y dir. Eğer,..., içi log i yi ise i i, y tarafıda zayıf log-majorize edilmiştir deir ve y ile gösterilir. wlog Teorem 4..5., y olsu. Bu durumda y y (4.) wlog w dir. Yai, i i i i i i i i y,,,..., y,,,..., (4.) dir. (Zhag, )

7 4.. Koves ve Mooto Fosiyolar İçi Majorizasyo Taım 4... üzeride taımlı reel değerli bir fosiyoua y ( ) ( y) (4.) ise Schur- oves veya s-oves deir. Öreği, (,..., ) olma üzere ( )... fosiyou üzeride Schur-ovestir. Eğer y ise A ( a ij ), iili stoasti bir matris olma üzere Ay olara yazılabilir. Bu durumda ( ) a y i ji j i i j a ji y j a ji y j i j i j i y ( y) j (4.3) dir. Diat edelim i, olma üzere f ( ) yazıldığı zama, f fosiyouu i tüm bileşelerii içere bir aralıta taımlı olduğu ve f fosiyouu i tüm bileşelerie uygulaabileceği alaşılmalıdır. Yai, ise ( ) ( ),..., ( ),..., f f f Teorem 4..., y olsu. Bu tadirde i) f oves ise dir. y f ( ) f ( y), (4.4) w ii) f arta ve oves ise y f ( ) f ( y) (4.5) w w

8 dir. (Zhag,) Souç 4..3., y olsu. Bu durumda, yai,..., y,..., y i) y y ii) w y y w w, yai,...,,..., w y y dir. dir. iii), y pozitif olma üzere l l y y dir. (Zhag,) i i w w İspat: t ve t oves oldularıda (i) ve (ii) açıtır. t e arta ve oves olduğuda l l y e w e w y buluur i, (iii) elde edilmiş olur. Teorem 4..4., y olsu. Bu durumda i) ii) iii) y tüm f oves fosiyoları içi f ( ) f ( y )'dir. i i i y tüm f arta ve oves fosiyoları içi f ( ) f ( y )'dir. w i i i i Eğer y, i bir permütasyou değilse ve y i tüm bileşelerii içere i herhagi esi arta ve esi oves f fosiyou içi y f ( ) f ( y ) dir. (Zhag,) w i i i i Teorem 4..5., y olsu. Bu durumda y y y (4.6) w ve i y i i yi i y i (4.7) i i i dir. (Zhag,) Teorem 4..6 (Weyl Majorat Teoremi). A, sigüler değerleri s... s ve öz değerleri... şelide dizilmiş bir matris olsu. Bu durumda her t

9 değeri içi ( e t ) fosiyou oves ve mooto arta olaca şeildei her : fosiyou içi... w ( s ),..., ( s ) (4.8) dir. Özel olara her p içi p,..., p p,..., p w s s (4.9) dir. (Bhatia,997) Teorem 4..7., y olsu. Aşağıdai ii ifade eşdeğerdir: i) y ii) : oves fosiyoları içi iz ( ) iz ( y) dir. (Bhatia,997) Teorem 4..8., y olsu. Aşağıdai ii ifade eşdeğerdir: i) w y ii) : (Bhatia,997) mooto arta, oves fosiyoları içi iz ( ) iz ( y) dir. 4.3. Koves Fosiyolar ve Zayıf Majorizasyo Eşitsizlileri A, B içi aşağıdai 3 sıralama tipi düşüülebilir: i) B A A B pozitif yarı taımlıdır. ii) (Öz değer eşitsizlileri) ( B) ( A) ( B) ( A) ( j,,..., ) (4.) j j iii) (Zayıf majorizasyo)

3 ( B) ( A) ( B) ( A) (,,..., ) (4.) w j j j j Burada B A ( B) ( A) ( B) ( A) olduğu görülebilir. w Spetrumları I aralığıda bulua üzeridei tüm Hermitye matrisleri ümesi ( I ) ile belirtilsi. I üzeride taımlı, arta bir f fosiyou içi A, B ( I ) olma üzere ( B) ( A) f ( B) f ( A) (4.) dır. I üzeride taımlı, arta, oves bir f fosiyou içi A, B ( I ) olma üzere ( B) ( A) f ( B) f ( A) (4.3) w w dır. Lemma 4.3.. A ( I) ve f, I üzeride oves bir fosiyo olsu. birim vetörü içi f A, f ( A), (4.4) dir.(bhatia,997) Lemma 4.3.. A ( I) olsu. Masimum, u, u,..., u ortoormal vetörlerii tüm seçimleride geçerli olma üzere ( A) ma Au, u (,,..., ) (4.5) j j j j j dir. Bu ifade Ky Fa Masimum Presibi olara biliir. (Bhatia,997) Taım 4.3.3. A ise A matrisie otrasiyo deir.

3 Teorem 4.3.4. f, A, B ( I ) ve içi I üzeride oves bir fosiyo olsu. Bu durumda f A ( ) B w f ( A) ( ) f ( B) (4.6) dir. Eğer I ve f () ise X otrasiyoları ve A ( I ) içi * * f ( X AX ) w X f ( A) X (4.7) dir. (Aujla ve Silva,3) İspat:,,...,, A ( ) B i öz değerleri ve u, u,..., u, f ( ) f ( )... f ( ) olaca şeilde sıralamış ilgili ortoormal öz vetörler olsu.,,..., olma üzere sırasıyla f i ovesliği, Lemma 4.3. ve Lemma 4.3. ullaılara f A ( ) B f A ( ) Bu, u j j j j j j j j j j f Au, u ( ) Bu, u j j j j j, j ( ) j, j f Au u f Bu u f ( A) u, u ( ) f ( B) u, u j j j j f ( A) ( ) f ( B) u, u f ( A) ( ) f ( B) j j j (4.8) elde edilir. Böylece il gösterim ispatlamış olur. İici gösterimi ispatlama içi,,...,, * X AX i öz değerleri ve u, u,..., u, f ( ) f ( )... f ( ) olaca şeilde sıralamış ilgili ortoormal öz vetörler olsu. f () olduğuda istee eşitsizliği ispatlama içi Xu, j,,..., olduğu düşüülsü. Bu durumda j

3 sırasıyla f () oşuluyla f i ovesliği, Lemma 4.3. ve Lemma 4.3. ullaılara * * f ( X AX ) f X AXu, u j j j j j Xu Xu j j f Xu j A, Xu j. j Xu j Xu j Xu Xu j j Xu j f A, Xu j f () j Xu j Xu j j Xu j Xu j f ( A), Xu j * * X f A Xu j u j j j j Xu Xu ( ), X f ( A) X j j (4.9) elde edilir ve böylece ispat tamamlamış olur. edilir. Teorem 4.3.4 te r ve I (, ) ie f ( t) Souç 4.3.5. A, B olsu. Bu durumda r içi r t alıara aşağıdai souç elde r ( A B) r ( r r w A B ) (4.3) dir.(aujla,) [, ) aralığıdai egatif olmaya, azala her f fosiyou t [, ) olma üzere f ( t) f ( t) eşitsizliğii sağlar. Aşağıdai souç, operatör mooto fosiyolar içi Ado ve Zha (999) tarafıda ispatlaa eşitsizlilere bezer bir eşitsizlitir. Souç 4.3.6. f, t [, ) içi f ( t) f ( t) olaca şeilde [, ) aralığıda bir oves fosiyo olsu. A, B içi f ( A B) f ( A) f ( B) (4.3) w

33 dir. (Aujla ve Silva,3) İspat: Teorem 4.3.4. te A B f ( A ) f ( B ) f w (4.3) elde edilir. A yerie A ve B yerie B oyulursa f ( A) f ( B) f ( A B) w (4.33) buluur. f ( t) f ( t) olduğuda f ( A) f ( A) ve f ( B) f ( B) dir. Böylece f ( A) f ( B) w f ( A) f ( B) (4.34) dir. (4.33) ve (4.34) te istee souç elde edilir. Teorem 4.3.7 (Fa Basılı Teoremi). A ve B matrisler olsu. Eğer,,..., içi A B (4.35) ( ) ( ) ise tüm üiter ivaryat ormlar içi A B (4.36) dir. Aşağıdai souç Fa Basılı Teoremide elde edilir. Souç 4.3.8. f, I üzeride egatif olmaya, oves bir fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi f A ( ) B f ( A) ( ) f ( B) (4.37)

34 dir. Eğer I ve f () ise X otrasiyoları ve A ( I ) içi * * f X AX X f ( A) X (4.38) dir. (Aujla ve Silva,3) Teorem 4.3.4 e e olara f arta (veya azala) hipotezi yüleirse aşağıdai daha güçlü souç elde edilir. Teorem 4.3.9. f, I üzeride arta (veya azala), oves bir fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi f A ( ) B f ( A) ( ) f ( B) (4.39) dir. Eğer I ve f () ise X otrasiyoları ve A ( I ) içi f ( X * AX ) X * f ( A) X (4.4) dir. (Aujla ve Silva,3) 4.4. Log-Koves Fosiyolar İçi Eşitsizliler Lemma 4.4.. A, B ve r olsu. Bu durumda log r/ r r / / / A B A w log A BA r (4.4) dir.(ado,998) Lemma 4.4.. A, B olma üzere A B A A B r r/ r r / lim log log log r (4.4)

35 dir. (Ado,998) Lemma 4.4. ve Lemma 4.4. de aşağıdai lemma elde edilir. Lemma 4.4.3. A, B olma üzere / / log A log B w log A BA (4.43) dir. Teorem 4.4.4. f, I üzeride log-oves bir fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi f A ( ) B w f ( A) f ( B) (4.44) dir. (Aujla ve Silva,3) İspat: log f ( t ) fosiyou I üzeride oves bir fosiyo olsu. Böylece Teorem 4.3.4 ve Lemma 4.4.3 te log f A ( ) B w log f ( A) ( )log f ( B) log f ( A) log f ( B) w log f ( A) f ( B) f ( A) / / (4.45) elde edilir. t t e fosiyou arta ve oves olduğuda / / f A ( ) B w f ( A) f ( B) f ( A) f ( A) f ( B) (4.46) buluur ve ispat tamamlaır. Herhagi X içi ( ) w yardımıyla aşağıdai soucu bir ispatı elde edilir. olduğuda Fa Basılı Teoremi

36 Souç 4.4.5. f, I üzeride bir log-oves fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi ( ) ( ) ( ) f A B f A f B (4.47) dir. (Aujla ve Silva,3) Souç 4.4.6. a ve A, B ( I ) olsu. AB A B w (4.48) dir. (Aujla ve Silva,3) olsu. Bu durumda pi A, B pi dır. f ( t) a İspat: p ma A, B fosiyou [ p, p] üzeride log-ovestir. Böylece Teorem 4.4.4 te içi t ( ) ( ) a A B A B w a a (4.49) dir. alııp A yerie A ve B yerie B yazılara istee eşitsizli elde edilir. Not 4.4.7. a e durumuda Souç 4.4.6 ı özel bir durumu olara ülü Golde- Thompso eşitsizliği olara bilie A B iz e A e B iz e (4.5) eşitsizliği elde edilir. Aşağıdai souç Golde-Thompso eşitsizliğii başa bir geelleştirilmesi olara düşüülebilir. (Aujla ve Silva,3) Souç 4.4.8. f, (, ) aralığıda çarpımsal oves bir fosiyo olsu. A, B ( I ) ve içi A ( ) B A f e B w f e f e (4.5)

37 dir. (Aujla ve Silva,3) Teorem 4.4.4 ü diğer bir uygulaması olara geelleştirilmiş bir harmoigeometri ortalama (Youg) eşitsizliği elde edilir. Souç 4.4.9. A, B olsu. olma üzere r içi ( ) r r ( ) r A B w A B (4.5) dir. (Aujla ve Silva,3) İspat: p ma A, A, B, B olsu. pi A, A, B, B pi ve t t r fosiyou (, p ] üzeride log-ovestir. Böylece Teorem 4.4.4 yardımıyla r r ( ) r A ( ) B w A B (4.53) olur. A, A ile ve B, B ile yer değiştirirse ( ) r r ( ) r A B w A B (4.54) elde edilir ve ispat tamamlaır. Not 4.4.. Arta log-oves bir f fosiyou içi ( ) f A ( ) B f ( A) f ( B) (4.55) t eşitsizliği geçerli değildir. A, B ve f ( t) e olsu. Bhatia (997) da iyi biliir i A( ) B A ( ) B j e j e e (,,..., ) j j (4.56) eşitsizliği vardır. Faat

38 j A( ) B A( ) B j e det e A ( ) B det e e (4.57) j j e A e ( ) B dir. Böylece A, B ve i olma üzere e e e A ( ) B A ( ) B i i (4.58) olaca şeilde bir i buluabilir. (Aujla ve Silva,3) Not 4.4.. Teorem 4.3.4 te w yerie w ullaıldığıda ve Teorem 4.3.9 dai eşitsizliler tersi sıralamada alıdığıda oves fosiyo uygu oav fosiyo ile yer değiştirilirse Teorem 4.3.4 ve Teorem 4.3.9 sağlaır. Bu durumda I üzeridei bir log-oav fosiyo içi A, B ( I ) ve olma üzere f A ( ) B w f ( A) ( ) f ( B) (4.59) tahmii yapılabilir. Faat bu tahmi yalıştır. Buu görme içi 6 4 5 9 f ( t) t, I (, ),, A, B 5 7 (4.6) alıabilir. (Aujla ve Silva,3)

39 5. MATRİS MONOTON VE MATRİS KONVEKS FONKSİYONLAR Bu bölümde matris mooto fosiyolar ele alıacatır. Bu fosiyolar sıralama oruara Hermitye matrislere geişletilebile reel fosiyolardır. Matris mooto fosiyolar öemli özellilere sahiptir. Bularda bazıları bu bölümde ele alımıştır ve matris oves fosiyo avramıyla da ilişilidir. Bu bölümde bu ii fosiyo tipi iceleecetir. 5..Taımlar ve Basit Öreler f, I aralığıda taımlaa reel değerli bir fosiyo olsu. D öş (,..., ), I aralığıda öşege elemaları j ler ola öşege bir matris ise f ( D) öş( f ( ),..., f ( )) şelide taımlaır. A, I aralığıda öz değerleri j ler ola Hermitye bir matris ise A * UDU olaca şeilde D öşege matrisi ve U üiter matrisi vardır. Bu durumda f ( A) ( ) * Uf D U şelide yazılabilir. Bu şeilde öz değerleri I da ola herhagi mertebede tüm Hermitye matrisler içi f ( A ) taımlaabilir. Matris mootolu avramı, il olara 934 yılıda K. T. Löwer tarafıda ele alımıştır. Matrisleri matris değerli fosiyolarıı mootoluğuu taımlama içi tüm pozitif yarı taımlı matrisleri ümeside bir ısmi sıralamaya ihtiyaç vardır. pozitif yarı taımlı matrisleri ümesi ile gösterilsi. Buradai sıralama, Löwer sıralaması olara bilie A B ise B A pozitif yarı taımlıdır ve A B ise B A pozitif taımlıdır şelide taımlaa sıralama olara düşüülebilir. Taım 5.. (Matris Mooto). f fosiyou Hermitye matrisler ümesi de Löwer sıralamasıa göre mooto, yai A B ie f ( A) f ( B) ise f fosiyoua.mertebede matris mooto fosiyo deir. Fosiyo tüm mertebeleri içi sağlaırsa fosiyoa matris mooto veya operatör mooto deir. Öre 5... içi f ( t) t fosiyou matris mootodur. Buu görme içi A B alalım. içi A B ve A I B I dır. Böylece f ( A) f ( B) olur. Taım 5..3 (Matris Koves). Matris ovesli avramı, il olara F. Kraus tarafıda 936 da ele alımıştır. ve A, B içi

4 f ( A ( ) B) f ( A) ( ) f ( B) (5.) ise f fosiyoua.mertebede matris oves deir. Fosiyo tüm mertebeleri içi sağlaırsa fosiyoa matris oves veya operatör oves deir. f fosiyou [,] ve A, B içi f ( A ( ) B) f ( A) ( ) f ( B) (5.) ise f fosiyoua.mertebede esi matris oves deir. Not edelim i A ve B i öz değerleri bir I aralığıda ise A ve B i herhagi ombiasyolarıı öz değerleri de yie I aralığıdadır. Sadece süreli fosiyoları düşüelim. Bu durumda, (5.) ifadesi daha özel ola A B f ( A) f ( B) f (5.3) ifadesiyle yer değiştirilebilir. (5.3) ifadesii sağlaya fosiyolara orta ota matris oves deir ve eğer bu fosiyolar süreli ise ovestirler. Not 5..4. Matris mooto fosiyolar ümesi ve matris oves fosiyolar ümesii her iisi de pozitif lieer döüşümler ve limit işlemleri altıda apalıdır. Diğer bir ifadeyle f ve g matris mooto, ve pozitif reel sayılar ise f g de matris mootodur. f matris mooto ve f ( ) f ( ) ise f de matris mootodur. Bu işlemler matris oves fosiyolar içi de geçerlidir. Öre 5..5.,, içi f ( t) t t fosiyou matris ovestir. Buu görme içi A, B Hermitye matrislerii ele alalım. Bu tadirde,

4 f ( A) f ( B) A B f A A I B B I A B A B I A A I B B I ( A AB BA B ) A B I 4 ( A B AB BA) ( A B) 4 4 (5.4) olur. Bu fosiyo matris ovestir faat matris mooto değildir. Diğer bir ifadeyle A, B pozitif matrisler olma üzere B A pozitif yarı taımlı ie B taımlı değildir. Buu görme içi, ve A pozitif yarı A, B (5.5) matrislerii ele alalım. A, B ve B A (5.6) olduğu açıtır. Faat 3 B A (5.7) pozitif yarı taımlı değildir. Öre 5..6. (, ) aralığıda f ( t) Herhagi A, B Hermitye matrisleri içi t fosiyou matris oves fosiyodur. ( A B ) A B ( )( ) ( A B A B A B ) (5.8)

4 dır. Öre 5..7. p ie ovestir. Öre 5..8. (, ) aralığıda görme içi f ( t) f ( t) / p t fosiyou (, ) aralığıda matris 3 t fosiyou matris oves değildir. Buu 3 A, B (5.9) olsu. 3 3 3 6 A B A B (5.) dır ve bu da pozitif yarı taımlı değildir. Not 5..9. i) Her matris mooto fosiyo mootodur; faat her mooto fosiyo, matris mooto değildir. f :[, ) fosiyouu matris mooto olması içi gere ve yeter şart t f ( t) t d( ) (5.) t olaca şeilde olma üzere, reel sabitleri ve [, ) üzeride pozitif solu bir ölçüsüü var olmasıdır. ii) Her matris oves fosiyo ovestir; faat her oves fosiyo, matris oves değildir. Öreği, f ( ) e ovestir, faat matris oves değildir. f :[, ) fosiyouu matris oves olması içi gere ve yeter şart t ( ) ( ) f t t t d (5.) t

43 olaca şeilde olma üzere,, reel sabitleri ve [, ) üzeride pozitif solu bir ölçüsüü var olmasıdır. iii) Öreği, Her matris oves fosiyou matris mooto olmasıa gere yotur. f ( A) A Taım 5.. (Matris Koav). matris oavdır. fosiyou matris ovestir faat matris mooto değildir. f fosiyou matris oves ise f fosiyou 5..Temel Teoremler Lemma 5... B İspat: Her u vetörü içi A ise her X matrisi içi * * X BX X AX elde edilir. (Bhatia,997) * * u, X BXu Xu, BXu Xu, AXu u, X AXu (5.3) elde edilir ve ispat tamamlaır. Ayrıca C pozitif matrisi, B A ı pozitif areöü olma üzere * * * X B A X X CCX CX CX ( ) ( ) (5.4) şelide de ispatlaabilir. Teorem 5... (Bhatia,997) f ( t) t fosiyou İspat: B A olsu. Lemma 5.. de, üzeride matris mootodur. I B AB / / değişe pozitif matrisler üzeride sırayı oruduğuda Terar Lemma 5.. ullaılara B A elde edilir. dir. I B A B T T eşlemesi / / elde edilir. Lemma 5..3. B A ve B tersiir ise / / A B dir. (Bhatia,997) İspat: B A ise I B AB A B A B / / / / * / / ( ) dir ve burada / / A B dir. Teorem 5..4. f ( t) / t fosiyou [, ) üzeride matris mootodur. (Bhatia,997)

44 Öre 5..5. f ( t) değildir. Buu görme içi, t fosiyou içere herhagi bir aralıta matris oves A, B (5.5) matrislerii alalım. * / 3 A ( A A), A B (5.6) dir. Faat A B I dır. Burada A B A B ifadesi pozitif değildir. Teorem 5..6.(Löwer-Heiz Teoremi) p içi f ( t) p içi f ( t) p içi f ( t) p t fosiyou matris mooto ve matris oavdır. p t fosiyou matris mooto ve matris oavdır. p t fosiyou matris ovestir. Ayrıca f ( t) t log( t) matris oves ie f ( t) log( t) matris oav ve matris mootodur. (Carle, 9) Teorem 5..7. : f süreli bir fosiyo olsu. f i matris mooto olması içi gere ve yeter şart f i matris oav olmasıdır. (Bhatia, 997) Teorem 5..8. : f içi gere ve yeter şart 997) süreli bir fosiyo olsu. f i matris mooto olması g( t) f ( t) fosiyouu matris oves olmasıdır. (Bhatia, Teorem 5..9. f,, aralığıda süreli reel bir fosiyo olsu. Bu durumda aşağıdai ii oşul eşdeğerdir: i) f matris ovestir ve f () dır. ii) eder: g( t) f ( t) t fosiyou, üzeride matris mootodur. (Bhatia, 997) Aşağıdai teorem matris mooto fosiyolar içi bir matris eşitsizliğii ifade

45 Teorem 5... A, B ve herhagi f matris mooto fosiyou içi / / A B A B Af ( A) Bf ( B) f ( A) f ( B) (5.7) eşitsizliği vardır. (Audeaert,7) İspat: A, B pozitif yarı taımlı olsu. t t fosiyou matris ovestir. Böylece A B A B (5.8) dir. A yerie A I ve B yerie B I yazılara A ( A I) ( B I ) I B (5.9) buluur. C A B A I B I (5.) ve M A B (5.) olsu. Bu gösterimlerle (5.9) eşitsizliği C ( I M ) (5.) şelie döüşür. Burada C M C M I M M I M M I (5.3) ( ) ( )

46 ifadeside tüm çarpalar değişmeli olduğuda so eşitli olayca elde edilir. C C A B dir ve özel olara C C I dır. Burada (5.3) ifadesi M ( I C ) M C (5.4) şelie döüşür. Dahası C C M olduğuda C M C M (5.5) veya / / A B A B A B A B A I B I A I B I (5.6) olur. içi A yerie A ve B yerie B yazılırsa ve ile her ii taraf çarpılırsa / / A B A B A B A B A I B I A I B I (5.7) buluur. Bu eşitsizli pozitif bir d( ) ölçümü ullaılara [, ) üzeride itegralleirse A B d( ) d( ) A I B I A B A B A B d( ) A I B I / / (5.8) elde edilir. Burada da

47 A B A d( ) B d( ) A I B I A B A B A B d( ) A I B I / / (5.9) ve A( f ( A) I A) B( f ( B) I B) / / A B A B ( f ( A) I A f ( B) I B) (5.3) buluur. Kare fosiyou matris ovesliğide içi A B A B yardımıyla / / A B A B A( I A) B( I B) I ( A B) (5.3) buluur.(5.3) ve (5.3) ifadeleri toplaara istee eşitsizli elde edilir. edilir: Weyl mootolu ve ( AB) ( BA) eşitliği ullaılara aşağıdai souç elde j Souç 5... A, B ve herhagi matris mooto f fosiyou içi j j A B Af ( A) Bf ( B) j ( f ( A) f ( B)) (5.3) eşitsizliği vardır. (Audeaert,7)

48 6. HERMİTE-HADAMARD TİPİ EŞİTSİZLİKLER üzeride taımlı herhagi bir f oves fosiyou içi b a b f ( a) f ( b) ( b a) f f ( ) d ( b a), a, b (6.) a eşitsizliği tüm f :, a b oves fosiyoları içi literatürde Hermite-Hadamard eşitsizliği olara biliir. Bu eşitsizli il olara 88 de Hermite tarafıda bulumuştur. Faat bu souçta matemati literatürüde hiçbir yerde bahsedilmemiştir ve Hermite i soucu olara bilimemiştir. Koves fosiyoları tarihi ve teorisi üzerie uzma Becebach, bu eşitsizliği 893 te Hadamard tarafıda ispatladığıı yazmıştır. Böylece (6.) eşitsizliği Hermite- Hadamard eşitsizliği olara bilimetedir. Teorem 6.. I, de bir aralı, a, b I ve a b olma üzere f : I bir fosiyo olsu. Bu durumda oves b a b f ( a) f ( b) f f ( ) d b a (6.) a olur. (Hadamard, 893) İspat: f, I üzeride oves olduğuda a, b aralığıda süreli ve a, b aralığıda sıırlıdır. Dolayısıyla f bu aralıta itegralleebilirdir. t, içi f ( ta ( t) b) tf ( a) ( t) f ( b) (6.3) dir. Bu eşitsizli, aralığıda t ye göre itegralleirse ( ) ( ) ( ) ( ) f ta t b dt tf a t f b dt (6.4) f ( a) tdt f ( b) ( t) dt f ( a) f ( b)

49 elde edilir i bu da Hermite-Hadamard eşitsizliğii sağ tarafıdır. Diğer yada, f, I üzeride oves olduğuda t, içi a b ta ( t) b ( t) a tb f f f ta ( t) b f ( t) a tb (6.5) buluur. Bu ifadei her ii tarafı, üzeride t ye göre itegralleirse a b f f ta ( t) b f ( t) a tb dt f ta ( t) b dt f ( t) a tbdt (6.6) elde edilir. Bu ifadede sağ taraftai iici itegralde t s yazılırsa a b f f ta ( t) bdt f sa ( s) b ds f ta ( t) b dt (6.7) elde edilir i bu da Hermite-Hadamard eşitsizliğii sol tarafıdır. (6.4) ve (6.7) ifadeleride b a b f ( a) f ( b) f f ta ( t) b dt (6.8) a elde edilir. (6.8) ifadeside ta ( t) b değişe döüşümü yapılırsa f ta ( t) b dt f ( ) d b a b (6.9) a

5 buluur ve böylece ispat tamamlamış olur. Lemma 6.. f, g :[ a, b] fosiyoları içi aşağıdai durumlar detir: i) f, g fosiyoları [ a, b ] aralığıda ovestir. ii), y [ a, b] içi f ( t) f ( t ( t) y) veya f (( t ) ty ), g ( t) g( t ( t) y) veya g (( t ) ty ) şelide taımlaa, :, fosiyoları, üzeride ovestir. (Pecaric ve Dragomir,99) f g Koves fosiyolar içi Hermite- Hadamard tipi eşitsizliler birço yazar tarafıda ele alımıştır. Bu eşitsizlilerde bazıları verilmiştir: Teorem 6.3. f ve g reel değerli, egatif olmaya ve [ a, b ] üzeride oves fosiyolar olsu. M ( a, b) f ( a) g( a) f ( b) g( b) ve N( a, b) f ( a) g( b) f ( b) g( a) olma üzere (i) b f ( ) g( ) d M ( a, b) N( a, b) b a (6.) 3 6 a (ii) b a b a b f g f ( ) g( ) d M ( a, b) N( a, b) b a (6.) 6 3 a dir. (Pachpatte, 3) Not 6.4. a ve b seçilirse c, d pozitif sabitler olma üzere f ( ) c ve g( ) d( ) olur. Bu da (6.) ve (6.) eşitsizlilerii geçerli olduğuu gösterir. İspat: f ve g oves fosiyolar olduğuda t, içi f ( ta ( t) b) tf ( a) ( t) f ( b) (6.) g( ta ( t) b) tg( a) ( t) g( b) (6.3) dir.(6.) ve (6.3) te

5 f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) t f ( a) g( a) ( t) f ( b) g( b) t( t)[ f ( a) g( b) f ( b) g( a)] (6.4) elde edilir. Lemma 6.. de f ( ta ( t) b) ve g( ta ( t) b), [,] üzeride oves olduğuda [,] aralığıda itegralleebilirdir ve souç olara f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) çarpımı da [,] aralığıda itegralleebilirdir. Bezer şeilde f ve g, [ a, b ] aralığıda oves olduğuda [ a, b ] aralığıda itegralleebilirdir ve böylece [ a, b ] aralığıda fg de itegralleebilirdir. (6.4) eşitsizliğii her ii tarafı [,] üzeride itegralleirse f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) dt M ( a, b) N( a, b) (6.5) 3 6 buluur. ta ( t) b alıırsa f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) dt f ( ) g( ) d b a b (6.6) a elde edilir. (6.6) eşitliği (6.5) te yerie yazılara (6.) eşitsizliği elde edilir. f ve g oves fosiyolar olduğuda t a, b içi

5 a b a b f g ta ( t) b ( t) a tb ta ( t) b ( t) a tb f g 4 f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) f (( t) a tb) g(( t) a tb) 4 tf ( a) ( t) f ( 4 b) ( t) g( a) tg( b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 t f a tf b tg a t g b f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) f (( t) a tb) g(( t) a tb) 4 t ( t ) f ( a ) g ( a ) f ( b ) g ( b ) 4 t ( t) f ( a) g( b) f ( b) g( a) 4 f ( ta ( t) b) f (( t) a tb) g( ta ( t) b) g(( t) a tb) (6.7) elde edilir. Bezer şeilde (6.) eşitsizliğii ispatıda olduğu gibi (6.7) eşitsizliğii her ii tarafı, üzeride itegralleirse a b a b f g f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) f (( t) a tb) g(( t) a tb) dt 4 (6.8) M ( a, b) N( a, b) 6 eşitsizliği oluşur ve (6.8) de a b a b f g f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) dt (6.9) M ( a, b) N( a, b) 6

53 olduğu görülür. (6.9) eşitsizliğii her ii tarafı ile çarpılara ve (6.6) eşitliği ullaılara (6.) eşitsizliği elde edilmiş olur. Teorem 6.5. f, g : a, b oves fosiyolar olsu. M ( a, b) f ( a) g( a) f ( b) g( b) ve N( a, b) f ( a) g( b) f ( b) g( a) olma üzere b f ( a) f ( b) ( b ) g( ) d ( a) g( ) d ( b a) ( b a) a a b g( a) g( b) ( b ) f ( ) d ( a) f ( ) d ( b a) ( b a) a a M ( a, b) N( a, b) 3 6 b a b a b b f ( ) g( ) d (6.) eşitsizliği vardır. (Tuç,) İspat: f ve g oves fosiyolar olduğuda t, içi f ( ta ( t) b) tf ( a) ( t) f ( b) (6.) g( ta ( t) b) tg( a) ( t) g( b) (6.) dir. e, f, p, r içi e f ve p r ise er fp ep fr eşitsizliği ullaılara ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) f ta t b tg a t g b g ta t b tf a t f b tf ( a) ( t) f ( b) tg( a) ( t) g( b) f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) (6.3) elde edilir. Burada g( a) tf ( ta ( t) b) g( b)( t) f ( ta ( t) b) f ( a) tg( ta ( t) b) f ( b)( t) g( ta ( t) b) t f ( a) g( a) ( t) f ( b) g( b) t( t) f ( a) g( b) t( t) f ( b) g( a) f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) (6.4) eşitsizliği oluşur.

54 Lemma 6.. de f ( ta ( t) b) ve g( ta ( t) b), [,] üzeride oves olduğuda [,] aralığıda itegralleebilirdir ve souç olara f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) çarpımı da [,] aralığıda itegralleebilirdir. Bezer şeilde f ve g, [ a, b ] aralığıda oves olduğuda [ a, b ] aralığıda itegralleebilirdir ve böylece [ a, b ] aralığıda fg de itegralleebilirdir. (6.4) eşitsizliğii her ii tarafıı [,] üzeride itegralleirse g( a) tf ( ta ( t) b) dt g( b) ( t) f ( ta ( t) b) dt f ( a) tg( ta ( t) b) dt f ( b) ( t) g( ta ( t) b) dt f ( a) g( a) t dt f ( b) g( b) ( t) dt f ( a) g( b) t( t) dt f ( b) g( a) t( t) dt f ( ta ( t) b) g( ta ( t) b) dt (6.5) elde edilir. ta ( t) b,( a b) dt d alıırsa b tg( ta ( t) b) dt g( ) d b a a b b a ( b a) b a ( b ) g( ) d (6.6) ve ( a t) g( ta ( t) b) dt g( ) d b a a b b a ( b a) b a ( a) g( ) d (6.7) ve bezer şeilde