DERSHANELERÝ Konu Ders Adý Bölüm Sýnav DAF No. MATEMATÝK - II KARMAÞIK SAYILAR - I MF TM LYS 30 Ders anlatým föleri öðrenci tarafýndan dersten sonra tekrar çalýþýlmalýdýr. Adý Soadý :... Bu kitapçýðýn her hakký saklýdýr. Tüm haklarý br Bire Eðitim Yaýncýlýk Pazarlama Ltd. Þti. e aittir. Kýsmen de olsa alýntý apýlamaz. Metin ve sorular, kitapçýðý aýmlaan þirketin önceden izni olmaksýzýn elektronik, mekanik, fotokopi a da herhangi bir kaýt sistemile çoðaltýlamaz aýmlanamaz. KARMAÞIK SAYILAR - I KARMAÞIK SAYI a, b birer gerçek saý ve i = olmak üzere a+ib biçimindeki saýlara karmaþýk (kompleks) saýlar denir ve Z=a+ib þeklinde gösterilir. KARMAÞIK SAYILAR KÜMESÝ (C) Karmaþýk saýlarýn oluþturduðu kümee karmaþýk saýlar kümesi denir ve C ile gösterilir. SANAL SAYI BÝRÝMÝNÝN KUVVETLERÝ i =... i =... i 3 =... i 4 =... Örnek: C={Z : Z=a+ib, a, b R, i = } Aþaðýdaki karmaþýk saýlarýn eþitlerini bulunuz. i 5 =... i 7 =... (i) 43 =... i 4n =... i 46 =... 4n+r i =i i 5 =... i 6 =... i 7 =... i 8 =... r i = i 75 =...... (i 3 ) 5 =... i n =... i 46 =... KARMAÞIK SAYININ GERÇEK VE ÝMAJÝNER KISMI Z=a+ib karmaþýk saýsýnda, a a karmaþýk saýnýn gerçek (reel) kýsmý denir ve Re(Z) ile gösterilir. Z=a+ib karmaþýk saýsýnda b e karmaþýk saýnýn sanal (imajiner) kýsmý denir ve Ým(Z) ile gösterilir. Örnek: Aþaðýdaki karmaþýk saýlarýn reel ve imajiner kýsýmlarýný bulunuz. Z= 3i ise Re(Z)=... Ým(Z)=... Z=i 3 ise Re(Z)=... Ým(Z)=... KARMAÞIK DÜZLEM Karmaþýk saýlar ile analitik düzlemin noktalarý arasýnda bire bir ve örten bir eþleme apýlabilir. Bu eþlemede a+ib karmaþýk saýsýna analitik düzlemde (a, b) noktasý karþýlýk gelir. Karmaþýk saýlarla bire bir eþlenen düzleme karmaþýk düzlem denir. a+0i karmaþýk saýlarý (a, 0)=a olduðundan analitik düzlemdeki ekseni ile eþlenir ve eksenine gerçek (reel) eksen denir. 0+bi karmaþýk saýlarý (0, b)=bi olduðundan analitik düzlemdeki ekseni ile eþlenir ve eksenine sanal (imajiner) eksen denir. Ýmajiner (sanal) eksen (a, b)=a+ib b Z=a+ib ise Re(Z)=a Z=a+ib ise Ým(Z)=b Z=a+ib=(a, b) a Reel (gerçek) eksen 0-0 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS) - 30
Örnek: 3 Aþaðýda karmaþýk düzlemde verilen karmaþýk saýlarý azýnýz. a) b) 3 Z 3 4 KARMAÞIK SAYININ EÞLENÝÐÝ a, b gerçek saý olmak üzere, a ib karmaþýk saýsýna a+ib karmaþýk saýsýnýn eþleniði denir. Z karmaþýk saýsýnýn eþleniði Z ile gösterilir. Örnek: 5 Z=a+ib ise Z=a ib =... Z =... c) d) Z 3 4 ÝKÝ KARMAÞIK SAYININ EÞÝTLÝÐÝ a, b, c ve d gerçek saý ve iki karmaþýk saý =a+ib ve Z =c+id olsun. Ýki karmaþýk saýnýn eþit olmasý için gerçek kýsýmlarý ve sanal kýsýmlarý birbirine eþit olmalýdýr. Örnek: 4 =Z a+ib=c+id ise a=c ve b=d i = ve a ile b birer gerçek saý olmak üzere, a 3+bi i=b++ai+4i olduðuna göre, a.b çarpýmý kaçtýr? Z 3 =... Z 4 =... Z 4 Z=+ i ise Z =... Z=3i5 ise Z =... Z=8 ise Z =... Z=4i ise Z =... Örnek: 6 Z=3i karmaþýk saýsý ile eþleniði arasýndaki uzaklýk kaç br dir? Uarı: Karmaşık saının eşleniğinin bu saının eksenine göre simetriği olduğuna dikkat ediniz. Örnek: 7 i = ve Z=+i olmak üzere, Z 5i+3= Z++i olduðuna göre, Re(Z) Ým( Z) kaçtýr? 0-0 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS) - 30
KARMAÞIK SAYILARDA TPLAMA VE ÇIKARMA ÝÞLEMÝ a, b, c ve d birer gerçek saý olmak üzere, olsun. =a+ib ve Z =c+id +Z =... Z =... Örnek: 0 i = ve.i olmak üzere, 6 9 4 Örnek: 8 i 40 +i 49 +i 66 A) i B) C) 0 D) E) i Örnek: i = ve n bir doðal saý olmak üzere, i 8n+ +i 4n+6 +i n+5 iþleminin sonucunu bulunuz. Örnek: 9 Aþaðýda karmaþýk düzlemde, Z ve Z 3 karmaþýk saýlarý çizilmiþtir. Z 3 Buna göre, Z 3 +Z karmaþýk saýsýný bulunuz. 5 3 Z Örnek: i+i +i 3 +...+i 99 3 0-0 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS) - 30
KARMAÞIK SAYILARDA ÇARPMA ÝÞLEMÝ a, b, c, d birer gerçek saý olmak üzere, =a+ib ve Z =c+id olsun. Örnek: 3 (3 4i)(3+4i) Uarı:.Z =(a+ib)(c+id) =a.c+i.a.d+i.b.c+i.b.d =(ac bd)+i(ad+bc) Z = a+ ib olmak üzere, Z.Z = (a + ib)(a ib) = a + b Örnek: 6 (+i) 4 +( i) 4 Uarı: (+ i) = i ( i) = i Örnek: 7 ( i) 5.(+i) 4 karmaþýk saýsýnýn reel kýsmý kaçtýr? Örnek: 4 i(3 i)+i( i) Örnek: 5 i = ve a ile b birer reel saý olmak üzere, (+i)( ai)=( i)(b+i) olduðuna göre, a.b çarpýmý kaçtýr? 0-0 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS) - 30 4 Örnek: 8 olduðuna göre, (+i)(+i 3 )(+i 5 )(+i 7 ) çarpýmý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) B) 4 C) +i D) i E) 4i (99/ÖYS)
Örnek: 9 Z.Z =34i olduðuna göre, (.Z ) Z.Z =Z.Z n (Z )=( Z) n Örnek: i = ve a ile b gerçek saý olmak üzere, 6 i a ib 3 olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr? KARMAÞIK SAYILARDA BÖLME ÝÞLEMÝ a, b, c, d gerçek saý ve =a+ib ve Z =c+id olsun. Örnek: Z Z =, Z 0 Z Z Z=+4i ve u=3i karmaþýk saýlar olduðuna göre, deðeri aþaðýdakilerden hangisidir? Z.u 6+3i i i A) B) C) D) E) 3 3 Örnek: 0 Z Z a+ib = c+id i i i i (a+ib).(c - id) = (c+id).(c - id) ac+bd bc - ad = +i c +d c +d Örnek: 3 0 saýsý aþaðýdakilerden han- i = olduðuna göre, gisidir? +i i (997/ÖYS) A) i B) i C) D) E) i (99/ÖYS) 5 0-0 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS) - 30
KARMAÞIK SAYILAR I. i 00 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) i B) C) 0 D) E) i KNU TESTÝ 6. i = ve n bir doðal saý olmak üzere, n3 6n 3 i.i 4n 9 8n 6 i.i A) i B) i C) D) i E) +i. i 75 ifadesi aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) i B) C) 0 D) E) i 3. i = ve a ile b birer gerçek saý olmak üzere, =3a+4+5i Z =0+(b+)i =Z olduðuna göre, a.b çarpýmý kaçtýr? 7. Z=+i karmaþýk saýsý karmaþýk düzlemin II. bölgesindedir. Z saýsýnýn reel eksene uzaklýðý 3 br, sanal eksene uzaklýðý 4 br olduðuna göre, Ým( Z) kaçtýr? A) 4 B) 3 C) 3 D) 4 E) 5 8. Re(Z) Ým(Z )= olduðuna göre, Z karmaþýk saýsý aþaðýdakilerden hangisi olamaz? A) B) 3 C) 5 D) 6 E) 8 4. Z=3i olduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi anlýþtýr? A) Reel eksene uzaklýðý br dir. B) Ýmajiner eksene uzaklýðý 3 br dir. C) Karmaþýk düzlemin III. bölgesindedir. D) Ýmajiner kýsmý dir. 9. A) i B) 3+i C) 3 4i D) 4 5i E) 4 i i ve a ai olmak üzere, 8 64 9 A) 4i B) 4i C) 6i D) 0i E) 4i E) Reel kýsmý 3 tür. 5. i = ve ile birer gerçek saý olmak üzere, Z=(3 i)+( i)+ 3i Z=i olduðuna göre,. çarpýmý kaçtýr? A) 5 B) 0 C) 5 D) 0 E) 5 0-0 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS) - 30 6 0. Z Z 3 4i ifadesinin imajiner kýsmý kaç- olduðuna göre, týr? Z 3i +Z A) 7 B) 6 C) 5 D) 5 E) 6
KARMAÞIK SAYILAR I. 3Z i= +8i+ Z olduðuna göre, Z karmaþýk saýsý aþaðýdakilerden hangisidir? A) i B) +i C) +i D) i E) i KNU TESTÝ 6. i +i 4 +i 6 +i 8 +...+i 40 A) B) 0 C) D) i E) i. i = ve a ile b birer gerçek saý olmak üzere, =3+a+ib Z =5+i(a ) Z = Z olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr? A) B) C) D) E) 3 3. i = ve a+ib=(a, b) olmak üzere,.(, ) 3.(, ) A) 74i B) 7+8i C) 78i D) +4i E) 7+4i 4. Z karmaþýk saýsý karmaþýk düzlemin II. bölgesinde bulunduðuna göre, aþaðýdakilerden hangisi anlýþtýr? A) Z Z karmaþýk saýsý imajiner eksen üzerindedir. B) Z+ Z karmaþýk saýsý reel eksen üzerindedir. C) Z karmaþýk düzlemin IV. bölgesindedir. D) Z karmaþýk düzlemin I. bölgesindedir. E) Z karmaþýk düzlemin IV. bölgesindedir. 7. +Z =3+5i 3Z = 5i olduðuna göre, +Z karmaþýk saýsý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 3i B) i C) +i D) i E) +i 8. = olmak üzere, 3i( i)+( i)(+i) A) 7i B) +7i C) 7i D) 7i E) 7i 9. (+i 5 )(+i 8 )(+i 7 ) A) 4 B) 4 4i C) D) E) +i 5. i+i 3 +i 5 +i 7 +...+i 6 A) i B) i C) D) E) i 7 0. Z =3+i Z =+4i olduðuna göre, ( Z. ) karmaþýk saýsý aþaðýdakilerden hangisine eþittir? A) 0+i B) i C) 3+i D) 5+3i E) +0i 0-0 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS) - 30
KARMAÞIK SAYILAR I. Z+(+i) Z=6 i olduðuna göre, Ým( Z) kaçtýr? A) 0 B) C) D) 8 E) 0. Aþaðýda karmaþýk düzlemde ve Z karmaþýk saýlarý verilmiþtir. Z Buna göre,. Z +3Z karmaþýk saýsý aþaðýdakilerden hangisidir? A) 8 i B) 8i C) +8i D) 5 4i E) 5+4i 3. i = ve a ile b gerçek saý olmak üzere, (3 i)(a+bi)= a+bi olduðuna göre, a+b toplamý kaçtýr? 3 4 A) B) C) D) E) 9 9 3 9 3 5. Aþaðýda karmaþýk düzlemde ve.z karmaþýk saýlarý gösterilmiþtir. Buna göre, Z karmaþýk saýsý aþaðýdakilerden hangisidir? A) B) i C) +i D) i E) i 6. Re i i +Ým 3 A) B) C) D) E) 7. ( i).(3+4i) A) 5 B) 4i C) 5 D) i E) 34i 8. Z ( i) i i 6 A) 64i B) 3i C) 6i D) 3i E) 64i 3 KNU TESTÝ.Z 4. Z 5 i olduðuna göre, Re(Z)+Ým(Z) toplamý kaçtýr? A) B) C) D) E) 3 9. i5 5i 0 A) i B) i C) D) E) i -B -E 3-D 4-E 5-C 6-C 7-C 8-E 9-E 0-A -B -C 3-E 4-C 5-B 6-B 7-E 8-A 9-A 0-E -E -E 3-C 4-E 5-D 6-B 7-C 8-E 9-C 0-0 - DAF - MATEMATÝK - II (MF-TM) / (LYS) - 30 8