FREKANS ve AYF Düzeli olarak tekrar ede olayları sıklığıı belirtmek içi kullaıla periyod kelimesi yerie birim zamada gerçekleşe tekrar etme sayısı da kullaılır ve bua frekas deir. Ayı şekilde periyodik elektrik işaretleri içi de tekrar aralıklarıa periyod buu tersie de frekas deir. Birimleri de sırasıyla s ve Hertz'dir. E çok bilie periyodik işaret ola siüs işareti doğada da sık görülmekte, elektrik-elektroikte de çok karşılaşılmakta, hatta diğer periyodik işaretler de siüzoidal işaretler ciside ifade edilmektedir. O edele öcelikle siüsoidal işareti taımlamakta fayda vardır. Şekil 1'deki saat yöüü tersie döe disk üzeride bir okta resmedilmiştir. Noktada merkeze çizile doğruu yatayla yaptığı açı () t ve oktaı yatay eksede uzaklığı yt () olsu. () t - yt () grafiği yada verilmiştir. yt (), oluşa diküçgede () t 'i karşısıdaki kear olduğuda grafiğe siüs grafiği deir. yt () () t yt () () t Şekil 1. Döer disk ile siüzoidali ilişkisi. Eğer disk c rad/s sabit hızı ile döüyorsa grafiği t - yt () ciside çizebiliriz. 1,5 yt () 1 0,5 0 t -0,5-1 -1,5 Şekil. Sabit hızla döe diskteki oktaı alık yüksekliğii vere grafik. Siüzoidali frekası diski döme hızıa (devir/saiye) eşittir. Birimi devir/s olup, 1970'lerde beridir elektromayetizma çalışmalarıda ötürü Heirich Rudolf Hertz isimli bilimisaıı aısıa Hertz birimi kullaılmaktadır. Bu dalgaşeklie siüzoidal yada kısaca si demektedir. Disk üzerideki oktaı dikey eksede uzaklığıa xt () dersek, xt ()'i grafiği de Şekil 3'teki gibi olur ve kosiüs olarak aılır.
1,5 1 xt () 0,5 0 t -0,5-1 -1,5 Şekil 3. Kosiüs foksiyou sius foksiyouu 90 derece öceye ötelemiş halidir. Siüs ve kosiüs grafikleri birbirlerii 90 derece ( / radya) kaydırılmış halleridir. Eğer döer diski devir hızı 1 devir/s ise bu foksiyolara si( t ) ve cos( t ) isimleri verilir. Döer diski yarı hızda dödüğü durumda oluşa grafik Şekil 4'te verilmiştir ve si(0.5 t ) ile ifade edilir. 1,5 si(0.5 t) 1 0,5 0-0,5-1 -1,5 Şekil 4. Döer diski yarı hızda dödüğü durumda oluşa siüzoidal. üm bu işaretlere topluca siüzoidler deir. Buları birbiride ayıra özellikler ise; frekas (diski döüş hızı), gelik (oktaı disk merkezide uzaklığı), faz açısı (başlagıçta oktaı yatayla yaptığı açı). Yai geel olarak bir siüzoidali x( t) A si( f t ) (1) 0 0 0 şeklide ifade edebiliriz. Burada terimi si( ) içideki terimleri radya ciside ifade edilmesi geleeğidedir. İdisler ise aslıda gelik, frekas ve faz açısıı zamala değişebileceğii (zamaı bir foksiyou olduğuu), buradaki örekte ise birer sabit olarak alıdığıı göstermek içidir. Birçok siüzoidi birbiriyle karşılaştırmak içi 3 te (gelik, frekas ve faz) oktalar halide gösterebiliriz. Acak de gösterimler daha kolay ve alaşılır olduğuda gelik, frekas yada faz bilgileride birisii yok yada sabit varsayıp diğer ikisi ile gösterimleri yapabiliriz. Öreği, faz bilgisii görmezde gelerek frekas-gelik düzlemide siüsleri oktalar halide gösterelim. Şekil 5 üç adet siüzoid göstermekte. Gelik bilgisii daima pozitif olduğuu, egatif gelikler içi sadece siüzoidi 180 derece ileri fazda olduğuu varsayalım. Faz bilgisii de ihmal ettiğimize göre tüm oktalar üst yarıdüzlemde olacaktır. Şekilde alaşılacağı üzere, f ve 1 f frekaslarıda gelikleri farklı iki adet siüzoidal vardır ve f 1 frekasıdaki siüzoidali geliği daha yüksektir. Sıfır frekasıda da bir işaret vardır acak bu dömeye bir diskte bulua bir oktaya aittir.
gelik x 1 x 0 x frekas f 1 f Şekil 5. Üç adet siüzoidali frekas-gelik düzlemide gösterilişi. Şekil 5'teki üç siüzoidal elektriksel işaret olsalardı toplamları muhtemele y( t) 0.3 si( f t ) 0.6si( f t ) 1 1 yada faz açıları ihmal edilmiş haliyle y( t) 0.3 si( f t) 0.6si( f t) 1 şeklide olurdu. abi ki faz açıları belli olmadığı ve frekaslar belirtilmediği içi yt () tam olarak çizilemez. Örek olarak f1 0.5 ve f 1 alalım ve ilk işareti kosiüs ikicii siüs olduğuu varsayalım. Bu durumda, toplam işaretimiz y( t) 0.3 cos( t) 0.6si( t) () şeklide olur. Periyodik işaretleri toplamı kuralıı hatırlayalım; Periyod farkları sıfıra yakı olmaya solu sayıda periyodik işareti toplamı yie periyodiktir. yt ()'i bir periyoduu çizdiğimizde Şekil 6'daki grafiği elde ederiz. abi ki yt () eksi sosuzda artı sosuza kadar bu şekilde tekrar etmektedir. yt () t Şekil 6. Üç işareti toplamıda oluşa periyodik işaret. Eğer yt () elektriksel bir işaret ise 0.3 sabit sayısıa DC (direct curret) bileşe ismi verilir. oplamda oluşa periyodik işareti frekasıa da temel frekas (fudametal frequecy) deir. Öreğimizde 3 adet siüsoidal işareti (birii frekası sıfır olmasıa rağme) toplayıp yei bir periyodik işaret elde ettik. Şimdi terside bir soru soralım; acaba periyodik bir işaret verilse kedisii oluştura siüsoidal bileşeleri bulabilirmiyiz?
Bu soruu cevabıı yüzyıllar öce Jea Baptiste Joseph Fourier vermiştir. Fourier'e göre herhagi bir etegre edilebilir periyodik işaret sosuz sayıda siüsoidali toplamıda oluşturulabilir. İşareti 1 periyodu ve temel frekası f o olmak üzere y( t) b cos( t) c si( t) o o 0 1, 0,1,..., (3) şeklide yazılabilir. Burada f temel açısal frekas olarak isimledirilir (fiziksel olarak döe o o diski üzerideki bir oktaı birim zamada katettiği radya ciside açı). am katları ola o ve f o ise harmoikler olarak aılırlar. Bu sosuz serilere Fourier Serisi ismi verilmiştir. Bua göre, yt () periyodik işareti sosuz sayıda siüs ve kosiüs işaretii b ve c ağırlıklarıyla toplamıdır. Peki, verile bir yt () içi b ve c katsayılarıı asıl buluruz? Bu soruu cevabı "herhagi bir yt () içide herhagi bir xt () işaretide e kadar var?" sorusuyla ayıdır ve bu işaretleri birbirie e kadar bezediğie dair bir ölçüdür. Yai cevap içsel çarpım y( t), x( t) y( t) x( t) dt (4) dır. İtegrali sıırları hagi aralıkta bezerliğe baktığımızla ilgili olup, bizim işaretlerimiz de periyodik olduğuda bir periyod boyuca itegral alırız. Bu durumda / y ( t ),cos( t ) y ( t )cos( t ) dt (5) 0 / 0 ve / y ( t ),si( t ) y ( t )si( t ) dt (6) 0 / 0 olur. / 'ler ölçekleme katsayıları olmak üzere (toplam eerjii ayı kalması içi) / b y( t)cos( / 0t) dt ve (7) / c y( t)si( / 0t) dt (8) ile sosuz toplamdaki ağırlıklar buluur. b 0 'ı ölçekleme katsayısı 1/ olup b 0 1 / y() t dt (9) / ile hesaplaır. b 0 'ı ortalama değer olduğua dikkat ediiz (DC bileşe). Klasik bir örek ile pekiştirelim. yt () Şekil 7'de verile periyodu ola kare dalga olsu.
1 / bo dt ( 1) dt 0 0 / ortalama değeri 0 olduğu şekilde görülebiliyor. olarak hesaplaır. Aslıda buu hesaplamaya gerek yoktu, çükü 1 y(t) t -1 Şekil 7. Periyodu ola kare dalga. / / cos( ) cos( ) si( ) si( ) 0 / b t dt t dt t t o o o 0 o / o / si( / ) t si( t / ) si( ) si(0) si( ) si( ) 0 / 1 1 b 0!! Gerçekte b 'leri de hesaplamaya gerek yoktu. Çükü b 'ler bir çift foksiyo (dikey eksee göre simetrik) ola kosiüslerlerle bezerliği belirte katsayılardır. Foksiyoumuz yt () ise bir tek foksiyodur (y=x doğrusua göre simetrik), içide hiçbir çift foksiyo olamayacağı açıktır. abi ki foksiyolar tek yada çift olmayabilirler, buradaki özel durumdur, acak hatırımızda tutabileceğimiz bir kolaylıktır. Bu durumda c 'ler sıfır çıkamaz. Zate c 'ler tek foksiyo ola siüslere bezerliği ölçüsü olduğua göre, foksiyoumuz da tek olduğua göre bularda e az birii sıfırda farklı olması gerekir. (katsayılarda sadece birii sıfırda farklı olduğu durumu tahmi ediiz) si( ) si( ) cos( / ) cos( / ) / 0 1 c t dt t dt t t 0 / 0 / o o / 0 1 c 1 cos( ) cos( ) 1 1 cos( ) c 0, is eve 1 ( 1) 4, is odd c katsayılarıı (3)'te yerie koyduğumuzda kare dalgaı siüsler ciside ifadesii buluruz. 0 y( t) b cos( t) c si( t) o o 0 1 4 si( ot ) 1,3...
c katsayılarıı büyüklükleri Şekil 8'de verilmiş olup siüs frekası yükseldikçe geliklerii hızla küçüldüğü görülmekte. Şekil 8. Kare dalgayı oluştura siüsoidalleri gelikleri. Peki, frekası arttıkça gelikleri azala sosuz adet siüs toplamı yerie, gelikleri e büyük olada başlayıp sıırlı sayıda siüsü toplarsak e olur? Şekil 9. =1, 3, 5 ve 7 içi siüsler ve ilk ve ilk 4 siüsü toplamı.
Şekil 9'da =1, 3, 5 ve 7 içi toplama gire ve büyüdükçe geliği azala siüs dalgaları görülmekte. Ayrıca =1 ve 3 içi üretile siüsleri toplamı ve =1, 3, 5 ve 7 içi üretile siüsleri toplamı görülüyor. Heüz 4 adet siüs toplamasıa rağme toplamı kare dalgaya yaklaştığı belirgi. abi ki tam kare dalga olması içi sosuz tae siüsü toplamı gerekli. Euler dekliği jo t e cos( t) jsi( t) yada o jot jot e e e cos( ot), si( ot) o e j jot jot çifti kullaılarak (3) karmaşık sayılar ciside yazılabilir, daha basit görüür. Böylelikle (3) şeklii alır. b ve c katsayıları da j ot y() t a e (10) 1 / jo t a y() t e dt (11) / şeklide tek karmaşık katsayıya döüşür. Fourier serilerii her iki formülasyou birbirie eşdeğerdir. Fourier serileri yardımıyla periyodik işaretleri siüs ve kosiüs foksiyoları ciside yazabildik. Periyodik foksiyo kısıtı oldukça sıırlayıcıdır, çükü gerçekte periyodik bir işaret göremeyiz. Fourier taımıa uyması içi foksiyou {, } aralığıda tam periyodik olması gereklidir. Peki yt () foksiyou periyodik değil ise e yapabiliriz? Periyodu sosuza götürmek ( ) temel frekası sıfıra getirir ( 0 ). Bu da Şekil 8'deki katsayı grafiğii sadece temel frekası tam katlarıda değil tüm frekaslarda bileşe olmasıı sağlar, yai kesikli değil sürekli bir bileşe grafiğimiz olur. Bu durumda (11)'deki katsayı bulma formülümüz de jt Y ( ) y( t) e dt (1) şeklii alır. (1)'ye Fourier Döüşümü adı verilir. Herhagi bir yt () işaretii (bazı kısıtlar dahilide) siüsoidler ciside yazabilmemizi sağlar. Bezeri şekilde (10) deklemi de 1 jt y( t) Y ( ) e d (13) halie gelir ve ers Fourier Döüşümü ismii alır. Yai yt ()'yi oluştura siüsoidleri katsayılarıı bulma işlemi Fourier Döüşümü, bu katsayıları yerie yazıp yt ()'yi oluşturma işlemie de ers Fourier Döüşümü ismi verilir. Fourier Döüşümlerii işaret aalizide faydalı birçok özelliği o
dolayısıyla birçok bilim dalıda (haberleşme dahil) oldukça geiş kullaımı vardır. Döüşüm ve ters 1 döüşümü belirtmek içi X ( ) F x( t) ve x( t) X ( ) F otasyoları kullaılır. Ayrıca x( t) X ( ) 'de döüşüm çiftii gösterir. X ( ) geel olarak karmaşık foksiyo olup herbir okta a( ) jb( ) gibi gerçek ve saal kısımda oluşur. Büyüklüğü b a 'dır. Gerçek kısmıı Re X ( ), saal kısmıı Im ( ) ata( / ) açısıı X ( ) ile göstereceğiz. a b faz açısı da X, büyüklüğüü X ( ) ve Bu aşamada Fourier döüşümüü birkaç öemli özelliğii tablo halide verelim. Diğer özellikler ise yeri geldiğide ihtiyaç oldukça değiilecektir. ablo 1. Bazı Fourier Döüşüm özellikleri Doğrusallık Eğer x( t) c1x 1( t) cx( t) ise X ( ) c1 X1( ) c X ( ) 'dir. Zamada kayma Ölçekleme F x( at) Kovolüsyo ( ) j F x t t e t o F x( t) o 1 X a a x( t) y( t) x( ) y ( t ) d olmak üzere F F F x( t) y( t) x( t) y( t) X ( f ) Y ( f ) 1 1 Modülasyo F Otokorelasyo R ( ) x( t) x ( t ) dt x x( t)cos( t) X ( ) X ( ) o o o F R x( t) X ( ) ise X ( t) x( ) ( ) ( ) x X Dualite/ikilik Rayleigh eerji dekliği Simetri x( t) dt X ( f ) df Eğer xt () gerçek ve x( t) X ( ) ise X X ve Re X( ) Re X( ) Im ( ) Im ( ) Ayrıca, eğer xt () gerçek ve çift foksiyo ise X ( ) gerçek ve çifttir ve eğer xt () gerçek ve tek foksiyo ise X ( ) saal ve tek foksiyodur. Basit görüe ama haberleşme sistemleride sık geçe bir foksiyou Fourier Döüşümüü bulalım. Şekil 10'da gösterile foksiyoumuzu ismi Gate (kapı) işaretidir. Kapı işareti
1, t t, t 0, t 1 şeklide taımlaır. Fourier döüşümü ise F / jt jt j ( / j / ) X ( ) ( t / t / e dt e dt t Yai sic / 1 si( / ) e e dir. j / Şekil 10. Kapı işareti ve Fourier döüşümü. Kapı işaretii oluştura siüsoidal işaretleri sosuz sayıda olduğuu ve frekaslarıı sosuza kadar uzadığıı görmekteyiz. Şas eseri Fourier döüşümü sorasıda elde edile siüsoidalleri fazları ya sıfır yada (egatif) olduğuda faz bilgisii de çizmek zoruda kalmadık. Döüşümü sadece geliğii gösterildiği grafiklere gelik tayfı (magitude spectrum) yada kısaca tayf deir. Kapı işaretii tayfı Şekil 11'de verilmiştir. ayf şekilleride baze foksiyo ile frekas eksei arası dolu olarak gösterilir (sağdaki şekil). Ayrıca ekse ölçekleride de baze logaritmik, db, dbw birimleri kullaılabilir. Şekil 11. Kapı işaretii frekas tayfı. Fourier döüşümü özellikleride (ablo 1) faydalaarak üçge darbei (Şekil 1) döüşümüü bulalım. Üçge darbei aslıda adet kapı işaretii kovolüsyou ile oluşturulabilmesi ve ablo 1'deki kovolüsyo özelliğide faydalaarak Fourier döüşümüü bulabiliriz. ( t) ( t) ( t) ( ) ( t ) d F ( t) F ( t) ( t) F ( t) F ( t). Yai kapı foksiyouu döüşümüdeki herbir oktaı karesii aldığımızda soucu buluruz.
Λ(t) t Şekil 1. Üçge darbe işareti. (.) Şekil 13. Kapı foksiyouu frekas tayfı ve ou karesi ola üçge darbei tayfı. Üçge darbe öreğide ekseler üzerideki sayısal bilgileri yazılması okuyucuya bırakılmıştır. Kapı işaretii süresi ola büyüdükçe Fourier döüşümüdeki sıfır geçişlerii birbirie yaklaşacağıı ve foksiyou sivrileceğii Şekil 14'de görebiliriz. Şekil 14. Kapı işaretii esetilerek birim darbe foksiyouu elde edilmesi (ekselerde değerler okuyucuya bırakılmıştır). Şekil 14 ayı zamada 1 ( ) döüşüm çiftii de göstermiş oluyor. İkilik kuralıa göre frekas tayfı kapı foksiyou ola bir işareti de sic foksiyou olacağıı söyleyebiliriz. abi ki ayı şekilde frekas tayfı tüm frekaslarda sabit ola bir işaret de birim darbe işareti olacaktır ( ( t) 1). Eerji tayfı (eergy spectral desity) ise gelik tayfıı karesidir. Yai kapı işaretii eerji tayfı ile üçge darbe işaretii gelik tayfı şekil olarak ayıdır (birimler farklı). Sıırlı zamada gerçekleşe işaretleri toplam eerjisi buluabilir ve buu içi ablo 1'deki Rayleigh itegrali kullaılabilir.
E x( t) dt X ( f ) df x (14) Kapı işaretii tayf itegrali ile toplam eerji hesaplamasıı zor olduğuu görüyoruz (sic) foksiyou. Gerçekte sic foksiyoları itegrali aalitik olarak buluamaya foksiyolar grubudadır. Halbuki kapı işaretii (ve karesii) zama alaıdaki itegrali oldukça kolaydır. / E ( t) dt 1 dt / am tersie zama alaıdaki işaretimiz sic foksiyou (mümkü müdür?) olsaydı toplam eerjiyi frekas alaıdaki itegral ile hesaplayabilirdik. Bir işareti eerjisi, 1 Ohm'luk direce bağladığıda (Şekil 15) direçte harcaa eerji olarak taımlaır ve (14)'teki eerji itegrali ile hesaplaır. Şekil 15. Kayak eerjisi modeli. Eerji itegrali sosuz çıkabilir. Bu durumda birim zamada harcaa eerji x 1 lim ( ) P x t dt (15) hesaplaır ve güç (power) adıyla aılır. Periyodik işaretler içi ise bir periyottaki eerji buluur. o 1 P x() t dt (16) x İtegral bir yoğuluğu toplamı olduğua göre itegral işareti içideki foksiyou da bir yoğuluğa karşı gelmesi gerekiyor. Ayı durum işaretler içi de geçerlidir. Periyodik işaretler içi (16)'da verile toplam güç aslıda 1 () olmaya işaretler içi ise xt güç yoğuluğuu (power spectral desity) toplamıdır. Periyodik 1 G ( f ) lim X ( f ) (16) x limiti kullaılır. İşaretler de verdiği eerjiye göre sııfladırılabilir. Eğer (14) ile hesaplaa eerji sosuz değil ise işarete eerji işareti deir. Aksi halde (15) ile güç hesaplaır ve güç siyali adı verilir. Varsayımsal olarak da olsa güç de sosuz çıkabilir (öreği ta(t) işareti). Periyodik işaretler doğal olarak güç işaretleridir ve sosuz eerji taşırlar. Örek olarak Şekil 16'daki testere dişi işaretii eerjisii/gücüü bulalım.
Şekil 16. estere dişi işareti. x( t) dt olduğuda eerji işareti değildir, güç hesaplayalım. A A 3 A 3 3 0 0 3 1 a 1 P x() t dt t dt t a. Periyotta bağımsız olduğuu görüyoruz. Doğrusu periyodik işaretleri gücü frekasıda bağımsızdır. Fourier döüşümüü gördükte sora aklımıza gele soru "e işe yarıyor?"dur. Öcelikle Fourier döüşümüü e ifade ettiğii tekrar hatırlayalım. Döüşümde elde ettiğimiz karmaşık değerli foksiyou herbir frekas oktası zama (zama ile sıırlı değil) alaıdaki foksiyou oluştura sosuz adet siüsoidalde o frekasta olaı geliğii ve faz açısıı vermektedir. Bu durumda, birim darbe tepkisi verile bir doğrusal sistemi herhagi bir işarete vereceği tepki hesaplaabilir. Çükü birim darbe işaretii Fourier döüşümü sabit sayı olup her frekasta ayı gelikte bir siüsoidal demektir. Her frekastaki siüsoidale tepkisi bilie bir sistemi tabi ki herhagi bir siüsoidale ola tepkisi ve birçok siüsoidalde oluşa bir işarete tepkisi de rahatlıkla buluabilir. O zama doğrusal sistemleri biraz hatırlayalım. xt () h(t) y( t) x( ) h( t ) d y( t) x( t) h( t) X( f ) H( f ) Y( f ) X ( f ) H( f ) G ( ) x f G ( f ) G ( f ) H( f ) Y x Şekil 17. Doğrusal sistemde girdi-tepki ilişkileri. Güç yoğuluğu tayfı G ( f ) N0 / ola bir gürültü işareti Şekil 18'de verile direç-kapasitör devresie uygulaıyor. Süzgeç çıkışıdaki gürültü güç tayfıı ve toplam gürültü gücüü bulalım. G ( f ) G ( f ) H( f ) olduğua göre öcelikle süzgeci trasfer foksiyouu bulalım. Y ZC Devre bir gerilim bölücü olduğua göre H( f) R Z C ve Z C 1 j fc de
1 H( f) 1 j frc buluur. Şekil 18. RC alçak geçire süzgeci. Büyüklüğü H( f) 1 1 ( frc) ve faz açısı H( f ) ta( frc) olarak buluur. N0 / Çıkıştaki gürültü güç tayfı da GY ( f) 1 ( frc) hesaplaır. oplam gürültü gücü ise N0 df Y ( ), ve u 1 ( frc) P G f df du df kullaarak P RC frc değişke seçimi ile du RCdf ve 0 0 0 N du N ata( RCf ) N 4RC buluur. 1 u 4RC 4RC Görüldüğü gibi basit bir RC süzgeci ile toplam gürültü gücüü sosuzda solu bir değere idirdik. abi ki asıl işaretimiz de bu işlemde etkileecektir. Gerçek sistemleri tasarlarke, ilgilediğimiz işareti frekas tayfıda kapladığı yer (birazda göreceğimiz bad kavramı) dışıda kala işaretlerde kurtulmamız yada e az etkilememiz içi süzgeç tasarımı öemlidir. Acak bu dökümaı kousu değildir. İşaretimizi frekas tayfıda kapladığı yer edir? Öreği, Şekil 14'teki frekas tayflarıı ayı frekasları ayı şekilde kaplamadığıı görüyoruz, ama buu asıl ifade ederiz? Buu içi bad geişliği adıda bir kavram geliştirilmiştir. Bu da işareti tayfıı e yüksek frekası ile e düşük frekası arasıda kala frekas bölgesi demek gibidir. Acak, Şekil 14'teki işaretlerimiz (, ) frekas aralığıı işgal ediyor gibi. Fourier döüşüm özellikleride şöyle bir çıkarsama da yapabiliriz; solu zamada gerçekleşe işaretler frekas tayfıda sosuz yer kaplarlar, yada solu bir frekas badı kapsamasıı istediğimiz işaretler zamada 'da 'a uzamak zorudadır. Yai, sıırlı bir frekas badıı kapsaya işaretler gerçekçi değildir. Bu durumda, gerçek işaretler içi uygu bir bad geişliği taımı yapılmalıdır. Yarım güç badgeişliği (half power badwidth) çok kullaıla taımlarda biridir. Frekas tayfıda e yüksek gücü etrafıda buu yarısıa idiği e uzak iki adet frekas buluur ve bu iki frekası arası bad geişliğii belirler. Şekil 19 buu iki öreğii vermektedir. Yarım güç, desibel (db) ölçeklemeside yaklaşık -3 db'ye karşılık gelmektedir (10 log 10(0.5) 3).
Şekil 19. Yarım güç bad geişliği örekleri. Gürültü eşitlemeli bad geişliği (oise equivalet badwidth) ise yüksek frekas süzgeçleri ürete üreticileri kulladığı bir ölçüm olup, ayı miktarda gürültü geçire ideal süzgeci bad geişliği demektir. Diğer bad geişliği taım ve kullaımları bu dökümada geçmediği içi okuyucuya bırakılmıştır. Şimdi de, döküma aa koumuz haberleşme olduğua göre, haberleşme işaretlerii taşıacağı iletişim kaalları ve elektromayetik tayf içideki yerlerie basitçe değielim. Şekil 0 bildiğimiz elektromayetik tayfı kulladığımız geiş bir kısmıı basitçe özetlemektedir. Şekli sağ tarafıda frekaslar logaritmik arta şekilde, sağ tarafıda da ilgili frekastaki elektromayetik dalgaları dalgaboyları listelemiştir. E solda, ayrıca, ilgili frekası içide buluduğu badı hagi isimle aıldığı (popüler isimler) listelemiştir. Ortada bazı tekolojik isimlerle belirtile badlar ve kullaım alaları bulumaktadır. Elbette ki elektromayetik tayf çok daha detaylı bir şekilde kullaımlara bölümüştür, acak buradaki detay dahi çok şey alatmaktadır. Şekil 0. Elektromayetik tayf özeti.
Elektromayetik tayfı 1 phz'de yukarısı, yai NUV (ear ultra violet), EUV (extra ultraviolet), X ışıları, alfa-gama ışıları ve kozmik dalgalar haberleşme sistemleride kullaılmamaktadır. Zate bu dalgalar calılar içi oldukça zararlıdır. Çoğulukla radyasyo diye bahsedile şey aslıda bulardır. ayfı e düşük frekas kısmıda bulua ELF (extra low freq.) ve biraz üstü deizaltı haberleşmeside kullaıla soar (ses) dalgalarıdır. abi ki elektrik dalgası olarak kablolara verilse haberleşme yapılabilir acak e basit kablo dahi (öreği bükülü kablo: twisted pair) çok daha yüksek hızlarda iletişim sağlayacak badgeişliğie sahip olduğuda kabloda sadece ELF kullaılmaz ama işaretimiz o frekasları kapsayabilir. Yetişki isa kulağıı 10-15 khz'ye kadar sesleri duyabildiği bilimektedir. Bu durumda Giriş bölümüde verdiğimiz sesli iletişim öreği VLF'ye kadar ola badı kapsamaktadır. Basit bükülü kablou 0-30 MHz'ye kadar frekasları taşıyabildiği gösterilse de aslıda sıır kablou boyuyla ters oratılıdır. Yai bükülü kablo 100 MHz'yi taşımaz diyemeyiz, kablo kısaldıkça daha az hasarla taşımaya başlar. Yie de 100 MHz'lik işaret 1 km'lik bükülü kabloda oldukça yüksek hasara uğrar, kullaışlı olmaz diyebiliriz. Bezeri şekilde koaksiyel kablo da 1 GHz'ye kadar kullaılır şeklide gösterilmiş olsa da doğrusu böyle keski sıırlar yoktur. Şekilde gösterile sıırlar kabiliyeti değil daha çok kullaım frekaslarıı belirtmektedir. İletişim hatları ayrı bir dersi kousu olabilir, bu dökümada kapsamamaktadır. Gelik modülasyou AM (amplitude modulatio) yayıı yapa radyolar içi ayrıla frekas badı 1-100 MHz arasıda biryerlerde gösterilmiştir. Bu, AM tekiğii diğer badlarda çalışmadığı maasıa gelmesi. Buradaki sıırlar da uluslararası alaşmalarla belirlemiş yasal badlardır. Bezeri şekilde halka açık FM (frequecy modulatio) radyo ve V (televisio) yayıları da tayfta gösterile yerlerde yapılabilir. Söz kousu işlem radyo dalgalarıı havaya yaymak oluca, frekas badı oldukça kısıtlı bir kayaktır. Her ülkede iziler devlet tarafıda kotrol edilir ve dağıtılır, çoğu ülkede ücretlidir. Kablo yada kotrol altıdaki bir medya içide (öreği dalgagüdücü) iletişim yapılacaksa iletişimi yapalar ve ilgili devlet kurumları sadece dışarıya yayılımı kotrolü sorumluluğua sahiptir. Öreği eviizi bir odasıda diğer bir odasıa kablo çekip istediğiiz frekas badıı haberleşme amaçlı kullaabilirsiiz, acak dışarıya elektromayetik yayılım belli değerleri altıda olmalıdır. Ayı işi komşuuzla yada diğer sokaktaki akrabaızla yapamazsıız, çükü pekçok ülkede haberleşme altyapısı yetki ve sorumluluğu kamu yada özel kurumlara verilmiş/satılmıştır. Uzakta kumada cihazlar, oyucaklar vb içi ayrılmış badlarda sadece sıırlı güçte (sıırlı mesafe demektir) yayı yapabilirsiiz. MIR ve FIR (ifrared/kızılötesi badları) iletişimde heüz çok az kullaılmaktadır. Çükü bu dalgalar maddeler tarafıda soğurularak ısıya döüştürülür. NIR (ear ifrared) ise uzakta kumada cihazları gibi basit haberleşmede ve fiber optik kablolarda kullaılmaktadır. Performas açısıda diğer iletişim badları fiber optik kablou badıyla karşılaştırılamaz. Şekilde frekaslar logaritmik ölçekle verildiğide, belirgi olmamakla beraber biraz hesapla, fiberi bad geişliğii (yaklaşık 900 Hz) ou altıda kala tüm haberleşme tayfıda (100 Hz diyelim) kak kat büyük olduğuu görebiliriz. O edele diğer kablolu ve kablosuz iletişimi iletişim hızı (bit/s) bakımıda fiber ile yarışmasıı imkaı yoktur. Fiberi tek sıırlaya şey uç oktalarıdır. Nihayetide, göderici tarafıda elektrik işaretii ışığa, alıcı tarafıda da ışık işaretii elektrik işaretie döüştürülmesi gerekmekte, bu döüştürücüleri (trasducer) tekolojisi sıırlayıcı olmaktadır. Çükü halihazırda bilgisayarlar ve diğer sayısal cihazlar elektrik işaretleriyle çalışmaktadır. abi ki birkaç o yıl sora durum değişebilir. Kousu açılmışke fiber, bakır kablo ve kablosuz iletişim atelerie bir göz atalım, biraz taıyalım.
Şekil 1'de fiber kablou kabaca yapısı ve çalışması alatılmaktadır. Fiber aslıda saç kılı kadar ice (<50 µm) olabile bir camdır. Normal camda farklı kıla özelliği ise saflığı, homojeliği ve düzgülüğüdür. Bir ucuda gire ışık fazla bir kayba uğramada diğer ucuda çıkar. Core (çekirdek) adı verile asıl camı üzerie kaplamış cekirdekte farklı bir kırılma idisie sahip bir başka cam ile beraber çalışır. Farklı kırılma idisleri şekilde gösterildiği gibi tam ışık yasımasıa sebep olur ve ışık dışarıya kaçamaz. Yie de dışarıda ışık girememesi içi ve koruma mekaik amacıyla ou üzerie de ışık geçirmez bir kaplama daha yapılır. Buları çoklu demetleri aralarıa ve üzerie mekaik dayaıklılık içi ayrıca gerekli kaplamalar, öreği çelik kılıf, yapılır. LED core farklı uzulukta yol kat ede dalgalar Şekil 1. Çok-modlu (multimode) fiber kablou çalışması. Işık kayağıda ayrıla ve yöleri tam ayı olmaya ışık hüzmeleri kablo boyuca farklı sayıda yasımalara uğrar ve soucuda farklı zamalarda karşı uca erişirler. Sosuz sayıda ışık hüzmesi (herbirie mod deir) farklı zamalarda alıcıdaki döüştürücüye ulaştığı ve oları toplamı görüldüğüde Şekil 1'de gösterile fiberde yayılma (dispersio) deile olay oluşur ve Şekil 10'daki gibi düzgü bir darbe diğer uçta yayılmış/bozulmuş bir darbe olarak görülür. Bu da birim zamada göderilebilecek darbe sayısıı sıırlar (ot: yie de bahsedile hızlar bakır kabloda kat kat yüksektir). Fiber çekirdeğii oldukça ice (<10 µm) yaparak yayılım azaltılabilir. Şekil 'de tek-mod (sigle mode) fiber kablou çalışması gösterilmiştir. Böylelikle hem yasıma sayısı hem de farklı sayıda yasıma sayısı çok daha az olduğuda tek-mod fiber kablolarda veri daha yüksek hızlarla ve daha uzak mesafelere (>100 kilometre) taşıabilir. Şekil. ek-mod (sigle mode) fiber kablou çalışması. ek-mod fiber kabloda uygu şekilde faydalaabilmek içi ışık kayağı da laser ile değiştirilir. Laser tek doğrultuda, tek dalgaboyuda ve tek fazda ışık hüzmesi olduğuda yasıma kayıpları çok daha az olur.
Fiber moder çağı eredeyse alteratifsiz iletişim ortamıdır, ucuzladıkça daha da yaygılaşmaktadır. Şu adaki maliyet kayağı ise uç oktaları, yüksek tekoloji ve eğitimli işgücü gerektirmesidir. Acak heryere kablo çekilemez. Özellikle mobil cihazlar ve mobil araçlardaki (taşıt araçları, gemi, uçak, uydu vb) haberleşme cihazlarıı kablosuz haberleşmede başka alterafi yoktur. Şekil 3'te kablolu ve kablosuz iletişimi arasıda bir yerde kala dalgagüdücü (waveguide) öreği verilmiştir. Dalgagüdücü iyi iletke metal bir boru olup bir ucuda göderile elektromayetik dalgaı diğer ucuda alıması şeklide çalışır. abi ki dalgagüdücüü ölçüleri, içeride rezoası sağlaa modlar ve çalışma frekasları arasıda sıkı ilişkiler vardır ve bu koular geelde mikrodalga/elektromayetik dersleride işleirler. Şekil 1. Dalgagüdücü (waveguide). Şekil 'de gösterile eşekseli (coaxial) kablo belki de yüksek frekaslarda e çok kullaıla kablodur. Empedası ve çalışma badlarıa göre oldukça fazla çeşitlilik gösterirler. Kesilikle bir teli etrafıa sarılmış plastik ve ou da etrafıa sarılmış metal tel örgü diye düşümemek gerekir. İletkeleri kalitesi, dielektrik malzemei yapısı ve esekliği performası oldukça fazla etkiler. Şekil. Eşekseli (coaxial) kablo. Şekil 3'te gösterile etheret kablosu bir bükülü kablo öreğidir. Bükülü kabloları bilerce türü olduğuda hepsi içi geçerli olduğu söyleebilecek pek birşey yoktur. Şekilde gösterile örek 4 çift bükülü kablo içermekte olup dış koruması plastiktir ve dışarıda gele etkilere açıktır. emel olarak dış elektromayetik dalgaları ve edüksiyo yoluyla alıacak gürültüü etkisii azaltmak içi birbirleri üzerie büküle yalıtımlı iletkelerde oluşur. Çoğulukla diferasiyel modda, yai gidişdöüş çiftleri şeklide, işaret iletilir.
Şekil 3. Bükülü kablo (twisted pair). Kablosuz haberleşme ise elektromayetik dalgaı ateler yoluyla havaya/ortama yayılması ile gerçekleir. Ateler de kullaıldıkları uygulamaya göre oldukça fazla çeşitlilik gösterirler. Burada birkaç türü öreğii verelim ve asıl bilgilemei Ateler ve Yayılım dersleride ediilebileceğii söyleyelim. Şekil 4. Dipol ve Yagi ate örekleri. Dipol ate iletke bir çubuk olup boyu çalışma frekası/dalgaboyu ile belirleir. Eksei yöüde yayı yapmaz. Eğer belli bir yöe yayı yapılmak isteiyorsa arkasıa yasıtıcı yerleştirilir (Şekil 4, ortadaki ate). Bir çeşit dipol ola Yagi ate ise çoğulukla alıcı atedir (sağdaki) ve belli dalgaboyları içi öüe ve ardıa reflektör çubuklar yerleştirilmiştir. Böylelikle o yödeki yayılar daha güçlü alıır. Şekil 5. Çaak ate ve radom korumalı çaak ate. Şekil 5'te ise çaak ate öreği verilmiştir. Aslıda çaak kısmı sadece yasıtıcı olup çukur aya gibi karşıda gele dalgaları bir odak oktasıa toplamak içidir. Odak oktasıda ise asıl ate ve
ou ökuvvetlediricisi küçük bir koruma kutusu içide yeralmaktadır. Atee yakı bir ökuvvetledirici (preamplifier) ve frekas idirici (dowcoverter) olmasıı sebebi, işareti kabloya yöledirmede öce kuvvetledirip kablodaki gürültüde daha az etkilemesii sağlamaktır. Bu kutuya LNB (Low Noise Block dowcoverter) deir. Eerji, bu elektroik devreye çoğulukla işareti alıcıya gödermekte kullaıla kabloda gelir (dolayısıyla alıcıda). Çaak ateler yöe e duyarlı atelerdedir, bu sayede hem eerji tasarrufu sağlarlar hem de istemeye dileyici ve yayıcılarda bir miktar korumuş olurlar. Radom ise bu atei hava şartlarıda korumak içi uygu bir dielektirik küremsi hacim içie alımış halidir. Ate deyice, geel olarak, elektromayetik yayılım yapması içi şekilledirilmiş iletkeler aklımıza gelmektedir, ve bu taım yalış değildir. Acak, bu yayılımı e verimli şekilde olması çoğu zama birici öcelik değildir. Öreği Şekil 5'te verile bıçak (blade, fi) ate uçak üzeride kullaılmak içi tasarlamış olup jet hızlarıda hava akımlarıa dayaıklıdır. Şekil 5. Bıçak (blade) ate. Mobil telefolarımızı içleride de e az 1 ate mevcuttur. Bezeri şekilde birici öcelik boyuttur. Bazı durumlarda yayılım verimii düşük olması bile tercih edilebilir. Öreği moder telefolarda bulua NFC (ear field commuicatio) ateleri ile zate kısa mesafe haberleşme hedeflemiştir. Ateler ve iletişim kabloları kousuu e kadar geiş ve üzeride oyıllarca çalışılabilecek bir zegilikte olduğuu görüyoruz. Haberleşme dersimizde alıcı ve verici arasıda "kaal" kelimesi ile özetlediğimiz yapıda bularda herhagi biri yada burada değiilmeye bir iletim yötemi olabilir. Soru-Cevap 1. S : Fourier döüşümü e işe yarar? C: Bir foksiyou siüsoidaller ciside taımlayabilmemize olaak sağlar. S: Siüsoidalleri özelliği edir ki? Niçi siüsoidal? C: Doğada ve elektriksel işaretlerde e çok karşılaştığımız foksiyolarda birisidir. Yüzyıllardır üzeride çalışıldığı içi de bilgi birikimi e geiş foksiyolardır. Başka foksiyolar kullaa ve siüsoidalleri kullaa başka döüşümler de vardır ve bazıları oldukça yaygıdır (Hadamard, Kosiüs, dalgacık). Geel olarak döüşümler, işarette doğruda göremediğimiz bazı özellikleri görülebilmesii kolaylaştırır.
. S: Hep aalitik foksiyou verile işaretlerde Fourier döüşümü yaptık. Gerçek işaretler üzeride asıl uygulayacağız? C: Uygulayamayacağız. Çükü itegraller (, ) aralığıda. Acak buu kısıtlı zama aralığıda yaklaşığıı hesaplayabiliriz. Uygulamada, kısıtlı zama aralıklarıda işarette düzeli aralıklarla alımış örekleri kullaa Kesikli Fourier Döüşümü yaygıdır. Fourier döüşümü gibi foksiyoda foksiyoa olmayıp bir sayı setide diğer bir sayı setie döüşüm olduğuda ayısı olmadığı alaşılmaktadır acak büyük bezerlikler göstermektedirler. Hatta işaret işlemeciler Fourier dedikleride Kesikli Fourier'i kastetmektedirler. Kesikli Fourier Döüşümü (öcelikle örekleme kousuu okuyuuz) Gerçek işaretler üzeride, Fourier döüşümüü uygulayamadığımızda, sıırlı zama aralığıda alıa örekler üzeride çalışa ve sürekli karşılığı ile büyük bezerlikler göstere Kesikli Fourier Döüşümü (DF: Discrete F) kullaılır. Kesikli Fourier Döüşümü ve ters döüşümü N 1 j k / N x e (17) X[ k] [ ] 0 N 1 1 j k / N N X k e (18) k0 x[ ] [ ] deklemleri ile taımlaır. Burada x [ ], xt () sürekli işarette düzeli aralıklarla alıa örekler dizisii, Xk [ ] ise frekas alaıdaki karmaşık sayılar dizisii göstermekte olup her iki dizi de N örekte oluşmaktadır. Deklemler (17) ve (18)'i Fourier döüşümüü taımlaya (1) ve (13) j... deklemlerie bezerliğie dikkat ediiz. (Not: Her iki deklem setide bulua e terimie döüşümü çekirdeği adı verilir. Doğrusal döüşümlerde döüşüm çekirdeği f ( u, v ) şeklide olup ortak özellikleri f ( u, v ) foksiyolarıı birbirlerie birim-dik (orthoormal) olmasıdır.) Kesikli Fourier Döüşümüü özellikleri ablo-1'de verile sürekli döüşüm özelliklerie oldukça bezer. Öreği doğrusallık; x[ ] c x [ ] c x [ ] ise X[ k] c1 X1[ k] cx [ k] 'dir. Eğer 1 1 Bir diğer örek kovolüsyodur; N 1 m1 x [ m] x [(( )) ] X [ k] X [ k]. Yai iki örek dizisii dairesel 1 m N 1 kovolüsyou (circular covolutio) Kesikli Fourier Döüşümlerii çarpımıa eşittir. Dairesel kovolüsyo dizisii her öreğii hesabı iki dizii öreklerii iki dairei üzerie eşit aralıklarla yerleştirdiğimizde karşı gele örekleri çarpımlarıı toplamı ve bir dairei herbir kovolüsyo öreği içi dairelerde birii bir öreklik dödürülmesi ile yapılır. Bu da bize bir varsayımı ima eder; Her e kadar sıırlı sayıda örek varsa da, diziler sosuz defa kedii tekrar eder. Fourier Döüşümü ile Kesikli Fourier arasıdaki e belirgi fark budur. Yai işaretleri periyodik olduğu varsayılır.
Bu varsayımı alamak içi burada alatmayıp atladığımız Kesikli-Zama Fourier Döüşümüe de (Discrete-ime F) biraz değielim. DF sürekli (zama) işareti öreklerii kullaarak işareti sürekli (frekas) Fourier döüşümüü frekas alaıda periyodik tekrarlarıı toplamıı vere bir döüşümdür. DF ise frekas alaıdaki bu sürekli periyodik foksiyou periyodu boyuca öreklerii verir ve frekas eksei boyuca tekrar ettiğii varsayar. Zama alaıdaki sürekli foksiyou F'u sıırlı bir bad içide kalmadığı durumlarda DF ile elde edile kesikli tayfı e azıda yüksek frekasları temsil ede bileşeleride örtüşme olacağı açıktır. Şekil 6'da bahsedile döüşümleri ilişkisi gösterilmektedir. Bahsedile tüm döüşümler tersiir ve doğrusal olmasıa rağme DF'i kullaılışıa dikkat etmek gerekmektedir. Çükü uygulamada diğerlerii kullaımı yok deecek kadar azdır. Şekil 6'da gösterildiği üzere N-örek ile hesaplaa DF katsayıları kullaılarak IDF ile ayı N-örek geri elde edilebilir. Acak bu N-örekte asıl zama serisii (sosuz örek) yeide oluşturmak imkasızdır. Ayrıca, işareti frekas badı gerçekte sıırlı değilse, N- okta DF tayfı asıl işareti tayfıı tam olarak temsil edemez. Gerçek hayatta frekas badı tam sıırlı bir işaret yoktur. O edele örtüşme olur ve özellikle yüksek frekas bileşeleri hatalı olarak elde edilirler. F IF DF IDF imkasız DF N-örek IDF N-okta DF Şekil 5. Sürekli, kesikli-zama ve kesikli Fourier döüşümü ilişkisi. DF'da DF'a geçişte akılda tutulması gereke bir başka şey ise tayfsal sızıtıdır (spectral leakage). Buu şöyle açıklayabiliriz; Farzedelim ki DF katsayılarıda k'ıcı örek 100 Hz, k+1'ici örek ise 104 Hz'yi temsil ediyor olsu. Peki DF sürekli bir foksiyo olduğua göre 10 Hz'deki eerji kaçıcı DF katsayısıyla temsil ediliyor? Cevap, aradaki eerjii her iki komşuya yakılıklarıa göre dağılmasıdır. Yai DF'daki bileşeler arasıdaki eerji komşu bileşelere dağılmıştır ve bua tayfsal sızıtı deir. Sızıtıyı birazda göreceğimiz öreklerle daha açıklığa kavuşturacağız. DF'daki problemlere değidiğimize göre, asıl oluyor da bu kadar yaygı bir kullaım görüyor sorusuu soralım. Cevaplarda basit olaı, DF'u sayısal devreler/işlemciler ile gerçeklediği ve sürekli..f'ları gerçekleme ihtimalii sıfıra yakı olduğudur. Ayrıca, DF'u simetri özellikleri kullaılarak hızlı hesaplama yötemleri geliştirilmiştir (Hızlı Fourier Döüşümü-Fast Fourier rasform : FF) ve değidiğimiz örtüşme ve sızıtı problemlerii azaltıcı yötemler de bulumaktadır. (Not : FF yei bir döüşüm değildir, sadece DF'u hızlı hesaplamasıdır.)
Şekil 6'daki rampa foksiyou öreklerii ele alalım. Setimiz 16 örekte oluşmakta ve yukarıda bahsettiğimize göre Kesikli Fourier Döüşümü tarafıda sosuza kadar tekrar ede testere dişi foksiyou örekleri olarak görülmektedir. s =/16 Şekil 6. Rampa foksiyouda alıa 16 örek. Örekleme işlemide sora sadece örek değerleride oluşa dizide tekrar asıl rampa foksiyouu elde etmek içi örekleme sıklığı bilgisii ( ) saklaması gerekir. Deklemler (17) ve (18)'de görüldüğü gibi DF'uda zama bilgisi içerilmemektedir. abi ki döüşüm sorasıda elde edile karmaşık sayı diziside de bu bilgi (zama ve frekas) yoktur, temsil edile siüsoidleri göreceli frekasları, fazları ve gelikleri vardır (herbir bileşe içide komşu aralıklardaki eerji de sızıtı şeklide bulumaktadır). Şekil 7'da örek bir kesikli tayf (kesikli Fourier döüşümü souç dizisii büyüklükleri) gösterilmektedir (16 örekle üretilmiş). s gerçek işaretler içi simetri 0 Hz 1/ Hz 1/ s Hz 1/ Hz k f Şekil 7. Örek bir kesikli Fourier tayfı ve açıklaması. Şekil 7'deki 0 frekasıı yaıdaki ilk bileşe temel frekastır (fudametal frequecy). Buu Fourier Serileride görmüştük. Ou heme yaıdaki (k=) bileşe ise ikici harmoiktir. 1 ve olu bileşeler sırasıyla 1/ Hz ve / Hz frekaslı siüsoidleri temsil eder. Acak, işarette 1.5/ Hz'lik bir frekas yok mudur? Elbette ki olabilir ve ou eerjisi yakı bileşelere sızıtı olarak dağılmıştır. Burada -6-7 olu bileşelerde örek vermememizi sebebi yüksek frekas bileşelerii örtüşmei daha fazla etkilemesi ve sızıtıya ilave olarak örtüşme de içermesidir. (Not: testere dişi foksiyouu örtüşme içermede öreklemesi (Nyquist kriteri ile) mümkü değildir, çükü tayfı sosuza kadar uzamaktadır.)
Gerçek sayılarda oluşa giriş dizisi içi 0 frekası dışıdaki çıkış değerleri orta oktaya göre simetriktir. O edele gelik tayflarıda sadece orta oktaya kadar ola değerler gösterilir. Orta okta ise Örekleme kousuda alatıla Nyquist frekasıa karşı gelmektedir. Yai, dizi örekleme ile üretildiyse, orta oktaı değerie çoğu zama güveilemez. Aalitik foksiyoları Fourier Döüşümü kousu işleirke gösterile frekas tayfıa bezetmek içi Şekil 7'de bir öreği verile dizileri orta oktaı sağıda kala değerlerii sıfır frekasıı soluda gösterilmesi gerekir (Şekil 8). Şekil 8. Örek kesikli tayfı simetrik gösterimi. Şekil 9'da ise adet siüs işaretii DF tayfları gösterilmektedir. Aralarıda çok az bir frekas farkı ola bu işaretler 1080 örek ile öreklediğide ilk işaret tam 48 periyod ikicisi ise yaklaşık 49.1 periyod kapsamakta. Şekil 9. Frekasları yaklaşık iki siüsoidali büyütülmüş DF tayfı (1080 okta). Şekil 9'da görüldüğü üzere örekleme süresi içie işaret peryoduu tam katları girmez ise sızıtı olmakta, bu durum tayfa giderek azala ya bileşeler (sic şeklide) olarak yasımaktadır. Gerçek uygulamalarda işareti periyoduu zate bilmediğimiz yada işaret zate periyodik olmayacağı içi sızıtıda kaçımak mümkü değildir. Pratikte bu etkiyi azaltmak içi örek dizisii uç oktalarıda işaret bastırma yapa bir işlemde (pecereleme) geçirilir, yada ardışıl yapıla N-örek DF'leri (öreği 0 kez) ortalaması alıır. Şekil 30 sıkça kullaıla Haig pecereleme işlemide geçmiş dizii DF tayfıı göstermektedir. Koumuz dahilide olmadığı içi detayladırmayacağız.
Şekil 30. Haig pecereside geçirilmiş dizii DF tayfı. Verile örekleri bir yazılım ile deeyip tayfları çizdirdiyseiz birkaç oktayı farketmiş olmalısıız. Bular, sürekli tayfa yakı bir kesikli tayf elde etmek içi çok sayıda ve Nyquist kısıtıda çok daha sıkça öreklemei yapılması gerektiği, düşük sayıda örek ile elde edile DF katsayılarıda işaret karakteristiği ile ilgili pek bir yorum çıkamayacağı, pecereleme ve ortalama alma işlemlerii çoğu uygulamada gerekli olduğu, sadece büyüklük (magitude) veriside asıl diziye geri döülemeyip faz bilgisii de gerekli olduğu gibi yorumlardır. Fourier Döüşümleri ve kullaım alaları ile ilgili birikimi çok az bir kısmı bile buraya sığmayacak kadar geiştir. O edele so bir örek ile koumuzu oktalayalım. Şekil 10'da ve ilgili örekte birim kapı işaretii Fourier döüşümüü sic foksiyou olduğuu görmüştük. Birim kapı işaretii sayısal haberleşmedeki öemi sayısal verileri 1'ler ve 0'lar ile ifade edilmesi ve herbir biti tayfa yaptığı katkıı bir sic olmasıda kayaklamaktadır. Yai rastgele 1'ler ve 0'larda oluşa bir veri akışıı tayfıı görmek istersek herbir biti tayfa katkısıı uygu faz kaymasıyla toplayabiliriz. Peki Şekil 10'da verile bir kapı işaretii tayfıı örekleride asıl hesaplayabilir ve çizebiliriz? Öreği...0000010000... gibi sosuz adet sıfırı ortasıda bir adet 1 işaretii tayfı asıl hesaplaır? Öcelikle işareti 0-1'lerde oluşa veri olarak değil 1'de kalma süresi belli ola bir elektriksel işaret olarak düşümemiz gerekir. Yai...0000010000... dizisii DF'u hesaplayarak bir tayf elde edemeyiz. Bu veri haberleşme kaalıda süresi ola bir elektriksel darbe olarak görülecektir. Bu darbe işaretii DF ile aaliz edebilmek içi yeterice sıklıkla öreklememiz gerekmektedir. Öreği bit başıa 10 örek alıdığıda/üretildiğide elde edile 100-okta ve 1000-okta DF tayfları Şekil 31'de gösterilmiştir (ardışıl 10 örek 1 diğerleri 0).
Şekil 31. 10 öreklik kapı darbesii 1000-okta DF tayfı. Soru-Cevap 3. S : Hagi orala öreklemeliyiz ki DF sorasıda frekas tayfıı gerçeğe e yakı görelim? C: Doaımı izi verdiği e yüksek hızla. 4. S : Kaç öreklik DF uygulamalıyız ki sorasıda frekas çözüürlüğü e iyi olsu? C: Doaımı izi verdiği e fazla örek. 5. S : Madem DF katsayıları simetrik ede sadece tek tarafıı almıyoruz? C: DF'de simetri içi şartlar ablo-1'de verilmiştir. Bu şartlar sağlaıyorsa katsayıları yarısı diğer yarısıda hesaplaabilir. Gerçek (karmaşık sayı olmaya) işaretler içi simetride faydalamak daha kolaydır. Acak yie de DF soucuu karmaşık sayılarda oluştuğuu ve yukarıdaki öreklerde sadece büyüklükleri çizdiğimizi, ters döüşüm içi faz bilgisie de ihtiyacımız olduğuu uutmayalım. 6. S : FF (Fast Fourier rasform) edir? C: DF'i bazı simetri özellikleri kullaılarak daha az işlemle (daha hızlı) hesaplaması yötemi/yötemleridir. Matematiği/formülü ve souçları DF ile ayıdır. Bazı yazılım paketlerideki fft(.) foksiyoları eğer paket verile sayıda öreği FF ile hesaplayamıyorsa DF deklemleriyle (17, 18) hesaplarlar, yada diziye 0 ekleyerek (zero-paddig) FF yötemleriyle hesaplarlar. Bu edele, öreği 104-okta fft ile 105-okta fft arasıda hesaplama süreside hissedilebilir farklar oluşabilmektedir.