KONU 12: DUAL SİMPLEKS YÖNTEM P: min Z cx AX b X (121) biçiminde tanımlı bir dpp de, B herhangi bir temel olsun Bu temel için, simpleks tabloda tüm temel dışı değişkenlere ilişkin tüm Z c ise, problem için en iilik koşulları (dual ugunluk) sağlanmıştır Arıca bu temele ilişkin X b oluorsa, anı zamanda primal B B 1 ugunluk da sağlanmıştır Fakat, bazı durumlarda dual ugunluk sağlandığı halde, primal ugunluk sağlanmaabilir Bu durumda bulunan bozmadan, X B çözümü en ii olamaz En iilik koşullarını X B vektöründeki negatif değerleri pozitif hale getirmek için ugulanan önteme Dual Simpleks Yöntem denir Bu öntemde çözüme, en iilik koşullarını sağlaan ancak ugun olmaan bir temel ile başlanır Bu durumdaki problemi her zaman bulmak kola değildir Bu nedenle dual simpleks öntemin, simpleks öntem gibi genel bir ugulama alanı oktur Özellikle duarlılık çözümlemesinde oldukça kullanışlı bir öntemdir (121) ifadesi ile tanımlı primal model için en iilik ölçütünün sağlandığı ( Z c olması) tablo aşağıdaki gibi olsun j j 1 1 2 2 C Br X 1 X 2 X r X m m c 1 c j c k c n X B 1 j k n X B 11 1 j 1k 1n X B 21 2 j 2k 2n X Br r1 X Bm 1 rj rk rn m mj mk mn Z c Zj cj Zk ck Zn cn sağlandı Z 1 1 Dual ugunluğun sağlandığı ukarıdaki tabloda, 1
i Primal ugunluk da sağlanmış ( X B ) ise, en ii çözüme ulaşılmıştır ii Primal ugunluk sağlanamamış (en az bir XBr ) ise, r kolon ve bu satıra ilişkin n tane kolondan olan kolon pivot eleman olarak seçilir Dual ugunluğu bozmadan primal ugunluk sağlanıncaa kadar işlemlere devam edilir 121 Dual Simpleks Algoritması Adım 1: (121) idafesi ile tanımlı primal problem için en iilik koşullarını sağlaan bir B temeli bulunur Adım 2: Primal ugunluk da sağlanmış ( X çözümdür Aksi halde, B ) ise, durulur Son bulunan çözüm en ii X min X : X (122) ölçütüne göre temelden çıkacak değişken belirlenir Adım : Adım 2 de temelden çıkacak değişkene karar verdikten sonra ( r değeri belirlendikten sonra), değerlerine bakılır Eğer, tüm ise, durulur Bu durumda rj rj temele alınacak değişken belirlenemez Verilen primal problemin sınırsız çözümü vardır Buna göre dual problemin ugun çözümü oktur Eğer, ise, c k zj cj min : ölçütüne göre temele alınacak değişken belirlenir Burada, (12) rk pivot elemandır Simpleks öntemde tanımlanan pivot eleman ile ilgili işlemler apılarak Adım 2 den süreç inelenir (121) ifadesinde primal problem en büükleme problemi olduğunda, eşitlik (12) ile tanımlı temele alınacak değişken ile ilgili ölçüt c k zj cj max : biçiminde olur (12) 2
Örnek 1: P : min Z 6X X 5X1X2 6 1X1X2 8 X, X biçiminde tanımlı dpp nin dual simpleks öntem ile en ii çözümünü bulunuz Çözüm: Verilen primal problem P : min Z 6X X 5X1 X2 6 1X1 X2 8 X, X biçimine dönüştürülür Standart halde P : min Z 6X X X X 5X1 X2 X 6 1X1 X2 X 8 X, X, X, X olur Burada, 5 1 A 1 1 dır, 6 b 8 Tablo-I 6 T V X B 1 2 X -6-5 - 1 X -8-1 - 1 Z -6 - sağlandı Tablo-I e göre dual ugunluk sağlandığı halde, primal ugunluk sağlanamamıştır Buna göre, X min X : X min 6, 8 8 olduğundan, X değişkeni temelden çıkar c k zj cj 6 min : min, min6,1 1 1 olduğundan, X 1 değişkeni temele alınır
Tablo-II 6 T V X B 1 2 X -2-2 1-1/2 6 X 1 /5 /5-1/1 Z 8-16 -6 sağlandı Tablo-II e göre dual ugunluk sağlandığı halde, primal ugunluk sağlanamamıştır Buna göre, X değişkeni temelden çıkar Çünkü, X 2 dır c k zj cj 16 6 min : min, min8,12 8 2 1 / 2 olduğundan, X 2 değişkeni temele alınır Tablo-III 6 T V X B 1 2 X 2 1 1 1/2 1/ 6 X 1 2/5 1 1/5-1/5 Z 6-8 -2 sağlandı Tablo-III e göre, dual ugunluk ve primal ugunluk sağlanmıştır Buna göre, * 2 / 5 X 1 ve olur * Z 6 Örnek 2: P : max Z 6X 8X X16X2 1 2X12X2 1 6X11X2 12 X, X biçiminde tanımlı dpp nin dual simpleks öntem ile en ii çözümünü bulunuz Çözüm: Verilen primal problem
P : max Z 6X 8X X16X2 1 2X12X2 1 6X11X2 12 X, X biçimine dönüştürülür Standart halde P : max Z 6X 8X X X X X1 6X2 X 1 2XX2 X 1 6X1 1X2 X5 12 X, i1,2,,5 olur Burada, i 5 6 1 A 2 2 1 6 1 1 dır, 1 b 1 12 Tablo-I -6-8 X B 1 2 5 X 1 6 1 X -1-2 -2 1 X 5-12 6-1 1 Z 6 8 sağlandı Tablo-I e göre dual ugunluk sağlandığı halde, primal ugunluk sağlanamamıştır Buna göre, X min X : X min 1, 12 12 olduğundan, X 5 değişkeni temelden çıkar X 5 değişkeninin bulunduğu satırda ( satırda) 2 1 olduğundan, X 2 değişkeni temele alınır 5
Tablo-II -6-8 X B 1 2 5 X /5 8/5 1 /5 X -8/5-16/5 1-1/5-8 X 2 6/5 -/5 1-1/1 Z 8 / 5 5/5 /5 sağlandı Tablo-II e göre dual ugunluk sağlandığı halde, primal ugunluk sağlanamamıştır Buna göre, X değişkeni temelden çıkar Çünkü, X 8 / 5 dır c k zj cj 5 / 5 / 5 max : max, max27 / 8, 27 / 8 16 / 5 1 / 5 olduğundan, X 1 değişkeni temele alınır Tablo-III -6-8 X B 1 2 5 X -25/ 1 19/8 1/8-6 X 1-19/8 1-5/16 1/16-8 X 2 21/8 1 -/16-1/16 Z 1 / 8 27/8 1/8 sağlandı Tablo-III e göre dual ugunluk sağlandığı halde, primal ugunluk sağlanamamıştır Buna göre, X min X : X min 25 /, 19 / 8 25 / olduğundan, X değişkeni temelden çıkar Fakat, temelden çıkacak değişkenin bulunduğu satırda (1 satır), olan bir değişken oktur Bu durumda, verilen primal problemin sınırsız çözümü vardır 6