WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul WEIBULL DAĞILIM PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI Seyit Ahmet AKDAĞ, Öder GÜLER İstabul Tei Üiversitesi, Eerji Estitüsü, Ayazağa Yerleşesi, 34469, Masla, İstabul e-mail: adagse@itu.edu.tr ; oder.guler@itu.edu.tr Özet Düyada, bir ço bölgei rüzgar hız dağılımıı temsil etme içi ii parametreli Weibull dağılımı yaygı olara ullaılmatadır. Bu çalışma apsamıda Weibull dağılımı parametreleri, Grafi Metodu, E Yüse Olabilirli Metodu, Basitleştirilmiş E Yüse Olabilirli Metodu ve Momet Metodu ullaılara belirlemiştir. Bu metodlar R, RMSE hata aalizleri ile güç yoğulularıı, ortalama hızı tahmi yeteelerie göre öre olara ele alıa bir bölgei 00-006 yıllarıa ait rüzgar hızı verileri içi arşılaştırılmıştır. Aahtar Kelimeler:Weibull Dağılımı, Grafi Metodu, E Yüse Olabilirli Metodu, Basitleştirilmiş E Yüse Olabilirli Metodu, Momet Metodu. GİRİŞ Bir bölgei rüzgar hızı freas dağılımı belirleere, o bölge içi e uygu rüzgar eerjisi döüşüm sistemi seçilebilir. Bölge içi uygu dağılımı belirlemesi ile, e eoomi souçlara ulaşma mümü olur. Literatürde yapıla çalışmalarda rüzgar hızı freas dağılımı Gamma, log ormal, Rayleigh gibi farlı dağılımlar ullaılara gösterilmetedir. Bua arşılı so yıllarda ii parametreli Weibull dağılımı düyaı bir ço bölgesii rüzgar dağılımıı temsil etme içi ullaıla bir yötemdir. Bu yötemi ullaılma edei, rüzgar dağılımıa ço iyi uyması, dağılımı ese bir yapıya sahip olması, parametrelerii belirlemesidei olaylı, parametre sayısıı az olması, parametreleri bir yüseli içi belirlemesii ardıda farlı yüseliler içi tahmi edilebilmesi gibi fatörlerdir. Buula birlite, rüzgar dağılımıı Weibull dağılımı ile temsil edilemeyeceği, bölgeler de bulumatadır []. Bu edele öerile dağılımı bölge rüzgar dağılımıı temsil yeteeği R, RMSE, Aderso Darlig, Kolmogorov Smirov testleri ve gerçe veriler ile dağılımı güç yoğuluğu, ortalama hızlar ve dağılım soucu ortaya çıa eerji üretimleridei farlara göre çeşitli şeillerde iceleebilir [-6]. Weibull dağılım atsayılarıı belirlemesi içi çeşitli yötemler geliştirilmiştir. Buula birlite bu yötemleri arşılaştırma içi yapıla çalışmalar farlı souçlar verebilmetedir [, 3]. Bu çalışma apsamıda literatürde e ço ullaıla Grafi Metodu 707

VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul (GM), E Yüse Olabilirli Metodu (EYOM), Basitleştirilmiş E Yüse Olabilirli Metodu (BEYOM) ve Momet Metodu (MM), öre olara ele alıa TPLM ölçüm istasyoua (38 53'54" N 76 6'" W) ait [7] 00-006 yılarıı apsaya, o daialı ortalama rüzgar hızı verileri ullaılara, R, RMSE hata aalizleri ile güç yoğulularıı, ortamla hızı tahmi etme yeteelerie göre arşılaştırılacatır.. WEIBULL DAĞILIMI Weibull dağılımı, boyutsuz şeil ( ) ve rüzgar hızı ile ayı birime sahip ölçe ( c ) parametreleride oluşa ii parametreli bir dağılımdır. İi parametreli Weibull dağılımıı olasılı yoğulu fosiyou aşağıdai gibidir. v f ( v) = c c e v c () burada f v v rüzgar hızıı olasılı yoğuluğu, ve c sırasıyla boyutsuz şeil ve rüzgar hızı ile ayı birime sahip ölçe parametreleridir. Weibull dağılımıı biriimli (ümülatif) olasılı yoğulu fosiyou ise aşağıdai delem ile ifade edilebilir. ( ) F v v c = e (). WEIBULL DAĞILIMI PARAMETRELERİNİ BELİRLEME METOTLARI Literatürde Weibull dağılımı parametrelerii belirlemesi içi çeşitli yötemler geliştirilmiştir. Grafi metodu, e yüse olabilirli metodu, basitleştirilmiş e yüse olabilirli metodu ve momet metodu e ço ullaıla yötemlerdedir... Grafi Metodu Weibull dağılımıı şeil ve ölçe parametrelerii belirlemeside ullaıla bir yötem de grafi yötemdir. Weibull biriimli olasılı yoğulu fosiyouu () ii tarafıı ii defa doğal logaritması alıırsa aşağıdai delem 3 elde edilir. ( ) l l F v = l v l c ( ) l l F v i l v ye göre grafiği uzayda doğruyu gösterir ve parametresi bu doğruu eğimidir. Bu doğruu ordiat değerlerii ( l l F ( v) (3) ) hesaplaması içi öce freas dağılımıı hesaplaması sora da biriimli freas dağılımıı hesaplaması 708

VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul gerelidir. Hesaplaa bu değerler ile oluşa e üçü areler problemi çözülere ve c parametreleri buluur [8]... E Yüse Olabilirli Metodu Weibull dağılımıı sırası ile şeil ve ölçe parametreleri ola ve c parametrelerii hesaplama yötemleride bir taesi de e yüse olabilirli metodudur. Bu yötem ullaılıre rüzgar verileri v, v, v3... vşelide elemalı bir üme oluşturmatadır. Bir gözlemde V = v olma olasılığı f ( v ;, c) ile oratılıdır. Bezer bir şeilde i i V = v. V = v olaylarıı meydaa gelme olasılığı da ifade edilebilir. Bu olaylar birbiride bağımsız olmaları edei ile alıa ölçümler soucuda L =,. V = v olaylarıı meydaa gelme olasılığı olabilirli fosiyou delem 4 ile aşağıdai şeilde ifade edilebilir [9]. ( ;, ) L = f v c (4) i Ölçe parametresi aşağıdai delem 5 ile hesaplaabilir. c ( vi ) i= = Şeil parametresi aşağıdai delem 6 dai gibi hesaplaabilir. vi l( vi ) l( vi ) i= i= = v i i= (5) (6) EYOM u iteratif yapıda olması delemi çözümüü zorlaştırmatadır. Bu edele moder bilgisayarları gelişimide öce ço fazla ullaıla bir yötem değildir...3 Basitleştirilmiş E Yüse Olabilirli Metodu E yüse olabilirli yötemie göre Weibull parametrelerii belirlemesi uzu işlemler geretirdiğide EYOM da çeşitli abuller yapılara Basitleştirilmiş E Yüse Olabilirli Metodu elde edilmiştir [0]. BEYOM u ullaılma edei EYOM ullaara 709

VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul Weibull parametrelerii belirlemesi sırasıda iteratif işlemleri uzu zama almasıdır. BEYOM güümüzde bir ço çalışmada hale ullaılmatadır. Şeil parametresi delem 7 dei gibi aşağıdai şeilde belirleir. Ölçe parametresi ise EYOM yötemde ullaıla delem ile belirleir. = π 6 ( ) l vi vi i= i= 0.5 (7)..4 Momet Metodu Momet metodu Weibull dağılımı parametrelerii belirleme içi ullaıla e esi metotlarda birisidir. Momet metodu, veri dağılımıı ortalaması ve stadart sapması arasıdai ilişiyi şeil parametresii ile 0 arasıdai değerleri içi ümeri yötemler ullaara çöze ve şeil ile ölçe parametresii belirlemesii sağlaya bir metottur. Şeil ve ölçe parametreleri 8. ve 9. delemlerdei gibi ifade edilebilir [8]. v ort c = Γ + Burada Γ Gamma fosiyoudur. σ = v ort.086 (8) (9) 3. HATA ANALİZLERİ Grafi, e yüse olabilirli, basitleştirilmiş e yüse olabilirli, momet metotları gibi metotlar ullaılara elde edile şeil ve ölçe parametrelerii hagisii gerçe veri içi daha uygu olduğuu buluması içi hata aalizii yapılması gerelidir. Bu çalışmada ullaıla yötemler dört farlı hata hesabı formülü ile aaliz edilmiştir. Bularda biricisi R aalizidir ve delem 0 ile aşağıdai gibi ifade edilebilir. R = i= ( yi xi ) ( yi yi ) i= İici hata formülü ise RMSE formülüdür ve delem ile aşağıdai şeilde ifade edilebilir. (0) 70

VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul RMSE = y x i = i i 0.5 ( ) () burada gözlem sayısı, y ler gerçe değerler, x ler Weibull dağılımı ile hesaplaa değerler ve y ortalama gerçe değerdir. R değerii e yaı ola ve RMSE değeri üçü dağılım fosiyou e iyi dağılım fosiyou olara abul edilir. Üçücü hata aalizi yötemi güç yoğulularıı tahmi edebilme yeteeleri baımıda metotları arşılaştırılmasıdır. Weibull dağılımı ile hesaplaa güç yoğuluğu delem ile aşağıdai şeilde ifade edilebilir. Pw 3 3 = ρc Γ + edilebilir. Gerçe verileri güç yoğulu ile ola hata ise delem 3 ile aşağıdai şeilde ifade Pw Pgv Hata (%) = (3) P Burada gv () P w Weibull dağılımıma ait delem i ullaılması soucu belirlee güç yoğuluğu, Pgv ise gerçe verii güç yoğuluğudur. Dördücü hata aalizi ise dağılım soucu belirlee ortalama hızlar ile gerçe verileri ortamla hızlarıı arşılaştırılmasıdır. 4. ANALİZ VE UYGULAMA O daialı rüzgar hızı ölçümleri ullaılara 8 metre yüselite ölçülmüş ola hızlar içi 4 farlı yöteme göre belirlee Weibull dağılımı parametreleri Tablo de gösterilmetedir. Tablo de ise bu yötemler içi ola R ve RMSE hata aalizi souçları suulmuştur. Tablo Weibull parametreleri Yötemler GM EYOM BEYOM MM Yıllar c c C c 00.99659 5.9838.0948 6.4543.74938 6.5594.708 6.4855 003.79058 5.9398.9874 6.78874.6076 6.53386.98 6.58005 004.0446 7.878.3948 7.34777.97063 7.364.87 7.35957 005.6300 7.4809.96983 6.93386.8447 6.8366.07 6.9386 006.8733 6.07756.8956 6.46009.68805 6.304.95654 6.47644 00-006.66385 6.685.0049 6.804.7596 6.6304.030 6.7738 7

VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul Tablo de de görülebileceği gibi şeil parametresi.6076 ile.87 arasıda değişmetedir. Ayı yıl içi farlı yötemlere göre belirlee şeil parametreside %0 civarıda far oluşabilmetedir. Ölçe parametresi ise 5.9398 m/s İle 7.35957 m/s arasıda değişmetedir. Ayı yıl içi farlı yötemlere göre belirlee ölçe parametreleri arasıdai far ise % yi geçmemetedir. Tablo Hata aalizi souçları Yötemler GM EYOM BEYOM MM Yıl R RMSE R RMSE R RMSE R RMSE 00 0.8683 0.079 0.9397 0.0 0.8577 0.0865 0.94548 0.053 003 0.73804 0.095 0.85938 0.068 0.80748 0.0968 0.8446 0.078 004 0.97546 0.0069 0.9859 0.0054 0.973 0.00735 0.98566 0.0059 005 0.90774 0.039 0.9759 0.0079 0.95333 0.00938 0.9765 0.00669 006 0.9394 0.00 0.9768 0.00753 0.94657 0.0035 0.96844 0.00795 00-006 0.9364 0.076 0.9738 0.00707 0.9474 0.008 0.979 0.0073 Bir dağılımı öre veriyi temsil edebilmesi içi R değerii 0.7 de büyü olması geretiği belirtilmetedir []. Yapıla hesaplamalara göre 4 farlı yöteme göre de R bu sıırı üzeride yer almıştır. Daha öcede belirtildiği gibi R değeri e yaı ola yötem daha uygu bir yötem olara seçilir. R değeri 0.9859 ile 004 yılı verileri içi EYOM içi bulumuştur, e üçü değer ise 0.73804 ile 003 yılı verileri içi Grafi Metoduda bulumuştur. RMSE değeri ise abul edilir sıırlar içerisidedir. Tablo3 de ise gerçe veri ve Weibull dağılımı yötemleri içi belirlee ortalama hızlar ve güç yoğuluları değerleri gösterilmetedir. Tablo 3 Ortalama hızlar ve güç yoğuluları Yötemler GM EYOM BEYOM MM Gerçe Veri Yıl V ort GY V ort GY V ort GY V ort GY V ort GY 00 5.300 74.554 5.7648 08.94 5.5777 34.4 5.740 04.76 5.740 0.883 003 5.836 94.455 6.07 56.498 5.8576 304.573 5.8377 43.763 5.8377 36.000 004 6.3687 98.559 6.5073 30.6 6.45 33.466 6.577 98.496 6.577 99.034 005 6.3989 388.5 6.4686 75.89 6.0735 86.048 6.435 69.738 6.435 8.404 006 5.3956 96.793 5.739 33.075 5.63375 53.4 5.74 6.487 5.74 4.3645 00-006 5.93 99.776 6.0737 55.64 5.90457 78.304 5.99943 48.667 5.99943 48.66 Gerçe ortalama hız değeri 5.740 m/s ile 6.577 m/s arasıda değişmetedir. 00-006 içi ortalama hız ise 5.99943 m/s olara belirlemiştir. Şeil de yötemleri belirlediği ortalama hız hataları gösterilmetedir. 7

VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul Şeil Ortalama hızı tahmi hataları Şeil de de görülebileceği gibi Momet Metodu gerçe verii ortalama hızıı ulladığı içi ortalama hız tahmiide her hagi bir hatası yotur. Bua arşılı Grafi Metodu içi belirlee ortalama hız tahmi hatası %0 lara adar çıabilmetedir. Bua arşılı Grafi Metodu her zama içi e ötü souçları vermemetedir. Şeil de ise yötemleri güç yoğuluğu hata aalizi farlı yötemlere göre gösterilmetedir. Güç Yoğuluğu Bağıl Hatası (%) 50 40 30 0 0 0-0 -0-30 00 003 004 005 006 00-006 Yıllar GM EYOM BEYOM MM Şeil Güç yoğuluğu tahmi hataları Şeil de görülebileceği gibi güç yoğuluğu tahmiide Grafi Metodu içi hatalar %40 a adar çımatadır. Bua arşı bütü yıllar içi Grafi Metodu e ötü tahmii yapmamatadır. Güç yoğuluları tahmiide Momet Metodu geelde diğer metotlarda daha iyi souç vermiştir. 73

VII. Ulusal Temiz Eerji Sempozyumu, UTES 008 7-9 Aralı 008, İstabul Bu çalışma apsamıda, literatürde e ço ullaıla, Weibull dağılımı parametre belirleme metotlarıda ola, Grafi Metodu, E Yüse Olabilirli Metodu, Basitleştirilmiş E Yüse Olabilirli Metodu ve Momet Metodu, R ve RMSE hata aalizleri, güç yoğulularıı, ortamla hızı tahmi yeteelerie göre 00-006 yılları ve bütü yıllarda oluşturula yalaşı 55000 rüzgar hızı ölçümüde oluşa data seti içi arşılaştırılmıştır. R ve RMSE hata aalizleri ile belirlee metot ile ortalama hızı ve güç yoğulularıa göre değerledirmelerde farlılılar çıabileceği ortaya oulmuştur. 6. KAYNAKLAR. Jaramillo O. A., Borja M. A., (004). Wid speed aalysis i La Vetosa, Mexico: a bimodal probability distributio case, Reewable Eergy,9,63-630.. Dorvlo A.S. S., (00). Estimatig wid speed distributio, Eergy Coversio ad Maagemet, 43, 00, 3-38. 3. Seguro J. V., Lambert T. W., (000). Moder estimatio of thr parametre sor the Weibull wid speed distributio for wid eergy aalysis. J. Wid Eergy ad Idustrial Aerodyamics, 85, 75-84. 4. Esi N., Artar H., Tolu S. (008). Wid eergy potetial of Göçeada Islad i Turey Reewable ad Sustaiable Eergy Reviews,, 839-85. 5. Celi, A.N., (003). A statistical aalysis of wid power desity based o the Weibull ad Rayleigh models at the souther regio of Turey, Reewable Eergy, 9, 593-604. 6. Ramírez P.,Carta J.A., (005). Ifluece of the data samplig iterval i the estimatio of the parameters of the Weibull wid speed probability desity distributio: a case study Eergy Coversio ad Maagemet, 46, 49-438. 7. Natioal Data Buoy Ceter, http://seaboard.dbc.oaa.gov/statio_history.php?statio=tplm 8. Justus C. G., Hargraves W.R., Yalcı A., (976). Natiowide Assesmet of Potetial from wid powered geerators, J. Applied Meteorology. 5, 673-678. 9. Elito Ö., (006). Weibull Dağılımı ve Uygulamaları, Yüse Lisas Tezi, Kırıale Üiversitesi Fe Bilimleri Estitüsü, Kırıale. 0. Christofferso R. D., Gillette D. A., (986). A Simple Estimator of the Shape Factor of the Two-Parameter Weibull Distributio, J. Climate ad App. Meteorology, 6, 33-35.. Ramirez P.,Carta J., (005). The use of wid probability distributios derived from the maximum etropy priciple i the aalysis of wid eergy. A case study, Eergy Covers Maage 47,. 564 577. 74